第06讲 第二章一元二次函数、方程和不等式 单元复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦一元二次函数、方程和不等式单元复习，系统梳理等式与不等式性质、基本不等式（一正二定三相等）、一元二次不等式解法（标准化步骤）及恒成立问题，构建“性质-最值-求解-应用”的知识支架，强化三式联动逻辑。 资料以10个易错辨析（如不等式性质滥用、基本不等式等号验证）精准突破难点，8类典例精讲（如条件等式求最值、恒成立问题）培养数学思维与推理意识，配套小测助力知识内化。课中辅助教师聚焦重点，课后学生可自查自纠，提升用数学语言解决问题的能力。

第06讲 第二章一元二次函数、方程和不等式单元复习+小测 （核心知识+10易错辨析+8典例精讲） 【题型一】不等式性质的应用 【题型五】基本(均值)不等式的应用 【题型二】基本不等式求积的最大值与求和的最小值 【题型六】解一元二次不等式 【题型三】条件等式求最值 【题型七】由一元二次不等式的解确定参数 【题型四】基本不等式“1”的妙用求最值 【题型八】一元二次不等式的恒成立问题 【知识点01】等式与不等式的基本性质 一、等式基本性质 若 ，则满足以下恒等变形规则： 1. 对称性： 2. 可加可减性： 3. 可乘性： 4. 可除性： 二、不等式基本性质（高频必考） 1. 对称性： 2. 传递性： 3. 单向可加性： 4. 同向可加性： 5. 可乘性（符号关键）：； 6. 同向正可乘性： 7. 正整数乘方性： 8. 正向开方性： 9. 倒数性质（易错）：； 【知识点02】基本不等式 一、重要不等式（全域成立） 对任意实数 ，恒有： 取等条件：当且仅当 时等号成立。 二、基本不等式核心公式 对任意正实数 ，有： 核心三要素：一正、二定、三相等 1. 一正：（前提条件，负数不可直接套用） 2. 二定：和定或积定为定值 3. 三相等：当且仅当 时取到等号 三、最值核心结论 1. 积定和最小：若 （定值，），则 ， 时和最小 2. 和定积最大：若 （定值，），则 ， 时积最大 四、均值不等式链（万能公式） 【知识点03】一元二次不等式解法 一、正系数不等式解集规律 设方程 两根 1. ：； 2. ：； 3. ：； 二、负系数不等式解法 不等式两边同乘 ，翻转不等号方向，转化为 标准形式求解。 【知识点04】恒成立专项结论 定义域为 ，含参题型必须讨论 一次型情况 1. 恒成立： 2. 恒成立： 【知识点05】三式联动核心逻辑 1. 一元二次方程的根 二次函数零点 一元二次不等式解集分界点； 2. 数形结合核心：函数图像在x轴上方对应函数值为正，x轴下方对应函数值为负； 3. 单元核心逻辑链：等式不等式性质 基本不等式最值求解 二次三式数形转化综合应用。 易错点1：不等式性质滥用、条件遗漏 典型误区：无条件随意进行乘方、开方、相乘、取倒数变形。 精准纠错：不等式多数变形必须要求正数条件，负数、零不满足通用性质。 1. 不能推出 ，仅 方可成立； 反例：，但 。 2. 只能同向可加，不可直接相减、相乘； 同向相乘仅适用于 。 易错点2：倒数性质不分正负、统一变形 典型误区：认为只要 ，就有 。 精准纠错：正负区间规律完全不同，极易丢分。 1. 同为正数： 2. 同为负数： 3. 一正一负：正数倒数恒大于负数倒数，无需比较大小。 易错点3：不等式范围叠加过度、放大误差 典型误区：已知变量双向范围，多次叠加导致取值范围扩大失真。 精准纠错：求代数式取值范围，禁止反复同向加减，优先用待定系数法，避免范围放大。 易错点4忽略“一正二定三相等”核心前提（最高频失分） 典型误区：不判断正负、不验证定值、不检验等号，直接套用公式求最值。 精准纠错 1. 一正：仅对正数成立；若 ，必须提负号转化为正数求解，严禁直接套用。 2. 二定：必须满足和定或积定为定值，无定值无法用基本不等式求最值。 3. 三相等：必须验证 在定义域内可取，若等号取不到，最值失效，需用单调性求解。 易错点5连续多次使用基本不等式求最值 典型误区：一道题多次套用基本不等式，默认最值成立。 精准纠错：多次连用必须保证两次等号成立条件一致，否则无法取到最值，答案无效。 易错点6混淆和定积最大、积定和最小 口诀纠错：和定积最大，积定和最小；定值对象不同，最值结论完全相反，严禁记混。 1. 和定（定值）：，积有最大值 2. 积定 （定值）：，和有最小值 易错点7重要不等式与基本不等式混用 精准区分 1. ：全体实数成立，无正负限制； 2. ：仅正实数成立，有严格前提。 易错点8二次项系数为负，不变号直接求解 最高频考场失分点 典型误区： 时直接套用开口向上解集规律，区间完全相反。 精准纠错：解二次不等式第一步必须化正系数，两边同乘 ，不等号反向，再判断解集。 易错点9解集开闭区间混淆、等号错配 精准规则 1. ：无等号，取开区间； 2. ：有等号，取闭区间； 3. 重根处，不可取等时需剔除单点。 易错点10参恒成立遗漏一次型讨论 典型误区：恒成立问题直接列，漏掉一次型情况。 精准纠错：含参二次式恒成立，必须优先讨论 （常数、一次函数），再讨论二次型，漏讨论直接丢全分。 【题型一】不等式性质的应用 【典例1-1】（25-26高一上·陕西安康·期末）若，，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质计算判断ABC；利用赋值法判断D. 【详解】因为，所以，所以，即，故A错误； 因为，由A知，所以，故B正确； 因为，所以，所以，故C错误； 当，可得， ，此时，故D错误. 故选：B. 【变式1-1】（多选）（25-26高一上·湖北·期中）若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用同向不等式的可加性等性质进行判断即可. 【详解】因为，所以，即，故A正确； 因为，所以，又因为，所以，故B错误； 因为，所以，又因为，所以，故C正确； 因为，，所以，故D正确； 故选：ACD 【变式1-2】（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）已知实数，，满足，且， 则下列结论中正确的是______. ①    ② ③     ④ 【答案】①④ 【分析】根据给定条件，利用不等式的基本性质逐项分析判断得到答案． 【详解】且，则，， 对于①，，①正确； 对于②，由，，得，②不正确； 对于③，，，，， 当时，，则；当时，，则， 当时，，则，③不正确； 对于④，， 当且仅当时取等号，此时由，得，不符合， 因此不成立，则，所以，④正确． 故答案为：①④． 【变式1-3】（25-26高一上·海南·阶段检测）（1）若，，求证：. （2）已知“，”. （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）（i）利用不等式的性质计算即可；（ii）利用待定系数法计算即可. 【详解】（1）证明：因为，所以，利用同向可加性得， 所以，则， 又，所以； （2）（i）因为，， 所以由同向可加性得，则； （ii）设，即， 所以，解得， 则，， 所以. 【题型二】基本不等式求积的最大值与求和的最小值 【典例2-1】（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据基本不等式，由题中条件，即可得出结果. 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以 故选：D 【典例2-2】（25-26高一上·河南周口·期末）已知，则函数的最小值为________. 【答案】4 【分析】利用基本不等式求解即可 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立. 【典例2-3】（25-26高一上·山西晋城·期末）（1）已知，求的最小值； （2）求的最大值． 【答案】（1）7；（2） 【分析】（1）根据基本不等式求解即可. （2）求出的范围，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， ， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最小值是7. （2）由题意知，即，解得， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最大值是； 【变式2-1】（25-26高一下·云南玉溪·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】对原式进行配凑得到符合基本不等式的正项结构，利用基本不等式求解最小值，同时验证等号成立的条件. 【详解】 已知，因此，将原式变形为： ， 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立； 令，，二者均为正实数，代入得： 因此， 当且仅当时等号成立，解得（不满足，舍去）， 符合取值要求， 故的最小值为6. 【变式2-2】（25-26高一上·贵州黔东南·期末）已知都是正实数，若，则的最大值为___________． 【答案】/0.75 【分析】由基本不等式求得结果. 【详解】，所以，当且仅当时，取等号， 所以的最大值为， 故答案为： 【变式2-3】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）14；（2）（i）（ii）4 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 【题型三】条件等式求最值 【典例3-1】（25-26高一上·浙江·期末）若正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得，结合基本不等式可得，，进而可得最小值. 【详解】因为正实数a，b满足，则， 又因为，即， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 所以的最小值为. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 【变式3-2】（多选）（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A．ab的最小值是 B．的最小值为8 C．的最小值为2 D．此方程有且仅有3组整数解 【答案】BCD 【分析】对于ABC，由，得，再结合基本不等式逐个判断即可.对于D，结合，,分析整数解即可. 【详解】由，得，又， 所以，即，由得，由,故. 对于A由，令，得，解得， 即，当且仅当时，取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确， 对于C，， 当且仅当时，取等号，故C正确； 对于D，由，,，故当时，；当时，；当时，，不满足整数解； 当时，；当时，，故不满足整数解； 综上，此方程有且仅有3组整数解，分别为，；，；，.故D正确. 故选：BCD 【变式3-3】（25-26高一上·江苏苏州·期中）若，，且． (1)求的取值范围； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据基本不等式建立关于的一元二次不等式，由此可求的取值范围； （2）采用消元法，用表示，再通过配凑法可求的最小值. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，所以或(舍)， 所以，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为； （2）因为，所以，由，可得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【题型四】基本不等式“1”的妙用求最值 【典例4-1】（25-26高一上·山西朔州·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题意，巧用“1”化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时，取等号， 故选：B． 【变式4-1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知正实数x，y满足，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】设，则， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即， 所以当时，的最小值． 【变式4-2】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知正实数满足 (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合基本不等式运算求解即可； （2）根据题意利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】（1）因为正实数满足， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. （2）因为正实数满足， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【变式4-3】（25-26高一上·新疆塔城·阶段检测）（1）已知，求的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）运用基本不等式进行求解即可； （2）用整体代换，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）因为正数满足， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【题型五】基本(均值)不等式的应用 【典例5-1】（25-26高一上·山东枣庄·期末）已知，，都是正数，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先通分，再利用基本不等式即可. 【详解】由题意得，， 等号成立时， 则的最小值为. 故选：C 【变式5-1】（25-26高一上·辽宁大连·期中）设矩形（其中）的周长为12，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点．设，求的最大面积为__________． 【答案】 【分析】根据题意，证得，得到，设，在直角中，利用勾股定理，列出方程求得，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得，所以，则， 又由，且，所以， 所以， 设，则且， 在直角中，， 由勾股定理，可得，即， 整理得，所以， 则的面积为， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，所以的面积得最大值为. 故答案为：. 【变式5-2】（多选）（25-26高一上·山东淄博·期中）设正实数m，n满足， 则 （   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于A，直接利用基本不等式即可；对于B，利用“常数代换法”结合基本不等式即可求解；对于C，平方后再利用基本不等式求解，再开方即可；对于D，由平方平均数大于等于算术平均数即可求解. 【详解】对于A，，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A错误； 对于B， ，当且仅当且，即，时等号成立，故B正确； 对于C，，则，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，由，可得，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BCD 【变式5-3】（25-26高一上·新疆·期末）设，则求 的最大值. 【答案】. 【分析】先进行排序假设，再由基本不等式得到，再求的最大值即可. 【详解】根据表达式的对称性，不失一般性，设，则， 故原式 由基本不等式可得：， 当且仅当时取得等号； 因此. 又，故当时，取得最大值； 则，当且仅当，也即时，取得最大值. 综上所述：的最大值为. 【题型六】解一元二次不等式 【典例6-1】（25-26高一下·湖南·期末）不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得：或， 又因为，所以不等式组的解集为. 【典例6-2】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）若，则关于的不等式的解集为____． 【答案】 【分析】借助一元二次不等式解法计算即可得. 【详解】因为，方程的两根为，，显然， 所以原不等式的解集为 故答案为：. 【典例6-3】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）求出下列不等式的解集 (1) (2) 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）因式分解得到，求出不等式解集； （2）因式分解得到，分，和三种情况，得到不等式解集. 【详解】（1），解得， 故解集为； （2），， 因为，当时，不等式为，解集为R， 当时，，故解集为或， 当时，，故解集为或. 综上，当时，解集为R，当时，解集为或， 当时，解集为或. 【变式6-1】（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【详解】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解，故B可能； 当时，的解集为. 故选：C 【变式6-2】（24-25高一上·广西河池·期中）求函数的解集__________. 【答案】 【详解】对原不等式 两边同时乘以 ，不等号方向改变，得到 . 因式分解得，因此原不等式等价于 . 令 ，解得两根为 和 . 由于二次函数 的二次项系数为正，图象开口向上，    因此 解集为. 【变式6-3】（25-26高一上·宁夏中卫·阶段检测）已知关于的不等式：. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）由一元二次不等式的解法可得结果； （2）先将不等式转化为，分类讨论可得结果. 【详解】（1）时，不等式为，即，解得或， 所以不等式的解集为或； （2）当时，不等式可化为，即， ①若，则不等式为，不等式的解集为； ②若，则，解不等式得，不等式的解集为； ③若，则，解不等式得，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【题型七】由一元二次不等式的解确定参数 【典例7-1】（25-26高一上·云南曲靖·期末）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而可以求出结果. 【详解】． 若，则原不等式的解集为，则，得； 若，则原不等式的解集为空集，不符合题意； 若，则原不等式的解集为，则，得． 综上所述，的取值范围为． 故选：D 【变式7-1】（25-26高一上·云南昭通·期末）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的值为________． 【答案】 【分析】依题意和为方程的两根，利用韦达定理求解即可； 【详解】由题意，和为方程的两根，且. 所以，解得，所以． 故答案为： 【变式7-2】（多选）（25-26高一上·河南郑州·期中）已知，且关于的不等式恰有4个整数解，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】因式分解求的解集，根据解集恰有4个整数解列不等式，求解即可. 【详解】关于x的不等式，即， 因为，故二次函数开口向下， 又，所以且， 当时，不等式的解集为， 因为，，所以区间内无整数解，不合题意； 当时，不等式的解为， 因为不等式有4个整数解，且，， 所以，可得. 故选：CD 【变式7-3】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 【答案】(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 【题型八】一元二次不等式的恒成立问题 【典例8-1】（25-26高一上·吉林·期末）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立，可得判别式，即可求得答案. 【详解】因为不等式对恒成立，所以，解得． 故选：C． 【典例8-2】（25-26高一上·重庆开州·阶段检测）已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】令函数，由题意可知函数在区间上的最大值，由二次函数可知最大值，然后列不等式解得实数的取值范围. 【详解】令函数， 由题意可知函数在区间的最大值 由二次函数可知， ，，， ①时，，，即，∴， ②时，，，即，∴， 综上所述：. 故答案为：. 【典例8-3】（25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由三个二次的关系将题设等价于的两根为和，且，再根据韦达定理求解； （2）对恒成立 对恒成立，由一次函数的性质即可求解； 【详解】（1）由题意可知，且的两根为和， ∴由根与系数的关系得，解得， 此时不等式即为符合题意，所以； （2）当时，. 所以对恒成立 对恒成立， 因为当时，，所以对恒成立， ∴由一次函数性质得，解得. 故的取值范围为. 【变式8-1】（25-26高一上·广西崇左·期末）“”是“不等式对恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先利用二次不等式恒成立求得等价条件，再利用集合与充要条件的关系即可得解. 【详解】对于“不等式对恒成立”， 有，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“不等式对恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式8-2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】把关于的不等式在上有解的问题，利用分离参数求最值转化为，在上有解，再求，的最小值即可. 【详解】要使不等式在上有解， 则，在上有解， 令，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故时，， 因此要使不等式在上有解， 则， 故答案为：. 【变式8-3】（25-26高一上·山东泰安·期末）已知函数 . (1)当时，解不等式； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）将代入函数的表达式，通过解具体的一元二次不等式求其解集 （2）先将不等式进行化简，然后通过分离参数法，将问题转化为求函数的最值问题，进而求出实数的取值范围。 【详解】（1）（1）当时，， 则， 解得：或，即不等式的解集为：； （2）由不等式可得： (*)， 因为，所以， 则(*)等价于，， 再令，则， 令函数， 因为在单调递减，在单调递增， 且， 所以， 由对任意的都恒成立， 则， 所以实数的取值范围是. 一、等式与不等式性质 核心小结 1. 等式基本性质 若 ，则 、、，为等价恒等变形，无限制条件。 2. 不等式核心性质（易错重点） 基础恒成立：对称性、传递性 、同向可加 ； 符号限制变形（仅 成立）：可乘、乘方 、开方 ； 倒数规律：，； 禁忌点：不等式不可随意相减、相乘、平方，变形优先作差法判定大小：。 二、基本不等式 核心考点小结 1. 两大核心公式 重要不等式（全体实数通用）：，当且仅当 取等号； 基本不等式（正实数专属）：，当且仅当 取等号。 2. 解题必备三条件：一正、二定、三相等 一正：变量必须为正数，负数需换元转正；二定：和或积为定值，无定值需配凑构造；三相等：必须验证等号在定义域内可取。 3. 最值核心结论 积定和最小：（定值）； 和定积最大：（定值）。 三、一元二次不等式 解题小结 1. 标准化解题步骤 移项归零 → 二次项系数化为正数 → 计算判别式、求解方程根 → 结合函数图像判定解集。 2. 通用解集规律 ： 解集为两根外侧， 解集为两根中间； ：大于0解集为全体实数（除顶点），小于0无解； ：大于0恒成立，小于0无解。 四、单元核心逻辑与避坑总结 1. 三式联动关系：二次函数零点 方程实根 不等式解集分界点； 2. 核心思想：数形结合、分类讨论、等价转化、函数方程思想； 3. 高频易错：不等式变形不看符号、基本不等式不验等号、韦达定理不判、恒成立遗漏 讨论、区间最值只看顶点。 一、单选题 1．（25-26高一上·山西吕梁·期末）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举例说明判断ACD；利用不等式性质判断B. 【详解】对于A，当中有负数时，不等式无意义，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：B 2．（25-26高一下·四川泸州·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】不等式，即，解得或. 因此不等式的解集是或. 3．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】C 【详解】因为，因此， 由，，以及基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 故. 4．（25-26高一上·西藏昌都·期中）关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到不等式，解得即可. 【详解】因为关于的一元二次方程有实根， 所以，解得， 即的取值范围是. 故选：B 5．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 6．（25-26高一上·湖北十堰·期末）设条件p：；q：，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件计算即可. 【详解】因为，所以解得. 因为p是q的必要不充分条件，条件p：， 所以. 故选：B. 7．（25-26高一下·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得恒成立，利用基本不等式求出的最大值即可． 【详解】依题意，对任意正实数，不等式恒成立． 只需求出当为正数时，的最大值． 因为为正实数， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 又当时， 所以的最大值为， 所以实数的最小值为． 8．（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果 【详解】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 二、多选题 9．（25-26高一下·甘肃平凉·开学考试）（多选）已知实数，，，，则下列命题中错误的是（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】本题关键在于： 1.不等式的性质是有条件的，乘以或除以负数时，不等号方向要改变； 2.判断不等式命题真假时，举反例是一种非常有效的方法，尤其是在处理 “一定成立” 或 “一定不成立” 的命题时. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，不妨取，，，，满足，，但，故B错误； 对于C，若，则，所以，则，故C正确； 对于D，取，，，，此时，故D错误． 故选：． 10．（25-26高一下·浙江衢州·期末）若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ABD 【分析】利用（为正实数）和基本不等式逐一分析判断各选项即可. 【详解】对于A，由正实数，满足，易得，故A正确； 对于B，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以，由B项知，则， 即有最小值为，无最大值，故C错误； 对于D，因为，且为正实数，所以， 当且仅当时，有最小值，故D正确. 11．（25-26高一上·湖北孝感·期中）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可得，再利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】由题意知不等式的解集为， 所以，且方程的两根为和1， 所以，所以，， 所以，故A错误； 因为，所以， 所以 ， 当，时，的最小值为，故B正确； 因为，，所以，即，解得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故C正确； ， 当且仅当，即时等号成立， 但由C可知，所以等号无法取到，所以最小值不是，故D错误. 故选：BC． 三、填空题 12．（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，且，则的最小值为____________. 【答案】 【分析】由题可得，令，所以再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题可得， 所以， 令，即， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 的最小值为13. 13．（25-26高一上·山东菏泽·期中）关于的不等式组的最小整数解为0，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】解不等式组并使得最小整数解为0得到关于的不等式可得结果. 【详解】解不等式组可得，即 显然不等式组有解，若最小整数解为0，需要满足， 解得； 即的取值范围是. 故答案为： 14．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知正实数满足，则恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据基本不等式“1”的代换，可求得的最小值为15，根据题意，可得，根据一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】因为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以，即的最小值为15， 因为恒成立， 所以，即， 解得，则实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高一上·黑龙江辽宁·阶段检测）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【答案】 （1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 【分析】（1）对平方比较即可； （2）作差得，再根据，得到，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 16．（25-26高一上·湖南长沙·期末）设实数x，y满足． (1)若，求实数的取值范围； (2)当x，y均为正实数时，求的最小值，并求取得最小值时的值． 【答案】(1) (2)最小值为，此时 【分析】（1）由，可得，代入，解不等式，即得答案； （2）将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以，     又，即，化简得，             所以， 故的取值范围为． （2）因为， 所以                      ，         当且仅当且，即时取等号， 故的最小值为，此时． 17．（25-26高一上·重庆·期末）设矩形的周长为，把三角形沿折叠，折叠后与交于点. (1)设，用表示三角形面积，并写出的取值范围； (2)求三角形面积最大值及相对应的值. 【答案】(1)，． (2)最大值为，此时． 【分析】（1）设，则，设，则，，根据勾股定理得出，可得出关于的关系式，再利用三角形的面积公式可得出关于的表达式，结合题意可得出关于的不等式组，即可解得的取值范围； （2）利用基本不等式可求得的最大值，利用等号成立的条件可求出对应的的值. 【详解】（1）设，则． 设，则，， 由勾股定理得，得， 可得，则， 三角形面积， 由，得，所以取值范围是． （2）因为，所以， 即的最大值为． 当且仅当，即时取等号． 故三角形面积最大值为：，此时． 18．（24-25高一下·福建福州·阶段检测）已知函数 (1)若的解集为，求实数a，c的值； (2)若，求不等式的解集； (3)若且，求的最小值． 【答案】(1)， (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 (3) 【分析】（1）借助韦达定理计算即可得； （2）借助根的判别式，分、、与进行讨论即可得； （3）借助基本不等式计算即可得. 【详解】（1）由已知的解集为， 所以，3是方程的解，且， 所以，， 所以，； （2）若，不等式可化为， 方程的判别式， 当，即且时， 方程的两根为，， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （3）因为，所以， 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，或，，时等号成立； 所以的最小值为. 19．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知函数在区间上有最大值4和最小值1． (1)求a，b的值； (2)若存在，对任意的都成立；求m的取值范围； (3)设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二次函数的单调性结合题意建立方程，求解参数即可. （2）结合题意转化为一次函数的恒成立问题，进而建立不等式组，求解参数即可. （3）先求出，再利用分离参数法求解参数范围即可. 【详解】（1）由题意得； ∵，∴在上单调递增， ，可得，解得， 则为所求值. （2）由上问得，当时，， 又∵存在，对任意的都成立， ∴对任意的都成立， 即对任意的都成立，其中看作自变量，看作参数， 即，解得. （3）由题意得， 由， 令， ，而不等式在上有解， ，又， 而， ，故实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 第二章一元二次函数、方程和不等式单元复习+小测 （核心知识+10易错辨析+8典例精讲） 【题型一】不等式性质的应用 【题型五】基本(均值)不等式的应用 【题型二】基本不等式求积的最大值与求和的最小值 【题型六】解一元二次不等式 【题型三】条件等式求最值 【题型七】由一元二次不等式的解确定参数 【题型四】基本不等式“1”的妙用求最值 【题型八】一元二次不等式的恒成立问题 【知识点01】等式与不等式的基本性质 一、等式基本性质 若 ，则满足以下恒等变形规则： 1. 对称性： 2. 可加可减性： 3. 可乘性： 4. 可除性： 二、不等式基本性质（高频必考） 1. 对称性： 2. 传递性： 3. 单向可加性： 4. 同向可加性： 5. 可乘性（符号关键）：； 6. 同向正可乘性： 7. 正整数乘方性： 8. 正向开方性： 9. 倒数性质（易错）：； 【知识点02】基本不等式 一、重要不等式（全域成立） 对任意实数 ，恒有： 取等条件：当且仅当 时等号成立。 二、基本不等式核心公式 对任意正实数 ，有： 核心三要素：一正、二定、三相等 1. 一正：（前提条件，负数不可直接套用） 2. 二定：和定或积定为定值 3. 三相等：当且仅当 时取到等号 三、最值核心结论 1. 积定和最小：若 （定值，），则 ， 时和最小 2. 和定积最大：若 （定值，），则 ， 时积最大 四、均值不等式链（万能公式） 【知识点03】一元二次不等式解法 一、正系数不等式解集规律 设方程 两根 1. ：； 2. ：； 3. ：； 二、负系数不等式解法 不等式两边同乘 ，翻转不等号方向，转化为 标准形式求解。 【知识点04】恒成立专项结论 定义域为 ，含参题型必须讨论 一次型情况 1. 恒成立： 2. 恒成立： 【知识点05】三式联动核心逻辑 1. 一元二次方程的根 二次函数零点 一元二次不等式解集分界点； 2. 数形结合核心：函数图像在x轴上方对应函数值为正，x轴下方对应函数值为负； 3. 单元核心逻辑链：等式不等式性质 基本不等式最值求解 二次三式数形转化综合应用。 易错点1：不等式性质滥用、条件遗漏 典型误区：无条件随意进行乘方、开方、相乘、取倒数变形。 精准纠错：不等式多数变形必须要求正数条件，负数、零不满足通用性质。 1. 不能推出 ，仅 方可成立； 反例：，但 。 2. 只能同向可加，不可直接相减、相乘； 同向相乘仅适用于 。 易错点2：倒数性质不分正负、统一变形 典型误区：认为只要 ，就有 。 精准纠错：正负区间规律完全不同，极易丢分。 1. 同为正数： 2. 同为负数： 3. 一正一负：正数倒数恒大于负数倒数，无需比较大小。 易错点3：不等式范围叠加过度、放大误差 典型误区：已知变量双向范围，多次叠加导致取值范围扩大失真。 精准纠错：求代数式取值范围，禁止反复同向加减，优先用待定系数法，避免范围放大。 易错点4忽略“一正二定三相等”核心前提（最高频失分） 典型误区：不判断正负、不验证定值、不检验等号，直接套用公式求最值。 精准纠错 1. 一正：仅对正数成立；若 ，必须提负号转化为正数求解，严禁直接套用。 2. 二定：必须满足和定或积定为定值，无定值无法用基本不等式求最值。 3. 三相等：必须验证 在定义域内可取，若等号取不到，最值失效，需用单调性求解。 易错点5连续多次使用基本不等式求最值 典型误区：一道题多次套用基本不等式，默认最值成立。 精准纠错：多次连用必须保证两次等号成立条件一致，否则无法取到最值，答案无效。 易错点6混淆和定积最大、积定和最小 口诀纠错：和定积最大，积定和最小；定值对象不同，最值结论完全相反，严禁记混。 1. 和定（定值）：，积有最大值 2. 积定 （定值）：，和有最小值 易错点7重要不等式与基本不等式混用 精准区分 1. ：全体实数成立，无正负限制； 2. ：仅正实数成立，有严格前提。 易错点8二次项系数为负，不变号直接求解 最高频考场失分点 典型误区： 时直接套用开口向上解集规律，区间完全相反。 精准纠错：解二次不等式第一步必须化正系数，两边同乘 ，不等号反向，再判断解集。 易错点9解集开闭区间混淆、等号错配 精准规则 1. ：无等号，取开区间； 2. ：有等号，取闭区间； 3. 重根处，不可取等时需剔除单点。 易错点10参恒成立遗漏一次型讨论 典型误区：恒成立问题直接列，漏掉一次型情况。 精准纠错：含参二次式恒成立，必须优先讨论 （常数、一次函数），再讨论二次型，漏讨论直接丢全分。 【题型一】不等式性质的应用 【典例1-1】（25-26高一上·陕西安康·期末）若，，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选）（25-26高一上·湖北·期中）若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）已知实数，，满足，且， 则下列结论中正确的是______. ①    ② ③     ④ 【变式1-3】（25-26高一上·海南·阶段检测）（1）若，，求证：. （2）已知“，”. （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 【题型二】基本不等式求积的最大值与求和的最小值 【典例2-1】（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2-2】（25-26高一上·河南周口·期末）已知，则函数的最小值为________. 【典例2-3】（25-26高一上·山西晋城·期末）（1）已知，求的最小值； （2）求的最大值． 【变式2-1】（25-26高一下·云南玉溪·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【变式2-2】（25-26高一上·贵州黔东南·期末）已知都是正实数，若，则的最大值为___________． 【变式2-3】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【题型三】条件等式求最值 【典例3-1】（25-26高一上·浙江·期末）若正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 【变式3-2】（多选）（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A．ab的最小值是 B．的最小值为8 C．的最小值为2 D．此方程有且仅有3组整数解 【变式3-3】（25-26高一上·江苏苏州·期中）若，，且． (1)求的取值范围； (2)求的最小值． 【题型四】基本不等式“1”的妙用求最值 【典例4-1】（25-26高一上·山西朔州·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式4-1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知正实数x，y满足，则的最小值为________． 【变式4-2】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知正实数满足 (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【变式4-3】（25-26高一上·新疆塔城·阶段检测）（1）已知，求的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 【题型五】基本(均值)不等式的应用 【典例5-1】（25-26高一上·山东枣庄·期末）已知，，都是正数，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．8 D．9 【变式5-1】（25-26高一上·辽宁大连·期中）设矩形（其中）的周长为12，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点．设，求的最大面积为__________． 【变式5-2】（多选）（25-26高一上·山东淄博·期中）设正实数m，n满足， 则 （   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【变式5-3】（25-26高一上·新疆·期末）设，则求 的最大值. 【题型六】解一元二次不等式 【典例6-1】（25-26高一下·湖南·期末）不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）若，则关于的不等式的解集为____． 【典例6-3】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）求出下列不等式的解集 (1) (2) 【变式6-1】（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·广西河池·期中）求函数的解集__________. 【变式6-3】（25-26高一上·宁夏中卫·阶段检测）已知关于的不等式：. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集. 【题型七】由一元二次不等式的解确定参数 【典例7-1】（25-26高一上·云南曲靖·期末）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·云南昭通·期末）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的值为________． 【变式7-2】（多选）（25-26高一上·河南郑州·期中）已知，且关于的不等式恰有4个整数解，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 【题型八】一元二次不等式的恒成立问题 【典例8-1】（25-26高一上·吉林·期末）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例8-2】（25-26高一上·重庆开州·阶段检测）已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为________. 【典例8-3】（25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【变式8-1】（25-26高一上·广西崇左·期末）“”是“不等式对恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是___________． 【变式8-3】（25-26高一上·山东泰安·期末）已知函数 . (1)当时，解不等式； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围. 一、等式与不等式性质 核心小结 1. 等式基本性质 若 ，则 、、，为等价恒等变形，无限制条件。 2. 不等式核心性质（易错重点） 基础恒成立：对称性、传递性 、同向可加 ； 符号限制变形（仅 成立）：可乘、乘方 、开方 ； 倒数规律：，； 禁忌点：不等式不可随意相减、相乘、平方，变形优先作差法判定大小：。 二、基本不等式 核心考点小结 1. 两大核心公式 重要不等式（全体实数通用）：，当且仅当 取等号； 基本不等式（正实数专属）：，当且仅当 取等号。 2. 解题必备三条件：一正、二定、三相等 一正：变量必须为正数，负数需换元转正；二定：和或积为定值，无定值需配凑构造；三相等：必须验证等号在定义域内可取。 3. 最值核心结论 积定和最小：（定值）； 和定积最大：（定值）。 三、一元二次不等式 解题小结 1. 标准化解题步骤 移项归零 → 二次项系数化为正数 → 计算判别式、求解方程根 → 结合函数图像判定解集。 2. 通用解集规律 ： 解集为两根外侧， 解集为两根中间； ：大于0解集为全体实数（除顶点），小于0无解； ：大于0恒成立，小于0无解。 四、单元核心逻辑与避坑总结 1. 三式联动关系：二次函数零点 方程实根 不等式解集分界点； 2. 核心思想：数形结合、分类讨论、等价转化、函数方程思想； 3. 高频易错：不等式变形不看符号、基本不等式不验等号、韦达定理不判、恒成立遗漏 讨论、区间最值只看顶点。 一、单选题 1．（25-26高一上·山西吕梁·期末）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·四川泸州·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 3．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 4．（25-26高一上·西藏昌都·期中）关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖北十堰·期末）设条件p：；q：，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一下·甘肃平凉·开学考试）（多选）已知实数，，，，则下列命题中错误的是（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 10．（25-26高一下·浙江衢州·期末）若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 11．（25-26高一上·湖北孝感·期中）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 12．（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，且，则的最小值为____________. 13．（25-26高一上·山东菏泽·期中）关于的不等式组的最小整数解为0，则的取值范围是___________. 14．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知正实数满足，则恒成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题 15．（25-26高一上·黑龙江辽宁·阶段检测）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 16．（25-26高一上·湖南长沙·期末）设实数x，y满足． (1)若，求实数的取值范围； (2)当x，y均为正实数时，求的最小值，并求取得最小值时的值． 17．（25-26高一上·重庆·期末）设矩形的周长为，把三角形沿折叠，折叠后与交于点. (1)设，用表示三角形面积，并写出的取值范围； (2)求三角形面积最大值及相对应的值. 18．（24-25高一下·福建福州·阶段检测）已知函数 (1)若的解集为，求实数a，c的值； (2)若，求不等式的解集； (3)若且，求的最小值． 19．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知函数在区间上有最大值4和最小值1． (1)求a，b的值； (2)若存在，对任意的都成立；求m的取值范围； (3)设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $