专题03实数（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材浙教版
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精品
内容正文：
专题03 实数
01 期中考情透视
02 复习目标锚定
03 知识体系构建
04 核心考点精讲
考点一 平方根
考点二 立方根
考点三 实数及运算
05 重难题型突破
题型一 平方根的概念
题型二 平方根的计算
题型三 算术平方根计算
题型四 算术平方根的双重非负性
题型五 立方根的概念
题型六 立方根的计算
题型七 实数的分类
题型八 平方根的应用
题型九 立方根的应用
题型十 实数与数轴的关系
题型十一 无理数的大小比较
题型十二 实数的混合计算
题型十三 已知平方根求未知数
题型十四 实数的整数部分与小数部分
题型十五 新定义下的实数运算
06 限时分层演练
基础固本练 / 综合进阶练
考点与题型
本章概念密集，命题多为“判断＋求值＋估算”三件套：平方根与算术平方根、立方根的概念与求法；无理数的判断与实数的分类；实数与数轴上的点一一对应（如估计 在哪两个整数之间、在数轴上标出 ）；实数的混合运算（如 ）；非负性的应用（几个非负数之和为 0）。题型以选择、填空为主，解答题多为实数运算，约占 18%—25%。
难易度
难度系数约 0.70，基础概念题为主，中档题集中在估算、非负性综合与 的灵活运用。平方根、算术平方根、立方根三个概念常在同一道选择题中同时出现，是全章失分率最高的位置；本章属于“一听就懂、一做就错”的章节，复习应以概念辨析和易错清单为主，不宜盲目刷题。
识记
① 能说出平方根、算术平方根、立方根的定义与符号表示 、、，知道被开方数的取值范围（ 中 ；负数没有平方根但有立方根）。
② 能说出无理数的定义与常见类型：开方开不尽的数、 及含 的式子、有规律但不循环的小数。
③ 记住常用结果：、、、、、、。
理解
① 理解 与 的区别与联系，能解释为什么 。
② 理解平方根的双重性与算术平方根的唯一性：正数有两个互为相反数的平方根， 的平方根是 ，负数没有平方根。
③ 理解估算的依据（用相邻的完全平方数夹逼）与“几个非负数之和为 0，则每一个都为 0”的理由。
应用
① 能正确求一个数的平方根、算术平方根、立方根，并化简 、 一类的式子。
② 能估算无理数的范围，如由 得 ，并在数轴上表示 一类的数、比较实数大小。
③ 能完成实数的混合运算，如 ，做到先化简、后合并。
④ 能运用非负性解决综合问题，如由 求出 、 的值。
考点一 平方根
算术平方根
（1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”,
（2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a,
（3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。
平方根
（1）定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”,
（2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”,
（3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。
开平方
（1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数；
（2）
（1）
（2）
⚠️易错易混
的联系与区别
区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a；
被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a；
运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。
联系：结果为非负数；中a≧0时，=
考点二 立方根
立方根的定义
1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
⚠️概念辨析
一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
2：立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
立方根的性质
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
考点三 实数及运算
1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数.
2.实数的分类
按定义分： 按与0的大小关系分：
实数 实数
3.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
实数的运算
1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。
2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
题型一 平方根的概念
【例1】（21-22七年级下·山东德州·阶段检测）的平方根是（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】D
【详解】解：∵任意实数的平方为非负数，
∴不存在平方后等于的实数，即没有平方根．
💡破题要诀
① 定义先行：若 ，那么 就叫做 的平方根。
② 记牢个数：正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
③ 符号辨析： 表示两个平方根，而 只表示其中非负的那个。
④ 求平方根时答案要写成「某数」，只写一个就是漏解。
⑤ 判断有无平方根，只需看被开方数是否为负数。
迁移应用
【变式1-1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列式子能正确表示并计算“64的平方根”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方根的定义，先判断表示形式，再验证计算结果．即正数的平方根表示为，是算术平方根，是立方根．
【详解】解：64的平方根需表示为，A、C、D均不符合该形式．
∵，
∴，选项B正确．
【变式1-2】（25-26七年级下·青海西宁·期末）若实数没有平方根，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵实数没有平方根,
∴.
故选项中只有满足条件.
【变式1-3】（25-26七年级下·广西贺州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．是的算术平方根
C． D．负数有平方根
【答案】B
【分析】根据平方根与算术平方根的定义，逐一判断各选项即可得到结果．
【详解】解：选项A：的平方根是，A错误；
选项B：是的算术平方根，B正确；
选项C：，C错误；
选项D：负数没有平方根，D错误．
题型二 平方根的计算
【例2】（25-26七年级下·黑龙江双鸭山·期末）下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平方根及算术平方根的定义，逐一判断即可得出答案．
【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意，
B．，故该选项错误，不符合题意，
C．，故该选项错误，不符合题意，
D．，故该选项正确，符合题意．
💡破题要诀
① 先把被开方数化成完全平方数的形式：。
② 核心结论：，必须加绝对值，不能想当然写成 。
③ 小数先化成分数（或配成 ），分数化成假分数后再开方。
④ 记住常用值：、、、、。
⑤ 开不尽的直接保留根号形式，不要写成小数近似值。
迁移应用
【变式2-1】（21-22七年级下·吉林·阶段检测）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先排除被开方数为负的无意义选项，再根据平方根、算术平方根的定义判断其余选项．
【详解】解：A、，故A正确；
B、，故B错误；
C、的被开方数小于0，无意义，故C错误；
D、，故D错误．
【变式2-2】（25-26七年级下·辽宁大连·期末）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
∴的平方根是．
【变式2-3】（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）若一个数的一个平方根是2026，则它的另一个平方根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平方根的基本性质，一个正数的两个平方根互为相反数，利用该性质可直接求解．
【详解】∵ 一个正数的两个平方根互为相反数， 这个数的一个平方根是，
∴ 它的另一个平方根是．
题型三 算术平方根计算
【例3】（2026八年级上·全国·专题练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：表示的算术平方根. ∵， ∴．
💡破题要诀
① 表示 的那个非负平方根，结果一定 ，这是检验标准。
② 估算范围：找到被开方数落在哪两个相邻完全平方数之间， 就落在对应两整数之间。
③ 单调性：被开方数越大，算术平方根也越大，可用来比较大小。
④ 化简时把完全平方因子提出来，如 ，化为最简二次根式。
⑤ 结果一律不写「」，看到自己写了 就要警觉。
迁移应用
【变式3-1】（21-22七年级下·江苏南通·开学考试）的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：
的算术平方根是．
【变式3-2】（25-26七年级下·江西宜春·期末）的算术平方根是____________．
【答案】2026
【分析】根据算术平方根的定义，先计算乘方结果，再求出其正的算术平方根即可．
【详解】解：，
所以的算术平方根是2026．
【变式3-3】（21-22七年级下·四川德阳·期中）的算术平方根是______，的平方根是______．
【答案】
【详解】解：∵ ，算术平方根为非负数，
∴ 的算术平方根是；
∵，
的平方根是，
即的平方根是．
题型四 算术平方根的双重非负性
【例4】（21-22七年级下·吉林·阶段检测）如果x是一个实数，那么能使也是一个实数的x（ ）
A．只有1个 B．只有2个 C．不存在 D．有无数个
【答案】A
【分析】由二次根式有意义的条件及平方的非负性，确定被开方数只能为0．
【详解】解：要使为实数，需，
∴
∵，
∴，
解得，
即满足条件的x只有1个．
💡破题要诀
① 写出两条限制：被开方数 ；算术平方根本身 。
② 求取值范围时，把每个根式的被开方数都列成不等式，取公共部分。
③ 黄金结论：若 ，则必有 且 。
④ 推广：几个非负数（根式、绝对值、平方）之和为 0，则每一个都等于 0——这是压轴题的常见入口。
⑤ 解出字母后必须代回原式检验是否满足所有非负条件。
迁移应用
【变式4-1】（21-22九年级下·江苏连云港·阶段检测）若x，y为实数，且，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性求解，当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，先求出x，y的值，再代入所求式子计算即可．
【详解】∵，，且，
∴，，
解得：，，
故 ．
【变式4-2】（25-26七年级下·云南曲靖·期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】利用非负数的性质求出与的值，然后计算的值即可．
【详解】解：，
∵，，
∴，且，
∴，，
∴．
【变式4-3】（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）若，则的平方根是__________．
【答案】
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，先求出的值，再计算，最后求的平方根即可．
【详解】解：算术平方根和绝对值都是非负数，且
∴
，
解得，
的平方根为．
题型五 立方根的概念
【例5】（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）下列说法正确的是（ ）
A．正数的算术平方根一定比它本身小
B．0的平方根和立方根都是0
C．一个数的算术平方根一定是正数
D．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根
【答案】B
【分析】结合平方根、算术平方根、立方根的定义，通过举特殊值反例判断选项正误.
【详解】解：∵正数的算术平方根为，与本身相等；正数的算术平方根为，，
∴A错误；
∵的平方根和立方根都是，
∴B正确；
∵的算术平方根是，不是正数，
∴C错误；
∵负数有立方根，但负数没有平方根，
∴D错误.
💡破题要诀
① 定义先行：若 ，那么 就叫做 的立方根，记作 。
② 任何实数都有且只有一个立方根——这是与平方根最大的不同。
③ 符号规则：正数的立方根为正，负数的立方根为负，0 的立方根是 0，与被开方数同号。
④ 恒等式：，负号可以直接提出来。
⑤ 立方根的结果只有一个，绝对不能加「」。
迁移应用
【变式5-1】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列关于平方根、算术平方根、立方根的说法，正确的是（ ）
A．算术平方根等于本身的数只有0
B．平方根等于本身的数是0和1
C．立方根等于本身的数是0和
D．负数没有立方根
【答案】C
【分析】根据平方根、立方根的定义依次验证4个选项．
【详解】解：A、算术平方根等于本身的数是0和1，故A项不符合题意；
B、平方根等于本身的数只有0，故 B项不符合题意；
C、立方根等于本身的数是0和，故C项符合题意；
D、负数有立方根，故D项不符合题意．
故答案为C．
【变式5-2】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）有下列说法：
①平方根是它本身的数有，；
②算术平方根是它本身的数有，；
③立方根是它本身的数有，，；
④如果一个数的负的平方根等于它的立方根，那么这个数是或．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】C
【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的基本概念逐一判断每个说法的正误即可得到答案．
【详解】解：① 平方根是本身的数：∵ 的平方根是 ，不等于它本身，只有 的平方根是它本身，∴①错误；
② 算术平方根是本身的数：∵ 的算术平方根是 ， 的算术平方根是 ，∴算术平方根是本身的数是 和 ，∴②正确；
③ 立方根是本身的数：∵ ，，，∴立方根是本身的数有 ，，，③正确；
④ 若一个数的负的平方根等于它的立方根：∵负数没有平方根， 不存在平方根，只有 满足条件，∴④错误．
综上，正确的说法是②③．
题型六 立方根的计算
【例6】（25-26七年级下·广西桂林·期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：，
，即．
💡破题要诀
① 先把被开方数化成立方数的形式：。
② 核心结论：，这里不需要加绝对值（与平方根不同）。
③ 记住常用值：、、、、。
④ 负数直接提负号：。
⑤ 带分数先化假分数，小数先化分数再开立方。
迁移应用
【变式6-1】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先需要找到哪个数的立方等于，计算结果即可．
【详解】解：，
，
．
【变式6-2】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）的立方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴的立方根是．
【变式6-3】（25-26七年级下·四川成都·期末）25的算术平方根是________，的立方根是________．
【答案】
【分析】根据算术平方根和立方根的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴25的算术平方根是5，的立方根是．
题型七 实数的分类
【例7】（21-22七年级下·甘肃金昌·期末）下列实数中的无理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】无理数即无限不循环小数，掌握常见无理数的类型即可解题．
【详解】解：A选项：是有限小数，属于有理数，故A选项不符合题意；
B选项：是分数，属于有理数，故B选项不符合题意；
C选项：是无限不循环小数，属于无理数，故C选项符合题意；
D选项：，是整数，属于有理数，故D选项不符合题意．
💡破题要诀
① 按定义分：实数 = 有理数 + 无理数；有理数 = 整数 + 分数。
② 无理数的三种常见外衣：开不尽方的根式、含 的式子、有规律但不循环的构造小数。
③ 凡是能化为分数（有限小数、循环小数）的都是有理数，不要被根号外形骗了。
④ 按符号分：正实数、0、负实数，两种分类标准不可混用。
⑤ 判断时先算实际值： 是有理数， 是无理数。
迁移应用
【变式7-1】（25-26七年级下·云南德宏·期末）下列实数中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据无理数的定义判断各选项．
【详解】解：对于选项A：，是整数，不是无理数，故A错误；
对于选项B：是无限不循环小数，属于无理数，故B正确；
对于选项C：是分数，不属于无理数，故C错误；
对于选项D：是整数，不属于无理数，故D错误．
【变式7-2】（25-26七年级下·天津津南·期末）下列四个数中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断整数为有理数，再验证带根号的数是否开方开尽．
【详解】解：∵ ，，是整数，
∴ 这三个数是有理数，
∴B选项，C选项，D选项不符合题意；
∵ 开方开不尽，
∴是无理数．
【变式7-3】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）把下列各数相应的序号填入对应的括号内：①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨
①正有理数集合：{_________…}；
②负整数集合：{_________…}；
③正分数集合：{_________…}；
④非负整数集合：{_________…}．
【答案】
⑤⑥⑦⑨；①③；⑤⑥⑨；②⑦
【分析】先化简所有给出的数，再根据数的分类定义将序号填入对应集合．
【详解】解：先化简各数：，，
其余数无需化简，根据数的分类定义整理得：
正有理数是大于0的有理数，是无理数，因此正有理数有：⑤⑥⑦⑨ ；
负整数是小于0的整数，因此负整数有：①③ ；
正分数是大于0的分数，有限小数和无限循环小数都属于分数，因此正分数有：⑤⑥⑨ ；
非负整数包含0和正整数，因此非负整数有：②⑦ ．
题型八 平方根的应用
【例8】（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）升降阻车器是一种高安全设备，用于隔离车辆，实现交通管制和人车分流．已知一个圆柱形升降阻车器的体积是，高是，则这个升降阻车器的底面半径为______．（取）
【答案】
【分析】已知圆柱体积、高和的取值，利用圆柱体积公式列方程求解底面半径即可．
【详解】解：设这个升降阻车器的底面半径为，
将，，，代入公式得，
化简得，
，
∵半径为正数，
∴．
💡破题要诀
① 先建方程：正方形 ，圆 。
② 再开方：，实际问题中取正值。
③ 注意单位：面积单位是平方单位，开方后长度单位要开方（如 → m）。
④ 结果检验：边长、半径必须为正，且量级要符合实际。
⑤ 若题目要求估算，先用夹逼法确定整数部分，再按要求取近似值。
迁移应用
【变式8-1】（25-26七年级下·广东江门·期中）小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为．
(1)请你帮小明求出纸片的长和宽；
(2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由．
【答案】(1)
长为，宽为.
(2)
解：不能裁出想要的正方形纸片，理由如下：
∵原长方形纸片的宽为，
∴用这张纸片裁出一个正方形纸片，则面积的最大值为，
∵，
∴小明不能够裁出想要的正方形纸片．
【分析】（1）根据长宽比设未知数，列方程求解得到长和宽；
（2）通过比较面积大小判断能否裁出．
【详解】（1）解：设长方形纸片的长为，宽为，其中
由题意得：
整理得，即
因为长度为正，所以舍去负值，得
因此长为，宽为；
（2）略
【变式8-2】（25-26九年级下·陕西榆林·期中）靖边剪纸是陕西非物质文化遗产，是陕北黄土文化的鲜活载体．现有一块长、宽比为的长方形红纸，红纸的面积是．
(1)求红纸的长和宽；
(2)王阿姨想要在这块红纸上剪出一幅面积为的圆形马年窗花（如图），试通过计算说明，她能够完整剪出来吗？（取3）
【答案】(1)红纸的长为，宽为
(2)能够剪出来，计算过程见解析
【分析】（1）设红纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可；
（2）设完整的圆形剪纸的半径为，由题意易得，进而求解即可．
【详解】（1）解：设红纸的长为，宽为，根据题意，得：
，
，
．
，
，
，
答：红纸的长为，宽为．
（2）解：能够剪出来．
设完整的圆形剪纸的半径为，
则．
取3，
，
解得（负值已舍去），
，
她能够完整剪出来．
题型九 立方根的应用
【例9】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由图1表面积求棱长及体积，再由体积差求图2体积及棱长，最后求图2表面积．
【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为，
图1正方体表面积为，
，
解得，
图1正方体体积为，
图2正方体体积比图1大，
图2正方体体积为，
，
解得，
图2正方体表面积为．
💡破题要诀
① 先建方程：正方体体积 。
② 再开立方：，实际问题取正值。
③ 分清三个公式：体积 、表面积 、棱长和 ，别混用。
④ 单位统一后再开方，体积单位与长度单位是三次方关系。
⑤ 结果检验：棱长为正，且代回体积公式能还原已知量。
迁移应用
【变式9-1】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）王师傅有一个体积为的铁块原料，他将这个铁块熔化并重新锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为．则制作成的每一个小正方体铁块的棱长为_________．
【答案】
【分析】原铁块总体积减去余料体积等于三个小正方体的体积和，据此列方程求解即可得到小正方体的棱长．
【详解】解：设制作成的每一个小正方体铁块的棱长为，
根据题意，得 ，
整理得 ，
解得，
因此制作成的每一个小正方体铁块的棱长为．
【变式9-2】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数）
【答案】9
【分析】根据题意可知，水位升高部分的圆柱体体积等于正方体的体积，根据圆柱和正方体的体积公式列方程，再利用立方根的意义求解，最后对结果取整数即可.
【详解】解：设正方体的棱长为，
由题意得，，
将代入，
可得：，
，
，
正方体的棱长为．
题型十 实数与数轴的关系
【例10】（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，数轴上有，，，四个点，则（ ）
A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是
C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是
【答案】C
【分析】观察数轴确定各点的大致取值范围，结合无理数估算进行判断即可．
【详解】解：由数轴可知，点表示，点在与之间，点在与之间且靠近，点在与之间，
，
点不可能是，故A 错误；
，
，
点不可能是，故B 错误
，
，且靠近，
点可能是，故C正确，
靠近，与点位置不符，故D 错误．
💡破题要诀
① 记住根本结论：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反之亦然（一一对应）。
② 作 的点常用「勾股法」：以两直角边为 1 和 构造直角三角形，斜边即 。
③ 比较大小时用平方法：若 、，则 等价于 。
④ 确定 落在哪两个整数之间，就找到了它在数轴上的大致位置。
⑤ 数轴上没有「空隙」——有理数之间填满了无理数。
迁移应用
【变式10-1】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由数轴得，，再利用实数的加减乘除运算法则逐项判断即可．
【详解】解：由数轴得，，
∴，，，，
故选项A、B、C正确，不符合题意，选项D错误，符合题意．
【变式10-2】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：正方形的面积为10，
正方形的边长为，
点E表示的数为．
【变式10-3】（21-22七年级下·河南信阳·阶段检测）如图，数轴上点N表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先估算所给选项中的实数范围，再根据数轴上点N表示的数的范围即可解答．
【详解】解：∵，，，，
∴数轴上点N表示的数可能是．
题型十一 无理数的大小比较
【例11】（2026·山东威海·三模）在实数，，，3中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】根据，，，确定绝对值的大小，根据实数的大小比较，求解即可．
【详解】解：3是正数，，，均为负数，
∵正数大于负数，
∴3是最大的数；
，，的绝对值分别为，，，且，，，
∵，
∴，
∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，
∴，
故是最小的．
💡破题要诀
① 估算法：先确定每个根式落在哪两个相邻整数之间，区间不重叠就能直接比。
② 平方法（最常用）：两个正数分别平方，平方大的原数大；负数则相反。
③ 移入根号法：把根号外的正因数平方后移进根号，化成 与 再比被开方数。
④ 作差法：两数相减判正负，适用于一个有理数一个根式的情形。
⑤ 近似值法：取到足够精度（一般 3～4 位）再比，只作最后手段。
迁移应用
【变式11-1】（26-27七年级上·云南·期中）比较大小： ______（填“”、“”或“”）．
【答案】
【分析】对于非负数，如果，那么，据此判断两个绝对值的大小关系，根据两个负数比较大小的规则，结合绝对值的大小关系，得出两个负数的大小关系即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
【变式11-2】（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）比较大小：_____3．（选填“”“”或“”）
【答案】
【分析】两个正数比较大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小得到原数的大小关系．
【详解】解： ，，且 ，，
∵，
∴．
【变式11-3】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）比较大小：______1．（填“”或“”）
【答案】
【分析】通过变形将问题转化为比较和的大小，利用算术平方根的性质估算即可．
【详解】解：，
，
，
，
．
题型十二 实数的混合计算
【例12】（24-25七年级下·广东湛江·期中）计算：．
【答案】
【详解】解：
．
💡破题要诀
① 顺序照旧：括号 → 乘方与开方 → 乘除 → 加减。
② 先把每个根式化成最简二次根式（提出完全平方因子）。
③ 绝对值先判正负再去掉符号，不要与根式混着处理。
④ 只有同类二次根式（被开方数相同）才能合并，不同类的照抄保留。
⑤ 分母有根式时作分母有理化（乘共轭因式），结果化为最简。
迁移应用
【变式12-1】（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）计算：
【答案】
【详解】解：
．
【变式12-2】（26-27八年级上·江苏·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）利用算术平方根的定义进行计算即可；
（2）利用求一个数的立方根和算术平方根法则进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解： ．
【变式12-3】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）计算：．
【答案】
【详解】解：原式.
题型十三 已知平方根求未知数
【例13】（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）已知一个正数的两个平方根是和，则这个数的值是（ ）
A．4 B． C．36 D．
【答案】C
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得出，求出，再得出答案即可．
【详解】解：由题意得，
解得，
，
这个数为．
💡破题要诀
① 翻译关键句：「某数的平方根是 」⟹ 该数 。
② 「某数的算术平方根是 」⟹ 该数 ，且必须有 。
③ 「某数的两个平方根是 与 」⟹ ，据此列方程（这是最巧的一招）。
④ 「某数的平方根是 与 」⟹ 二者互为相反数，和为 0。
⑤ 解出字母后回代检验：原式的值是否为非负、平方根是否真如题意。
迁移应用
【变式13-1】（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（ ）
A．25 B．16 C．8 D．2
【答案】D
【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数，
∴，，，
解得：．
【变式13-2】（26-27八年级上·山东青岛·开学考试）已知一个数的两个平方根是和，则数是__________．
【答案】
【分析】利用正数的两个平方根互为相反数求出的值，再计算得到.
【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴，
解得 ，
将代入，得，
∴.
【变式13-3】（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）已知一个正数x的两个平方根分别是和，则正数_________．
【答案】
【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴，
整理得，
解得，
∴，
∴．
题型十四 实数的整数部分与小数部分
【例14】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（ ）．
A． B． C． D．6
【答案】A
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
．
💡破题要诀
① 第一步「夹逼」：找到整数 使 ，则 。
② 整数部分就是 ；小数部分 = 原数 - 整数部分 = 。
③ 小数部分必满足 ，这是检验对错的标准。
④ 负实数的小数部分：先求 的小数部分，或用「小数部分 = 原数 - 整数部分」，注意整数部分是向下取整。
⑤ 求 、 这类式子时，先代入展开再化简。
迁移应用
【变式14-1】（21-22九年级上·四川巴中·开学考试）实数的整数部分是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【分析】通过平方数的范围确定无理数的取值区间，从而确定该实数的整数部分．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴的整数部分是．
【变式14-2】（25-26七年级下·湖北十堰·期末）阅读理解：，，
的整数部分为，小数部分为．
，
的整数部分为，的小数部分为．
解决问题：已知是的小数部分，是的整数部分．
求：
(1)，的值；
(2)的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先估算的取值范围，再推出的整数部分与小数部分，小数部分的拆分方法：无理数整数部分+小数部分（小数部分）．
（2）把、代入代数式求值，最后求该结果的平方根．
【详解】（1）解：，
，
两边同时减4：
，即，
根据整数部分定义：的整数部分．
∴；
（2）解：
，
一个正数有两个互为相反数的平方根，
，
的平方根为．
【变式14-3】（25-26七年级下·安徽滁州·期末）我们知道是无理数，且，所以其整数部分是1，于是小明用表示的小数部分．利用上述方法，解决下列问题：
（1）的小数部分是________；
（2）若，其中是整数，且，则的相反数的值是________．
【答案】 / /
【分析】（1）通过放缩法确定的取值范围，即可求解；
（2）先确定的取值范围，得到x，y的值，最后根据相反数的定义求解．
【详解】解：（1） ，
，
的小数部分是；
（2） ，
，
，其中是整数，且，
，，
，
的相反数的值是．
题型十五 新定义下的实数运算
【例15】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）现对实数，定义一种运算：，则等于（ ）
A． B． C．2 D．6
【答案】B
【分析】此题考查实数的混合运算，掌握规定的运算方法是解决问题的关键．根据给出的运算方法把式子转化为实数的混合运算，进一步计算得出答案即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选B．
💡破题要诀
① 先「翻译定义」：把新符号写成普通算式，弄清它对应哪些已学运算。
② 再「查有意义」：代入前检查被开方数是否 、分母是否 。
③ 计算时按常规运算顺序，含括号的先算括号。
④ 若定义中带参数，先按要求求出参数再代入计算。
⑤ 结果化为最简，并代回定义检验一次。
迁移应用
【变式15-1】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）对于正有理数，运算“*”定义为，则=________．
【答案】
【分析】本题主要考查新定义、有理数的混合运算等知识点，理清题意、理解所给运算法则是解题关键．
先根据新定义运算法则列式，然后再跟进有理数混合运算法则计算即可．
【详解】根据题意，
,
由此
．
故答案为：
【变式15-2】（25-26七年级上·浙江·单元复习）对于实数a，b，定义运算：“*”，运算规则为．
(1)计算：；
(2)填空： （填“”“”或“”）；
(3)我们知道：实数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）的计算结果，你认为这种运算“*”是否满足交换律？若满足，请说明理由．
【答案】(1)
(2)＝
(3)解：满足
理由如下：
∵对于实数，
，
∴这种运算“”满足交换律
【分析】本题主要考查立方根，平方根的运算，新定义的运算，关键在于读懂新定义的运算规则及运算模式进行套用即可．
（1）即可计算；
（2）根据题意的运算规则，即可进行判断；
（3）对于实数，则交换，位置有．
【详解】（1）解：；
（2）解：由运算规则得，
，
，
故，
故答案为：＝；
（3）略
【变式15-3】（24-25七年级下·吉林长春·期中）设、为有理数，定义一种新的运算．．
例如：．
(1)计算：．
(2)若，求的值．
【答案】(1)15
(2)或
【分析】本题考查的是新定义运算的含义，熟练掌握新定义，有理数混合运算，平方根，是解题的关键．
（1）根据题目所给的新定义进行运算即可；
（2）根据题目所给的新定义建立方程，求平方根即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：∵，
且，
∴，
解得或．
基础固本练（限时：15分钟）
1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）①实数与数轴上的点一一对应；②近似数万精确到百分位；③立方根是它本身的数是0，1；④对于任意一个实数，都可以用表示它的倒数；⑤任何无理数都是无限小数；⑥小明的身高约为米，则他身高的准确值的范围是米米．以上正确的有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了实数的性质，近似数等，根据定义和性质逐个判断即可．
【详解】解：①实数与数轴上的点一一对应，正确；
②近似数万表示36100，精确到百位，而非百分位，错误；
③立方根是它本身的数有0、1、，错误；
④当时，没有倒数，错误；
⑤无理数是无限不循环小数，因此都是无限小数，正确；
⑥近似数米精确到十分位，准确值a的范围为米米，正确．
∴ 正确陈述为①、⑤、⑥，共3个．
故选：B
2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）下列整数中与最接近的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的大小估算．先整理，再结合，即，所以与最接近的整数是3，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
即与最接近的整数是3，
故选：B．
3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）在，，，这四个数中，为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查实数的分类，判断无理数的性质是解题的关键．
无理数是无限不循环小数，分别判断每个数是否为无理数即可．
【详解】∵ 无理数不能表示为分数形式，
∴ 检查各数：
选项A：不是完全平方数，所以是无理数，符合题意；
选项B：是分数，是有理数，不符合题意；
选项C：是整数，是有理数，不符合题意；
选项D：，是有理数，不符合题意；.
故选：A．
4．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，将边长为2的正方形各边四等分，把一长度为的绳子一端固定在点A处，并沿逆时针方向缠绕正方形，则另一端点E将落在下列哪条线段上（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了无理数的估算，由题意得到是解题的关键．
由题意可得，进而得到，再结合即可解答．
【详解】解：∵正方形的边长为2，
∴，
∴，
∵，
∴另一端点E将落在线段上．
故选：D．
5．（25-26七年级上·浙江金华·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了乘方、算术平方根、绝对值的定义和运算法则，准确的计算是解决本题的关键．
依据乘方、算术平方根、绝对值的定义和运算法则逐一验证每个选项的运算是否正确．
【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意；
B、，该选项正确，符合题意；
C、，该选项错误，不符合题意；
D、，该选项错误，不符合题意．
故选B．
6．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在，，中，无理数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查无理数、算术平方根及立方根，熟练掌握无理数、算术平方根及立方根是解题的关键；通过判断每个数是否为无理数（即无限不循环小数）来确定个数．
【详解】解：∵有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，
∴，有限小数，有理数；
是无限不循环小数，无理数；
是无理数；
，分数，有理数；
，36不是完全立方数，故是无理数；
是有限小数，有理数；
，整数，有理数；
∴无理数有、、，共3个；
故选C．
7．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图为钱外同学的小测卷，他的得分应是（ ）
姓名：钱外 得分：_____
填空题每小题25分，共100分
①2的相反数是；
②绝对值等于本身的数是0和1；
③8的立方根是2；
④16的平方根是4．
A．25分 B．50分 C．75分 D．100分
【答案】B
【分析】本题主要考查相反数、绝对值、立方根及平方根，熟练掌握相反数、绝对值、立方根及平方根是解题的关键；根据相反数、绝对值、立方根和平方根的定义判断各题正误，然后计算得分即可．
【详解】解：∵ ①2的相反数是，正确；
②绝对值等于本身的数是非负数（如0、1、2等），不止0和1，错误；
③8的立方根是2，正确；
④16的平方根是，不止4，错误；
∴正确题数为2个，得分为分；
故选B．
8．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）4的平方根为，的立方根为，则的值为________．
【答案】或
【分析】此题考查平方根、算术平方根、立方根，解题关键在于掌握平方根、算术平方根、立方根的基本运算，特别注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．根据平方根、算术平方根、立方根的意义可得，然后分两种情况进行计算即可解答．
【详解】解：∵4的平方根是x，的立方根是y，且，
∴，
∴当时，；
当时，；
综上所述：的值为或．
故答案为：或．
9．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）______ ；的立方根是______ ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根，立方根的计算，根据立方根和平方根的定义，直接计算的值，以及先计算的值再求其立方根即可，解题的关键是掌握平方根和立方根的求解过程．
【详解】解：由；
∵，
∴的立方根是，即的立方根是，
故答案为：，．
10．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接．
，，，
【答案】
在数轴上表示各数如图：
【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，先化简各数，确定无理数的范围，进而在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
由数轴可知：．
11．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）计算：
(1)；
(2)
(3)；
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了含有乘方的有理数混合运算、立方根的计算和算术平方根的计算，结合绝对值计算是解题的关键．
（1）利用有理数加减运算法则计算即可；
（2）利用乘法分配律计算即可；
（3）先算乘方，再算乘除，最后算加减；
（4）利用二次根式的性质、绝对值性质和求一个数的立方根计算即可；
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
12．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在数轴上表示下列有理数，并用“”连接．
【答案】
在数轴上表示下列有理数，如图所示：
，
用“”连接如下：．
【分析】本题考查用数轴上的点表示实数、用数轴比较实数大小，熟记数轴上点表示实数的方法及数轴性质是解决问题的关键．
先在数轴上表示出各个实数，再由数轴性质：数轴右边点表示的数比左边点表示的数大，比较实数大小即可得到答案．
【详解】解：
综合进阶练（限时：15分钟）
1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（ ）（式子中的“”，“”依次相间）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，正确理解新定义的含义．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论．根据的定义，将式子按的值分组，每组内符号交替，分别计算每组和再求和．
【详解】解：，，
、这个数等于1，
，，
到有个数等于2，
，，
到共有个数等于3，
，
，，
到之间工有个数等于44，
．
故选：C．
2．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于的最大整数），称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，，这时候结果为．只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大值与最小值之差_____．
【答案】239
【分析】本题主要考查对新定义运算的理解和运用，以及对平方根和取整运算的掌握．解题关键在于理解根整数的定义，通过分析连续求根整数运算的过程，找出满足进行次连续求根整数运算后结果为的正整数的取值范围，进而确定最大值和最小值．只需找到进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数的最小值和最大值，并计算其差值即可求解．
【详解】根据操作定义，进行次操作后结果为，且前两次操作结果均不为．第二次操作结果必须为2或3．
当时，则第一次操作结果，对应的取值范围为：
时，，且为整数；
时，，且为整数；
时，，且为整数；
时，，且为整数；
时，，且为整数；
综上，，且为整数．
当时，，对应的取值范围为：
时，，且为整数；
时，，且为整数；
时，，且为整数；
时，，且为整数；
时，，且为整数；
时，，且为整数；
时，，且为整数；
综上，，且为整数．
因此，所有满足条件的的取值范围为，最小值为，最大值为，差值为．
故答案为．
3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知表示不大于的最大整数，如，则_______．_______．
【答案】 2 203
【分析】本题主要考查了新定义，无理数的估算，对于第一空估算出的取值范围即可得到答案；对于第二空，设m为正整数，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，分别求出这6种情形下满足题意的m的个数，再计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
设m为正整数，
当时，，满足题意的m有1，2，3，共3个，
当时，，满足题意的m有4，5，6，7，8，共5个，
当时，，满足题意的m有9，10，11，12，13，14，15，共7个，
当时，，满足题意的m有16，17，18，19，20，21，22，23，24，共9个，
当时，，满足题意的m有25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，共11个，
当时，，满足题意的m有36，37，38，39，40，41，42，43，44，45，46，47，48，共13个，
∴
，
故答案为：2；．
4．（25-26七年级上·浙江丽水·期中）若将一个棱长为10的立方体的体积减小V，而保持立方体形状不变，则棱长应减少______．
【答案】（）
【分析】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键．
先计算立方体的原体积，再得到体积减小后的新体积，进而求出新棱长，最后求棱长减少的量即可．
【详解】解：∵立方体的棱长为10，
∴原体积为．
由题意得，体积减小V后，新体积为，
由于保持立方体形状，新棱长为新体积的立方根，即．
∴棱长应减少．
故答案为：（）．
5．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）（1）【问题探究】，______，，______；
（2）【问题拓展】探究的近似值，如下表．
……
……
小明通过上表探究得______（精确到）；所以的整数部分是4，可是的小数部分是无限不循环的，聪明的小明将的小数部分写成______．
（3）【问题应用】已知，其中为正整数，，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】本题考查了算术平方根的性质、无理数的估算及代数式求值，解题关键是利用算术平方根的小数点移动规律、夹逼法估算无理数范围，进而解决相关问题．
（1）根据算术平方根的小数点移动规律，被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点相应移动一位，据此计算即可．
（2）通过表格中给出的平方数范围，利用夹逼法确定精确到的近似值；再根据整数部分与小数部分的关系，写出的小数部分．
（3）先估算的范围，从而确定的整数部分和小数部分，再将代入代数式进行计算．
【详解】解：(1) ，，
，
，，
．
故答案为．
(2) 由表格可知，
，，
，
整数部分是，
小数部分为．
故答案为．
(3) ，，
，
，
即 ，
，为正整数，，
，，
．
6．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
①，②，③，…
(1)观察算式规律，计算，的值．
(2)用含正整数的式子表示上述算式的规律．
(3)根据规律，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律．
（1）由题意可直接进行求解；
（2）根据题意及完全平方公式可找出规律；
（3）由（2）中的规律可进行求解．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：由题意得，
，
，
，
……
以此类推：；
（3）解：原式
．
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专题03 实数
01 期中考情透视
02 复习目标锚定
03 知识体系构建
04 核心考点精讲
考点一 平方根
考点二 立方根
考点三 实数及运算
05 重难题型突破
题型一 平方根的概念
题型二 平方根的计算
题型三 算术平方根计算
题型四 算术平方根的双重非负性
题型五 立方根的概念
题型六 立方根的计算
题型七 实数的分类
题型八 平方根的应用
题型九 立方根的应用
题型十 实数与数轴的关系
题型十一 无理数的大小比较
题型十二 实数的混合计算
题型十三 已知平方根求未知数
题型十四 实数的整数部分与小数部分
题型十五 新定义下的实数运算
06 限时分层演练
基础固本练 / 综合进阶练
考点与题型
本章概念密集，命题多为“判断＋求值＋估算”三件套：平方根与算术平方根、立方根的概念与求法；无理数的判断与实数的分类；实数与数轴上的点一一对应（如估计 在哪两个整数之间、在数轴上标出 ）；实数的混合运算（如 ）；非负性的应用（几个非负数之和为 0）。题型以选择、填空为主，解答题多为实数运算，约占 18%—25%。
难易度
难度系数约 0.70，基础概念题为主，中档题集中在估算、非负性综合与 的灵活运用。平方根、算术平方根、立方根三个概念常在同一道选择题中同时出现，是全章失分率最高的位置；本章属于“一听就懂、一做就错”的章节，复习应以概念辨析和易错清单为主，不宜盲目刷题。
识记
① 能说出平方根、算术平方根、立方根的定义与符号表示 、、，知道被开方数的取值范围（ 中 ；负数没有平方根但有立方根）。
② 能说出无理数的定义与常见类型：开方开不尽的数、 及含 的式子、有规律但不循环的小数。
③ 记住常用结果：、、、、、、。
理解
① 理解 与 的区别与联系，能解释为什么 。
② 理解平方根的双重性与算术平方根的唯一性：正数有两个互为相反数的平方根， 的平方根是 ，负数没有平方根。
③ 理解估算的依据（用相邻的完全平方数夹逼）与“几个非负数之和为 0，则每一个都为 0”的理由。
应用
① 能正确求一个数的平方根、算术平方根、立方根，并化简 、 一类的式子。
② 能估算无理数的范围，如由 得 ，并在数轴上表示 一类的数、比较实数大小。
③ 能完成实数的混合运算，如 ，做到先化简、后合并。
④ 能运用非负性解决综合问题，如由 求出 、 的值。
考点一 平方根
算术平方根
（1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”,
（2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a,
（3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。
平方根
（1）定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”,
（2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”,
（3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。
开平方
（1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数；
（2）
（1）
（2）
⚠️易错易混
的联系与区别
区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a；
被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a；
运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。
联系：结果为非负数；中a≧0时，=
考点二 立方根
立方根的定义
1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
⚠️概念辨析
一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
2：立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
立方根的性质
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
考点三 实数及运算
1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数.
2.实数的分类
按定义分： 按与0的大小关系分：
实数 实数
3.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
实数的运算
1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。
2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
题型一 平方根的概念
【例1】（21-22七年级下·山东德州·阶段检测）的平方根是（ ）
A． B． C． D．不存在
💡破题要诀
① 定义先行：若 ，那么 就叫做 的平方根。
② 记牢个数：正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
③ 符号辨析： 表示两个平方根，而 只表示其中非负的那个。
④ 求平方根时答案要写成「某数」，只写一个就是漏解。
⑤ 判断有无平方根，只需看被开方数是否为负数。
迁移应用
【变式1-1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列式子能正确表示并计算“64的平方根”的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（25-26七年级下·青海西宁·期末）若实数没有平方根，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（25-26七年级下·广西贺州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．是的算术平方根
C． D．负数有平方根
题型二 平方根的计算
【例2】（25-26七年级下·黑龙江双鸭山·期末）下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
💡破题要诀
① 先把被开方数化成完全平方数的形式：。
② 核心结论：，必须加绝对值，不能想当然写成 。
③ 小数先化成分数（或配成 ），分数化成假分数后再开方。
④ 记住常用值：、、、、。
⑤ 开不尽的直接保留根号形式，不要写成小数近似值。
迁移应用
【变式2-1】（21-22七年级下·吉林·阶段检测）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（25-26七年级下·辽宁大连·期末）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）若一个数的一个平方根是2026，则它的另一个平方根为（ ）
A． B． C． D．
题型三 算术平方根计算
【例3】（2026八年级上·全国·专题练习）（ ）
A． B． C． D．
💡破题要诀
① 表示 的那个非负平方根，结果一定 ，这是检验标准。
② 估算范围：找到被开方数落在哪两个相邻完全平方数之间， 就落在对应两整数之间。
③ 单调性：被开方数越大，算术平方根也越大，可用来比较大小。
④ 化简时把完全平方因子提出来，如 ，化为最简二次根式。
⑤ 结果一律不写「」，看到自己写了 就要警觉。
迁移应用
【变式3-1】（21-22七年级下·江苏南通·开学考试）的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（25-26七年级下·江西宜春·期末）的算术平方根是____________．
【变式3-3】（21-22七年级下·四川德阳·期中）的算术平方根是______，的平方根是______．
题型四 算术平方根的双重非负性
【例4】（21-22七年级下·吉林·阶段检测）如果x是一个实数，那么能使也是一个实数的x（ ）
A．只有1个 B．只有2个 C．不存在 D．有无数个
💡破题要诀
① 写出两条限制：被开方数 ；算术平方根本身 。
② 求取值范围时，把每个根式的被开方数都列成不等式，取公共部分。
③ 黄金结论：若 ，则必有 且 。
④ 推广：几个非负数（根式、绝对值、平方）之和为 0，则每一个都等于 0——这是压轴题的常见入口。
⑤ 解出字母后必须代回原式检验是否满足所有非负条件。
迁移应用
【变式4-1】（21-22九年级下·江苏连云港·阶段检测）若x，y为实数，且，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【变式4-2】（25-26七年级下·云南曲靖·期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式4-3】（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）若，则的平方根是__________．
题型五 立方根的概念
【例5】（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）下列说法正确的是（ ）
A．正数的算术平方根一定比它本身小
B．0的平方根和立方根都是0
C．一个数的算术平方根一定是正数
D．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根
💡破题要诀
① 定义先行：若 ，那么 就叫做 的立方根，记作 。
② 任何实数都有且只有一个立方根——这是与平方根最大的不同。
③ 符号规则：正数的立方根为正，负数的立方根为负，0 的立方根是 0，与被开方数同号。
④ 恒等式：，负号可以直接提出来。
⑤ 立方根的结果只有一个，绝对不能加「」。
迁移应用
【变式5-1】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列关于平方根、算术平方根、立方根的说法，正确的是（ ）
A．算术平方根等于本身的数只有0
B．平方根等于本身的数是0和1
C．立方根等于本身的数是0和
D．负数没有立方根
【变式5-2】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）有下列说法：
①平方根是它本身的数有，；
②算术平方根是它本身的数有，；
③立方根是它本身的数有，，；
④如果一个数的负的平方根等于它的立方根，那么这个数是或．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
题型六 立方根的计算
【例6】（25-26七年级下·广西桂林·期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
💡破题要诀
① 先把被开方数化成立方数的形式：。
② 核心结论：，这里不需要加绝对值（与平方根不同）。
③ 记住常用值：、、、、。
④ 负数直接提负号：。
⑤ 带分数先化假分数，小数先化分数再开立方。
迁移应用
【变式6-1】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）的立方根是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（25-26七年级下·四川成都·期末）25的算术平方根是________，的立方根是________．
题型七 实数的分类
【例7】（21-22七年级下·甘肃金昌·期末）下列实数中的无理数是（ ）
A． B． C． D．
💡破题要诀
① 按定义分：实数 = 有理数 + 无理数；有理数 = 整数 + 分数。
② 无理数的三种常见外衣：开不尽方的根式、含 的式子、有规律但不循环的构造小数。
③ 凡是能化为分数（有限小数、循环小数）的都是有理数，不要被根号外形骗了。
④ 按符号分：正实数、0、负实数，两种分类标准不可混用。
⑤ 判断时先算实际值： 是有理数， 是无理数。
迁移应用
【变式7-1】（25-26七年级下·云南德宏·期末）下列实数中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（25-26七年级下·天津津南·期末）下列四个数中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）把下列各数相应的序号填入对应的括号内：①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨
①正有理数集合：{_________…}；
②负整数集合：{_________…}；
③正分数集合：{_________…}；
④非负整数集合：{_________…}．
题型八 平方根的应用
【例8】（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）升降阻车器是一种高安全设备，用于隔离车辆，实现交通管制和人车分流．已知一个圆柱形升降阻车器的体积是，高是，则这个升降阻车器的底面半径为______．（取）
💡破题要诀
① 先建方程：正方形 ，圆 。
② 再开方：，实际问题中取正值。
③ 注意单位：面积单位是平方单位，开方后长度单位要开方（如 → m）。
④ 结果检验：边长、半径必须为正，且量级要符合实际。
⑤ 若题目要求估算，先用夹逼法确定整数部分，再按要求取近似值。
迁移应用
【变式8-1】（25-26七年级下·广东江门·期中）小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为．
(1)请你帮小明求出纸片的长和宽；
(2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由．
【变式8-2】（25-26九年级下·陕西榆林·期中）靖边剪纸是陕西非物质文化遗产，是陕北黄土文化的鲜活载体．现有一块长、宽比为的长方形红纸，红纸的面积是．
(1)求红纸的长和宽；
(2)王阿姨想要在这块红纸上剪出一幅面积为的圆形马年窗花（如图），试通过计算说明，她能够完整剪出来吗？（取3）
题型九 立方根的应用
【例9】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（ ）
A． B． C． D．
💡破题要诀
① 先建方程：正方体体积 。
② 再开立方：，实际问题取正值。
③ 分清三个公式：体积 、表面积 、棱长和 ，别混用。
④ 单位统一后再开方，体积单位与长度单位是三次方关系。
⑤ 结果检验：棱长为正，且代回体积公式能还原已知量。
迁移应用
【变式9-1】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）王师傅有一个体积为的铁块原料，他将这个铁块熔化并重新锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为．则制作成的每一个小正方体铁块的棱长为_________．
【变式9-2】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数）
题型十 实数与数轴的关系
【例10】（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，数轴上有，，，四个点，则（ ）
A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是
C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是
💡破题要诀
① 记住根本结论：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反之亦然（一一对应）。
② 作 的点常用「勾股法」：以两直角边为 1 和 构造直角三角形，斜边即 。
③ 比较大小时用平方法：若 、，则 等价于 。
④ 确定 落在哪两个整数之间，就找到了它在数轴上的大致位置。
⑤ 数轴上没有「空隙」——有理数之间填满了无理数。
迁移应用
【变式10-1】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（21-22七年级下·河南信阳·阶段检测）如图，数轴上点N表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
题型十一 无理数的大小比较
【例11】（2026·山东威海·三模）在实数，，，3中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．3
💡破题要诀
① 估算法：先确定每个根式落在哪两个相邻整数之间，区间不重叠就能直接比。
② 平方法（最常用）：两个正数分别平方，平方大的原数大；负数则相反。
③ 移入根号法：把根号外的正因数平方后移进根号，化成 与 再比被开方数。
④ 作差法：两数相减判正负，适用于一个有理数一个根式的情形。
⑤ 近似值法：取到足够精度（一般 3～4 位）再比，只作最后手段。
迁移应用
【变式11-1】（26-27七年级上·云南·期中）比较大小： ______（填“”、“”或“”）．
【变式11-2】（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）比较大小：_____3．（选填“”“”或“”）
【变式11-3】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）比较大小：______1．（填“”或“”）
题型十二 实数的混合计算
【例12】（24-25七年级下·广东湛江·期中）计算：．
💡破题要诀
① 顺序照旧：括号 → 乘方与开方 → 乘除 → 加减。
② 先把每个根式化成最简二次根式（提出完全平方因子）。
③ 绝对值先判正负再去掉符号，不要与根式混着处理。
④ 只有同类二次根式（被开方数相同）才能合并，不同类的照抄保留。
⑤ 分母有根式时作分母有理化（乘共轭因式），结果化为最简。
迁移应用
【变式12-1】（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）计算：
【变式12-2】（26-27八年级上·江苏·期中）计算：
(1)
(2)
【变式12-3】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）计算：．
题型十三 已知平方根求未知数
【例13】（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）已知一个正数的两个平方根是和，则这个数的值是（ ）
A．4 B． C．36 D．
💡破题要诀
① 翻译关键句：「某数的平方根是 」⟹ 该数 。
② 「某数的算术平方根是 」⟹ 该数 ，且必须有 。
③ 「某数的两个平方根是 与 」⟹ ，据此列方程（这是最巧的一招）。
④ 「某数的平方根是 与 」⟹ 二者互为相反数，和为 0。
⑤ 解出字母后回代检验：原式的值是否为非负、平方根是否真如题意。
迁移应用
【变式13-1】（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（ ）
A．25 B．16 C．8 D．2
【变式13-2】（26-27八年级上·山东青岛·开学考试）已知一个数的两个平方根是和，则数是__________．
【变式13-3】（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）已知一个正数x的两个平方根分别是和，则正数_________．
题型十四 实数的整数部分与小数部分
【例14】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（ ）．
A． B． C． D．6
💡破题要诀
① 第一步「夹逼」：找到整数 使 ，则 。
② 整数部分就是 ；小数部分 = 原数 - 整数部分 = 。
③ 小数部分必满足 ，这是检验对错的标准。
④ 负实数的小数部分：先求 的小数部分，或用「小数部分 = 原数 - 整数部分」，注意整数部分是向下取整。
⑤ 求 、 这类式子时，先代入展开再化简。
迁移应用
【变式14-1】（21-22九年级上·四川巴中·开学考试）实数的整数部分是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【变式14-2】（25-26七年级下·湖北十堰·期末）阅读理解：，，
的整数部分为，小数部分为．
，
的整数部分为，的小数部分为．
解决问题：已知是的小数部分，是的整数部分．
求：
(1)，的值；
(2)的平方根．
【变式14-3】（25-26七年级下·安徽滁州·期末）我们知道是无理数，且，所以其整数部分是1，于是小明用表示的小数部分．利用上述方法，解决下列问题：
（1）的小数部分是________；
（2）若，其中是整数，且，则的相反数的值是________．
题型十五 新定义下的实数运算
【例15】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）现对实数，定义一种运算：，则等于（ ）
A． B． C．2 D．6
💡破题要诀
① 先「翻译定义」：把新符号写成普通算式，弄清它对应哪些已学运算。
② 再「查有意义」：代入前检查被开方数是否 、分母是否 。
③ 计算时按常规运算顺序，含括号的先算括号。
④ 若定义中带参数，先按要求求出参数再代入计算。
⑤ 结果化为最简，并代回定义检验一次。
迁移应用
【变式15-1】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）对于正有理数，运算“*”定义为，则=________．
【变式15-2】（25-26七年级上·浙江·单元复习）对于实数a，b，定义运算：“*”，运算规则为．
(1)计算：；
(2)填空： （填“”“”或“”）；
(3)我们知道：实数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）的计算结果，你认为这种运算“*”是否满足交换律？若满足，请说明理由．
【变式15-3】（24-25七年级下·吉林长春·期中）设、为有理数，定义一种新的运算．．
例如：．
(1)计算：．
(2)若，求的值．
基础固本练（限时：15分钟）
1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）①实数与数轴上的点一一对应；②近似数万精确到百分位；③立方根是它本身的数是0，1；④对于任意一个实数，都可以用表示它的倒数；⑤任何无理数都是无限小数；⑥小明的身高约为米，则他身高的准确值的范围是米米．以上正确的有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）下列整数中与最接近的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）在，，，这四个数中，为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，将边长为2的正方形各边四等分，把一长度为的绳子一端固定在点A处，并沿逆时针方向缠绕正方形，则另一端点E将落在下列哪条线段上（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26七年级上·浙江金华·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在，，中，无理数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图为钱外同学的小测卷，他的得分应是（ ）
姓名：钱外 得分：_____
填空题每小题25分，共100分
①2的相反数是；
②绝对值等于本身的数是0和1；
③8的立方根是2；
④16的平方根是4．
A．25分 B．50分 C．75分 D．100分
8．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）4的平方根为，的立方根为，则的值为________．
9．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）______ ；的立方根是______ ．
10．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接．
，，，
11．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）计算：
(1)；
(2)
(3)；
(4)
12．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在数轴上表示下列有理数，并用“”连接．
综合进阶练（限时：15分钟）
1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（ ）（式子中的“”，“”依次相间）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于的最大整数），称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，，这时候结果为．只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大值与最小值之差_____．
3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知表示不大于的最大整数，如，则_______．_______．
4．（25-26七年级上·浙江丽水·期中）若将一个棱长为10的立方体的体积减小V，而保持立方体形状不变，则棱长应减少______．
5．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）（1）【问题探究】，______，，______；
（2）【问题拓展】探究的近似值，如下表．
……
……
小明通过上表探究得______（精确到）；所以的整数部分是4，可是的小数部分是无限不循环的，聪明的小明将的小数部分写成______．
（3）【问题应用】已知，其中为正整数，，求的值．
6．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
①，②，③，…
(1)观察算式规律，计算，的值．
(2)用含正整数的式子表示上述算式的规律．
(3)根据规律，求的值．
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