专题01 有理数（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材浙教版

专题01 有理数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 有理数的分类 考点二 数轴 考点三 相反数 考点四 绝对值 05 重难题型突破 题型一 正负数的定义与应用 题型二 用数轴上的点表示有理数 题型三 有理数的分类 题型四 相反数 题型五 求绝对值 题型六 绝对值方程 题型七 利用数轴化简绝对值 题型八 有理数大小比较 题型九 利用数轴比较有理数大小 题型十 分类讨论解决绝对值化简问题 题型十一 绝对值的几何意义 题型十二 数轴上的动点问题 题型十三 数轴上的规律探究 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点与题型 本章以概念辨析与数形结合为主要命题方式，常考考点有：正负数与相反意义的量、有理数的分类、数轴的三要素与标数、相反数与倒数、绝对值及其化简、有理数的大小比较。题型以选择、填空为主，约占卷面 18%—25%。数轴是本章命题的主载体，多数考题以“数轴”或“一组有理数”为背景；绝对值还常与后面的实数、代数式结合，出现在卷末综合题中。 难易度 以基础题为主，难度系数约 0.78，属于“必须拿满的基础分”。中档题集中在数轴上两点间的距离 与含字母的绝对值化简；本章一般不单独命制压轴题，但数轴与绝对值会作为工具被卷末综合题反复调用。易错点集中在： 的归类（既不是正数也不是负数）、 不一定是负数、相反数与倒数混淆、化简 时未先判断正负。 识记 ① 能说出正数、负数、0、整数、分数、有理数的定义，会把给定的数（如 、、、、、、）正确归入相应集合。 ② 能按三要素（原点、正方向、单位长度）规范画出数轴，并在数轴上准确标出给定的有理数。 ③ 能准确表述相反数、绝对值、倒数的定义及符号表示 、，知道 没有倒数。 理解 ① 理解相反数与绝对值的几何意义：相反数是数轴上原点两侧到原点距离相等的两点对应的数，绝对值是一个数对应的点到原点的距离；能说明 。 ② 理解有理数大小比较的两条路径——数轴法（右边的数总比左边的大）与法则法（正数大于 0，0 大于负数；两个负数，绝对值大的反而小），能说出每一步的依据。 ③ 理解 的几何意义是数轴上表示 、 的两点之间的距离。 应用 ① 能结合数轴化简含绝对值的式子，如已知 且 ，化简 。 ② 能解决数轴上点的平移与距离问题，如点 表示 ，向右移动 5 个单位后表示的数是 。 ③ 能处理“绝对值最小的数”“绝对值等于本身的数”“离原点最近的整数”一类问题，并说清理由。 考点一 有理数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： 要点： （1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 考点二 数轴 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点： （1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 考点三 相反数 相反数的定义：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． ⚠️易混易错 （1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 考点四 绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 题型一 正负数的定义与应用 例1（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）如果收入200元记作元，那么支出150元记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】在一对具有相反意义的量中，规定其中一个是正，则另一个是负，据此即可获得答案． 【详解】解：∵收入与支出是具有相反意义的量，收入200元记作元， ∴支出150元记作元． 💡破题要诀 ① 先「定基准」：题中没有基准时，要自己写明「规定……为正」，这是全题的立足点。 ② 记住 0 是分界点：0 既不是正数也不是负数，它表示「基准」本身。 ③ 看清相反意义的词组对：上升↔下降、收入↔支出、向东↔向西、超出↔不足。 ④ 「增加 -5」等价于「减少 5」，负号已经把方向反过来了，别再改一次。 ⑤ 结果必须带单位，并把结果放回实际情境中检验是否合理。 迁移应用 变式1-1（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）植物种子都有其发芽的最适宜温度．如果高于最适宜发芽温度记作，那么低于最适宜发芽温度应记作（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵高于最适宜发芽温度记为正， ∴低于最适宜发芽温度应记作． 变式1-2（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）第二十三届中国—东盟博览会于九月十七日在南宁举办，人流量巨大，若进入会展中心10人记作，则离开会展中心5人记作（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正负数的意义可知离开会展中心5人记作． 【详解】解：进入会展中心10人记作， 离开会展中心的人数记为负，离开5人记作 变式1-3（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）立春是二十四节气之首，标志着春季的开始，立春的“立”表示开始，“春”代表温暖和生长．立春以后某市出现冻雨天气，最低温度低于零度，若把气温零上记为，则表示气温为__________ 【答案】零下3℃ 【详解】解：∵零上记为，正号表示零上气温， ∴负号表示与零上意义相反的零下气温， ∴表示气温为零下． 题型二 用数轴上的点表示有理数 例2（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知数轴上点表示的数互为相反数，且点在点的左侧．若点间的距离为2，则点表示的数为（     ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】根据相反数定义，数轴上两点间距离公式，进行求解即可． 【详解】解：∵点，表示的数互为相反数， ∴，两点分别在原点两侧，且到原点的距离相等， ∵，两点间的距离为2， ∴点到原点的距离为， ∵点在点左侧， ∴点在原点左侧，表示的数为． 💡破题要诀 ① 先查三要素：原点、正方向、单位长度，缺一个就不是完整的数轴。 ② 再定方向：正数在原点右边，负数在原点左边，0 在原点。 ③ 标点前先看清一格代表多少（单位长度），不要默认一格就是 1。 ④ 标分数、小数时先化成与单位长度匹配的份数，必要时刻度细分。 ⑤ 表示点时用实心圆点，并在点下方（或上方）标注对应的数。 迁移应用 变式2-1（26-27七年级上·广东汕头·阶段检测）如图，数轴上点表示的数互为相反数（点在点的左边），且两点间的距离为，则点表示的数是（     ）． A． B．4 C．8 D．－8 【答案】B 【分析】根据互为相反数的两个数，在数轴上对应的点到原点（数字）的距离相等，并且分别在原点的左右两侧，即可得到答案． 【详解】解：∵点表示的数互为相反数，互为相反数的两点到原点的距离相等，相距， ∴两点到原点的距离均为， ∵点在点的左边， ∴点表示，点表示． 变式2-2（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知数轴上点表示的数互为相反数，且点在点的右侧．若点间的距离为7，则点表示的数为（     ） A．3.5 B． C．7 D． 【答案】B 【详解】解：∵点，表示的数互为相反数． ∴，两点分别在原点两侧，且到原点的距离相等． ∵，两点间的距离为． ∴点到原点的距离为． ∵点在点的右侧． ∴点在原点左侧，表示的数为． 变式2-3（26-27七年级上·全国·课后作业）画出数轴，并在数轴上表示下列各数：，，，，． 【答案】如答图所示． 【详解】略 题型三 有理数的分类 例3（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各数：，，0，，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0），其中有理数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】区分无限循环小数与无限不循环小数的属性，结合有理数定义判断统计即可． 【详解】解：，是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； （每相邻两个之间依次多一个）是无限不循环小数，不属于有理数． 综上，有理数共有个． 💡破题要诀 ① 记牢定义式：有理数 = 整数 + 分数，整数又分正整数、0、负整数。 ② 分数包括有限小数和无限循环小数——凡是能化成分数的小数都是有理数。 ③ 分类时「标准要统一」：要么全按定义分，要么全按符号分，不能两套混着写。 ④ 分类要「不重不漏」，每一层分出的各类之和必须等于原来的集合。 ⑤ 遇到带根号或含 π 的数，先算出它的实际值再判断，不要看形式。 迁移应用 变式3-1（26-27七年级上·全国·单元测试）下列各数中，既是整数又是负数的是（     ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】所求数需为负整数，据此逐一判断选项． 【详解】解：A、是正分数，不符合； B、是负分数，不是整数，不符合； C、是负整数，符合； D、是整数，但不是负数，不符合． 变式3-2（26-27七年级上·全国·单元测试）把下列各数填在相应的集合内： ，5，0，，2.6，，，0.3，． 正数集合：{________…}； 整数集合：{________…}； 负整数集合：{________…}； 非负有理数集合：{________…}． 【答案】，5，2.6，0.3，；5，0，，；，；，5，0，2.6，0.3， 【详解】解：正数集合：； 整数集合：； 负整数集合：； 非负有理数集合：． 变式3-3（26-27七年级上·全国·课后作业）把下列各数填在相应的集合中： 15，，，，，，，0，，，171． 整数集合：{                …}； 非负数集合：{                …}； 正有理数集合：{                …}． 【答案】；； 【分析】根据整数、非负数、正有理数的定义分别解答即可． 【详解】解：整数集合：； 非负数集合：； 正有理数集合： 题型四 相反数 例4（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）6的相反数是（     ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的相反数是． 迁移应用 变式4-1（26-27七年级上·河南驻马店·阶段检测）-2026的相反数是（     ） A． B． C．2026 D．以上都不是 【答案】C 【详解】解：的相反数是． 变式4-2（26-27七年级上·新疆和田·阶段检测）的相反数是（     ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得，， ∴的相反数为． 变式4-3（2026·黑龙江大庆·中考真题）2035的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：2035的相反数是． 题型五 求绝对值 例5（26-27七年级上·河南郑州·阶段检测）2027的绝对值是（     ） A． B． C．2027 D． 【答案】C 【分析】根据正数的绝对值等于其本身的性质求解． 【详解】解：． 💡破题要诀 ① 套定义分三种情况： 时 ； 时 ； 时 。 ② 操作顺序固定：先判断绝对值符号内式子的正负，再去绝对值符号。 ③ 结果必为非负数，这是检验答案对不对最快的一把尺子。 ④ 利用 ：互为相反数的两个数绝对值相等。 ⑤ 已知 反求时，结果通常有两个（ 时 ）。 迁移应用 变式5-1（26-27七年级上·四川绵阳·阶段检测）化简，正确的是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算绝对值，再取其相反数． 【详解】解：． 变式5-2（26-27七年级上·全国·单元测试）化简：________． 【答案】10 【分析】先化简括号内的符号运算，再根据绝对值的性质计算结果． 【详解】解：． 变式5-3（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）计算：_________． 【答案】 【详解】解：， ． 题型六 绝对值方程 例6（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测），则________． 【答案】 【分析】先计算等式右侧的绝对值结果，再根据绝对值的定义求解． 【详解】解：计算等式右侧得，原方程化为， 根据绝对值的定义，绝对值等于的数是和， 因此 ． 💡破题要诀 ① 先把方程化成标准形 ，左边只留一个绝对值。 ② 按 的符号分三种： 有两解（ 或 ）； 只有一解； 无解。 ③ 拆成两枝后分别解一次方程，两枝的解都要写，不能只留正数那一枝。 ④ 绝对值是距离、必非负，所以出现 要直接判「无解」，不用再算。 ⑤ 解完代入原方程检验，尤其含分母或字母系数时。 迁移应用 变式6-1（2026七年级上·全国·专题练习）解答下列问题： (1)若，则__________； (2)若，则__________． 【答案】(1)2 (2)4或 【分析】（1）理解绝对值在数轴上指的是表示数x的点到表示数a的点的距离，从而将代数方程转化为几何距离问题求解． （2）理解绝对值在数轴上指的是表示数x的点到表示数a的点的距离，从而将代数方程转化为几何距离问题求解． 【详解】（1）解：方程的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示数5的点的距离等于到表示数的点的距离，这意味着表示x的点是以表示数5和表示数为端点的线段的中点． 中点坐标公式为：， 所以． （2）解：方程的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示数3的点的距离与到表示数的点的距离之和等于7． 计算数轴上表示数3的点和表示数的点之间的距离：，因为距离之和7大于这两点间的距离5，所以点x不可能在和3之间，只能在这两点的外侧． 情况一：当点x在3的右侧时，， 此时，， 方程变为： 解得． 检验：，符合题意． 情况二：当点x在的左侧时，， 此时，， 方程变为：， 解得． 检验：，符合题意． 综上所述，x的值为4或． 变式6-2（2026七年级上·河北·专题练习）解方程： 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义从最外层绝对值开始，逐步根据绝对值的定义去掉绝对值符号，分情况讨论并排除无解的情况，最终求解的值． 【详解】解：， ， 或， 或（不合题意，舍去）， 则， 或， 或（不合题意，舍去）， 或． 题型七 利用数轴化简绝对值 例7（26-27七年级上·天津·开学考试）对于有理数，，定义一种新运算“”，规定． （1）计算的值=__________； （2）当，在数轴上的位置如图所示时，化简__________． 【答案】 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）根据数轴得出，再计算即可． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得：； （2）由数轴得：， ， ． 💡破题要诀 ① 第一步永远是「判正负」：看绝对值内的量在数轴上位于原点哪一侧。 ② 正数直接去掉绝对值符号照抄；负数去掉符号后要整体添一个负号。 ③ 若绝对值内是两个数的差（如 ），右边点减左边点为正，反之为负。 ④ 去完绝对值后统一去括号、合并同类项，每一步只做一种变形。 ⑤ 结果若含字母，回头代入数轴上的具体点验证一次。 迁移应用 变式7-1（25-26七年级下·内蒙古兴安·期末）如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为________． 【答案】 【分析】首先由数轴得到，，然后化简求解即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴，， ∴ ． 变式7-2（26-27七年级上·北京·期中）有理数，，在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先判断，再利用有理数的加减运算法则确定符号即可； （2）根据（1）的判断，再化简绝对值，并合并同类项即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 变式7-3（26-27七年级上·重庆·阶段检测）有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】利用数轴可得，，，然后化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知：，且， ，，， ． 题型八 有理数大小比较 例8（26-27七年级上·全国·课后作业）下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数定义，绝对值意义，有理数大小的比较方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：对A，，，，正确； 对B，， ， ， 即，错误； 对C，，， ， ，错误； 对D，，错误． 💡破题要诀 ① 先用「三级跳」粗判：正数 > 0 > 负数，正负一分开就少了一半工作量。 ② 两个正数比：分母不同就通分（或都化成小数），再比分子。 ③ 两个负数比：绝对值大的反而小——这一步要写清推理，别凭直觉。 ④ 分数化小数除不尽时改用通分比较，避免近似值造成误判。 ⑤ 三个以上比较时先排序：先找最大和最小，再排中间。 迁移应用 变式8-1（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）在有理数，0，，5中，最小的数是（     ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【分析】先利用有理数正负性排除正数与0，再比较两个负数的绝对值确定最小数． 【详解】解：∵正数大于0，0大于负数． ∴最小的数在与中． ∵，，． ∴． ∴四个数中最小的数是． 变式8-2（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）比较大小：______（填写>、<或者=） 【答案】 【分析】两个负数比较大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小，据此即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴． 变式8-3（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）比较大小（填“”、“”或“”）：______ 【答案】 【详解】解：∵，，且，，． ∴． 题型九 利用数轴比较有理数大小 例9（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知点在数轴上的位置如图所示，观察数轴并解答下列问题： (1)表示有理数3.5的点是_____，点表示的有理数是_____； (2)把有理数在数轴上表示出来，并用“”将这四个数连接起来． 【答案】(1)点； (2) 【分析】（1）根据题中所给图像作答即可； （2）先在数轴上表示各数再利用数轴比较大小即可． 【详解】（1）解：如图所示，表示有理数3.5的点是点，点表示的有理数是． （2）解：在数轴上表示略， ∴． 💡破题要诀 ① 记住根本法则：数轴上右边的点表示的数总比左边的大。 ② 先标出原点，再把要比较的数逐个标到数轴上，位置一目了然。 ③ 比较 时利用对称性： 与 关于原点对称，左右相反、距离相等。 ④ 一定在原点右侧（或在原点）， 恒成立。 ⑤ 数轴上两点距离越远，对应两数的差越大，但要注意谁在右。 迁移应用 变式9-1（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）把下列各数在数轴上表示出来，并用“”连接． ，，，0， 【答案】解：如图所示， 由图可知： 【分析】先化简各数的绝对值和多重符号，再将各数表示在数轴上，根据数轴上左边的数小于右边的数，即可求解． 【详解】解：，， 略． 变式9-2（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）如图：请在下面数轴上标出下列各数所代表的点，并将对应字母标在数轴上方的相应位置，最后请将这些数用“<”连接起来．点：；点：；点：3；点：． 【答案】 【详解】解：，数轴表示和大小关系见答案． 变式9-3（26-27七年级上·河南郑州·阶段检测）已知一列数：3，，0，，． (1)在数轴上画出表示下列各数的点； (2)用“”符号连接各数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简绝对值，再在数轴上表示出各数即可； （2）根据数轴上的数左边的比右边的小，即可求解． 【详解】（1）解：， 图略 （2）解：由数轴可知：． 题型十 分类讨论解决绝对值化简问题 例10（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）已知有理数a，b同号，则的值为（     ） A．0 B． C．或2 D．0或2 【答案】D 【分析】已知同号，分均为正和均为负两种情况，根据绝对值的性质化简代数式，计算得到结果即可． 【详解】解：∵有理数同号， ∴分两种情况讨论：①当，时，，，， ∴； ②当，时，，，， ∴； 综上，原式的值为或． 💡破题要诀 ① 第一步「找零点」：令每个绝对值内的式子等于 0，解出所有零点。 ② 第二步「分段」：把零点从小到大排在数轴上，把整条数轴切成若干区间。 ③ 第三步「逐段化简」：在每个区间内取一个代表值（或直接判断），定出各式的正负再去符号。 ④ 第四步「收尾」：区间端点单独检验，能合并的同类项要合并到最简。 ⑤ 两个零点就把数轴分成 3 段，三个零点分成 4 段——段数永远是零点数 + 1。 迁移应用 变式10-1（25-26七年级上·重庆·期中）若，则的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．或3 【答案】C 【分析】由题意可得，或，然后分两种情况，分别去绝对值后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，或， 当，时，； 当，时，． 综上，的值是1或． 变式10-2（2026七年级上·吉林长春·专题练习）可能的值有___________个． 【答案】4 【分析】本题需根据a、b的正负性分情况讨论，利用绝对值的性质化简式子，再确定所有可能的结果并统计个数． 【详解】根据绝对值的非负性及有理数除法法则，分以下情况讨论： 1. 当，时， ； 2. 当，时，   若，则， ；   若，则， ；   若，则，此时无意义，舍去该情况； 3. 当，时， - 若，则， ；   若，则， ； -若，则，式子无意义，舍去该情况； 4. 当，时 ． 综上，式子可能的值为、、、，共4个． 变式10-3（23-24七年级上·江苏苏州·阶段检测）两个数是均不为0的两个数，且，则__________． 【答案】 【分析】根据已知得出、异号，分为两种情况：①当，时，②当，时，去掉绝对值符号计算即可． 【详解】解：， 、异号， ①当，时，； ②当，时，； 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的应用，注意：当时，，当时，． 变式10-4（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则______ 【答案】1或－3/－3或1 【分析】分两种情况讨论①，②，即可求出答案. 【详解】解：①，时， . ②，时， . 故答案为：1或－3##－3或1 【点睛】本题考查绝对值的性质，熟记绝对值的性质，然后分类讨论是解决本题的关键． 题型十一 绝对值的几何意义 例11（26-27七年级上·北京·阶段检测）如果为有理数，则代数式的最小值为_________． 【答案】 【分析】的几何意义是数轴上表示的点到表示的点的距离，将代数式转化为距离和，分区间去绝对值符号后化简，即可求出最小值． 【详解】解：表示数轴上表示的点，分别到表示，，，的点的距离之和，分情况讨论： 1．当时，原式，该式随增大而减小，当时，原式取得最小值． 2．当时，原式，该式随增大而减小，当时，原式取得最小值． 3．当时，原式，此时原式恒等于． 4．当时，原式，该式随增大而增大，此时原式． 5．当时，原式，该式随增大而增大，此时原式． 综上，代数式的最小值为． 💡破题要诀 ① 核心转化： 就是数轴上点 到点 的距离。 ② 求 的最小值：当 落在线段 上时取到，最小值就是 。 ③ 求 无最大值（ 越跑越远，和越大），题目问「最大」多半要重读题。 ④ 方程 的解就是「到点 距离为 的两个点」，画数轴一眼得到。 ⑤ 三个点时 在 取中间那个点时最小。 迁移应用 变式11-1（2026七年级上·全国·专题练习）的最小值是，则__________． 【答案】或 【分析】由绝对值的几何意义可判断当取点、点、点中间点的时候，代数式有最小值，根据与和的大小关系进行分类讨论，解方程即可． 【详解】解：代数式表示数轴上点与点、点、点之间的距离之和，当取点、点、点中间点的时候，代数式有最小值， ①当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时， 解得； ②当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时，此方程无解； ③当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时， 解得； 综上，的值是或． 变式11-2（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题（将结果直接填写在相应位置，不写过程）： (1)若，则_________；若，则_________； (2)若，则能取到的最小值是_________，最大值是_________； (3)的最小值是_________； 【答案】(1)0； (2)； (3)5 【分析】（1）根据数轴上与表示1的点和表示的点距离相等的点所表示的数为0，数轴上与表示2的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可求解； （2）数轴上表示2的点和表示的点的距离是3，故在此范围内x的最小取值是，最大取值是2，即可求解； （3）数轴上表示2的点和表示的点的距离是5，故当时，，再根据在的范围内，即可求解． 【详解】（1）解： ，即数轴上表示数x的点与表示数1的点的距离和表示数x的点与表示数的点的距离相等， ； ，即数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离和表示数x的点与表示数的点的距离相等， ； （2）解： ，即表示数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离和表示数x的点与表示数的点的距离的和为3， 在数轴上表示数x的点在表示数2的点和表示数的点之间（包含端点），即， 能取到的最小值是，最大值是2； （3）解： 表示数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离和表示数x的点与表示数的点的距离的和， ，即当时，取得最小值为5， 表示数轴上表示数x的点与表示数的点的距离， 当时，取得最小值为0， 在的范围内， 当时，的最小值是5． 变式11-3（24-25七年级上·福建福州·阶段检测）数轴上表示数的点与原点的距离可记作；表示数的点与表示数的点的距离可记作．也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则，两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是_____________，数轴上表示和的两点之间的距离是_____________； (2)数轴上表示与的两点和之间的距离为，那么为_____________； (3)①找出所有使得成立的整数的值（直接写出答案便可）； ②的最小值为_______，此时的取值范围是__________． ③的最大值为________，此时的取值范围是__________． 【答案】(1)5；5 (2)或 (3)①或或或；②；；③； 【分析】（1）根据题目所给的方法进行计算即可得出答案； （2）根据数轴上两点间距离的计算方法及绝对值的性质进行计算即可得出答案； （3）①从数轴上可以看出只要取和之间的数（包括，）就有，可得这样的整数是，，，； ②根据绝对值的几何意义可知当时，的最小值是． ③将转化为数轴上点到的距离减去点到的距离，分类讨论找到差值的最大值与对应的范围． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是； （2）解：由题意可得，， ∴或， ∴或； （3）解：①根据题意可得，因为表示数轴上到和的距离之和，当时，距离之和为， 所以使得的整数为或或或； ②表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和， ∴时，的最小值是． ③当时， ； 当时， ； 当时， ． ∴的最大值为，取值范围为． 变式11-4（2026七年级上·全国·专题练习）数轴是初中数学的一个重要工具．它建立了“数”与“形”之间的对应，是“数形结合”的重要基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探究】 (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 （写出最后的结果），表示与的两点之间的距离为 ． (2)可理解为与 两数在数轴上所对应两点之间的距离；可理解为与 两数在数轴上所对应两点之间的距离；所以的最小值为 ． (3)在数轴上，点表示，点表示，点与点始终保持距离为在射线上移动．已知点在点右侧，设点对应的数为，那么当点到点的距离恰好等于点分别到，两点的距离之和时，的值是多少？ 【答案】(1)； (2)；；； (3)或 【分析】（1）根据阅读材料中数轴上两点间的距离公式求出和的距离，表示出与两点间的距离即可； （2）根据表示数轴上与的距离得到与表示的意义，并根据在数轴上的位置，利用表示的意义，分情况讨论，求出的最小值； （3）根据在的右边，对应的数为，表示出表示的数为，进而表示出与的距离，到、的距离之和，列出关于的方程，根据的不同取值范围分情况讨论求出方程的解，即可得到的值． 【详解】（1）解：根据题意可得：数轴上表示和的两点之间的距离是， 表示与两点之间的距离为； （2）解：根据题意，可理解为与两数在数轴上所对应两点之间的距离，可理解为与两数在数轴上所对应两点之间的距离； ∴可理解为与，与在数轴上的距离的和， ①如图所示，当时，与，与在数轴上的距离的和为和之间的距离，即距离和， ②如图所示，当时，与，与在数轴上的距离的和为与的距离的倍加和之间的距离，即距离和， ③如图所示，当时，与，与在数轴上的距离的和为与的距离的倍加和之间的距离，即距离和， ∵当时，，当时，， ∴的最小值为； （3）解：∵点对应的数为，点与点始终保持距离为，点在点右侧， ∴点对应的数为， ∵表示的数为，表示的数为，，点到点的距离恰好等于点分别到，两点的距离之和， ∴，即， 整理得：， 当时，上式可化简为，解得， 当时，上式可化简为，解得（不合题意，舍去）， 当时，上式可化简为，解得， 综上所述，或． 题型十二 数轴上的动点问题 例12（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 【答案】A 【详解】解： P、Q相向而行相遇所用时间为（秒）． 点P从出发向右运动走过的路程为， 故相遇时点P表示的数为． 💡破题要诀 ① 设运动时间为 秒，统一写出动点坐标：向右 = 起点 + 速度×，向左 = 起点 - 速度×。 ② 「相遇」= 两点坐标相等，把两个含 的式子画等号即可。 ③ 「相距 」必须写成 ，再拆成两枝（左、右两种位置），漏一枝就漏一半答案。 ④ 「折返」类问题要分段：先算到达端点的时间，之后速度方向改变，重新写坐标式。 ⑤ 算出 后检验： 且不超出题意允许的运动时间。 迁移应用 变式12-1（24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点，点，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，点与点在数轴上的距离为45个单位长度，并表示为． 素材2动点从点出发，以2个单位长度／秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探索2：动点从点出发，运动18秒至点和点之间时，求点表示的数？ (3)探索3：动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】(1)秒 (2)表示的数为18 (3)动点运动的时间为秒或秒 【分析】（1）首先求出，，然后根据点P在段和段的速度求解即可； （2）求出，然后结合点B表示的数求解即可； （3）设秒后，根据题意分三种情况讨论，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：点表示，点表示， ∴，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， ∴在段速度为个单位长度/秒， ∴从点运动至点的时间为：（秒）； （2）解：∵的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， ∴在段速度为个单位长度/秒， 由（1）可得：在段运动时间为：（秒）， ∴， 点表示， ∴表示的数为：； （3）解：设秒后， ①当在上时， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴（秒）； ②当在上时， ， ∴， ， ∴， ∴（秒）， ③当在上时， 此时不可能等于16，不符合题意舍去． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 变式12-2（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)在数轴上点A所表示的数的相反数是多少？是哪一个点？ (2)如果蚂蚁从点C出发要爬到点D，且点D和点B所表示的两数互为相反数，那么它应该往哪个方向爬几个单位长度？ (3)如果蚂蚁从点C出发要爬到点E，且点E到原点的距离为5个单位长度，那么它应该怎样爬到点E？ 【答案】(1)在数轴上点A所表示的数的相反数是，是点C (2)它应该往左爬2个单位长度 (3)当E在C的右侧时，C应该向右爬行9个单位，当E在C的左侧时，C应该向左爬行1个单位 【分析】（1）先根据运动方向和单位长度依次确定A、B、C三点所表示的数，再找出点A表示数的相反数对应的点即可； （2）由相反数定义确定点D表示的数，再比较点C与点D在数轴上的左右位置及距离，判断爬行方向与长度即可； （3）根据点E到原点距离为5个单位长度，分点E在原点左侧和右侧两种情况，分别确定点E表示的数，再计算其与点C的距离和相对位置，得出爬行方案． 【详解】（1）解：因为蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A， 所以点A表示的数为， 从点A向右爬了2个单位长度到达点B，所以点B表示的数为， 又从点B向左爬了10个单位长度到达点C，所以点C表示的数为， 所以数轴上点A所表示的数的相反数是，即点C． （2）解：因为点D和点B所表示的两数互为相反数，所以点D表示的数为， 在左边，距离两个单位，所以蚂蚁从点C出发要爬到点D，它应该往左爬2个单位长度． （3）点E到原点的距离为5个单位长度，当E在原点的右侧时，点E表示的数为，在C的右侧，与点C距离为个单位，所以C应该向右爬行9个单位； 当E在原点的左侧时，点E表示的数为，在C的左侧，与点C距离为个单位，所以C应该向左爬行个单位； 变式12-3（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】(1)4 (2)64岁 【分析】（1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求出一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车 ，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】（1）解：如图1， 由题意可知，三个火车的长为， 则一个火车的长为； （2）解：同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 题型十三 数轴上的规律探究 例13（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法以及正六边形翻滚时所对应数的变化规律是正确解答的关键． 根据翻滚规律以及各个顶点所对应的数即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， ， 数轴上所对应的顶点是． 故选：C． 💡破题要诀 ① 先列出前 3～4 项，把「符号」和「绝对值」拆成两条线分别找规律，不要混着看。 ② 符号规律通用写法：正负交替用 或 ，代入 验证取哪一个。 ③ 绝对值规律常见两类：等差型（如 ）和等比型（如 ）。 ④ 写出通项后必须代入 各验一次，三处都对才算过关。 ⑤ 求和时套用后面章节的裂项相消或倒序相加，别硬加。 迁移应用 变式13-1（20-21七年级上·湖北武汉·期末）如图，在数轴上，点表示数现将点沿数轴作如下移动，第一次将点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，…，按照这种移动规律进行下去，第次移动到点，那么点所表示的数为（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从A的序号为奇数的情形中，寻找解题规律求解即可. 【详解】∵A表示的数为1， ∴=1+（-3）×1=-2， ∴=-2+（-3）×（-2）=4， ∴=4+（-3）×3=-5= -2+（-3）， ∴=-5+（-3）×（-4）=7， ∴=7+（-3）×（-5）=-8= -2+（-3）×2， ∴= ， 故选B. 【点睛】本题考查了数轴上动点运动规律，抓住序号为奇数时数的表示规律是解题的关键. 变式13-2（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度； (1)求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少？ (2)求在数轴上点B所对应的数b； (3)若D是数轴上一点，且满足，通过计算，求点D所对应的数； (4)如图3，一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第n次跳动后，直接写出数轴上点所表示的数（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是 (2) (3)点D表示的数为-1或 (4) 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上的动点问题是解题的关键． （1）根据点、是数轴上从左到右排列的点，进而根据数轴上两点距离可进行求解； （2）根据点B对齐刻度列式求解即可； （3）首先求出，然后分两种情况求解即可； （4）首先求出，然后根据线段中点的概念找出规律求解即可． 【详解】（1），是数轴上从左到右排列的点，在数轴上对应的数分别为，2， ； ， ∴数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的； （2）∵点B对齐刻度， ∴， ∴， ∴在数轴上点B所对应的数； （3）∵点A表示的数是，点B表示的数是， ∴ ∴ ∴点D所对应的数为或； （4）点B表示的数是，点C表示的数是2， ， 一质点从点处向点方向跳动，第一次跳动到的中点处， 点表示的数为， 第二次从点跳动到的中点处， 点表示的数为， 第三次从点跳动到的中点处， 点表示的数为， 第四次从点跳动到的中点处， 点表示的数为， 点表示的数为． 变式13-3（24-25七年级上·广东广州·阶段检测），分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)点表示的数为或 (3) 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离公式及点的平移性质，根据题意运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据绝对值的定义结合由数轴得出a，b的符号即可得； （2）分以下两种情况：点C在A，B之间、点C在点B右侧，利用两点间距离公式列方程求解； （3）根据平移的性质可知，P点表示的数为，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵由数轴可知，， ∴；. （2）解：①若C点在B点的右侧，则， ∴， ∴点C表示的数为：， ②若C点在A，B点之间，则， ∴， ∴点C表示的数为：． 综上，C点表示的数为或； （3）解： ． 表示的数为． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的运算，根据有理数的运算法则逐一判断即可． 【详解】根据题意，得，，． A、，结论正确，该选项不符合题意； B、，结论正确，该选项不符合题意； C、，结论错误，该选项符合题意； D、，结论正确，该选项不符合题意． 故选：C 2．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）中国古代的算筹计数法可以追溯到公元5世纪，摆法有纵式和横式两种．并且可以在个位数画上斜线来表示负数．如表示，则表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数，根据题意即可求得答案． 【详解】 根据题意可知，表示的数为． 故选：C 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求，这里表示直径是和是指直径在到之间的产品都属于合格产品．现加工一批轴，尺寸要求是，请选出不合格的产品（    ） A．44.97 B．45.04 C．45.01 D．45 【答案】B 【分析】本题主要考查正负数的应用，解题的关键是理解题意；根据尺寸要求，计算合格直径范围，并判断各选项是否在该范围内即可． 【详解】解：由题意得：合格直径范围为到， ∴选项中只有B选项是不合格产品； 故选B． 4．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各图中，表示数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴三要素：原点、单位长度和正方向，任何一个条件都不能少，都必须体现在数轴上． 根据数轴三要素判断即可． 【详解】解：A． 无原点，不是数轴； B． 无原点，不是数轴； C． 符合数轴三要素，是数轴； D． 无正方向，不是数轴； 故选：C． 5．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）一辆汽车在东西走向的道路上行驶，若向东行驶3公里记为公里，那么公里表示的实际意义是（　　） A．向西行驶3公里 B．向西行驶5公里 C．向东行驶5公里 D．向东行驶3公里 【答案】B 【分析】本题考查正负数的实际意义，解题的关键是理解“正”和“负”在题目中表示的相反意义的量． 根据题目中给出的“向东行驶记为正”的规则，判断负数对应的实际行驶方向． 【详解】解：题目中规定：向东行驶3公里记为公里，说明“正”对应“向东行驶”， 那么“负”就对应于向东相反的方向，向西行驶， 因此，公里表示的实际意义是向西行驶5公里． 故选：B． 6．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各数中，是负数也是分数的是（    ） A．0 B． C． D．20.25 【答案】B 【分析】本题考查了有理数，正数和负数，解题的关键是掌握有理数的定义，正数和负数的意义．根据负数和分数的定义，负数小于0，分数表示部分整体，分析各选项即可． 【详解】解：四个选项中只有是负分数，符合题意． 故选：B． 7．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）代数式的最小值是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，利用绝对值的非负性，求表达式的最小值即可． 【详解】解：∵， ∴，当时，等号成立， ∴最小值为， 故选：B． 8．（25-26七年级上·浙江温州·期中）用数轴表示大于而小于的整数个数共有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，有理数大小比较，熟练掌握数轴的性质是解题的关键． 根据题意画出数轴，然后根据数轴找出大于而小于的整数即可． 【详解】解：如图， 观察数轴可得：大于而小于的整数有：，共6个， 故选：C． 9．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列8个数：，0，，（每两个2之间依次多一个6），1.010010001，，π，，其中有理数有__________个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的概念，熟练掌握有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称（包括有限小数、无限循环小数）是解题的关键．根据有理数的定义（整数和分数统称有理数，包括有限小数、无限循环小数），逐一判断这8个数是否为有理数． 【详解】解：：分数，是有理数； ：整数，是有理数； ：分数，是有理数； （每两个2之间依次多一个6）：无限不循环小数，不是有理数； ：有限小数，是有理数； ：整数，是有理数； ：无限不循环小数，不是有理数； ：无限循环小数，是有理数． 有理数有，共6个． 故答案为：6． 10．（25-26七年级上·浙江金华·期中）已知，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了化简含绝对值的式子，利用已知条件将绝对值表达式简化，结合确定变量符号组合，计算所有可能值后比较得出最小值． 【详解】解：由，得，，，故，，， ∴原式化为， 令，则， 由和可知，a，b，c中一正两负， ①若，，，则，，，原式 ， ②若，，，则，，，原式 ， ③若，，，则，，，原式 ， 通过比较得最小值为． 故答案为：． 11．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为a，b，满足． (1)数轴上点A表示的数是______，点B表示的数是______； (2)点P和点Q分别从点A，B同时出发，沿数轴负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒6个单位． ①当P，Q两点相遇时，点P在数轴上对应的数是？ ②求点P出发多少秒后，与点Q之间相距4个单位长度？ 【答案】(1)，8； (2)①；②2秒或4秒 【分析】知识点：非负数性质、数轴动点问题（相遇/距离）．方法：利用非负数和为0求数，用“路程差=速度差×时间”解动点问题．关键：分相遇前/后讨论距离问题．易错点：忽略距离问题的两种情况． （1）求A、B表示的数：由，得，． （2）动点问题： ① 算初始距离（12）、速度差（4），得相遇时间（3秒），再算P移动后的数． ② 分相遇前、相遇后，分别算时间． 【详解】（1）由，得，，故： 点A表示的数是，点B表示的数是8． 故答案为：，8． （2）① 求相遇时点P对应的数 初始距离：，速度差：，相遇时间：秒． 点P移动的距离：，对应数：． ② 求相距4个单位的时间 分两种情况： 相遇前：P、Q两点运动的路程和为，时间：秒； 相遇后：P、Q两点运动的路程和为，时间：秒． 故点P出发2秒或4秒后，与Q相距4个单位． 12．（25-26七年级上·浙江金华·期中）在数轴上表示下列各数，，0，，．并把它们用“＜”连接． 【答案】 如图所示： 【分析】知识点：数轴表示数、绝对值/相反数化简、数的大小比较．方法：先化简各数，再在数轴上标注，根据数轴左小右大比较．关键：正确化简符号（如、）．易错点：符号化简错误；数轴上数的位置标错． 化简各数：、；在数轴上标注0、2、3、；按数轴从左到右顺序用“<”连接：． 【详解】解：、； ． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则为（    ） A．10 B．9 C．7或9 D．9或10 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．分种情况讨论，再进行计算求值；每种情况交换两组数，m的值仍不变，由此即可确定答案． 【详解】解：若取6，7，8，取5，4，3， ∴； 若取5，6，7；取8，4，3， ∴； 若取4，5，6；取8，7，3， ∴； 若取3，4，6；取8，7，5， ∴； 若取3，4，7；取8，6，5， ∴； 若取4，7，8；取6，5，3， ∴； 若取3，5，8；取7，6，4， ∴； 若取3，6，8；取7，5，4， ∴； 若取4，6，8；取7，5，3， ∴； 若取4，5，8；取7，6，3， ∴； 以上每种情况交换两组数，即，，分别变为，，；，，分别变为，，，则，结果不变；如取4，5，8；取7，6，3，交换两组数，即取3，6，7；取8，5，4，此时； 综上所述，m为9． 故选：B． 2．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）某数学兴趣小组成员在讨论两个实数m，n满足关系时，有以下两种观点：①若m与n的和为正数，则m，n都为正数；②若m与n的差为0，则m，n都为0．则下列判断正确的是（   ）． A．①错②对 B．①对②错 C．①②都对 D．①②都错 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义以及绝对值方程，举反例：，，即可判断①；由结合可得 ，即可判断②． 【详解】解：对于观点①：当，时，符合，，但不符合m，n都为正数，故①错误． 对于观点②：若，即， 又， 则， ∴，故②正确． 故选：A． 3．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是． (1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______； (2)如果，求出点P表示的数以及b的值； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P表示的数是2026，的值是2023 (3)，定值为 【分析】（1）根据“对称数组”的定义，点P表示数2，与P相距4个单位的两点m、可通过“，”计算； （2）设点P表示的数为x，根据对称数组的定义，，，因此，，代入，即可求解； （3）先根据点P、Q的运动速度和时间t，表示出t秒后P、Q的位置，再结合“对称数组”的定义求出n和q，最后分析为定值的条件． 【详解】（1）∵点P表示数2， ∴，， 对称数组是； （2）∵， ∴点P表示的数， ∴； （3）秒后，点P表示的数为， 由，得， 点Q表示的数为，由， 得， 假设存在常数k，使得为定值： ， 要使为定值，则t的系数为0，即， 解得， 此时定值为． 【点睛】本题考查了数轴上的新定义“对称数组”，理解定义并结合数轴运动、代数运算求解，熟练掌握“对称数组”的定义是解题关键． 4．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为，，． (1)写出数轴上点，表示的数：___________，___________． (2)动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． ①为何值时，点到点的距离为2个单位长度； ②为何值时，点到、、三点的距离和有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)2，5 (2)①3或5；②，最小值为11 【分析】本题考查了数轴上点的移动，数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，合理运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据长度关系运算求解即可； （2）①：运用含的式子表达出点，再分类讨论点的位置，结合距离的运算方法列式运算即可； ②：分类讨论点的位置，结合距离的运算方法列式运算即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）①解：由题意可得：， 当点在点的左边时， 解得： 当点在点的右边时， 解得： 综上，或时，点到点的距离为2个单位长度； ②解：到、、三点的距离为： 当点在中间线段时，即， 则 ， ∴当时，可取最小值，最小值为； 当点在中间线段时，即， 则 ， ∴当时，可取最小值，最小值为； 当点在的右边线段时，即， 则 ， ∴当时，可取最小值，最小值为； 综上，时，可取最小值，最小值为． 5．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）阅读材料：数轴是沟通数与形的重要桥梁，利用数轴可以直观地理解很多代数问题．对于数轴上的两点A，B，我们把A，B两点所表示的数之差的绝对值，叫做A，B两点之间的距离，记作．例如，数轴上表示2和5的两点之间的距离为；数轴上表示和的两点之间的距离为． 完成下列各题∶ (1)数轴上表示3和的两点之间的距离为： ； (2)①若，则 ； ②若数轴上点M表示的数为x，点N表示的数为，点P表示的数为5，且，则 ； (3)的最小值为 ． 【答案】(1)7 (2)① 8或；②或6.5 (3)45 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）①根据两点间的距离公式，得到数与3之间的距离为5，分两种情况进行求解即可；②分点在点的左侧和点在点的右侧，两种情况进行讨论求解即可； （3）根据绝对值的意义，共15个距离的和，得到当时，和最小，进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：7； （2）①由题意，或； 故答案为： 8或； ②， ∴， 当点在点的左侧时，，解得； 当点在点的右侧时，，解得； 故答案为：或6.5； （3）表示数到的距离，到的距离的2倍，到4的距离的3倍，到7的距离的4倍，到10的距离的5倍的和， 故当时，此时的和最小为 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 有理数的分类 考点二 数轴 考点三 相反数 考点四 绝对值 05 重难题型突破 题型一 正负数的定义与应用 题型二 用数轴上的点表示有理数 题型三 有理数的分类 题型四 相反数 题型五 求绝对值 题型六 绝对值方程 题型七 利用数轴化简绝对值 题型八 有理数大小比较 题型九 利用数轴比较有理数大小 题型十 分类讨论解决绝对值化简问题 题型十一 绝对值的几何意义 题型十二 数轴上的动点问题 题型十三 数轴上的规律探究 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点与题型 本章以概念辨析与数形结合为主要命题方式，常考考点有：正负数与相反意义的量、有理数的分类、数轴的三要素与标数、相反数与倒数、绝对值及其化简、有理数的大小比较。题型以选择、填空为主，约占卷面 18%—25%。数轴是本章命题的主载体，多数考题以“数轴”或“一组有理数”为背景；绝对值还常与后面的实数、代数式结合，出现在卷末综合题中。 难易度 以基础题为主，难度系数约 0.78，属于“必须拿满的基础分”。中档题集中在数轴上两点间的距离 与含字母的绝对值化简；本章一般不单独命制压轴题，但数轴与绝对值会作为工具被卷末综合题反复调用。易错点集中在： 的归类（既不是正数也不是负数）、 不一定是负数、相反数与倒数混淆、化简 时未先判断正负。 识记 ① 能说出正数、负数、0、整数、分数、有理数的定义，会把给定的数（如 、、、、、、）正确归入相应集合。 ② 能按三要素（原点、正方向、单位长度）规范画出数轴，并在数轴上准确标出给定的有理数。 ③ 能准确表述相反数、绝对值、倒数的定义及符号表示 、，知道 没有倒数。 理解 ① 理解相反数与绝对值的几何意义：相反数是数轴上原点两侧到原点距离相等的两点对应的数，绝对值是一个数对应的点到原点的距离；能说明 。 ② 理解有理数大小比较的两条路径——数轴法（右边的数总比左边的大）与法则法（正数大于 0，0 大于负数；两个负数，绝对值大的反而小），能说出每一步的依据。 ③ 理解 的几何意义是数轴上表示 、 的两点之间的距离。 应用 ① 能结合数轴化简含绝对值的式子，如已知 且 ，化简 。 ② 能解决数轴上点的平移与距离问题，如点 表示 ，向右移动 5 个单位后表示的数是 。 ③ 能处理“绝对值最小的数”“绝对值等于本身的数”“离原点最近的整数”一类问题，并说清理由。 考点一 有理数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： 要点： （1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 考点二 数轴 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点： （1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 考点三 相反数 相反数的定义：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． ⚠️易混易错 （1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 考点四 绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 题型一 正负数的定义与应用 例1（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）如果收入200元记作元，那么支出150元记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 💡破题要诀 ① 先「定基准」：题中没有基准时，要自己写明「规定……为正」，这是全题的立足点。 ② 记住 0 是分界点：0 既不是正数也不是负数，它表示「基准」本身。 ③ 看清相反意义的词组对：上升↔下降、收入↔支出、向东↔向西、超出↔不足。 ④ 「增加 -5」等价于「减少 5」，负号已经把方向反过来了，别再改一次。 ⑤ 结果必须带单位，并把结果放回实际情境中检验是否合理。 迁移应用 变式1-1（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）植物种子都有其发芽的最适宜温度．如果高于最适宜发芽温度记作，那么低于最适宜发芽温度应记作（     ） A． B． C． D． 变式1-2（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）第二十三届中国—东盟博览会于九月十七日在南宁举办，人流量巨大，若进入会展中心10人记作，则离开会展中心5人记作（     ） A． B． C． D． 变式1-3（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）立春是二十四节气之首，标志着春季的开始，立春的“立”表示开始，“春”代表温暖和生长．立春以后某市出现冻雨天气，最低温度低于零度，若把气温零上记为，则表示气温为__________ 题型二 用数轴上的点表示有理数 例2（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知数轴上点表示的数互为相反数，且点在点的左侧．若点间的距离为2，则点表示的数为（     ） A． B．2 C． D．1 💡破题要诀 ① 先查三要素：原点、正方向、单位长度，缺一个就不是完整的数轴。 ② 再定方向：正数在原点右边，负数在原点左边，0 在原点。 ③ 标点前先看清一格代表多少（单位长度），不要默认一格就是 1。 ④ 标分数、小数时先化成与单位长度匹配的份数，必要时刻度细分。 ⑤ 表示点时用实心圆点，并在点下方（或上方）标注对应的数。 迁移应用 变式2-1（26-27七年级上·广东汕头·阶段检测）如图，数轴上点表示的数互为相反数（点在点的左边），且两点间的距离为，则点表示的数是（     ）． A． B．4 C．8 D．－8 变式2-2（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知数轴上点表示的数互为相反数，且点在点的右侧．若点间的距离为7，则点表示的数为（     ） A．3.5 B． C．7 D． 变式2-3（26-27七年级上·全国·课后作业）画出数轴，并在数轴上表示下列各数：，，，，． 题型三 有理数的分类 例3（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各数：，，0，，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0），其中有理数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 💡破题要诀 ① 记牢定义式：有理数 = 整数 + 分数，整数又分正整数、0、负整数。 ② 分数包括有限小数和无限循环小数——凡是能化成分数的小数都是有理数。 ③ 分类时「标准要统一」：要么全按定义分，要么全按符号分，不能两套混着写。 ④ 分类要「不重不漏」，每一层分出的各类之和必须等于原来的集合。 ⑤ 遇到带根号或含 π 的数，先算出它的实际值再判断，不要看形式。 迁移应用 变式3-1（26-27七年级上·全国·单元测试）下列各数中，既是整数又是负数的是（     ） A． B． C． D．0 变式3-2（26-27七年级上·全国·单元测试）把下列各数填在相应的集合内： ，5，0，，2.6，，，0.3，． 正数集合：{________…}； 整数集合：{________…}； 负整数集合：{________…}； 非负有理数集合：{________…}． 变式3-3（26-27七年级上·全国·课后作业）把下列各数填在相应的集合中： 15，，，，，，，0，，，171． 整数集合：{                …}； 非负数集合：{                …}； 正有理数集合：{                …}． 题型四 相反数 例4（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）6的相反数是（     ） A．6 B． C． D． 迁移应用 变式4-1（26-27七年级上·河南驻马店·阶段检测）-2026的相反数是（     ） A． B． C．2026 D．以上都不是 变式4-2（26-27七年级上·新疆和田·阶段检测）的相反数是（     ） A． B．3 C． D． 变式4-3（2026·黑龙江大庆·中考真题）2035的相反数是（     ） A． B． C． D． 题型五 求绝对值 例5（26-27七年级上·河南郑州·阶段检测）2027的绝对值是（     ） A． B． C．2027 D． 💡破题要诀 ① 套定义分三种情况： 时 ； 时 ； 时 。 ② 操作顺序固定：先判断绝对值符号内式子的正负，再去绝对值符号。 ③ 结果必为非负数，这是检验答案对不对最快的一把尺子。 ④ 利用 ：互为相反数的两个数绝对值相等。 ⑤ 已知 反求时，结果通常有两个（ 时 ）。 迁移应用 变式5-1（26-27七年级上·四川绵阳·阶段检测）化简，正确的是（     ） A．3 B． C． D． 变式5-2（26-27七年级上·全国·单元测试）化简：________． 变式5-3（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）计算：_________． 题型六 绝对值方程 例6（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测），则________． 💡破题要诀 ① 先把方程化成标准形 ，左边只留一个绝对值。 ② 按 的符号分三种： 有两解（ 或 ）； 只有一解； 无解。 ③ 拆成两枝后分别解一次方程，两枝的解都要写，不能只留正数那一枝。 ④ 绝对值是距离、必非负，所以出现 要直接判「无解」，不用再算。 ⑤ 解完代入原方程检验，尤其含分母或字母系数时。 迁移应用 变式6-1（2026七年级上·全国·专题练习）解答下列问题： (1)若，则__________； (2)若，则__________． 变式6-2（2026七年级上·河北·专题练习）解方程： 题型七 利用数轴化简绝对值 例7（26-27七年级上·天津·开学考试）对于有理数，，定义一种新运算“”，规定． （1）计算的值=__________； （2）当，在数轴上的位置如图所示时，化简__________． 💡破题要诀 ① 第一步永远是「判正负」：看绝对值内的量在数轴上位于原点哪一侧。 ② 正数直接去掉绝对值符号照抄；负数去掉符号后要整体添一个负号。 ③ 若绝对值内是两个数的差（如 ），右边点减左边点为正，反之为负。 ④ 去完绝对值后统一去括号、合并同类项，每一步只做一种变形。 ⑤ 结果若含字母，回头代入数轴上的具体点验证一次。 迁移应用 变式7-1（25-26七年级下·内蒙古兴安·期末）如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为________． 变式7-2（26-27七年级上·北京·期中）有理数，，在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 变式7-3（26-27七年级上·重庆·阶段检测）有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简． 题型八 有理数大小比较 例8（26-27七年级上·全国·课后作业）下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 先用「三级跳」粗判：正数 > 0 > 负数，正负一分开就少了一半工作量。 ② 两个正数比：分母不同就通分（或都化成小数），再比分子。 ③ 两个负数比：绝对值大的反而小——这一步要写清推理，别凭直觉。 ④ 分数化小数除不尽时改用通分比较，避免近似值造成误判。 ⑤ 三个以上比较时先排序：先找最大和最小，再排中间。 迁移应用 变式8-1（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）在有理数，0，，5中，最小的数是（     ） A． B．0 C． D．5 变式8-2（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）比较大小：______（填写>、<或者=） 变式8-3（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）比较大小（填“”、“”或“”）：______ 题型九 利用数轴比较有理数大小 例9（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知点在数轴上的位置如图所示，观察数轴并解答下列问题： (1)表示有理数3.5的点是_____，点表示的有理数是_____； (2)把有理数在数轴上表示出来，并用“”将这四个数连接起来． 💡破题要诀 ① 记住根本法则：数轴上右边的点表示的数总比左边的大。 ② 先标出原点，再把要比较的数逐个标到数轴上，位置一目了然。 ③ 比较 时利用对称性： 与 关于原点对称，左右相反、距离相等。 ④ 一定在原点右侧（或在原点）， 恒成立。 ⑤ 数轴上两点距离越远，对应两数的差越大，但要注意谁在右。 迁移应用 变式9-1（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）把下列各数在数轴上表示出来，并用“”连接． ，，，0， 变式9-2（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）如图：请在下面数轴上标出下列各数所代表的点，并将对应字母标在数轴上方的相应位置，最后请将这些数用“<”连接起来．点：；点：；点：3；点：． 变式9-3（26-27七年级上·河南郑州·阶段检测）已知一列数：3，，0，，． (1)在数轴上画出表示下列各数的点； (2)用“”符号连接各数． 题型十 分类讨论解决绝对值化简问题 例10（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）已知有理数a，b同号，则的值为（     ） A．0 B． C．或2 D．0或2 💡破题要诀 ① 第一步「找零点」：令每个绝对值内的式子等于 0，解出所有零点。 ② 第二步「分段」：把零点从小到大排在数轴上，把整条数轴切成若干区间。 ③ 第三步「逐段化简」：在每个区间内取一个代表值（或直接判断），定出各式的正负再去符号。 ④ 第四步「收尾」：区间端点单独检验，能合并的同类项要合并到最简。 ⑤ 两个零点就把数轴分成 3 段，三个零点分成 4 段——段数永远是零点数 + 1。 迁移应用 变式10-1（25-26七年级上·重庆·期中）若，则的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．或3 变式10-2（2026七年级上·吉林长春·专题练习）可能的值有___________个． 变式10-3（23-24七年级上·江苏苏州·阶段检测）两个数是均不为0的两个数，且，则__________． 变式10-4（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则______ 题型十一 绝对值的几何意义 例11（26-27七年级上·北京·阶段检测）如果为有理数，则代数式的最小值为_________． 💡破题要诀 ① 核心转化： 就是数轴上点 到点 的距离。 ② 求 的最小值：当 落在线段 上时取到，最小值就是 。 ③ 求 无最大值（ 越跑越远，和越大），题目问「最大」多半要重读题。 ④ 方程 的解就是「到点 距离为 的两个点」，画数轴一眼得到。 ⑤ 三个点时 在 取中间那个点时最小。 迁移应用 变式11-1（2026七年级上·全国·专题练习）的最小值是，则__________． 变式11-2（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题（将结果直接填写在相应位置，不写过程）： (1)若，则_________；若，则_________； (2)若，则能取到的最小值是_________，最大值是_________； (3)的最小值是_________； 变式11-3（24-25七年级上·福建福州·阶段检测）数轴上表示数的点与原点的距离可记作；表示数的点与表示数的点的距离可记作．也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则，两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是_____________，数轴上表示和的两点之间的距离是_____________； (2)数轴上表示与的两点和之间的距离为，那么为_____________； (3)①找出所有使得成立的整数的值（直接写出答案便可）； ②的最小值为_______，此时的取值范围是__________． ③的最大值为________，此时的取值范围是__________． 变式11-4（2026七年级上·全国·专题练习）数轴是初中数学的一个重要工具．它建立了“数”与“形”之间的对应，是“数形结合”的重要基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探究】 (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 （写出最后的结果），表示与的两点之间的距离为 ． (2)可理解为与 两数在数轴上所对应两点之间的距离；可理解为与 两数在数轴上所对应两点之间的距离；所以的最小值为 ． (3)在数轴上，点表示，点表示，点与点始终保持距离为在射线上移动．已知点在点右侧，设点对应的数为，那么当点到点的距离恰好等于点分别到，两点的距离之和时，的值是多少？ 题型十二 数轴上的动点问题 例12（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 💡破题要诀 ① 设运动时间为 秒，统一写出动点坐标：向右 = 起点 + 速度×，向左 = 起点 - 速度×。 ② 「相遇」= 两点坐标相等，把两个含 的式子画等号即可。 ③ 「相距 」必须写成 ，再拆成两枝（左、右两种位置），漏一枝就漏一半答案。 ④ 「折返」类问题要分段：先算到达端点的时间，之后速度方向改变，重新写坐标式。 ⑤ 算出 后检验： 且不超出题意允许的运动时间。 迁移应用 变式12-1（24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点，点，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，点与点在数轴上的距离为45个单位长度，并表示为． 素材2动点从点出发，以2个单位长度／秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探索2：动点从点出发，运动18秒至点和点之间时，求点表示的数？ (3)探索3：动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 变式12-2（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)在数轴上点A所表示的数的相反数是多少？是哪一个点？ (2)如果蚂蚁从点C出发要爬到点D，且点D和点B所表示的两数互为相反数，那么它应该往哪个方向爬几个单位长度？ (3)如果蚂蚁从点C出发要爬到点E，且点E到原点的距离为5个单位长度，那么它应该怎样爬到点E？ 变式12-3（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 题型十三 数轴上的规律探究 例13（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（    ）    A．A B．B C．C D．D 💡破题要诀 ① 先列出前 3～4 项，把「符号」和「绝对值」拆成两条线分别找规律，不要混着看。 ② 符号规律通用写法：正负交替用 或 ，代入 验证取哪一个。 ③ 绝对值规律常见两类：等差型（如 ）和等比型（如 ）。 ④ 写出通项后必须代入 各验一次，三处都对才算过关。 ⑤ 求和时套用后面章节的裂项相消或倒序相加，别硬加。 迁移应用 变式13-1（20-21七年级上·湖北武汉·期末）如图，在数轴上，点表示数现将点沿数轴作如下移动，第一次将点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，…，按照这种移动规律进行下去，第次移动到点，那么点所表示的数为（　　　） A． B． C． D． 变式13-2（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度； (1)求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少？ (2)求在数轴上点B所对应的数b； (3)若D是数轴上一点，且满足，通过计算，求点D所对应的数； (4)如图3，一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第n次跳动后，直接写出数轴上点所表示的数（用含n的代数式表示）． 变式13-3（24-25七年级上·广东广州·阶段检测），分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）中国古代的算筹计数法可以追溯到公元5世纪，摆法有纵式和横式两种．并且可以在个位数画上斜线来表示负数．如表示，则表示的数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求，这里表示直径是和是指直径在到之间的产品都属于合格产品．现加工一批轴，尺寸要求是，请选出不合格的产品（    ） A．44.97 B．45.04 C．45.01 D．45 4．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各图中，表示数轴的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）一辆汽车在东西走向的道路上行驶，若向东行驶3公里记为公里，那么公里表示的实际意义是（　　） A．向西行驶3公里 B．向西行驶5公里 C．向东行驶5公里 D．向东行驶3公里 6．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各数中，是负数也是分数的是（    ） A．0 B． C． D．20.25 7．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）代数式的最小值是（    ） A．0 B． C．1 D．2 8．（25-26七年级上·浙江温州·期中）用数轴表示大于而小于的整数个数共有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 9．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列8个数：，0，，（每两个2之间依次多一个6），1.010010001，，π，，其中有理数有__________个． 10．（25-26七年级上·浙江金华·期中）已知，，则的最小值为______． 11．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为a，b，满足． (1)数轴上点A表示的数是______，点B表示的数是______； (2)点P和点Q分别从点A，B同时出发，沿数轴负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒6个单位． ①当P，Q两点相遇时，点P在数轴上对应的数是？ ②求点P出发多少秒后，与点Q之间相距4个单位长度？ 12．（25-26七年级上·浙江金华·期中）在数轴上表示下列各数，，0，，．并把它们用“＜”连接． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则为（    ） A．10 B．9 C．7或9 D．9或10 2．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）某数学兴趣小组成员在讨论两个实数m，n满足关系时，有以下两种观点：①若m与n的和为正数，则m，n都为正数；②若m与n的差为0，则m，n都为0．则下列判断正确的是（   ）． A．①错②对 B．①对②错 C．①②都对 D．①②都错 3．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是． (1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______； (2)如果，求出点P表示的数以及b的值； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 4．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为，，． (1)写出数轴上点，表示的数：___________，___________． (2)动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． ①为何值时，点到点的距离为2个单位长度； ②为何值时，点到、、三点的距离和有最小值，并求出这个最小值． 5．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）阅读材料：数轴是沟通数与形的重要桥梁，利用数轴可以直观地理解很多代数问题．对于数轴上的两点A，B，我们把A，B两点所表示的数之差的绝对值，叫做A，B两点之间的距离，记作．例如，数轴上表示2和5的两点之间的距离为；数轴上表示和的两点之间的距离为． 完成下列各题∶ (1)数轴上表示3和的两点之间的距离为： ； (2)①若，则 ； ②若数轴上点M表示的数为x，点N表示的数为，点P表示的数为5，且，则 ； (3)的最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $