专题03 实数（必备知识+19题型+分层检测）（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材浙教版

专题03 实数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平方根与算术平方根 能准确区分平方根和算术平方根的概念，熟练计算非负数的平方根、算术平方根. 基础必考点，常出现在小题,易因概念混淆而失分. 无理数的识别 能准确识别无理数，并能举例说明其常见的三种形式. 高频考点，常出现在小题中. 实数的分类与性质 能正确对实数进行分类(有理数、无理数)掌握实数的相反数、绝对值、倒数等性质. 高频易错点,容易忽视无理数的判定及实数性质的综合应用，小题、解答题均有涉及. 立方根 能理解立方根的定义，熟练计算实数的立方根，明确其唯一性. 基础考点，多在小题中考查，难度较低但需注意符号. 实数的运算 会求一个实数的相反数、绝对值和倒数，能进行实数的加、减、乘、除、乘方的简单混合运算. 基础必考点，常与绝对值、幂运算等结合，考查计算准确性. 知识点01 平方根的定义和性质 ★1、平方根的定义： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根. ★2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根. ★3、平方根的表示方法：一个正数a的正的平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-. 正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”． ★4、平方根的性质： ①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 知识点02 算术平方根的定义和性质 ★1、算术平方根的定义： 正数的正平方根称为算术平方根.a的算术平方根记作：，读作:“根号a”. 规定：0的算术平方根是0. 记作: =0. ★2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性. ①被开方数一定是非负数，即a≥0. ②一个非负数的算术平方根也是非负数，即≥0. ★3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根. ★4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 【注意】实际上省略了中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此也读作：“二次根号a”. ★5、算术平方根与平方根的联系和区别： （1）平方根与算术平方根的区别 （2）平方根与算术平方根的联系 知识点03 无理数的概念 ★1、无理数：无限不循环小数又叫做无理数. ★2、常见的无理数的三种形式： (1)圆周率π以及一些含π的数，2π﹣3，； (2)开方开不尽的数，如：，等； (3)有规律但不循环的数，如1.01001000100001…等. 【注意】1.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数,只有无限不循环小数才是无理数. 2.某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数. ★3、无理数与有理数的区别 (1)任何有理数都能化成分数(整数可以看成分母是1的分数)，无理数不能化成分数. (2)任何一个有理数都可以化成有限小数(把整数看成小数点后是0的小数)或无限循环小数，无理数是无限不循环小数. 知识点04 实数的概念和分类 ★1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数. ★2、实数的分类： （1）按定义分类． （2）按性质分类. 知识点05 实数与数轴的关系 ★1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. ★2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大. ★3、实数的大小比较 ①正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数； ②两个正实数，绝对值大的数较大； ③两个负实数，绝对值大的数反而小. 知识点06 实数的性质 在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． ★1、 数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. ★2、 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即设a表示任意一个实数，则 |a| 知识点07 立方根 ★1、立方根的定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根. ★2、立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3是根指数. ★3、开立方： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算. ◆4、立方根与开立方的区别：立方根是一个数，是开立方的结果，而开立方就是求一个数的立方根的运算，即一种开方运算. 知识点08 立方根的性质 ★1、立方根的性质： 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 【注意】任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个. ★2、立方根的两个重要性质： ①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即，利用它可以把一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数. ②. ★3、平方根与立方根的区别和联系： 内 容 平方根 立方根 区 别 性 质 正数 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 0 负数 没有平方根 一个，为负数 表示方法 被开方数的范围 非负数 可以为任何数 联 系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 0 的方根 0 的立方根和平方根都是0 知识点09 实数的运算 ★1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算， 而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. ★2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘方、 开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的. ★3、实数的运算律. ①加法交换律： a＋b＝b＋a； ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ③乘法交换律： ab＝ba； ④乘法结合律：(ab)c＝a(bc) ⑤分配律： a(b＋c)＝ab＋ac. 题型一 平方根、算术平方根的概念 解｜题｜技｜巧 1.±（a≥0）表示非负数的a的平方根，（a≥0）表示非负数a的算术平方根. 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．0的平方根与算术平方根都是0 C．的算术平方根是 D．的平方根是 【变式1】（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（  ） A．的平方根是 B．的算术平方根是4 C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0 【变式2】下列说法：①36的平方根是6；②的平方根是；③；④是的平方根；⑤的平方根是4；⑥81的算术平方根是，其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 题型二 平方根、算术平方根的计算 解｜题｜技｜巧 本题运用了定义法，求一个数的平方（算术）根，先把被开方数化成x2=a的形式，再根据定义即可求出它的平方（算术）根. 【典例1】的算术平方根是（    ） A．4 B．4或 C．2 D．2或 【变式1】下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知某正数的两个不同的平方根为和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 题型三 立方根的概念 解｜题｜技｜巧 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根. 【典例1】的立方根是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．的平方根是±6 B． C．3是9的算术平方根 D．1 【变式2】填空： （1）64的立方根是 　 　 ； （2）的立方根是 ； （3）26的立方根是 　 　； 题型四 立方根的计算 解｜题｜技｜巧 （1） 开立方时，被开方数可以是正数、负数或零； （2）当求一个带分数的立方根时，首先要把带分数化为假分数，然后再求它的立方根. 【典例1】下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】若a＜0，则化简的结果为（　　） A．2 B．﹣2 C．2﹣2a D．2a﹣2 【变式2】求下列各式的值： （1）　 ； （2）　 　； （3）　 ； （4）　 　． 题型五 利用平方根或立方根解方程 解｜题｜技｜巧 1.先将方程化为ax2=b的形式，再利用平方根的定义求未知数的值. 2.先将方程化为ax3=b的形式，再利用立方根的定义求未知数的值. 【典例1】求下列各式中的x （1）（x+2）3+1＝0 （2）9（3x﹣2）2＝64． 【变式1】解方程： （1）（x﹣1）2﹣25＝0； （2）． 【变式1】求下列各式中x的值． （1）（x﹣3）2﹣4＝25； （2）27（x+1）3+8＝0． 题型六 算术平方根（立方根）中的小数点移动规律 解｜题｜技｜巧 1.利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动两位，其算术平方根的小数点相应向左（右）移动一位. 2.利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动三位，其立方根的小数点相应向左（右）移动一位. 【典例1】用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知0.6993，1.507，则　 　． 【变式2】观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)已知，则_______； (2)已知，则_______； (3)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ 题型七 平方根与立方根的综合运用 解｜题｜技｜巧 先由平方根和立方根的定义求出已知未知字母的值，再求出这个由已知中未知字母组成的新数的立方根或平方根. 【典例1】已知2a﹣1的平方根是±3，a+b+1的立方根是3，试求b﹣a的平方根． 【变式1】已知：x的平方根是a+3与2a﹣15，且． （1）求x的值； （2）求a+b﹣1的立方根． 【变式2】已知a是9的算术平方根，是a﹣11的立方根，求的平方根． 题型八 无理数的识别 解｜题｜技｜巧 （1）对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数； （2）π是无理数，，化简后含π的数也是无理数，判断一个数是否为无理数要抓住两点：一是无限小数；二是其形式不循环. 【典例1】下列实数中，无理数是（   ） A． B．0 C． D． 【变式1】在0，，，四个数中，属于无理数的是（　　） A．0 B． C． D． 【变式2】在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数 的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型九 实数的分类 解｜题｜技｜巧 本题采用分类法解答，可先把题目中所列各数分成有理数和无理数两类，再从有理数中找整数及分数. 【典例1】下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数 C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零 【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 【变式2】（2024七年级上·浙江·专题练习）有下列各数：①，②；③；④0；⑤；⑥；⑦．（每两个3之间依次多一个1）． （1）属于整数的有 （填序号） （2）属于负分数的有 （填序号） （3）属于无理数的有 （填序号） 题型十 实数的相反数、倒数、绝对值 解｜题｜技｜巧 在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． 【典例1】下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．3与 B．与1 C．与 D．与 【变式1】实数 0（填、或）；的相反数是 ，绝对值是 ． 【变式2】已知实数a，b，c，d，e，且ab互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，求 的值． 题型十一 实数与数轴 解｜题｜技｜巧 根据“实数与数轴上的点一一对应”及“在数轴上右边的点总比左边的点表示的数大”，我们可以把各数在数轴上表示出来，利用数形结合思想计较实数的大小. 【典例1】如图，数轴的一部分被阴影覆盖了，则被阴影覆盖的数可能是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【变式1】如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点 在点的右侧）且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 题型十二 实数的非负性的应用 解｜题｜技｜巧 几个非负数的和等于零，则每个非负数的值都等于零，据此得出关于字母的方程，运用方程思想求相关字母的值. 【典例1】若，则的算术平方根是（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式1】若，则的相反数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 题型十三 实数的大小比较 解｜题｜技｜巧 1、①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 2、比较实数大小比较的常用方法有：（1）取近似值法（或估算法）；（2）平方法（或立方法）（脱去根号比较）.当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把有理数还原成带根号的形式，比较被开方数，也可采用近似值的方法来比较大小. 【典例1】在，，，0四个数中，最大的数是（   ） A． B． C． D．0 【变式1】比较下列各组数的大小，错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】比较大小： 填“>，<或=” 题型十四 实数的混合运算 解｜题｜技｜巧 实数的混合运算顺序为：先算乘方、开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.有理数的运算律实数同样适用，在运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算. 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2) 题型十五 实数的估算 解｜题｜技｜巧 在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 【典例1】估计的值在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【变式1】数轴上表示的点的位置应在（　　） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【变式2】阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 题型十六 程序图与实数的运算 解｜题｜技｜巧 根据新程序设计图的运算顺序，先列出算式，然后再进行比较后，再进行下一步的运算即可解答. 【典例1】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x等于1时，输出的y值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为81时，输出的y是（　　） A． B．9 C． D． 【变式2】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为﹣512时，输出的y的值是（　　） A．﹣2 B． C． D． 题型十七 实数的规律探究问题 解｜题｜技｜巧 首先根据已知数的特征归纳总结出这一列数变化规律,然后利用规律来解决问题是解题的关键． 【典例1】已知按照一定规律排成的一列实数：﹣1，，，﹣2，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（　　） A． B． C． D．2021 【变式1】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算______；______． (2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______． (3)计算：． 【变式2】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 题型十八 实数的实际应用 解｜题｜技｜巧 实数的实际应用主要是根据题意找到数量关系，然后利用算术平方根以及立方根的性质进行计算即可解答. 【典例1】小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、 宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【变式1】为了装饰房间，小明制作了一个面积为的正方形拼图．他准备把这个拼图装进一个长方形相框中，这个长方形相框的长和宽之比为，且面积为． (1)求长方形相框的长和宽． (2)小明能将拼图放入这个相框中吗？请通过计算说明． 【变式2】如图，把图（1）中两个面积为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图（2）． (1)大正方形的边长为______； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为？若能，求出长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由； (3)如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边长的长度；若不能，请说明理由． 题型十九 实数的新定义运算 解｜题｜技｜巧 根据新定义运算的法则，先列出算式，然后再进行实数的计算即可解答. 【典例1】对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a*b（a+b＞0），如3*2．请计算： （1）8*7； （2）6*（5*4）． 【变式1】对于实数a、b定义运算“#”a#b＝ab﹣a﹣1． （1）求（﹣2）#3的值； （2）通过计算比较3#（﹣2）与（﹣2）#3的大小关系； （3）若x#（﹣4）＝9，求x的值． 【变式1】对于任意两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a⊗b，如2⊗1， 求：（1）3⊗2的值； （2）5⊗（4⊗2）的值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．的平方根是（   ） A．4 B． C． D．2 2．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（    ） A．平方根等于它本身的数是0，1 B．倒数等于它本身的数只有1 C．算术平方根等于它本身的数是0，1 D．的平方根为 3．若是4的一个平方根，则的值为（　　） A． B．或 C． D． 4．如图，数轴上的点表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 7．若一个数的立方根是2，则这个数的平方根是（    ） A．4 B． C．8 D． 8．如图，公园里有一个边长为的正方形花坛．现在想扩大花坛的面积，使花坛面积增加后仍为正方形，则边长应扩大（ ） A． B． C． D． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 9．如果a，b分别是2023的两个平方根，那么　 　． 10．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知实数满足，若为正整数，当b取最大值时， ． 11．如下图网格是由25个边长为1的小正方形组成，则这个阴影正方形的边长为 ． 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． ____________________． 13．根据下表回答下列问题： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 (1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数） (2) ， ． (3)338.56的平方根是 ． 14．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）计算 (1) (2) 15．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）（1）已知某正数的平方根为和，求这个数是多少？ （2）已知，是实数，且，求的平方根． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 16． 已知是a+3b的算术平方根，是1﹣a2的立方根，求ab的平方根． 17．已知，表示m+3的算术平方根，，表示n﹣2的立方根． （1）求m、n的值； （2）求M和N的值； （3）求M+N的平方根． 18．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 19．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）（1）用“”、“”或“”填空： ； （2）由（1）可知： ① ； ② ； ③ ； （3）计算（结果保留根号）： ①； ②． 20．下而是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． （1）任务一：的小数部分为 　　． （2）任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． （3）任务三：，其中x是整数，且0＜y＜1，求2x﹣y的相反数． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平方根与算术平方根 能准确区分平方根和算术平方根的概念，熟练计算非负数的平方根、算术平方根. 基础必考点，常出现在小题,易因概念混淆而失分. 无理数的识别 能准确识别无理数，并能举例说明其常见的三种形式. 高频考点，常出现在小题中. 实数的分类与性质 能正确对实数进行分类(有理数、无理数)掌握实数的相反数、绝对值、倒数等性质. 高频易错点,容易忽视无理数的判定及实数性质的综合应用，小题、解答题均有涉及. 立方根 能理解立方根的定义，熟练计算实数的立方根，明确其唯一性. 基础考点，多在小题中考查，难度较低但需注意符号. 实数的运算 会求一个实数的相反数、绝对值和倒数，能进行实数的加、减、乘、除、乘方的简单混合运算. 基础必考点，常与绝对值、幂运算等结合，考查计算准确性. 知识点01 平方根的定义和性质 ★1、平方根的定义： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根. ★2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根. ★3、平方根的表示方法：一个正数a的正的平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-. 正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”． ★4、平方根的性质： ①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 知识点02 算术平方根的定义和性质 ★1、算术平方根的定义： 正数的正平方根称为算术平方根.a的算术平方根记作：，读作:“根号a”. 规定：0的算术平方根是0. 记作: =0. ★2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性. ①被开方数一定是非负数，即a≥0. ②一个非负数的算术平方根也是非负数，即≥0. ★3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根. ★4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 【注意】实际上省略了中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此也读作：“二次根号a”. ★5、算术平方根与平方根的联系和区别： （1）平方根与算术平方根的区别 （2）平方根与算术平方根的联系 知识点03 无理数的概念 ★1、无理数：无限不循环小数又叫做无理数. ★2、常见的无理数的三种形式： (1)圆周率π以及一些含π的数，2π﹣3，； (2)开方开不尽的数，如：，等； (3)有规律但不循环的数，如1.01001000100001…等. 【注意】1.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数,只有无限不循环小数才是无理数. 2.某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数. ★3、无理数与有理数的区别 (1)任何有理数都能化成分数(整数可以看成分母是1的分数)，无理数不能化成分数. (2)任何一个有理数都可以化成有限小数(把整数看成小数点后是0的小数)或无限循环小数，无理数是无限不循环小数. 知识点04 实数的概念和分类 ★1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数. ★2、实数的分类： （1）按定义分类． （2）按性质分类. 知识点05 实数与数轴的关系 ★1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. ★2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大. ★3、实数的大小比较 ①正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数； ②两个正实数，绝对值大的数较大； ③两个负实数，绝对值大的数反而小. 知识点06 实数的性质 在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． ★1、 数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. ★2、 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即设a表示任意一个实数，则 |a| 知识点07 立方根 ★1、立方根的定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根. ★2、立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3是根指数. ★3、开立方： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算. ◆4、立方根与开立方的区别：立方根是一个数，是开立方的结果，而开立方就是求一个数的立方根的运算，即一种开方运算. 知识点08 立方根的性质 ★1、立方根的性质： 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 【注意】任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个. ★2、立方根的两个重要性质： ①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即，利用它可以把一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数. ②. ★3、平方根与立方根的区别和联系： 内 容 平方根 立方根 区 别 性 质 正数 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 0 负数 没有平方根 一个，为负数 表示方法 被开方数的范围 非负数 可以为任何数 联 系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 0 的方根 0 的立方根和平方根都是0 知识点09 实数的运算 ★1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算， 而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. ★2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘方、 开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的. ★3、实数的运算律. ①加法交换律： a＋b＝b＋a； ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ③乘法交换律： ab＝ba； ④乘法结合律：(ab)c＝a(bc) ⑤分配律： a(b＋c)＝ab＋ac. 题型一 平方根、算术平方根的概念 解｜题｜技｜巧 1.±（a≥0）表示非负数的a的平方根，（a≥0）表示非负数a的算术平方根. 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．0的平方根与算术平方根都是0 C．的算术平方根是 D．的平方根是 【答案】B 【分析】本题考查了平方根，算术平方根的计算，掌握其计算方法是关键． 根据平方根，算术平方根的计算求解即可． 【详解】解：A、没有平方根，故原选项错误，不符合题意； B、0的平方根与算术平方根都是0，正确，符合题意； C、，的算术平方根是，故原选项错误，不符合题意； D、，的平方根是，故原选项错误，不符合题意； 故选：B ． 【变式1】（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（  ） A．的平方根是 B．的算术平方根是4 C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0 【答案】D 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根及算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】因为负数没有平方根，所以A不符合题意； 因为的算术平方根是2，所以B不符合题意； 因为平方根等于本身的数是0，1的平方根是，所以C不符合题意； 因为0的平方根与算术平方根都是0，所以D符合题意； 故选：D． 【变式2】下列说法：①36的平方根是6；②的平方根是；③；④是的平方根；⑤的平方根是4；⑥81的算术平方根是，其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 【答案】A 【分析】本题运用了平方根和算术平方根，解题的关键是准确应用性质．利用平方根和算术平方根的定义可求解． 【详解】解：①36的平方根是，故①错误； ②9的平方根是，没有平方根，故②错误； ③，故③错误； ④是的一个平方根，故④错误； ⑤，的平方根是，故⑤错误； ⑥81的算术平方根是9，故⑥错误； 综上分析可知：正确的为0个． 故选：A． 题型二 平方根、算术平方根的计算 解｜题｜技｜巧 本题运用了定义法，求一个数的平方（算术）根，先把被开方数化成x2=a的形式，再根据定义即可求出它的平方（算术）根. 【典例1】的算术平方根是（    ） A．4 B．4或 C．2 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．根据，求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴的算术平方根是2， 故选：C． 【变式1】下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平方根的含义，求解一个数的算术平方根，由非负数的一个平方根的平方可得原数可判断D，由求解一个非负数的算术平方根的方法可判断A，B，C，从而可得答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，故A不符合题意； B、，原式计算正确，故B符合题意； C、，原式计算错误，故C不符合题意； D、，原式计算错误，故D不符合题意； 故选：B． 【变式2】已知某正数的两个不同的平方根为和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了已知一个数的平方根，求这个数，先根据正数的平方根有两个，互为相反数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵某正数的两个不同的平方根为和， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴这个正数是， 故选：D 题型三 立方根的概念 解｜题｜技｜巧 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根. 【典例1】的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可． 【详解】解：∵的立方等于， ∴的立方根等于． 故选：B． 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．的平方根是±6 B． C．3是9的算术平方根 D．1 【答案】C． 【分析】根据立方跟、平方根、算术平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：A、的平方根是，故该项不正确，不符合题意； B、，故该项不正确，不符合题意； C、3是9的算术平方根，故该项正确，符合题意； D、1，故该项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】填空： （1）64的立方根是 　 　 ； （2）的立方根是 ； （3）26的立方根是 　 　； 【分析】（1）利用43＝64得到64的立方根； （2）利用（）3得到的立方根； （3）利用（22）3＝26得到26的立方根； 【详解】解：（1）64的立方根是4； （2）的立方根是； （3）26的立方根是4； 故答案为：（1）4；（2）；（3）4； 题型四 立方根的计算 解｜题｜技｜巧 （1） 开立方时，被开方数可以是正数、负数或零； （2）当求一个带分数的立方根时，首先要把带分数化为假分数，然后再求它的立方根. 【典例1】下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】算术平方根、平方根、立方根的意义，逐项分析即可． 【详解】解：A．∵负数没有算术平方根， ∴不正确； B．，故原式不正确； C．，正确； D．43＝64，∴不正确 故选：C． 【点评】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的意义，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的意义是关键． 【变式1】若a＜0，则化简的结果为（　　） A．2 B．﹣2 C．2﹣2a D．2a﹣2 【答案】C． 【分析】结合已知条件，根据算术平方根及立方根的定义化简即可． 【详解】解：∵a＜0， ∴原式＝﹣a﹣（a﹣2） ＝﹣a﹣a+2 ＝2﹣2a， 故选：C． 【点评】本题考查算术平方根与立方根，熟练掌握其定义及性质是解题的关键． 【变式2】求下列各式的值： （1）　 ； （2）　 　； （3）　 ； （4）　 　． 【分析】（1）原式利用立方根定义计算即可求出值； （2）原式被开方数计算后，利用立方根定义计算即可求出值； （3）原式被开方数计算后，利用立方根定义计算即可求出值； （4）原式利用立方根、算术平方根定义计算即可求出值． 【详解】解：（1）原式6； （2）原式0.3； （3）原式； （4）原式＝4﹣9＝﹣5． 故答案为：（1）﹣6；（2）0.3；（3）；（4）﹣5． 【点评】此题考查了实数的运算，立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 题型五 利用平方根或立方根解方程 解｜题｜技｜巧 1.先将方程化为ax2=b的形式，再利用平方根的定义求未知数的值. 2.先将方程化为ax3=b的形式，再利用立方根的定义求未知数的值. 【典例1】求下列各式中的x （1）（x+2）3+1＝0 （2）9（3x﹣2）2＝64． 【分析】（1）开立方根得出方程x+2＝﹣1，求出即可； （2）开平方得出方程3（3x﹣2）＝±8，求出即可． 【详解】解：（1）（x+2）3＝﹣1， x+2＝﹣1， 解得：x＝﹣3． （2）开平方得：3（3x﹣2）＝±8 解得：x1，x2． 【变式1】解方程： （1）（x﹣1）2﹣25＝0； （2）． 【分析】（1）利用开平方解方程； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】解：（1）（x﹣1）2﹣25＝0， x﹣1＝5或x﹣1＝﹣5， x＝6或x＝﹣4； （2）， （2x+3）3＝64， 2x+3＝4， 2x＝1， ． 【变式1】求下列各式中x的值． （1）（x﹣3）2﹣4＝25； （2）27（x+1）3+8＝0． 【分析】（1）由原式得（x﹣3）2＝25，利用平方根的定义求解可得； （2）由原式可得（x+1）3，根据立方根定义可得． 【详解】解：（1）移项得（x﹣3）2＝29， ∴x﹣3或x﹣3， ∴x＝3或x＝3． （2）移项整理得（x+1）3， ∴x+1， ∴x． 题型六 算术平方根（立方根）中的小数点移动规律 解｜题｜技｜巧 1.利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动两位，其算术平方根的小数点相应向左（右）移动一位. 2.利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动三位，其立方根的小数点相应向左（右）移动一位. 【典例1】用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解图表是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此求解即可． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵， ∴， 故选：A． 【变式1】已知0.6993，1.507，则　 　． 【答案】0.06993． 【分析】根据当被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，立方根的小数点就向左（或向右）移动一位得出即可． 【详解】解：∵0.6993， ∴0.06993， 故答案为：0.06993． 【变式2】观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)已知，则_______； (2)已知，则_______； (3)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ 【答案】(1) (2) (3)规律是：数的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位 【分析】本题考查了算术平方根、规律型：数字的变化类，熟练掌握算术平方根是解决本题的关键． （1）根据规律即可得出答案； （2）根据规律即可得出答案； （3）应从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， ∴规律是：数的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位． 题型七 平方根与立方根的综合运用 解｜题｜技｜巧 先由平方根和立方根的定义求出已知未知字母的值，再求出这个由已知中未知字母组成的新数的立方根或平方根. 【典例1】已知2a﹣1的平方根是±3，a+b+1的立方根是3，试求b﹣a的平方根． 【分析】根据平方根、立方根的定义求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵2a﹣1的平方根是±3， ∴2a﹣1＝9， 解得a＝5， 又∵a+b+1的立方根是3， ∴a+b+1＝27， 解得b＝21， ∴b﹣a＝21﹣5＝16， ∴b﹣a的平方根是±±4． 【变式1】已知：x的平方根是a+3与2a﹣15，且． （1）求x的值； （2）求a+b﹣1的立方根． 【分析】（1）根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，列出方程求得a的值，从而即可求得x的值； （2）根据算术平方根的定义求得b，再根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：（1）∵x的平方根是a+3与2a﹣15， ∴（a+3）+（2a﹣15）＝0， 解得：a＝4， ∴x＝（a+3）2＝（4+3）2＝49， ∴x的值为49； （2）∵， ∴b＝5， ∴， ∴a+b﹣1的立方根为2． 【变式2】已知a是9的算术平方根，是a﹣11的立方根，求的平方根． 【分析】根据算术平方根的定义求出a＝3，根据立方根的概念和定义求出b＝4，c＝﹣2，进而求出的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵a是9的算术平方根， ∴． ∵是a﹣11的立方根， ∴b﹣1＝3， ∴b＝4． ∴． ∴． ∵2的平方根为， ∴的平方根为． 题型八 无理数的识别 解｜题｜技｜巧 （1）对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数； （2）π是无理数，，化简后含π的数也是无理数，判断一个数是否为无理数要抓住两点：一是无限小数；二是其形式不循环. 【典例1】下列实数中，无理数是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是理解无理数是无限不循环小数这一本质特征，能够区分无理数与有理数． 根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称；依次分析各选项，判断其是否为无限不循环小数，进而确定无理数． 【详解】解：无理数是指无限不循环小数，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称． 选项是负整数，属于有理数． 选项是整数，属于有理数． 选项 是无限不循环小数，符合无理数的定义，属于无理数． 选项 ，是正整数，属于有理数． 故选：C． 【变式1】在0，，，四个数中，属于无理数的是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义，掌握定义是解决问题的关键．根据无理数定义即可判定选择项． 【详解】解：A、0是有理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是有理数，故此选项不符合题意； D、是有理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数 的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的概念，算术平方根，无理数就是无限不循环小数，首先计算算术平方根，然后根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：， 无理数有，， （两个1之间依次多一个6），共3个． 故选：C 题型九 实数的分类 解｜题｜技｜巧 本题采用分类法解答，可先把题目中所列各数分成有理数和无理数两类，再从有理数中找整数及分数. 【典例1】下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数 C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零 【答案】D 【分析】直接利用相关实数的性质分析得出答案． 【详解】解：A、无限不循环小数都是无理数，原说法错误，本选项不符合题意； B、无理数不一定是带有根号的数，原说法错误，本选项不符合题意； C、、都是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意； D、实数分为正实数．负实数和零，正确，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了实数的性质，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可． 【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 【答案】，， 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数和无理数的定义，求一个数的算术平方根等知识点，熟练掌握实数的分类及有理数和无理数的定义是解题的关键． 根据有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，无限不循环小数是无理数进行分类即可． 【详解】解：， 由题意可得， 整数有：， 分数有：， 无理数有：， 故答案为：，，． 【变式2】（2024七年级上·浙江·专题练习）有下列各数：①，②；③；④0；⑤；⑥；⑦．（每两个3之间依次多一个1）． （1）属于整数的有 （填序号） （2）属于负分数的有 （填序号） （3）属于无理数的有 （填序号） 【答案】 ④⑥ ②⑤ ③⑦ 【分析】本题考查实数的分类，正理解整数、负分数、无理数是解题的关键．根据实数的分类及定义即可求得答案． 【详解】解： ，， （1）属于整数的有④⑥， 故答案为：④⑥； （2）属于负分数的有②⑤， 故答案为：②⑤； （3）属于无理数的有③⑦， 故答案为：③⑦． 题型十 实数的相反数、倒数、绝对值 解｜题｜技｜巧 在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． 【典例1】下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．3与 B．与1 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查相反数定义，即相加为0的两个数互为相反数，熟练掌握相反数的定式是解题的关键． 先化简各数，然后再依据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合相反数的定义，故该选项不符合题意； B、与1不互为相反数，故该选项不符合题意；； C、与互为相反数，故该选项符合题意； D、，，两个数相等，不互为相反数，故该选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】实数 0（填、或）；的相反数是 ，绝对值是 ． 【答案】 / / 【分析】估算的范围即可判断，再直接利用相反数、绝对值的性质分别分析得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 的相反数是，绝对值是， 故答案为：，，． 【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关性质是解题关键． 【变式2】已知实数a，b，c，d，e，且ab互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，求 的值． 【分析】直接利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出ab＝1，c+d＝0，e＝±2，进而代入求出答案． 【详解】解：由题意可得：ab＝1，c+d＝0，e＝±2， （1）原式12 2 ； （2）原式12 2 ， 综上所述：原式的值为或． 题型十一 实数与数轴 解｜题｜技｜巧 根据“实数与数轴上的点一一对应”及“在数轴上右边的点总比左边的点表示的数大”，我们可以把各数在数轴上表示出来，利用数形结合思想计较实数的大小. 【典例1】如图，数轴的一部分被阴影覆盖了，则被阴影覆盖的数可能是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，根据平方根的定义，对选项中的无理数进行正确的估算是解决本题的关键．根据图中阴影部分可知，这个无理数在1到3之间，结合选项进行排除即可． 【详解】解：∵， 2， ， ∴被阴影覆盖的可能是． 故选：B． 【变式1】如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，以及两点之间的距离公式．数轴上的点与实数一一对应，根据C是线段的中点，可得，用C点表示的数减去的距离，可得A点表示的数． 【详解】解：∵点C是线段的中点， ∴， ∴点A表示的数是：， 故选：D． 【变式2】如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点 在点的右侧）且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与实数、算术平方根的应用，关键是结合题意求出． 由题意可知，面积为7的正方形边长为，所以，而，得，A点的坐标为1，故E点的坐标为． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴， ∵， ∴， ∵A点表示的数为1， ∴E点表示的数为， 故选：D． 题型十二 实数的非负性的应用 解｜题｜技｜巧 几个非负数的和等于零，则每个非负数的值都等于零，据此得出关于字母的方程，运用方程思想求相关字母的值. 【典例1】若，则的算术平方根是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，方程的思想，算术平方根的应用，关键是求出、的值． 根据偶次方和绝对值的非负性得出方程，求出方程的解，再代入求出算术平方根即可． 【详解】解：， ，， ，， ， ∴， 的算术平方根为2， 故选A． 【变式1】若，则的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查非负性，求一个数的相反数，根据非负性求出的值，进而求出的值，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的相反数为：； 故选D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根为 【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键； （1）根据题意易得，然后进行求解即可； （2）根据（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴4的平方根为， 即的平方根为． 题型十三 实数的大小比较 解｜题｜技｜巧 1、①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 2、比较实数大小比较的常用方法有：（1）取近似值法（或估算法）；（2）平方法（或立方法）（脱去根号比较）.当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把有理数还原成带根号的形式，比较被开方数，也可采用近似值的方法来比较大小. 【典例1】在，，，0四个数中，最大的数是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了实数的运算，分别计算各选项的值，再比较大小即可． 【详解】解：，， 而， ∴最大的数是， 故选∶B． 【变式1】比较下列各组数的大小，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】根据算术平方根的意义进行比较，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、∵2.236， ∴1≈1.236， ∴， ∴0.5， 故B符合题意； C、0.5，故C不符合题意； D、7，故D不符合题意； 故选：B． 【变式2】比较大小： 填“>，<或=” 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握几种常见的比较实数大小的方法． 先把两个数通分，然后把根号外的系数变成它的平方，移到根号内，通过比较被开方数的大小比较分子的大小，进而比较这两个数的大小即可． 【详解】解：， ， ， ，即， 故答案为： 题型十四 实数的混合运算 解｜题｜技｜巧 实数的混合运算顺序为：先算乘方、开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.有理数的运算律实数同样适用，在运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算. 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可得到答案； （2）先计算立方根和绝对值，再计算乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． （1）先计算立方根和算术平方根，再去绝对值和计算乘方，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算立方根和算术平方根，再去绝对值和计算乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解； ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查的是实数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算算术平方根，乘方，立方根，化简绝对值，再合并即可； （2）先计算算术平方根的平方，算术平方根，立方根，乘方运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十五 实数的估算 解｜题｜技｜巧 在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 【典例1】估计的值在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算． 求出，即可估算的值． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：D 【变式1】数轴上表示的点的位置应在（　　） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系，无理数的估算，熟练掌握“夹逼法”估值是解题的关键．先估算无理数的大小，然后利用不等式的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， 即， 故数轴上表示的点的位置应在与之间． 故选：A ． 【变式2】阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】1 【分析】根据题中的例子求出a，b，再代入计算即可． 【详解】∵，即， ∴的整数部分为3，小数部分为，即 ∵，即， ∴的整数部分为4，即b=4． ∴， 即的值是1． 题型十六 程序图与实数的运算 解｜题｜技｜巧 根据新程序设计图的运算顺序，先列出算式，然后再进行比较后，再进行下一步的运算即可解答. 【典例1】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x等于1时，输出的y值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B． 【分析】根据数值转换器规定的运算计算即可． 【详解】解：当输入x＝1时， 第一次：，不是有理数； 第二次：，不是有理数； 第三次：4，是有理数， ∴y＝4； 故选：B． 【变式1】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为81时，输出的y是（　　） A． B．9 C． D． 【答案】A． 【分析】把64按给出的程序逐步计算即可． 【详解】解：由题中所给的程序可知：把81取算术平方根，结果为9， 因为9是有理数，所以再取算术平方根，结果为3， 因为3是有理数，所以再取算术平方根，结果为，是无理数，故y． 故选：A． 【变式2】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为﹣512时，输出的y的值是（　　） A．﹣2 B． C． D． 【答案】D． 【分析】把﹣512按给出的程序逐步计算即可． 【详解】解：由题中所给的程序可知：把﹣512取立方根，结果为﹣8， 因为﹣8是有理数，所以再取立方根为﹣2， 因为﹣2是有理数，所以再取立方根为， 因为是无理数，所以输出． 故选：D． 题型十七 实数的规律探究问题 解｜题｜技｜巧 首先根据已知数的特征归纳总结出这一列数变化规律,然后利用规律来解决问题是解题的关键． 【典例1】已知按照一定规律排成的一列实数：﹣1，，，﹣2，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（　　） A． B． C． D．2021 【答案】A． 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2021个数． 【详解】解：∵一列实数：﹣1，，，﹣2，，，，，，，…， ∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的负的算术平方根、算术平方根、立方根， ∵2021÷3＝673…2， ∴这一列数中的第2021个数应是， 故选：A． 【变式1】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算______；______． (2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)1013 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 【变式2】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 【答案】(1)①4；②100 (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知算式得出规律，即可得出答案；②根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得：； ②； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第个等式：； （3）解： ． 题型十八 实数的实际应用 解｜题｜技｜巧 实数的实际应用主要是根据题意找到数量关系，然后利用算术平方根以及立方根的性质进行计算即可解答. 【典例1】小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、 宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【答案】(1)长方形信封的长为，宽为 (2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，以及无理数的估算，利用算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长是解题的关键． （1）先设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【详解】（1）解：设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， ∴，负值舍去 ∴，， 答：长方形信封的长为，宽为． （2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封 由题意得：面积为的正方形贺卡的边长是， ∵， ∴， ∴信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【变式1】为了装饰房间，小明制作了一个面积为的正方形拼图．他准备把这个拼图装进一个长方形相框中，这个长方形相框的长和宽之比为，且面积为． (1)求长方形相框的长和宽． (2)小明能将拼图放入这个相框中吗？请通过计算说明． 【答案】(1)长方形相框的长为，宽为． (2)小明不能将拼图放入这个相框中，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形拼图的边长． （1）设长方形相框的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出正方形拼图的边长，然后与相框的宽比较即可． 【详解】（1）解：设长方形相框的长为，宽为， 由题意得， ， ． 答：长方形相框的长为，宽为． （2）解；面积为的正方形拼图的边长是， ， ， ，即相框的宽小于正方形拼图的边长， 小明不能将拼图放入这个相框中． 【变式2】如图，把图（1）中两个面积为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图（2）． (1)大正方形的边长为______； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为？若能，求出长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由； (3)如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边长的长度；若不能，请说明理由． 【答案】(1)20 (2)不能剪出满足题意的长方形，见解析 (3)能，大正方形的边长为，见解析 【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、算术平方根的实际应用等知识． （1）根据题意得到大正方形面积，即可解决问题； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积为可得x的值，则长为，即可得出结论； （3）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为，据此画出示意图即可． 【详解】（1）解：由题意得大正方形的面积为， 设小正方形的边长为， 则， ∴（舍去负值）， ∴大正方形的边长为． （2）解：设长方形纸片的长为，宽为． 依题意得：， 解得：， ， ， ， ， ， 不能剪出满足题意的长方形； （3）解：一共有5个边长为1的小正方形， 组成的大正方形的面积为5， 该大正方形的边长为，示意图如下： 题型十九 实数的新定义运算 解｜题｜技｜巧 根据新定义运算的法则，先列出算式，然后再进行实数的计算即可解答. 【典例1】对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a*b（a+b＞0），如3*2．请计算： （1）8*7； （2）6*（5*4）． 【答案】（1）； （2）1． 【分析】（1）根据定义的新运算a*b，进行计算即可解答； （2）根据定义的新运算，先算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】解：（1）8*7 ； （2）6*（5*4）＝6* ＝6*3 ＝1． 【变式1】对于实数a、b定义运算“#”a#b＝ab﹣a﹣1． （1）求（﹣2）#3的值； （2）通过计算比较3#（﹣2）与（﹣2）#3的大小关系； （3）若x#（﹣4）＝9，求x的值． 【答案】（1）﹣5； （2）﹣10， （3）x＝﹣2． 【分析】（1）将a＝﹣2，b＝3代入公式计算可得； （2）依据公式计算出3#（﹣2）的值，比较大小即可得； （3）由原等式得出关于x的方程，解之可得答案． 【详解】解：（1）（﹣2）#3＝（﹣2）×3﹣（﹣2）﹣1 ＝﹣6+2﹣1 ＝﹣5； （2）3#（﹣2）＝3×（﹣2）﹣3﹣1 ＝﹣6﹣3﹣1 ＝﹣10， 而（﹣2）#3＝﹣5， ∴3#（﹣2）＜（﹣2）#3； （3）∵x#（﹣4）＝9， ∴﹣4x﹣x﹣1＝9， 解得：x＝﹣2． 【变式1】对于任意两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a⊗b，如2⊗1， 求：（1）3⊗2的值； （2）5⊗（4⊗2）的值． 【分析】（1）根据题目给出的信息列式计算即可； （2）根据题目给出的信息列式计算即可． 【解答】解：（1）； （2）5⊗2． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．的平方根是（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查了求算术平方根和平方根， 先计算的值，再求其平方根．注意区分算术平方根与平方根的概念． 【详解】的平方根是． 故选：C． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（    ） A．平方根等于它本身的数是0，1 B．倒数等于它本身的数只有1 C．算术平方根等于它本身的数是0，1 D．的平方根为 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根和倒数的概念，熟练掌握平方根，算术平方根和倒数相关概念是解题的关键． 根据平方根，算术平方根，和倒数的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．平方根等于它本身的数是0，故本选项不符合题意； B．倒数等于它本身的数有，故本选项不符合题意； C．算术平方根等于它本身的数是0，1，故本选项符合题意； D．的平方根为，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．若是4的一个平方根，则的值为（　　） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平方根的性质，依据平方根的定义得到或，从而可求得的值，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是4的一个平方根， ∴或， 解得：或， 故选：B． 4．如图，数轴上的点表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的点表示无理数、无理数估算等知识，根据数轴上的点的位置得到当令点表示的无理数为，则，根据选项中各个无理数，估算其范围即可得到答案．熟练掌握无理数估算方法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，令数轴上的点表示的无理数为，则， A、由可得，则数轴上的点表示的无理数可能是，符合题意； B、由可得，则，故数轴上的点表示的无理数不可能是，不符合题意； C、由可得，则数轴上的点表示的无理数不可能是，不符合题意； D、由可知数轴上的点表示的无理数不可能是，不符合题意； 故选：A． 5．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性，根据几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0，求出m和n的值，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数． 【详解】解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ． 圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ， 故选D． 7．若一个数的立方根是2，则这个数的平方根是（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据一个数的立方根是2，先求出这个数，然后再求出这个数的平方根即可． 【详解】解：∵这个数的立方根是2， ∴这个数为， ∴这个数的平方根是，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握立方根定义，求出这个数为8． 8．如图，公园里有一个边长为的正方形花坛．现在想扩大花坛的面积，使花坛面积增加后仍为正方形，则边长应扩大（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设边长应扩大x米，根据题意得到改造后花坛的边长长为（x＋8）米，则其面积为（64＋80）平方米，然后根据正方形的面积（x＋8）2＝（64＋80）平方米可得到答案． 【详解】设边长应扩大x米，根据题意，得： （x＋8）2＝64＋80 （x＋8）2＝144 ∴x＋8＝＝12（负值舍去）， ∴x＝4． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用．能够正确得出关系式（x＋8）2＝（64＋80）是解题的关键． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 9．如果a，b分别是2023的两个平方根，那么　 　． 【答案】1． 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，得到a＝﹣b，代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意，得：a＝﹣b， ∴． 故答案为：1． 10．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知实数满足，若为正整数，当b取最大值时， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握算术平方根的相关知识．由，a，b均为正整数，可知当b取最大值时，即，由此求解即可． 【详解】解：∵，a，b均为正整数， ∴ ∴当b取最大值时，即时，， ∴， 解得， 故答案为：4． 11．如下图网格是由25个边长为1的小正方形组成，则这个阴影正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】先求出大正方形的面积及三角形的面积，再利用，进而可求解． 【详解】解：，， 则：， 阴影部分为正方形， 阴影正方形的边长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根和正方形的面积，熟练掌握算术平方根的定义及正方形的面积公式是解题的关键． 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． ____________________． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查实数与数轴，比较实数大小，先化简各数，然后在数轴上表示出各数，再根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可． 【详解】解：，在数轴上表示各数如图： 由图可知：． 13．根据下表回答下列问题： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 (1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数） (2) ， ． (3)338.56的平方根是 ． 【答案】(1)18.6,18.8 (2)18.6，1.89 (3) 【分析】（1）结合表格中数据可得，，即可求解； （2）先根据表中数据得出在18.6和18.7之间，再利用四舍五入求解即可，再根据算术平方根的定义求解即可； （3）根据平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵ ，，， ∴在18.7和18.8之间， 故答案为：18.7,18.8； （2）解：∵，， ∴在18.6和18.7之间， ∴， ∵， ∴， 故答案为：18.6，1.89； （3）解：∵, ∴338.56的平方根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义，正确利用平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 14．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟知算术平方根和立方根的意义是正确解决本题的关键． 根据算术平方根和立方根的意义、乘方的运算法则求解即可． （1）先算乘方，化简绝对值，求算术平方根，再算加减即可； （2）先算乘方，求算术平方根，立方根再计算即可． 【详解】（1）解：；      （2）解：．    ． 15．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）（1）已知某正数的平方根为和，求这个数是多少？ （2）已知，是实数，且，求的平方根． 【答案】（1）25（2） 【分析】（1）本题考查的是平方根的含义，由正数的两个平方根互为相反数建立方程求解即可； （2）本题考查的是算术平方根的非负性的应用，绝对值非负性的应用，由非负数的性质建立方程求解，再求解及其平方根即可． 【详解】解：（1）∵某正数的平方根为和， ∴， 解得：， ∴这个数是． （2）∵， ∴，， ∴，， ∴=， ∴的平方根为． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 16．已知是a+3b的算术平方根，是1﹣a2的立方根，求ab的平方根． 【分析】根据题意得a﹣2b﹣5①2b+1②，据此即可求解． 【详解】解：∵是a+3b的算术平方根， ∴a﹣2b﹣5①， ∵是1﹣a2的立方根， ∴2b+1②， 由①②得：a＝9，b＝1， ∴ab＝9， ∴ab的平方根为±3． 17．已知，表示m+3的算术平方根，，表示n﹣2的立方根． （1）求m、n的值； （2）求M和N的值； （3）求M+N的平方根． 【分析】（1）由题意列得关于m，n的方程组，解方程组即可； （2）将m，n的值代入计算即可； （3）计算求得M+N的值后利用平方根的定义即可求得答案． 【详解】解；（1）由题意得， 解得 ； （2）由（1）知 ， ∴M3，N1， ∴M＝3，N＝1； （3）由（2）知M＝3，N＝1， ∴±±±±2， 即M+N的平方根为±2． 18．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 【答案】（1）10；；（2）；2； 【分析】本题考查了作图，无理数等知识． （1）根据用整体正方形的面积减去周围四个三角形的面积即可； （2）令正方形的边长为即可，再根据算术平方根的估算即可求解． 【详解】解：（1）面积为， 边长为：； 故答案为：10；； （2）正方形如图所示， 面积为， 边长为：； ， 该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为． 故答案为：；2； 19．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）（1）用“”、“”或“”填空： ； （2）由（1）可知： ① ； ② ； ③ ； （3）计算（结果保留根号）： ①； ②． 【答案】（1）（2）①②③（3）①② 【分析】本题考查比较实数大小，化简绝对值，实数的运算： （1）平方法比较大小即可； （2）利用（1）中的大小关系，结合绝对值的意义，化简即可； （3）①先化简再计算即可；②先化简再计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴①； ②； ③； 故答案为：①②③； （3）①原式； ②原式． 20．下而是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． （1）任务一：的小数部分为 　　． （2）任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． （3）任务三：，其中x是整数，且0＜y＜1，求2x﹣y的相反数． 【分析】（1）估算无理数的大小即可确定整数部分和小数部分； （2）估算无理数，的大小，确定a、b的值，再代入计算即可； （3）估算无理数的大小，求出x、y的值，再代入计算，求出相反数即可． 【详解】解：（1）∵， 即， ∴的整数部分为4，小数部分为， 故答案为：； （2）∵，即， ∴的小数部分， ∵， 即， 的整数部分b＝3， ∴； （3）∵， 即， ∴的整数部分为1，小数部分为， ∴， 又∵， ∴， ∵x是整数，且0＜y＜1， ∴， ∴， ∴2x﹣y的相反数． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $