第三章 圆的基本性质（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 九年级上册第三章圆的基本性质单元卷，融合中考真题与期末题，覆盖圆的核心知识点，梯度设计助力能力提升，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|圆周角定理、弦长计算、动态最值|结合中考真题（如第1题），考查几何直观| |填空题|6/18|等弦圆定义、网格作图、旋转路径|创新情境（如第13题等弦圆），培养创新意识| |解答题|9/72|圆与几何综合、动态问题探究|分层设问（如第23题三问递进），提升推理能力|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章圆的基本性质·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.B 2.C 3.C 4.D 5.B 6.A 7.A 8.C 9.C 10.D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.25 12.△ADC、△BDC、△ABD 13.2-V21-V2+2 14.6 15.144 16.2π 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解】(1)，AB为直径， .∴.∠ACB=∠ADB=90° 在Rt△ABD中AB=AD2-BD=V62+8=10 1/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∵AC=BC ,在Rt△ABC中AC2+BC2=AB=10, ∴.AC=BC=5V2 2分 (2)证明：，AB为直径 .∴.∠ACB=∠ADB=90° ∴.AD⊥BD .OE⊥BD,∴.AD‖OE DE‖AB 四边形AOED是平行四边形 .DE‖OA,DE=OA .DE‖OB,DE=OB ∴.四边形OBED是平行四边形 OD=OB ∴.平行四边形OBED是菱形 5分 (3)如图，.BE⊥AE,∴.∠BEA=90°， ∴.点E是在以AB为直径的圆上运动， .CD=2,且CD是绕点C旋转， .点D是在以C为圆心，以2为半径的圆上运动， AC=BC=6, 当∠BAE最小时，AE最大，此时AE与圆C相切于点D, .ADC=∠CDE=90°， ∴.AD=VAC2-CD=4V2 连接CE BAC-AC 2/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.∠CEA=∠CBA=45°， ∴.DE=CD=2, 此时AE=4V2+2,即AB的最大值为42+2. 8分 18.(8分) 【答案】(1) 证明：连接OE、CE,如图， .OC⊥AB ∴.∠AOC=90°， .CE=2AE, .∴.∠COE=2∠AOE, ∴.∠C0E=60°， 而OE=OC, ∴.△OCE为等边三角形， .DE‖AB,OC⊥AB, ∴.DE⊥OC, ∴.CD=OD: 5分 (2).⊙O的直径是4， .OE=OC=CF=2,CD=OD=1, 在Rt△ODE中，DE=V22-1=31 在Rt△EFD中，EF=VDE2+DF=(3+32=2V3 8分 19.(8分) 【详解】(1)解：连接OD, 3/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com ◆ 上好每一堂课 D .OD=OB=DC, ∴.∠DOC=∠C, ∴.∠EDO=∠DOC+∠C=2∠C, 又.OE=OD ∴.∠OED=∠ODE=2∠C, ∴.∠AOE=∠OED+∠C=2∠C+∠C=3∠C=3×26°=78°； 4分 (2)解：由(1)可得∠C=15°，∠OEC=30°， 过点O作OF⊥DE于点F,则DE=2EF, E B .∠OEC=30°，OE=OB=2, 0那=号0E=1 六EF=V0E2-0F=22-1=3 .DE=2EF=23. 8分 20.(8分) 【答案】(1) 证明：，AD是直径， .∴.∠ABD=∠ACD=90°， 在Rt△ABD和Rt△ACD中， AB-AC AD=AD' .'.Rt△ABD≌Rt△ACD|HL, 4/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.∠BAD=∠CAD, .AB=AC, ∴BE=CE; 4分 (2) 四边形BFCD是菱形，理由如下： AB=AC,BE=CE, .AD⊥BC, CF‖BD, .∴.∠FCE=∠DBE, 在△BED和△CEF中， ∠FCE=∠DBE CE=BE ∠CEF=∠BED ∴.△CEF≌△BED ASA, ∴.CF=BD, ∴.四边形BFCD是平行四边形， .∠BAD=∠CAD, ∴.BD=CD: ∴.四边形BFCD是菱形 8分 21.(8分) 【详解】解：(1)(1)如图①，连接OB,OD, 在⊙0中，∠AD-克<B0D,∠BCD号360-∠BoD, ∠BAD+∠BCD=∠B0D+号360-∠BOD=180 5/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 3分 (2)由(1)可知∠BAD+∠BCD=180°， ∠BaD-BCD, ∴.∠BAD=60°，∠BCD=120°， 如图②，连接OB,OD,过点O作OH⊥BD于点H, .∴.∠BOD=2∠BAD=120°， OB=OD=2, ∴.∠ODB=30°， 0H=20D=1, ∴.HD=V0D2-0H=22-12=V3 ∴.BD=2HD=2PV3. B 图② 8分 22.(10分) (1)所作⊙M的内接正三角形ABC如图所示： 6/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com ◆ 上好每一堂课 米、 R Q 5分 (2) 所作⊙N的内接正三角形DEF如图所示： D 10分 23.(10分) 【详解】解：(1)根据上下文题意可得：△OBA≌△O'BC ∴.0C=OA=23 .0C=00+0'C=6+2V3 B 2分 (2)将线段OB绕点B顺时针旋转90°到OB,连接OO,CO' 由旋转的性质知：∠OBO=90°，BO=BO=6,△BOO为等腰直角三角形 7/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .00=6V2 又，四边形ABCD为正方形 ∴.AB=BC,∠ABC=90° .∠CBO=∠ABO 在△OBA和△OBC中， OB=O'B ∠OBA=∠O'BC AB=CB ∴△OBA≌△O'BC(SAS) .OA=0'C=23 在△00'C中，OC≥O0'-0'C 当O,O,C三点共线，且点C在线段00上时，OC=OO'-O'C 即0C≥00'-0'C=6V2-2V3 6分 (3)以B为顶点，构建等腰三角形△ABC,将线段OB绕点B顺时针旋转120°到OB,连接OO', CO,过点B作BF⊥OO于点F,如下图： B 由旋转的性质知：∠OBO=120°，BO'=BO=6,△BOO为等腰三角形 在△OB0中，OB=OB=6,∠OBO'=120°，∴.∠BOF=30° ∴.BF=3,OF=OF=3V3 ∴00'=6/3 由(2)可得△OBA≌△O'BC 8/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0A=0'C=2/3 在△00'C中，OC≥O0'-0'C 当O,O,C三点共线，且点C在线段O0上时，OC=OO'-O'C 即0C≥00'-0'C=4V3 又：OF=3V3,F在线段O0'上 ∴.FC=0F-0C=V3 BC=AB-BF2+FC2-23 .AC=2ABc0s30°=6 △ABC的周长为6+4V3 以A为顶点，构建等腰三角形△ABC,将线段OA绕点A顺时针旋转120°到O'A,连接O0,C0,如 下图： ○ 由旋转的性质得：OA=OA=23,∠OAO=120°，△OAO为等腰三角形 ∴.00=20Acos30°=6 由(2)可得△ACO≌△ABO ..CO=OB=6 在△00C中，0C≥00-0C ∴.当点C在线段OO上时，OC最小 点C与点O重合，OC=0 △ABC的周长为6+4V3 10分 9/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.(12分) 【详解】(1)解：△ABC,△ABC,△ABC,面积相等. 理由：它们共底边AB,且由于l1‖l2,顶点C1,C2,C3到直线l1的距离（即高）相等，故面积相等. 3分 B (2) 图2 点D的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A)· 证明：连接OD, O是AB中点，D是AC的中点， ∴.OD是△ABC的中位线 .OD‖BC 又AB是直径 .∠ACB=90°， ∴.∠ADO=∠ACB=90°， .点D在以OA为直径的圆上。 又，点A、C不重合，故点D不与点A重合， “.点D的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A). 7分 (3)解：过点G作GKME,交CD于K,交AB于P, M D 10/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)可得：SAMG=S△EMK, .MN L CD,MN=4,SAEMG=12, 5c号KEN=12,时KE4=12, 解得：KE=6, .GK‖ME,AB‖CD .四边形KEMP是平行四边形， .PM=KE=6. 又.MG⊥ME,即∠GME=90°， .∠MGP=90, .点G在以PM为直径的半圆弧(AB上方，不含P、M两点)上运动， 取PM中点0，则OG=OM=号PM=×6=3,连接ON、OG, 2 2 .OG+NG≥NG, 当点G在ON延长上时，NG最大，最大值为OG+NG, :AB‖CD,MN⊥CD, ∴MN⊥AB,即∠OMN=90°， 0N=OM2+MN2=32+4=5 .ON+OG=5+3=8, 即NG最大值为8. 12分 11/11 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章 圆的基本性质·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对圆周角是直角得出，进而求出，最后利用同弧所对圆周角相等求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与都是弧所对的圆周角， ∴． 2．一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握圆心角的概念是解题关键．连接，先根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆的性质求出圆心角，则，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵的半径是2， ∴， ∵弦， ∴， ∴是直角三角形，， ∵圆形纸片被等分， ∴， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解．故选：C． 3．如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】如图，延长交于点，连接，，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 4．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，点在上，点为外一点，，，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令交于点，连接、，如图所示，先判断是等腰直角三角形，得到，从而得到，再由圆周角定理得到，最后由外角性质确定，结合四个选项中的角度判断即可得到答案． 【详解】解：令交于点，连接、，如图所示： ，， ， 是等腰直角三角形，则， ， ， ， ， 是的一个外角， ， 即， 综合四个选项中的角度，只有满足要求， 故选：D． 5．如图，将的内接绕点顺时针旋转后得到，其中点恰好落在上，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质，熟练掌握旋转前后对应边相等、对应角相等以及圆内接四边形对角互补是解题的关键． 连接，由旋转性质得到且，从而推出是等腰三角形，，再利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出的度数． 【详解】解：连接， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ， ∴， ∵四边形是的内接四边形 ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，的半径为，则它的外切正边形的边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，求出，再利用正切值计算出即可得到边长． 【详解】.解：如图，设正边形的边与内切圆相切于点，连接、、，则， 在中，，， ，． 7．（2026·广东河源·一模）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质得到，，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴的长为，的长为，的长为， ∴这个等宽曲线的周长为． 8．（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 9．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（  ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，过点M、N作以点O为圆心，∠MON=90°的圆，则点P在所作的圆上，观察圆O所经过的格点，找出到点M距离最大的点即可求出． 【详解】作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=MN，以O为圆心，OM为半径作圆，如图， 因为OQ为MN垂直平分线且OQ=MN，所以OQ=MQ=NQ， ∴∠OMQ=∠ONQ=45°， ∴∠MON=90°， 所以弦MN所对的圆O的圆周角为45°， 所以点P在圆O上，PM为圆O的弦， 通过图像可知，当点P在位置时，恰好过格点且经过圆心O， 所以此时最大，等于圆O的直径， ∵BM＝4，BN＝2， ∴， ∴MQ=OQ=， ∴OM=， ∴， 故选 C． 10．（2026·广东广州·中考真题）如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点在过，，三点的圆弧上运动，当长取最小值时，与的长分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】确定过 三点的圆的圆心和半径，利用点圆距离最小值原理求最小值，通过勾股定理逆定理判定度数从而求弧长． 【详解】解：在矩形 中，，， 设过三点的圆的圆心为，半径为，连接交于点，连接，连接，交圆M于点， 则点在的垂直平分线上 ∴ 在中， 在 中，，即 解得， 过作交延长线于， ∵矩形中， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， 则， ∴ 在中， ∵ ∴当 共线时，取最小值，此时点在点的位置， ∴ 在中，，， 弧的长即为 ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，弦，若，则__________． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出 ，利用三角形内角和求出 的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴． 12．如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________． 【答案】△ADC、△BDC、△ABD 【分析】先求出△ABC的外接圆半径r，再找到距离O点的长度同为r的点，即可求解． 【详解】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：， 则外接圆半径， 图中D点到O点距离为：， 图中E点到O点距离为：， 则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC， 故答案为：△ADC、△ADB、△BDC． 13．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____． 【答案】/ 【分析】如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，再证明经过圆心，，分别求解AC，BC，CF， 设的半径为 再分别表示 再利用勾股定理求解半径r即可． 【详解】解：如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK， 过圆心O，， 设的半径为 ∴ 整理得： 解得： 不符合题意，舍去， ∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为 故答案为： 14．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于，当时，得直线过定点，再求出，得点P在内部，根据过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，得当直线与垂直时，为最小，此时，在中，由勾股定理求出，进而可得的最小值． 【详解】解：∵ ∴直线过定点， ∵点， ∴， 又∵的半径为， ∴， ∴点P在内部， 由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示： 由垂径定理得：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 即的最小值为6． 故答案为：6． 15．如图, 正五边形的边，与分别相切于点M，N， 点P在上，连接，，则的度数为______． 【答案】144 【分析】连接，，在优弧上取一点Q，连接，，先根据正五边形的内角和公式求得，再利用切线的性质和四边形内角和定理求得，然后利用圆周角定理得到，最后利用圆的内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接，，在优弧上取一点Q，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵正五边形的边，与分别相切于点M，N， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：144． 16．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且的周长为，，若，将线段绕点逆时针旋转到点在上时，求点的运动路径长_______． 【答案】 【分析】先利用切线性质得到垂直关系，结合求出的度数；再根据三角形周长和切线长定理求出的长度；最后根据弧长公式计算点的运动路径长（即绕点旋转的弧长）． 【详解】解：连接、， ∵与，分别相切于点，， ∴，， ∴， ∵四边形内角和为，， ∴−−−， ∵的周长为，内切圆与，，分别相切于，，， ∴，，， ∵， ∴−， ∵，且，， ∴， ∴−， ∵， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转到点在上， ∴点的运动路径为以为圆心，为半径，圆心角为的弧， ∴弧长， 故答案为： 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图，以直径 ，已知，点为⊙上一动点． (1)如图1所示，时，求的长． (2)如图2所示，移动点使它和边上的点满足且，四边形是什么四边形，请说明理由； (3)如图3，在中，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，求的最大值． 【答案】(1) (3) 【分析】本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形性质和判定，圆周角定理及其推论，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理． （1）先根据圆周角定理得，再由勾股定理即可解答； （2）先根据垂径定理得：，再证明，得，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论； （3）如图3，连接，先根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上，且，由旋转可得：点在以为圆心，2为半径的圆上，则当为相切时，的值最大，即可解答． 【详解】（1）∵为直径， ∴在中． ∵在中， 2分 (2)证明：∵为直径 ，． 四边形是平行四边形 ∴四边形是平行四边形 ∴平行四边形是菱形 5分 （3）如图，，， ∴点是在以为直径的圆上运动， ，且是绕点C旋转， ∴点是在以为圆心，以为半径的圆上运动， ， ∵当最小时，最大，此时与圆C相切于点D， ， ， 连接 ， ， ， 此时，即AE的最大值为． 8分 18．（8分）如图，是的直径，点C，E都在上，，，交于点D，延长至点F，使，连接． (1)求证：． (2)若的直径是4，求的长． 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）连接，如图，利用得到，则可判定为等边三角形，接着证明，然后根据等边三角形的性质得到结论； （2）先利用勾股定理计算出，然后在中利用勾股定理计算． 【答案】(1) 证明：连接，如图， ， ， ， ， ， 而， 为等边三角形， ， ， ； 5分 （2）的直径是4， ， 在中，， 在中，． 8分 19．（8分）（25-26九年级上·天津红桥·期末）已知为的直径，点在的延长线上，为上一点，，延长与相交于点． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，若，，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边对等角，直角三角形的性质，垂径定理和勾股定理等，掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，，然后根据三角形的外角性质得到解答即可； （2）根据（1）中结论求出，过点O作于点F，则，然后根据的直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 4分 （2）解：由（1）可得，， 过点O作于点F，则， ∵，， ∴， ∴， ∴． 8分 20．（8分）如图，已知是的直径，B，C是两侧圆上的动点，且，过点C作，交直径于点F，连结， (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 【分析】本题考查了圆周角定理，菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）根据圆周角定理推出，进而结合题意推出，从而由等腰三角形的性质得到； （2）根据平行线的性质得出，进而推出，结合题意和全等三角形的性质得到四边形是平行四边形，再根据推出，从而得到四边形是菱形． 【答案】(1) 证明：是直径， ， 在和中， ， ， ， ， ； 4分 (2) 四边形是菱形，理由如下： ，， ， ∵， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形． 8分 21．（8分）（25-26九年级上·江西赣州·期中）【课本再现】在人教版九年级上册课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点，，，在上，求证． 【解决问题】（2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为．求的长． 【答案】 （2）． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，根据圆周角定理可得，，即可得证； （2）连接，，过点作于点，由（1）可知，结合得到，，推出，则，进而得到，即可求解． 【详解】解：（1）（1）如图①，连接，， 在中，，， ； 3分 （2）由（1）可知， ， ，， 如图②，连接，，过点作于点， ， ， ， ， ， ． 8分 22．（10分）（25-26九年级上·江苏徐州·期末）用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，作的内接正三角形； (2)在图2中，作的内接正三角形，使的一边经过内的点． 【答案】【分析】本题考查了作垂直平分线，特殊角的三角函数值，圆周角定理，等边三角形的判定，垂径定理，直径所对的圆周角为直角，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）作任意半径，再作线段的垂直平分线交于两点，交于点，则，推出，同理推出，即， 延长，交于点，连接，结合圆周角定理有，利用垂直平分线以及垂径定理推出，即可得到三角形为的内接正三角形； （2）作任意半径，再作线段的垂直平分线，交于点，以为圆心，为半径画圆，连接，作线段的垂直平分线，交于点，以为圆心，为半径画圆，交之前所作圆于点，作直线，交于点，由直径所对的圆周角为直角，推出，连接，有，由（1）同理推出三角形为的内接正三角形，且的一边经过内的点． (1) 所作的内接正三角形如图所示： 5分 (2) 所作的内接正三角形如图所示： 10分 23．（10分）点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB． （1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整． 解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′． 由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形． ∴OO′＝BO＝6 又∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝60°，AB＝BC ∴∠OBO′＝∠ABC＝60° ∴∠OBA＝∠O′BC 在△OBA和△O′BC中， ∴　 　（SAS） ∴OA＝O′C 在△OO′C中，OC＜OO′+O′C 当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C 即OC≤OO′+O′C ∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是 　 　． （2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值； （3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长． 【答案】（1），；（2）；（3）OC的最小值为或，△ABC的周长为 【分析】（1）根据全等三角形的性质，，从而求得OC的最大值； （2）将线段OB绕点B顺时针旋转90°到O′B，连接OO′，CO′，按照（1）中的思路，求证，从而求得OC的最小值； （3）分别以为顶角进行讨论，按照上述方法求证，从而求得OC的最小值，过点作于点，根据勾股定理求得长度，从而求得△ABC的周长． 【详解】解：（1）根据上下文题意可得： ∴ ∴ 2分 （2）将线段OB绕点B顺时针旋转90°到O′B，连接OO′，CO′ 由旋转的性质知：∠OBO′＝90°，BO′＝BO＝6，为等腰直角三角形 ∴ 又∵四边形为正方形 ∴ ∴ 在△OBA和△O′BC中， ∴（SAS） ∴ 在△OO′C中， 当O，O′，C三点共线，且点C在线段OO′上时， 即 6分 （3）以为顶点，构建等腰三角形，将线段OB绕点B顺时针旋转120°到O′B，连接OO′，CO′，过点作于点，如下图： 由旋转的性质知：∠OBO′＝120°，BO′＝BO＝6，为等腰三角形 在中，，，∴ ∴， ∴ 由（2）可得 ∴ 在△OO′C中， 当O，O′，C三点共线，且点C在线段OO′上时， 即 又∵，在线段上 ∴ ∴ ∴ 的周长为 以为顶点，构建等腰三角形，将线段OA绕点A顺时针旋转120°到O′A，连接OO′，CO′，如下图： 由旋转的性质得：，，为等腰三角形 ∴ 由（2）可得 ∴ 在中， ∴当点在线段上时，最小 ∴点与点重合， 的周长为 10分 24．（12分）（2026·四川达州·中考真题）综合与探究 【方法探究】 (1)如图1，直线，A，B两点在直线上，，，三点在直线上，连接，，，，，，我们发现，，面积的数量关系是______，理由是______ (2)如图2，是的直径，C是上的动点（C不与A重合）、D是的中点，用圆规和无刻度直尺在图2中作出点D的运动路径（不写作法、保留作图痕迹），简要说明理由； (3)【问题解决】如图3，直线，是上一点，，垂足为N，、是射线上的动点，连接，过点在上方作射线，是上的一点，连接，，求线段的最大值． 【答案】(1)相等，等底等高的三角形面积相等 (3)8 【分析】（1）根据平行线间的距离处处相等即可得出结论； （2）根据三角形中位线性质可得，由此得出，根据角所对弦是直径，可得点D的运动路径是以线段为直径的圆（不包含点）； （3）过点作，交于，交于，利用（1）可得，根据求得，再由四边形是平行四边形，可得，由可得是直角三角形，取中点，则，根据点到圆上一点的距离最值即可得，即当点在延长上时，最大，最大值为． 【详解】（1）解：​、​、​面积相等． 理由：它们共底边，且由于，顶点到直线​的距离（即高）相等，故面积相等． 3分 （2） 点D的运动路径是以线段为直径的圆（不包含点）． 证明：连接， ∵是中点，是的中点， ∴是的中位线 ∴． 又∵是直径 ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上． 又∵点、不重合，故点D不与点重合， ∴点D的运动路径是以线段为直径的圆（不包含点）． 7分 （3）解：过点作，交于，交于， 由（1）可得：， ∵，，， ∴，即， 解得：， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵，即， ∴， ∴点在以为直径的半圆弧（上方，不含、两点）上运动， 取中点，则，连接、， ∴， 当点在延长上时，最大，最大值为， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， 即最大值为8． 12分 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章 圆的基本性质·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 3．如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 4．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，点在上，点为外一点，，，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 5．如图，将的内接绕点顺时针旋转后得到，其中点恰好落在上，则为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，的半径为，则它的外切正边形的边长是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广东河源·一模）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 9．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（  ） A． B．6 C． D． 10．（2026·广东广州·中考真题）如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点在过，，三点的圆弧上运动，当长取最小值时，与的长分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，弦，若，则__________． 12．如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________． 13．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____． 14．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 15．如图, 正五边形的边，与分别相切于点M，N， 点P在上，连接，，则的度数为______． 16．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且的周长为，，若，将线段绕点逆时针旋转到点在上时，求点的运动路径长_______． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（8分）如图，以直径 ，已知，点为⊙上一动点． (1)如图1所示，时，求的长． (2)如图2所示，移动点使它和边上的点满足且，四边形是什么四边形，请说明理由； (3)如图3，在中，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，求的最大值． 18．（8分）如图，是的直径，点C，E都在上，，，交于点D，延长至点F，使，连接． (1)求证：． (2)若的直径是4，求的长． 19．（8分）（25-26九年级上·天津红桥·期末）已知为的直径，点在的延长线上，为上一点，，延长与相交于点． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，若，，求弦的长． 20．（8分）如图，已知是的直径，B，C是两侧圆上的动点，且，过点C作，交直径于点F，连结， (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 21．（8分）（25-26九年级上·江西赣州·期中）【课本再现】在人教版九年级上册课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点，，，在上，求证． 【解决问题】（2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为．求的长． 22．（10分）（25-26九年级上·江苏徐州·期末）用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，作的内接正三角形； (2)在图2中，作的内接正三角形，使的一边经过内的点． 23．（10分）点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB． （1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整． 解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′． 由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形． ∴OO′＝BO＝6 又∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝60°，AB＝BC ∴∠OBO′＝∠ABC＝60° ∴∠OBA＝∠O′BC 在△OBA和△O′BC中， ∴　 　（SAS） ∴OA＝O′C 在△OO′C中，OC＜OO′+O′C 当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C 即OC≤OO′+O′C ∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是 　 　． （2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值； （3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长． 24．（12分）（2026·四川达州·中考真题）综合与探究 【方法探究】 (1)如图1，直线，A，B两点在直线上，，，三点在直线上，连接，，，，，，我们发现，，面积的数量关系是______，理由是______ (2)如图2，是的直径，C是上的动点（C不与A重合）、D是的中点，用圆规和无刻度直尺在图2中作出点D的运动路径（不写作法、保留作图痕迹），简要说明理由； (3)【问题解决】如图3，直线，是上一点，，垂足为N，、是射线上的动点，连接，过点在上方作射线，是上的一点，连接，，求线段的最大值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章 圆的基本性质·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 3．如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 4．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，点在上，点为外一点，，，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 5．如图，将的内接绕点顺时针旋转后得到，其中点恰好落在上，则为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，的半径为，则它的外切正边形的边长是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广东河源·一模）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 9．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（  ） A． B．6 C． D． 10．（2026·广东广州·中考真题）如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点在过，，三点的圆弧上运动，当长取最小值时，与的长分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，弦，若，则__________． 12．如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________． 13．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____． 14．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 15．如图, 正五边形的边，与分别相切于点M，N， 点P在上，连接，，则的度数为______． 16．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且的周长为，，若，将线段绕点逆时针旋转到点在上时，求点的运动路径长_______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图，以直径 ，已知，点为⊙上一动点． (1)如图1所示，时，求的长． (2)如图2所示，移动点使它和边上的点满足且，四边形是什么四边形，请说明理由； (3)如图3，在中，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，求的最大值． 18．（8分）如图，是的直径，点C，E都在上，，，交于点D，延长至点F，使，连接． (1)求证：． (2)若的直径是4，求的长． 19．（8分）（25-26九年级上·天津红桥·期末）已知为的直径，点在的延长线上，为上一点，，延长与相交于点． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，若，，求弦的长． 20．（8分）如图，已知是的直径，B，C是两侧圆上的动点，且，过点C作，交直径于点F，连结， (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 21．（8分）（25-26九年级上·江西赣州·期中）【课本再现】在人教版九年级上册课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点，，，在上，求证． 【解决问题】（2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为．求的长． 22．（10分）（25-26九年级上·江苏徐州·期末）用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，作的内接正三角形； (2)在图2中，作的内接正三角形，使的一边经过内的点． 23．（10分）点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB． （1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整． 解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′． 由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形． ∴OO′＝BO＝6 又∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝60°，AB＝BC ∴∠OBO′＝∠ABC＝60° ∴∠OBA＝∠O′BC 在△OBA和△O′BC中， ∴　 　（SAS） ∴OA＝O′C 在△OO′C中，OC＜OO′+O′C 当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C 即OC≤OO′+O′C ∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是 　 　． （2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值； （3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长． 24．（12分）（2026·四川达州·中考真题）综合与探究 【方法探究】 (1)如图1，直线，A，B两点在直线上，，，三点在直线上，连接，，，，，，我们发现，，面积的数量关系是______，理由是______ (2)如图2，是的直径，C是上的动点（C不与A重合）、D是的中点，用圆规和无刻度直尺在图2中作出点D的运动路径（不写作法、保留作图痕迹），简要说明理由； (3)【问题解决】如图3，直线，是上一点，，垂足为N，、是射线上的动点，连接，过点在上方作射线，是上的一点，连接，，求线段的最大值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $