第二章 随机事件的概率（考点+易错+易错训练）（知识清单）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“随机事件的概率”单元内容，涵盖确定事件与随机事件的辨析、概率的定义与计算方法、用频率估计概率及概率的简单应用等核心范畴，搭建了从概念理解到方法掌握再到实际应用的递进式学习支架。 清单采用“知识点分级呈现+易错点专项突破”的方式构建知识体系，如将概率计算方法细分为公式法、列举法等并明确适用条件，7个易错点均配有“易错提醒”和“对点训练”，培养学生的数学思维和数据意识。例如易错点6通过对比频率与概率的区别，帮助学生理解试验值与理论值的联系，不同层次学生可高效查漏补缺，教师能据此精准设计教学，提升课堂针对性。

第二章 随机事件的概率 知识点一 确定事件与随机事件 类别 定义 举例 确定事件 必然 事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件。 在一个只装有红球的袋子中摸球，摸出红球。 不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。 在一个只装有红球的袋子中摸球，摸出白球。 不确定事件（随机事件） 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）。 在一个装有红球和白球的袋子中摸球，摸出白球。 知识点二 概率的定义 2.1概率：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为P(A)。 2.2概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数，它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小。 2.3概率的取值范围：当事件A为必然事件时，P(A)=1；当事件A为不可能事件时,P(A)=0；当事件A为随机事件时，0＜P(A)＜1。 【注意事项】 ①概率大，并不能说明事件一定发生，只是发生的可能性大；概率小，并不能说明事件不发生，只是发生的可能性小； ②在一次试验中，如果事件的各种结果发生的可能性不相等，就不能用概率公式进行计算。 知识点三 概率的计算方法 3.1公式法 概率的计算方法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率，即。 用求概率时，试验需满足的条件： ①在一次试验中，可能出现的结果只有有限个； ②在一次试验中，各种结果出现的可能性相等。 3.2列举法 定义：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法。 用列举法求概率的前提：1）所有可能出现的结果是有限个；2）每个结果出现的可能性相等。 3.3列表法 定义：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法。 3.4画树状图法 定义：当事件要经过多个步骤完成时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法。 知识点四 用频率估计概率 4.1频率与概率 在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小。因此，当试验次数很大时，可以用一个事件发生的频率作为其概率的估计值。 4.2频率与概率的区别和联系 区别： ① 频率是某事件发生次数与试验总次数的比值，是多次试验得到的试验值； ② 概率是事件发生可能性大小的理论值，是一个确定的数。 联系： 在相同条件下，当重复试验次数大量增加时，事件发生的频率会逐渐稳定在相应的概率附近。 4.3应用方法 当随机事件发生的概率难以直接通过理论方法求得时，可以通过大量重复试验，利用事件发生的频率来估计其概率。 【注意事项】 ① 估计概率应进行大量重复试验； ② 不能把某一次或少量几次试验所得的频率直接当作概率； ③ 随着试验次数增加，频率通常会逐渐稳定在概率附近。 知识点五 概率的简单应用 5.1 游戏公平性的判断 判断一个游戏是否公平，关键是比较游戏各参与方获胜的概率。 【判断方法】 ① 分别确定各方获胜的事件； ② 求出各方获胜的概率； ③ 比较各方获胜概率。 若各方获胜概率相等，则游戏规则公平；若各方获胜概率不相等，则游戏规则不公平。 5.2 标记重捕法估计总体数量 当总体数量较大，难以直接进行统计时，可以利用标记重捕法对总体数量进行估计。 【基本步骤】 ① 第一次捕获一定数量的个体，并进行标记后放回； ② 待标记个体与总体充分混合后，再随机捕获一定数量的个体； ③ 统计第二次捕获个体中带有标记的数量； ④ 根据“样本中标记个体所占比例≈总体中标记个体所占比例”建立比例关系。 若第一次标记 M 个个体，第二次捕获 n 个，其中有 m 个带有标记，设总体数量为 N，则： 由此可以估计总体数量 N。 【注意事项】 ① 标记个体放回后，应与总体充分混合； ② 第二次捕获应具有随机性； ③ 最终得到的是总体数量的估计值，而不是精确值。 易错点1 事件类型判断忽视题目的前提条件 易错提醒 1.判断必然事件、不可能事件和随机事件时，首先要明确事件发生的条件。 2.同一个事件在不同条件下，可能属于不同类型，不能脱离题目背景直接判断。 3.“可能性很大”不等于必然事件，“可能性很小”也不等于不可能事件。 4.一定发生、一定不发生、可能发生也可能不发生，是判断三类事件的核心依据。 【对点训练】1．下列说法正确的是（     ） A．从中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较小 B．成语“水中捞月”所描述的事件是随机事件 C．张彩票中有1张奖票，人去摸，先摸的人比后摸的人中奖概率大 D．小强连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，3次都是正面朝上是随机事件 【答案】D 【分析】根据相关知识点逐一判断选项正误即可． 【详解】解：A：在1,2,3,4,5这5个数中，奇数有3个，偶数有2个，，取得奇数的可能性更大，A错误； B：“水中捞月”是一定不会发生的事件，属于不可能事件，不是随机事件，B错误； C：10张彩票中有1张奖票，每个人摸到奖票的概率都是，中奖概率和摸奖顺序无关，C错误； D：连续抛掷硬币3次都是正面朝上，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，D正确． 易错点2 对概率的定义和意义理解不到位 易错提醒 1.概率是刻画事件发生可能性大小的数值，不是一次试验的实际结果。 2.概率越大，只表示事件发生的可能性越大，不能说明该事件一定发生。 3.概率越小，只表示事件发生的可能性越小，不能说明该事件一定不会发生。 4.必然事件、不可能事件和随机事件分别对应 P(A)=1、P(A)=0、0<P(A)<1。 5.对任意事件都有 0≤P(A)≤1。 【对点训练】2．（2026·福建南平·二模）某超市在“五一劳动节”期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸球抽奖机会，摸球规则：不透明的奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黑球和2个白球，顾客不放回地随机进行两次摸球，且每次只摸出1个球，摸球抽奖活动分别设置一、二、三等奖． (1)某购物满300元的顾客参与抽奖，求第一次摸到黑球的概率； (2)请你设置摸球获奖（一、二、三等奖）的规则，使得获一等奖的概率小于获二等奖的概率，获二等奖的概率小于获三等奖的概率． 【答案】(1) (2)示例规则：若两次摸出1个红球和1个黑球则获一等奖，若两次摸出1个红球和1个白球则获二等奖，其余情况获三等奖，规则不唯一，满足概率要求即可。 【分析】（1）根据概率公式计算即可 （2）先计算不同结果的概率，再按照题目要求的概率大小关系设计兑奖方案 【详解】（1）解：不透明的奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黑球和2个白球，共4个球，第一次摸到黑球的概率是； （2）解：列表： 红 黑 白1 白2 红 红，黑 红，白1 红，白2 黑 黑，红 黑，白1 黑，白2 白1 白1，红 白1，黑 白1，白2 白2 白2，红 白2，黑 白2，白1 共有12种等可能的情况，其中两次摸出1个红球和1个黑球的有2种，两次摸出1个红球和1个白球的有4种，两次摸出1个黑球和1个白球的有4种，两次都摸出白球的有2种， ∴两次摸出1个红球和1个黑球的概率是， 两次摸出1个红球和1个白球的概率是， 其余情况的概率是， 设计方案：若两次摸出1个红球和1个黑球则获一等奖，若两次摸出1个红球和1个白球则获二等奖，其余情况获三等奖， 易错点3 概率公式的使用条件不清 易错提醒 1.使用公式的前提是：所有可能结果的个数有限，且各种结果发生的可能性相等。 2.不能看到“概率”就直接套公式，必须先判断是否满足等可能条件。当各个结果的可能性不相等时，不能直接使用上述概率公式。 3. n 表示的是所有等可能结果的总数，而不是随意统计出的结果数量。 4. m 表示事件 A 所包含的等可能结果数，必须保证 m≤n。 【对点训练】3．（22-23九年级下·河北衡水·期中）在一次数学活动课上，某数学老师将1～10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 易错点4 列举结果时不能做到“不重不漏” 易错提醒 1.求概率前必须先确定所有可能出现的等可能结果。 2.两步试验可优先采用列表法；多步试验可优先采用树状图法。 3.列举过程中既要防止重复，也要防止遗漏。 4.涉及“和”“差”“相同”“不同”“正数”“负数”等条件时，要逐一检查符合条件的结果。 5.列举完成后，应再次检查结果总数是否与试验过程相符。 【对点训练】4．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）新城市争霸赛激战正酣．其积分规则如下：每场比赛获胜的球队积2分，失利的球队积1分． (1)请用列表或画树状图的方法，写出甲队连续两场比赛积分和的所有可能结果． (2)求甲队连续两场比赛积分和为4分的概率． 【答案】(1) 树状图如下： 则甲队连续两场比赛积分和的所有可能结果是2分，3分，3分，4分； (2) 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率的方法是解题的关键． （1）根据题意画出树状图即可； （2）列出所有可能出现的结果数及甲队连续两场比赛积分和为4分的结果数，然后代入概率公式求概率即可． 【详解】（1）略 （2）解：两场比赛积分和的所有可能结果有4种，其中积分和是4分的是1种， 则甲队连续两场比赛积分和为4分的概率为． 易错点5 混淆有放回与不放回实验 易错提醒 1.有放回：抽取后放回原总体，每次抽取条件相同，总体数量不变。 2.不放回：抽取后不放回，每次抽取条件改变，总体数量逐次减少。 3.进行第二次抽取前，要先判断第一次抽取的物品是否放回。 4.有放回和不放回虽然都是“连续抽取”，但两次试验的可能情况不同，不能使用相同的结果列举方法机械处理。 5.使用树状图时，要特别注意不放回情况下下一层的可选结果会发生变化。 【对点训练】5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）张老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，如表所示是试验得到的一组统计数据． 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)根据表中的有关数据，估计从袋中摸出一个黑球的概率是 ． (2)估算袋中白球的个数． (3)在（2）的条件下，若小强同学无放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算摸出一个黑球一个白球的概率． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、概率的计算（古典概型），熟练掌握频率与概率的关系、概率公式及列表法（规范行列对应两次试验）求概率是解题的关键． （1）根据大量重复试验中频率的稳定值估计黑球概率； （2）设白球个数，利用黑球概率公式列方程求解； （3）按“第一列是第一次、第一行是第二次”的格式列表，统计所有结果及符合“一黑一白”的结果数，计算概率． 【详解】（1）解：观察表格，当试验次数增多时，摸到黑球的频率稳定在附近，故估计从袋中摸出一个黑球的概率是． （2）解：设袋中白球有个，由黑球概率公式： ， 解得， 经检验是原分式方程的解， ∴袋中白球有个； （3）解：袋中球为1个黑球（记为）、3个白球（记为、、），无放回连续两次摸球的列表如下（第一列为第一次摸球结果，第一行为第二次摸球结果）： 第一次 \ 第二次 总结果数为12种（表格中“-”表示无放回时无法重复摸同个球，实际有效结果为12种），其中“一个黑球一个白球”的结果有6种（、、、、、）， 故概率为． 易错点6 混淆频率与概率 易错提醒 1.频率是通过实际试验得到的，是一个试验值；概率是描述事件发生可能性的理论值。 2.一次或少量试验得到的频率不能直接作为事件的概率。 3.只有在相同条件下进行大量重复试验时，频率才会逐渐稳定在概率附近。 4.试验次数越多，频率一般越趋于稳定，但不意味着每增加一次试验频率就一定更接近概率。 5.遇到统计表或频率变化图，应重点观察试验次数较大时频率的稳定趋势。 【对点训练】6．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”试验：不透明袋子中有个白球、个红球、个黄球和个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（     ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 【答案】C 【分析】观察折线图得到稳定频率约，分别算出每种球的概率，对比找到出现概率接近的球． 【详解】解：观察统计图可知：该球的频率稳定在左右， ∵四种颜色的球出现的概率分别为： 白球：， 红球：， 黄球：， 黑球：， ∴该种球的颜色最有可能是黄球． 易错点7 概率在实际问题中的应用判断不准确 易错提醒 1.判断游戏是否公平，不能只比较双方获胜结果的数量，而要比较双方获胜的概率。 2.游戏各方获胜概率相等，才能判定游戏公平；概率不等则不公平。 3.标记重捕法的核心是“样本中标记个体比例≈总体中标记个体比例”。 4.使用标记重捕法时，必须满足标记个体放回后与总体充分混合，再进行随机捕获。 5.标记重捕法所得结果是对总体数量的估计值，不能理解为总体数量的精确值。 【对点训练】7．（2025九年级上·全国·专题练习）小西和小恺做转盘游戏，现有甲、乙两个转盘（如图），甲转盘被等分成4个扇形，分别标有数字3，4，7，8；乙转盘被等分成3个扇形，分别标有数字3，4，7．小西转动甲转盘，转盘停止转动时，指针所指的数字记为；小恺转动乙转盘，转盘停止转动时，指针所指的数字记为（当指针指向两个扇形的分界线时，重新转动转盘）． (1)请你用画树状图或列表的方法表示出）所有可能的结果； (2)若，，5，6四个数字可以排成四个连续的整数（与顺序无关），则小西胜；否则小恺胜．该游戏是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请说明理由并修改游戏规则，使游戏公平． 【答案】(1) 解：列表如下：       乙转盘 甲转盘 3 4 7 3 4 7 8 共有12种结果． (2) （2）不公平．理由如下： 由（1）可知，共有12种等可能的结果，其中使 能排成四个连续整数的结果有2种， （小西胜）（小恺胜） 该游戏不公平． 修改规则如下：若两个数字之和为奇数，则小西胜；否则小恺胜（修改游戏规则的方法不唯一）． 【分析】本题围绕转盘游戏的概率计算与游戏公平性展开，需用列表或树状图列举所有可能结果，再结合概率公式判断公平性，核心是 “等可能结果下的概率比较”． 【详解】（1）略 （2）略 一、单选题 1．（25-26九年级上·北京顺义·期末）在一个不透明的口袋中，放入标有数字，，，的四个小球除数字外完全相同，从中随机摸出一个小球后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和为的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；解题关键是准确画出表格，列出所有等可能结果． 列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 3 1 2 3 4 4 2 3 4 5 5 3 4 5 6 6 3 4 5 6 6 由表知，共有16种等可能结果，其中两次摸出的小球标号之和为5的有4种结果，所以两次摸出的小球标号之和为5的概率为， 故选B． 2．（25-26九年级下·福建福州·期中）如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别现从中任取一张卡片，将其数字记为，则使一元二次方程有实数根的概率是（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义可得，根据方程有实数根可得，联立求出的取值范围，进而确定符合条件的的个数，最后利用概率公式求解即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程且有实数根， 且， 解得且， 卡片上的数字为，，，， 满足条件的的值只有，共个， 使一元二次方程有实数根的概率是． 3．（25-26九年级上·山西晋中·期中）小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制成如图所示的统计图，则符合这一试验结果的可能是（   ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反 C．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是4 D．小明、小红玩“石头、剪刀、布”游戏，小明获胜 【答案】D 【分析】此题考查了利用频率估计概率，概率公式，解题的关键在于从折线图读取稳定频率． 根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，然后分别计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，不符合题意； B、掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反的概率为，不符合题意； C、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是4的概率为，不符合题意； D、小明、小红玩“石头、剪刀、布”游戏，共有9种等可能的结果，其中小明获胜的情况有3种， 故小明获胜的概率为，符合题意； 故选：D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，现从袋子中先后摸出两个球（不放回），则两个球颜色不同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用画树状图与列表的方法求解随机事件的概率，根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：画树状图如图： 共有20种等可能的结果，而摸到的2个球颜色不相同的情况有12种，所以其概率为． 故选：C 5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）某同学抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷5次，都是反面朝上，则抛掷第6次出现正面朝上的概率是(    ) A．1 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查随机事件的概率，明确质地均匀的硬币每次抛掷结果互不影响是解题关键． 【详解】解：∵质地均匀的硬币每次抛掷时，正面朝上与反面朝上的可能性相等，概率均为，且每次抛掷的结果互不影响，之前的抛掷结果不会改变第6次抛掷的概率． ∴抛掷第6次出现正面朝上的概率是． 故选：C． 6．（2025·山西·模拟预测）经过一个“T”字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假设这两种可能性相同．某一定时间内随机有三人经过该路口，则恰好有两人左拐的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用树状图求事件的概率，概率的计算公式，正确理解题意并列举所有可能的情况是解题的关键．用树状图列举出所有等可能的情况，计算恰好有两人左拐的次数，利用概率计算公式求解． 【详解】树状图如下： 共有8种等可能的情况，其中恰好有两人左拐的有3种， ∴恰好有两人左拐的概率为， 故选：B． 二、填空题 7．（2026·全国·二模）年，长沙市中小学全面实施“活力课间15分钟”行动，鼓励学生走出教室参与体育锻炼．某校在课间开设了花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目．甲、乙两位同学各自从这三项中随机选择一项参加，且两人选择相互独立．则他们恰好都选择花样跳绳的概率是________． 【答案】 【分析】先用列表法得出甲、乙选择运动项目所有等可能的结果总数，再找出两人恰好都选择花样跳绳的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：令花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目分别为A、B、C， A B C A B C 根据表格可得共有9种等可能的结果，其中两人恰好都选择花样跳绳的结果只有1种， 根据概率公式可得：． 8．（2026·山东威海·模拟预测）在1到10这十个数中任意选一个，能使71，113，134这三个数除以它有相同的余数的概率是___________． 【答案】 【分析】法一：分别计算71，113，134除以1到10这十个数中任意选一个，得出对应的余数，找出1到10中符合条件的数后计算概率. 法二：根据同余性质，所求数是两个数差的公约数，找出1到10中符合条件的数后计算概率. 【详解】解：法一：余0；余1；余2；余3；余1；余5；余1；余7；余8；余1； 余0；余1；余2；余1；余3；余5；余1；余1；余5；余3； 余0；余0；余2；余2；余4；余2；余1；余6；余8；余4； ∴总共有种等可能的选法，符合条件的数是，共个，有种， ∴ 所求概率为 . 法二： ∵ 若三个数除以同一个数余数相同，则能整除任意两个数的差， 而，， ∴ 是和的公约数， 又和的公约数为，其中在到范围内的数是，共个， ∵ 总共有种等可能的选法，符合条件的有种， ∴ 所求概率为 . 9．（2026·上海·二模）在一个不透明的布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出两个球，那么所摸到的两个球恰好是一红球一白球的概率为______． 【答案】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 红 红 白 红 红，红 红，白 红 红，红 红，白 白 白，红 白，红 由表知，共有6种等可能结果，其中所摸到两个球恰好是一红球一白球的有4种结果， ∴所摸到两个球恰好是一红球一白球的概率为 ． 10．（25-26九年级上·福建泉州·期末）小东收集抛掷两枚普通硬币结果分别为“两正”、“两反”、“一正一反”的数据，并将其中一种数据绘制成如图所示的折线统计图，可推断该图象是结果出现________的折线统计图． 【答案】一正一反 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率公式，解题的关键在于从折线图读取稳定频率．根据统计图可知，试验结果频率在附近波动，即其概率，然后根据抛掷两枚普通硬币结果为“两正”、“两反”、“一正一反”的概率，约为即为正确答案． 【详解】解：抛掷两枚普通硬币， 第1枚            第2枚 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 故“两正”、“两反”的概率均为，“一正一反”的概率为， 试验结果频率在附近波动，所以可推断该图象是结果出现“一正一反”的折线统计图． 故答案为：一正一反． 11．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验后，发现摸到红球的频率约为，估计袋中红球的个数为___________． 【答案】6 【分析】本题考查了分式方程的应用，频率估计概率．利用频率估计概率，摸到红球的频率为，即概率约为，设红球个数为r，通过方程求解． 【详解】解：设红球个数为r，则总球数为， ∵ 摸到红球的频率约为， ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴估计袋中红球个数为6， 故答案为：6． 12．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）规定：对于一个三位数，当时，则称这样的三位数为“上升数”．现有这样一个三位数，若从1，2，3，4，5，6这六个数中任意抽取一个数作为百位上的数，则所组成的三位数为“上升数”的概率为_____． 【答案】/0.5 【分析】本题考查概率公式求概率；由题意知，共有6种等可能的结果，其中所组成的三位数为“上升数”的结果有3种，利用概率公式可得答案． 【详解】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中所组成的三位数为“上升数”的结果有：1，2，3，共3种， ∴所组成的三位数为“上升数”的概率为 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·山东威海·期末）有两个可以自由转动的均匀转盘，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．规则如下：①分别转动转盘A，B；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘，（若指针停止在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某份为止）． (1)用列表法（或画树状图）分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的概率； (2)小明和小亮想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小明得2分；数字之积为5的倍数时，小亮得3分．这个游戏对双方公平吗？若认为公平，请说明理由；若认为不公平，试修改得分规定，使游戏对双方公平． 【答案】(1) 每次游戏可能出现的所有结果列表如下：            转盘B 转盘A     的数字 的数字 4 5 6 1 2 3 数字之积为3的倍数概率为，数字之积为5的倍数概率为 (2)不公平，修改得分规定为：若数字之积为3的倍数，小明得3分；若数字之积为5的倍数，小亮得5分即可 【分析】本题考查了游戏公平性判断及列表法求概率． （1）通过列表法列出两个转盘数字相乘的所有可能结果，再分别统计“积为3的倍数”“积为5的倍数”的结果数，代入公式计算概率即可； （2）判断游戏是否公平，关键看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可． 【详解】（1）解：由表可知，表格中共有9种等可能的结果， 则数字之积为3的倍数的有5种，其概率为，数字之积为5的倍数的有3种，其概率为． （2）解：这个游戏对双方不公平， ∵小明平均每次得分为（分），小亮平均每次得分为（分）， 由于， ∴游戏对双方不公平，修改得分规定为： 若数字之积为3的倍数，小明得3分；若数字之积为5的倍数，小亮得5分即可． 14．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）活动一：有甲、乙两只不透明的袋子，甲袋中放有编号为1，2，3，4，5的5个小球，乙袋中放有编号为6，7，8，9的4个小球，所有这些球除编号外都相同，搅匀后从中任意摸球．记事件：在甲袋中任意摸出一个球，编号是偶数；事件：在乙袋中任意摸出一个球，编号是偶数；事件：在甲、乙两袋中各摸出一个球，编号都是偶数；事件：在甲、乙两袋中各摸出一个球，编号不都是偶数． （1）填空：________，________； （2）用列表或画树状图的方法求，的值； 小明发现：，，这三者满足等量关系：． 活动二：利用活动一的经验，解决如下问题： （1）抛掷一枚质地均匀的硬币4次，4次抛掷的结果都是正面朝上的概率是________； （2）一只不透明的袋子中装有3个白球，1个蓝球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球，像这样有放回的先后摸球5次，求至少有1次摸到红球的概率． 【答案】活动一：（1），；（2），；活动二：（1）；（2） 【分析】本题考查用列表或画树状图求概率； 活动一：（1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图，再根据事件的结果求概率即可； 活动二：（1）先求出单次抛掷的结果都是正面朝上的概率是，再根据活动一的结论求解即可； （2）先求出单次不是红球的概率，再根据活动一的结论求解即可． 【详解】活动一： （1）甲袋中放有编号为1，2，3，4，5的5个小球，记事件：在甲袋中任意摸出一个球，编号是偶数有2种情况，； 乙袋中放有编号为6，7，8，9的4个小球，事件：在乙袋中任意摸出一个球，编号是偶数有2种情况，； 故答案为：，； （2）画树状图如图， 在甲、乙两袋中各摸出一个球，共有20种情况，事件：在甲、乙两袋中各摸出一个球，编号都是偶数有4种情况，； 事件：在甲、乙两袋中各摸出一个球，编号不都是偶数有16种情况，； 活动二：（1）抛掷一枚质地均匀的硬币4次，单次抛掷的结果都是正面朝上的概率是，则4次抛掷的结果都是正面朝上的概率是； 故答案为：； （2）从3个白球，1个蓝球和2个红球中任意摸出一个球，不是红球的概率是， ∴像这样有放回的先后摸球5次，都不是红球的概率是， ∴至少有1次摸到红球的概率． 15．（2026·云南昆明·模拟预测）为获得晋宁石寨山考古遗址公园的一张门票，甲、乙两位同学玩以下游戏：在不透明的A，B两个口袋中，各装有3个完全相同的小球，A口袋中小球标的数字分别是，2，；B口袋中小球标的数字分别是1，，3．现甲从A口袋中随机摸出一个小球，上面数字记为x，乙从B口袋中随机摸出一个小球，上面数字记为y．如果，则甲获得这张门票；如果，则乙获得这张门票． (1)请用画树状图或列表的方法求出甲乙摸到的所有可能结果； (2)这个游戏公平吗？为什么？ 【答案】(1)所有可能结果共9种，分别为 2 1 3 (2) 解：游戏公平，理由如下： 由（1）可知所有等可能的结果共9种， 其中，满足的结果有、、，共3种， 满足的结果有、、，共3种， 甲获得门票的概率： ， 乙获得门票的概率： ， ∵， ∴这个游戏公平． 【分析】（1）根据题意列表，即可得所有可能结果； （2）由所有可能结果，结合题意可得甲获得这张门票的概率和乙获得这张门票的概率，进行比较即可． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 随机事件的概率 知识点一 确定事件与随机事件 类别 定义 举例 确定事件 必然 事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件。 在一个只装有红球的袋子中摸球，摸出红球。 不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。 在一个只装有红球的袋子中摸球，摸出白球。 不确定事件（随机事件） 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）。 在一个装有红球和白球的袋子中摸球，摸出白球。 知识点二 概率的定义 2.1概率：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为P(A)。 2.2概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数，它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小。 2.3概率的取值范围：当事件A为必然事件时，P(A)=1；当事件A为不可能事件时,P(A)=0；当事件A为随机事件时，0＜P(A)＜1。 【注意事项】 ①概率大，并不能说明事件一定发生，只是发生的可能性大；概率小，并不能说明事件不发生，只是发生的可能性小； ②在一次试验中，如果事件的各种结果发生的可能性不相等，就不能用概率公式进行计算。 知识点三 概率的计算方法 3.1公式法 概率的计算方法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率，即。 用求概率时，试验需满足的条件： ①在一次试验中，可能出现的结果只有有限个； ②在一次试验中，各种结果出现的可能性相等。 3.2列举法 定义：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法。 用列举法求概率的前提：1）所有可能出现的结果是有限个；2）每个结果出现的可能性相等。 3.3列表法 定义：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法。 3.4画树状图法 定义：当事件要经过多个步骤完成时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法。 知识点四 用频率估计概率 4.1频率与概率 在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小。因此，当试验次数很大时，可以用一个事件发生的频率作为其概率的估计值。 4.2频率与概率的区别和联系 区别： ① 频率是某事件发生次数与试验总次数的比值，是多次试验得到的试验值； ② 概率是事件发生可能性大小的理论值，是一个确定的数。 联系： 在相同条件下，当重复试验次数大量增加时，事件发生的频率会逐渐稳定在相应的概率附近。 4.3应用方法 当随机事件发生的概率难以直接通过理论方法求得时，可以通过大量重复试验，利用事件发生的频率来估计其概率。 【注意事项】 ① 估计概率应进行大量重复试验； ② 不能把某一次或少量几次试验所得的频率直接当作概率； ③ 随着试验次数增加，频率通常会逐渐稳定在概率附近。 知识点五 概率的简单应用 5.1 游戏公平性的判断 判断一个游戏是否公平，关键是比较游戏各参与方获胜的概率。 【判断方法】 ① 分别确定各方获胜的事件； ② 求出各方获胜的概率； ③ 比较各方获胜概率。 若各方获胜概率相等，则游戏规则公平；若各方获胜概率不相等，则游戏规则不公平。 5.2 标记重捕法估计总体数量 当总体数量较大，难以直接进行统计时，可以利用标记重捕法对总体数量进行估计。 【基本步骤】 ① 第一次捕获一定数量的个体，并进行标记后放回； ② 待标记个体与总体充分混合后，再随机捕获一定数量的个体； ③ 统计第二次捕获个体中带有标记的数量； ④ 根据“样本中标记个体所占比例≈总体中标记个体所占比例”建立比例关系。 若第一次标记 M 个个体，第二次捕获 n 个，其中有 m 个带有标记，设总体数量为 N，则： 由此可以估计总体数量 N。 【注意事项】 ① 标记个体放回后，应与总体充分混合； ② 第二次捕获应具有随机性； ③ 最终得到的是总体数量的估计值，而不是精确值。 易错点1 事件类型判断忽视题目的前提条件 易错提醒 1.判断必然事件、不可能事件和随机事件时，首先要明确事件发生的条件。 2.同一个事件在不同条件下，可能属于不同类型，不能脱离题目背景直接判断。 3.“可能性很大”不等于必然事件，“可能性很小”也不等于不可能事件。 4.一定发生、一定不发生、可能发生也可能不发生，是判断三类事件的核心依据。 【对点训练】1．下列说法正确的是（     ） A．从中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较小 B．成语“水中捞月”所描述的事件是随机事件 C．张彩票中有1张奖票，人去摸，先摸的人比后摸的人中奖概率大 D．小强连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，3次都是正面朝上是随机事件 易错点2 对概率的定义和意义理解不到位 易错提醒 1.概率是刻画事件发生可能性大小的数值，不是一次试验的实际结果。 2.概率越大，只表示事件发生的可能性越大，不能说明该事件一定发生。 3.概率越小，只表示事件发生的可能性越小，不能说明该事件一定不会发生。 4.必然事件、不可能事件和随机事件分别对应 P(A)=1、P(A)=0、0<P(A)<1。 5.对任意事件都有 0≤P(A)≤1。 【对点训练】2．（2026·福建南平·二模）某超市在“五一劳动节”期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸球抽奖机会，摸球规则：不透明的奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黑球和2个白球，顾客不放回地随机进行两次摸球，且每次只摸出1个球，摸球抽奖活动分别设置一、二、三等奖． (1)某购物满300元的顾客参与抽奖，求第一次摸到黑球的概率； (2)请你设置摸球获奖（一、二、三等奖）的规则，使得获一等奖的概率小于获二等奖的概率，获二等奖的概率小于获三等奖的概率． 易错点3 概率公式的使用条件不清 易错提醒 1.使用公式的前提是：所有可能结果的个数有限，且各种结果发生的可能性相等。 2.不能看到“概率”就直接套公式，必须先判断是否满足等可能条件。当各个结果的可能性不相等时，不能直接使用上述概率公式。 3. n 表示的是所有等可能结果的总数，而不是随意统计出的结果数量。 4. m 表示事件 A 所包含的等可能结果数，必须保证 m≤n。 【对点训练】3．（22-23九年级下·河北衡水·期中）在一次数学活动课上，某数学老师将1～10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 易错点4 列举结果时不能做到“不重不漏” 易错提醒 1.求概率前必须先确定所有可能出现的等可能结果。 2.两步试验可优先采用列表法；多步试验可优先采用树状图法。 3.列举过程中既要防止重复，也要防止遗漏。 4.涉及“和”“差”“相同”“不同”“正数”“负数”等条件时，要逐一检查符合条件的结果。 5.列举完成后，应再次检查结果总数是否与试验过程相符。 【对点训练】4．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）新城市争霸赛激战正酣．其积分规则如下：每场比赛获胜的球队积2分，失利的球队积1分． (1)请用列表或画树状图的方法，写出甲队连续两场比赛积分和的所有可能结果． (2)求甲队连续两场比赛积分和为4分的概率． 易错点5 混淆有放回与不放回实验 易错提醒 1.有放回：抽取后放回原总体，每次抽取条件相同，总体数量不变。 2.不放回：抽取后不放回，每次抽取条件改变，总体数量逐次减少。 3.进行第二次抽取前，要先判断第一次抽取的物品是否放回。 4.有放回和不放回虽然都是“连续抽取”，但两次试验的可能情况不同，不能使用相同的结果列举方法机械处理。 5.使用树状图时，要特别注意不放回情况下下一层的可选结果会发生变化。 【对点训练】5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）张老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，如表所示是试验得到的一组统计数据． 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)根据表中的有关数据，估计从袋中摸出一个黑球的概率是 ． (2)估算袋中白球的个数． (3)在（2）的条件下，若小强同学无放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算摸出一个黑球一个白球的概率． 易错点6 混淆频率与概率 易错提醒 1.频率是通过实际试验得到的，是一个试验值；概率是描述事件发生可能性的理论值。 2.一次或少量试验得到的频率不能直接作为事件的概率。 3.只有在相同条件下进行大量重复试验时，频率才会逐渐稳定在概率附近。 4.试验次数越多，频率一般越趋于稳定，但不意味着每增加一次试验频率就一定更接近概率。 5.遇到统计表或频率变化图，应重点观察试验次数较大时频率的稳定趋势。 【对点训练】6．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”试验：不透明袋子中有个白球、个红球、个黄球和个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（     ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 易错点7 概率在实际问题中的应用判断不准确 易错提醒 1.判断游戏是否公平，不能只比较双方获胜结果的数量，而要比较双方获胜的概率。 2.游戏各方获胜概率相等，才能判定游戏公平；概率不等则不公平。 3.标记重捕法的核心是“样本中标记个体比例≈总体中标记个体比例”。 4.使用标记重捕法时，必须满足标记个体放回后与总体充分混合，再进行随机捕获。 5.标记重捕法所得结果是对总体数量的估计值，不能理解为总体数量的精确值。 【对点训练】7．（2025九年级上·全国·专题练习）小西和小恺做转盘游戏，现有甲、乙两个转盘（如图），甲转盘被等分成4个扇形，分别标有数字3，4，7，8；乙转盘被等分成3个扇形，分别标有数字3，4，7．小西转动甲转盘，转盘停止转动时，指针所指的数字记为；小恺转动乙转盘，转盘停止转动时，指针所指的数字记为（当指针指向两个扇形的分界线时，重新转动转盘）． (1)请你用画树状图或列表的方法表示出）所有可能的结果； (2)若，，5，6四个数字可以排成四个连续的整数（与顺序无关），则小西胜；否则小恺胜．该游戏是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请说明理由并修改游戏规则，使游戏公平． 一、单选题 1．（25-26九年级上·北京顺义·期末）在一个不透明的口袋中，放入标有数字，，，的四个小球除数字外完全相同，从中随机摸出一个小球后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和为的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·福建福州·期中）如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别现从中任取一张卡片，将其数字记为，则使一元二次方程有实数根的概率是（ ） A． B． C． D．1 3．（25-26九年级上·山西晋中·期中）小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制成如图所示的统计图，则符合这一试验结果的可能是（   ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反 C．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是4 D．小明、小红玩“石头、剪刀、布”游戏，小明获胜 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，现从袋子中先后摸出两个球（不放回），则两个球颜色不同的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）某同学抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷5次，都是反面朝上，则抛掷第6次出现正面朝上的概率是(    ) A．1 B． C． D．无法确定 6．（2025·山西·模拟预测）经过一个“T”字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假设这两种可能性相同．某一定时间内随机有三人经过该路口，则恰好有两人左拐的概率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2026·全国·二模）年，长沙市中小学全面实施“活力课间15分钟”行动，鼓励学生走出教室参与体育锻炼．某校在课间开设了花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目．甲、乙两位同学各自从这三项中随机选择一项参加，且两人选择相互独立．则他们恰好都选择花样跳绳的概率是________． 8．（2026·山东威海·模拟预测）在1到10这十个数中任意选一个，能使71，113，134这三个数除以它有相同的余数的概率是___________． 9．（2026·上海·二模）在一个不透明的布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出两个球，那么所摸到的两个球恰好是一红球一白球的概率为______． 10．（25-26九年级上·福建泉州·期末）小东收集抛掷两枚普通硬币结果分别为“两正”、“两反”、“一正一反”的数据，并将其中一种数据绘制成如图所示的折线统计图，可推断该图象是结果出现________的折线统计图． 11．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验后，发现摸到红球的频率约为，估计袋中红球的个数为___________． 12．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）规定：对于一个三位数，当时，则称这样的三位数为“上升数”．现有这样一个三位数，若从1，2，3，4，5，6这六个数中任意抽取一个数作为百位上的数，则所组成的三位数为“上升数”的概率为_____． 三、解答题 13．（25-26九年级上·山东威海·期末）有两个可以自由转动的均匀转盘，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．规则如下：①分别转动转盘A，B；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘，（若指针停止在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某份为止）． (1)用列表法（或画树状图）分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的概率； (2)小明和小亮想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小明得2分；数字之积为5的倍数时，小亮得3分．这个游戏对双方公平吗？若认为公平，请说明理由；若认为不公平，试修改得分规定，使游戏对双方公平． 14．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）活动一：有甲、乙两只不透明的袋子，甲袋中放有编号为1，2，3，4，5的5个小球，乙袋中放有编号为6，7，8，9的4个小球，所有这些球除编号外都相同，搅匀后从中任意摸球．记事件：在甲袋中任意摸出一个球，编号是偶数；事件：在乙袋中任意摸出一个球，编号是偶数；事件：在甲、乙两袋中各摸出一个球，编号都是偶数；事件：在甲、乙两袋中各摸出一个球，编号不都是偶数． （1）填空：________，________； （2）用列表或画树状图的方法求，的值； 小明发现：，，这三者满足等量关系：． 活动二：利用活动一的经验，解决如下问题： （1）抛掷一枚质地均匀的硬币4次，4次抛掷的结果都是正面朝上的概率是________； （2）一只不透明的袋子中装有3个白球，1个蓝球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球，像这样有放回的先后摸球5次，求至少有1次摸到红球的概率． 15．（2026·云南昆明·模拟预测）为获得晋宁石寨山考古遗址公园的一张门票，甲、乙两位同学玩以下游戏：在不透明的A，B两个口袋中，各装有3个完全相同的小球，A口袋中小球标的数字分别是，2，；B口袋中小球标的数字分别是1，，3．现甲从A口袋中随机摸出一个小球，上面数字记为x，乙从B口袋中随机摸出一个小球，上面数字记为y．如果，则甲获得这张门票；如果，则乙获得这张门票． (1)请用画树状图或列表的方法求出甲乙摸到的所有可能结果； (2)这个游戏公平吗？为什么？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $