第二章 随机事件的概率（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册数学第二章“随机事件的概率”单元能力提升卷，以无人机灯光秀、足球联赛等时代情境为载体，融合多道中考模拟题，全面考查概率计算、几何概型等核心知识，适配单元复习与能力拔高。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|随机事件判断、概率计算、几何概率|第4题以无人机灯光秀考分步计数，第8题结合频率估计红球数量，体现数据意识| |填空题|6/18|中心对称图形识别、几何概型、方程与函数综合|第13题用随机投点法估计椭圆面积，第15题综合方程有解与函数面积求概率，培养抽象能力| |解答题|9/72|列表法/树状图、游戏公平性、频率与概率关系|24题对比商场促销抽奖方案奖金期望，21题结合接力跑赛道分配考公平性，发展模型意识与推理能力|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 随机事件的概率·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B D A D D B A B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13．120 14．1 15． 16． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分） 【详解】（1）解：画树状图如下： 从中不放回地任取两个球共有种情况， 其中两球数字和为的情况有和，共种， ∴取得两球的数字和为的概率为． 4分 （2）解：树状图如下： 从中任取一个球，记下数字后放回袋中，搅拌均匀后再从中任取一球，共有种取法， 两球数字和为的情况有、、，共种， ∴取得两球的数字和为的概率为． 8分 18．（8分） 【详解】（1）解：∵共有个牌照，每个牌照被选中的可能性相等，末尾数字是的牌照有个， ∴嘉嘉选取牌照编号末尾数字是的概率为； 4分 （2）解：画树状图如下： 共种等可能的结果，其中末尾数字正好差的结果种， ∴ 她俩选取牌照编号末尾数字正好差的概率为． 8分 19．（8分） 【详解】（1）解：∵卡片上分别标有数字，，2，3．负数共2个， ∴小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为． 3分 （2）这个游戏规则公平 理由如下：画树状图如下 共有16种等可能的结果，其中两人抽取卡片上的数字之积为正数的结果有8个，两人抽取卡片上的数字之积为负数的结果有8个， （小明胜），P（小亮胜）， ∴小明胜的概率=小亮胜的概率， ∴这个游戏规则公平． 8分 20．（8分） 【详解】（1）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近0.6，然后根据利用频率估计概率得“文创”的概率约是0.6 2分 （2）(2)解：树状图如下： 一共有9种等可能性的结果，其中甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的结果有3种， ∴甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率为． 8分 21．（8分） 【详解】（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为． 2分 (2)这个游戏规则对甲、乙两队公平，列表如下： 甲 乙 1 2 3 4 1 － 2 － 3 － 4 － 由上表可知，共有12种等可能的结果， 其中满足两队赛道编号之差的绝对值为1的结果有6种，满足编号之差的绝对值大于1的结果有6种， ． 故这个游戏规则对甲、乙两队公平 8分 22．（10分） 【详解】（1）解：∵， ∴从顶点跑到顶点的概率为：； 3分 （2）解：列表如下： 和 由上表可知，所有等可能情况共种，其中和为的有种， ∴两次跑完恰好回到处的概率：． 10分 23．（10分） 【详解】（1）解：用表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3种， ∴小明和小峰选择同一种方法的概率为； 5分 (2)选择小彤的方法说明，理由如下： 连接，如下图， 由折叠的性质可得，，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 10分 24．（12分） 【详解】（1）解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为250元，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2次，由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元， 从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下： 共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种， 所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为； 6分 （2）解：选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．理由如下： ①由（1）可得，只选择方案A，抽奖2次，获得15元的概率为，获得30元（2次都是红球）的概率为，两次都不获奖的概率为， 所以只选择方案A获得奖金的平均值为：15×+30×=10（元）， ②只选择方案B，则只能摸奖1次，摸到红球的概率为，因此获得奖金的平均值为：10×≈6.7（元）， ③选择方案A1次，方案B1次，所获奖金的平均值为：15×+10×≈11.7（元）， 因此选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算． 12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 随机事件的概率·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图是围棋棋盘的一部分，在交叉点上已经摆放了2枚白棋和1枚黑棋，再随机在其他交叉点摆放两枚白棋后，则以四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将剩余交叉点分别记为，则两枚白棋摆放在的位置或者的位置，四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形，再画树状图求解即可． 【详解】解：将剩余交叉点分别记为，如图： 则两枚白棋摆放在的位置或者的位置，四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形， 画树状图为： 由树状图可知一共有30种等可能性的结果数，其中以四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形的结果数有4种， ∴以四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形的概率是． 2．小木筒内装有四根相同的竹签，竹签上分别标有数字1，2，3，4．从小木筒中随机抽取一根竹签后，再从剩余的竹签里抽取一根，则下列事件为随机事件的是（      ） A．两根竹签的数字之和小于3 B．两根竹签的数字之和等于3 C．两根竹签的数字之和等于8 D．两根竹签的数字之和大于8 【答案】B 【分析】先计算不放回抽取两根竹签的数字和的取值范围，再根据随机事件的定义判断各选项． 【详解】解：不放回抽取两根竹签，数字和的最小值为，最大值为， ∵ 数字和小于3一定不发生， ∴ A是不可能事件，故A不符合题意； ∵ 数字和等于3可能发生，也可能不发生， ∴ B是随机事件，故B符合题意； ∵ 数字和等于8、大于8均一定不发生， ∴ C、D是不可能事件，故C、D不符合题意． 3．（2026·山西朔州·二模）在下列事件中，发生的可能性最小的是（ ） A．在平原地区用普通水壶烧开水时，水沸腾的温度为 B．一位专业射击运动员在无风条件下射靶，一次命中10环 C．太原市1月15日的最高温度为 D．用长为，，三根木棒做成一个三角形 【答案】D 【分析】结合生活实际，以及三角形三边关系判断各事件类型，即可比较得到可能性最小的事件． 【详解】解：∵ A选项中，水沸腾温度为是随机事件，可能性大于1， B选项中，专业射击运动员无风条件下一次命中10环是随机事件，可能性大于1， C选项中，太原市1月15日最高温度为是随机事件，可能性大于1， D选项中，根据，则这三根木棒不能组成三角形，该事件是不可能事件，发生可能性为0， ∴ 发生可能性最小的是D． 4．无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】A 【分析】本题主要考查了列举法求随机事件所有出现的结果等知识点，利用已知条件，通过分类求解即可，熟练掌握用列举法求随机事件所有出现的结果是解决此题的关键． 【详解】解：设无人机三种颜色为A，B，C， 由题意知，编号1至5号的无人机颜色和编号7、8号的无人机颜色之间可以相同，但编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同， ∴可画树状图如下， ∴共有12种． 故选：A． 5．下列说法或做法正确的是（ ） A．某地“明天降雨的概率是”表示明天有的时间会降雨 B．班级里有24名女同学和26名男同学，每个同学都把自己的名字写在一张小纸条上，把小纸条放入一个盒子中搅匀，从中随机抽取一张小纸条，那么抽到男同学名字的概率是 C．选用仅有颜色不同的红、黄、蓝3个小球，放入布袋中搅匀，从中随机摸出2个小球，摸出一个黄球和一个红球的概率为 D．布袋中装有仅有颜色不同的1个红球和2个白球，搅匀后，从中摸出1个球，放回搅匀再摸出第2个球，那么“摸出两个白球”和“摸出一红一白”的概率相同 【答案】D 【分析】本题考查概率的定义与古典概型的计算，只需依次对每个选项结合概率知识判断正误即可得到正确选项. 【详解】对于选项A，概率表示事件发生的可能性大小，不是事件发生的时间占比， “明天降雨的概率是”表示明天降雨的可能性为，不是明天有的时间降雨，∴A错误. 对于选项B，总共有名同学，男同学共名， ∴抽到男同学名字的概率为，∴B错误. 对于选项C，从红、黄、蓝3个球中随机摸出2个，所有等可能结果共3种， 其中摸到一个黄球和一个红球的结果只有1种， ∴所求概率为，∴C错误. 对于选项D，记红球为，两个白球为，放回摸两次，所有等可能结果共 种； 其中“摸出两个白球”的结果共 种，概率为； “摸出一红一白”的结果共 种，概率为；二者概率相等，∴D正确. 6．（2026·河北·中考真题）掷两枚质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），若向上一面的点数之和为2的概率与点数之和为的概率相等，则（    ） A．3 B．4 C．11 D．12 【答案】D 【分析】通过列表法计算各选项概率即可得解． 【详解】解：列表如下： 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 ∴掷两枚质地均匀的骰子，所有等可能结果共有种，点数之和为的结果只有种， ∴点数之和为2的概率为． 对各选项逐一验证：当时，共种，，排除A； 当时，共种，，排除B； 当时，共种，，排除C； 当时，共种，，与点数和为2的概率相等． ∴． 7．（2026·河南周口·三模）现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，随机抽取两张卡片，两张卡片数字之和为偶数的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定所有等可能的抽取结果数，再找出数字之和为偶数的结果数，根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：从四张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果为：，共种等可能的结果， 其中两张卡片数字之和为偶数的结果为，共种， ∴两张卡片数字之和为偶数的概率为． 8．（25-26九年级上·广东深圳·期末）一个不透明的口袋里装有20个不同颜色的小球（除颜色外其余均相同），其中有5个蓝球，个红球，还有个黄球．每次摸出一个球记录下颜色后再放回，统计每次实验红球出现的频率如图，则的值最可能是（   ） A．12 B．3 C．10 D．5 【答案】A 【分析】由图形知，红球出现的频率逐渐稳定于数值，再乘以球的总个数即可得出答案． 本题主要考查利用频率估计概率，根据概率求数量，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：由图形知，红球出现的频率逐渐稳定于数值， 所以估计袋中红球的个数为：（个）， 故选：A． 9．如图，在的正方形网格中有36个格点（小正方形的顶点），的顶点都在格点上，在余下的33个格点中任取1个格点，能画出和有一条公共边且全等的三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：和有一条公共边且全等的三角形共有五个， ∴和有一条公共边且全等的三角形的概率为． 10．（25-26九年级下·福建漳州·期中）2026年福建省城市足球联赛共有10支球队，赛程9轮，每轮5对球队对阵，随机抽到两支球队恰好是第三轮中对阵一对的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算从10支球队中随机抽取2支的所有可能情况数，再得到第三轮中符合条件的对阵情况数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵从10支球队中随机选2支，总的情况数为 种， 又∵第三轮共有5对对阵，符合条件的情况数为5种， ∴所求概率 ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·安徽芜湖·三模）天平左右两端分别放置、物品后倾斜如图所示，现从、、、四件物品中随机选取两件放在左端托盘，天平恢复平衡的概率为_______． 【答案】 【分析】根据题意可知，需要在天平左端放置的物品，天平才会恢复平衡，使用画树状图法计算概率即可． 【详解】解：， ∴需要在天平左端放置的物品，天平才会恢复平衡， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中和为的情况有种， ∴天平恢复平衡的概率为． 12．（2026·上海浦东新·模拟预测）现有五张纸片，分别写着“正三角形”、“菱形”、“平行四边形”、“正方形”、“等腰梯形”，从中任意抽取一张既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是_____． 【答案】 【分析】先根据中心对称图形和轴对称图形的定义，确定符合条件的图形个数，再利用概率公式计算所求概率． 【详解】解：∵总共有种等可能的抽取结果， 逐一判断图形性质：正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形； 等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形； 只有菱形、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形， ∴符合条件的结果共种， 根据概率公式可得，从中任意抽取一张既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率． 13．如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积约为__________． 【答案】120 【分析】大量反复见详解下，频率的稳定值即为概率值，则点落在椭圆内部的概率为，再根据点落在椭圆内部的概率等于椭圆的面积与矩形纸片的面积的比值列式求解即可． 【详解】解：经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右， 点落在椭圆内部的概率为， 椭圆的面积与矩形纸片的面积的比值为， 椭圆的面积为． 14．某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率为_____． 【答案】1 【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率是必然事件， ∴两个人出生月份相同的概率为， 故答案为：． 15．从﹣4、3、5这三个数中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的方程x2+4x+a＝0有解，且使关于x的一次函数y＝2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率_____． 【答案】． 【分析】由关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4，可求得a的值，由关于x的方程x2+4x+a=0有解，可求得a的取值范围，继而求得答案． 【详解】解：∵一次函数y＝2x+a与x轴、y轴的交点分别为：（﹣，0），（0，a）， ∴， 解得：a＝±4， ∵当△＝16﹣4a≥0，即a≤4时，关于x的方程x2+4x+a＝0有解， ∴使关于x的方程x2+4x+a＝0有解，且使关于x的一次函数y＝2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率为：． 故答案为：． 16．（2026·广西钦州·二模）如图，平行四边形中，对角线，交于点，直线过点，且与边，分别交于点，， ．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是_____________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质与几何概率的综合应用，解题核心是利用平行四边形的性质，结合线段比例关系，求出与平行四边形的面积比，即为所求概率． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ， 和同高， ， ， 点落在内的概率是． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）一个不透明的口袋里装有除表面上分别标有1，2，3，4数字外，其余完全相同的四个小球，现从中摸球，每次摸球前先搅拌均匀． (1)从中不放回地任取两个球，求取得两球的数字和为4的概率； (2)从中任取一个球，记下数字后放回袋中，搅拌均匀后再从中任取一球，求取得的两球数字和为4的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）画树状图先确定所有可能的取球情况，再得到数字和为4的所有情况，结合概率公式求解即可； （2）画树状图先确定所有可能的取球情况，再得到数字和为4的所有情况，结合概率公式求解即可． 【详解】（1）解：画树状图如下： 从中不放回地任取两个球共有种情况， 其中两球数字和为的情况有和，共种， ∴取得两球的数字和为的概率为． 4分 （2）解：树状图如下： 从中任取一个球，记下数字后放回袋中，搅拌均匀后再从中任取一球，共有种取法， 两球数字和为的情况有、、，共种， ∴取得两球的数字和为的概率为． 8分 18．（8分）嘉嘉和琪琪一块去选汽车牌照（每人选一个），现只有四个牌照可随机选取，这四个牌照编号末尾数字如表所示． 牌照末尾数字 5 6 7 数量（个） 1 1 2 (1)求嘉嘉选取牌照编号末尾数字是6的概率； (2)求她俩选取牌照编号末尾数字正好差1的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定总等可能结果数与末尾数字为的结果数，代入概率公式计算； （2）通过画树状图法列出两人选牌照的所有等可能结果，统计末尾数字差的结果数，计算对应概率． 【详解】（1）解：∵共有个牌照，每个牌照被选中的可能性相等，末尾数字是的牌照有个， ∴嘉嘉选取牌照编号末尾数字是的概率为； 4分 （2）解：画树状图如下： 共种等可能的结果，其中末尾数字正好差的结果种， ∴ 她俩选取牌照编号末尾数字正好差的概率为． 8分 19．（8分）小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字，，2，3． (1)小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为________； (2)小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张．若两人抽取卡片上的数字之积为正数，则小明胜；否则小亮胜．请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 【答案】(1) 【分析】（1）根据卡片上标有数字为负数的个数和概率公式进行解答即可； （2）画出树状图并利用概率公式分别求出小明胜和小亮胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵卡片上分别标有数字，，2，3．负数共2个， ∴小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为． 3分 （2）这个游戏规则公平 理由如下：画树状图如下 共有16种等可能的结果，其中两人抽取卡片上的数字之积为正数的结果有8个，两人抽取卡片上的数字之积为负数的结果有8个， （小明胜），P（小亮胜）， ∴小明胜的概率=小亮胜的概率， ∴这个游戏规则公平． 8分 20．（8分）（2026·山东青岛·模拟预测）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可获得相应的奖品．如表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000 落在“文创”区域的次数m 60 122 240 295 475 604 落在“文创”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.59 0.604 (1)假如你转动该转盘一次，你获得“文创”的概率约是_______（结果精确到0.1） (2)在这次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用、、表示）三种支付方式中各选一种方式进行支付．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率． 【答案】(1)0.6； 【分析】（1）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近0.6，然后根据利用频率估计概率得“文创”的概率约是0.6； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近0.6，然后根据利用频率估计概率得“文创”的概率约是0.6 2分 （2）(2)解：树状图如下： 一共有9种等可能性的结果，其中甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的结果有3种， ∴甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率为． 8分 21．（8分）（2026·甘肃平凉·三模）每年的12月9日是“一二·九”运动纪念日，许多学校举办纪念“一二·九”运动的接力跑活动．兰州某校在这一天召开运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球（这四个小球除所标数字外都相同），分别标有数字1，2，3，4，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的赛道． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1小球的概率为________； (2)甲、乙两队依次从盒中不放回随机摸出一个小球，若两队赛道编号之差的绝对值为1（即赛道相邻），则甲队获得优先选跑顺序，若两队赛道编号之差的绝对值大于1，则乙队获得优先选跑顺序．请问这个游戏规则对甲、乙两队公平吗？请用画树状图或列表的方法说明． 【答案】(1) 【分析】（1）根据简单地概率公式计算解答即可； （2）利用画树状图法或列表法计算概率即可． 【详解】（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为． 2分 (2)这个游戏规则对甲、乙两队公平，列表如下： 甲 乙 1 2 3 4 1 － 2 － 3 － 4 － 由上表可知，共有12种等可能的结果， 其中满足两队赛道编号之差的绝对值为1的结果有6种，满足编号之差的绝对值大于1的结果有6种， ． 故这个游戏规则对甲、乙两队公平 8分 22．（10分）（25-26九年级上·河北沧州·期末）图1是一个可以自由转动的均匀转盘，转盘被平均分成了份，每份分别标上，，，．游戏规则如下：自由转动转盘，转盘停止后，指针指向一个数字（如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一个数字为止），数字代表边数，数字是几，甲同学就从图2的处开始按顺时针方向跑几个边，第二次跑圈从第一次跑圈结束时的位置开始，按照规则继续进行． (1)若转一次转盘，求从顶点跑到顶点的概率； (2)若转两次转盘，用列表法或画树状图的方法求两次跑完恰好回到处的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率及简单事件的概率，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据简单事件的概率计算公式求解即可； （2）根据题意列表求概率即可． 【详解】（1）解：∵， ∴从顶点跑到顶点的概率为：； 3分 （2）解：列表如下： 和 由上表可知，所有等可能情况共种，其中和为的有种， ∴两次跑完恰好回到处的概率：． 10分 23．（10分）张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 【答案】(1) 【分析】（1）用表示三种解题方法，根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案； （2）连接，由折叠的性质可得，，，，，由垂直平分线的性质可得，即可证明为等边三角形，得到，由矩形的性质可得，可求出，即可证明结论． 【详解】（1）解：用表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3种， ∴小明和小峰选择同一种方法的概率为； 5分 (2)选择小彤的方法说明，理由如下： 连接，如下图， 由折叠的性质可得，，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 10分 24．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元． (1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； (2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用列表法表示获得奖金15元所有可能出现结果情况，进而求出相应的概率即可； （2）由种抽奖方案，即：2次都选择方案A，1次方案A1次方案B，1次方案B，分别求出各种情况下获得奖金的平均值即可． 【详解】（1）解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为250元，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2次，由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元， 从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下： 共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种， 所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为； 6分 （2）解：选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．理由如下： ①由（1）可得，只选择方案A，抽奖2次，获得15元的概率为，获得30元（2次都是红球）的概率为，两次都不获奖的概率为， 所以只选择方案A获得奖金的平均值为：15×+30×=10（元）， ②只选择方案B，则只能摸奖1次，摸到红球的概率为，因此获得奖金的平均值为：10×≈6.7（元）， ③选择方案A1次，方案B1次，所获奖金的平均值为：15×+10×≈11.7（元）， 因此选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算． 12分 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 随机事件的概率·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图是围棋棋盘的一部分，在交叉点上已经摆放了2枚白棋和1枚黑棋，再随机在其他交叉点摆放两枚白棋后，则以四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形的概率是（     ） A． B． C． D． 2．小木筒内装有四根相同的竹签，竹签上分别标有数字1，2，3，4．从小木筒中随机抽取一根竹签后，再从剩余的竹签里抽取一根，则下列事件为随机事件的是（      ） A．两根竹签的数字之和小于3 B．两根竹签的数字之和等于3 C．两根竹签的数字之和等于8 D．两根竹签的数字之和大于8 3．（2026·山西朔州·二模）在下列事件中，发生的可能性最小的是（ ） A．在平原地区用普通水壶烧开水时，水沸腾的温度为 B．一位专业射击运动员在无风条件下射靶，一次命中10环 C．太原市1月15日的最高温度为 D．用长为，，三根木棒做成一个三角形 4．无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 5．下列说法或做法正确的是（ ） A．某地“明天降雨的概率是”表示明天有的时间会降雨 B．班级里有24名女同学和26名男同学，每个同学都把自己的名字写在一张小纸条上，把小纸条放入一个盒子中搅匀，从中随机抽取一张小纸条，那么抽到男同学名字的概率是 C．选用仅有颜色不同的红、黄、蓝3个小球，放入布袋中搅匀，从中随机摸出2个小球，摸出一个黄球和一个红球的概率为 D．布袋中装有仅有颜色不同的1个红球和2个白球，搅匀后，从中摸出1个球，放回搅匀再摸出第2个球，那么“摸出两个白球”和“摸出一红一白”的概率相同 6．（2026·河北·中考真题）掷两枚质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），若向上一面的点数之和为2的概率与点数之和为的概率相等，则（    ） A．3 B．4 C．11 D．12 7．（2026·河南周口·三模）现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，随机抽取两张卡片，两张卡片数字之和为偶数的概率是（ ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·广东深圳·期末）一个不透明的口袋里装有20个不同颜色的小球（除颜色外其余均相同），其中有5个蓝球，个红球，还有个黄球．每次摸出一个球记录下颜色后再放回，统计每次实验红球出现的频率如图，则的值最可能是（   ） A．12 B．3 C．10 D．5 9．如图，在的正方形网格中有36个格点（小正方形的顶点），的顶点都在格点上，在余下的33个格点中任取1个格点，能画出和有一条公共边且全等的三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级下·福建漳州·期中）2026年福建省城市足球联赛共有10支球队，赛程9轮，每轮5对球队对阵，随机抽到两支球队恰好是第三轮中对阵一对的概率为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·安徽芜湖·三模）天平左右两端分别放置、物品后倾斜如图所示，现从、、、四件物品中随机选取两件放在左端托盘，天平恢复平衡的概率为_______． 12．（2026·上海浦东新·模拟预测）现有五张纸片，分别写着“正三角形”、“菱形”、“平行四边形”、“正方形”、“等腰梯形”，从中任意抽取一张既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是_____． 13．如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积约为__________． 14．某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率为_____． 15．从﹣4、3、5这三个数中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的方程x2+4x+a＝0有解，且使关于x的一次函数y＝2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率_____． 16．（2026·广西钦州·二模）如图，平行四边形中，对角线，交于点，直线过点，且与边，分别交于点，， ．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是_____________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（8分）一个不透明的口袋里装有除表面上分别标有1，2，3，4数字外，其余完全相同的四个小球，现从中摸球，每次摸球前先搅拌均匀． (1)从中不放回地任取两个球，求取得两球的数字和为4的概率； (2)从中任取一个球，记下数字后放回袋中，搅拌均匀后再从中任取一球，求取得的两球数字和为4的概率． 18．（8分）嘉嘉和琪琪一块去选汽车牌照（每人选一个），现只有四个牌照可随机选取，这四个牌照编号末尾数字如表所示． 牌照末尾数字 5 6 7 数量（个） 1 1 2 (1)求嘉嘉选取牌照编号末尾数字是6的概率； (2)求她俩选取牌照编号末尾数字正好差1的概率． 19．（8分）小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字，，2，3． (1)小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为________； (2)小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张．若两人抽取卡片上的数字之积为正数，则小明胜；否则小亮胜．请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 20．（8分）（2026·山东青岛·模拟预测）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可获得相应的奖品．如表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000 落在“文创”区域的次数m 60 122 240 295 475 604 落在“文创”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.59 0.604 (1)假如你转动该转盘一次，你获得“文创”的概率约是_______（结果精确到0.1） (2)在这次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用、、表示）三种支付方式中各选一种方式进行支付．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率． 21．（8分）（2026·甘肃平凉·三模）每年的12月9日是“一二·九”运动纪念日，许多学校举办纪念“一二·九”运动的接力跑活动．兰州某校在这一天召开运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球（这四个小球除所标数字外都相同），分别标有数字1，2，3，4，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的赛道． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1小球的概率为________； (2)甲、乙两队依次从盒中不放回随机摸出一个小球，若两队赛道编号之差的绝对值为1（即赛道相邻），则甲队获得优先选跑顺序，若两队赛道编号之差的绝对值大于1，则乙队获得优先选跑顺序．请问这个游戏规则对甲、乙两队公平吗？请用画树状图或列表的方法说明． 22．（10分）（25-26九年级上·河北沧州·期末）图1是一个可以自由转动的均匀转盘，转盘被平均分成了份，每份分别标上，，，．游戏规则如下：自由转动转盘，转盘停止后，指针指向一个数字（如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一个数字为止），数字代表边数，数字是几，甲同学就从图2的处开始按顺时针方向跑几个边，第二次跑圈从第一次跑圈结束时的位置开始，按照规则继续进行． (1)若转一次转盘，求从顶点跑到顶点的概率； (2)若转两次转盘，用列表法或画树状图的方法求两次跑完恰好回到处的概率． 23．（10分）张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 24．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元． (1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； (2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 随机事件的概率·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图是围棋棋盘的一部分，在交叉点上已经摆放了2枚白棋和1枚黑棋，再随机在其他交叉点摆放两枚白棋后，则以四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形的概率是（     ） A． B． C． D． 2．小木筒内装有四根相同的竹签，竹签上分别标有数字1，2，3，4．从小木筒中随机抽取一根竹签后，再从剩余的竹签里抽取一根，则下列事件为随机事件的是（      ） A．两根竹签的数字之和小于3 B．两根竹签的数字之和等于3 C．两根竹签的数字之和等于8 D．两根竹签的数字之和大于8 3．（2026·山西朔州·二模）在下列事件中，发生的可能性最小的是（ ） A．在平原地区用普通水壶烧开水时，水沸腾的温度为 B．一位专业射击运动员在无风条件下射靶，一次命中10环 C．太原市1月15日的最高温度为 D．用长为，，三根木棒做成一个三角形 4．无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 5．下列说法或做法正确的是（ ） A．某地“明天降雨的概率是”表示明天有的时间会降雨 B．班级里有24名女同学和26名男同学，每个同学都把自己的名字写在一张小纸条上，把小纸条放入一个盒子中搅匀，从中随机抽取一张小纸条，那么抽到男同学名字的概率是 C．选用仅有颜色不同的红、黄、蓝3个小球，放入布袋中搅匀，从中随机摸出2个小球，摸出一个黄球和一个红球的概率为 D．布袋中装有仅有颜色不同的1个红球和2个白球，搅匀后，从中摸出1个球，放回搅匀再摸出第2个球，那么“摸出两个白球”和“摸出一红一白”的概率相同 6．（2026·河北·中考真题）掷两枚质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），若向上一面的点数之和为2的概率与点数之和为的概率相等，则（    ） A．3 B．4 C．11 D．12 7．（2026·河南周口·三模）现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，随机抽取两张卡片，两张卡片数字之和为偶数的概率是（ ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·广东深圳·期末）一个不透明的口袋里装有20个不同颜色的小球（除颜色外其余均相同），其中有5个蓝球，个红球，还有个黄球．每次摸出一个球记录下颜色后再放回，统计每次实验红球出现的频率如图，则的值最可能是（   ） A．12 B．3 C．10 D．5 9．如图，在的正方形网格中有36个格点（小正方形的顶点），的顶点都在格点上，在余下的33个格点中任取1个格点，能画出和有一条公共边且全等的三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级下·福建漳州·期中）2026年福建省城市足球联赛共有10支球队，赛程9轮，每轮5对球队对阵，随机抽到两支球队恰好是第三轮中对阵一对的概率为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·安徽芜湖·三模）天平左右两端分别放置、物品后倾斜如图所示，现从、、、四件物品中随机选取两件放在左端托盘，天平恢复平衡的概率为_______． 12．（2026·上海浦东新·模拟预测）现有五张纸片，分别写着“正三角形”、“菱形”、“平行四边形”、“正方形”、“等腰梯形”，从中任意抽取一张既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是_____． 13．如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积约为__________． 14．某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率为_____． 15．从﹣4、3、5这三个数中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的方程x2+4x+a＝0有解，且使关于x的一次函数y＝2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率_____． 16．（2026·广西钦州·二模）如图，平行四边形中，对角线，交于点，直线过点，且与边，分别交于点，， ．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是_____________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）一个不透明的口袋里装有除表面上分别标有1，2，3，4数字外，其余完全相同的四个小球，现从中摸球，每次摸球前先搅拌均匀． (1)从中不放回地任取两个球，求取得两球的数字和为4的概率； (2)从中任取一个球，记下数字后放回袋中，搅拌均匀后再从中任取一球，求取得的两球数字和为4的概率． 18．（8分）嘉嘉和琪琪一块去选汽车牌照（每人选一个），现只有四个牌照可随机选取，这四个牌照编号末尾数字如表所示． 牌照末尾数字 5 6 7 数量（个） 1 1 2 (1)求嘉嘉选取牌照编号末尾数字是6的概率； (2)求她俩选取牌照编号末尾数字正好差1的概率． 19．（8分）小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字，，2，3． (1)小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为________； (2)小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张．若两人抽取卡片上的数字之积为正数，则小明胜；否则小亮胜．请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 20．（8分）（2026·山东青岛·模拟预测）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可获得相应的奖品．如表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000 落在“文创”区域的次数m 60 122 240 295 475 604 落在“文创”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.59 0.604 (1)假如你转动该转盘一次，你获得“文创”的概率约是_______（结果精确到0.1） (2)在这次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用、、表示）三种支付方式中各选一种方式进行支付．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率． 21．（8分）（2026·甘肃平凉·三模）每年的12月9日是“一二·九”运动纪念日，许多学校举办纪念“一二·九”运动的接力跑活动．兰州某校在这一天召开运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球（这四个小球除所标数字外都相同），分别标有数字1，2，3，4，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的赛道． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1小球的概率为________； (2)甲、乙两队依次从盒中不放回随机摸出一个小球，若两队赛道编号之差的绝对值为1（即赛道相邻），则甲队获得优先选跑顺序，若两队赛道编号之差的绝对值大于1，则乙队获得优先选跑顺序．请问这个游戏规则对甲、乙两队公平吗？请用画树状图或列表的方法说明． 22．（10分）（25-26九年级上·河北沧州·期末）图1是一个可以自由转动的均匀转盘，转盘被平均分成了份，每份分别标上，，，．游戏规则如下：自由转动转盘，转盘停止后，指针指向一个数字（如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一个数字为止），数字代表边数，数字是几，甲同学就从图2的处开始按顺时针方向跑几个边，第二次跑圈从第一次跑圈结束时的位置开始，按照规则继续进行． (1)若转一次转盘，求从顶点跑到顶点的概率； (2)若转两次转盘，用列表法或画树状图的方法求两次跑完恰好回到处的概率． 23．（10分）张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 24．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元． (1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； (2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $