专题01二次函数（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材浙教版

专题01 二次函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 二次函数的定义 考点二 二次函数的图像与性质 考点三 二次函数与方程不等式的关系 考点四 二次函数的应用 05 重难题型突破 题型一 二次函数的定义 题型二 二次函数图像的绘制 题型三 二次函数的顶点、最值、增减性 题型四 二次函数与一次函数图像的判断 题型五 求二次函数的解析式 题型六 根据二次函数图像判断式子正负 题型七 二次函数的对称性 题型八 二次函数与坐标轴的交点 题型九 二次函数与方程综合 题型十 二次函数与不等式综合 题型十一 二次函数图像的变化 题型十一 二次函数的应用 题型十三 二次函数与几何综合 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点与题型 本章是九年级代数的核心，也是期中卷分值最高的一章。常考考点：二次函数的概念辨识（ 中必须 ）；图象与性质（开口方向由 决定、对称轴 、顶点坐标、函数的增减性与最值）；三种形式的解析式及其求法（一般式、顶点式 、交点式）；抛物线的平移规律；二次函数与一元二次方程的关系（抛物线与 轴的交点个数由 判断）；实际应用中的最值问题（面积最大、利润最大）。题型覆盖选择、填空与解答，“求解析式＋性质应用＋最值”常构成一道 10—12 分的解答题，约 30%—38%。 难易度 难度系数约 0.60—0.68，是四章中最难、区分度最大的一章。基础题集中在识别系数、判断开口方向与对称轴、代入求点的坐标；中档题集中在待定系数法求解析式，以及结合图象判断 、、 与 的符号；压轴题多为“动点＋面积最值”或“二次函数与几何图形结合”的综合题。反复提醒两点：顶点坐标公式记错、实际问题中自变量的取值范围不写，是本章最常见的丢分方式。 识记 ① 能说出二次函数的定义 ，知道 、、 的名称与 的原因。 ② 能说出二次函数图象是抛物线，记住开口方向由 的正负决定、对称轴为 、顶点坐标为 。 ③ 能说出三种表达形式：一般式 、顶点式 、交点式 ，以及各自的适用条件。 ④ 能说出抛物线的平移规律：“左加右减、上加下减”。 理解 ① 理解 决定开口方向与开口大小、 决定与 轴交点、 与 共同决定对称轴位置的道理，能由图象判断 、、 及 的符号。 ② 理解二次函数的增减性以对称轴为界：当 时，在对称轴左侧 随 增大而减小、右侧随 增大而增大； 时相反。 ③ 理解二次函数与一元二次方程的关系：抛物线与 轴交点的横坐标就是对应方程的根，交点个数由 的符号决定。 ④ 理解最值问题的求解思路：先确定自变量的取值范围，再看顶点是否在该范围内，最后比较顶点与端点处的函数值。 应用 ① 能用待定系数法求二次函数的解析式，会根据已知条件（三点、顶点＋一点、与 轴交点）选择合适的形式。 ② 能利用图象与性质比较函数值大小、求最值，并解决“面积最大”“利润最大”类实际问题（含自变量取值范围与结果取整）。 ③ 能处理抛物线的平移与对称变换，求平移后的解析式。 ④ 能解决“动点＋面积（或长度）最值”类综合题：设未知量 → 表示面积 → 配方求最值 → 检验是否符合题意。 考点一 二次函数的定义 1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数 ⚠️概念辨析 二次函数的结构特征： 1）函数关系式是整式； 2）自变量的最高次数是2； 3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零 2. 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 考点二 二次函数的图像与性质 3. 二次函数的图象 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 4. 二次函数的图象变换 ①二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 ②二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 5.二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. ⚠️解题技巧 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=−b2a的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=−b2a对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 6. 二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导. 7. 二次函数图像与各系数之间关系 ① 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 ②二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 考点三 二次函数与方程不等式的关系 8. 二次函数与方程不等式关系 ① 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 ②二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 考点四 二次函数的应用 9. 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. ⚠️解题技巧 　【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 题型一 二次函数的定义 【例1】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．2，，1 B．2，3，1 C．1，3，2 D．1，，2 💡破题要诀 ① 标准形式 ，三个必要条件缺一不可：只含一个自变量、是整式、化简后最高次项的次数为 2。 ② 最关键的一条：。见到含字母的二次项系数，第一件事就是令它 。 ③ 不是整式的（如 ）一定不是二次函数。 ④ 先化成一般式再判断，不要被括号形式迷惑。 ⑤ 实际问题中要注明自变量的取值范围（如边长、时间为正）。 迁移应用 【变式1-1】（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）下列关于的函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）下列函数中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）若函数是关于x的二次函数，则常数m的值是_________． 题型二 二次函数图像的绘制 【例2】（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知抛物线． (1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标为______； (2)选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点画出该抛物线； x … … y … … (3)若该抛物线上，两点的横坐标满足，试比较与的大小． (4)当时，则y的取值范围为______． 💡破题要诀 ① 先求对称轴 ，整张表围绕它来组织。 ② 选点时关于对称轴对称地成对取，这样画出的抛物线左右对称、形状准确。 ③ 顶点必取，与 轴、 轴的交点尽量取到。 ④ 用平滑的曲线连接各点，绝不能连成折线。 ⑤ 开口方向由 决定： 向上， 向下，画完自查一遍。 迁移应用 【变式2-1】（26-27九年级上·新疆和田·阶段检测）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)若，求的取值范围． 【变式2-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)已知函数图象上有两点，且，请比较的大小关系． 【变式2-3】（26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）已知抛物线二次函数． (1)该抛物线的开口方向 ，该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； (2)画出该抛物线的图象； (3)若点A、B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点，则B点的坐标为 ． 题型三 二次函数的顶点、最值、增减性 【例3】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）二次函数的最小值是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 顶点坐标公式：，对称轴 。 ② 更稳的做法是配方：化成顶点式 ，顶点 直接读出。 ③ 开口向上，函数有最小值 ； 开口向下，有最大值 。 ④ 增减性以对称轴为分界： 时左减右增， 时左增右减。 ⑤ 最重要的一条：实际问题的最值必须在自变量取值范围内讨论，若顶点不在范围内，最值在端点处取得。 迁移应用 【变式3-1】（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）对于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．它的开口方向向上 B．它的顶点坐标是 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y有最小值3 【变式3-2】（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）二次函数（、为常数，）的部分与的对应值如表： 则关于该二次函数的说法不正确的是（     ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为 C．函数的最大值为7 D．当时，的值随值的增大而减小 【变式3-3】（26-27九年级上·全国·单元复习）由二次函数可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其最大值为 D．当时，随的增大而减小 【变式3-4】（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）当时，函数的最大值是6，则________． 【变式3-5】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知二次函数的图像经过点，，． (1)求这个二次函数的表达式； (2)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点． 题型四 二次函数与一次函数图像的判断 【例4】（26-27九年级上·甘肃临夏·阶段检测）在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 由开口方向定 ：开口向上 ，向下 。 ② 由对称轴位置定 （口诀「左同右异」）：对称轴在 轴左侧则 、 同号，在右侧则异号，在 轴上则 。 ③ 由抛物线与 轴交点位置定 ：交于正半轴 ，负半轴 ，过原点 。 ④ 再由 、 的符号推出直线 的斜率与截距，检查是否与图中直线一致。 ⑤ 四个选项逐一排查，用前三条先排除，第四条做最终确认。 迁移应用 【变式4-1】（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，当时，二次函数与一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】（26-27九年级上·全国·单元复习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 题型五 求二次函数的解析式 【例5】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知二次函数的图象上部分点的坐标满足表格： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … (1)求这个二次函数的解析式； (2)用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 💡破题要诀 ① 三种设法按需选用，选对了能省一半计算量。 ② 已知任意三点 → 设一般式 。 ③ 已知顶点（或对称轴、最值）→ 设顶点式 。 ④ 已知与 轴的两个交点 → 设交点式 。 ⑤ 代入已知点坐标列方程（组）求待定系数，解完必须代入另一个已知点检验。 迁移应用 【变式5-1】（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数（b为常数）图象经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【变式5-2】（2026九年级上·全国·专题练习）已知一条抛物线的顶点坐标是，并经过点，求这条抛物线的函数解析式． 【变式5-3】（26-27九年级上·新疆吐鲁番·阶段检测）抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点坐标，并判断函数有最大值还是最小值，求出这个最值． 【变式5-4】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知抛物线的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)经过怎样的平移可得到二次函数． 题型六 根据二次函数图像判断式子正负 【例6】（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④当时，该二次函数的最大值与最小值的差为．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 💡破题要诀 ① 核心方法：把代数式翻译成某个特殊点的函数值。 ② = 时的 值； = 时的 值； = 时的 值——看该点在 轴上方还是下方即可。 ③ 看抛物线与 轴的交点个数：两个交点 >0、一个交点 =0、没有交点 <0。 ④ 看对称轴与 的位置关系（由 与 1 比较推出）。 ⑤ 、 之类的式子同样找对应的特殊点代入判断。 迁移应用 【变式6-1】（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若；是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①④⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．①③④ 【变式6-2】（22-23九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式6-3】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法： ①； ②； ③若，是抛物线上的两点，则； ④； ⑤（其中）． 其中正确的结论是__________． 【变式6-4】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①，②，③，④，⑤（）（）中正确的是__________． 题型七 二次函数的对称性 【例7】（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数经过点，则_________． 💡破题要诀 ① 性质：关于对称轴 对称的两点，它们的纵坐标相等。 ② 反向用法（求对称轴最快的一招）：若两点纵坐标相等，则对称轴是这两点横坐标的平均数 。 ③ 抛物线与 轴的两个交点关于对称轴对称，两交点间的距离为 。 ④ 比较函数值大小时，先用对称性把各个点转化到对称轴的同一侧，再利用增减性比较。 ⑤ 离对称轴越远（横坐标差的绝对值越大）， 时函数值越大、 时越小 迁移应用 【变式7-1】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如果抛物线经过点和，那么抛物线的对称轴为直线___________． 【变式7-2】（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）已知抛物线，与的部分对应值如表所示，则表格中的值是___________． 0 1 2 3 0 3 4 3 【变式7-3】（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）抛物线的对称轴是直线________． 题型八 二次函数与坐标轴的交点 【例8】（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的纵坐标是（     ） A． B．3 C． D．9 💡破题要诀 ① 与 轴交点：令 ，得 ，一定只有一个。 ② 与 轴交点：令 ，解方程 。 ③ 交点个数由 决定： 两个、 一个（顶点在 轴上）、 无交点。 ④ 两个交点间的距离 ，可直接使用。 ⑤ 已知交点情况反求参数时，把交点个数翻译成 的符号即可 迁移应用 【变式8-1】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）抛物线与轴的两个交点之间的距离是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式8-2】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 【变式8-3】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与x轴有且只有一个交点时，则______． 题型九 二次函数与方程综合 【例9】（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 函数值 ⟺ 解方程 ，解的个数就是图像与直线 的交点个数。 ② 求两函数图像的交点：联立两个解析式组成方程组求解。 ③ 韦达定理（含参问题常用）：，。 ④ 移项后一定要先合并常数项、化成标准二次方程，再算判别式。 ⑤ 求出解后代回原方程检验，舍去不合题意的根。 迁移应用 【变式9-1】（26-27九年级上·全国·单元测试）根据下表中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，为常数）的一个解的范围是（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式9-3】（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标约是，由此可以估计方程的负的实数根是（     ） A． B． C． D． 【变式9-4】（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）关于的方程的两个根都大于，则的取值范围是________． 题型十 二次函数与不等式综合 【例10】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）在二次函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 几何转化： 的解集就是抛物线在 轴上方时对应的 范围。 ② 先求抛物线与 轴的两个交点，记 。 ③ （开口向上）时： 取两边（ 或 ）， 取中间（）。 ④ 时结论相反。 ⑤ 最稳的办法是画草图：标出开口方向和两个交点，再看哪一段在 轴上方或下方。 迁移应用 【变式10-1】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是________． 【变式10-2】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是________． 【变式10-3】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，其顶点坐标为与x轴的一个交点为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)观察图象，当时，求y的取值范围． 【变式10-4】（26-27九年级上·浙江·期中）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 2 7 … (1)二次函数的图象开口向__________，对称轴为直线__________． (2)求该二次函数的解析式． (3)直接写出当时，y的取值范围 ． 题型十一 二次函数图像的变化 【例11】（2022·贵州铜仁·模拟预测）将抛物线的图象向左平移个单位后，所得抛物线经过点，则等于（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 平移口诀：「左加右减（作用在 上），上加下减（作用在整个函数值上）」。 ② 稳妥做法：先把一般式配方成顶点式 ，再平移顶点，最后写回解析式。 ③ 向右平移 、向上平移 ：。 ④ 关于 轴对称： 变号（ 变号）；关于 轴对称： 变号（ 变号）；关于原点对称：、 都变号。 ⑤ 变换后顶点坐标随之改变，可用顶点位置验证结果是否正确。 迁移应用 【变式11-1】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若抛物线与关于直线对称，则符合条件的m和n的值可以为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式11-2】（25-26八年级下·北京·期末）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 【变式11-3】（2026九年级上·浙江·专题练习）已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 【变式11-4】（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）已知抛物线（a，b为常数，且）． (1)若抛物线经过点，求该抛物线的对称轴； (2)若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式． 【变式11-5】（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，抛物线：与轴分别交于、两点（点在点的左侧），对称轴为直线，且过点，顶点为．将抛物线绕点旋转得到新抛物线，抛物线顶点为，与轴分别交于、两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)判断四边形的形状，并证明： (3)连接，将抛物线沿直线平移得到新抛物线，顶点为，若抛物线与线段只有一个交点时，请直接写出的取值范围． 题型十一 二次函数的应用 【例12】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）潮阳某农户要利用一面足够长的墙，用篱笆围成一个矩形菜园，菜园靠墙的一边不用篱笆，其余三面用篱笆，篱笆总长米． (1)设垂直于墙的一边长为米，求菜园面积（平方米）关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (2)当为何值时，菜园面积最大？最大面积是多少？ 💡破题要诀 ① 设自变量：通常设为涨价金额、边长或时间，并注明取值范围。 ② 写出函数关系式：利润 =（售价 - 进价）× 销量，总收益 = 单价 × 数量。 ③ 化为顶点式（或用 ）求出顶点。 ④ 关键一步：检查顶点是否落在自变量的取值范围内；若不在，最值在区间的端点处取得。 ⑤ 若要求涨价为整数，顶点的横坐标不是整数时要比较它两侧相邻整数对应的函数值，再择优。 迁移应用 【变式12-1】（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）某景区有一座石门，底部为矩形，其中长是，宽为．顶部为抛物线形，拱高．以的中点为原点，所在的直线为轴，竖直方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)若增加夜间照明效果，需在石门顶部装盏射灯，每相邻两盏射灯之间的水平距离相等，最外侧两盏与石门左右两侧边缘的水平距离均为，请用坐标表示这四盏射灯的位置． 【变式12-2】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）为了落实国务院的指示精神，安庆地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克元．市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为元． (1)求与之间的函数关系式． (2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【变式12-3】（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）某城市公园计划建造一座“彩虹门”喷泉景观．喷泉由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成完整的“彩虹门”．公园设计团队需要对喷泉进行精确设计． (1)任务一：建立模型 如图1，设计团队测得喷泉场地宽度米，在，处各安装一个喷水装置，将出水口高度，都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点到地面的距离为5米．以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请求出“彩虹门”喷泉中抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)任务二：游客通道设计 如图2，设计团队计划在“彩虹门”下方地面上建造一条与垂直的笔直游客通道，并在游客通道上绘制5条平行的地面标志线，每两条标志线之间的间距相等，为了避免游客被淋湿，团队需要在所在直线与标志线交点处安装挡雨伞，伞的顶端离地面的距离保持3米．为保证“彩虹门”的水柱不被破坏，要求最外侧挡雨伞顶端与水柱间的竖直高度为1米．请你求出每相邻两条标志线的间距应为多少米； (3)任务三：灯光设计 设计团队通过进一步分析发现，为使下一次“彩虹门”的设计更具创意，首先将两个喷水装置同时向外侧移动米（在所在直线上），此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，接着在两个喷水装置的外侧各安装一盏射灯（在所在直线上左右对称安装），每盏射灯与同侧喷水装置底端的水平距离均为米（左右相同），射灯射出的光线与地面的夹角为且两条光线相交于一点，若光线与水柱之间的最小竖直距离为2米，求，的值． 题型十三 二次函数与几何综合 【例13】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求三点的坐标． (2)求的面积． (3)点是抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标及最大面积． 💡破题要诀 ① 建系：选择合适的点为原点，使尽可能多的点落在坐标轴上，坐标越简单越好。 ② 设动点：设横坐标为 ，纵坐标代入解析式得 。 ③ 表示线段长：水平或竖直线段直接用坐标差（取绝对值），斜线段用勾股定理。 ④ 表示面积：用割补法，或用「铅垂高 × 水平宽 ÷ 2」（适用于有一边在水平或竖直方向的情况）。 ⑤ 列出面积（或线段长）关于 的函数后求最值；最后务必检查 的取值范围（动点必须在线段上）。 迁移应用 【变式13-1】（26-27九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求、满足的关系式及的值． (2)如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当时，若的函数值随的增大而增大，请直接写出的取值范围． 【变式13-2】（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点坐标； (3)直线与抛物线的对称轴交于点D，M为对称轴右侧抛物线上一动点，点N在x轴上，若以点D、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点M的坐标． 【变式13-3】（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交轴正半轴于点． (1)求的值及点的坐标； (2)抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列函数中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江台州·期中）一元二次方程有两个不相等的实数根，抛物线上有两点，下列条件中，一定能判断的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象顶点坐标为______． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的二次项系数是______，常数项是_____． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式； (2)请你判断点是否在这个二次函数的图象上？ 8．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． (1)由题意可知，则_______________（用含的代数式表示）； (2)设矩形羊圈的面积为S，请写出S与的关系式，并写出的取值范围； (3)请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出的最大值． 9．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 10．（25-26九年级上·浙江·期中）某品牌水果冻的高为，底面为直径是的圆，两个水果冻倒装在一个长方体盒子内，如图为横断示意图，水果冻的截面可以近似地看成两条抛物线，交点为．以左侧抛物线的顶点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求以为顶点的抛物线的函数表达式． (2)若点的横坐标为，求的长． 11．（25-26九年级上·浙江金华·期中）设函数，，其中． (1)若函数的图象过点，函数的图象过点，求的值； (2)若，判断函数与轴的交点个数，说明理由； (3)若函数和函数与轴的交点均相同，求，的值． 12．（25-26九年级上·浙江台州·期中）已知抛物线与轴交于，两点． (1)若，，求该抛物线解析式； (2)若抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是______； (3)已知抛物线的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，求的值． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·浙江·期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 2．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，过该函数顶点且与轴平行的直线与抛物线交于、两点，若，则和满足的关系为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某广场设有观赏性音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向随音乐变化而上下移动，不同高度的喷头喷出的水呈抛物线型（或其中一部分），但形状相同，水柱离地面的最高高度也相同，水都落在喷水管的同侧．当喷头在地面上时，其抛物线水柱如图1，水落地点离喷水口的距离米，水柱最高点离地面3米；当喷头升高时，水柱形状如图2，为喷水管，B为落水点，记的长为喷泉跨度． (1)在图1中，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的函数表达式； (2)若喷水管最高可升到米，求出喷泉跨度的最小值； (3)如图3，安全通道在线段上，无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．若该安全区域的宽为米，为了保证安全，进入该通道的人最高身高为多少？（精确到米） 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（是常数，且） (1)证明：不论m取何值，该二次函数图像总与x轴有两个交点． (2)若，是该二次函数图像上的两个不同点，求二次函数表达式和n的值． (3)在（2）的条件下，若点，点也均在此函数图像上，且满足，求的取值范围． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是常数，）． (1)若时，图象经过点，求二次函数的表达式． (2)写出一组a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标． (3)已知，二次函数的图象和直线都经过点，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 二次函数的定义 考点二 二次函数的图像与性质 考点三 二次函数与方程不等式的关系 考点四 二次函数的应用 05 重难题型突破 题型一 二次函数的定义 题型二 二次函数图像的绘制 题型三 二次函数的顶点、最值、增减性 题型四 二次函数与一次函数图像的判断 题型五 求二次函数的解析式 题型六 根据二次函数图像判断式子正负 题型七 二次函数的对称性 题型八 二次函数与坐标轴的交点 题型九 二次函数与方程综合 题型十 二次函数与不等式综合 题型十一 二次函数图像的变化 题型十一 二次函数的应用 题型十三 二次函数与几何综合 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点与题型 本章是九年级代数的核心，也是期中卷分值最高的一章。常考考点：二次函数的概念辨识（ 中必须 ）；图象与性质（开口方向由 决定、对称轴 、顶点坐标、函数的增减性与最值）；三种形式的解析式及其求法（一般式、顶点式 、交点式）；抛物线的平移规律；二次函数与一元二次方程的关系（抛物线与 轴的交点个数由 判断）；实际应用中的最值问题（面积最大、利润最大）。题型覆盖选择、填空与解答，“求解析式＋性质应用＋最值”常构成一道 10—12 分的解答题，约 30%—38%。 难易度 难度系数约 0.60—0.68，是四章中最难、区分度最大的一章。基础题集中在识别系数、判断开口方向与对称轴、代入求点的坐标；中档题集中在待定系数法求解析式，以及结合图象判断 、、 与 的符号；压轴题多为“动点＋面积最值”或“二次函数与几何图形结合”的综合题。反复提醒两点：顶点坐标公式记错、实际问题中自变量的取值范围不写，是本章最常见的丢分方式。 识记 ① 能说出二次函数的定义 ，知道 、、 的名称与 的原因。 ② 能说出二次函数图象是抛物线，记住开口方向由 的正负决定、对称轴为 、顶点坐标为 。 ③ 能说出三种表达形式：一般式 、顶点式 、交点式 ，以及各自的适用条件。 ④ 能说出抛物线的平移规律：“左加右减、上加下减”。 理解 ① 理解 决定开口方向与开口大小、 决定与 轴交点、 与 共同决定对称轴位置的道理，能由图象判断 、、 及 的符号。 ② 理解二次函数的增减性以对称轴为界：当 时，在对称轴左侧 随 增大而减小、右侧随 增大而增大； 时相反。 ③ 理解二次函数与一元二次方程的关系：抛物线与 轴交点的横坐标就是对应方程的根，交点个数由 的符号决定。 ④ 理解最值问题的求解思路：先确定自变量的取值范围，再看顶点是否在该范围内，最后比较顶点与端点处的函数值。 应用 ① 能用待定系数法求二次函数的解析式，会根据已知条件（三点、顶点＋一点、与 轴交点）选择合适的形式。 ② 能利用图象与性质比较函数值大小、求最值，并解决“面积最大”“利润最大”类实际问题（含自变量取值范围与结果取整）。 ③ 能处理抛物线的平移与对称变换，求平移后的解析式。 ④ 能解决“动点＋面积（或长度）最值”类综合题：设未知量 → 表示面积 → 配方求最值 → 检验是否符合题意。 考点一 二次函数的定义 1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数 ⚠️概念辨析 二次函数的结构特征： 1）函数关系式是整式； 2）自变量的最高次数是2； 3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零 2. 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 考点二 二次函数的图像与性质 3. 二次函数的图象 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 4. 二次函数的图象变换 ①二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 ②二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 5.二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. ⚠️解题技巧 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=−b2a的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=−b2a对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 6. 二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导. 7. 二次函数图像与各系数之间关系 ① 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 ②二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 考点三 二次函数与方程不等式的关系 8. 二次函数与方程不等式关系 ① 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 ②二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 考点四 二次函数的应用 9. 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. ⚠️解题技巧 　【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 题型一 二次函数的定义 【例1】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．2，，1 B．2，3，1 C．1，3，2 D．1，，2 【答案】D 【详解】解：∵二次函数为一般形式， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 💡破题要诀 ① 标准形式 ，三个必要条件缺一不可：只含一个自变量、是整式、化简后最高次项的次数为 2。 ② 最关键的一条：。见到含字母的二次项系数，第一件事就是令它 。 ③ 不是整式的（如 ）一定不是二次函数。 ④ 先化成一般式再判断，不要被括号形式迷惑。 ⑤ 实际问题中要注明自变量的取值范围（如边长、时间为正）。 迁移应用 【变式1-1】（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）下列关于的函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断二次函数需先化简表达式，再依据定义验证． 【详解】解：二次函数需为整式，自变量最高次数为2且二次项系数不为0， A中是分式，不符合； B中最高次为1，不符合； C中符合二次函数定义，符合，故选C； D中，最高次为1，不符合． 【变式1-2】（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）下列函数中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A、不是二次函数，不符合题意； B、中的最高次数为，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、不是二次函数，不符合题意． 【变式1-3】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）若函数是关于x的二次函数，则常数m的值是_________． 【答案】 【分析】根据二次函数定义，得到的最高次数为，且二次项系数不为，据此列方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴的最高次数满足，且二次项系数， 整理方程得， 因式分解得， 解得或， ∵， ∴， ∴． 题型二 二次函数图像的绘制 【例2】（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知抛物线． (1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标为______； (2)选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点画出该抛物线； x … … y … … (3)若该抛物线上，两点的横坐标满足，试比较与的大小． (4)当时，则y的取值范围为______． 【答案】(1)直线； (2) x … 0 1 2 3 4 … y … 2 3 2 … (3) (4) 【分析】（1）根据解析式即可得到对称轴和顶点坐标； （2）先列表，再画出对应的函数图象即可； （3）根据解析式判断出函数的增减性即可得到答案； （4）抛物线开口向下，则离对称轴越远函数值越小，据此结合x的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是； （2）略 （3）解：∵抛物线的解析式为，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵该抛物线上，两点的横坐标满足， ∴； （4）解：∵抛物线的解析式为，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴在满足的条件下，当时，y有最小值，最小值为， 又∵顶点的纵坐标为3，即y的最大值为3， ∴当时，． 💡破题要诀 ① 先求对称轴 ，整张表围绕它来组织。 ② 选点时关于对称轴对称地成对取，这样画出的抛物线左右对称、形状准确。 ③ 顶点必取，与 轴、 轴的交点尽量取到。 ④ 用平滑的曲线连接各点，绝不能连成折线。 ⑤ 开口方向由 决定： 向上， 向下，画完自查一遍。 迁移应用 【变式2-1】（26-27九年级上·新疆和田·阶段检测）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先描点，然后再连线即可解答； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：列表： x 0 1 2 3 4 2 0 2 描点、连线略． （2）解：∵二次函数， ∴该函数的抛物线开口向上，对称轴为， ∵， ∴当时，二次函数有最小值， ∵当时，二次函数的函数值，当时，二次函数的函数值， ∴二次函数有最大值8， ∴当时，的取值范围为． 【变式2-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)已知函数图象上有两点，且，请比较的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的开口方向、顶点坐标及与坐标轴的交点可得其函数图象； （2）根据二次函数的图象解答． 【详解】（1）解：二次函数， 当时，， 当时，，解得：， ∴抛物线的顶点为，对称轴为直线，与轴交点为和，与轴交点为，画图略； （2）解：观察函数图象可知，当时，y随x的增大而增大． ， ． 【变式2-3】（26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）已知抛物线二次函数． (1)该抛物线的开口方向 ，该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； (2)画出该抛物线的图象； (3)若点A、B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点，则B点的坐标为 ． 【答案】(1)向下，直线， (2)图象如下： (3) 【分析】（1）先化为顶点式，根据二次函数的性质求解即可； （2）列表、描点、连线可得函数图象； （3）根据二次函数的对称性和坐标与图形性质求解即可． 【详解】（1）解：由，， ∴该抛物线的开口方向向下，对称轴是直线，顶点坐标是； （2）解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 2 3 2 … 描点、连线，图略； （3）解：∵该抛物线的对称轴是直线，点A、B均在抛物线上，且与x轴平行， ∴点A、B关于直线对称， ∵点， ∴点B的坐标为． 题型三 二次函数的顶点、最值、增减性 【例3】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）二次函数的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ∵，对称轴为， ∴抛物线开口向上，函数的最小值为． 💡破题要诀 ① 顶点坐标公式：，对称轴 。 ② 更稳的做法是配方：化成顶点式 ，顶点 直接读出。 ③ 开口向上，函数有最小值 ； 开口向下，有最大值 。 ④ 增减性以对称轴为分界： 时左减右增， 时左增右减。 ⑤ 最重要的一条：实际问题的最值必须在自变量取值范围内讨论，若顶点不在范围内，最值在端点处取得。 迁移应用 【变式3-1】（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）对于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．它的开口方向向上 B．它的顶点坐标是 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y有最小值3 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴抛物线开口向下，A错误； 该函数顶点坐标为，B错误； ∵抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大，C正确； ∵抛物线开口向下，顶点为最高点， ∴当时，有最大值，D错误． 【变式3-2】（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）二次函数（、为常数，）的部分与的对应值如表： 则关于该二次函数的说法不正确的是（     ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为 C．函数的最大值为7 D．当时，的值随值的增大而减小 【答案】D 【分析】代入表格中两组的对应值求出与，得到二次函数解析式，再结合其图象与性质判断各选项正误． 【详解】解：将，代入，得， 将，代入，得， ， 二次函数解析式为， ，其图象开口向下，A选项说法正确，不符合题意； 由顶点式可知，其图象的对称轴为直线，B选项说法正确，不符合题意； 开口向下，顶点坐标为，函数的最大值为7，C选项说法正确，不符合题意； 开口向下，对称轴为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，D选项说法错误，符合题意． 【变式3-3】（26-27九年级上·全国·单元复习）由二次函数可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其最大值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式，决定开口方向，对称轴为直线，顶点，进而判断函数的增减性与最值. 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 函数有最小值，当时，随的增大而减小. 【变式3-4】（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）当时，函数的最大值是6，则________． 【答案】或 【分析】该二次函数开口向下，对称轴为，根据对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论，计算对应最大值后验证得到符合条件的的值． 【详解】解：函数开口向下，对称轴为直线，分三种情况讨论： 当，即时，函数在上随增大而减小，最大值在处取得，把代入得： ， 令， 解得：， ∵， ∴不符合题意； 当，即时，函数最大值在顶点处取得，且最大值为， ， 解得：或， 只有满足， 符合条件； 当，即时，函数在上随增大而增大，最大值在处取得， 把代入得， 令， 解得：， ∵， ∴符合题意； 综上，或． 【变式3-5】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知二次函数的图像经过点，，． (1)求这个二次函数的表达式； (2)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点． 【答案】(1) (2) 开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为；有最高点 【分析】（1）设二次函数的表达式为，将A、B、C三点坐标代入进行求解即可； （2）根据a与0的大小判断开口方向和最值，将一般式化为顶点式，可以得到对称轴，顶点坐标． 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为， 将，，代入得：， 解得：， 所以，二次函数的表达式为：； （2）， ，， 所以，抛物线开口向下，有最高点； 根据， 可知对称轴为，顶点坐标为． 题型四 二次函数与一次函数图像的判断 【例4】（26-27九年级上·甘肃临夏·阶段检测）在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及图象与轴的交点位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向与直线的增减性是否一致． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，B、D选项中两个图象与轴交点位置不同（一个在正半轴一个在负半轴），故B、D错误； 对于A选项，二次函数图象开口向上，则，一次函数图象从左向右下降，则，矛盾，故错误； 对于C选项，二次函数图象开口向上，则，一次函数图象从左向右上升，则，且与轴交于正半轴，则，符合图象特征． 💡破题要诀 ① 由开口方向定 ：开口向上 ，向下 。 ② 由对称轴位置定 （口诀「左同右异」）：对称轴在 轴左侧则 、 同号，在右侧则异号，在 轴上则 。 ③ 由抛物线与 轴交点位置定 ：交于正半轴 ，负半轴 ，过原点 。 ④ 再由 、 的符号推出直线 的斜率与截距，检查是否与图中直线一致。 ⑤ 四个选项逐一排查，用前三条先排除，第四条做最终确认。 迁移应用 【变式4-1】（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，当时，二次函数与一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，a、b同号，分两种情况，结合两个函数图象分析即可． 【详解】解：∵， ∴或； 当时，对于函数，抛物线开口向上，对于函数，直线从左往右是上升的，直线与y轴的交点在y轴上方； 当时，对于函数，抛物线开口向下，对于函数，直线从左往右是下降的，直线与y轴的交点在y轴下方； 观察四个选项可得：选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意． 【变式4-2】（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数图象经过的象限确定的值或符号，进而确定函数是否为二次函数或其开口方向和对称轴的位置，逐一分析即可得到答案． 【详解】解：A、一次函数的图象经过原点，则，则函数不是二次函数，与图象不符合，故此选项不符合题意； B、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，则二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，即对称轴在轴右侧，与图象符合，故此选项符合题意； C、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，则二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，即对称轴在轴右侧，与图象不符合，故此选项不符合题意； D、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，即对称轴在轴右侧，与图象不符合，故此选项不符合题意． 【变式4-3】（26-27九年级上·全国·单元复习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象分布，确定字母范围，相同字母范围一致的即可． 【详解】解：选项A. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得；一致，符合要求； 选项B. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得；不一致，不符合要求； 选项C. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得，不一致，不符合题意；     选项D. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得，不一致，不符合题意． 题型五 求二次函数的解析式 【例5】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知二次函数的图象上部分点的坐标满足表格： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … (1)求这个二次函数的解析式； (2)用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 【答案】(1)； (2)函数的顶点坐标是，对称轴是． 【分析】（1）在表格中选取任意三组值，利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）配方法得到二次函数的顶点式解析式，写出顶点坐标和对称轴即可． 【详解】（1）解：将代入函数解析式得， 解这个方程组，得， 所以，这个二次函数的解析式为． （2）解：∵， ∴函数的顶点坐标是，对称轴是直线． 💡破题要诀 ① 三种设法按需选用，选对了能省一半计算量。 ② 已知任意三点 → 设一般式 。 ③ 已知顶点（或对称轴、最值）→ 设顶点式 。 ④ 已知与 轴的两个交点 → 设交点式 。 ⑤ 代入已知点坐标列方程（组）求待定系数，解完必须代入另一个已知点检验。 迁移应用 【变式5-1】（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数（b为常数）图象经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) . (2) 二次函数图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）一般式化为顶点式，即可得出结果. 【详解】（1） 解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式，得， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵二次函数的表达式为，二次项系数为，， ∴二次函数图象开口向下； 将解析式配方，得 ； ∴顶点坐标为，对称轴为直线. 【变式5-2】（2026九年级上·全国·专题练习）已知一条抛物线的顶点坐标是，并经过点，求这条抛物线的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法确定函数解析式．当抛物线的顶点为时，抛物线的解析式可设为． 先根据抛物线的顶点设出抛物线的表达式，再代入点求解即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点是， ∴抛物线解析式可设为， 把代入上式得， 解得， ∴抛物线解析式为． 【变式5-3】（26-27九年级上·新疆吐鲁番·阶段检测）抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点坐标，并判断函数有最大值还是最小值，求出这个最值． 【答案】(1) 抛物线的解析式为 (2) 顶点坐标为；函数有最小值，最小值为 【分析】（1）代入两点坐标，联立方程组求解a，b的值； （2）将抛物线一般式转化为顶点式，结合二次项系数符号判断最值； 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴将两点坐标代入解析式，得， 整理得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为． 【变式5-4】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知抛物线的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)经过怎样的平移可得到二次函数． 【答案】(1) (2)将二次函数向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到二次函数 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）将一般式化为顶点式，根据平移规则进行判断即可. 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， 该二次函数的解析式为． （2）解：， 的顶点坐标是 的顶点坐标是， 将点向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到 将二次函数向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到二次函数． 题型六 根据二次函数图像判断式子正负 【例6】（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④当时，该二次函数的最大值与最小值的差为．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，，①正确，②正确； ∵当时，， ∴，③正确； 当时，最大值在顶点处取得，为，最小值在离对称轴更远的端点处取得，为， ∴最大值与最小值的差，④正确； 综上4个结论全部正确，正确个数为4． 💡破题要诀 ① 核心方法：把代数式翻译成某个特殊点的函数值。 ② = 时的 值； = 时的 值； = 时的 值——看该点在 轴上方还是下方即可。 ③ 看抛物线与 轴的交点个数：两个交点 >0、一个交点 =0、没有交点 <0。 ④ 看对称轴与 的位置关系（由 与 1 比较推出）。 ⑤ 、 之类的式子同样找对应的特殊点代入判断。 迁移应用 【变式6-1】（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若；是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①④⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．①③④ 【答案】A 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系，可判断①正确；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，可判断②不正确；利用二次函数的增减性可判断③不正确；根据当时，抛物线取得最大值，可判断④正确；把代入，可判断⑤正确． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过，即，故②不正确； ∵，且抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值，， 当时，，且， ∴，故④正确； 把代入得，即，故⑤正确； 综上所述，正确的结论是①④⑤． 【变式6-2】（22-23九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键． 【变式6-3】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法： ①； ②； ③若，是抛物线上的两点，则； ④； ⑤（其中）． 其中正确的结论是__________． 【答案】①②⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a，b，c的符号以及关系，利用对称性求出抛物线与x轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，抛物线对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴，故④错误； 把代入得：， ∴，故②正确， ∵，抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③错误； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，抛物线y取得最大值， 当时，，且， ∴，故⑤正确； 综上：①②⑤正确． 【变式6-4】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①，②，③，④，⑤（）（）中正确的是__________． 【答案】①②③④ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系，利用，时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即异号， ． 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，故①正确； ②当时，图象在轴下方， ， ，故②正确； ③对称轴为直线， ，即，由②知， ， ， ，故③正确； ④对称轴为直线， 与关于对称轴对称， 当时，， 当时，，故④正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， ， ， ，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是①②③④． 题型七 二次函数的对称性 【例7】（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数经过点，则_________． 【答案】 【分析】二次函数上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，先求出对称轴，再结合二次函数对称轴公式计算的值． 【详解】解：∵ 二次函数经过和，两点纵坐标相等， ∴ 两点关于二次函数的对称轴对称，可得二次函数对称轴为直线． ∵ 对于二次函数，对称轴公式为，本题中，， ∴ 本题中对称轴为， ∴ ． 💡破题要诀 ① 性质：关于对称轴 对称的两点，它们的纵坐标相等。 ② 反向用法（求对称轴最快的一招）：若两点纵坐标相等，则对称轴是这两点横坐标的平均数 。 ③ 抛物线与 轴的两个交点关于对称轴对称，两交点间的距离为 。 ④ 比较函数值大小时，先用对称性把各个点转化到对称轴的同一侧，再利用增减性比较。 ⑤ 离对称轴越远（横坐标差的绝对值越大）， 时函数值越大、 时越小 迁移应用 【变式7-1】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如果抛物线经过点和，那么抛物线的对称轴为直线___________． 【答案】 【分析】抛物线上纵坐标相等的两个点为对称点，对称轴经过两点横坐标的中点，计算中点横坐标即可得到对称轴． 【详解】解：∵抛物线经过的点和，且这两个点的纵坐标相等， ∴两个点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 【变式7-2】（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）已知抛物线，与的部分对应值如表所示，则表格中的值是___________． 0 1 2 3 0 3 4 3 【答案】 【分析】由表格中和的值相等，可得抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性可知与的纵坐标相等，即可求出． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线上关于对称轴对称的点的纵坐标相等，且直线与直线关于直线对称， 又∵ 当时，， ∴当时，． 【变式7-3】（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）抛物线的对称轴是直线________． 【答案】 【分析】已知抛物线为交点式，先求出抛物线与轴的两个交点横坐标，再利用抛物线的轴对称性计算中点横坐标，即可得到对称轴. 【详解】解：令，得， 解得，， 抛物线与轴两个交点的横坐标为和． 抛物线是轴对称图形，对称轴垂直于轴且经过两个交点的中点， 对称轴的横坐标为， 抛物线的对称轴是直线． 题型八 二次函数与坐标轴的交点 【例8】（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的纵坐标是（     ） A． B．3 C． D．9 【答案】D 【分析】y轴上的点横坐标为0，代入抛物线解析式即可求得交点纵坐标． 【详解】解：当时， ． 💡破题要诀 ① 与 轴交点：令 ，得 ，一定只有一个。 ② 与 轴交点：令 ，解方程 。 ③ 交点个数由 决定： 两个、 一个（顶点在 轴上）、 无交点。 ④ 两个交点间的距离 ，可直接使用。 ⑤ 已知交点情况反求参数时，把交点个数翻译成 的符号即可 迁移应用 【变式8-1】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）抛物线与轴的两个交点之间的距离是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】解：令，得， 解得或， ∴抛物线与轴的交点为，， ∴两交点之间的距离为． 【变式8-2】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】题目未说明函数是二次函数，需分一次函数和二次函数两种情况讨论，一次函数验证与轴交点情况，二次函数利用判别式求解后合并范围即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当，即时，原函数为，是一次函数，与轴有一个交点，符合要求； 当，即时，原函数为二次函数，图象与轴有交点， ∴，解得， 综上，的取值范围是． 【变式8-3】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与x轴有且只有一个交点时，则______． 【答案】 【分析】抛物线平移后与轴只有一个交点，说明平移后的抛物线顶点在轴上，或者对应的一元二次方程有两个相等的实数根． 【详解】解：原抛物线解析式为 配方得 即 原抛物线的顶点坐标为 将抛物线沿轴向下平移个单位 平移后的抛物线解析式为 平移后的抛物线与轴有且只有一个交点 平移后的抛物线顶点在轴上 解得． 题型九 二次函数与方程综合 【例9】（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数值的正负变化确定方程解的区间，再对比选项判断． 【详解】解： 时，，时，， 方程的一个解在之间，选项中只有在该区间内． 故C符合题意． 💡破题要诀 ① 函数值 ⟺ 解方程 ，解的个数就是图像与直线 的交点个数。 ② 求两函数图像的交点：联立两个解析式组成方程组求解。 ③ 韦达定理（含参问题常用）：，。 ④ 移项后一定要先合并常数项、化成标准二次方程，再算判别式。 ⑤ 求出解后代回原方程检验，舍去不合题意的根。 迁移应用 【变式9-1】（26-27九年级上·全国·单元测试）根据下表中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，为常数）的一个解的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程的解对应二次函数中时的值， 由表格可知，当时，；当时，； ∴方程的一个解的范围是． 【变式9-2】（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据图象可得答案. 【详解】解：由图象可知，该函数图象与轴的交点坐标是，， ∴当，即时，，， ∴关于的一元二次方程的解为，. 【变式9-3】（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标约是，由此可以估计方程的负的实数根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数图象的对称轴性质进行估算即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 函数图象与轴的两个公共点关于直线对称． 公共点的横坐标约为， 另一个公共点的横坐标约为， 方程 的负的实数根约为． 【变式9-4】（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）关于的方程的两个根都大于，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】方程两个实根都大于，对应开口向上的二次函数，需满足判别式非负，对称轴在右侧，且处函数值大于，联立不等式求解即可． 【详解】解：设二次函数，函数开口向上，方程的两个根都大于，需同时满足三个条件： ①判别式， 即，解得或； ②对称轴大于， 即，解得； ③处函数值大于， 即，解得； 联立三个结果取交集，得的取值范围是． 题型十 二次函数与不等式综合 【例10】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）在二次函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线开口方向与对称轴，判断给定区间内函数的增减性，再代入区间端点算出对应函数值，得到的取值范围． 【详解】解：二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，． 💡破题要诀 ① 几何转化： 的解集就是抛物线在 轴上方时对应的 范围。 ② 先求抛物线与 轴的两个交点，记 。 ③ （开口向上）时： 取两边（ 或 ）， 取中间（）。 ④ 时结论相反。 ⑤ 最稳的办法是画草图：标出开口方向和两个交点，再看哪一段在 轴上方或下方。 迁移应用 【变式10-1】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】将不等式变形为，即找到抛物线在直线下方时的自变量的范围即可． 【详解】解： ∵抛物线与直线交于，两点， ∴两函数图象交点的横坐标分别为2和， ∵， 即寻找抛物线图象位于直线图象下方（包括交点）时自变量x的范围， 由图象可知：当或时，抛物线在直线下方， ∴不等式的解集为：或； 【变式10-2】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】根据函数图象，确定抛物线的图象位于直线的图象下方（包括交点）时，自变量的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， ∴由图象可知，不等式的解集是． 【变式10-3】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，其顶点坐标为与x轴的一个交点为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)观察图象，当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设函数解析式为，把点代入，求出a的值即可； （2）求出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵其顶点坐标为， ∴可设函数解析式为， ∵与x轴的一个交点为， ∴， ， 函数解析式为； （2）解：对于， 当时，， 解得：， 此二次函数的图像与x轴的两个交点坐标分别是和， 观察图象知，当时，y的取值范围为． 【变式10-4】（26-27九年级上·浙江·期中）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 2 7 … (1)二次函数的图象开口向__________，对称轴为直线__________． (2)求该二次函数的解析式． (3)直接写出当时，y的取值范围 ． 【答案】(1)上， (2) (3) 【分析】（1）当时，；当时，，可得对称轴，由表中数据，利用待定系数法即可求得a的值，即可判断开口方向； （2）由表中数据，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当和时y的值，结合顶点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，；当时，， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵对称轴为直线， ∴， ∴ ∴二次函数的图象开口向上． （2）解：由（1）知，二次函数图象的对称轴为直线，， 由表知 ，当时，， ∴顶点坐标为， ∴． ∴二次函数的表达式为． （3）解：当时，； 当时，． 又∵二次函数图象的顶点坐标为，抛物线开口向上， 当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， ∴当时，． 题型十一 二次函数图像的变化 【例11】（2022·贵州铜仁·模拟预测）将抛物线的图象向左平移个单位后，所得抛物线经过点，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线平移规律得到平移后的解析式，代入已知点坐标列方程求解的值即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位后，所得解析式为， 将代入解析式，得，解得． 💡破题要诀 ① 平移口诀：「左加右减（作用在 上），上加下减（作用在整个函数值上）」。 ② 稳妥做法：先把一般式配方成顶点式 ，再平移顶点，最后写回解析式。 ③ 向右平移 、向上平移 ：。 ④ 关于 轴对称： 变号（ 变号）；关于 轴对称： 变号（ 变号）；关于原点对称：、 都变号。 ⑤ 变换后顶点坐标随之改变，可用顶点位置验证结果是否正确。 迁移应用 【变式11-1】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若抛物线与关于直线对称，则符合条件的m和n的值可以为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据对称性可得抛物线与的对称轴相同，则，可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∵抛物线与关于直线对称， ∴抛物线与的对称轴相同， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 【变式11-2】（25-26八年级下·北京·期末）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 【答案】 【分析】当直线经过点时，直线与新函数的图象有个公共点，把点的坐标代入解析式求出，当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是，当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点，根据一元二次方程根的判别式求出的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：解方程， 分解因式可得， 可得，， 点的坐标为，点的坐标为， 当直线经过点时， 可得， 解得， 此时，直线与新函数的图象有个公共点， 直线再往下平移，则直线与新函数的图象有个公共点， ， 把抛物线整理成顶点坐标式， 可得， 抛物线的顶点坐标是， 点关于轴对称的点的坐标是， 当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是， 当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点， 方程有两个相等的实数根， 整理可得， ， 解得， 当时，直线与新函数的图象恰有个公共点． 【变式11-3】（2026九年级上·浙江·专题练习）已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意画出对应的图象，先解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，然后求出直线经过该抛物线的顶点C时的坐标，从而得到m的值，进而得出m的取值范围． 【详解】解：如图，在x轴下方作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时点C为翻折抛物线的顶点，则直线在x轴与切线的两条直线之间，两个图象有4个交点， 令，解得：或2，即，， ∴翻折抛物线的表达式为：， ∴顶点C的坐标为， 当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是． 【变式11-4】（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）已知抛物线（a，b为常数，且）． (1)若抛物线经过点，求该抛物线的对称轴； (2)若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 (2) 【分析】（1）将点代入求得，再求解对称轴即可； （2）先求出平移之后的点，再将点和平移之后的点代入函数解析式即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 则， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：将点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，所得点的坐标为， 将点，代入 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【变式11-5】（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，抛物线：与轴分别交于、两点（点在点的左侧），对称轴为直线，且过点，顶点为．将抛物线绕点旋转得到新抛物线，抛物线顶点为，与轴分别交于、两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)判断四边形的形状，并证明： (3)连接，将抛物线沿直线平移得到新抛物线，顶点为，若抛物线与线段只有一个交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)解：四边形是矩形， 证明：根据题意，得，抛物线的顶点为， ∴， 当， 解得， ∴，， 设，，， ∵抛物线绕点旋转得到新抛物线，抛物线顶点为，与轴分别交于、两点 ∴，，， 解得，，， ∴，，， ∴新抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． ∴， 同理可证，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形。 (3)或 【分析】（1）根据对称轴为直线，且过点，得，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）根据旋转的性质，中心对称性质，中点坐标公式，待定系数法，矩形的判定解答即可． （3）设新抛物线的解析式为，由物线沿直线平移得到新抛物线，顶点为，得到，故， 分抛物线经过点和点两种情况解答即可． 本题考查了待定系数法，抛物线的平移，中心对称，矩形的判定，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线：与轴分别交于、两点（点在点的左侧），对称轴为直线，且过点， 得， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）略 （3）解：设新抛物线的解析式为， 由物线沿直线平移得到新抛物线，顶点为， ∴， ∴， 当抛物线经过点时，抛物线与线段有一个交点， ∴， 整理得， 解得， 此时，符合题意； 当抛物线经过点时，抛物线与线段有一个交点， ∴， 整理得， 解得， 此时，符合题意； 综上所述，抛物线与线段只有一个交点时， 的取值范围或． 题型十一 二次函数的应用 【例12】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）潮阳某农户要利用一面足够长的墙，用篱笆围成一个矩形菜园，菜园靠墙的一边不用篱笆，其余三面用篱笆，篱笆总长米． (1)设垂直于墙的一边长为米，求菜园面积（平方米）关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (2)当为何值时，菜园面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，自变量取值范围 (2)当时，最大，最大面积为平方米 【分析】（1）根据计算菜园的面积得到（平方米）关于的函数解析式，根据边长大于得到的取值范围. （2）将二次函数转化为顶点式，根据二次函数的图象和性质，得到时，取得最大值. 【详解】（1）解：， ∵，，解得：， ∴自变量取值范围为； （2）解：， ∵，时，取得最大值，即，且在的取值范围内， ∴当时，最大，最大面积为平方米． 💡破题要诀 ① 设自变量：通常设为涨价金额、边长或时间，并注明取值范围。 ② 写出函数关系式：利润 =（售价 - 进价）× 销量，总收益 = 单价 × 数量。 ③ 化为顶点式（或用 ）求出顶点。 ④ 关键一步：检查顶点是否落在自变量的取值范围内；若不在，最值在区间的端点处取得。 ⑤ 若要求涨价为整数，顶点的横坐标不是整数时要比较它两侧相邻整数对应的函数值，再择优。 迁移应用 【变式12-1】（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）某景区有一座石门，底部为矩形，其中长是，宽为．顶部为抛物线形，拱高．以的中点为原点，所在的直线为轴，竖直方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)若增加夜间照明效果，需在石门顶部装盏射灯，每相邻两盏射灯之间的水平距离相等，最外侧两盏与石门左右两侧边缘的水平距离均为，请用坐标表示这四盏射灯的位置． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法得到抛物线的解析式． （2）根据射灯的放置方式得到射灯的横坐标，进而得到射灯的坐标． 【详解】（1）解：由图可知抛物线的顶点坐标为，即， ∴设抛物线的解析式为， ∴将代入，得：， ∴解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵最外侧两盏与石门左右两侧边缘的水平距离均为，每相邻两盏射灯之间的水平距离相等， ∴射灯之间的距离为，最外侧射灯的横坐标到轴的距离为， ∴盏射灯的横坐标分别为， 当和时，， 当和时，， ∴四盏射灯的位置坐标分别为． 【变式12-2】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）为了落实国务院的指示精神，安庆地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克元．市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为元． (1)求与之间的函数关系式． (2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当定价为每千克元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【分析】（1）根据销售利润的计算公式列出函数关系式． （2）通过二次函数的性质求出利润的最大值． 【详解】（1）解：由题意可知，则，解得， ∵成本价为每千克元， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ∵，且， ∴当时，有最大值为， 即该产品销售价定为每千克元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 【变式12-3】（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）某城市公园计划建造一座“彩虹门”喷泉景观．喷泉由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成完整的“彩虹门”．公园设计团队需要对喷泉进行精确设计． (1)任务一：建立模型 如图1，设计团队测得喷泉场地宽度米，在，处各安装一个喷水装置，将出水口高度，都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点到地面的距离为5米．以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请求出“彩虹门”喷泉中抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)任务二：游客通道设计 如图2，设计团队计划在“彩虹门”下方地面上建造一条与垂直的笔直游客通道，并在游客通道上绘制5条平行的地面标志线，每两条标志线之间的间距相等，为了避免游客被淋湿，团队需要在所在直线与标志线交点处安装挡雨伞，伞的顶端离地面的距离保持3米．为保证“彩虹门”的水柱不被破坏，要求最外侧挡雨伞顶端与水柱间的竖直高度为1米．请你求出每相邻两条标志线的间距应为多少米； (3)任务三：灯光设计 设计团队通过进一步分析发现，为使下一次“彩虹门”的设计更具创意，首先将两个喷水装置同时向外侧移动米（在所在直线上），此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，接着在两个喷水装置的外侧各安装一盏射灯（在所在直线上左右对称安装），每盏射灯与同侧喷水装置底端的水平距离均为米（左右相同），射灯射出的光线与地面的夹角为且两条光线相交于一点，若光线与水柱之间的最小竖直距离为2米，求，的值． 【答案】(1) (2)米 (3)， 【分析】（1）根据已知条件，抛物线顶点在，且经过，利用顶点式求解解析式． （2）根据挡雨伞顶端的高度和与水柱的垂直高度，求出水柱在该点的高度，代入解析式求出横坐标，再根据5条标志线的间距相等，计算间距． （3）根据喷水装置移动后的位置和顶点移动的情况，设出新的抛物线解析式，利用交点向下移动1米的条件求出的值；再根据射灯的位置和光线的夹角，求出光线的解析式，通过抛物线上的点与直线上对应点的坐标差求出最小距离，进而求出的值． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线顶点为，且过点， 设抛物线解析式为， 将代入得：， 即，解得， 故抛物线解析式为； （2）解：由题意，挡雨伞顶端离地面3米，最外侧挡雨伞顶端与水柱的垂直高度为米， 水柱在该位置的纵坐标为， 将代入抛物线解析式得：，解得， 最外侧挡雨伞的水平位置为米， 由于5条标志线将到的距离平均分为4段， 则每段间距为米， 故每相邻两条标志线的间距为米； （3）解：由题意，左侧新抛物线顶点为，形状不变， 设解析式为， 将代入解析式，得在轴上的纵坐标． ∵交点向下移动1米， ∴，解得(舍去负值)． 此时，左侧抛物线解析式为， 则左侧喷水装置位置为即，左侧射灯位置为， 光线与地面夹角为， 故左侧射灯光线方程为． 在左侧抛物线上任取一点，其中，， 直线上取正上方的点，则， ∴， 这是关于的二次函数，开口向上， ∴当时，得最小纵坐标差为， ∴，解得． 综上，，． 题型十三 二次函数与几何综合 【例13】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求三点的坐标． (2)求的面积． (3)点是抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标及最大面积． 【答案】(1)、、 (2) (3)，最大面积为 【分析】（1）令，，解得的值，即可得到答案． （2）根据，计算即可得到答案． （3）根据，得到当为抛物线的顶点时，取得面积的最大值，继而得到答案． 【详解】（1）解：令，，即，解得：， ∴、， 令，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，是定值， ∴当取最大值时，即为抛物线的顶点时， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴即当时，此时，即的最大面积为． 💡破题要诀 ① 建系：选择合适的点为原点，使尽可能多的点落在坐标轴上，坐标越简单越好。 ② 设动点：设横坐标为 ，纵坐标代入解析式得 。 ③ 表示线段长：水平或竖直线段直接用坐标差（取绝对值），斜线段用勾股定理。 ④ 表示面积：用割补法，或用「铅垂高 × 水平宽 ÷ 2」（适用于有一边在水平或竖直方向的情况）。 ⑤ 列出面积（或线段长）关于 的函数后求最值；最后务必检查 的取值范围（动点必须在线段上）。 迁移应用 【变式13-1】（26-27九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求、满足的关系式及的值． (2)如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当时，若的函数值随的增大而增大，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或或或 (3) 【分析】（1）求出点、的坐标，代入，即可求解； （2）当时，可得抛物线解析式为，设点，过点作于点，由，，可得，则，即可求解； （3）由，可得抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，解得， 当时，， ∴，， 把，代入，得， ∴，． （2）解：由（1）可知，， 当时，， ∴抛物线解析式为， 如图，设点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴或 整理得或 解得，，，， 当，时，， ∴，， 当，时，， ∴，， 综上所述，点的坐标为或或或． （3）解：由（1）可知，，， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵当时，的函数值随的增大而增大， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式13-2】（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点坐标； (3)直线与抛物线的对称轴交于点D，M为对称轴右侧抛物线上一动点，点N在x轴上，若以点D、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点M的坐标． 【答案】(1)； (2) 存在， (3)， 【分析】（1）利用待定系数法运算求解即可； （2）作交延长线于，过作轴于，作于，，，证明，得到，设，求出坐标，进而求出直线的解析式，联立直线的解析式和抛物线解析式求出点坐标即可； （3）设出点的坐标，利用中点坐标公式分类讨论对角线的情况列式运算即可． 【详解】（1）解：把分别代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 把代入，可得， ， 令得代入， 可得， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，把分别代入得∶   ， 解得：， ∴直线的解析式为∶； （2）解：存在，； 如图，作交延长线于，过作轴于，作于，可知在一条直线上，且， ∵， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 解得：； ， 即， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立和， 得：， 解得：(舍去)， 当时，， 即； （3）解：， ∴抛物线对称轴为直线， ∴把代入可得：， ∴， ∵为对称轴右侧抛物线上一动点，点在轴上， ∴设，， ∵点D、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴①当为平行四边形的对角线时： ， 解得或（舍去）， 代入可得：， ②当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或（舍）， 与①相同； ③当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或    (不合题意，舍去)， 代入可得：， 综上所述的坐标为：． 【变式13-3】（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交轴正半轴于点． (1)求的值及点的坐标； (2)抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)抛物线上存在点，使是以为直角边的直角三角形．点的坐标为或 【分析】（1）根据已知的坐标代入抛物线表达式中即可求出，再根据求出的函数表达式令即可求出点的坐标为． （2）需要分两种情况讨论，当点为直角顶点时，当点B为直角顶点时，先求出直线表达式，再根据直线与抛物线交点计算点的坐标即可． 【详解】（1）解：将代入中， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线交轴正半轴于点， ∴令，则， 解得，， ∴点的坐标为． （2）存在， 当点为直角顶点时，如图， ∵点，点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 把点和点分别代入中， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 直线与抛物线交于点，坐标即为要求的坐标， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴． 当点B为直角顶点时，如图 ∴， 由（1）可知是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴点坐标为 设直线的解析式为， 把点和点分别代入中， 得：， 解得： ∴直线的解析式为， 直线与抛物线交于点，坐标即为要求的坐标， 由题意得：， 解得：（舍去），， 当时，， ∴． 综上所述，抛物线上存在点，使是以为直角边的直角三角形．点的坐标为或． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列函数中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是掌握：形如（、、是常数，）的函数叫做是的二次函数．据此判断即可． 【详解】解：A．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； B．，该函数是关于的二次函数，故此选项符合题意； C．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； D．该函数不是关于的二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（25-26九年级上·浙江台州·期中）一元二次方程有两个不相等的实数根，抛物线上有两点，下列条件中，一定能判断的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线的图象与性质，涉及二次函数图形与轴交点与一元二次方程的根关系、二次函数的对称性等知识，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 先由二次函数图形与轴交点与一元二次方程的根关系得到抛物线的对称轴为，再结合抛物线上点的对称性分析，若，则由抛物线上点的对称性可知，对称轴，据此分析各个选项即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 则抛物线的对称轴是， 抛物线上有两点， 若，则由抛物线上点的对称性可知，， A、当时，，不符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数定义，熟记二次函数定义是解决问题的关键． 根据二次函数的定义：形如，其中，逐项判断每个选项即可得到答案． 【详解】解：A：是一次函数，不满足二次函数定义，不符合题意； B：是分式，不是整式，不满足二次函数定义，不符合题意； C：，满足二次函数定义，符合题意； D：是一次函数，不满足二次函数定义，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查观察图表得知函数值情况，一元二次方程的根，二次函数与一元二次方程的关系．通过观察函数值的变化，当时，时，因此方程根在和之间． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，， 由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在和之间，即， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象顶点坐标为______． 【答案】 【分析】此题主要考查二次函数的顶点坐标，熟练掌握把二次函数的一般式整理成顶点式，是解题关键．直接把二次函数的解析式整理为顶点式即可解答． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的二次项系数是______，常数项是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的一般形式．通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函数的一般形式，即可求解． 【详解】解：∵变形为， 二次项系数为，常数项是． 故答案为：，． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式； (2)请你判断点是否在这个二次函数的图象上？ 【答案】(1) (2)点不在这个二次函数图象上 【分析】本题考查二次函数表达式的求解及点与函数图象的关系，涉及知识点：待定系数法求二次函数解析式、点在函数图象上的判定（点的坐标满足函数表达式）．解题方法是将已知点代入函数式求参数，再将待判断点代入解析式验证；解题关键是准确代入计算，易错点是代入时符号或运算错误． （1）把点坐标代入函数式求的值，得到表达式；（2）将点代入表达式，判断等式是否成立． 【详解】（1）∵二次函数的图象经过点， ， 解得， ∴二次函数的解析式． （2）将代入表达式， 得：．因， 故点不在这个二次函数的图象上． 8．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． (1)由题意可知，则_______________（用含的代数式表示）； (2)设矩形羊圈的面积为S，请写出S与的关系式，并写出的取值范围； (3)请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)当时，矩形羊圈的面积S最大，最大值为 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确列出函数表达式． （1）根据栅栏总长列式得出表达式即可； （2）根据矩形面积公式求出S与x的关系式，根据，及外墙长列不等式组解决即可； （3）利用矩形面积公式及二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得：， ∵外墙长且， ， 解得：， ∴S与x的关系式为； （3）解： ， ， ∴当时，S最大，此时，， ∴当时，矩形羊圈的面积S最大，最大值为． 9．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将，代入解析式，求出的值，得到抛物线解析式即可； （2）当水面下降，即时，列方程为，求出的值，从而求出此时水面宽度即可． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 将，代入，， 得， 解得， 因此，该抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知：， 当水面下降，即时， ， 解得或， 此时水面宽度为， 答：此时水面宽度为． 10．（25-26九年级上·浙江·期中）某品牌水果冻的高为，底面为直径是的圆，两个水果冻倒装在一个长方体盒子内，如图为横断示意图，水果冻的截面可以近似地看成两条抛物线，交点为．以左侧抛物线的顶点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求以为顶点的抛物线的函数表达式． (2)若点的横坐标为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数解析式，矩形面积，解题的关键是画出平面图． （1）设抛物线的函数表达式是，求出，代入求出函数表达式是． （2）由（1）可得，可设以为顶点的抛物线，把代入可得，再由对称性即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式是， ∵高为， 底面圆的直径为， ∴， 把代入， 解得， ∴函数表达式是， （2）当时，， 点， 设以为顶点的抛物线， ，解得（不符题意，舍去）． ． 11．（25-26九年级上·浙江金华·期中）设函数，，其中． (1)若函数的图象过点，函数的图象过点，求的值； (2)若，判断函数与轴的交点个数，说明理由； (3)若函数和函数与轴的交点均相同，求，的值． 【答案】(1)21 (2)函数与轴没有交点， 理由：， ， 函数与轴没有交点； (3)， 【分析】此题考查了二次函数和x轴的交点问题，二次函数的性质，二次函数和一元二次方程，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将和分别代入和，得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可； （2）根据判别式结合求解即可； （3）首先求出函数与x轴的交点坐标为和，然后根据题意得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：把代入，把代入，得， ， ； （2）略 （3） 函数与轴的交点坐标为和 函数与轴的交点坐标为和 ，即，解得（舍）或 ，． 12．（25-26九年级上·浙江台州·期中）已知抛物线与轴交于，两点． (1)若，，求该抛物线解析式； (2)若抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是______； (3)已知抛物线的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）根据交点式求解即可； （2）根据二次函数的平移规律作答即可； （3）根据抛物线的图象与轴最多有一个公共点得到，将化为顶点式，根据顶点式的性质分时，时，两种情况作答即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：∵抛物线是抛物线向下平移一个单位后得到的函数解析式， ∴在之间， 即， 故答案为：； （3）解：， ∵抛物线的图象与轴最多有一个公共点， ∴， ∴． ， ①时，当时，，所以． ②时，当时，，无解． 综上所述，． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·浙江·期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据给定关系式，利用表中时 的条件求出常数 ，再代入计算的值． 【详解】∵ ，且当 时，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时，， ∴ ． 故选：C． 2．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，过该函数顶点且与轴平行的直线与抛物线交于、两点，若，则和满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴交点问题以及二次函数图象上点的坐标特征，平行于x轴上的两点，依据题意，先求出抛物线与x轴的交点横坐标得出，再求出，然后根据，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，对于， 令，则， ∴， ∴，， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴令， ∴或， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 故选：D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某广场设有观赏性音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向随音乐变化而上下移动，不同高度的喷头喷出的水呈抛物线型（或其中一部分），但形状相同，水柱离地面的最高高度也相同，水都落在喷水管的同侧．当喷头在地面上时，其抛物线水柱如图1，水落地点离喷水口的距离米，水柱最高点离地面3米；当喷头升高时，水柱形状如图2，为喷水管，B为落水点，记的长为喷泉跨度． (1)在图1中，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的函数表达式； (2)若喷水管最高可升到米，求出喷泉跨度的最小值； (3)如图3，安全通道在线段上，无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．若该安全区域的宽为米，为了保证安全，进入该通道的人最高身高为多少？（精确到米） 【答案】(1) (2)喷泉跨度的最小值为3 (3)能够进入该安全通道的人的最大身高为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数图象的不同特点设出相关函数解析式是解题的关键． （1）抛物线过原点，可设抛物线解析式为：，易得抛物线的顶点坐标为，抛物线经过（，把这两点代入可得抛物线的解析式； （2）两个抛物线的形状相同，则二次项的系数相同，抛物线的最高高度相同，那么两个抛物线顶点的纵坐标也相等，设抛物线解析式为顶点式，当喷水管最高时，的值最小，把代入抛物线解析式可得抛物线的解析式，进而求解； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，根据点在过点的抛物线上，点在过点的抛物线上，求得纵坐标相等时的值，代入过点的抛物线可得纵坐标的值，即为能够进入该安全通道的人的最大身高． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为：，如图， ∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵水柱最高点离地面， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， ∵不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，形状相同，最高高度也相同， ∴图3中抛物线的顶点的坐标可设为：， ∴抛物线解析式为：， ∵喷水管最高时，的值最小， ∴抛物线经过点，即， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 当时，， 解得：（负值舍去）， ∴； 答：喷泉跨度的最小值为3； （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为， 由题意可知：点在抛物线上，点在抛物线上， 则， ∴， ， ， ， 解得：， ∴ ． 答：能够进入该安全通道的人的最大身高为米． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（是常数，且） (1)证明：不论m取何值，该二次函数图像总与x轴有两个交点． (2)若，是该二次函数图像上的两个不同点，求二次函数表达式和n的值． (3)在（2）的条件下，若点，点也均在此函数图像上，且满足，求的取值范围． 【答案】(1) 证明：令，则 ， 故不论m取何值，该二次函数图像总与x轴有两个交点； (2)抛物线的表达式为； (3) 【分析】本题考查的二次函数图像与系数的关系，抛物线与x轴的交点，函数图像上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 由题意得：，即可求解； 由点A、B的坐标得，抛物线的对称轴直线，则，解得，即可得到抛物线的表达式为，将点A的坐标代入上式即可求出n的值； 根据题意得到，解不等式即可． 【详解】（1）略 （2）解：是该二次函数图象上的两个不同点， 抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 则抛物线的表达式为， 将点A的坐标代入上式得：， 解得； （3）解：抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而减小， 点，点在此函数图像上，且， ， 解得 5．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是常数，）． (1)若时，图象经过点，求二次函数的表达式． (2)写出一组a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标． (3)已知，二次函数的图象和直线都经过点，求证：． 【答案】(1) (2)， （答案不唯一） (3)证明：∵二次函数的图象和直线都经过点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）把代入二次函数的关系式，再把代入求出b的值，进而即可确定二次函数的关系式； （2）令，则，当时，求得,据此写出一组a,b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标； （3）根据题意得到,整理得，则，最后根据二次函数的性质即可得证明结论． 【详解】（1）解：把代入得:， ∵当时，， ∴， ∴， ∴二次函数的关系式为． （2）解：令，则， 当时，则， ∴， ∴若，时，函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴此时函数为， ∴此函数的顶点坐标为(答案不唯一) ． （3）略 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $