第一章 二次函数全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数全章高频重难点，通过基础到核心的题型分层，构建从概念理解到综合应用的递进训练体系，培养数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|11类高频题型|单一知识点应用，如概念判断、解析式确定、图象性质|从概念生成到性质推导，再到简单应用，形成完整知识链| |核心提升|6类重难题型|多知识点综合，如函数与几何综合、最值综合|在基础上拓展知识关联，强化逻辑推理与模型意识|

第一章 二次函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 二次函数的概念与函数关系判断 题型2 二次函数解析式的确定 题型3 二次函数 y=ax2 的图象与性质 题型4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质 题型5 二次函数图象的平移与变换 题型6 二次函数图象与系数 a,b,c 的关系 题型7 二次函数图象与特殊点、特殊值 题型8 二次函数与一元二次方程 题型9 二次函数与一元二次不等式 题型10 二次函数的最值问题 题型11 二次函数实际应用中的建模问题 核心提升：重难题型归纳 题型1 二次函数图象综合判断 题型2 解析式、图象与性质综合 题型3 二次函数与方程、不等式综合 题型4 二次函数最值综合 题型5 二次函数与几何综合 题型6 二次函数实际应用与建模 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 二次函数的概念与函数关系判断 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，嘉嘉用判别式判断二次函数与x轴交点情况，墨迹不小心覆盖了一部分过程．老师说：“依据你所写的判别式，是可以知道原函数的．” (1)该二次函数的一次项系数______，常数项_______； (2)该二次函数图象与x轴的有_____个交点； (3)当时，求y的值． 2．（2024·浙江台州·二模）王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（   ）的图象上． 1 2 4 ….. A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数 C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数 3．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． ◆题型2 二次函数解析式的确定 4．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 5．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线)的薄壳屋顶．已知它的拱宽为4米，拱高为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． ◆题型3 二次函数 y=ax2 的图象与性质 7．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形ABCD的顶点B，D在开口向上的二次函数的图象上，点B在点D的左侧，点A在y轴正半轴上，设点B，D的横坐标分别为m、n，已知，则________． 9．（25-26九年级上·重庆开州·期末）关于二次函数，以下说法正确的是（   ） A．函数图像开口向上 B．的最大值为4 C．图像的对称轴为直线 D．随的增大而减小 ◆题型4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质 10．（2026九年级上·河北沧州·学业考试）如图，抛物线与轴交于点，，顶点为，抛物线（其中，为常数）与轴交于点，，顶点为． 嘉嘉说：当时，的值为4； 淇淇说：当时，点恰好位于点的正上方． 针对嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（ ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．两个人说的都对 D．两个人说的都不对 11．（2026·山东菏泽·二模）校园科技节的手工展上，小明设计了一款抛物线形的趣味投篮架．已知篮球架的轮廓抛物线表达式为：（其中为水平距离，为高度，单位：米）．根据比赛规则，投篮架的顶点（即抛物线最低点）必须落在直线上，才能确保投篮轨迹与得分线完美契合．求满足条件的的值为（     ） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 12．（2026九年级下·贵州毕节·学业考试）如图所示，抛物线的部分图象与x轴交于点，与y轴交于点，对称轴与抛物线交于点C，则下列结论错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，则 C．连接、、，则 D．直线的关系式为： ◆题型5 二次函数图象的平移与变换 13．（2025·河南郑州·三模）关于二次函数，下列结论中正确的是（    ） A．其图象的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．若点是抛物线上的点，则点也是抛物线上的点 D．把该函数的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，图象经过点 14．（24-25九年级上·福建莆田·期末）定义：如果抛物线（a、b、c是常数，且）满足，那么称该抛物线为“黄金抛物线”．在平面直角坐标系中，已知黄金抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线还是黄金抛物线，则b的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 15．（2019·浙江台州·一模）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折叠得到的新抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3 ◆题型6 二次函数图象与系数 a,b,c 的关系 16．（2026·四川达州·模拟预测）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点，下列结论：①，②，③，④当时，，正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（2022·宁夏银川·二模）如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 18．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（m为实数），其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ◆题型7 二次函数图象与特殊点、特殊值 19．（2025·湖南湘潭·模拟预测）初中阶段我们学习了一次函数、反比例函数、二次函数等，对于函数图象，它充分展现了函数的性质和特征，值得我们认真思考与理解．我们规定：一个函数图象与轴交点的横坐标称为这个函数的零点，下列对一些函数零点的说法正确的是（   ） A．函数有零点，则 B．一次函数有一个零点 C．函数一定没有零点 D．二次函数有两个零点和4 20．（2023·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点．，，在该抛物线上．若，比较，，，的大小，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 21．（2025·陕西咸阳·一模）已知抛物线（是常数），当时，函数值小于，当时，则函数值的范围是（   ） A． B． C． D． ◆题型8 二次函数与一元二次方程 22．（2026·陕西西安·模拟预测）二次函数的最小值为，若该二次函数的图象不经过第三象限，则的值为（    ） A． B． C． D． 23．（2025·安徽·模拟预测）已知关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（2026·山东德州·二模）若关于x的一元二次方程的两根为，（），下列判断正确的是（     ） A．， B．m应满足 C．当时，， D．当时， ◆题型9 二次函数与一元二次不等式 25．（25-26九年级上·河南南阳·期末）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度厘米/天)和光照强度勒克斯)之间存在一定关系．在低光照强度范围()内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围()内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．当时，随的增大而增大 B．当时， C．当时，这种植物的生长速度最快 D．当时， 26．（2026·安徽阜阳·一模）已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 27．（2025九年级下·湖北·学业考试）已知不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D． ◆题型10 二次函数的最值问题 28．（2026·福建漳州·模拟预测）已知二次函数当时，y随x的增大而增大．当时，函数的最大值是5，最小值是，则k的值可能是（    ） A．10 B．9 C．7 D．5 29．（2026·江苏扬州·二模）若，则的值可能是（    ） A． B．3 C． D．2 30．（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知：、两点关于轴对称，且点在双曲线上，点在直线上，设点的坐标为，则二次函数（   ） A．有最大值，最大值为3 B．有最大值，最大值为 C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为3 ◆题型11 二次函数实际应用中的建模问题 31．（2026·甘肃平凉·三模）一小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），按如图所示的图象，小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系式是，当小球的速度最大时，弹簧的长度是（） A． B． C． D． 32．（2026·天津河北·二模）某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件元，为正整数．有下列结论： ①若，则销售该商品当日利润为900元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则； ③有两种定价方式可以使利润为1008元 其中，正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 33．（2026·浙江杭州·一模）某校乒乓球社团用智能发球机开展训练，并用二次函数模型分析乒乓球的飞行轨迹．如图，以发球机出球口A在球台水平面的垂直投影O为坐标原点，球台长度方向为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系．已知标准乒乓球台总长，球网位于球台正中间，球网高，球网与原点O的水平距离为．发球机出球口A在y轴上，乒乓球的飞行轨迹为开口向下的抛物线；当时，球的飞行轨迹最高点与出球口A的水平距离为，距离球台水平面的高度为． (1)求乒乓球飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； (2)请通过计算判断，乒乓球此次飞行能否顺利越过球网； (3)乒乓球首次落台面后立即弹起，弹起后的轨迹与原抛物线形状完全相同，且弹起轨迹的最高点距离球台水平面的高度为．若最佳击球高度为，运动员想抢先台内击球（球弹起后第一次达到最佳击球高度），求此时击球点与原点O的水平距离． ◆题型1 二次函数图象综合判断重难专项 1．（2026·浙江嘉兴·二模）已知抛物线的图象关于直线对称．若该抛物线与直线交于点，，且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江·模拟预测）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的两个交点为，，且，其部分图像如图所示，则下列结论正确的是（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）已知关于的二次函数． (1)当时， ①求二次函数的对称轴和顶点坐标． ②当时，该函数的最小值是3，求的值． (2)若抛物线过点，且对于拋物线上任意一点都有，若点，是这条抛物线上不同的两点，求证：． ◆题型2 解析式、图象与性质综合重难专项 4．（2026·浙江湖州·二模）已知二次函数（为常数）的图象经过点． (1)求二次函数的表达式． (2)作点关于直线对称的点，若点恰好落在的图象上，求的值． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的取值范围． 5．（2026·浙江杭州·三模）已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式． (2)若此二次函数的图象同时经过和两点，求n的值． (3)设时，此二次函数的最大值为，求t的值． ◆题型3 二次函数与方程、不等式综合重难专项 6．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图是抛物线，其顶点为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论正确的有（     ） ①若抛物线与轴的另一个交点为，则； ②；③若时，随的增大而增大，则；④若时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知点、为抛物线 （a为常数， ）上的两点，当 ， 时（     ） A．若 ，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 ◆题型4 二次函数最值综合 8．（2026·浙江温州·三模）已知二次函数的图象上有两点，，设，若，，则下列结论正确的是（     ） A．S有最大值，也有最小值 B．S有最小值，但没有最大值 C．S有最大值，但没有最小值 D．S没有最小值，也没有最大值 9．（2026·浙江宁波·二模）已知二次函数． (1)①用含有的代数式表示函数图象的对称轴； ②若函数图象顶点落在轴上，求的值； (2)若该函数图象与轴有两个不同交点，设这两个交点的横坐标分别为，，求证：； (3)当时，请直接用含有，的代数式表示函数最大值与最小值的差的最小值． ◆题型5 二次函数与几何综合重难专项 10．（2026·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（为常数）． (1)若二次函数图象经过点，求该函数表达式与顶点坐标． (2)当时，二次函数有最大值，求的值． (3)若抛物线与题（1）中抛物线交于，两点（如图所示），且这两点的横坐标分别是与，两条抛物线在，两点之间形成一个封闭曲线．求证：封闭曲线所围成的图形面积大于． 11．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）如图所示，已知抛物线与轴相交于点和，与轴相交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图甲所示，若是线段上的一个动点（不与点重合），过点作轴的平行线，交抛物线于点，连结，当线段的长最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图乙所示，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线相交于点，且，连结．在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． ◆题型6 二次函数实际应用与建模重难专项 12．（2026·浙江绍兴·二模）如图，一块长方形绿地，米，米，中间铺设了两条互相垂直的路径，路径两边互相平行（，），重叠部分为四边形，已知米，设四块绿地，，，的面积总和为，则与的函数解析式是（ ）． A． B． C． D． 13．（2026·浙江杭州·一模）如图（1），在中，，矩形内嵌于．顶点F，G在边上，点D在边上，点E在边上．当矩形以每秒1个单位长度的速度沿射线匀速运动（当G点与C点重合时停止运动）．设运动时间为x秒，矩形与重叠部分的面积为S．如图（2）为S关于x的函数图象，且经过点，．下列选项正确的是（   ） A． B．重叠部分面积的最大值为140 C． D．点在函数图象上 14．（25-26九年级下·江苏宿迁·阶段检测）如图，正方形的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线将正方形分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为S，则S关于t的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 15．（2026·浙江绍兴·二模）电子跳蚤可在复杂环境中执行任务．将其抽象为一点，起跳后的运动轨迹可看作抛物线的一部分，且每次运动的轨迹形状保持不变．实验中，跳蚤从水平地面上的点起跳，最终落在水平地面上的点P．以点为原点，所在直线为轴，过点垂直于地面的直线为轴，以为一个单位长度建立平面直角坐标系．已知，轨迹最高点距地面（x轴）． (1)求跳蚤跳跃轨迹对应的抛物线函数表达式． (2)跳蚤前方地面上有一长方体挡板，其截面为矩形，与运动轨迹在同一平面内．已知，，．若跳蚤先向挡板垂直方向爬行米，再按（1）中的轨迹跳跃一次，刚好跳到挡板上底面，即其下落轨迹经过线段（含端点C、D），求爬行距离的取值范围． 1．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（ ） A．1 B． C．或 D．或 2．（22-23九年级下·浙江杭州·开学考试）函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，二次函数的图象经过点，，．那么二次函数的图象中，当图象位于轴下方（不包含轴）时，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江温州·二模）二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： 的值 … 0 1 2 … 的值 … 2 5 2 … 当时，函数的取值范围是（） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连接，则线段长度的最小值为（　　） A．2 B． C．3 D． 7．（2026·浙江温州·二模）如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2是某次测试中汽车离点A的距离S（米）关于行驶时间t（秒）的函数图象． ①匀速行驶阶段：汽车从点A出发，以的速度沿方向匀速行驶，2 秒后到达点C． ②刹车阶段：汽车自点C处开始刹车，6秒后在点D处停止，这个过程中S与t满足关系：（a为常数且）． 下列选项中正确的是（     ） A． 米/秒 B．汽车行驶总时间为 10 秒 C． D． 米 8．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数，当时，函数的最小值为，则______． 10．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为，则的值为_____． 11．（25-26九年级上·浙江·期中）已知二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和___________0（填“”“”或“”）． 12．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为______. 三、解答题 13．（2026·浙江丽水·模拟预测）已知直线交抛物线（常数）于点，，． (1)求抛物线的对称轴． (2)当抛物线最高点到直线的距离为9时， ①求的值； ②若点，是范围内抛物线上的两点，且，．当取得最大值时，记点向右平移3个单位后的点为，求线段的中点的坐标． 14．（2026·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 15．（2026·浙江宁波·二模）已知关于的二次函数（，为常数）． (1)若二次函数的图象经过点，对称轴为直线． ①求该二次函数的表达式； ②将二次函数的图象向下平移7个单位得到新函数的图象，当时，求的取值范围． (2)若，当时，二次函数的最小值为21，求的值． 16．（2026·浙江嘉兴·二模）已知，二次函数（为常数）． (1)若二次函数图象经过点，求此二次函数的表达式． (2)设抛物线顶点的纵坐标为，求证：． (3)当时，若二次函数图象始终在直线的上方，求的取值范围． 17．（2026·浙江宁波·二模）已知二次函数（a，b是实数，）的图像经过点，，． (1)求二次函数的表达式． (2)若点，都在该二次函数的图像上，且，求m的取值范围． (3)若把二次函数的图像沿x轴方向平移n（）个单位长度得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值为1，求n的值． 18．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，点在边上（不与点，点重合），点在线段的延长线（射线）上，，，与交于点，． (1)若，求的长． (2)求证：． (3)求证：当四边形的面积最大时，点B恰为的中点． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 二次函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 二次函数的概念与函数关系判断 题型2 二次函数解析式的确定 题型3 二次函数 y=ax2 的图象与性质 题型4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质 题型5 二次函数图象的平移与变换 题型6 二次函数图象与系数 a,b,c 的关系 题型7 二次函数图象与特殊点、特殊值 题型8 二次函数与一元二次方程 题型9 二次函数与一元二次不等式 题型10 二次函数的最值问题 题型11 二次函数实际应用中的建模问题 核心提升：重难题型归纳 题型1 二次函数图象综合判断 题型2 解析式、图象与性质综合 题型3 二次函数与方程、不等式综合 题型4 二次函数最值综合 题型5 二次函数与几何综合 题型6 二次函数实际应用与建模 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 二次函数的概念与函数关系判断 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，嘉嘉用判别式判断二次函数与x轴交点情况，墨迹不小心覆盖了一部分过程．老师说：“依据你所写的判别式，是可以知道原函数的．” (1)该二次函数的一次项系数______，常数项_______； (2)该二次函数图象与x轴的有_____个交点； (3)当时，求y的值． 【答案】(1)； (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数与x轴的交点问题等知识． （1）根据根的判别式即可得出，． （2）根据根的判别式即可得出答案． （3）先得出二次函数解析式，再把代入二次函数解析式即可求出y． 【详解】（1）解：根据， 可知，． 故答案为：；． （2）解：∵， ∴该二次函数图象与x轴的有2个交点． 故答案为：2． （3）解：∵，，． ∴二次函数的解析式为：， 当时，． 2．（2024·浙江台州·二模）王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（   ）的图象上． 1 2 4 ….. A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数 C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论：若点和在一次函数的图象上，利用待定系数法求得一次函数的解析式，把代入求得函数值，若函数值与可以相等，则这三点可以同时位于一次函数的图象上，否则这三点不可以同时位于一次函数的图象上，这三点可以同时位于二次函数的图象上；若点和在反比例函数的图象上，利用待定系数法求得，把代入求得函数值，函数值与值相等，故这三点可以同时位于反比例函数的图象上． 【详解】解：若点和在一次函数的图象上， 设一次函数为，则，解得， ， 把代入得， 令，整理得， ， 存在的值使， 故这三不可以同时位于一次函数的图象上和二次函数的图象上， 若点和在反比例函数的图象上， 设反比例函数为，则， 解得， ， 把代入得，， 故当时， 故这三点可以同时位于二次函数的图象上和反比例函数的图象上． 故选：B． 3．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． ◆题型2 二次函数解析式的确定 4．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再结合二次函数的性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：把，和 代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，故选项错误； ∵图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大， ∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线，故选项错误； ∴当时，可知时函数取最大值， 又由表格知，时， ∴当 时，的取值范围为，故选项错误； ∵二次函数顶点坐标为， ∴直线与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，故选项正确． 5．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线)的薄壳屋顶．已知它的拱宽为4米，拱高为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形，设解析式为，根据，，构建方程组求解即得． 本题主要考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法确定二次函数解析式，结合抛物线在坐标系的位置，将二次函数解析式设为适当的形式，是解题的关键． 【详解】∵抛物线关于y轴对称， ∴设解析式为， 由题知，， 得， 解得， ∴． 故选：A． 6．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，先根据B、D关于y轴对称，得出D点坐标为，再求出左边抛物线的顶点C的坐标为，则右边抛物线的顶点F的坐标为，设右边抛物线的解析式为，代入即可得出答案． 【详解】解：∵高，，B、D关于y轴对称， ∴D点坐标为， ∵轴，，最低点C在x轴上， ∴关于直线对称， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． ◆题型3 二次函数 y=ax2 的图象与性质 7．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形ABCD的顶点B，D在开口向上的二次函数的图象上，点B在点D的左侧，点A在y轴正半轴上，设点B，D的横坐标分别为m、n，已知，则________． 【答案】/0.5 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，过点B作轴于点F，过点D作轴于点E，结合正方形的性质和二次函数的性质，得出，再通过证明，把数值代入进行计算，得，进而求解即可．解题的关键是构造全等三角形． 【详解】解：过点B作轴于点F，过点D作轴于点E．如图所示： ∵点B，D的横坐标分别为m，n，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上， ， ． ∵四边形是正方形， ，， ． ， ， ，， ，， ， ， ∵点B，D在y轴的同侧， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·重庆开州·期末）关于二次函数，以下说法正确的是（   ） A．函数图像开口向上 B．的最大值为4 C．图像的对称轴为直线 D．随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数性质以及图象相关知识，属于基础题．根据二次函数性质，通过系数判断开口方向、最值、对称轴及单调性． 【详解】解：∵二次函数为，其中，，， ∴对于A：∵，∴开口向下，A错误； 对于B：∵开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标，代入得，∴y的最大值为4，B正确； 对于C：对称轴为直线，即，而非，C错误； 对于D：∵开口向下，对称轴，∴当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小，D错误． 故选：B． ◆题型4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质 10．（2026九年级上·河北沧州·学业考试）如图，抛物线与轴交于点，，顶点为，抛物线（其中，为常数）与轴交于点，，顶点为． 嘉嘉说：当时，的值为4； 淇淇说：当时，点恰好位于点的正上方． 针对嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（ ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．两个人说的都对 D．两个人说的都不对 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程． 解一元二次方程，得到，，根据求解得到，即嘉嘉说的对；根据顶点式求出，，根据得到，若点恰好位于点的正上方，则，即淇淇说的不对． 【详解】解：解，得：， 即，，， 解，得：， 即，，， ∵， ∴， ， ，嘉嘉说的对； ，顶点坐标为， ，顶点坐标为， ∵， ∴， 若点恰好位于点的正上方， 则、横坐标相等， ∴，即 ∴ ， 即点不位于点的正上方，淇淇说的不对； 故选：A． 11．（2026·山东菏泽·二模）校园科技节的手工展上，小明设计了一款抛物线形的趣味投篮架．已知篮球架的轮廓抛物线表达式为：（其中为水平距离，为高度，单位：米）．根据比赛规则，投篮架的顶点（即抛物线最低点）必须落在直线上，才能确保投篮轨迹与得分线完美契合．求满足条件的的值为（     ） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 【答案】C 【分析】先通过配方求出抛物线的顶点坐标，再根据顶点在直线上，将顶点坐标代入直线方程得到关于的一元二次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：对抛物线解析式配方得： ∵ ， ∴ 抛物线的顶点坐标为， ∵ 顶点落在直线上， ∴ 将顶点坐标代入直线方程得： ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 或． 12．（2026九年级下·贵州毕节·学业考试）如图所示，抛物线的部分图象与x轴交于点，与y轴交于点，对称轴与抛物线交于点C，则下列结论错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，则 C．连接、、，则 D．直线的关系式为： 【答案】C 【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，可判断选项A；求得抛物线与x轴的另一个交点坐标，结合图象可判断选项B；利用待定系数法求得直线的关系式可判断选项D；求得直线与y轴的交点坐标，利用三角形面积公式计算可判断选项C． 【详解】解：∵抛物线的部分图象与x轴交于点，与y轴交于点，对称轴， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∴点C的坐标为，则选项A正确，不符合题意； ∵点，对称轴， ∴抛物线与x轴的另一个交点为，由图象得当时，则， ∴当时，则，则选项B正确，不符合题意； ∵，， ∴设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的关系式为：，则选项D正确，不符合题意； 设直线与y轴交于点，令，则， ∴，如图， ∴， ∴，则选项C错误，符合题意． ◆题型5 二次函数图象的平移与变换 13．（2025·河南郑州·三模）关于二次函数，下列结论中正确的是（    ） A．其图象的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．若点是抛物线上的点，则点也是抛物线上的点 D．把该函数的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，图象经过点 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质等知识．求出抛物线的对称轴为即可得到A选项错误；根据抛物线的增减性即可得到B选项错误；根据点是抛物线上的点得到，把代入得到，即可得到C选项正确；把抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后得到，即可得到点不在图象上，得到D选项错误，问题得解． 【详解】解：由二次函数得对称轴为，故A选项错误，不合题意； ∵， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大，故B选项错误，不合题意； ∵点是抛物线上的点， ∴， 当时，， ∴点也在抛物线上，故C选项正确，符合题意； 二次函数先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后得， 当时， ∴点不在图象上，故D选项错误，不合题意． 故选：C 14．（24-25九年级上·福建莆田·期末）定义：如果抛物线（a、b、c是常数，且）满足，那么称该抛物线为“黄金抛物线”．在平面直角坐标系中，已知黄金抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线还是黄金抛物线，则b的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，正确理解黄金抛物线的定义是解题关键．先根据黄金抛物线的定义可得，再根据二次函数图象的平移可得向左平移1个单位长度得到的抛物线为，根据黄金抛物线的定义可得，联立求解即可得． 【详解】解：∵抛物线是黄金抛物线， ∴①， 将黄金抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为，即为， ∵得到的抛物线是黄金抛物线， ∴， ∴，即②， 将①代入②得：，即， 解得， 故选：D． 15．（2019·浙江台州·一模）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折叠得到的新抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3 【答案】A 【分析】利用原抛物线上的关于x轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解答． 【详解】抛物线y＝x2﹣2x﹣3关于x轴对称的抛物线的解析式为：﹣y＝x2﹣2x﹣3， 即y＝﹣x2+2x+3， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是抓住关于x轴对称的坐标特点． ◆题型6 二次函数图象与系数 a,b,c 的关系 16．（2026·四川达州·模拟预测）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点，下列结论：①，②，③，④当时，，正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断，即可． 【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下，二次函数的图象交y轴的正半轴于一点， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴．故①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ③∵对称轴为，且经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴，故③正确； ④观察图象得：当时，，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④，共4个． 17．（2022·宁夏银川·二模）如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质可确定反比例函数a的范围，再利用二次函数的性质确定二次函数中字母a的范围，看a的范围是否统一． 【详解】解：A、反比例函数图象在第一、三象限，则，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； B、二次函数的图象开口向下，则，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； C、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； D、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后一致，故此选项符合题意． 18．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（m为实数），其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由对称轴为直线可判断②，由时及抛物线的对称性可判断③，由图象可判断④，由时函数取最大值可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴，故②正确； ∴，故①正确； ∵时，， ∴时，，故③不正确； 由图象可得当时，不一定大于0， ∴当时，不一定大于0，故④不正确； 由图象可得时，函数值取最大值， 即， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有3个． ◆题型7 二次函数图象与特殊点、特殊值 19．（2025·湖南湘潭·模拟预测）初中阶段我们学习了一次函数、反比例函数、二次函数等，对于函数图象，它充分展现了函数的性质和特征，值得我们认真思考与理解．我们规定：一个函数图象与轴交点的横坐标称为这个函数的零点，下列对一些函数零点的说法正确的是（   ） A．函数有零点，则 B．一次函数有一个零点 C．函数一定没有零点 D．二次函数有两个零点和4 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数等与轴交点问题，根据定义，逐项分析判断，即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：A. 函数有零点， 当时，是二次函数， 当时，， ∴ 当时，是一次函数和与轴有交点 此时，满足．故A选项正确； B. 一次函数有一个零点，故该选项不正确，不符合题意； C. 函数当时有零点，故该选项不正确，不符合题意； D. 当时， 解得： 二次函数有两个零点和，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 20．（2023·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点．，，在该抛物线上．若，比较，，，的大小，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查抛物线的性质，根据点和点在抛物线上得到，，表示出 ，， ，，，结合判断式子与0的关系即可得到答案； 【详解】解：∵点和点在抛物线上， ∴，， ∵，， ∴， ∵，，在该抛物线上， ∴， ， ，， ∴，，，， ∴， 故选：D． 21．（2025·陕西咸阳·一模）已知抛物线（是常数），当时，函数值小于，当时，则函数值的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意和二次函数的性质，可以求得的取值范围，从而可以求得当时，函数值的取值范围，本题得以解决． 【详解】解：∵抛物线（是常数，当时，函数值小于， ， ， 当时，，当时，， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 故选：C． ◆题型8 二次函数与一元二次方程 22．（2026·陕西西安·模拟预测）二次函数的最小值为，若该二次函数的图象不经过第三象限，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次函数最小值为求出的所有可能值，再结合二次函数图象不经过第三象限的条件筛选出符合要求的． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，最小值为顶点纵坐标． 根据顶点纵坐标公式列方程得， 整理得， 解得或． 当时，解析式为，顶点坐标为，顶点在第三象限，函数图象经过第三象限，不符合要求，舍去． 当时，解析式为，时，对称轴为直线，因此时，函数图象不经过第三象限，符合要求． ∴． 23．（2025·安徽·模拟预测）已知关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程，可以利用二次函数的图象与性质分析判断即可． 【详解】解：设， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小， ∴当时，函数值， ∴， 对于一元二次方程，解得，， ∴， 故选：A． 24．（2026·山东德州·二模）若关于x的一元二次方程的两根为，（），下列判断正确的是（     ） A．， B．m应满足 C．当时，， D．当时， 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的解的定义、根的判别式、二次函数的图象与一元二次方程的关系逐个选项进行判断即可． 【详解】解：将，代入一元二次方程得原方程左边为0， 则当时，方程成立， 则A选项错误，不符合题意； 方程化简得：， 由题意得，方程有两个不相等的实数根， 则， 解得：， 则B选项错误，不符合题意； 令， 这是开口向上的抛物线，与轴交于和，顶点, 当时，直线与抛物线交于两点， 其横坐标满足，， 则C选项错误，不符合题意； 由C选项可知，顶点, 当时，直线与抛物线有两个交点， 满足， 则D选项正确，符合题意． ◆题型9 二次函数与一元二次不等式 25．（25-26九年级上·河南南阳·期末）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度厘米/天)和光照强度勒克斯)之间存在一定关系．在低光照强度范围()内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围()内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．当时，随的增大而增大 B．当时， C．当时，这种植物的生长速度最快 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与二次函数的实际应用，涉及函数的增减性、函数与方程和不等式的对应关系．关键是再结合分段函数的图象和性质逐一分析选项： 【详解】解：选项A：当时，根据抛物线的对称性，对称轴为直线，且开口向下， 当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，故A错误； 选项B：当时，一次函数的最小值为，最大值为， ∴有一个的解； 又当时，随增大而减小，当时，， ∴有一个的根， 时有两个解，故B错误； 选项C：根据图象，当时，随增大而增大；当时，随增大而减小， 当时，生长速度最快，故C正确； 选项D：根据图象，函数值时，的取值范围是，并非，故D错误． 故选：C． 26．（2026·安徽阜阳·一模）已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线对称轴和过点，利用对称性确定另一交点，结合开口向下判断时的取值范围． 【详解】∵抛物线的对称轴为，且过点， 由对称性，抛物线过点， ， 抛物线开口向下， 当时，的取值范围是， 故选：B． 27．（2025九年级下·湖北·学业考试）已知不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次不等式的解法，由题意得方程的解为或，利用根与系数的关系可得a，b的值，代入即可得出不等式的解集． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴方程的解为或， ∴，， 解得，， ∴，即，即 解得：， 故不等式解集为， 故选：D． ◆题型10 二次函数的最值问题 28．（2026·福建漳州·模拟预测）已知二次函数当时，y随x的增大而增大．当时，函数的最大值是5，最小值是，则k的值可能是（    ） A．10 B．9 C．7 D．5 【答案】D 【分析】先对二次函数配方得到对称轴，再根据给定区间的增减性确定开口方向，最后根据最值条件确定k的取值范围，选出符合条件的选项． 【详解】解：对二次函数配方得：， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． ∵当时，随的增大而增大，且，说明对称轴左侧随增大而增大， ∴抛物线开口向下，即． 当时，代入得， 关于对称轴的对称点为， 即时． ∵开口向下时，点离对称轴越远函数值越小，且时，函数最大值为，最小值为， ∴， 观察选项，只有在范围内． 29．（2026·江苏扬州·二模）若，则的值可能是（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】由得，代入，得到关于x的一元二次函数，化为顶点式，求出最值，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 的值可能是2． 30．（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知：、两点关于轴对称，且点在双曲线上，点在直线上，设点的坐标为，则二次函数（   ） A．有最大值，最大值为3 B．有最大值，最大值为 C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为3 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的性质，由M和N关于y轴对称，M在双曲线上，N在直线上，可求出，代入二次函数得，开口向下，有最大值，利用顶点公式求最值 【详解】解：∵、两点关于轴对称，点的坐标为， ∴， ∵M在上， ∴， ∵N在上， ∴， ， ∴二次函数 ∵二次项系数， ∴函数有最大值，最大值， 故选：B． ◆题型11 二次函数实际应用中的建模问题 31．（2026·甘肃平凉·三模）一小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），按如图所示的图象，小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系式是，当小球的速度最大时，弹簧的长度是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数解析式求出速度最大时弹簧被压缩的长度，再利用弹簧长度等于初始长度减去压缩长度求解即可 【详解】解：∵小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系式是 ∴该函数图象是开口向下的抛物线， 当时，取得最大值， ∵， 当时，小球的速度最大，此时弹簧被压缩了， ∵弹簧的初始长度为， ∴此时弹簧的长度为 32．（2026·天津河北·二模）某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件元，为正整数．有下列结论： ①若，则销售该商品当日利润为900元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则； ③有两种定价方式可以使利润为1008元 其中，正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先根据题意得到利润关于售价的函数表达式，再依次验证三个结论即可． 【详解】解：设每日销售利润为元，根据题意，每件利润为元， 每日销量为 ， 因此得 ； ①当时， ，故①正确。 ②二次函数 开口向下，对称轴为 ， ∵为正整数，且要求利润最大同时尽量让利消费者（即售价更低）， ∴满足要求，结论②错误； ③令 ，得方程： ， 整理得 ，解得 ，，两个根均为正整数， ∴有两种定价，③正确． 综上，正确的结论共2个． 33．（2026·浙江杭州·一模）某校乒乓球社团用智能发球机开展训练，并用二次函数模型分析乒乓球的飞行轨迹．如图，以发球机出球口A在球台水平面的垂直投影O为坐标原点，球台长度方向为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系．已知标准乒乓球台总长，球网位于球台正中间，球网高，球网与原点O的水平距离为．发球机出球口A在y轴上，乒乓球的飞行轨迹为开口向下的抛物线；当时，球的飞行轨迹最高点与出球口A的水平距离为，距离球台水平面的高度为． (1)求乒乓球飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； (2)请通过计算判断，乒乓球此次飞行能否顺利越过球网； (3)乒乓球首次落台面后立即弹起，弹起后的轨迹与原抛物线形状完全相同，且弹起轨迹的最高点距离球台水平面的高度为．若最佳击球高度为，运动员想抢先台内击球（球弹起后第一次达到最佳击球高度），求此时击球点与原点O的水平距离． 【答案】(1) (2)乒乓球此次飞行能够顺利越过球网 (3)击球点与原点O的水平距离为 【分析】（1）根据题意设函数表达式为，将点代入即可求得结果； （2）将代入函数表达式进行判断即可； （3）先求出乒乓球在桌上的落球点坐标，再根据题意设平移后的，代入求出a的值，最后将代入即可求得结果． 【详解】（1）解：由题意知，设函数表达式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴． （2）解：当时，, ∴乒乓球此次飞行能够顺利越过球网． （3）解：对于函数， 当时，，， ∴乒乓球在桌上落球点坐标为， 由题意，弹起后的图象是由y向右平移a个单位，再向下平移0.25个单位得到， ∴， ∵过点， ∴，解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 当时， 解得，（球在桌外，不合题意舍去）， ∴击球点与原点O的水平距离为． ◆题型1 二次函数图象综合判断重难专项 1．（2026·浙江嘉兴·二模）已知抛物线的图象关于直线对称．若该抛物线与直线交于点，，且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先联立抛物线与直线的方程得到一元二次方程，利用根与系数关系得到两根和的表达式，结合抛物线对称轴公式推导的表达式，再结合已知条件比较大小即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于两点， ∴联立得 ， 整理得， ∵该方程的两个根为， ∴， 整理得 ， 又∵抛物线对称轴为， 将代入得： ， ∵， ∴，即， ∴，即． 2．（2026·浙江·模拟预测）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的两个交点为，，且，其部分图像如图所示，则下列结论正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图像的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，故选项A错误： ∵如图：当时，， ∴，，故选项B错误； ∵， ∴，故选项C错误； ∵如图：当时，， ∴，即，故选项D正确． 3．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）已知关于的二次函数． (1)当时， ①求二次函数的对称轴和顶点坐标． ②当时，该函数的最小值是3，求的值． (2)若抛物线过点，且对于拋物线上任意一点都有，若点，是这条抛物线上不同的两点，求证：． 【答案】(1)①这个二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ② (2)证明见解析 【分析】（1）①将代入可求出二次函数解析式，再化成顶点式，即可直接确定对称轴和顶点坐标；②由抛物线开口向上可知，顶点处取最小值2，由时，该函数的最小值是3得函数的最小值在端点处取得，且， 令，得，解得或，结合，确定； （2）由抛物线过点，且对于拋物线上任意一点都有，得抛物线开口向下，，且对称轴为，求出，得到解析式，将，代入解析式，分别表示出和，计算并配方，得到，利用，是不同点得出，因此，从而证明． 【详解】（1）解：①把代入解析式，得 ， 化为顶点式，得 ， ∴这个二次函数的对称轴为，顶点坐标为； ②二次函数中， ∵， ∴抛物线开口向上，函数有最小值， ∵二次函数的顶点坐标为， ∴函数最小值为2， ∵时，该函数的最小值是3， ∴函数的最小值在端点处取得，且， 令，则， 解得或， ∵， ∴； （2）证明：∵抛物线过点，且对于拋物线上任意一点都有， ∴是抛物线的最高点， ∴抛物线开口向下，，且对称轴为， ∴，解得， ∴抛物线解析式为：， ∵点，在抛物线上， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵点，是这条抛物线上不同的两点， ∴，解得， ∴， ∴，即． 【点睛】利用配方法，把二次函数转化为“顶点式”，是快速定位对称轴和顶点的核心技巧；因为顶点处最小值为2，而题目要求最小值为3，说明最小值在区间端点处取得，且；由是最高点可推出且对称轴为，从而求出，确定函数解析式，利用两点坐标，代入函数，得到和的表达式，再通过配方法将转化为完全平方形式，利用平方式的非负性进行证明，注意严格使用题目给出的所有条件，“不同点”意味着，因此． ◆题型2 解析式、图象与性质综合重难专项 4．（2026·浙江湖州·二模）已知二次函数（为常数）的图象经过点． (1)求二次函数的表达式． (2)作点关于直线对称的点，若点恰好落在的图象上，求的值． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）通过对称求出点坐标，然后代入二次函数解析式求解即可； （3）分两种情况①当时，②当时，分别进行讨论即可． 【详解】（1）解：把点代入二次函数得，，解得：， ∴二次函数的表达式为． （2）解：∵点与点关于直线对称， ∴点的坐标为， 把代入得，， 解得：或． （3）解：∵ ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，；当时，； ， ，即：， ①当时，， ∴当时，， ∴，， ∴； ②当时，， 此时，点到的距离为，点到的距离为， ∵， ∴此时最小值为，最大值为， ， ∴，， ∴， 综上所述，． 5．（2026·浙江杭州·三模）已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式． (2)若此二次函数的图象同时经过和两点，求n的值． (3)设时，此二次函数的最大值为，求t的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)或 【分析】（1）将点坐标代入函数表达式，结合的条件求解参数a，得到二次函数表达式； （2）先求出函数对称轴，再根据点对称时横坐标的关系列方程求解m，进而求得点的横坐标，最后代入函数解析式求解即可； （3）先确定二次函数的开口方向与对称轴，根据点的对称性可知时的函数值与时的函数值相等，再分与两种情况讨论，最后利用二次函数的增减性求解即可得． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴把代入得， 解得：， ∵， ∴， ∴二次函数表达式为． （2）由得，对称轴为直线， ∵二次函数的图象同时经过和两点， ∴这两点关于对称轴对称，得， 解得，， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述，的值为或． （3）∵， ∴其对称轴为直线， ∴时的函数值与时的函数值相等，即为；当时，， 由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 则分以下两种情况： 若，则在内，由图像知，当时，有最大值， ∴， 解得，（舍去）， 若，则在内，当时，有最大值， ∴， 解得，（舍去）， 综上所述，的值为或． ◆题型3 二次函数与方程、不等式综合重难专项 6．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图是抛物线，其顶点为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论正确的有（     ） ①若抛物线与轴的另一个交点为，则； ②；③若时，随的增大而增大，则；④若时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据抛物线的对称性得：，列不等式可得结论； ②将顶点坐标代入抛物线的解析式中，列两式可得结论； ③根据抛物线的对称轴即可判断； ④设，把它看作另一个二次函数，此二次函数过原点，通过计算发现与轴有两个交点，且另一个交点在原点的右侧，由此作判断． 【详解】解：①如图1，设抛物线与轴的交点为和（在的右侧）， 则， ∴， 由对称性得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵抛物线的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵抛物线的对称轴是直线，开口向下， ∴时，随的增大而增大， ∵时，随的增大而增大， ∴； 故③错误； ④由图可知：抛物线开口向下， ∴， ∴抛物线也开口向下，且过原点，如图2所示， 当时，， ， ∴，， ∴当时，， 即当时，； 故④正确； 其中正确结论是：①②④，3个． 7．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知点、为抛物线 （a为常数， ）上的两点，当 ， 时（     ） A．若 ，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 【答案】B 【分析】先求得抛物线对称轴为，开口向上，点离对称轴越远函数值越大，且恒大于，A取反例，两点在对称轴右侧，由右侧随增大而增大得，判定A错误；B要恒成立需所有到轴距离均大于，时满足该条件，则无法保证，判定B正确；C取反例，离对称轴更远得，与结论矛盾，判定C错误；D取反例，满足但，与结论矛盾，判定D错误． 【详解】解：∵抛物线 ， ， ∴抛物线开口向上，对称轴为 ， 又∵ ， ， ∴， 开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，函数值越大，同时在对称轴左侧，随的增大而减小；在对称轴右侧，随的增大而增大， 对于A：取 ，此时 ， ，两点都在对称轴右侧， 随增大而增大，得，故A错误，该选项不符合题意； 对于B：要使恒成立，需保证所有满足条件的，到对称轴的距离都大于所有到对称轴的距离， 当时：，所有都在对称轴左侧，且到对称轴的距离都大于； 在到之间，结合，任意到对称轴的距离恒大于任意到对称轴的距离， 因此所有离对称轴更远，恒成立， 反之，若，则会出现离对称轴更远的情况，无法保证， 因此“若，则”成立，故B正确，该选项符合题意； 对于C：取，此时在到之间（对称轴左侧），在到之间（对称轴右侧）， 到对称轴的距离都大于，到对称轴的距离都小于， 根据开口向上“距离越远值越大”的规律，可得与结论矛盾，故C错误，该选项不符合题意； 对于D：取，此时在到之间（对称轴左侧），在到之间（对称轴右侧）， 到对称轴的距离都小于，到对称轴的距离都大于，因此<，但此时，与结论矛盾，故D错误，该选项不符合题意． ◆题型4 二次函数最值综合 8．（2026·浙江温州·三模）已知二次函数的图象上有两点，，设，若，，则下列结论正确的是（     ） A．S有最大值，也有最小值 B．S有最小值，但没有最大值 C．S有最大值，但没有最小值 D．S没有最小值，也没有最大值 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，先根据已知条件将表示为关于的二次函数，确定的取值范围，再根据二次函数的顶点位置的最值情况即可． 【详解】解：∵点在的图象上 ， ∴，， ∵， ∴， ∴ ，整理得 ， 配方得， ∵， ∴， 解得 或 ， ∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴当时，S随的增大而减小， ∴， ∴当时，S随的增大而增大， ∴， ∴S没有最小值，也没有最大值． 9．（2026·浙江宁波·二模）已知二次函数． (1)①用含有的代数式表示函数图象的对称轴； ②若函数图象顶点落在轴上，求的值； (2)若该函数图象与轴有两个不同交点，设这两个交点的横坐标分别为，，求证：； (3)当时，请直接用含有，的代数式表示函数最大值与最小值的差的最小值． 【答案】(1)①；② (2)因为该函数图象与轴有两个不同交点，设这两个交点的横坐标分别为，， 所以，， 令，则， 所以， 因为函数顶点坐标为， 所以， 所以 所以； (3) 【分析】（1）①将二次函数的解析式化为顶点式，即可得出结果；②由①可得函数顶点坐标为，再结合函数图象顶点落在轴上计算即可； （2）由题意可得，，令，则，，由函数顶点坐标为，求出，从而即可得证； （3）分四种情况：①若，函数最大值为，最小值为时，②若，函数最大值为，最小值为时，③若，函数最大值为，最小值为时，④若，函数最大值为，最小值为时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：① 所以函数图象对称轴为直线．   ②函数顶点坐标为， ∵函数图象顶点落在轴上， ∴， 解得； （2）略 （3）解：①若，函数最大值为，最小值为时， 所以； ②若，函数最大值为，最小值为时， 所以； ③若，函数最大值为，最小值为时， 所以； ④若，函数最大值为，最小值为时， 所以； 综上，函数最大值与最小值的差的最小值为． ◆题型5 二次函数与几何综合重难专项 10．（2026·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（为常数）． (1)若二次函数图象经过点，求该函数表达式与顶点坐标． (2)当时，二次函数有最大值，求的值． (3)若抛物线与题（1）中抛物线交于，两点（如图所示），且这两点的横坐标分别是与，两条抛物线在，两点之间形成一个封闭曲线．求证：封闭曲线所围成的图形面积大于． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或 (3)证明：由题（1）知抛物线的顶点为， 与轴的交点为，抛物线与轴交点为，连接，如下图所示 ， 将与分别代入， 得，， 四边形的面积， 设直线的解析式为， 将点，点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 过点作轴交于点， ，， 的面积， 四边形的面积的面积， 封闭曲线所围成的图形面积大于． 【分析】（1）运用待定系数法和顶点的坐标公式即可求出； （2）抛物线的对称轴为直线，根据对称轴在区间的位置，分类讨论取得最大值的条件，求出的值； （3）求出抛物线的顶点坐标，与轴的交点坐标，抛物线与轴交点坐标，以及，两点的坐标，再以轴为底，点B与点D两点的横坐标之差为高，求出四边形的面积；求出过、两点的直线的解析式，过点作轴交于点，以为底，求出的面积，四边形的面积与的面积之和大于2，证明成立． 【详解】（1）解：将点代入，得 ，解得， 该函数表达式为， ， 抛物线的顶点坐标为， ，顶点坐标为． （2）解：抛物线，开口向下，对称轴为直线， ①若，即，当时，，解得， 这与矛盾，舍去； ②若，即，当时，， 解得，， ， ； ③若，即，当时，，解得； 综上所述，或． （3）略 11．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）如图所示，已知抛物线与轴相交于点和，与轴相交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图甲所示，若是线段上的一个动点（不与点重合），过点作轴的平行线，交抛物线于点，连结，当线段的长最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图乙所示，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线相交于点，且，连结．在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形为平行四边形，理由见解析 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，根据二次函数的性质求出最值，可得，进而求解； （3）当，则，则直线和直线关于直线对称，进而求出点E的坐标为，设点F的坐标为，再根据，可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 故抛物线的表达式为①； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下： 对于， 令， 解得或4， 令，则， 故点B的坐标为，点， 设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， 则， ∵， 故有最大值， 当时，的最大值为， 此时点Q的坐标为； ∵，， 故四边形为平行四边形； （3）解：∵D是的中点， ∴点， 设直线的表达式为，则， 解得， 直线的表达式为， 过点Q作轴于点H， 则，故， 而， ∴， 则直线和直线关于直线对称， ∵点在直线上， ∴点在直线上， 故设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为②， 联立①②并解得（不合题意的值已舍去）， 故点E的坐标为， 设点F的坐标为， 由点B、E的坐标得：， 由点B、F的坐标得：， 当时，则， 解得， 故点F的坐标为或． ◆题型6 二次函数实际应用与建模重难专项 12．（2026·浙江绍兴·二模）如图，一块长方形绿地，米，米，中间铺设了两条互相垂直的路径，路径两边互相平行（，），重叠部分为四边形，已知米，设四块绿地，，，的面积总和为，则与的函数解析式是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出，得到，，，再根据平行线的性质，结合锐角三角函数相关知识，得到，，，分别表示出，，，的值，接着，利用面积公式分别求出，，，，最后利用求解即可． 【详解】解：在长方形中， ∵米，米， ∴米，平方米， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵米，米， ∴， 解得：米， 即米， ∴平方米， ∴平方米， ∵，， ∴， 解得：米， ∵，，， ∴且四边形是矩形， 同理可得， 解得：米， ∴（平方米）， ∵（平方米）， ∴ ． 【点睛】利用三角函数换算道路垂直宽度，总面积减去道路面积（剔除重叠部分）列出函数，切勿重复计算重叠区域． 13．（2026·浙江杭州·一模）如图（1），在中，，矩形内嵌于．顶点F，G在边上，点D在边上，点E在边上．当矩形以每秒1个单位长度的速度沿射线匀速运动（当G点与C点重合时停止运动）．设运动时间为x秒，矩形与重叠部分的面积为S．如图（2）为S关于x的函数图象，且经过点，．下列选项正确的是（   ） A． B．重叠部分面积的最大值为140 C． D．点在函数图象上 【答案】C 【分析】设矩形的长，宽，由及可知为等腰直角三角形，故 ，当时，矩形右侧超出的部分是直角边为x的等腰直角三角形，面积，结合图象点及转折点特征，可求出a，h的值，进而分段求出S与x的函数关系式，验证各选项． 【详解】解：设矩形的长，宽， ∵矩形内嵌于，，， ∴是等腰直角三角形，， 当时，矩形向右平移距离为x，右侧超出的部分是直角边为x的等腰直角三角形， ∴， 由图（2）知，当时，，且图象发生转折，说明此时F点运动到C点，即， ∴，解得， ∴，故A选项错误； 矩形面积最大值为，故B选项错误； 当时，F点已过C点，G点在C点左侧（G距C点距离为，且）， 重叠部分面积S等于右侧固定的等腰直角三角形面积（直角边为 10）加上左侧矩形面积， ∴， 当时，，故C选项正确； 当时，G点在C点左侧且距C点距离小于10，重叠部分为等腰直角三角形，直角边长为， ∴， 当时，，故D选项错误． 14．（25-26九年级下·江苏宿迁·阶段检测）如图，正方形的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线将正方形分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为S，则S关于t的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的位置，分两段求出阴影部分面积关于的函数表达式，再根据函数类型与增减性判断图象形状． 【详解】解：∵点， 根据勾股定理可得正方形边长：， ∴正方形的面积为， ①当时： 直线左侧为等腰直角三角形，其直角边长为， 则， 此段为开口向上的二次函数，图象为上升的曲线； ②当时： 直线右侧为等腰直角三角形，其直角边长为， 右侧三角形面积：， 左侧阴影面积：， 此段为开口向下的二次函数，图象为上升的曲线． 综上，关于的函数图象先为开口向上的抛物线弧，后为开口向下的抛物线弧，符合条件的为选项C． 15．（2026·浙江绍兴·二模）电子跳蚤可在复杂环境中执行任务．将其抽象为一点，起跳后的运动轨迹可看作抛物线的一部分，且每次运动的轨迹形状保持不变．实验中，跳蚤从水平地面上的点起跳，最终落在水平地面上的点P．以点为原点，所在直线为轴，过点垂直于地面的直线为轴，以为一个单位长度建立平面直角坐标系．已知，轨迹最高点距地面（x轴）． (1)求跳蚤跳跃轨迹对应的抛物线函数表达式． (2)跳蚤前方地面上有一长方体挡板，其截面为矩形，与运动轨迹在同一平面内．已知，，．若跳蚤先向挡板垂直方向爬行米，再按（1）中的轨迹跳跃一次，刚好跳到挡板上底面，即其下落轨迹经过线段（含端点C、D），求爬行距离的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可知最高点设顶点式，将代入求解即可； （2）令，得到，根据“跳到挡板上底面”列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题可知最高点 设顶点式 将代入得 所以 （2）解：米， ∵，， ∴， 在中，令，求得（舍去）， ∵跳到挡板上底面， ∴， 解得：． 1．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（ ） A．1 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，根据抛物线的性质分别求出y的最大值与最小值，进而列出关于的方程，即可求解． 【详解】解：若， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∴y的最小值为， ∵，，， ∴当时，y取得最大值，最大值为， ∵y的最大值与最小值的差为7， ∴， 解得； 若， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为， ∴y的最大值为， ∵，，， ∴当时，y取得最小值，最小值为， ∵y的最大值与最小值的差为7， ∴， 解得； 综上，a的值为或． 2．（22-23九年级下·浙江杭州·开学考试）函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】由抛物线与x轴无交点，可得，即可判断①；将代入抛物线可判断②；求出抛物线对称轴为直线，得到抛物线过点，代入抛物线可判断③；当时，抛物线在直线的下方，得到，整理后可判断④． 【详解】解：①由图象可知：抛物线与x轴无交点， ∴，故此选项错误； ②由图象可知：抛物线过点， ∴， ∴，故此选项正确； ③∵抛物线过点， ∴抛物线对称轴为直线 ∵抛物线过点， ∴抛物线过点， ∴， ∴，故此选项正确； ④由图象可知，当时，抛物线在直线的下方， ∴， ∴， ∴，故此选项正确． 综上所述，正确的结论有3个． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，二次函数的图象经过点，，．那么二次函数的图象中，当图象位于轴下方（不包含轴）时，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据二次函数的图象经过点，，得对称轴，根据对称轴推出对称点是，再根据是向上平移个单位，得出过和；最后结合抛物线开口向上，得到时的取值范围为． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴与点关于二次函数的图象的对称轴对称点是， ∵二次函数的图象是由二次函数的图象向上平移个单位长度得到的 ， ∴二次函数的图象经过点和， 由图象可知，， ∴二次函数的图象位于轴下方(不包含轴)时，自变量的取值范围是． 故选：C． 4．（2026·浙江温州·二模）二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： 的值 … 0 1 2 … 的值 … 2 5 2 … 当时，函数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，先利用表格中相等函数值对应的自变量求出对称轴，判断开口方向，再根据对称性得到端点的函数值，最后结合增减性确定给定取值范围内的取值范围． 【详解】解：∵由表格可知，和时的函数值相等，均为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵时的函数值，大于和的函数值， ∴二次函数开口向下，顶点为，即函数在处取得最大值， 根据二次函数对称性，与关于直线对称， ∵时， ∴时， 在区间中，开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小，离对称轴最远，函数值最小为， 因此当时，的取值范围是． 5．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，通过直接计算点A和点B的纵坐标，得到和关于m的表达式，结合m的取值范围比较大小即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ， ∴， ∴． 故选:D． 6．（25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连接，则线段长度的最小值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数点的特征，勾股定理，配方法的应用，表示出的长度是解题的关键． 设点的坐标为，，则，，根据勾股定理表示出的长度，通过配方可以求出的最小值． 【详解】解：设点的坐标为， ，， ， ， 当时，最短，线段长度的最小值为， 故选：D． 7．（2026·浙江温州·二模）如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2是某次测试中汽车离点A的距离S（米）关于行驶时间t（秒）的函数图象． ①匀速行驶阶段：汽车从点A出发，以的速度沿方向匀速行驶，2 秒后到达点C． ②刹车阶段：汽车自点C处开始刹车，6秒后在点D处停止，这个过程中S与t满足关系：（a为常数且）． 下列选项中正确的是（     ） A． 米/秒 B．汽车行驶总时间为 10 秒 C． D． 米 【答案】D 【分析】根据图像分析段匀速运动，可知匀速速度，将坐标代入即可求得函数表达式，进而可知的取值． 【详解】解：由题可知，段是匀速直线运动， 则（米/秒）， 则A选项错误； ∵将和代入 得： ， 解得：， 则C选项错误； 则S与t的关系式为：， 当时，汽车停止运动，（米） 则 则B选项错误，D选项正确． 8．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点，求出，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，易证得四边形是平行四边形，于是可得，由轴对称的性质可得，于是得到，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 【详解】解：令， 解得：， ， ， ， ， 如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，， 点沿轴向下平移个单位得到点， ， ， ， 抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上， ， 四边形是平行四边形， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， 当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小， 在抛物线中， 令，则， ， 由平移的性质可得：点的纵坐标， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 在抛物线中，其对称轴为直线， 要使的值最小，则点的坐标应满足， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与轴的交点坐标，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 二、填空题 9．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数，当时，函数的最小值为，则______． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数在区间上的最值，掌握好二次函数的图象与性质是解题关键． 先判断图象的开口方向和对称轴，根据区间与对称轴的相对位置进行分类讨论，结合二次函数的增减性，求出的值． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越近，函数值越大， 当和关于对称轴对称时，，解得， ①当时， ∵， ∴当时，取得最小值， ∴， 化简，得， 解得或， ∵， ∴； ②当时， ∵， ∴当时，取得最小值， ∴， 化简，得， 解得或， ∵， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或． 10．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，由，求出，然后分类讨论即可，熟练掌握二次函数的性质及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴最多有一个公共点， ∴， 解得：， 由， 当时，则时，取最小值， ∴，解得； 当时，则时，取最小值， ∴，解得，舍去； 当时，则时，取最小值， ∴， 无实数根； 故答案为：． 11．（25-26九年级上·浙江·期中）已知二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和___________0（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键． 设的两根为，由二次函数的图象可知，；设方程的两根为m，n，再根据根与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：设的两根为， 对称轴在的负半轴， ，， ， ∴由二次函数的图象可知； 设方程的两根为m，n， 则 ∵ ∴， ∵ ∴ 即 故答案为： 12．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为______. 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质是解题的关键；过点P作轴于点E，由题意易得，然后可得，则有，进而代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：过点P作轴于点E，如图所示： 令，则有，解得：， 令时，则， ∴， ∴， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P在第一象限的抛物线上， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 故答案为． 三、解答题 13．（2026·浙江丽水·模拟预测）已知直线交抛物线（常数）于点，，． (1)求抛物线的对称轴． (2)当抛物线最高点到直线的距离为9时， ①求的值； ②若点，是范围内抛物线上的两点，且，．当取得最大值时，记点向右平移3个单位后的点为，求线段的中点的坐标． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）代入抛物线对称轴公式求解即可； （2）①利用抛物线最高点到直线的距离为这个条件结合抛物线顶点坐标与直线的表达式列出且可求出的值，联立抛物线和直线结合即可得到的值；②取得最大值，在内先让尽可能大，取顶点纵坐标时最大，再让尽可能小，从而可得到点，的坐标，由平移性质得到的坐标，再利用中点坐标公式求得线段的中点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为； （2）解：①直线过点，， 直线的表达式为， ， 该抛物线的顶点为， 抛物线最高点到直线的距离为， ，， ，即，解得或（舍去）， 抛物线为，直线为， 联立抛物线和直线得， 化简得，即， 解得，， ， ； ② 取得最大值， 最大为当时，， ， 最小为当时，， ，， 点向右平移个单位后的点为， ，即， 线段的中点的坐标为，即． 14．（2026·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入函数解析式整理并化成顶点式即可求解． （2）根据对称轴为直线得出，把和分别代入二次函数求出对应的和，然后相减即可得出答案． （3）根据二次函数顶点坐标得出把点代入，得出，根据顶点坐标得出，，根据h的取值范围即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：当，时， 函数可化为． 整理得：． ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：已知函数， 其对称轴为， ∵，即对称轴为， ∴， ∴， 将代入函数中，可得， 将代入函数中，可得， ∴， ∴． （3）解：把点代入， 得， ∴， 已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 15．（2026·浙江宁波·二模）已知关于的二次函数（，为常数）． (1)若二次函数的图象经过点，对称轴为直线． ①求该二次函数的表达式； ②将二次函数的图象向下平移7个单位得到新函数的图象，当时，求的取值范围． (2)若，当时，二次函数的最小值为21，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①由待定系数法求解即可；②根据抛物线与不等式的关系求解； （2）当时，，对称轴为直线，然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①将点代入得：， 二次函数的对称轴为， ，解得， 则此二次函数的表达式为； ②， 则向下平移7个单位得到新函数，即， 令，则，解得或， ∵抛物线开口向上， ∴当时，； （2）解：当时，，对称轴为直线， ①当，即时， 将，代入解析式得，， 解得． ， ． ②当，即时， 将，代入解析式得，， 解得． ， ． ③当时，将，代入解析式得， ， 解得． ， 此时的值不合题意，舍去． 综上所述，或． 16．（2026·浙江嘉兴·二模）已知，二次函数（为常数）． (1)若二次函数图象经过点，求此二次函数的表达式． (2)设抛物线顶点的纵坐标为，求证：． (3)当时，若二次函数图象始终在直线的上方，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）将二次函数上的点代入到原二次函数解析式中即可解出答案； （2）套用二次函数的顶点公式，将顶点的纵坐标表示出来，得到一个新的二次函数，利用二次函数的顶点式求出最大值； （3）利用二次函数的增减性，将题目分为在对称轴的左侧；在对称轴的右侧；在对称轴的两侧三种情况进行分类讨论，最后解出答案 【详解】（1）解：∵二次函数经过点， ∴将代入二次函数解析式中， ，解得， ∴二次函数的表达式为． （2）证明：由二次函数顶点坐标公式可知： ， ∵， ∴． （3）解：二次函数的对称轴为： ， ∵， ∴二次函数图像开口向上； ①当在对称轴的左侧，即，解得时， 此时，随增大而减小， ∴当时，，即，解得， ∵， ∴该情况不成立； ②当在对称轴的右侧，即，解得时， 此时，随增大而增大， ∴当时，，即，解得， ∵， ∴当时符合题意； ③当在对称轴的两侧，则，解得， 此时在顶点处取得最小值， 即当时，，即， 化简，得：， ∵，两式相乘，同号为正，异号为负； ∴，解得， ∵， ∴符合题意， 综上所述，的取值范围为． 17．（2026·浙江宁波·二模）已知二次函数（a，b是实数，）的图像经过点，，． (1)求二次函数的表达式． (2)若点，都在该二次函数的图像上，且，求m的取值范围． (3)若把二次函数的图像沿x轴方向平移n（）个单位长度得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值为1，求n的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先根据题意易得二次函数图像的对称轴为直线，然后利用待定系数法求解即可； （2）结合（1）中二次函数解析式可得，，由可得关于的不等式，求解即可获得答案； （3）首先将该二次函数解析式化为顶点式，然后分二次函数的图像沿x轴负方向平移n个单位长度和二次函数的图像沿x轴正方向平移n个单位长度，结合函数图像求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图像经过点，，， 二次函数图像的对称轴为直线， ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：由题意，得， ， ， ， 解得， m的取值范围为； （3）解：∵， 可分情况讨论： ①当二次函数的图像沿x轴负方向平移n个单位长度时，如下图， 新函数的表达式为，当时，新函数取到最大值1， ， 解得或（舍去）， ； ②当二次函数的图像沿x轴正方向平移n个单位长度时，新函数的表达式为， 对称轴为直线， 当时，如下图， 新函数在处取得最大值1，即， 解得，都不符合题意，舍去； 当时，如下图， 新函数在处取到最大值，最大值为4，不合题意，舍去； 当时，如下图， 新函数在处取到最大值1，即， 解得或（舍去）， ． 综上所述，或． 18．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，点在边上（不与点，点重合），点在线段的延长线（射线）上，，，与交于点，． (1)若，求的长． (2)求证：． (3)求证：当四边形的面积最大时，点B恰为的中点． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）过点作交于点，推出，则，再根据，即可求解； （2）过点作，交于点，过点作，交于点，根据题意求得，，，又得到，，可推出，同理得到，结合，即可证明； （3）设，则，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，由（1）知，从而得到，，再求得，同理可得，由（2）知，，从而可求得四边形的面积，利用二次函数求得最值，推出，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 如图，过点作交于点， 在中，， ∴， ∵，， ∴点为的中点， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点作，交于点，过点作，交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴，即， 同理可得，即 又∵， ∴； （3）证明：∵， ∴设，则， 如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 由（1）知， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， 在中， 同理可得，， 由（2）知，， ∴四边形的面积为，， ∴当时，四边形的面积最大，此时， ∴， ∴， ∴点恰为的中点． 【点睛】本题考查了解直角三角形，二次函数的最值问题，等腰三角形的性质和平行线的性质等，熟练掌握解直角三角形和求二次函数最值以及准确 构造辅助线是解题的关键． 63 / 63 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 二次函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 二次函数的概念与函数关系判断 题型2 二次函数解析式的确定 题型3 二次函数 y=ax2 的图象与性质 题型4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质 题型5 二次函数图象的平移与变换 题型6 二次函数图象与系数 a,b,c 的关系 题型7 二次函数图象与特殊点、特殊值 题型8 二次函数与一元二次方程 题型9 二次函数与一元二次不等式 题型10 二次函数的最值问题 题型11 二次函数实际应用中的建模问题 核心提升：重难题型归纳 题型1 二次函数图象综合判断 题型2 解析式、图象与性质综合 题型3 二次函数与方程、不等式综合 题型4 二次函数最值综合 题型5 二次函数与几何综合 题型6 二次函数实际应用与建模 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 二次函数的概念与函数关系判断 1．(1)； (2)2 (3) 2．B 3．C ◆题型2 二次函数解析式的确定 4．C 5．A 6．B ◆题型3 二次函数 y=ax2 的图象与性质 7．A 8．/0.5 9．B ◆题型4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质 10．A 11．C 12．C ◆题型5 二次函数图象的平移与变换 13．C 14．D 15．A ◆题型6 二次函数图象与系数 a,b,c 的关系 16．D 17．D 18．B ◆题型7 二次函数图象与特殊点、特殊值 19．A 20．D 21．C ◆题型8 二次函数与一元二次方程 22．C 23．A 24．D ◆题型9 二次函数与一元二次不等式 25．C 26．B 27．D ◆题型10 二次函数的最值问题 28．D 29．D 30．B ◆题型11 二次函数实际应用中的建模问题 31．A 32．B 33．(1) (2)乒乓球此次飞行能够顺利越过球网 (3)击球点与原点O的水平距离为 【分析】（1）根据题意设函数表达式为，将点代入即可求得结果； （2）将代入函数表达式进行判断即可； （3）先求出乒乓球在桌上的落球点坐标，再根据题意设平移后的，代入求出a的值，最后将代入即可求得结果． 【详解】（1）解：由题意知，设函数表达式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴． （2）解：当时，, ∴乒乓球此次飞行能够顺利越过球网． （3）解：对于函数， 当时，，， ∴乒乓球在桌上落球点坐标为， 由题意，弹起后的图象是由y向右平移a个单位，再向下平移0.25个单位得到， ∴， ∵过点， ∴，解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 当时， 解得，（球在桌外，不合题意舍去）， ∴击球点与原点O的水平距离为． ◆题型1 二次函数图象综合判断重难专项 1．A 2．D 3．（(1)①这个二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ② (2)证明见解析 【分析】（1）①将代入可求出二次函数解析式，再化成顶点式，即可直接确定对称轴和顶点坐标；②由抛物线开口向上可知，顶点处取最小值2，由时，该函数的最小值是3得函数的最小值在端点处取得，且， 令，得，解得或，结合，确定； （2）由抛物线过点，且对于拋物线上任意一点都有，得抛物线开口向下，，且对称轴为，求出，得到解析式，将，代入解析式，分别表示出和，计算并配方，得到，利用，是不同点得出，因此，从而证明． 【详解】（1）解：①把代入解析式，得 ， 化为顶点式，得 ， ∴这个二次函数的对称轴为，顶点坐标为； ②二次函数中， ∵， ∴抛物线开口向上，函数有最小值， ∵二次函数的顶点坐标为， ∴函数最小值为2， ∵时，该函数的最小值是3， ∴函数的最小值在端点处取得，且， 令，则， 解得或， ∵， ∴； （2）证明：∵抛物线过点，且对于拋物线上任意一点都有， ∴是抛物线的最高点， ∴抛物线开口向下，，且对称轴为， ∴，解得， ∴抛物线解析式为：， ∵点，在抛物线上， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵点，是这条抛物线上不同的两点， ∴，解得， ∴， ∴，即． ◆题型2 解析式、图象与性质综合重难专项 4．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）通过对称求出点坐标，然后代入二次函数解析式求解即可； （3）分两种情况①当时，②当时，分别进行讨论即可． 【详解】（1）解：把点代入二次函数得，，解得：， ∴二次函数的表达式为． （2）解：∵点与点关于直线对称， ∴点的坐标为， 把代入得，， 解得：或． （3）解：∵ ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，；当时，； ， ，即：， ①当时，， ∴当时，， ∴，， ∴； ②当时，， 此时，点到的距离为，点到的距离为， ∵， ∴此时最小值为，最大值为， ， ∴，， ∴， 综上所述，． 5．(1)； (2)或； (3)或 【分析】（1）将点坐标代入函数表达式，结合的条件求解参数a，得到二次函数表达式； （2）先求出函数对称轴，再根据点对称时横坐标的关系列方程求解m，进而求得点的横坐标，最后代入函数解析式求解即可； （3）先确定二次函数的开口方向与对称轴，根据点的对称性可知时的函数值与时的函数值相等，再分与两种情况讨论，最后利用二次函数的增减性求解即可得． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴把代入得， 解得：， ∵， ∴， ∴二次函数表达式为． （2）由得，对称轴为直线， ∵二次函数的图象同时经过和两点， ∴这两点关于对称轴对称，得， 解得，， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述，的值为或． （3）∵， ∴其对称轴为直线， ∴时的函数值与时的函数值相等，即为；当时，， 由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 则分以下两种情况： 若，则在内，由图像知，当时，有最大值， ∴， 解得，（舍去）， 若，则在内，当时，有最大值， ∴， 解得，（舍去）， 综上所述，的值为或． ◆题型3 二次函数与方程、不等式综合重难专项 6．C 7．B ◆题型4 二次函数最值综合 8．D 9．(1)①；② (2)因为该函数图象与轴有两个不同交点，设这两个交点的横坐标分别为，， 所以，， 令，则， 所以， 因为函数顶点坐标为， 所以， 所以 所以； (3) 【分析】（1）①将二次函数的解析式化为顶点式，即可得出结果；②由①可得函数顶点坐标为，再结合函数图象顶点落在轴上计算即可； （2）由题意可得，，令，则，，由函数顶点坐标为，求出，从而即可得证； （3）分四种情况：①若，函数最大值为，最小值为时，②若，函数最大值为，最小值为时，③若，函数最大值为，最小值为时，④若，函数最大值为，最小值为时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：① 所以函数图象对称轴为直线．   ②函数顶点坐标为， ∵函数图象顶点落在轴上， ∴， 解得； （2）略 （3）解：①若，函数最大值为，最小值为时， 所以； ②若，函数最大值为，最小值为时， 所以； ③若，函数最大值为，最小值为时， 所以； ④若，函数最大值为，最小值为时， 所以； 综上，函数最大值与最小值的差的最小值为． ◆题型5 二次函数与几何综合重难专项 10．(1)，顶点坐标为 (2)或 (3)证明：由题（1）知抛物线的顶点为， 与轴的交点为，抛物线与轴交点为，连接，如下图所示 ， 将与分别代入， 得，， 四边形的面积， 设直线的解析式为， 将点，点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 过点作轴交于点， ，， 的面积， 四边形的面积的面积， 封闭曲线所围成的图形面积大于． 【分析】（1）运用待定系数法和顶点的坐标公式即可求出； （2）抛物线的对称轴为直线，根据对称轴在区间的位置，分类讨论取得最大值的条件，求出的值； （3）求出抛物线的顶点坐标，与轴的交点坐标，抛物线与轴交点坐标，以及，两点的坐标，再以轴为底，点B与点D两点的横坐标之差为高，求出四边形的面积；求出过、两点的直线的解析式，过点作轴交于点，以为底，求出的面积，四边形的面积与的面积之和大于2，证明成立． 【详解】（1）解：将点代入，得 ，解得， 该函数表达式为， ， 抛物线的顶点坐标为， ，顶点坐标为． （2）解：抛物线，开口向下，对称轴为直线， ①若，即，当时，，解得， 这与矛盾，舍去； ②若，即，当时，， 解得，， ， ； ③若，即，当时，，解得； 综上所述，或． （3）略 11．(1) (2)四边形为平行四边形，理由见解析 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，根据二次函数的性质求出最值，可得，进而求解； （3）当，则，则直线和直线关于直线对称，进而求出点E的坐标为，设点F的坐标为，再根据，可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 故抛物线的表达式为①； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下： 对于， 令， 解得或4， 令，则， 故点B的坐标为，点， 设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， 则， ∵， 故有最大值， 当时，的最大值为， 此时点Q的坐标为； ∵，， 故四边形为平行四边形； （3）解：∵D是的中点， ∴点， 设直线的表达式为，则， 解得， 直线的表达式为， 过点Q作轴于点H， 则，故， 而， ∴， 则直线和直线关于直线对称， ∵点在直线上， ∴点在直线上， 故设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为②， 联立①②并解得（不合题意的值已舍去）， 故点E的坐标为， 设点F的坐标为， 由点B、E的坐标得：， 由点B、F的坐标得：， 当时，则， 解得， 故点F的坐标为或． ◆题型6 二次函数实际应用与建模重难专项 12．B 13．C 14．C 15．(1) (2) 【分析】（1）由题可知最高点设顶点式，将代入求解即可； （2）令，得到，根据“跳到挡板上底面”列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题可知最高点 设顶点式 将代入得 所以 （2）解：米， ∵，， ∴， 在中，令，求得（舍去）， ∵跳到挡板上底面， ∴， 解得：． 1．D 2．C 3．C 4．C 5．D 6．D 7．D 8．C 二、填空题 9．或 10． 11． 12． 三、解答题 13．(1)； (2)①；②． 【分析】（1）代入抛物线对称轴公式求解即可； （2）①利用抛物线最高点到直线的距离为这个条件结合抛物线顶点坐标与直线的表达式列出且可求出的值，联立抛物线和直线结合即可得到的值；②取得最大值，在内先让尽可能大，取顶点纵坐标时最大，再让尽可能小，从而可得到点，的坐标，由平移性质得到的坐标，再利用中点坐标公式求得线段的中点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为； （2）解：①直线过点，， 直线的表达式为， ， 该抛物线的顶点为， 抛物线最高点到直线的距离为， ，， ，即，解得或（舍去）， 抛物线为，直线为， 联立抛物线和直线得， 化简得，即， 解得，， ， ； ② 取得最大值， 最大为当时，， ， 最小为当时，， ，， 点向右平移个单位后的点为， ，即， 线段的中点的坐标为，即． 14．(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入函数解析式整理并化成顶点式即可求解． （2）根据对称轴为直线得出，把和分别代入二次函数求出对应的和，然后相减即可得出答案． （3）根据二次函数顶点坐标得出把点代入，得出，根据顶点坐标得出，，根据h的取值范围即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：当，时， 函数可化为． 整理得：． ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：已知函数， 其对称轴为， ∵，即对称轴为， ∴， ∴， 将代入函数中，可得， 将代入函数中，可得， ∴， ∴． （3）解：把点代入， 得， ∴， 已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 15．(1)①；② (2)或 【分析】（1）①由待定系数法求解即可；②根据抛物线与不等式的关系求解； （2）当时，，对称轴为直线，然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①将点代入得：， 二次函数的对称轴为， ，解得， 则此二次函数的表达式为； ②， 则向下平移7个单位得到新函数，即， 令，则，解得或， ∵抛物线开口向上， ∴当时，； （2）解：当时，，对称轴为直线， ①当，即时， 将，代入解析式得，， 解得． ， ． ②当，即时， 将，代入解析式得，， 解得． ， ． ③当时，将，代入解析式得， ， 解得． ， 此时的值不合题意，舍去． 综上所述，或． 16．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）将二次函数上的点代入到原二次函数解析式中即可解出答案； （2）套用二次函数的顶点公式，将顶点的纵坐标表示出来，得到一个新的二次函数，利用二次函数的顶点式求出最大值； （3）利用二次函数的增减性，将题目分为在对称轴的左侧；在对称轴的右侧；在对称轴的两侧三种情况进行分类讨论，最后解出答案 【详解】（1）解：∵二次函数经过点， ∴将代入二次函数解析式中， ，解得， ∴二次函数的表达式为． （2）证明：由二次函数顶点坐标公式可知： ， ∵， ∴． （3）解：二次函数的对称轴为： ， ∵， ∴二次函数图像开口向上； ①当在对称轴的左侧，即，解得时， 此时，随增大而减小， ∴当时，，即，解得， ∵， ∴该情况不成立； ②当在对称轴的右侧，即，解得时， 此时，随增大而增大， ∴当时，，即，解得， ∵， ∴当时符合题意； ③当在对称轴的两侧，则，解得， 此时在顶点处取得最小值， 即当时，，即， 化简，得：， ∵，两式相乘，同号为正，异号为负； ∴，解得， ∵， ∴符合题意， 综上所述，的取值范围为． 17．(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先根据题意易得二次函数图像的对称轴为直线，然后利用待定系数法求解即可； （2）结合（1）中二次函数解析式可得，，由可得关于的不等式，求解即可获得答案； （3）首先将该二次函数解析式化为顶点式，然后分二次函数的图像沿x轴负方向平移n个单位长度和二次函数的图像沿x轴正方向平移n个单位长度，结合函数图像求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图像经过点，，， 二次函数图像的对称轴为直线， ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：由题意，得， ， ， ， 解得， m的取值范围为； （3）解：∵， 可分情况讨论： ①当二次函数的图像沿x轴负方向平移n个单位长度时，如下图， 新函数的表达式为，当时，新函数取到最大值1， ， 解得或（舍去）， ； ②当二次函数的图像沿x轴正方向平移n个单位长度时，新函数的表达式为， 对称轴为直线， 当时，如下图， 新函数在处取得最大值1，即， 解得，都不符合题意，舍去； 当时，如下图， 新函数在处取到最大值，最大值为4，不合题意，舍去； 当时，如下图， 新函数在处取到最大值1，即， 解得或（舍去）， ． 综上所述，或． 18．(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）过点作交于点，推出，则，再根据，即可求解； （2）过点作，交于点，过点作，交于点，根据题意求得，，，又得到，，可推出，同理得到，结合，即可证明； （3）设，则，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，由（1）知，从而得到，，再求得，同理可得，由（2）知，，从而可求得四边形的面积，利用二次函数求得最值，推出，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 如图，过点作交于点， 在中，， ∴， ∵，， ∴点为的中点， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点作，交于点，过点作，交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴，即， 同理可得，即 又∵， ∴； （3）证明：∵， ∴设，则， 如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 由（1）知， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， 在中， 同理可得，， 由（2）知，， ∴四边形的面积为，， ∴当时，四边形的面积最大，此时， ∴， ∴， ∴点恰为的中点． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $