专题02 二次函数解析式与图象变换（专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数解析式确定与图象变换，通过分类题型构建“条件-方法-应用”解题体系，强化知识逻辑与核心素养 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点一：解析式确定（题型1-2）|5+5（含新定义、图象特征题）|根据条件选形式（顶点式/交点式等）、图象特征反求（顶点/交点/对称性）|从代数表达（解析式）到几何特征（图象）的转化，培养抽象能力| |考点二：图象变换（题型3-4）|5+5（含平移规律、对称变换题）|平移规律（左加右减）、对称变换（轴/点对称）|从基本变换到综合应用，培养空间观念与推理能力|

专题02 二次函数解析式与图象变换 常考题型·精准突破 考点一 二次函数解析式的确定 题型1 根据不同条件选择合适形式求解析式（重、高频） 题型2 由图象特征反求解析式（高频） 考点二 二次函数图象的变换 题型3 二次函数的平移变换（重、高频） 题型4 二次函数图象的对称变换（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数解析式的确定 ◆题型1根据不同条件选择合适形式求解析式 1．（2026·广东深圳·二模）新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数是函数的“仰顶函数”．若无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则n的取值范围（ ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江舟山·三模）已知点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·广西南宁·阶段检测）若函数的图象上有三个不同的点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（    ） A． B．二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5 C．当时， D．直线与二次函数图象有两个交点 5．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．如图所示： 方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上． 根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（     ） A．图1解析式： B．图2解析式： C． D． ◆题型2 由图象特征反求解析式 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知点，，，，二次函数的图象经过这四个点中的三个点，得到对应的函数解析式，当的值最小时，所对应的二次函数图象所经过的点为（   ） A．点，点和点 B．点，点和点 C．点，点和点 D．点，点和点 2．（2024·上海·模拟预测）已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切的值有成立．则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·期中）如图，正方形的边在x轴上，，，若抛物线经过A，B两点，将正方形绕A点顺时针旋转后点D转到位置，且在抛物线上，则抛物线的解析式为__________． 4．（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）把函数的图象在轴下方的部分沿轴向上翻折，轴上方部分图象不变，得到函数的图象，如图所示则下列结论正确的是______填序号． ①；②；③；④将函数的图象向上平移个单位长度后与直线有个交点． 5．（2025·浙江宁波·三模）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)求二次函数解析式和顶点坐标． (2)坐标平面内存在点，满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上，求平移的距离． (3)在二次函数图象上取点（不与点重合），使得在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，请直接写出点的坐标． 考点二 二次函数图象的变换 ◆题型3 二次函数的平移变换 1．（2026·广东东莞·二模）将抛物线向左平移4个单位，抛物线与y轴交于点，在平移过程中c的值会（   ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 2．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线沿x轴翻折，并向右平移2个单位长度，得到抛物线，再将抛物线沿x轴翻折，并向右平移2个单位长度，得到抛物线…直线l从与y轴重合的位置出发，沿x轴正方向向右平移，每秒平移个单位长度．设抛物线，，，…组成的曲线与直线l交于点P，则第205秒结束时，点P的纵坐标为（   ） A．1 B． C． D． 3．（2023·浙江杭州·二模）已知a＜0，，是方程的两个根，且，，是抛物线与x轴的两个交点横坐标，且，则，，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 4．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，一光点M从原点O出发，其路径为抛物线L的一部分，在点处达到最高，并落在x轴上的点P处，并在点P处向右侧弹起，路径为抛物线的一部分，其中抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同，线段的端点，． (1)直接写出点P的坐标，并求出抛物线L的解析式； (2)若抛物线G经过点，求抛物线G的函数解析式； (3)将抛物线L向右平移个单位长度使它与线段有交点，直接写出k的取值范围． 5．（2022·浙江金华·一模）如图，抛物线与抛物线的交点在x轴上，现将抛物线向下平移个单位，向上平移______个单位，平移后两条抛物线的交点还在x轴上． ◆题型4 二次函数图象的对称变换 1．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线与x轴分别交于A、B两点，顶点为M．将抛物线l1沿x轴翻折后再向左平移得到抛物线l2．若抛物线l2过点B，与x轴的另一个交点为C，顶点为N，则四边形AMCN的面积为（　　） A．32 B．16 C．50 D．40 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线：与抛物线：是关于直线的对称曲线，则的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知函数和的图象关于点P对称，则P的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东烟台·期末）把二次函数的关于x轴的对称图象向上平移3个单位，得到一个新的二次函数图象，则新图象对应的二次函数表达式为____． 5．（2023·河南许昌·一模）在平面直角坐标系中，已知L1：经过点，点． (1)求的解析式． (2)将向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，求的解析式． (3)若点，，，在上，且，将上方抛物线沿翻折，翻折后得到一个新图象．当这个新图象与过点且平行于轴的直线恰好只有2个公共点时，请直接写出的取值范围． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26九年级上·山西朔州·期中）将抛物线向右平移个单位长度，在平移的过程中抛物线与y轴的交点也会随之变化，设平移后的抛物线与y轴的交点为Q，则在抛物线平移的过程中，点Q的纵坐标的最大值为（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 2．（2024·陕西渭南·二模）已知在平面直角坐标系中，抛物线（a、c为常数，且）的对称轴为直线，且与y轴交点的纵坐标为，点P为该抛物线上一点，将该抛物线向下平移4个单位长度，点P在平移后抛物线上的对应点为Q，O为坐标原点，若，则点Q的横坐标为（    ） A．或1 B． C．或3 D．或1 3．（2022·安徽芜湖·一模）将抛物线C1：y＝（x－3）2＋2向左平移3个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（　　　）． A．y＝x2－2 B．y＝－x2＋2 C．y＝x2＋2 D．y＝－x2－2 4．（2026·广西贺州·二模）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知抛物线关于直线对称，其部分图象如图所示，则________． 7．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）已知抛物线． （1）若该抛物线与x轴只有一个公共点，则______； （2）将抛物线沿y轴翻折后，再向上平移4个单位，得到的新抛物线恰好经过原点，则______． 三、解答题 8．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，已知二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)如图2，二次函数（是常数，且）的图象为，图象中位于轴右侧的部分作关于轴的对称图象，该对称图象记为图象．若直线：（是常数）交图象于点，（点在点的右侧），并与图象交于点，若，求与的数量关系； (3)抛物线的图象与轴分别交于，两点，将抛物线沿轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求的取值范围． 9．（24-25九年级下·浙江温州·阶段检测）已知二次函数（为常数）的图像经过点和． (1)求二次函数的表达式． (2)若将点向上平移9个单位长度得到，作点，使、关于抛物线的对称轴对称，再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图像上，求的值． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的取值范围． 10．（2026·江苏扬州·三模）在数学的世界里，几何图形是重要的研究对象．图形的形状、大小和位置是平面几何的三大研究要素，平移、翻折、旋转更是我们研究图形性质的常用工具．某学校数学兴趣小组的同学们在掌握了二次函数的相关知识后，对该函数图象的平移、旋转、翻折问题展开了深入探究，过程如下： (1)如图1所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的函数表达式为 ． (2)如图2所示，抛物线与直线交于、两点．将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点是直线下方抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交直线于点． ①请判断点 翻折后的图象上（填“在”或“不在”）； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． (3)如图3所示，将抛物线绕点逆时针旋转得到新的抛物线．直线l：与抛物线交于点、，点在点的下方，请直接写出点的坐标． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数解析式与图象变换 常考题型·精准突破 考点一 二次函数解析式的确定 题型1 根据不同条件选择合适形式求解析式（重、高频） 题型2 由图象特征反求解析式（高频） 考点二 二次函数图象的变换 题型3 二次函数的平移变换（重、高频） 题型4 二次函数图象的对称变换（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数解析式的确定 ◆题型1根据不同条件选择合适形式求解析式 1．A 2．D 3．B 4．D 5．C ◆题型2 由图象特征反求解析式 1．D 2．B 3． 4．②④/④② 5．(1)二次函数解析式为，顶点坐标为 (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）分别将代入即可求出二次函数解析式，化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）根据题意可设，可知，求解即可； （3）求出点C坐标，根据题意分情况得到的纵坐标，再代入二次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：分别将代入得： ， 解得： ∴二次函数解析式为， ∴顶点坐标为； （2）解：∵点满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上， ∴点在对称轴上，设， ∴点向右平移个单位后的坐标为， ∴， 解得（舍去），； （3）解：当时，，即， 当D在C左侧时，二次函数的最小值为， ∵在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1， ∴的纵坐标为4， 此时， 解得（舍去），， ∴点的坐标为； 当D在对称轴右侧时，二次函数的最小值为， ∵在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1， ∴的纵坐标为5， 此时， 解得（舍去），， 点的坐标为； 当D在C右侧且在对称轴左侧时，此时二次函数的最大值为，不符合题意，舍去； ∴综上所述，点的坐标为或． 考点二 二次函数图象的变换 ◆题型3 二次函数的平移变换 1．D 2．D 3．C 4．(1)， (2) (3) 【分析】（1）先由题意可知，抛物线L的顶点为，且经过原点，根据抛物线的对称性，求出点P的坐标．再设抛物线L的解析式为：，将代入，求出a的值，即可求出抛物线L的解析式； （2）由“抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同”，可知，由此可得抛物线G的解析式为：，根据抛物线G经过点和点，运用待定系数法，将点和点代入抛物线G的解析式中，求出b和c的值，从而求出抛物线G的解析式； （3）由抛物线L的解析式，先写出平移后的解析式，再结合题意，将点A坐标与点B坐标分别代入平移后解析式中，求出k的值，最后结合函数图象分析出k的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线L的顶点为，且经过原点，根据抛物线的对称性，点O与点P关于对称轴对称， 设， 则， 解得：， ∴点P的坐标为． 设抛物线L的解析式为：，将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线L的解析式为：， 即． （2）解：∵抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同， ∴抛物线G的二次项系数与抛物线L的二次项系数相同， 即， ∴抛物线G的解析式为：， ∵抛物线G经过点和点， ∴将点和点代入抛物线G的解析式中， 得：， 解得：， ∴抛物线G的解析式为：． （3）解：∵抛物线L的解析式为：， ∴将其向右平移k个单位后，解析式为：， ∵，， ∴当平移后的抛物线经过点A时， 可得：， 解得：或． 同理，当平移后的抛物线经过点B时， 可得：， 解得：或． 结合图象分析，要使平移后的抛物线与线段有交点， 则k的范围为：． 5． ◆题型4 二次函数图象的对称变换 1．A 2．D 3．B 4． 5．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用平移的规律即可求得； （3）根据二次函数的顶点求出翻折后新图象的顶点坐标，结合图象求解． 【详解】（1）解：抛物线 经过点，点， ，解得， 的解析式为； （2）， 将向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的解析式为，即； （3）点，，，， 轴，所在直线为， 抛物线，沿直线翻折后顶点坐标为， ， ， 当时符合题意， 解得， ． 当时，符合题意， 综上所述，或． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．A 2．D 3．D 4．D 5．D 二、填空题 6． 7．或 三、解答题 8．(1)、 (2) (3) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数、二次函数和反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）令，解方程即可得解； （2）由二次函数知，其对称轴为直线，故设设点，则点，点，则，，由得，即可求解； （3）如图，抛物线经过、，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”，只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”，进而求解． 【详解】（1）解：令 ∴， 则或， ∴点、； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点，则点，点， ∴，， ∵， ∴，则， ∴ ； （3）解：如图，抛物线经过、，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”， 只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”， 此时． 根据对称性，当抛物线经过点时必然会经过点，因此抛物线不能经过这两个点， 此时是临界位置，， 所以． 9．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法确定二次函数关系式即可得到答案； （2）根据抛物线的对称性可求出，再由点的平移得到，由点在抛物线上，将点代入表达式解方程即可得到答案； （3）利用二次函数图象与性质，根据二次函数的最大值与最小值的和为，分情况列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：把和代入， 得， 解得， 二次函数的关系式为； （2）解：由题意可得， 抛物线对称轴为直线，、关于抛物线的对称轴对称， 则， 再向左平移个单位长度后的点为， 点恰好落在的图象上， ， 解得，． ， ； （3）解：二次函数图象的对称轴为直线，且当时，二次函数的最大值与最小值的和为， 当时，二次函数的最小值为，最大值为7， 则，解得，不合题意，舍去； 当时，二次函数的最小值为，最大值为7， 则，符合题意； 当时，最大值大于7，则最大值与最小值的和不可能为，不合题意； 综上所述，的取值范围是． 10．(1) (2)①在；② (3) 【分析】（1）把抛物线的解析式整理成顶点坐标式，可得抛物线的顶点坐标是，根据平移的方向和距离得到平移后抛物线的顶点坐标为，即可得到平移后新抛物线的解析式； （2）①设点的坐标是，找到点关于直线的对称点，点的对称点在抛物线上，则点就在抛物线翻折后的图象上； ②过点作轴，交直线于点，连接，设点的坐标是，可得：点的坐标是，从而可得，根据等腰直角三角形斜边与直角边之间的关系可知，根据二次函数的性质即可求出的最大值； （3）设点绕点逆时针旋转后得到点，过点作轴于点，过点作轴，可证，根据全等三角形的性质可得点的坐标是，把点的坐标代入抛物线，可得：，解方程组，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：整理抛物线的解析式， 可得：， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线的解析式为； （2）①解：如下图所示，设点的坐标是， 解方程， 可得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 轴于点， ，， 过点作于点，交轴于点 当时，可得：， 点的坐标是， ， 点的坐标是， ， ， ， ， ， ， 点与点关于直线对称， ， ， 点的坐标是， 点与点重合， 点关于直线的对称点在抛物线上， 点在抛物线翻折后的图象上； ②解：如下图所示，过点作轴，交直线于点，连接， 设点的坐标是， ， 点关于直线对称， ，， ， 点的纵坐标是， 解方程， 整理可得：， 点的坐标是， ， ， 整理可得： 的最大值为； （3）解：如下图所示，设点绕点逆时针旋转后得到点， 则， ， 过点作轴于点，过点作轴， ， ， ， 由旋转可知， 在和中，， ， ，， 设点的坐标是， ，， ，， ， 点的坐标是， 把点的坐标代入抛物线， 可得：， 整理可得：， 解方程组， 整理可得：， 解得：，， 点在点的下方， 点的纵坐标为， 点的横坐标为， 点的坐标为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数解析式与图象变换 常考题型·精准突破 考点一 二次函数解析式的确定 题型1 根据不同条件选择合适形式求解析式（重、高频） 题型2 由图象特征反求解析式（高频） 考点二 二次函数图象的变换 题型3 二次函数的平移变换（重、高频） 题型4 二次函数图象的对称变换（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数解析式的确定 ◆题型1根据不同条件选择合适形式求解析式 1．（2026·广东深圳·二模）新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数是函数的“仰顶函数”．若无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则n的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出两个二次函数的顶点坐标，再利用新定义列出不等式，根据题意求出n的取值范围． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为； ∵， ∴顶点坐标为， 根据新定义可知， ∴， ∵无论m取任何实数，不等式恒成立， ∴． 2．（2025·浙江舟山·三模）已知点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据点在二次函数的图象上，可得：，根据点到轴的距离小于，可得：，根据平方的非负性可得：，从而可得的取值范围． 【详解】解：点在二次函数的图象上， ， 点到轴的距离小于， ， ， ， ， ． 故选：D． 3．（25-26九年级下·广西南宁·阶段检测）若函数的图象上有三个不同的点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，求出点的横坐标，再代入函数解析式计算即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 点和纵坐标相同， 、两点关于抛物线对称轴对称， 可得， 即， 点的横坐标为， 将代入函数解析式得：． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（    ） A． B．二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5 C．当时， D．直线与二次函数图象有两个交点 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的性质，求函数解析式，利用对称性求二次函数与轴交点坐标，据此分别判断各选项，进而得到答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为， ∴二次函数解析式为，即，故A错误； ∵二次函数图象的对称轴为直线，图象与轴交于点， ∴图象与轴交于另一点， ∴二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为，故B错误； 将代入，得 ∴ 当时，；当时，， ∵图象开口向上，顶点坐标为， ∴函数有最小值， ∴当时，，故C错误； 令，整理得， ∴， ∴直线与二次函数图象有两个交点，故D正确； 故选：D． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．如图所示： 方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上． 根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（     ） A．图1解析式： B．图2解析式： C． D． 【答案】C 【分析】运用待定系数法求解即可判断A，B选项，把分别代入两个解析式，进而求得的长，进而判断C，D选项，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 设解析式为：， 代入得：， 解得：， ∴方案一抛物线的函数表达式为：，故A正确， 由题意得，，， 设解析式为：， 代入得：， 解得：， ，故B正确， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴，故C错误 把代入得：， 解得：， ∴ ∴，故D正确 ◆题型2 由图象特征反求解析式 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知点，，，，二次函数的图象经过这四个点中的三个点，得到对应的函数解析式，当的值最小时，所对应的二次函数图象所经过的点为（   ） A．点，点和点 B．点，点和点 C．点，点和点 D．点，点和点 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先画出四个点的大致位置，根据位置关系确定的值最小过的点即可． 【详解】解：四个点在直角坐标系中大致位置如图：    ∵，，在一条直线上， ∴必选，，，中选择2个点，故排除选项A， 根据坐标位置可发现，过，，三点时开口向上，此时，故排除选项B， 过，，和，，三点时开口向下，此时， ∵当时，开口小的那个a更小， 由图可知，过，，三点的二次函数的开口更小， ∴过，，三点的二次函数的a最小， 故选：D． 2．（2024·上海·模拟预测）已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切的值有成立．则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意当时，，当时，得到，，而恒成立，即，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数图象的交点等． 【详解】解：当时，， ， 当时，， 即， 时，； 当时，，当时，， 即，， 解得：，， 对任意实数，恒有， 恒成立， 即， ， 即， 解得：， 故抛物线的表达式为：， 故选：B． 3．（25-26九年级上·全国·期中）如图，正方形的边在x轴上，，，若抛物线经过A，B两点，将正方形绕A点顺时针旋转后点D转到位置，且在抛物线上，则抛物线的解析式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形以及待定系数法求二次函数解析式． 如图，过点作轴于点E．根据旋转的性质推知直角中的，，通过解该直角三角形即可求得、的长度，从而求得点的坐标，然后将其代入二次函数解析式，从而求得a的值． 【详解】解：根据题意，可设该二次函数解析式为， 如图，过点作轴于点E． ∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，． 又∵由旋转的性质知，，， ∴在直角中，， ∴． ∵点在抛物线上， ∴， 解得，， ∴该二次函数解析式是：． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）把函数的图象在轴下方的部分沿轴向上翻折，轴上方部分图象不变，得到函数的图象，如图所示则下列结论正确的是______填序号． ①；②；③；④将函数的图象向上平移个单位长度后与直线有个交点． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据过，，，得到，则，，，即可判断前3个，由与有个交点，相当于抛物线不变，直线向下平移一个单位长度与图象有3个交点，则将图象向上平移1个单位后与直线有个交点，即可求解． 【详解】解：由图象可得：过，，， ∴设函数， 将点代入可得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴①错误； ，②正确； ，③错误； ∵与有个交点，即抛物线不变，直线向下平移一个单位长度与图象有3个交点， 将图象向上平移1个单位后与直线有个交点，故④正确； 故答案为：②④． 5．（2025·浙江宁波·三模）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)求二次函数解析式和顶点坐标． (2)坐标平面内存在点，满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上，求平移的距离． (3)在二次函数图象上取点（不与点重合），使得在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)二次函数解析式为，顶点坐标为 (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）分别将代入即可求出二次函数解析式，化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）根据题意可设，可知，求解即可； （3）求出点C坐标，根据题意分情况得到的纵坐标，再代入二次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：分别将代入得： ， 解得： ∴二次函数解析式为， ∴顶点坐标为； （2）解：∵点满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上， ∴点在对称轴上，设， ∴点向右平移个单位后的坐标为， ∴， 解得（舍去），； （3）解：当时，，即， 当D在C左侧时，二次函数的最小值为， ∵在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1， ∴的纵坐标为4， 此时， 解得（舍去），， ∴点的坐标为； 当D在对称轴右侧时，二次函数的最小值为， ∵在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1， ∴的纵坐标为5， 此时， 解得（舍去），， 点的坐标为； 当D在C右侧且在对称轴左侧时，此时二次函数的最大值为，不符合题意，舍去； ∴综上所述，点的坐标为或． 考点二 二次函数图象的变换 ◆题型3 二次函数的平移变换 1．（2026·广东东莞·二模）将抛物线向左平移4个单位，抛物线与y轴交于点，在平移过程中c的值会（   ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】D 【分析】分别求出原抛物线与y轴的交点，向左平移3个单位后与y轴的交点，向左平移4个单位后与y轴的交点，比较后即可得到答案． 【详解】解：抛物线， 当时，， ∴抛物线与y轴交于点， 将抛物线向左平移3个单位得到，即， 当时，， ∴抛物线与y轴交于点， 将抛物线向左平移4个单位后所得抛物线表达式为，即， 当时，， ∴抛物线与y轴交于点， ∴抛物线与y轴交于点，在平移过程中c的值会先减小后增大． 2．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线沿x轴翻折，并向右平移2个单位长度，得到抛物线，再将抛物线沿x轴翻折，并向右平移2个单位长度，得到抛物线…直线l从与y轴重合的位置出发，沿x轴正方向向右平移，每秒平移个单位长度．设抛物线，，，…组成的曲线与直线l交于点P，则第205秒结束时，点P的纵坐标为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，坐标规律探索，先求出抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：，然后根据直线平移速度，得出第1秒结束时，，第2秒结束时，，第3秒结束时，，第4秒结束时，，第5秒结束时，，第6秒结束时，，第7秒结束时，，第8秒结束时，，第9秒结束时，，总结得出一般规律，得出答案即可． 【详解】解：的顶点坐标为：， 根据题意得：抛物线的顶点坐标为， 则抛物线的解析式为：， 同理得：则抛物线的解析式为：， 则抛物线的解析式为：， 第1秒结束时，， 第2秒结束时，， 第3秒结束时，， 第4秒结束时，， 第5秒结束时，， 第6秒结束时，， 第7秒结束时，， 第8秒结束时，， 第9秒结束时，， …… ∴点P的纵坐标每8秒循环一次， ∵， ∴第205秒结束时，点P的纵坐标与第5秒结束时相同，即第205秒结束时，点P的纵坐标为． 故选：D． 3．（2023·浙江杭州·二模）已知a＜0，，是方程的两个根，且，，是抛物线与x轴的两个交点横坐标，且，则，，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，是方程的两个根，且，可得的图象如图示，且，对称轴为直线，而的形状与的形状相同，开口方向一致，与轴交于同一点，且对称轴为直线，结合，则，从水平方向看的图象是的图象先向左平移得到的；可得的图象如图示；再结合图象可得答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根，且， ∴的图象如图示，且，对称轴为直线，    而的形状与的形状相同，开口方向一致，与轴交于同一点，且对称轴为直线， ∵，则，则， ∴从水平方向看的图象是的图象先向左平移； ∴的图象如图示； ∴， 故选C 4．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，一光点M从原点O出发，其路径为抛物线L的一部分，在点处达到最高，并落在x轴上的点P处，并在点P处向右侧弹起，路径为抛物线的一部分，其中抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同，线段的端点，． (1)直接写出点P的坐标，并求出抛物线L的解析式； (2)若抛物线G经过点，求抛物线G的函数解析式； (3)将抛物线L向右平移个单位长度使它与线段有交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先由题意可知，抛物线L的顶点为，且经过原点，根据抛物线的对称性，求出点P的坐标．再设抛物线L的解析式为：，将代入，求出a的值，即可求出抛物线L的解析式； （2）由“抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同”，可知，由此可得抛物线G的解析式为：，根据抛物线G经过点和点，运用待定系数法，将点和点代入抛物线G的解析式中，求出b和c的值，从而求出抛物线G的解析式； （3）由抛物线L的解析式，先写出平移后的解析式，再结合题意，将点A坐标与点B坐标分别代入平移后解析式中，求出k的值，最后结合函数图象分析出k的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线L的顶点为，且经过原点，根据抛物线的对称性，点O与点P关于对称轴对称， 设， 则， 解得：， ∴点P的坐标为． 设抛物线L的解析式为：，将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线L的解析式为：， 即． （2）解：∵抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同， ∴抛物线G的二次项系数与抛物线L的二次项系数相同， 即， ∴抛物线G的解析式为：， ∵抛物线G经过点和点， ∴将点和点代入抛物线G的解析式中， 得：， 解得：， ∴抛物线G的解析式为：． （3）解：∵抛物线L的解析式为：， ∴将其向右平移k个单位后，解析式为：， ∵，， ∴当平移后的抛物线经过点A时， 可得：， 解得：或． 同理，当平移后的抛物线经过点B时， 可得：， 解得：或． 结合图象分析，要使平移后的抛物线与线段有交点， 则k的范围为：． 5．（2022·浙江金华·一模）如图，抛物线与抛物线的交点在x轴上，现将抛物线向下平移个单位，向上平移______个单位，平移后两条抛物线的交点还在x轴上． 【答案】 【分析】将y＝0代入yx2+1求出抛物线与x轴交点坐标，从而可得抛物线y＝kx2﹣2的解析式，然后求出将抛物线yx2+1向下平移个单位后与x轴交点坐标为（1，0），（﹣1，0），将x＝1或x＝﹣1代入另一个抛物线解析式可得抛物线在平移之前与直线x＝1或直线x＝﹣1的交点坐标，进而求解． 【详解】解：把y＝0代入yx2+1得0x2+1， 解得x1，x2， ∴抛物线交点坐标为（，0），（，0）， 把（，0）代入y＝kx2﹣2得0， 解得k， ∴yx2﹣2， 抛物线yx2+1向下平移个单位后解析式为yx2， 把y＝0代入yx2得0x2， 解得x＝±1， ∴抛物线yx2与x轴交点为（1，0），（﹣1，0）， 把x＝1代入yx2﹣2得y， ∴抛物线经过（1，）， ∴把抛物线yx2﹣2向上移动个单位后抛物线经过（1，0）， 故答案为：． ◆题型4 二次函数图象的对称变换 1．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线与x轴分别交于A、B两点，顶点为M．将抛物线l1沿x轴翻折后再向左平移得到抛物线l2．若抛物线l2过点B，与x轴的另一个交点为C，顶点为N，则四边形AMCN的面积为（　　） A．32 B．16 C．50 D．40 【答案】A 【分析】由抛物线l1的解析式可求AB的长，根据对称性可知BC=AB，再求抛物线的顶点坐标，用计算三角形面积的方法求四边形AMCN的面积． 【详解】解：由y=x2﹣6x+5得y=（x﹣1）（x﹣5）或y=（x﹣3）2﹣4， ∴抛物线l1与x轴两交点坐标为A（5，0），B（1，0），顶点坐标M（3，﹣4）， ∴AB=5﹣1=4， 由翻折，平移的知识可知，BC=AB=4，N（﹣1，4）， ∴AC=AB+BC=8， S四边形AMCN=S△ACN+S△ACM=×8×4+×8×4=32． 故选：A． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线：与抛物线：是关于直线的对称曲线，则的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象与几何变换．解题的关键是根据题意得到抛物线的顶点坐标是． 根据题意知，抛物线与抛物线的开口方向、大小均一致，且顶点坐标关于直线对称，据此解答． 【详解】解：抛物线与抛物线是关于直线的对称曲线， ， 抛物线，其顶点坐标是． 点关于直线对称的点的坐标为． 抛物线与抛物线是关于直线对称， 抛物线的顶点坐标是，其开口方向与大小均与抛物线一致， 抛物线的表达式为． ，， ． 故选：D． 3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知函数和的图象关于点P对称，则P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的变换，求出两个函数的顶点坐标，根据对称性，求出中点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为； ∵， ∴顶点坐标为， ∵函数和的图象关于点P对称， ∴和关于点对称， ∴，即； 故选B． 4．（25-26九年级上·山东烟台·期末）把二次函数的关于x轴的对称图象向上平移3个单位，得到一个新的二次函数图象，则新图象对应的二次函数表达式为____． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象的对称及平移变换，准确地掌握以上知识是解题的关键．先求原二次函数关于x轴的对称函数，再将该对称函数向上平移3个单位． 【详解】解：关于x轴的对称函数为 ， 再向上平移3个单位，得到新函数 ． 故答案为：． 5．（2023·河南许昌·一模）在平面直角坐标系中，已知L1：经过点，点． (1)求的解析式． (2)将向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，求的解析式． (3)若点，，，在上，且，将上方抛物线沿翻折，翻折后得到一个新图象．当这个新图象与过点且平行于轴的直线恰好只有2个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用平移的规律即可求得； （3）根据二次函数的顶点求出翻折后新图象的顶点坐标，结合图象求解． 【详解】（1）解：抛物线 经过点，点， ，解得， 的解析式为； （2）， 将向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的解析式为，即； （3）点，，，， 轴，所在直线为， 抛物线，沿直线翻折后顶点坐标为， ， ， 当时符合题意， 解得， ． 当时，符合题意， 综上所述，或． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26九年级上·山西朔州·期中）将抛物线向右平移个单位长度，在平移的过程中抛物线与y轴的交点也会随之变化，设平移后的抛物线与y轴的交点为Q，则在抛物线平移的过程中，点Q的纵坐标的最大值为（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值， 依据题意，由抛物线为，即，从而向右平移个单位长度可得新抛物线为，又令，则，可得点Q的纵坐标为，最后结合二次函数的性质可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵抛物线为，即， ∴向右平移个单位长度可得新抛物线为， ∴令，则． ∴点Q的纵坐标为． ∵，， ∴当时，点Q的纵坐标的最大值为12． 故选：A． 2．（2024·陕西渭南·二模）已知在平面直角坐标系中，抛物线（a、c为常数，且）的对称轴为直线，且与y轴交点的纵坐标为，点P为该抛物线上一点，将该抛物线向下平移4个单位长度，点P在平移后抛物线上的对应点为Q，O为坐标原点，若，则点Q的横坐标为（    ） A．或1 B． C．或3 D．或1 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，二次函数图象的性质，先根据对称轴计算公式得到，再由与y轴交点的坐标为得到，则抛物线解析式为，设，则，即，根据得到的中点的纵坐标为0，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，则， ∴， ∵与y轴交点的纵坐标为，即与y轴交点的坐标为， ∴， ∴抛物线解析式为， 设，则，即， ∵， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∴的中点的纵坐标为， ∴， 解得或， 故选：D． 3．（2022·安徽芜湖·一模）将抛物线C1：y＝（x－3）2＋2向左平移3个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（　　　）． A．y＝x2－2 B．y＝－x2＋2 C．y＝x2＋2 D．y＝－x2－2 【答案】D 【分析】根据抛物线C1的解析式得到顶点坐标，利用二次函数平移的规律：左加右减，上加下减，并根据平移前后二次项的系数不变可得抛物线C2的顶点坐标，再根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线C3所对应的解析式． 【详解】解：∵抛物线 C 1：y＝（x－3）2＋2，其顶点坐标为（3，2） ∵向左平移3个单位长度，得到抛物线C2 ∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2） ∵抛物线C2与抛物线C3关于 x轴对称 ∴抛物线C3的横坐标不变，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数 ∴抛物线C3的顶点坐标为（0，－2），二次项系数为－1 ∴抛物线C3的解析式为y＝－x2－2 故选：D． 4．（2026·广西贺州·二模）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对称轴和点的坐标求出抛物线解析式，进而求出点和抛物线与轴另一交点的坐标；利用抛物线的对称性可知，将转化为，根据两点之间线段最短可知当、、三点共线时，最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】抛物线交轴于点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线解析式为， 令，得， ， 根据对称性可得，抛物线与轴另一交点为， 如图所示，连接， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长， 在中，，， ， 的最小值为． 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，找到有四个交点时直线的运动范围是解答本题的关键．先求出点坐标，作图分析出现四个交点的情况，过点的直线与新抛物线相切的直线之间存在四个交点的情况，分两种情况计算出值即可得到答案． 【详解】解：∵， 令，则或， ∴，， 将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方， 其解析式为，, ∵ 直线与新抛物线有4个交点， ∴ ①当直线过点时，则交点有3个，此时； ②当直线与新抛物线相切时，则， 整理得：， ， 解得， 如图所示，当直线在两条直线之间时，有4个交点， 此时的范围为：． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知抛物线关于直线对称，其部分图象如图所示，则________． 【答案】 【分析】首先由抛物线的对称轴为得到，将要求的代数式恒等变形为，结合抛物线图象与性质确定关于直线的对称点是，且抛物线过点，从而得到当时，，即可得到答案． 【详解】解：抛物线关于直线对称， ，即， 则， 抛物线过点，且关于直线对称， 关于直线的对称点是，且抛物线过点， 则当时，， 即． 7．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）已知抛物线． （1）若该抛物线与x轴只有一个公共点，则______； （2）将抛物线沿y轴翻折后，再向上平移4个单位，得到的新抛物线恰好经过原点，则______． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点问题，二次函数图象的平移问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）抛物线与x轴只有一个公共点，则判别式为零，由此列式求k即可； （2）求出原抛物线沿y轴翻折后的抛物线的解析式，进而根据平移方式得到新抛物线的解析式，再根据新抛物线过原点列式求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线与x轴只有一个公共点， ∴， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：或； （2）设点为抛物线沿y轴翻折后得到的抛物线上的一点，则点是抛物线上的一点， ∴， ∴， ∴抛物线沿y轴翻折后得到的抛物线的解析式为， ∴新抛物线的解析式为， ∵新抛物线恰好经过原点， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 8．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，已知二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)如图2，二次函数（是常数，且）的图象为，图象中位于轴右侧的部分作关于轴的对称图象，该对称图象记为图象．若直线：（是常数）交图象于点，（点在点的右侧），并与图象交于点，若，求与的数量关系； (3)抛物线的图象与轴分别交于，两点，将抛物线沿轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求的取值范围． 【答案】(1)、 (2) (3) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数、二次函数和反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）令，解方程即可得解； （2）由二次函数知，其对称轴为直线，故设设点，则点，点，则，，由得，即可求解； （3）如图，抛物线经过、，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”，只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”，进而求解． 【详解】（1）解：令 ∴， 则或， ∴点、； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点，则点，点， ∴，， ∵， ∴，则， ∴ ； （3）解：如图，抛物线经过、，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”， 只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”， 此时． 根据对称性，当抛物线经过点时必然会经过点，因此抛物线不能经过这两个点， 此时是临界位置，， 所以． 9．（24-25九年级下·浙江温州·阶段检测）已知二次函数（为常数）的图像经过点和． (1)求二次函数的表达式． (2)若将点向上平移9个单位长度得到，作点，使、关于抛物线的对称轴对称，再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图像上，求的值． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法确定二次函数关系式即可得到答案； （2）根据抛物线的对称性可求出，再由点的平移得到，由点在抛物线上，将点代入表达式解方程即可得到答案； （3）利用二次函数图象与性质，根据二次函数的最大值与最小值的和为，分情况列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：把和代入， 得， 解得， 二次函数的关系式为； （2）解：由题意可得， 抛物线对称轴为直线，、关于抛物线的对称轴对称， 则， 再向左平移个单位长度后的点为， 点恰好落在的图象上， ， 解得，． ， ； （3）解：二次函数图象的对称轴为直线，且当时，二次函数的最大值与最小值的和为， 当时，二次函数的最小值为，最大值为7， 则，解得，不合题意，舍去； 当时，二次函数的最小值为，最大值为7， 则，符合题意； 当时，最大值大于7，则最大值与最小值的和不可能为，不合题意； 综上所述，的取值范围是． 10．（2026·江苏扬州·三模）在数学的世界里，几何图形是重要的研究对象．图形的形状、大小和位置是平面几何的三大研究要素，平移、翻折、旋转更是我们研究图形性质的常用工具．某学校数学兴趣小组的同学们在掌握了二次函数的相关知识后，对该函数图象的平移、旋转、翻折问题展开了深入探究，过程如下： (1)如图1所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的函数表达式为 ． (2)如图2所示，抛物线与直线交于、两点．将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点是直线下方抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交直线于点． ①请判断点 翻折后的图象上（填“在”或“不在”）； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． (3)如图3所示，将抛物线绕点逆时针旋转得到新的抛物线．直线l：与抛物线交于点、，点在点的下方，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①在；② (3) 【分析】（1）把抛物线的解析式整理成顶点坐标式，可得抛物线的顶点坐标是，根据平移的方向和距离得到平移后抛物线的顶点坐标为，即可得到平移后新抛物线的解析式； （2）①设点的坐标是，找到点关于直线的对称点，点的对称点在抛物线上，则点就在抛物线翻折后的图象上； ②过点作轴，交直线于点，连接，设点的坐标是，可得：点的坐标是，从而可得，根据等腰直角三角形斜边与直角边之间的关系可知，根据二次函数的性质即可求出的最大值； （3）设点绕点逆时针旋转后得到点，过点作轴于点，过点作轴，可证，根据全等三角形的性质可得点的坐标是，把点的坐标代入抛物线，可得：，解方程组，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：整理抛物线的解析式， 可得：， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线的解析式为； （2）①解：如下图所示，设点的坐标是， 解方程， 可得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 轴于点， ，， 过点作于点，交轴于点 当时，可得：， 点的坐标是， ， 点的坐标是， ， ， ， ， ， ， 点与点关于直线对称， ， ， 点的坐标是， 点与点重合， 点关于直线的对称点在抛物线上， 点在抛物线翻折后的图象上； ②解：如下图所示，过点作轴，交直线于点，连接， 设点的坐标是， ， 点关于直线对称， ，， ， 点的纵坐标是， 解方程， 整理可得：， 点的坐标是， ， ， 整理可得： 的最大值为； （3）解：如下图所示，设点绕点逆时针旋转后得到点， 则， ， 过点作轴于点，过点作轴， ， ， ， 由旋转可知， 在和中，， ， ，， 设点的坐标是， ，， ，， ， 点的坐标是， 把点的坐标代入抛物线， 可得：， 整理可得：， 解方程组， 整理可得：， 解得：，， 点在点的下方， 点的纵坐标为， 点的横坐标为， 点的坐标为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $