学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷·提升卷（江西专用，范围：新教材人教版九上第25～28章）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九上第25~28章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．下列函数中，y可以看作是x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的情况是（     ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 4．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是点，，若点恰好落在边上，则点A到直线的距离为（     ） A．1 B． C． D． 5．下列关于二次函数（m为常数）的结论： ①该函数的图象与函数图象形状相同； ②该函数的图象一定经过点； ③当时，y随x的增大而减小； ④该函数的图象的顶点在函数的图象上， 其中所有正确的结论序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（   ） A．B．C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7．已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是___． 8．点都在函数的图象上，则的大小关系为___________． 9．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则________________． 10．如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 11．在平面直角坐标系中，我们把横坐标与纵坐标互为相反数的点称为“自反点”．例如点，，都是“自反点”．若“自反点”在反比例函数（为常数，）的图象上，则________． 12．如图，在中，，，，D为斜边的中点，线段绕点D逆时针旋转度后，点B的对应点为点P，连接，，在旋转过程中，当为等腰三角形时，的长是________． 三、解答题：本题共11小题，共84分。其中：13-17每题6分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题12分。 13．根据题目意思，解答下列各题 (1)选择适当的方法解方程：； (2)如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，且，求旋转角的度数． 14．如图，反比例函数的图象过和两点． (1)求k的值． (2)连接，过点B作，交x轴于点C，连接，求的面积． 15．请仅用无刻度的直尺分别在图1、图2中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，作出关于点对称的； (2)如图2，旋转得到，作出旋转中心点． 16．【问题背景】如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，． (1)【发现问题】猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)【拓展应用】若，，，求四边形的面积． 17．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，如图1，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：cm）的反比例函数，当时，． (1)关于的函数表达式为_________． (2)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少？ 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，．（画图时字母应标注清楚哦） (1)将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为______． (3)请求出的面积． 19．踢足球是同学们喜爱的一项运动．如图，甲同学站在球门正前方的点处练习射门，他离球门的距离；身高的乙同学站在球门前的点处充当守门员，且他只做上下起跳防守，最大起跳高度为；点，，在一条直线上，，足球球门高度为，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，足球飞行路线可看成抛物线的一部分． (1)甲射门时，球离点的水平距离与离地高度的部分数据如下表所示，求关于的函数解析式； 0 5 10 15 16 … 0 3 4 3 2．56 … (2)在（1）的条件下，若乙防守，通过计算判断甲的这次射门能否成功； (3)甲改变射门的角度再次射门，使球的最大高度发生改变，但保持球达到最大高度时与点的水平距离不变，若在乙防守的前提下甲这次射门能成功，求的取值范围． 20．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是 ；（填写序号） ①；②；③ (2)已知关于的方程是“差根方程”，求的值； (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 21．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 22．在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，点的坐标为，对角线相交于点，且菱形的面积为20． (1)如图1，当反比例函数的图象与菱形有交点时，的最大值为___________．（请直接写出结果） (2)如图2，反比例函数的图象经过点． ①求反比例函数的关系式； ②判断对角线与的数量关系，并说明理由． 23．如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由： (2)如图，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②如图，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[][][/] 一、 单项选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10. 11. 12 三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 13.(6分) 14.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(6分) 图1 图2 16.(6分) 17.(6分) 1 图2 18.(8分) 543-2-1Q 2 4 3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 甲 0 A B 20.(8分) 21.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(9分) D 图1 图2 23.（12分) 图1 图L 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九上第25~28章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．下列函数中，y可以看作是x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的情况是（     ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 4．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是点，，若点恰好落在边上，则点A到直线的距离为（     ） A．1 B． C． D． 5．下列关于二次函数（m为常数）的结论： ①该函数的图象与函数图象形状相同； ②该函数的图象一定经过点； ③当时，y随x的增大而减小； ④该函数的图象的顶点在函数的图象上， 其中所有正确的结论序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7．已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是___． 8．点都在函数的图象上，则的大小关系为___________． 9．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则________________． 10．如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 11．在平面直角坐标系中，我们把横坐标与纵坐标互为相反数的点称为“自反点”．例如点，，都是“自反点”．若“自反点”在反比例函数（为常数，）的图象上，则________． 12．如图，在中，，，，D为斜边的中点，线段绕点D逆时针旋转度后，点B的对应点为点P，连接，，在旋转过程中，当为等腰三角形时，的长是________． 三、解答题：本题共11小题，共84分。其中：13-17每题6分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题12分。 13．根据题目意思，解答下列各题 (1)选择适当的方法解方程：； (2)如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，且，求旋转角的度数． 14．如图，反比例函数的图象过和两点． (1)求k的值． (2)连接，过点B作，交x轴于点C，连接，求的面积． 15．请仅用无刻度的直尺分别在图1、图2中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，作出关于点对称的； (2)如图2，旋转得到，作出旋转中心点． 16．【问题背景】如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，． (1)【发现问题】猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)【拓展应用】若，，，求四边形的面积． 17．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，如图1，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：cm）的反比例函数，当时，． (1)关于的函数表达式为_________． (2)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少？ 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，．（画图时字母应标注清楚哦） (1)将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为______． (3)请求出的面积． 19．踢足球是同学们喜爱的一项运动．如图，甲同学站在球门正前方的点处练习射门，他离球门的距离；身高的乙同学站在球门前的点处充当守门员，且他只做上下起跳防守，最大起跳高度为；点，，在一条直线上，，足球球门高度为，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，足球飞行路线可看成抛物线的一部分． (1)甲射门时，球离点的水平距离与离地高度的部分数据如下表所示，求关于的函数解析式； 0 5 10 15 16 … 0 3 4 3 2．56 … (2)在（1）的条件下，若乙防守，通过计算判断甲的这次射门能否成功； (3)甲改变射门的角度再次射门，使球的最大高度发生改变，但保持球达到最大高度时与点的水平距离不变，若在乙防守的前提下甲这次射门能成功，求的取值范围． 20．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是 ；（填写序号） ①；②；③ (2)已知关于的方程是“差根方程”，求的值； (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 21．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 22．在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，点的坐标为，对角线相交于点，且菱形的面积为20． (1)如图1，当反比例函数的图象与菱形有交点时，的最大值为___________．（请直接写出结果） (2)如图2，反比例函数的图象经过点． ①求反比例函数的关系式； ②判断对角线与的数量关系，并说明理由． 23．如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由： (2)如图，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②如图，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B 0 A B B 二、填空题：本题共6小题， 每小题3分，共18分。 7.（2-3) 8.为<h<为 9.2029 10.9 11.-9 120 12.13或33或12 三、解答题：本题共11小题，共84分。其中：13-17每题6分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23 题12分。 13. 【详解】(1)解：2x2-3x=0 x(2x-3)=0 所以x=0,或2x-3=0 3 所以x=0,名=2；3分 (2)解：，△ABC将绕点A逆时针旋转得到△ADE, ∴.△ABC2△ADE、 .AC=AE 又，CE=AE, .'AC=AE=CE. “.△ACE是等边三角形， .∠CAE=60°， 1/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴旋转角的度数为60°.…6分 14」 【详解】(1)：点A(4,2)在反比例函数y=的图象上， k-2 … k=8;3分 8 (2)由(1)，得y= x' .B2,n) 在反比例函数图象上， 8 ∴.n= :B24) 21 设OA所在直线表达式为y=x,则a=42 设BC所在直线表达式为y=mr+b .BC∥OA, :.m=a=2 1 将B(2,4)代入y=2x+b, 得22+h=4,解得6=3 六BC所在直线表达式为y=2x+3 令2x+3=0,得x=6 C(-6,0) 点 ∴.0C=6 六5%ac-2×6x4=12.6分 2/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 15.(1) 如图1，所作△DCB为所求： 3分 B 图1 (2) 如图2，所作点P为所求。 6分 图2 16 CP=BO (1) ,理由如下： 根据题意可知AP=AQ,∠PAQ=60°，即∠PAB+∠BAQ=60°， ~三角形ABC为等边三角形， .AC=AB,∠BAC=60°，即∠PAC+∠PAB=60°， :.∠PAC=∠BAQ △APC.△AQB 在 应 中， AC=AB ∠PAC=∠BAO AP=AO :.△APC≌△AQB(SAS) 3/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .CP=BO 。3分 (2)解：如图，连接P№，过点A作AG1P№， 据(1)可知CP=BQ=10 AP=AQ∠PAQ=60° .△APQ为等边三角形 .PO=AP=6 AG⊥PQ .PG=3, :.AG=AP2-PG2 =33 .w9 BP=8, :.BP2+P9-100BQ2=100 BPQ,BQ2=BP2+PQ2 在 中， .△BPQ ∠BPQ=90° 为直角三角形， 1 S.wo-xBPx PQ-24. :Sg边形AP8e=SA阳+Sr0=24+9V5 ，6分 4/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 17. 【详解】（山解：由题意设：y- 把x=10,y=3代入，得k=10×3=30, 30 ∴y关于x的函数解析式为：y=x；3分 30 ≤5 (2)解：y≤5时，x x>0 .5x≥30 x≥6， 答：小孔到蜡烛的距离至少是6cm.6分 18.(1)如图，△4BC即为所作： C 543-2-10 …2分 5x (2)解：如图，连接CC,AA,BB 3 十 2 5432-1Q 5x 由此可知，△4B'C与△ABC的对称中心的坐标为 1,0) 5分 5/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 6据，8m=22产21-x2x1-01x1=月.-8分 2 2 2 19. 【详解】(1)解：由表格可得，当x=5和x=15时，y的值相等， 5+15=10 :对称轴为X=2 10,4) 顶点为 :y=a(x-10)}+4 将5,3)代入得，a5-10+4=3 25a=-1 1 解得a=- 25, .y=- -10+4:2分 (2)解：乙防守时甲这次射门不成功，判断如下： .AB=0.5m,OB=18m. ∴.0A=17.5m, 乙防守， .4+0.6=2(m) ,乙可达最高为 当x175时，y=2575-10+4 、1 ×56.25+4 251 =-2.25+4 =1.75<2, ∴.乙防守时甲这次射门不成功；5分 (3)解：依题意得y=a(x-10+k,且经过0,0) :.a(0-102+k=0 6/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 100a+k=0 解得k=-100a, :y=a(x-10)}-100a 当x=17.5时，足球要超过乙跳起来的最大高度，即y>2, a(17.5-10)2-100a>2 56.25a-100a>2 -43.75a>2 8 解得a<-175: 当x=18时，足球要低于门框的最大高度，即y<2.4, a18-10}-100a<2.4 64a-100a<2.4 得a>、1 15, 15a<- 1 8 175.8分 20. 【详解1(4山解，2-2x=0,解得=02,0-2=2，所以是差根方程，-x-6=0,解得=-23 -2-3=5 所以不是差根方程：G-2P=2x-4,解得×=2,42-4=2 所以是差根方程.2分 2y-(6++a=0,解得=30，因为该方程足类柜方件.所3-d=2,解得=15.… 分 (3)设该差根方程为广+加+c=0，,1B=,4C=5是方程的两个实数根，满足 x-x2卡2 .(x-x2）=4 x2+x2-2x52=4 7/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2, .x2+x2=14 .xx3=5 (x+x)=x2+x2+2xx2=14+2×5=24 :+=26或26（合去 根据韦达定理得，x5=C=5,,+,=b=26 :.b=-26c=5 这个“差根方程”为r-26x+5=0 .8分 21. 【详解】(1)解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x, 根据题意得： 10(1+x2=12.1 x=0.1=10%x2=-2.1 解 (不符合题意，舍去) 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为10%；3分 (2)解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润 35-y-15)元，日销售量为 0+10y)件， 根据题意得： (35-y-15)(80+10y)=1800 y2-12y+20=0 整理得： y=2,2=10 解得： 又，要尽快减少库存， .y=10 答：每件应降价10元.…6分 8/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ②设线上和线下的日利润总和为元，售价为4元件 则”=10(a-15-3+(a-15儿80+10(35-a] =-10a2+680a-8250 =-10(a-34)2+3310 当a=34时，有最大值，最大值为3310， ∴当售价为34元件，即降价35-34=1元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310 元.9分 22. 【详解】(1)解：：四边形O18C为菱形，点4的坐标为5,0)， .0A=5, ..OC=OA=AB=CB=5. 设OA边上的高为h, ·菱形的面积为20， .5×h=20,即h=4, 设C(x,4刊，则2+4平=3， x=3, :C34) B(8,4) .k的最大值为8×4=32；3分 (2)解：①，D是菱形对角线的交点， .D是OB的中点， 84 ∴点D的坐标为22，即(4,2)， 把(4,2)代入y=元得k=8: 9/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 六反比例西数解折式为y=8(x>0）,…6分 ②OB=2AC;理由： A(5,0),C(3,4), :4C=V5-3}2+(0-4=25 (8,4) 又 :OB=V8+4=4N5 .0B=2AC.9分 23.0解：y=-4+4与=-t+2 互为“伴随对称抛物线”，理由如下： y=x-4x+4=(x-2} ∴抛物线”=-4r+4的顶点坠标为2,0) 2代入’=-+2x.得"-2+22=0 将术= 抛物线=-+2r经过点2,0)， y=-x2+2x=-(x-12+1 抛物线”=-+2x的顶点坐标为， 把*=1代入y=r-4x+ 4,得"=-4x1+4=1 抛物线y=r-4x+ 经过有) :y=r-4+4与y=-2+2x 互为“伴随对称抛物线”；4分 (②)解：04+4=0 ,证明如下： G:y=a(x-4+,C,y=a(x-广+k,顶点分别为4,4， 10112 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 4(,k).4么4) 又：G与C互为“件随对称抛物线”， :k=a(-h广+6，店=a(6-)+无， 两式相加，得a+4-)}=0 :有*么 .h-h≠0 :4+%=0 ;8分 ②：G:y=.4+4=0 :%=1,4=-4=-1 C:y=-(x-h)}+k :40,0）,4(,)飞=店 如图，设44与BB相交于点P, M A 四边形 AB4B2 为正方形， P为C的对称中心，44上BB,BP=4P 11/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 修) 过点P作直线 BBN⊥1 线山y轴，垂足为M,过点“作 1,垂足为N,则 ∠B,NP=∠AMP ∠B,PN=∠MAP=90°-∠MPA :4P=4P .△PB,N≌△APM(AAS) PN-AM BN-PM 设8怀，w小则务会，1亭经。 22 克为兰 2 :店=好 , 21 :点8在G9上. 色，. 整理得兮-2片-么=2 :（伤-2h-6+10=(6-2-)=公-2诉-6+2=2+2=4.…2分 12112 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九上第25~28章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．下列函数中，y可以看作是x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的一般形式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项是分母为的二次式，不符合反比例函数形式； 选项，符合反比例函数形式； 选项，选项化简得，均含常数项，不符合反比例函数形式． 2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 【详解】解：A选项：该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D选项符合题意． 3．一元二次方程的根的情况是（     ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 【答案】A 【详解】解：在中，，，， ， 方程无实数根． 4．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是点，，若点恰好落在边上，则点A到直线的距离为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】易得，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，作，易得，进而求出的长即可. 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 作， ∵， ∴， ∴， ∴，即点A到直线的距离为. 5．下列关于二次函数（m为常数）的结论： ①该函数的图象与函数图象形状相同； ②该函数的图象一定经过点； ③当时，y随x的增大而减小； ④该函数的图象的顶点在函数的图象上， 其中所有正确的结论序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】利用二次函数顶点式的核心性质，逐一验证各结论． 【详解】解：∵二次函数与的二次项系数均为， ∴两函数图象形状相同，结论①正确； 将代入，得， ∴该函数图象一定经过点，结论②正确； ∵该抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵的值不确定， ∴当时，不一定随的增大而减小，结论③错误； 该函数的顶点坐标为， 将代入，得， ∴该函数的顶点在的图象上，结论④正确； 综上，正确结论为①②④． 6．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数图象和性质．解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、反比例函数的图象的性质． 根据二次函数的图象开口向下可知，，则，而根据反比例函数的图象性质可判断出a的正负；由一次函数的图象与性质可知和c的正负，即可得到答案． 【详解】解∵二次函数的图象开口向下，交y轴于正半轴，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴， ∴． A、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴A不符合： B、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴B不符合： C、∵在反比例函数中，，在一次函数中， ，， ∴C符合： D、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴D不符合． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7．已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是___． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标规律，横纵坐标均互为原坐标的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点的坐标是，关于原点对称的点的横、纵坐标分别是原横、纵坐标的相反数， ∴点关于原点的对称点的坐标是． 8．点都在函数的图象上，则的大小关系为___________． 【答案】 【分析】通过计算各点对应的函数值，直接比较大小即可． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 当时， ， 比较得：，即． 9．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则________________． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系计算结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， 整理得， ∴， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， ∴． 10．如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 【答案】9 【分析】过点A作于点E，设，求得，，得到，于是得到结论． 【详解】解：过点A作于点E，设． ， ∵点A是的中点， ， ∵   的图象经过点A， ， ． ∵点D在反比例函数的图象上， ， ， ． 11．在平面直角坐标系中，我们把横坐标与纵坐标互为相反数的点称为“自反点”．例如点，，都是“自反点”．若“自反点”在反比例函数（为常数，）的图象上，则________． 【答案】 【分析】根据“自反点”的定义求出点的纵坐标，再将点坐标代入反比例函数解析式求解． 【详解】解：∵ 是“自反点”，“自反点”的横坐标与纵坐标互为相反数， ∴ ，即点的坐标为， ∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ 将代入解析式得 ， 解得． 12．如图，在中，，，，D为斜边的中点，线段绕点D逆时针旋转度后，点B的对应点为点P，连接，，在旋转过程中，当为等腰三角形时，的长是________． 【答案】或或12 【分析】根据勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质、线段的垂直平分线的判定与性质、三角形的面积公式，结合分类讨论的思想，即可解答． 【详解】解：①当时，如图所示，连接，记与交点为， ，，，D为斜边的中点， ，． 由旋转得，， ． 又， 点、点在线段的垂直平分线上，即垂直平分， ，． ， ， ； ②当时，如图所示，连接，延长交于点， ，，，D为斜边的中点， ，． 由旋转得，． ，， 点、点在线段的垂直平分线上，即垂直平分， ，， ， ， ， ； ③当时，如图所示， ． 综上所述，的长为或或12． 三、解答题：本题共11小题，共84分。其中：13-17每题6分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题12分。 13．根据题目意思，解答下列各题 (1)选择适当的方法解方程：； (2)如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，且，求旋转角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）根据旋转的性质得出，确定，得出是等边三角形，即可求解． 【详解】（1）解： 所以，或 所以，； （2）解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴旋转角的度数为． 14．如图，反比例函数的图象过和两点． (1)求k的值． (2)连接，过点B作，交x轴于点C，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，三角形的面积计算，解答本题的关键是求出反比例函数解析式． （1）将代入求解即可； （2）首先求出，然后求出所在直线表达式为，求出，得到，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上， ∴ ∴； （2）由（1），得， ∵在反比例函数图象上， ∴ ∴ 设所在直线表达式为，则 设所在直线表达式为 ∵， ∴ 将代入， 得，解得 ∴所在直线表达式为 令，得 ∴点 ∴ ∴． 15．请仅用无刻度的直尺分别在图1、图2中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，作出关于点对称的； (2)如图2，旋转得到，作出旋转中心点． 【答案】(1) 如图1，所作为所求； (2) 如图2，所作点为所求． 【分析】本题主要考查旋转中心，画中心对称图形等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据中心对称的性质画图即可； （2）根据旋转的性质：旋转中心点在对应点连线的垂直平分线上，由此找出旋转中心点即可． 【详解】（1）略 （2）略 16．【问题背景】如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，． (1)【发现问题】猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)【拓展应用】若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由如下： 根据题意可知，，即， 三角形为等边三角形， ，，即， ， 在和中， ， ， ． (2) 【分析】（1）利用旋转得、，结合等边三角形的性质，用证明，进而证得； （2）连接，过点作，先推出为等边三角形，算出其面积，再利用（1）的结论推出，通过勾股逆定理证明是直角三角形，算出它的面积，两个三角形面积相加得到四边形面积． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，过点作， 据（1）可知， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，， 为直角三角形，， ， ． 17．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，如图1，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：cm）的反比例函数，当时，． (1)关于的函数表达式为_________． (2)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少？ 【答案】(1) (2)小孔到蜡烛的距离至少是． 【分析】（1）由题意设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意设：， 把，代入，得， 关于x的函数解析式为：； （2）解：时， ， ， ∴， 答：小孔到蜡烛的距离至少是． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，．（画图时字母应标注清楚哦） (1)将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为______． (3)请求出的面积． 【答案】(1)如图，即为所作： (2) (3) 【分析】（1）将三顶点绕原点顺时针旋转得到； （2）和是中心对称图形，连接对应点即可得到答案； （3）利用割补法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． 由此可知，与的对称中心的坐标为； （3）解：． 19．踢足球是同学们喜爱的一项运动．如图，甲同学站在球门正前方的点处练习射门，他离球门的距离；身高的乙同学站在球门前的点处充当守门员，且他只做上下起跳防守，最大起跳高度为；点，，在一条直线上，，足球球门高度为，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，足球飞行路线可看成抛物线的一部分． (1)甲射门时，球离点的水平距离与离地高度的部分数据如下表所示，求关于的函数解析式； 0 5 10 15 16 … 0 3 4 3 2．56 … (2)在（1）的条件下，若乙防守，通过计算判断甲的这次射门能否成功； (3)甲改变射门的角度再次射门，使球的最大高度发生改变，但保持球达到最大高度时与点的水平距离不变，若在乙防守的前提下甲这次射门能成功，求的取值范围． 【答案】(1) (2)解：乙防守时甲这次射门不成功，判断如下： ∵，， ∴， ∵乙防守， ∴乙可达最高为， 当时， ， ∴乙防守时甲这次射门不成功； (3) 【分析】（1）先求出顶点坐标，再利用待定系数法即可求出答案； （2）先求出乙可达的最大高度，再求出当时的函数值，比较后即可得到结论； （3）依题意得，求出，由时，，由时，，分别求出的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可得，当和时，y的值相等， ∴对称轴为， ∴顶点为， ∴； 将代入得， 解得， ∴； （2）略 （3）解：依题意得，且经过， ∴ 解得， ∴， 当时，足球要超过乙跳起来的最大高度，即， ∴ 解得； 当时，足球要低于门框的最大高度，即， ∴ 得， ∴． 20．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是 ；（填写序号） ①；②；③ (2)已知关于的方程是“差根方程”，求的值； (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)①③ (2)的值为或 (3)这个“差根方程”为 【分析】首先设该差根方程为，，是方程的两个实数根，满足，进行平方得到，根据勾股定理有，然后求出，，最后，由韦达定理得出结论． 【详解】（1）解：，解得，，所以是差根方程；，解得，，所以不是差根方程；，解得，，所以是差根方程． （2），解得，因为该方程是差根方程，所以，解得． （3）设该差根方程为，，是方程的两个实数根，满足， ， ． 在中，， ， ， ， 或（舍去） 根据韦达定理得，，， ，， 这个“差根方程”为． 21．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)①每件应降价10元；②当降价1元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 【分析】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据每件利润乘以日销售量等于日总利润建立方程求解； ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件，列出关于的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为； （2）解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得： 解得：， 又∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件应降价10元． ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件 则 ， ， ∴当时，w有最大值，最大值为3310， ∴当售价为34元/件，即降价元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 22．在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，点的坐标为，对角线相交于点，且菱形的面积为20． (1)如图1，当反比例函数的图象与菱形有交点时，的最大值为___________．（请直接写出结果） (2)如图2，反比例函数的图象经过点． ①求反比例函数的关系式； ②判断对角线与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)32 (2)①；②，理由见解析 【分析】（1）由点的坐标为得到，由菱形的面积求出菱形的高，运用勾股定理可求出点横坐标，可得点、的坐标，从而可求出的最大值； （2）①根据中点坐标公式求出点的坐标，即可求解； ②根据两点间距离公式求出的长即可得出． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形，点的坐标为， ∴， ∴， 设边上的高为， ∵菱形的面积为20， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为； （2）解：①∵是菱形对角线的交点， ∴是的中点， ∴点的坐标为，即， 把代入得， ∴反比例函数解析式为； ②；理由： ∵ ∴， 又， ∴， ∴． 23．如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由： (2)如图，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②如图，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 【答案】(1)解：与互为“伴随对称抛物线”，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 将代入，得， ∴抛物线经过点， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 把代入，得， ∴抛物线经过点， ∴与互为“伴随对称抛物线”； (2)解：①，证明如下： ∵：，：，顶点分别为，， ∴，， 又∵与互为“伴随对称抛物线”， ∴，， 两式相加，得， ∵， ∴， ∴； ② 【分析】（）分别求出与的顶点坐标，再根据“伴随对称抛物线”的定义解答即可； （）①先求出，，根据“伴随对称抛物线”的定义得，，两式相加即可解答；②由题意可得，则：，设与相交于点，根据正方形的性质得，过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为，可证，得到，，设，则，，得到，，进而根据，点在上，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 ②∵：，， ∴，， ∴：， ∴，，， 如图，设与相交于点， ∵四边形为正方形，   ∴为的对称中心，，， ∴， 过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为，则，， ∵， ∴， ∴，， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，， ∵点在上， ∴， 整理得， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7._________________________ 8._________________________ 9._________________________ 10._________________________ 11._________________________ 12._________________________ 三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 13.（6分） 14.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（6分） 16．（6分） 17．（6分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） 20．（8分） 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（9分） 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 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