专题09 随机事件的概率（期中真题汇编，江西专用）九年级数学上学期

专题09 随机事件的概率 4大高频考点概览 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）下列事件是必然事件的是（　　） A. 某运动员射击一次击中靶心 B. 抛一枚硬币，正面朝上 C. 3个人分成两组，一定有2个人分在一组 D. 明天一定是晴天 【答案】C 【详解】必然事件是一定发生的事情，它和偶然事件相对．A、B、D都是偶然事件，C是必然事件．故选C 2．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）下列成语描述的事件属于随机事件的是（       ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 【答案】C 【分析】 本题考查了事件的分类，熟悉定义是解题的关键．根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】 解：A、旭日东升是必然事件，不属于随机事件，故该选项不符合题意； B、画饼充饥是不可能事件，不属于随机事件，故该选项不符合题意； C、守株待兔属于随机事件，故该选项符合题意； D、竹篮打水是不可能事件，不属于随机事件，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）下列事件是必然事件的是（　　） A. 车辆随机到达一个路口遇到红灯 B. 投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C. 任意画一个三角形其内角和是 D. 打开电视，正在播放赣超联赛 【答案】C 【分析】 本题考查了必然事件，随机事件，不可能事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】 解：A．车辆随机到达一个路口遇到红灯，是随机事件，不符合题意； B．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； C．任意画一个三角形其内角和是，是必然事件，符合题意； D．打开电视，正在播放赣超联赛，是随机事件，不符合题意． 故选：C． 4．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）下列说法中正确的是（       ） A. “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图象”是随机事件 B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 C. “概率为0.0001的事件”是不可能事件 D. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 【答案】D 【分析】 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型． 【详解】 解：A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，错误； B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的不一定是5次，错误； C．“概率为0.0001的事件”是随机事件，错误； D．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，正确， 故选：D． 【点睛】 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5．（25-26学年九上·江西赣州·期末）“清明时节雨纷纷”，从数学观点看，诗句中描述的事件　　　　　　（填“必然”或“随机”）事件． 【答案】随机 【分析】 本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义．必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【详解】 解：“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 考点02 概率 1．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为（     ） A.  B. 1 C.  D.  【答案】A 【分析】 根据概率的基本定义，质地均匀的硬币掷出时有两种等可能结果，据此解答即可． 【详解】 解：∵硬币质地均匀， ∴正面朝上和反面朝上的可能性相同． ∴正面朝上的概率为． 故选：A 2．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】根据简单概率的计算公式即可得解. 【详解】一共四个小球，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球一共有12中可能，其中能组成孔孟的有2种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是. 故选B. 考点：简单概率计算. 3．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）在一家大型连锁超市中，智感扫码技术发挥了重要作用．超市员工配备了带有智感扫码功能的手持终端．在日常巡店过程中，员工只需扫描货架上商品的二维码．系统不仅能立即显示商品的详细信息，如名称、规格、进价、售价等，还能实时更新库存数据．如图是某二维码示意图，用黑白打印机打印于面积为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右．据此可以估计黑色部分的总面积约为　　　　　　　　． 【答案】6.3 【分析】 本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，可估计点落入黑色部分的概率为0.7，再乘以正方形的面积即可得出答案． 【详解】 解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右， ∴估计点落入黑色部分的概率为0.7， ∴估计黑色部分的总面积约为， 故答案为：． 4．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖．若直角三角形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影）区域的概率是　　　　　 【答案】 【详解】 由题意可得大正方形的面积为：22+12=5，小正方形的面积为12=1，所以 P（飞镖投到小正方形（阴影）区域）= . 故答案是：． 5．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）如图，某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启30秒后，紧接着绿灯开启42秒，再紧接着黄灯开启3秒，按此规律循环下去.如果不考虑其他因素，当一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 本题考查概率的求法： 根据概率的求法，找准两点：① 全部情况的总数；② 符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 【详解】 详解: 红灯亮秒，黄灯亮秒，绿灯亮秒， 红灯亮， 故答案为 6．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）毛泽东在《沁园春·雪》中提到五位历史名人：秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗．小红将这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上．小哲从中随机抽取一张，卡片上介绍的人物是唐朝以后出生的概率是　　　　　　　． 【答案】 【详解】 解：在秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗5五人中，唐朝以后出生的有2人． 因此在上述5人中随机抽取一张，所有抽到的人物为唐朝以后出生的概率=． 故答案为． 考点03 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·江西抚州·期中）同时抛掷两枚1元的硬币，菊花图案都朝上的概率是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用枚举法计算即可． 【详解】 事件一共有正正，正反，反正，反反四种结果， 菊花图案都朝上只有一种结果即：正正， 所以P(菊花图案都朝上)=． 故选C． 【点睛】 本题考查了枚举法计算概率,熟练掌握计算公式是解题的关键． 2．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）小军和小丽两位同学乘坐合肥地铁去参观渡江战役纪念馆，已知该地铁站共有A，B，C三个出站口，小军和小丽各自随机选一个出站口出站，那么小军和小丽恰好都是从B口出站的概率是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】 解：列表得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中小军和小丽恰好都是从B口出站的情况只有种， 故小军和小丽恰好都是从B口出站的概率为， 故选：C． 3．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）5月12日为母亲节，小南和小开为各自的母亲买一束鲜花，现有三种不同类型的鲜花可供选择：康乃馨、百合和玫瑰，两人恰好选择到同种类型鲜花的概率为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择到同种类型鲜花的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】 解：将康乃馨、百合和玫瑰分别记为A、B、C， 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择到同种类型鲜花的有3种结果， ∴两人恰好选择到同种类型鲜花的概率为=， 故选A． 【点睛】 考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 4．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同），若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了列表法或树状图法求概率等知识点，用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可，熟练掌握列表法或树状图法求概率的方法是解决此题的关键． 【详解】 解：将所有结果列表格如下： 所有可能的组合为9种，符合条件的情况仅1种，故两张卡片刚好拼成“德”字读音de的概率为． 故选：A． 声母               韵母 a e i d da de di t ta te ti l la le li 5．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 根据题意，根据列表法求概率即可求解． 【详解】 解：列表如下， 共有12种等可能结果，其中符合题意的有4种， 小亮和爸爸相邻而坐的概率是, 故选：C． 6．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）小张与小李相约去江西省科技馆参观，某个展览馆有甲、乙两个入口，A，B，C三个出口，那么小张恰好选择从甲入口进入，并从C出口走出的概率是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有6种等可能的结果，其中小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】 解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的结果有1种， ∴小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的概率为， 故选：B． 7．（25-26学年九上·江西吉安·期中）如图．随机闭合开关、、中的两个，则能让两盏灯泡、同时发光的概率为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了列表法与树状图法，弄清题中的电路图是解本题的关键．找出随机闭合开关、、中的两个的情况数以及能让两盏灯泡、同时发光的情况数，即可求出所求概率． 【详解】 解：画树状图，如图所示： 随机闭合开关、、中的两个有六种情况：闭合，闭合，闭合，闭合，闭合，闭合， 能让两盏灯泡、同时发光的有两种情况：闭合，闭合， 则（能让两盏灯泡、同时发光）． 故选：D 8．（25-26学年九上·江西抚州·期中）某校准备从名男生和名女生五人中选拔学生，代表学校参加区中学生“党史知识竞赛”． （1）如果确定只需要一名女生参加，则女生被选中的概率是___________（直接填写答案）； （2）如果确定只需要两名学生参加，请用画树状图或列表法求恰好选中名女生的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）从名女生中选择一名女生参加，根据概率计算公式即可求解； （2）根据列表法可知共有种选择结果，恰好选中名女生的有种结果，由此即可求解． (1) 小问详解： 解：，即女生被选中的概率是， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：选择两名学生参加竞赛，选择方式如下： ∴共有种等可能的选择方法，其中名都是女生的结果有种， ∴， ∴恰好选中名女生的概率是． 【点睛】 本题主要考查用树状图或列表法求事件概率，掌握求概率的方法是解题的关键． 9．（25-26学年九上·江西宜春丰城第九中学·期中）有三部影片在春节档上映，分别是《哪吒2》，《唐探1900》，《熊出没·重启未来》．小西和小哈同学分别从三部电影中随机选择一部观看，将《哪吒2》表示为A，《唐探1900》表示为B．《熊出没·重启未来》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等． （1）请直接写出小西同学选择《哪吒2》观看的概率． （2）请用列表或画树状图法求小西和小哈两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是明确随机事件所有可能的结果，再根据概率公式（概率=所求情况数与总情况数之比）求解． （1）小西从三部电影中随机选择，每部被选中的可能性相等，总共有3种等可能结果，选择《哪吒2》（A）是其中1种，故概率为；（2）用列表法列出小西和小哈选择电影的所有可能结果（共9种），找出两人选择同一部电影的结果（3种），再用符合条件的结果数除以总结果数得到概率． (1) 小问详解： 解：∵共有三部电影，分别是A、B、C，小西随机选择一部，每部被选中的可能性相等， ∴小西选择《哪吒2》（A）的概率为       ． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：列表如下： 由表格可知，所有等可能的结果共有9种，其中小西和小哈恰好选择观看同一部电影的结果有，共3种． ∴两人恰好选择同一部电影的概率为． 答：小西和小哈两名同学恰好选择观看同一部电影的概率为． A B C A B C 10．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）小汤对九年级学生参与“力学”、“热学”、“光学”、“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学只能选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题： 类别 频数（人数） 频率 力学 m 0.5 热学 8 光学 20 0.25 电学 12 （1）                  ，热学对应的圆心角                  ． （2）如图，当小汤随机闭合A、B、C、D这4个开关中任意2个时，用树状图或列表法求出灯泡亮的概率． 【答案】（1）40，36     （2）       【分析】 本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图，能够理解频数（率）分布表和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）先求出调查的总人数，再用总人数乘以频数分布表中“力学”对应的频率可求出m；用乘以本次调查中“热学”所占的百分比即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及能使灯泡亮的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：调查的人数为（人）， ∴， 热学对应的圆心角为． 故答案为：40；； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 有12种等可能结果，其中能使灯泡亮的结果有：，共6种， ∴灯泡亮的概率为． 11．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成，，，四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为                  ； （2）从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率． 【答案】（1）     （2） 解：根据题意列表如下： 共有种等可能的结果数，其中抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的结果数为2， 所以求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率．      【分析】 此题考查的是用列表法，概率公式求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意列表得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵共有4张卡片， ∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 12．（25-26学年九上·江西九江·期末）标有数字2，3，4的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是偶数的概率是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查等可能事件概率计算，关键是列出所有可能的三位数，再确定其中的偶数个数，最后根据概率公式计算． 【详解】 解：用数字2，3，4摆成的三位数有：，，，，，，共6种等可能的结果； 其中是偶数的有：，，，，共4种； 所以摆出的三位数是偶数的概率为； 故答案为：． 13．（25-26学年九上·江西九江·期末）某校组织七年级学生开展“传承赣鄱文化，建设美丽江西”为主题的朗诵比赛，朗诵作品由抽卡片决定，现有，，三张不透明卡片，卡片正面分别写着：．《滕王阁序》（王勃）；．《石钟山记》（苏轼）；．《琵琶行》（白居易）、卡片除正面不同外其余均相同，将张卡片正面向下洗牌，小明先从中随机抽取一张卡片，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张． （1）小明抽到卡片的概率是___________； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人抽到的卡片是和的概率． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 此题考查了用列表法或树状图法求概率，概率公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接利用概率公式计算； （）列表，找出小明和小亮恰好抽到的卡片是和的结果数，然后根据概率公式计算． (1) 小问详解： 解：小明抽到卡片的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据题意，列表如下， 共有种等可能结果，其中两人抽到的卡片是和有种， ∴两人抽到的卡片是和的概率是． 小明小亮 14．（25-26学年九上·江西赣州·期末）在如图所示的电路图中，随机闭合开关，，中的两个，请用列表法或画树状图法求出能让灯泡发光的概率． 【答案】能让灯泡发光的概率为． 【分析】 本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法表示随机事件等可能结果是解题的关键． 根据题意，把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式的计算方法即可求解． 【详解】 解：随机闭合开关，，中的两个的情况有，，共3种情况， 其中能让灯泡发光的是， ∴能让灯泡发光的概率为． 15．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了求概率，用树状图（列表）求概率， 对于（1），用概率公式计算即可； 对于（2），列表得出所有结果，再根据概率公式得出答案． (1) 小问详解： 解：一共有4种手工艺品的图片，青神竹编有1种， 所以恰好选中青神竹编的概率是； 故答案为：； (2) 小问详解： 解： 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有2种，所以两人恰好选中A和D的概率是． 第一次                 第二次 A B C D A B C D 16．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）为了传承优秀传统文化，张掖四中开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有4张相同的卡片，分别写有材料：《论语》；材料：《三字经》；材料：《弟子规》；材料：《千字文》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小明诵读《论语》的概率是________； （2）求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1）     （2）小明和小亮诵读两个不同材料的概率为．      【分析】 本题考查概率，解题的关键是熟练掌握概率的计算方法． （1）根据概率公式计算即可； （2）列出所有情况，用小明和小亮诵读不同材料的情况数与总情况数相比即可． (1) 小问详解： 解：∵诵读材料有四种：《论语》、《三字经》、《弟子规》、《千字文》， ∴小明诵读《论语》的概率为， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：列表如下： 由表格可知，共有种可能的结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料的结果有种， ∴， 答：小明和小亮诵读两个不同材料的概率为． 小明小亮 17．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）小明和小莉做化学实验，紫色石蕊试剂是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水A、白醋溶液B、食用碱溶液C、柠檬水溶液D，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体． （1）小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是________________________； （2）小莉先取一个烧杯，滴入石蕊试剂，不放回再取出一个烧杯，再滴入石蕊试剂，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先两边得到所有等可能性的结果数，再找到一杯变红、一杯变蓝的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵一共有四瓶液体，其中能使紫色石蕊试剂变蓝的液体有一瓶，且每瓶液体被选择的概率相同， ∴小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是； (2) 小问详解： 解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中一杯变红、一杯变蓝的结果数有4种， ∴一杯变红、一杯变蓝的概率为． 18．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动．现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及他们恰好参加同一社团的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】 解：把器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团分别记为、、， 画树状图得： 共有9种等可能的结果，他们恰好参加同一个社团的有3种情况， 两人恰好参加同一社团的概率为：； 故答案为：． 19．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）有3个完全相同的小球，把它们分别标上号码1，2，3，放在一个不透明的口袋中，随机摸出一个小球放回后再随机摸出另一个小球． （1）采用画树状图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能的结果． （2）求摸出的两个小球的号码之和等于5的概率． 【答案】（1） 解：根据题意，可以画出如下的树形图： 从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有9种．     （2）      【分析】 本题考查借助树状图或列表法求概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． （1）画树状图列举出所有情况； （2）让摸出的两个球号码之和等于5的情况数除以总情况数即为所求的概率． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由树状图知摸出的两个小球号码之和等于5的有2种结果， ∴摸出的两个小球号码之和等于5的概率为． 20．（25-26学年九上·江西吉安·期中）从1、－1、0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出刚好在坐标轴上的点个数，即可求出所求的概率． 【详解】 解：列表得： 所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在坐标轴上的情况有4种， 所以该点在坐标轴上的概率. 故答案为：． -1 1 0 -1 --- （1，-1） （0，-1） 1 （-1，1） --- （0，1） 0 （-1，0） （1，0） --- 【点睛】 本题考查列表法与树状图法和点的坐标特征，注意掌握通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 21．（25-26学年九上·江西吉安·期中）某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． （1）甲选择“校园安全”主题的概率为______； （2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了画树状图求事件的概率，熟练掌握画树状图求事件的概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图，求得所有等可能的结果数，再找出甲和乙选择不同主题的结果数，利用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：共有四种等可能结果，甲选择“校园安全”主题的结果只有一种，所以甲选择“校园安全”主题的概率为． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D， 画树状图为： ， 共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种， 则甲和乙选择不同主题的概率为． 22．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）某校为进一步培养学生的实践创新能力，提高学生的科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，并演示了以下四个科学小实验：A．自动升高的水；B．不会湿的纸；C．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．校团委组织了实验原理讲述活动． （1）若小宇从中随机抽取一个实验讲述原理，则抽到“C．漂浮的硬币”的概率是_____； （2）若小辰和小雅两人各从四个实验中随机选取一个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他们恰好抽到同一个实验的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查概率的基本计算以及古典概型中的组合问题．第一问是简单的等可能事件概率计算，直接应用概率定义即可．第二问涉及两个独立个体从四个实验中各选一个的情况，需考虑所有可能的结果数，并找出满足“两人所选实验相同”的结果数，进而求出概率．可通过列表法或树状图法列出所有可能情况，再进行概率计算． (1) 小问详解： ． (2) 小问详解： （2）根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们恰好抽到同一个实验的结果有4种， 他们恰好抽到同一个实验的概率是 23．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）2025年暑假期间，李明、肖红二人准备在《南京照相馆》《长安的荔枝》《浪浪山小妖怪》《侏罗纪世界：重生》四部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为 　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练掌握是解题的关键．总共有4部影片，两人各自独立选择，总共有16种等可能的结果．其中两人选择同一部影片的情况有4种，因此概率为. 【详解】 解：设四部影片为A、B、C、D．李明和肖红各自随机选择一部影片，列表： 所有可能的选择组合共有种，且每种组合发生的可能性相等．二人选择同一部影片的情况有：A,A、B,B、C,C、D,D，共4种． 根据概率公式，所求概率为． 故答案为：. 李明        肖红 A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 24．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“．虾饺，．干蒸烧卖，．艇仔粥，．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同） （1）如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是___________． （2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵一共有4种茶点，每种茶点被选到的概率相同， ∴只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是； (2) 小问详解： 解：画树状图如图所示： 由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果有2种， ∴（张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”）． 25．（2026·江西九江外国语学校·五模）2025年国庆中秋8天假期，江西省累计接待国内外游客近5千万人次，据统计，游客们最喜欢去的四个景点分别为：A．庐山，B．井冈山，C．三清山，D．龙虎山． （1）琪琪和妈妈第一次来江西旅游，他们第一站正好选择“庐山”的概率为_________． （2）用画树状图或列表的方法求出妈妈和琪琪正好想去同一个景点的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据概率公式计算即可； （2）画树状图或列表的方法列出所有等可能的情况，从中找出妈妈和琪琪正好想去同一个景点的情况，再根据概率公式计算即可． (1) 小问详解： 解：琪琪和妈妈选择的景点共有4种等可能情况，其中他们第一站正好选择“庐山”的只有1种情况，概率为． (2) 小问详解： 解：画树状图为： 由此可知，妈妈和琪琪想去的景点共有16种等可能结果，其中她们正好想去同一个景点有4种结果，概率为． 26．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）甲、乙两名教师积极参加某社区的志愿服务活动．根据社区工作的实际需要，志愿者被随机分配到环保志愿服务队、治安志愿服务队、敬老扶弱志愿服务队、科普宣传志愿服务队． （1）甲被分配到环保志愿服务队的概率为                  ； （2）请用画树状图或列表的方法，求出甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的概率． 【答案】（1）     （2） 用A，B，C，D表示环保志愿服务队、治安志愿服务队、敬老扶弱志愿服务队、科普宣传志愿服务队，画树状图如下：       【分析】 本题考查利用树状图法求概率，通过画树状图法求得所有的情况数和满足条件的情况数是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图求得所有情况数，再从中选出甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队有多少种情况，最后根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：甲被分配到环保志愿服务队的概率为：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：用A，B，C，D表示环保志愿服务队、治安志愿服务队、敬老扶弱志愿服务队、科普宣传志愿服务队，画树状图如下： 共有16种等可能出现的结果，其中甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的结果有4种， 则甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的概率是． 27．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是　　； （2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示） 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据概率公式直接得出答案； （2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得． 【详解】 （1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片， ∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2， ∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=． 【点睛】 本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 28．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣，该劳动课程有以下小组：A．搭豇豆架、B．斩草除根、C．趣挖番薯、D．开垦播种，学校要求每人只能参加一个小组，甲和乙准备随机报名一个小组． （1）甲选择“趣挖番薯”小组的概率是__________； （2）请利用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择同一个小组的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了画树状图法或列表法求等可能情形下的概率；能用画树状图法或列表法求概率是解题的关键． （1）用列举法列出结果，用概率计算公式，即可求解； （2）画树状图法或列表法，利用概率计算公式，即可求解； (1) 小问详解： 解：共有种结果：A．搭豇豆架、B．斩草除根C．趣挖番薯、D．开垦播种， 甲选择“趣挖番薯”小组的概率为； 故答案为； (2) 小问详解： 解：列表如下： 共有种等可能结果，其中甲、乙两人选择同一个小组的结果有种， 甲、乙两人选择同一个小组的概率为， 答：甲、乙两人选择同一个小组的概率为． 29．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在课余时间制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是______； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查简单的概率计算，列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式和正确的列出表格或画出树状图是解题关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出抽取两张卡片内容均为化学变化的结果，最后根据概率公式计算即可． (1) 小问详解： 解：小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据题意可列表格如下， 根据表格可知共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有和，2种， ∴抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 30．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）一个不透明口袋里装有个大小完全相同的球，其中红球个，白球个． （1）从中任取一个球，摸到红球的概率是_____． （2）若从口袋中同时摸出个球，请用列表或画树状图的方法求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率． 【答案】（1）     （2）刚好摸到一个红球和一个白球的概率是      【分析】 本题考查了用列表法或树状图法求概率，列出所有等可能的结果是解题的关键． （1）用红球的数量除以总球数，即可求出摸到红球的概率； （2）先通过画树状图列出所有等可能的摸球结果，再数出“一红一白”的结果数，最后计算概率即可． (1) 小问详解： 解：从中任取一个球，摸到红球的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中刚好摸到一个红球和一个白球的结果有种， ∴， 即刚好摸到一个红球和一个白球的概率是． 31．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）素数（质数）仿佛是宇宙深处传来的神秘音乐，拨动着一代代数学家的心弦．不断追求知识和真理的执着精神，驱使着数学家在看似无序的素数中寻找其内在规律．历史上，欧几里得、高斯、华罗庚、陈景润等数学家都对素数的规律有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用1幅或2幅． （1）“若从以上4位数学家的画像中随机选用1幅，则黎曼的画像被抽到”是______事件． A．不可能       B．必然       C．随机 （2）若从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，请用画树状图法或列表法求出被抽到的画像中一幅是中国数学家，另一幅是外国数学家的概率． 【答案】（1）A     （2）      【分析】 本题考查了事件的分类、概率的计算，熟练掌握事件的分类，列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）根据事件的分类即可解答； （2）依据题意，列表得出所有等可能的结果数，以及符合题意的结果数，再利用概率的计算公式即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意得，4位数学家的画像分别为欧几里得、高斯、华罗庚、陈景润， “若从以上4位数学家的画像中随机选用1幅，则黎曼的画像被抽到”是不可能事件． 故答案为：A． (2) 小问详解： 解：将欧几里得、高斯、华罗庚、陈景润四位数学家分别记为甲、乙、丙、丁， 列表如下： 由列表可得，共有12种等可能的情况，抽到的画像中一幅是中国数学家，另一幅是外国数学家的有8种结果， 抽到的画像中一幅是中国数学家，另一幅是外国数学家的概率． 答：抽到的画像中一幅是中国数学家，另一幅是外国数学家的概率为． 32．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图为四张背面完全相同正面画有常见生活现象的卡片，现将所有卡片背面朝上放在桌面上洗匀，从中随机抽取两张． （1）化学反应的有______和______； （2）画树状图求抽到的生活现象均为化学反应的概率． 【答案】（1）食物发霉，火柴燃烧     （2）      【分析】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）根据生活现象直接解答即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． (1) 小问详解： 解：属于化学反应的有食物发霉和火柴燃烧， 故答案为：食物发霉，火柴燃烧． (2) 小问详解： 解：“冰雪消融”，“食物发霉”，“火柴燃烧”和“灯泡发光”分别用、、、表示，画树状图如下： 共有12种得可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“食物发霉”和“火柴燃烧”的结果有2种， 则恰好抽到的生活现象均为化学反应的概率是． 33．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）2024年国庆假期，佛山各旅游景区持续火热．小王和小李准备到祖庙、千灯湖、西樵山、南海影视城（分别记作、、、）参加公益讲解活动． （1）若小王在这4个景区中随机选择1个景区，则选中祖庙的概率是_________； （2）小王和小李在、、三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小王和小李选到相同景区的概率． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了画树状图或列表的方法求概率，简单的概率公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）先用画树状图或列表的方法画出表格，得到共有9种等可能结果，其中小王和小李选到相同景区的结果有3种，即可求解． (1) 小问详解： 解：小王在这4个景区中随机选择1个景区，则选中祖庙的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 列表如下： 共有9种等可能结果，其中小王和小李选到相同景区的结果有3种， ∴小王和小李选到相同景区的概率为． A B C A B C 34．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）中秋节前，某校举行“传经典，乐中秋”系列活动，九（1）班根据活动分别制作了编号为、、、的4张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． 品月饼 讲故事 诵诗词 创美文 （1）若从4张卡片中随机选择一种，则选到“讲故事”卡片的概率为___________； （2）该班的小秋先从4张卡片中随机抽取1张，该班的小军再从余下的3张卡片中随机抽取1张、请用画树状图法或列表法，求小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了等可能情形下的概率计算，对于结果数较少的采用列举法，而对于两次抽取问题采用列表或树状图；能画树状图法或列表法进行求解是解题的关键． （1）对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算即可； （2）画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可； (1) 小问详解： 解：从4张卡片中随机选择一种有种结果，选到“讲故事”卡片有种结果， 选到“讲故事”卡片的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：列表如下 共有种等可能结果，小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的结果有种结果， ， 答：小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的概率为. 35．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）标有A，B，C的三只灯笼按如图所示的方式悬挂，每次摘取一只（摘A前需先摘C），直到摘完． （1）第一次摘到C的概率是_______． （2）用树状图分析出最后一只摘到B的概率． 【答案】（1）     （2）P（最后一只摘到B）      【分析】 本题考查了根据概率公式计算概率，列表法或树状图法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）用概率公式求解； （2）先画出树状图，再求出最后一只摘到B的概率． (1) 小问详解： 解：∵标有A，B，C的三只灯笼按如图所示的方式悬挂，每次摘取一只（摘A前需先摘C），直到摘完， ∴第一次摘到C的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 树状图如下所示： 共有3种情况，其中最后一只摘到B一种情况， 则P（最后一只摘到B）． 36．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）物理老师在复习《物质的形态及其变化》这一章内容时，将写有“汽化”“液化”“熔化”“升华”字样的卡片背面朝上吸附在黑板上（背面完全一样），小明和小颖先后抽取一张卡片（不放回），则抽到的卡片内容对应的物态变化过程都是要吸热的概率是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了列举法和概率公式，熟练掌握列举法是解题的关键．首先确定吸热的物态变化过程为汽化、熔化和升华，共3张卡片，放热的为液化，1张卡片；再列举小明和小颖先后抽取不放回时，两人抽到卡片的所有情况，利用概率公式计算即可； 【详解】 解：总共有4张卡片，小明先抽一张，小颖再抽一张，不放回，因此总共有种可能的结果：汽化和熔化，汽化和升华，汽化和液化，熔化和汽化，熔化和升华，熔化和液化，升华和汽化，升华和熔化，升华和液化，液化和汽化，液化和熔化，液化和升华； ∵吸热的物态变化过程有汽化、熔化和升华，共3张卡片， ∴两人都抽到吸热卡片的情况有种， ∴两人都抽到吸热卡片的概率为． 故答案为：． 37．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）我省城市足球超级联赛“赣超”以蓬勃之势席卷全省，成为激活地方体育活力、点燃群众运动热情的重要引擎．在这股火热的氛围带动下，我省某市成立了12支企事业单位足球队；根据足球比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，倒数第二轮比赛后积分位于前3名的分别是A队26分，B队26分，C队25分，D队22分；在最后一轮的比赛中，他们分别和第4名以后的球队进行比赛，最新消息：B队已和对手打平； （1）已知D队获得亚军是_____事件（填“必然”“随机”“不可能”）； （2）请用列表或画树状图的方法，计算C队夺得冠军的概率是多少？ 【答案】（1）不可能     （2）      【分析】 本题考查了事件的判断，列表法或画树状图法求概率． （1）目前D队排名最后，取最理想情况判断即可； （2）列出表格，根据概率公式计算即可． (1) 小问详解： 解：倒数第二轮比赛后A队26分，B队26分，C队25分，D队22分， 即使在最后一轮的比赛中，D队胜利、C队失败，使得C队25分，D队25分，D队也只能得到季军， 即D队获得亚军是不可能事件， 故答案为：不可能； (2) 小问详解： 解：由题意，列出表格： 由表格可知三队最终得分共有9种情况，且当A，B，C三队得分分别为26，27，28或27，27，28时，C队夺冠，则． 队伍积分 A队 B队 C队 胜 29 × 28 负 26 × 25 平 27 27 26 38．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）有两双完全相同的鞋，从中任取两只，恰好成为一双的概率为　　　　　． 【答案】 【分析】 设其中一双鞋分别为a，a′；画出树状图，可知共有12种情况，能配成一双的有8种情况，根据概率公式计算即可； 【详解】 设其中一双鞋分别为a，a′．画树状图得： ∵共有12种情况，能配成一双的有8种情况，∴取出两只刚好配一双鞋的概率是：． 故答案为． 【点睛】 本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 39．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）已知，通过添加一个或两个条件，可使平行四边形变成菱形、矩形或正方形，小娜和小琴都想通过转转盘游戏来添加条件使平行四边形变成相应的特殊平行四边形，条件是①，②，③，④． （1）小琴转动一次转盘，求转到的条件能平行四边形变成菱形的概率； （2）小琴和小娜各转动一次转盘，求两人转到的条件能使平行四边形变成正方形的概率（画树状图或列表）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了平行四边形的性质，菱形、矩形以及正方形的判定，概率的计算，解决本题的关键是熟练各个形状的判定条件． （1）根据四个条件得到的形状，由此计算概率即可； （2）先根据两人转动情况列表，再根据若想得到正方形，则需保证是矩形和菱形的条件，由此计算概率即可． (1) 小问详解： 解：①，可得四边形是矩形； ②，可得四边形是菱形； ③，可得四边形是矩形； ④，可得四边形是菱形． ∴小琴转动一次转盘，求转到的条件能平行四边形变成菱形的概率为； (2) 小问详解： 解：对于两人转动情况可列表： 由（1）分析得，同时转到保证是矩形和菱形的条件才能保证是正方形， 所以能够保证是正方形的情况组合有① ② ，② ③ ，③ ④ ，① ④ 所以两人转到的条件能使平行四边形变成正方形的概率． 小琴① 小琴② 小琴③ 小琴④ 小娜① ①① ①② ①③ ①④ 小娜② ②① ②② ②③ ②④ 小娜③ ③① ③② ③③ ③④ 小娜④ ④① ④② ④③ ④④ 40．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）在一次科学与数学融合的活动中，生物学家发现某种昆虫的繁殖规律与数字有着奇妙的联系．他们准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7．这些数字代表着该昆虫在不同生长阶段的某种特征数值． （1）一位同学从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为                  （2）两位同学分别从中随机抽取1张卡片（不放回），求这2张卡片上的数字之和是偶数的概率．（请用画树状图或列表方法说明理由）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了概率公式，列表法或树状图法求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）列出表格，根据概率公式计算即可． (1) 小问详解： 解：在2，3，5，7中，只有2是偶数，总共4个数字，所以随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：从4个数中随机抽取2个数（不放回），所有可能的情况列表如下： 共有12种等可能的结果，其中两个数之和为偶数有6种情况， 这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为． 2 3 5 7 2 5 7 9 3 5 8 10 5 7 8 12 7 9 10 12 考点04 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）夏天同学在教练的指导下进行了大量重复射击训练，用频率估计他命中环的概率为，则下列说法中正确的是（     ） A. 夏天射击次，不一定会命中环 B. 夏天射击次，一定不会命中环 C. 夏天射击次，一定有次命中环 D. 夏天射击次，一定能命中环 【答案】A 【分析】 本题考查概率的基本概念，主要涉及对用频率估计概率的理解，以及随机事件概率与事件发生可能性之间的关系．理解概率是描述事件发生可能性的度量，而不是确定某次或某几次试验结果的依据．概率为并不意味着在特定次数的试验中，事件一定会按照概率比例发生．根据概率的定义和性质，对每个选项进行分析判断．概率表示一个事件在大量重复试验中发生的可能性大小，但对于单次试验或有限次试验，实际结果具有不确定性，不能根据概率值确定必然会出现某种结果． 【详解】 解：选项A：夏天命中环的概率为，这意味着射击次时，命中环是一个随机事件，有可能发生，也有可能不发生，所以不一定会命中环，该选项符合题意． 选项B：虽然命中环的概率是，但射击次仍有的可能性命中环，不是一定不会命中环，该选项不符合题意． 选项C：夏天射击次，命中环的次数是不确定的随机事件．虽然概率为，理论上平均可能命中次，但实际射击中不一定恰好有次命中环，该选项不符合题意． 选项D：射击次，命中环是随机事件，不是必然事件，不一定能命中环，该选项不符合题意． 故答案为：A． 2．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）数学课上，王老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（     ） A. 黑色 B. 红色 C. 黄色 D. 白色 【答案】A 【分析】 利用简单地概率公式，求得各色球的概率，结合图象，发现该球频率稳定在，比较解答即可． 本题考查了频率估计概率，简单地概率公式应用，熟练掌握公式，理解频率估计概率意义是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，得不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别， 故，， ，， 根据图象，得该球频率稳定在， 故其概率约为． 故选：A． 3．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）某数学兴趣小组在做“频率的稳定性”试验时，根据试验结果绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一统计结果的试验最有可能是（     ） A. 在一个装有1个红球，4个白球（小球除颜色外都相同）的箱子里，从中摸到的是红球 B. 任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上 C. 从标有数字1，2，3的三张卡片中任意抽一张，抽出的卡片标有数字3 D. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数 【答案】C 【分析】 本题考查了频率估算概率，理解图示，掌握概率的计算是关键． 根据题意得到频率稳定在之间，根据概率公式分别算出各选项的概率逐一判定即可． 【详解】 解：如图所示， ∴频率稳定在之间， ∴A、在一个装有1个红球，4个白球（小球除颜色外都相同）的箱子里，从中摸到红球的概率为，故不符合题意； B、任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上的概念为，故不符合题意； C、从标有数字1，2，3的三张卡片中任意抽一张，抽出的卡片标有数字3的概率为，符合题意； D、任意掷一枚质地均匀的骰子（可能的结果有），掷出的点数是偶数的结果有，其概率为，故不符合题意； 故选：C ． 4．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是（　　） A. 24 B. 18 C. 16 D. 6 【答案】C 【分析】 先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数频率频数计算白球的个数． 【详解】 解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在和， ∴摸到白球的频率为， ∴口袋中白色球的个数可能是个． 故选：C． 【点睛】 大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率． 5．（25-26学年九上·江西九江·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（     ） A. 抛一枚硬币，出现正面朝上 B. 掷一个正六面体的骰子，出现5点朝上 C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D. 从一个装有3个红球2个白球的袋子中任取一球，取到的是白球 【答案】D 【分析】 本题考查利用频率估算概率，根据折线图，估算出概率，逐一进行判断即可． 【详解】 解：由图象可知，概率约为； A、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意； B、掷一个正六面体的骰子，出现5点朝上的概率为，不符合题意； C、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意； D、从一个装有3个红球2个白球的袋子中任取一球，取到的是白球的概率为，符合题意； 故选D． 6．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）如图是一幅总面积为3m2的长方形世界杯宣传画，现将宣传画平铺在地上，向宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在宣传画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为　　　　　m2． 【答案】1.8 【分析】因为骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近，根据题意求出长方形的面积，根据世界杯图案的面积与长方形世界杯宣传画的面积之间的关系计算即可． 【详解】解：∵骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近， ∴世界杯图案占长方形世界杯宣传画的60%， ∴世界杯图案的面积约为：3×60%＝1.8m2， 故答案为1.8． 【点睛】本题考查频率，解题的关键是知道频率的意义. 7．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）现在二维码已经成为生活中不可或缺的一部分，如图，正方形二维码的面积为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题意可知点落入黑色部分的频率稳定在左右，然后乘以二维码的面积即可． 【详解】 解：估计黑色部分的面积约为． 【点睛】 经过大量重复试验，事件发生的概率近似的等于频率． 8．（25-26学年九上·江西抚州·期中）在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有　　　　　　个白球． 【答案】12 【分析】 此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，首先根据红球的个数和摸到红球的频率求出球的总个数，然后减去红球的个数即可得到白球的个数． 【详解】 解：∵有3个红球，摸到红球的频率稳定在0.2左右， ∴这个盒子中大约有个球， ∴（个）， ∴这个盒子中大约有12个白球． 故答案为：12． 9．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， （1）请估计摸到白球的概率将会接近______； （2）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】（1）     （2）15个      【分析】 （1）直接根据频率估计概率，求解即可； （2）设需要往盒子里再放入x个白球，根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于； ∴估计摸到白球的概率将会接近 故答案为：． (2) 小问详解： 原有白球： 设需要往盒子里再放入x个白球 根据题意得：，解得：（经检验，是原方程的解） 答：需要往盒子里再放入个白球． 【点睛】 本题考查的是根据概率公式求概率，频率估计概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 10．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同．小明多次摸球后记录并放回小球重复试验，发现摸到红色小球的频率稳定在0.4左右．由此可以估计盒子中红色小球的个数是 　　　　　个． 【答案】 【分析】 本题主要考查利用频率估计概率，根据题意，这是由频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可得到答案，理解大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解决问题的关键． 【详解】 解：根据题意，由此估计，摸到红色小球的概率是0.4， 设盒子中红色小球的个数是，则，解得， 故答案为：． 11．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）一个不透明的袋子中有红球和黑球共40个，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回袋子中，不断重复这一过程，共摸了300次，发现有75次摸到黑球，则袋子中的红球大约有　　　　　　　个． 【答案】30 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，根据概率公式先求出摸到黑球的概率，再由总球的个数乘以红球的概率即可得出答案，解题的关键是理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 【详解】 解：∵共摸了次球，有次摸到黑球， ∴摸到黑球的概率为， ∴袋中的红球大约有（个）， 故答案为：30． 12．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外无其他差别，小明做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复这个过程，获得数据如下表所示： 摸球的次数 50 100 200 500 1000 1500 摸到黑球的次数 22 42 78 199 399 601 摸到黑球的频率 0.440 0.420 0.390 0.398 0.399 0.401 （1）估计摸一次球能摸到黑球的概率是___________（精确到0.1），袋中黑球的个数约为___________个； （2）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，求小明后来放进了多少个黑球？ 【答案】（1）0.4，20     （2）25个      【分析】 本题主要考查频率与概率的关系，概率公式的应用，解分式方程，读懂题意，能根据概率公式建立方程是做题的关键． （1）根据大量重复试验中事件发生的频率可近似看作事件发生的概率，即可解答； （2）设小明后来放进了个黑球，根据题意列出方程，再解方程即可． (1) 小问详解： 解：根据题意和表格可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定到0.4左右，故摸到黑球的频率接近0.4， 估计摸一次球能摸到黑球的概率是0.4， 袋中黑球的个数约为（个）． 故答案为：0.4，20． (2) 小问详解： 解：设小明后来放进了个黑球，则袋中球的总数为个，黑球的个数为个， 根据题意得，， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 小明后来放进了个黑球． 13．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球　　　　　　　　　　　　　个． 【答案】3 【分析】 先根据摸到红球的频率稳定于，可估计摸到红球的概率约为，再设袋中红球个数为，根据概率公式列出关于的方程，解之得出答案． 【详解】 解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于 ∴可估计摸到红球的概率约为 设袋中红球个数为， 依据概率公式得： 解得 所以可估计袋中约有3个红球 故答案为：3． 【点睛】 此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 随机事件的概率 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．C 2．C 3．C 4．D 5．【答案】随机 【分析】 本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义．必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【详解】 解：“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 考点02 概率 1．A 2．B 3．【答案】6.3 【分析】 本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，可估计点落入黑色部分的概率为0.7，再乘以正方形的面积即可得出答案． 【详解】 解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右， ∴估计点落入黑色部分的概率为0.7， ∴估计黑色部分的总面积约为， 故答案为：． 4．【答案】.2 【详解】 由题意可得大正方形的面积为：22+12=5，小正方形的面积为12=1，所以 P（飞镖投到小正方形（阴影）区域）= . 故答案是：． 5．【答案】 【分析】 本题考查概率的求法： 根据概率的求法，找准两点：① 全部情况的总数；② 符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 【详解】 详解: 红灯亮秒，黄灯亮秒，绿灯亮秒， 红灯亮， 故答案为 6．【答案】 【详解】 解：在秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗5五人中，唐朝以后出生的有2人． 因此在上述5人中随机抽取一张，所有抽到的人物为唐朝以后出生的概率=． 故答案为． 考点03 用列举法求概率 1．C 2．C 3．A 4．A 5．C 6．B 7．D 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）从名女生中选择一名女生参加，根据概率计算公式即可求解； （2）根据列表法可知共有种选择结果，恰好选中名女生的有种结果，由此即可求解． (1) 小问详解： 解：，即女生被选中的概率是， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：选择两名学生参加竞赛，选择方式如下： ∴共有种等可能的选择方法，其中名都是女生的结果有种， ∴， ∴恰好选中名女生的概率是． 【点睛】 本题主要考查用树状图或列表法求事件概率，掌握求概率的方法是解题的关键． 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是明确随机事件所有可能的结果，再根据概率公式（概率=所求情况数与总情况数之比）求解． （1）小西从三部电影中随机选择，每部被选中的可能性相等，总共有3种等可能结果，选择《哪吒2》（A）是其中1种，故概率为；（2）用列表法列出小西和小哈选择电影的所有可能结果（共9种），找出两人选择同一部电影的结果（3种），再用符合条件的结果数除以总结果数得到概率． (1) 小问详解： 解：∵共有三部电影，分别是A、B、C，小西随机选择一部，每部被选中的可能性相等， ∴小西选择《哪吒2》（A）的概率为       ． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：列表如下： 由表格可知，所有等可能的结果共有9种，其中小西和小哈恰好选择观看同一部电影的结果有，共3种． ∴两人恰好选择同一部电影的概率为． 答：小西和小哈两名同学恰好选择观看同一部电影的概率为． A B C A B C 10．【答案】（1）40，36     （2）       【分析】 本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图，能够理解频数（率）分布表和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）先求出调查的总人数，再用总人数乘以频数分布表中“力学”对应的频率可求出m；用乘以本次调查中“热学”所占的百分比即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及能使灯泡亮的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：调查的人数为（人）， ∴， 热学对应的圆心角为． 故答案为：40；； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 有12种等可能结果，其中能使灯泡亮的结果有：，共6种， ∴灯泡亮的概率为． 11．【答案】（1）     （2） 解：根据题意列表如下： 共有种等可能的结果数，其中抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的结果数为2， 所以求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率．      【分析】 此题考查的是用列表法，概率公式求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意列表得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵共有4张卡片， ∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 12．【答案】 【分析】 本题考查等可能事件概率计算，关键是列出所有可能的三位数，再确定其中的偶数个数，最后根据概率公式计算． 【详解】 解：用数字2，3，4摆成的三位数有：，，，，，，共6种等可能的结果； 其中是偶数的有：，，，，共4种； 所以摆出的三位数是偶数的概率为； 故答案为：． 13．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 此题考查了用列表法或树状图法求概率，概率公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接利用概率公式计算； （）列表，找出小明和小亮恰好抽到的卡片是和的结果数，然后根据概率公式计算． (1) 小问详解： 解：小明抽到卡片的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据题意，列表如下， 共有种等可能结果，其中两人抽到的卡片是和有种， ∴两人抽到的卡片是和的概率是． 小明小亮 14．【答案】能让灯泡发光的概率为． 【分析】 本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法表示随机事件等可能结果是解题的关键． 根据题意，把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式的计算方法即可求解． 【详解】 解：随机闭合开关，，中的两个的情况有，，共3种情况， 其中能让灯泡发光的是， ∴能让灯泡发光的概率为． 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了求概率，用树状图（列表）求概率， 对于（1），用概率公式计算即可； 对于（2），列表得出所有结果，再根据概率公式得出答案． (1) 小问详解： 解：一共有4种手工艺品的图片，青神竹编有1种， 所以恰好选中青神竹编的概率是； 故答案为：； (2) 小问详解： 解： 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有2种，所以两人恰好选中A和D的概率是． 第一次                 第二次 A B C D A B C D 16．【答案】（1）     （2）小明和小亮诵读两个不同材料的概率为．      【分析】 本题考查概率，解题的关键是熟练掌握概率的计算方法． （1）根据概率公式计算即可； （2）列出所有情况，用小明和小亮诵读不同材料的情况数与总情况数相比即可． (1) 小问详解： 解：∵诵读材料有四种：《论语》、《三字经》、《弟子规》、《千字文》， ∴小明诵读《论语》的概率为， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：列表如下： 由表格可知，共有种可能的结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料的结果有种， ∴， 答：小明和小亮诵读两个不同材料的概率为． 小明小亮 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先两边得到所有等可能性的结果数，再找到一杯变红、一杯变蓝的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵一共有四瓶液体，其中能使紫色石蕊试剂变蓝的液体有一瓶，且每瓶液体被选择的概率相同， ∴小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是； (2) 小问详解： 解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中一杯变红、一杯变蓝的结果数有4种， ∴一杯变红、一杯变蓝的概率为． 18．【答案】 【分析】 本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及他们恰好参加同一社团的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】 解：把器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团分别记为、、， 画树状图得： 共有9种等可能的结果，他们恰好参加同一个社团的有3种情况， 两人恰好参加同一社团的概率为：； 故答案为：． 19．【答案】（1） 解：根据题意，可以画出如下的树形图： 从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有9种．     （2）      【分析】 本题考查借助树状图或列表法求概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． （1）画树状图列举出所有情况； （2）让摸出的两个球号码之和等于5的情况数除以总情况数即为所求的概率． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由树状图知摸出的两个小球号码之和等于5的有2种结果， ∴摸出的两个小球号码之和等于5的概率为． 20．【答案】 【分析】 根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出刚好在坐标轴上的点个数，即可求出所求的概率． 【详解】 解：列表得： 所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在坐标轴上的情况有4种， 所以该点在坐标轴上的概率. 故答案为：． -1 1 0 -1 --- （1，-1） （0，-1） 1 （-1，1） --- （0，1） 0 （-1，0） （1，0） --- 【点睛】 本题考查列表法与树状图法和点的坐标特征，注意掌握通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了画树状图求事件的概率，熟练掌握画树状图求事件的概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图，求得所有等可能的结果数，再找出甲和乙选择不同主题的结果数，利用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：共有四种等可能结果，甲选择“校园安全”主题的结果只有一种，所以甲选择“校园安全”主题的概率为． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D， 画树状图为： ， 共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种， 则甲和乙选择不同主题的概率为． 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查概率的基本计算以及古典概型中的组合问题．第一问是简单的等可能事件概率计算，直接应用概率定义即可．第二问涉及两个独立个体从四个实验中各选一个的情况，需考虑所有可能的结果数，并找出满足“两人所选实验相同”的结果数，进而求出概率．可通过列表法或树状图法列出所有可能情况，再进行概率计算． (1) 小问详解： ． (2) 小问详解： （2）根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们恰好抽到同一个实验的结果有4种， 他们恰好抽到同一个实验的概率是 23．【答案】 【分析】 本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练掌握是解题的关键．总共有4部影片，两人各自独立选择，总共有16种等可能的结果．其中两人选择同一部影片的情况有4种，因此概率为. 【详解】 解：设四部影片为A、B、C、D．李明和肖红各自随机选择一部影片，列表： 所有可能的选择组合共有种，且每种组合发生的可能性相等．二人选择同一部影片的情况有：A,A、B,B、C,C、D,D，共4种． 根据概率公式，所求概率为． 故答案为：. 李明        肖红 A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵一共有4种茶点，每种茶点被选到的概率相同， ∴只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是； (2) 小问详解： 解：画树状图如图所示： 由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果有2种， ∴（张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”）． 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据概率公式计算即可； （2）画树状图或列表的方法列出所有等可能的情况，从中找出妈妈和琪琪正好想去同一个景点的情况，再根据概率公式计算即可． (1) 小问详解： 解：琪琪和妈妈选择的景点共有4种等可能情况，其中他们第一站正好选择“庐山”的只有1种情况，概率为． (2) 小问详解： 解：画树状图为： 由此可知，妈妈和琪琪想去的景点共有16种等可能结果，其中她们正好想去同一个景点有4种结果，概率为． 26．【答案】（1）     （2） 用A，B，C，D表示环保志愿服务队、治安志愿服务队、敬老扶弱志愿服务队、科普宣传志愿服务队，画树状图如下：       【分析】 本题考查利用树状图法求概率，通过画树状图法求得所有的情况数和满足条件的情况数是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图求得所有情况数，再从中选出甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队有多少种情况，最后根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：甲被分配到环保志愿服务队的概率为：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：用A，B，C，D表示环保志愿服务队、治安志愿服务队、敬老扶弱志愿服务队、科普宣传志愿服务队，画树状图如下： 共有16种等可能出现的结果，其中甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的结果有4种， 则甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的概率是． 27．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据概率公式直接得出答案； （2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得． 【详解】 （1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片， ∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2， ∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=． 【点睛】 本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了画树状图法或列表法求等可能情形下的概率；能用画树状图法或列表法求概率是解题的关键． （1）用列举法列出结果，用概率计算公式，即可求解； （2）画树状图法或列表法，利用概率计算公式，即可求解； (1) 小问详解： 解：共有种结果：A．搭豇豆架、B．斩草除根C．趣挖番薯、D．开垦播种， 甲选择“趣挖番薯”小组的概率为； 故答案为； (2) 小问详解： 解：列表如下： 共有种等可能结果，其中甲、乙两人选择同一个小组的结果有种， 甲、乙两人选择同一个小组的概率为， 答：甲、乙两人选择同一个小组的概率为． 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查简单的概率计算，列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式和正确的列出表格或画出树状图是解题关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出抽取两张卡片内容均为化学变化的结果，最后根据概率公式计算即可． (1) 小问详解： 解：小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据题意可列表格如下， 根据表格可知共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有和，2种， ∴抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 30．【答案】（1）     （2）刚好摸到一个红球和一个白球的概率是      【分析】 本题考查了用列表法或树状图法求概率，列出所有等可能的结果是解题的关键． （1）用红球的数量除以总球数，即可求出摸到红球的概率； （2）先通过画树状图列出所有等可能的摸球结果，再数出“一红一白”的结果数，最后计算概率即可． (1) 小问详解： 解：从中任取一个球，摸到红球的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中刚好摸到一个红球和一个白球的结果有种， ∴， 即刚好摸到一个红球和一个白球的概率是． 31．【答案】（1）A     （2）      【分析】 本题考查了事件的分类、概率的计算，熟练掌握事件的分类，列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）根据事件的分类即可解答； （2）依据题意，列表得出所有等可能的结果数，以及符合题意的结果数，再利用概率的计算公式即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意得，4位数学家的画像分别为欧几里得、高斯、华罗庚、陈景润， “若从以上4位数学家的画像中随机选用1幅，则黎曼的画像被抽到”是不可能事件． 故答案为：A． (2) 小问详解： 解：将欧几里得、高斯、华罗庚、陈景润四位数学家分别记为甲、乙、丙、丁， 列表如下： 由列表可得，共有12种等可能的情况，抽到的画像中一幅是中国数学家，另一幅是外国数学家的有8种结果， 抽到的画像中一幅是中国数学家，另一幅是外国数学家的概率． 答：抽到的画像中一幅是中国数学家，另一幅是外国数学家的概率为． 32．【答案】（1）食物发霉，火柴燃烧     （2）      【分析】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）根据生活现象直接解答即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． (1) 小问详解： 解：属于化学反应的有食物发霉和火柴燃烧， 故答案为：食物发霉，火柴燃烧． (2) 小问详解： 解：“冰雪消融”，“食物发霉”，“火柴燃烧”和“灯泡发光”分别用、、、表示，画树状图如下： 共有12种得可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“食物发霉”和“火柴燃烧”的结果有2种， 则恰好抽到的生活现象均为化学反应的概率是． 33．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了画树状图或列表的方法求概率，简单的概率公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）先用画树状图或列表的方法画出表格，得到共有9种等可能结果，其中小王和小李选到相同景区的结果有3种，即可求解． (1) 小问详解： 解：小王在这4个景区中随机选择1个景区，则选中祖庙的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 列表如下： 共有9种等可能结果，其中小王和小李选到相同景区的结果有3种， ∴小王和小李选到相同景区的概率为． A B C A B C 34．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了等可能情形下的概率计算，对于结果数较少的采用列举法，而对于两次抽取问题采用列表或树状图；能画树状图法或列表法进行求解是解题的关键． （1）对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算即可； （2）画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可； (1) 小问详解： 解：从4张卡片中随机选择一种有种结果，选到“讲故事”卡片有种结果， 选到“讲故事”卡片的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：列表如下 共有种等可能结果，小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的结果有种结果， ， 答：小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的概率为. 35．【答案】（1）     （2）P（最后一只摘到B）      【分析】 本题考查了根据概率公式计算概率，列表法或树状图法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）用概率公式求解； （2）先画出树状图，再求出最后一只摘到B的概率． (1) 小问详解： 解：∵标有A，B，C的三只灯笼按如图所示的方式悬挂，每次摘取一只（摘A前需先摘C），直到摘完， ∴第一次摘到C的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 树状图如下所示： 共有3种情况，其中最后一只摘到B一种情况， 则P（最后一只摘到B）． 36．【答案】 【分析】 本题主要考查了列举法和概率公式，熟练掌握列举法是解题的关键．首先确定吸热的物态变化过程为汽化、熔化和升华，共3张卡片，放热的为液化，1张卡片；再列举小明和小颖先后抽取不放回时，两人抽到卡片的所有情况，利用概率公式计算即可； 【详解】 解：总共有4张卡片，小明先抽一张，小颖再抽一张，不放回，因此总共有种可能的结果：汽化和熔化，汽化和升华，汽化和液化，熔化和汽化，熔化和升华，熔化和液化，升华和汽化，升华和熔化，升华和液化，液化和汽化，液化和熔化，液化和升华； ∵吸热的物态变化过程有汽化、熔化和升华，共3张卡片， ∴两人都抽到吸热卡片的情况有种， ∴两人都抽到吸热卡片的概率为． 故答案为：． 37．【答案】（1）不可能     （2）      【分析】 本题考查了事件的判断，列表法或画树状图法求概率． （1）目前D队排名最后，取最理想情况判断即可； （2）列出表格，根据概率公式计算即可． (1) 小问详解： 解：倒数第二轮比赛后A队26分，B队26分，C队25分，D队22分， 即使在最后一轮的比赛中，D队胜利、C队失败，使得C队25分，D队25分，D队也只能得到季军， 即D队获得亚军是不可能事件， 故答案为：不可能； (2) 小问详解： 解：由题意，列出表格： 由表格可知三队最终得分共有9种情况，且当A，B，C三队得分分别为26，27，28或27，27，28时，C队夺冠，则． 队伍积分 A队 B队 C队 胜 29 × 28 负 26 × 25 平 27 27 26 38．【答案】 【分析】 设其中一双鞋分别为a，a′；画出树状图，可知共有12种情况，能配成一双的有8种情况，根据概率公式计算即可； 【详解】 设其中一双鞋分别为a，a′．画树状图得： ∵共有12种情况，能配成一双的有8种情况，∴取出两只刚好配一双鞋的概率是：． 故答案为． 【点睛】 本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 39．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了平行四边形的性质，菱形、矩形以及正方形的判定，概率的计算，解决本题的关键是熟练各个形状的判定条件． （1）根据四个条件得到的形状，由此计算概率即可； （2）先根据两人转动情况列表，再根据若想得到正方形，则需保证是矩形和菱形的条件，由此计算概率即可． (1) 小问详解： 解：①，可得四边形是矩形； ②，可得四边形是菱形； ③，可得四边形是矩形； ④，可得四边形是菱形． ∴小琴转动一次转盘，求转到的条件能平行四边形变成菱形的概率为； (2) 小问详解： 解：对于两人转动情况可列表： 由（1）分析得，同时转到保证是矩形和菱形的条件才能保证是正方形， 所以能够保证是正方形的情况组合有① ② ，② ③ ，③ ④ ，① ④ 所以两人转到的条件能使平行四边形变成正方形的概率． 小琴① 小琴② 小琴③ 小琴④ 小娜① ①① ①② ①③ ①④ 小娜② ②① ②② ②③ ②④ 小娜③ ③① ③② ③③ ③④ 小娜④ ④① ④② ④③ ④④ 40．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了概率公式，列表法或树状图法求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）列出表格，根据概率公式计算即可． (1) 小问详解： 解：在2，3，5，7中，只有2是偶数，总共4个数字，所以随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：从4个数中随机抽取2个数（不放回），所有可能的情况列表如下： 共有12种等可能的结果，其中两个数之和为偶数有6种情况， 这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为． 2 3 5 7 2 5 7 9 3 5 8 10 5 7 8 12 7 9 10 12 考点04 用频率估计概率 1．A 2．A 3．C 4．C 5．D 6．【答案】1.8 【分析】因为骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近，根据题意求出长方形的面积，根据世界杯图案的面积与长方形世界杯宣传画的面积之间的关系计算即可． 【详解】解：∵骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近， ∴世界杯图案占长方形世界杯宣传画的60%， ∴世界杯图案的面积约为：3×60%＝1.8m2， 故答案为1.8． 【点睛】本题考查频率，解题的关键是知道频率的意义. 7．【答案】 【分析】 由题意可知点落入黑色部分的频率稳定在左右，然后乘以二维码的面积即可． 【详解】 解：估计黑色部分的面积约为． 【点睛】 经过大量重复试验，事件发生的概率近似的等于频率． 8．【答案】12 【分析】 此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，首先根据红球的个数和摸到红球的频率求出球的总个数，然后减去红球的个数即可得到白球的个数． 【详解】 解：∵有3个红球，摸到红球的频率稳定在0.2左右， ∴这个盒子中大约有个球， ∴（个）， ∴这个盒子中大约有12个白球． 故答案为：12． 9．【答案】（1）     （2）15个      【分析】 （1）直接根据频率估计概率，求解即可； （2）设需要往盒子里再放入x个白球，根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于； ∴估计摸到白球的概率将会接近 故答案为：． (2) 小问详解： 原有白球： 设需要往盒子里再放入x个白球 根据题意得：，解得：（经检验，是原方程的解） 答：需要往盒子里再放入个白球． 【点睛】 本题考查的是根据概率公式求概率，频率估计概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 10．【答案】 【分析】 本题主要考查利用频率估计概率，根据题意，这是由频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可得到答案，理解大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解决问题的关键． 【详解】 解：根据题意，由此估计，摸到红色小球的概率是0.4， 设盒子中红色小球的个数是，则，解得， 故答案为：． 11．【答案】30 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，根据概率公式先求出摸到黑球的概率，再由总球的个数乘以红球的概率即可得出答案，解题的关键是理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 【详解】 解：∵共摸了次球，有次摸到黑球， ∴摸到黑球的概率为， ∴袋中的红球大约有（个）， 故答案为：30． 12．【答案】（1）0.4，20     （2）25个      【分析】 本题主要考查频率与概率的关系，概率公式的应用，解分式方程，读懂题意，能根据概率公式建立方程是做题的关键． （1）根据大量重复试验中事件发生的频率可近似看作事件发生的概率，即可解答； （2）设小明后来放进了个黑球，根据题意列出方程，再解方程即可． (1) 小问详解： 解：根据题意和表格可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定到0.4左右，故摸到黑球的频率接近0.4， 估计摸一次球能摸到黑球的概率是0.4， 袋中黑球的个数约为（个）． 故答案为：0.4，20． (2) 小问详解： 解：设小明后来放进了个黑球，则袋中球的总数为个，黑球的个数为个， 根据题意得，， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 小明后来放进了个黑球． 13．【答案】3 【分析】 先根据摸到红球的频率稳定于，可估计摸到红球的概率约为，再设袋中红球个数为，根据概率公式列出关于的方程，解之得出答案． 【详解】 解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于 ∴可估计摸到红球的概率约为 设袋中红球个数为， 依据概率公式得： 解得 所以可估计袋中约有3个红球 故答案为：3． 【点睛】 此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 随机事件的概率 4大高频考点概览 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）下列事件是必然事件的是（　　） A. 某运动员射击一次击中靶心 B. 抛一枚硬币，正面朝上 C. 3个人分成两组，一定有2个人分在一组 D. 明天一定是晴天 2．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）下列成语描述的事件属于随机事件的是（       ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 3．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）下列事件是必然事件的是（　　） A. 车辆随机到达一个路口遇到红灯 B. 投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C. 任意画一个三角形其内角和是 D. 打开电视，正在播放赣超联赛 4．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）下列说法中正确的是（       ） A. “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图象”是随机事件 B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 C. “概率为0.0001的事件”是不可能事件 D. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 5．（25-26学年九上·江西赣州·期末）“清明时节雨纷纷”，从数学观点看，诗句中描述的事件　　　　　　（填“必然”或“随机”）事件． 考点02 概率 1．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为（     ） A.  B. 1 C.  D.  2．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）在一家大型连锁超市中，智感扫码技术发挥了重要作用．超市员工配备了带有智感扫码功能的手持终端．在日常巡店过程中，员工只需扫描货架上商品的二维码．系统不仅能立即显示商品的详细信息，如名称、规格、进价、售价等，还能实时更新库存数据．如图是某二维码示意图，用黑白打印机打印于面积为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右．据此可以估计黑色部分的总面积约为　　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖．若直角三角形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影）区域的概率是　　　　　 5．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）如图，某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启30秒后，紧接着绿灯开启42秒，再紧接着黄灯开启3秒，按此规律循环下去.如果不考虑其他因素，当一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是　　　　　　　　　. 6．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）毛泽东在《沁园春·雪》中提到五位历史名人：秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗．小红将这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上．小哲从中随机抽取一张，卡片上介绍的人物是唐朝以后出生的概率是　　　　　　　． 考点03 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·江西抚州·期中）同时抛掷两枚1元的硬币，菊花图案都朝上的概率是（ ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）小军和小丽两位同学乘坐合肥地铁去参观渡江战役纪念馆，已知该地铁站共有A，B，C三个出站口，小军和小丽各自随机选一个出站口出站，那么小军和小丽恰好都是从B口出站的概率是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）5月12日为母亲节，小南和小开为各自的母亲买一束鲜花，现有三种不同类型的鲜花可供选择：康乃馨、百合和玫瑰，两人恰好选择到同种类型鲜花的概率为（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同），若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  声母               韵母 a e i d da de di t ta te ti l la le li 5．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）小张与小李相约去江西省科技馆参观，某个展览馆有甲、乙两个入口，A，B，C三个出口，那么小张恰好选择从甲入口进入，并从C出口走出的概率是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·江西吉安·期中）如图．随机闭合开关、、中的两个，则能让两盏灯泡、同时发光的概率为（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·江西抚州·期中）某校准备从名男生和名女生五人中选拔学生，代表学校参加区中学生“党史知识竞赛”． （1）如果确定只需要一名女生参加，则女生被选中的概率是___________（直接填写答案）； （2）如果确定只需要两名学生参加，请用画树状图或列表法求恰好选中名女生的概率． 9．（25-26学年九上·江西宜春丰城第九中学·期中）有三部影片在春节档上映，分别是《哪吒2》，《唐探1900》，《熊出没·重启未来》．小西和小哈同学分别从三部电影中随机选择一部观看，将《哪吒2》表示为A，《唐探1900》表示为B．《熊出没·重启未来》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等． （1）请直接写出小西同学选择《哪吒2》观看的概率． （2）请用列表或画树状图法求小西和小哈两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． A B C A B C 10．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）小汤对九年级学生参与“力学”、“热学”、“光学”、“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学只能选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题： 类别 频数（人数） 频率 力学 m 0.5 热学 8 光学 20 0.25 电学 12 （1）                  ，热学对应的圆心角                  ． （2）如图，当小汤随机闭合A、B、C、D这4个开关中任意2个时，用树状图或列表法求出灯泡亮的概率． 11．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成，，，四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为                  ； （2）从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率． 12．（25-26学年九上·江西九江·期末）标有数字2，3，4的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是偶数的概率是　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·江西九江·期末）某校组织七年级学生开展“传承赣鄱文化，建设美丽江西”为主题的朗诵比赛，朗诵作品由抽卡片决定，现有，，三张不透明卡片，卡片正面分别写着：．《滕王阁序》（王勃）；．《石钟山记》（苏轼）；．《琵琶行》（白居易）、卡片除正面不同外其余均相同，将张卡片正面向下洗牌，小明先从中随机抽取一张卡片，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张． （1）小明抽到卡片的概率是___________； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人抽到的卡片是和的概率． 小明小亮 14．（25-26学年九上·江西赣州·期末）在如图所示的电路图中，随机闭合开关，，中的两个，请用列表法或画树状图法求出能让灯泡发光的概率． 15．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 第一次                 第二次 A B C D A B C D 16．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）为了传承优秀传统文化，张掖四中开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有4张相同的卡片，分别写有材料：《论语》；材料：《三字经》；材料：《弟子规》；材料：《千字文》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小明诵读《论语》的概率是________； （2）求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 小明小亮 17．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）小明和小莉做化学实验，紫色石蕊试剂是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水A、白醋溶液B、食用碱溶液C、柠檬水溶液D，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体． （1）小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是________________________； （2）小莉先取一个烧杯，滴入石蕊试剂，不放回再取出一个烧杯，再滴入石蕊试剂，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． 18．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动．现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为　　　　　． 19．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）有3个完全相同的小球，把它们分别标上号码1，2，3，放在一个不透明的口袋中，随机摸出一个小球放回后再随机摸出另一个小球． （1）采用画树状图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能的结果． （2）求摸出的两个小球的号码之和等于5的概率． 20．（25-26学年九上·江西吉安·期中）从1、－1、0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率是　　　　　　　　　． -1 1 0 -1 --- （1，-1） （0，-1） 1 （-1，1） --- （0，1） 0 （-1，0） （1，0） --- 21．（25-26学年九上·江西吉安·期中）某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． （1）甲选择“校园安全”主题的概率为______； （2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 22．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）某校为进一步培养学生的实践创新能力，提高学生的科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，并演示了以下四个科学小实验：A．自动升高的水；B．不会湿的纸；C．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．校团委组织了实验原理讲述活动． （1）若小宇从中随机抽取一个实验讲述原理，则抽到“C．漂浮的硬币”的概率是_____； （2）若小辰和小雅两人各从四个实验中随机选取一个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他们恰好抽到同一个实验的概率． 23．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）2025年暑假期间，李明、肖红二人准备在《南京照相馆》《长安的荔枝》《浪浪山小妖怪》《侏罗纪世界：重生》四部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为 　　　　　　　　　． 李明        肖红 A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 24．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“．虾饺，．干蒸烧卖，．艇仔粥，．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同） （1）如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是___________． （2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率． 25．（2026·江西九江外国语学校·五模）2025年国庆中秋8天假期，江西省累计接待国内外游客近5千万人次，据统计，游客们最喜欢去的四个景点分别为：A．庐山，B．井冈山，C．三清山，D．龙虎山． （1）琪琪和妈妈第一次来江西旅游，他们第一站正好选择“庐山”的概率为_________． （2）用画树状图或列表的方法求出妈妈和琪琪正好想去同一个景点的概率． 26．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）甲、乙两名教师积极参加某社区的志愿服务活动．根据社区工作的实际需要，志愿者被随机分配到环保志愿服务队、治安志愿服务队、敬老扶弱志愿服务队、科普宣传志愿服务队． （1）甲被分配到环保志愿服务队的概率为                  ； （2）请用画树状图或列表的方法，求出甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的概率． 27．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是　　； （2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示） 28．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣，该劳动课程有以下小组：A．搭豇豆架、B．斩草除根、C．趣挖番薯、D．开垦播种，学校要求每人只能参加一个小组，甲和乙准备随机报名一个小组． （1）甲选择“趣挖番薯”小组的概率是__________； （2）请利用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择同一个小组的概率． 29．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在课余时间制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是______； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 30．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）一个不透明口袋里装有个大小完全相同的球，其中红球个，白球个． （1）从中任取一个球，摸到红球的概率是_____． （2）若从口袋中同时摸出个球，请用列表或画树状图的方法求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率． 31．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）素数（质数）仿佛是宇宙深处传来的神秘音乐，拨动着一代代数学家的心弦．不断追求知识和真理的执着精神，驱使着数学家在看似无序的素数中寻找其内在规律．历史上，欧几里得、高斯、华罗庚、陈景润等数学家都对素数的规律有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用1幅或2幅． （1）“若从以上4位数学家的画像中随机选用1幅，则黎曼的画像被抽到”是______事件． A．不可能       B．必然       C．随机 （2）若从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，请用画树状图法或列表法求出被抽到的画像中一幅是中国数学家，另一幅是外国数学家的概率． 32．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图为四张背面完全相同正面画有常见生活现象的卡片，现将所有卡片背面朝上放在桌面上洗匀，从中随机抽取两张． （1）化学反应的有______和______； （2）画树状图求抽到的生活现象均为化学反应的概率． 33．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）2024年国庆假期，佛山各旅游景区持续火热．小王和小李准备到祖庙、千灯湖、西樵山、南海影视城（分别记作、、、）参加公益讲解活动． （1）若小王在这4个景区中随机选择1个景区，则选中祖庙的概率是_________； （2）小王和小李在、、三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小王和小李选到相同景区的概率． A B C A B C 34．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）中秋节前，某校举行“传经典，乐中秋”系列活动，九（1）班根据活动分别制作了编号为、、、的4张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． 品月饼 讲故事 诵诗词 创美文 （1）若从4张卡片中随机选择一种，则选到“讲故事”卡片的概率为___________； （2）该班的小秋先从4张卡片中随机抽取1张，该班的小军再从余下的3张卡片中随机抽取1张、请用画树状图法或列表法，求小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的概率． 35．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）标有A，B，C的三只灯笼按如图所示的方式悬挂，每次摘取一只（摘A前需先摘C），直到摘完． （1）第一次摘到C的概率是_______． （2）用树状图分析出最后一只摘到B的概率． 36．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）物理老师在复习《物质的形态及其变化》这一章内容时，将写有“汽化”“液化”“熔化”“升华”字样的卡片背面朝上吸附在黑板上（背面完全一样），小明和小颖先后抽取一张卡片（不放回），则抽到的卡片内容对应的物态变化过程都是要吸热的概率是　　　　　　． 37．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）我省城市足球超级联赛“赣超”以蓬勃之势席卷全省，成为激活地方体育活力、点燃群众运动热情的重要引擎．在这股火热的氛围带动下，我省某市成立了12支企事业单位足球队；根据足球比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，倒数第二轮比赛后积分位于前3名的分别是A队26分，B队26分，C队25分，D队22分；在最后一轮的比赛中，他们分别和第4名以后的球队进行比赛，最新消息：B队已和对手打平； （1）已知D队获得亚军是_____事件（填“必然”“随机”“不可能”）； （2）请用列表或画树状图的方法，计算C队夺得冠军的概率是多少？ 队伍积分 A队 B队 C队 胜 29 × 28 负 26 × 25 平 27 27 26 38．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）有两双完全相同的鞋，从中任取两只，恰好成为一双的概率为　　　　　． 39．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）已知，通过添加一个或两个条件，可使平行四边形变成菱形、矩形或正方形，小娜和小琴都想通过转转盘游戏来添加条件使平行四边形变成相应的特殊平行四边形，条件是①，②，③，④． （1）小琴转动一次转盘，求转到的条件能平行四边形变成菱形的概率； （2）小琴和小娜各转动一次转盘，求两人转到的条件能使平行四边形变成正方形的概率（画树状图或列表）． 小琴① 小琴② 小琴③ 小琴④ 小娜① ①① ①② ①③ ①④ 小娜② ②① ②② ②③ ②④ 小娜③ ③① ③② ③③ ③④ 小娜④ ④① ④② ④③ ④④ 40．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）在一次科学与数学融合的活动中，生物学家发现某种昆虫的繁殖规律与数字有着奇妙的联系．他们准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7．这些数字代表着该昆虫在不同生长阶段的某种特征数值． （1）一位同学从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为                  （2）两位同学分别从中随机抽取1张卡片（不放回），求这2张卡片上的数字之和是偶数的概率．（请用画树状图或列表方法说明理由）． 2 3 5 7 2 5 7 9 3 5 8 10 5 7 8 12 7 9 10 12 考点04 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）夏天同学在教练的指导下进行了大量重复射击训练，用频率估计他命中环的概率为，则下列说法中正确的是（     ） A. 夏天射击次，不一定会命中环 B. 夏天射击次，一定不会命中环 C. 夏天射击次，一定有次命中环 D. 夏天射击次，一定能命中环 2．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）数学课上，王老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（     ） A. 黑色 B. 红色 C. 黄色 D. 白色 3．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）某数学兴趣小组在做“频率的稳定性”试验时，根据试验结果绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一统计结果的试验最有可能是（     ） A. 在一个装有1个红球，4个白球（小球除颜色外都相同）的箱子里，从中摸到的是红球 B. 任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上 C. 从标有数字1，2，3的三张卡片中任意抽一张，抽出的卡片标有数字3 D. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数 4．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是（　　） A. 24 B. 18 C. 16 D. 6 5．（25-26学年九上·江西九江·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（     ） A. 抛一枚硬币，出现正面朝上 B. 掷一个正六面体的骰子，出现5点朝上 C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D. 从一个装有3个红球2个白球的袋子中任取一球，取到的是白球 6．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）如图是一幅总面积为3m2的长方形世界杯宣传画，现将宣传画平铺在地上，向宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在宣传画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为　　　　　m2． 7．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）现在二维码已经成为生活中不可或缺的一部分，如图，正方形二维码的面积为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·江西抚州·期中）在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有　　　　　　个白球． 9．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， （1）请估计摸到白球的概率将会接近______； （2）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 10．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同．小明多次摸球后记录并放回小球重复试验，发现摸到红色小球的频率稳定在0.4左右．由此可以估计盒子中红色小球的个数是 　　　　　个． 11．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）一个不透明的袋子中有红球和黑球共40个，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回袋子中，不断重复这一过程，共摸了300次，发现有75次摸到黑球，则袋子中的红球大约有　　　　　　　个． 12．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外无其他差别，小明做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复这个过程，获得数据如下表所示： 摸球的次数 50 100 200 500 1000 1500 摸到黑球的次数 22 42 78 199 399 601 摸到黑球的频率 0.440 0.420 0.390 0.398 0.399 0.401 （1）估计摸一次球能摸到黑球的概率是___________（精确到0.1），袋中黑球的个数约为___________个； （2）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，求小明后来放进了多少个黑球？ 13．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球　　　　　　　　　　　　　个． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $