专题08 锐角三角函数（期中真题汇编，江西专用）九年级数学上学期

专题08 锐角三角函数 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）如图，四边形内接于圆，且为直径，，若，则圆的直径等于（       ） A. 6 B.  C.  D. 5 3．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）如图，△ABC 是等边三角形，P 是 BC 上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接 DE，记△ADE 的周长为，四边形 BDEC 的周长为，则与的大小关系是(     ) A. ＝ B. ＞ C. ＜ D. 无法确定 4．（25-26学年九上·江西宜春丰城第九中学·期中）（1）计算：； （2）解不等式组： ． 5．（2026·江西九江外国语学校·五模）（1）解方程． （2）计算． 6．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动． 【操作判断】 操作一：如图，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图，在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图，在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕．把正方形纸片展平，得图，折痕，与的交点分别为，． （1）根据以上操作，得的大小为________． 【探究证明】 （2）如图，连接，试判断的形状并证明； （3）如图，连接，过点作的垂线，分别交，，于点，，．求证：． 【深入研究】 （4）若，请直接写出的值（用含的代数式表示）． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点．若，则的度数为　　　　　 2．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）如图，为的直径，为的弦．的平分线交于点D． （1）若，求的度数； （2）若，求的面积． 3．（25-26学年九上·江西宜春·期中）如图，中，是的直径，G为弦的中点，的切线交的延长线于点C，连并延长交于点D，连接交于点F． （1）求证：； （2）的半径为，，求的长． 4．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）如图，菱形的边长为4，，P是边上的一动点，以P为圆心，线段的长为半径画圆，当与边所在的直线相切时，的半径为　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）如图，为半圆O的直径，C为半圆上一点，，点P在的延长线上，且．连接交半圆于点D，过P作交的延长线于点E，则　　　　　　． 6．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）（1）已知，如图1，在等边中，点在的延长线上，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，过点作，垂足为． ①求证：； ②求证： （2）拓展：如图2，在中，，，点在的延长线上，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，过点作，垂足为，猜想：线段之间的数量关系为___________．（请直接写出结论，不需要证明） 7．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）已知等腰三角形的底角，且在直线上有一点（不与点、重合），使得，则　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）定义：一组邻边相等且有一个内角为直角的凸四边形称为等直四边形．例如，如图 1，在四边形 中， ， ， 则四边形为等直四边形． 【特例感知】 （1）下列四边形一定是等直四边形的是              ；   （填序号） ①平行四边形               ②矩形                  ③菱形                  ④正方形 （2） 如图2， 在等边中，点D为内部一点，且平分， 连接， 将线段绕点D 顺时针旋转得到线段，连接，．求证：四边形是等直四边形． 【深入探究】 （3）如图3， 在等直四边形中， ， ， 线段的垂直平分线分别交与的角平分线于E， F， 连接，． 求证： ． 【拓展应用】 （4）如图4，已知线段 射线 ， 射线平分， 点C， D分别在射线，上，若 且四边形是等直四边形，则的长为                         ． （直接写出结果） 考点03 应用举例 1．（25-26学年九上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图所示，一轮船由西向东航行，在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上，轮船行驶40海里后到达B处，此时测得小岛P在北偏东60°的方向上. （1）求BP的距离； （2）已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险. 2．（25-26学年九上·江西宜春丰城第九中学·期中）图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) （1）图（2）中，___________°； （2）靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 3．（2026·江西九江外国语学校·五模）如图，某无人机爱好者在可放飞区域放飞无人机，当无人机飞到点A处时，无人机测得操控者所在位置点B的俯角为，测得某建筑物的顶端D的俯角为，操控者在点B处测得建筑物的顶端D的仰角为．已知点A，B，C，D，E在同一平面，无人机距地面的高度是32m． （1）求操控者所在位置与无人机所在位置的水平距离的长．（结果保留整数） （2）设建筑物的高为h． ①用含有h的式子表示； ②求建筑物的高度：（结果保留整数） 参考数据取1.6，取0.9． 4．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点A、B、C处均可旋转，处可摆放平板或者手机．其中．研究表明，当手机（）与桌面的夹角为时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的角度． （1）如图2，当和桌面垂直且时，可将绕点B旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时的度数； （2）在（1）的条件下求点D点到的距离（结果保留整数）． （参考数据：） 5．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）某一特殊路段规定：汽车行驶速度不超过36千米/时.一辆汽车在该路段上由东向西行驶，如图所示，在距离路边10米O处有一“车速检测仪”，测得该车从北偏东60°的A点行驶到北偏东30°的B点，所用时间为1秒. （1）试求该车从A点到B点的平均速度. （2）试说明该车是否超速.（，） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 锐角三角函数 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查三角函数，熟练掌握正弦的定义是解题的关键；因此此题可根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】 解：如图， 由网格可知：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 2．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）如图，四边形内接于圆，且为直径，，若，则圆的直径等于（       ） A. 6 B.  C.  D. 5 【答案】C 【分析】 本题考查了圆内接四边形的性质，圆的基本性质，特殊角的三角函数；由圆的内接四边形的性质得，由直径所对的圆周角为直角得，由正弦函数得，即可求解；掌握相关的性质，能求出是解题的关键． 【详解】 解：四边形内接于圆， ， ， 为直径， ， ， ， 解得：， 故选：C. 3．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）如图，△ABC 是等边三角形，P 是 BC 上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接 DE，记△ADE 的周长为，四边形 BDEC 的周长为，则与的大小关系是(     ) A. ＝ B. ＞ C. ＜ D. 无法确定 【答案】A 【分析】等边三角形各内角为60°，故∠B=∠C=60°，即可求得BP=2BD，CP=2CE，∴BD+CE=BC，即可求得L1=L2,故选A. 【详解】解：∵等边三角形各内角为60°，∴∠B=∠C=60°， ∵∠BPD=∠CPE=30°， ∴在Rt△BDP和Rt△CEP中， ∴BP=2BD，CP=2CE， ∴BD+CE=BC， ∴AD+AE=AB+AC-BC=BC， ∴BD+CE+BC=BC， L1=BC+DE， L2=BC+DE， 即得L1=L2， 故选A． 【点睛】本题考查了直角三角形中特殊角的正弦函数值，考查了等边三角形各边相等的性质，本题中求证L1=BC+DE，L2=BC+DE是解题的关键． 4．（25-26学年九上·江西宜春丰城第九中学·期中）（1）计算：； （2）解不等式组： ． 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题主要考查了解一元一次不等式组、实数的运算、零指数幂及特殊角的三角函数值，熟知实数的运算法则及解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值和零指数幂，再计算绝对值，最后计算加减法即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】 解：（1） ； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 5．（2026·江西九江外国语学校·五模）（1）解方程． （2）计算． 【答案】（1）， （2） 【分析】 （1）将原方程转化为，然后利用因式分解法解题即可； （2）将特殊角的三角函数值代入，然后计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】 解：（1） ∴或， ∴，； （2）原式 ． 6．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动． 【操作判断】 操作一：如图，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图，在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图，在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕．把正方形纸片展平，得图，折痕，与的交点分别为，． （1）根据以上操作，得的大小为________． 【探究证明】 （2）如图，连接，试判断的形状并证明； （3）如图，连接，过点作的垂线，分别交，，于点，，．求证：． 【深入研究】 （4）若，请直接写出的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1）     （2）为等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接， 据（1）可知， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形．     （3）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ， 根据题意可知， ， ， 据（2）可知， ， ，， ， ， ．     （4）      (1) 小问详解： 解：如图， 根据题意可知，，， 在图中，四边形为正方形， ， ，即， ， ． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 解：如图，连接， 四边形为正方形， ， ， 据（1）可知，即， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点．若，则的度数为　　　　　 【答案】或度 【分析】 本题考查了解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数值的计算是关键． 根据题意得到，则，结合矩形的性质得到，则，由此即可求解． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 2．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）如图，为的直径，为的弦．的平分线交于点D． （1）若，求的度数； （2）若，求的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由是直径得，利用圆周角定理求出，再利用直角三角形的性质即可解答； （2）由角平分线的定义得到根据圆周角定理求出，得到是等腰直角三角形，解直角三角形求出，由三角形面积公式即可求解． (1) 小问详解： 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查圆周角定理及其推论，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，弧、弦、圆心角的关系；熟练掌握圆周角定理及其推论是解题关键． 3．（25-26学年九上·江西宜春·期中）如图，中，是的直径，G为弦的中点，的切线交的延长线于点C，连并延长交于点D，连接交于点F． （1）求证：； （2）的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵，G为弦的中点， ∴，即， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由等腰三角形的性质可得，则，由切线的性质可得，从而可得，由等边对等角可得，由等角的余角相等可得，结合对顶角相等可得，即可得证； （2）由（1）可得：，则，由题意可得，由直角三角形的性质可得，得出，由圆周角定理可得，证明为等边三角形得出，解直角三角形即可得解． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：由（1）可得：， ∴， ∵的半径为，， ∴，， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）如图，菱形的边长为4，，P是边上的一动点，以P为圆心，线段的长为半径画圆，当与边所在的直线相切时，的半径为　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了菱形的性质，解直角三角形，切线的性质．分三种情况讨论，利用切线的性质结合解直角三角形即可求解． 【详解】 解：∵菱形，， ∴，， 如图，当与直线相切时，切点为，连接，则， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图，当与直线相切时，切点为，连接，则， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图，当与直线相切时，切点为，连接，作于点，则，四边形是矩形， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得； 综上，的半径为或或． 故答案为：或或． 5．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）如图，为半圆O的直径，C为半圆上一点，，点P在的延长线上，且．连接交半圆于点D，过P作交的延长线于点E，则　　　　　　． 【答案】厘米 【分析】 此题考查了圆内接四边形的判定方法，圆周角定理，解直角三角形等，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，，根据直径所对的圆周角是直角，得，确定，则P、E、D、B四点共圆，求出，在中利用三角函数即可求出． 【详解】 解：如图，连接，， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 则P、E、D、B四点共圆， ∴， ∵， ∴中，， 故答案为：． 6．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）（1）已知，如图1，在等边中，点在的延长线上，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，过点作，垂足为． ①求证：； ②求证： （2）拓展：如图2，在中，，，点在的延长线上，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，过点作，垂足为，猜想：线段之间的数量关系为___________．（请直接写出结论，不需要证明） 【答案】（1）① 证明：∵等边， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； （2） 【分析】 本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键： （1）① 旋转，推出，证明，即可得出结论；② 全等，得到，进而得到，得到，进而得到，根据线段的和差关系即可得出结论； （2）证明，得到，求出，得到，进而得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】 解：（1）① 略； ② 略； （2）∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴． 7．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）已知等腰三角形的底角，且在直线上有一点（不与点、重合），使得，则　　　　　　　． 【答案】或或2    【分析】 该题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，根据题意分三种情况画图求解即可． 【详解】 解：∵， 设． ① 如图，等腰，，过点作， 则， ∴，， ∴， ∴． ② 如图，等腰，，过点作， 同理，，， ∴， ∴． ③ 如图，等腰，，过点作与相交于点， ∵，， ∴， ∴， 即点P与点D重合， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵． ∴，, ∴． 故答案为：或或． 8．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）定义：一组邻边相等且有一个内角为直角的凸四边形称为等直四边形．例如，如图 1，在四边形 中， ， ， 则四边形为等直四边形． 【特例感知】 （1）下列四边形一定是等直四边形的是              ；   （填序号） ①平行四边形               ②矩形                  ③菱形                  ④正方形 （2） 如图2， 在等边中，点D为内部一点，且平分， 连接， 将线段绕点D 顺时针旋转得到线段，连接，．求证：四边形是等直四边形． 【深入探究】 （3）如图3， 在等直四边形中， ， ， 线段的垂直平分线分别交与的角平分线于E， F， 连接，． 求证： ． 【拓展应用】 （4）如图4，已知线段 射线 ， 射线平分， 点C， D分别在射线，上，若 且四边形是等直四边形，则的长为                         ． （直接写出结果） 【答案】（1）④； （2）∵是等边三角形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵将线段绕点D 顺时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是等直四边形． （3）如图，连接， ∵线段的垂直平分线分别交与的角平分线于E， F， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （4）或或或． 【分析】 （1）根据新定义逐一分析判断即可； （2）证明，，求解，证明为等边三角形，可得，，再证明，可得，可得，从而可得结论； （3）如图，连接，证明，，，可得，证明，设，，可得，证明，再进一步证明即可； （4）分四种情况讨论：① 证明，而，当时，可得，此时满足条件； ② 如图，当时，满足条件，③ 如图，当时，④ 如图，当时（与③ 中的位置不同），过作于，而，再进一步求解即可． 【详解】 解：（1）根据新定义可得： 正方形一定是等直四边形． 故选：④ （2）略 （3）略 （4）① 如图，，射线 ， 射线平分， 点C， D分别在射线，上， ，且四边形是等直四边形， ∴，而， 当时， ∴， ∴，此时满足条件； ② 如图，当时，满足条件， 由① 同理可得：， 过作于， ∴，设， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， 此时， ∴， ③ 如图，当时， ∴，， 由② 同理可得：， ∴， ④ 如图，当时， 同理可得：，， 过作于，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：的值为：或或或． 【点睛】 本题考查的是新定义题，涉及全等三角形的判定与性质，特殊四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的画图，清晰的分类讨论是解本题的关键. 考点03 应用举例 1．（25-26学年九上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图所示，一轮船由西向东航行，在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上，轮船行驶40海里后到达B处，此时测得小岛P在北偏东60°的方向上. （1）求BP的距离； （2）已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险. 【答案】（1）40海里     （2）若轮船仍向前航行有触礁的危险      【分析】 （1）通过计算得到，得到，从而得解； （2）作于点，解得进而判定即可； (1) 小问详解： ，， 又， ， （海里） (2) 小问详解： 作于点. 在直角中，. 答：若轮船仍向前航行有触礁的危险 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用-方位角问题，掌握直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半是解决本题的关键． 2．（25-26学年九上·江西宜春丰城第九中学·期中）图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) （1）图（2）中，___________°； （2）靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识． （1）过点作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出． （2）① 根据题意可知代入计算即可． ② 过点作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案． (1) 小问详解： 解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． (2) 小问详解： 解：①当靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：． ②如图，过点作的垂线交于点F， 在中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为． 3．（2026·江西九江外国语学校·五模）如图，某无人机爱好者在可放飞区域放飞无人机，当无人机飞到点A处时，无人机测得操控者所在位置点B的俯角为，测得某建筑物的顶端D的俯角为，操控者在点B处测得建筑物的顶端D的仰角为．已知点A，B，C，D，E在同一平面，无人机距地面的高度是32m． （1）求操控者所在位置与无人机所在位置的水平距离的长．（结果保留整数） （2）设建筑物的高为h． ①用含有h的式子表示； ②求建筑物的高度：（结果保留整数） 参考数据取1.6，取0.9． 【答案】（1）操控者所在位置与无人机所在位置的水平距离的长约为20m     （2）①；② 建筑物的高度约为25m      【分析】 本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，对于（1），根据题意可知，，，再根据，可得，代入计算即可． 对于（2）①，根据题意得，，结合，可得答案；② 作，先说明四边形DCEF是矩形，由，得，再根据等腰直角三角形的性质得，进而得出，然后由（1）结合，并根据（2），结合得出方程，求出答案即可． (1) 小问详解： 根据题意，有，，． 在中，， （m）． 答：操控者所在位置与无人机所在位置的水平距离BE的长约为20m； (2) 小问详解： ①根据题意，有，． 在中，， ②如图，过点D作，垂足为F，则． ． 四边形是矩形． ，． ． 根据题意，有， ． ． 由（1）知， ， 由（2）①知， ． ． 答：建筑物的高度约为25m． 4．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点A、B、C处均可旋转，处可摆放平板或者手机．其中．研究表明，当手机（）与桌面的夹角为时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的角度． （1）如图2，当和桌面垂直且时，可将绕点B旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时的度数； （2）在（1）的条件下求点D点到的距离（结果保留整数）． （参考数据：） 【答案】（1）     （2）D到的距离约为      【分析】 （1）过点D作于H，利用四边形内角和定理计算即可． （2）过点D作于H，延长、交于点E，利用解直角三角形的知识，求得长度即可． 本题考查了四边形内角和定理，解直角三角形的相关计算，熟练掌握进行解直角三角形的计算是解题的关键． (1) 小问详解： 过点D作于H， 由题意得： ∴． (2) 小问详解： 过点D作于H， 延长、交于点E， ∵． ∴， ∵． ∴                     答：D到的距离约为． 5．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）某一特殊路段规定：汽车行驶速度不超过36千米/时.一辆汽车在该路段上由东向西行驶，如图所示，在距离路边10米O处有一“车速检测仪”，测得该车从北偏东60°的A点行驶到北偏东30°的B点，所用时间为1秒. （1）试求该车从A点到B点的平均速度. （2）试说明该车是否超速.（，） 【答案】（1）米/秒；（2）小汽车超速了 【分析】 （1）据题意得∠AOC=60°，∠BOC=30°，然后在Rt△AOC中可以求出∠OAC=30°，接着求出∠AOB，由此得到∠AOB=∠OAC，再利用等腰三角形的判定得到AB=OB，又在Rt△BOC中，由此求出OB，最后可以求出AB． （2）首先统一单位，然后利用时间、速度、路程之间的关系即可求出时间，然后比较大小即可解决问题． 【详解】 （1）据题意，得∠AOC=60°，∠BOC=30° 在Rt△AOC中，∠AOC=60° ∴∠OAC=30° ∵∠AOB=∠AOC-∠BOC=60°-30°=30° ∴∠AOB=∠OAC ∴AB=OB 在Rt△BOC中 ∴AB=（米） ∴v=÷1=（米/秒）． （2）∵36千米/时=10米/秒 又∵≈11.3， ∴＞10， ∴小汽车超速了． 【点睛】 此题主要考查了解直角三角形-方向角的问题，解题时首先正确理解题意，然后解直角三角形求出相关线段的长度，最后利用时间、速度、路程之间的关系即可解决问题． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 锐角三角函数 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．B 2．C 3．A 4．【答案】（1）；（2） 【分析】 本题主要考查了解一元一次不等式组、实数的运算、零指数幂及特殊角的三角函数值，熟知实数的运算法则及解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值和零指数幂，再计算绝对值，最后计算加减法即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】 解：（1） ； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 5．【答案】（1）， （2） 【分析】 （1）将原方程转化为，然后利用因式分解法解题即可； （2）将特殊角的三角函数值代入，然后计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】 解：（1） ∴或， ∴，； （2）原式 ． 6．【答案】（1）     （2）为等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接， 据（1）可知， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形．     （3）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ， 根据题意可知， ， ， 据（2）可知， ， ，， ， ， ．     （4）      (1) 小问详解： 解：如图， 根据题意可知，，， 在图中，四边形为正方形， ， ，即， ， ． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 解：如图，连接， 四边形为正方形， ， ， 据（1）可知，即， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 考点02 解直角三角形 1．【答案】或度 【分析】 本题考查了解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数值的计算是关键． 根据题意得到，则，结合矩形的性质得到，则，由此即可求解． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 2．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由是直径得，利用圆周角定理求出，再利用直角三角形的性质即可解答； （2）由角平分线的定义得到根据圆周角定理求出，得到是等腰直角三角形，解直角三角形求出，由三角形面积公式即可求解． (1) 小问详解： 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查圆周角定理及其推论，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，弧、弦、圆心角的关系；熟练掌握圆周角定理及其推论是解题关键． 3．【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵，G为弦的中点， ∴，即， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由等腰三角形的性质可得，则，由切线的性质可得，从而可得，由等边对等角可得，由等角的余角相等可得，结合对顶角相等可得，即可得证； （2）由（1）可得：，则，由题意可得，由直角三角形的性质可得，得出，由圆周角定理可得，证明为等边三角形得出，解直角三角形即可得解． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：由（1）可得：， ∴， ∵的半径为，， ∴，， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 4．【答案】或或 【分析】 本题考查了菱形的性质，解直角三角形，切线的性质．分三种情况讨论，利用切线的性质结合解直角三角形即可求解． 【详解】 解：∵菱形，， ∴，， 如图，当与直线相切时，切点为，连接，则， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图，当与直线相切时，切点为，连接，则， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图，当与直线相切时，切点为，连接，作于点，则，四边形是矩形， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得； 综上，的半径为或或． 故答案为：或或． 5．【答案】厘米 【分析】 此题考查了圆内接四边形的判定方法，圆周角定理，解直角三角形等，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，，根据直径所对的圆周角是直角，得，确定，则P、E、D、B四点共圆，求出，在中利用三角函数即可求出． 【详解】 解：如图，连接，， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 则P、E、D、B四点共圆， ∴， ∵， ∴中，， 故答案为：． 6．【答案】（1）① 证明：∵等边， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； （2） 【分析】 本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键： （1）① 旋转，推出，证明，即可得出结论；② 全等，得到，进而得到，得到，进而得到，根据线段的和差关系即可得出结论； （2）证明，得到，求出，得到，进而得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】 解：（1）① 略； ② 略； （2）∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴． 7．【答案】或或2    【分析】 该题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，根据题意分三种情况画图求解即可． 【详解】 解：∵， 设． ① 如图，等腰，，过点作， 则， ∴，， ∴， ∴． ② 如图，等腰，，过点作， 同理，，， ∴， ∴． ③ 如图，等腰，，过点作与相交于点， ∵，， ∴， ∴， 即点P与点D重合， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵． ∴，, ∴． 故答案为：或或． 8．【答案】（1）④； （2）∵是等边三角形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵将线段绕点D 顺时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是等直四边形． （3）如图，连接， ∵线段的垂直平分线分别交与的角平分线于E， F， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （4）或或或． 【分析】 （1）根据新定义逐一分析判断即可； （2）证明，，求解，证明为等边三角形，可得，，再证明，可得，可得，从而可得结论； （3）如图，连接，证明，，，可得，证明，设，，可得，证明，再进一步证明即可； （4）分四种情况讨论：① 证明，而，当时，可得，此时满足条件； ② 如图，当时，满足条件，③ 如图，当时，④ 如图，当时（与③ 中的位置不同），过作于，而，再进一步求解即可． 【详解】 解：（1）根据新定义可得： 正方形一定是等直四边形． 故选：④ （2）略 （3）略 （4）① 如图，，射线 ， 射线平分， 点C， D分别在射线，上， ，且四边形是等直四边形， ∴，而， 当时， ∴， ∴，此时满足条件； ② 如图，当时，满足条件， 由① 同理可得：， 过作于， ∴，设， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， 此时， ∴， ③ 如图，当时， ∴，， 由② 同理可得：， ∴， ④ 如图，当时， 同理可得：，， 过作于，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：的值为：或或或． 【点睛】 本题考查的是新定义题，涉及全等三角形的判定与性质，特殊四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的画图，清晰的分类讨论是解本题的关键. 考点03 应用举例 1．【答案】（1）40海里     （2）若轮船仍向前航行有触礁的危险      【分析】 （1）通过计算得到，得到，从而得解； （2）作于点，解得进而判定即可； (1) 小问详解： ，， 又， ， （海里） (2) 小问详解： 作于点. 在直角中，. 答：若轮船仍向前航行有触礁的危险 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用-方位角问题，掌握直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半是解决本题的关键． 2．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识． （1）过点作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出． （2）① 根据题意可知代入计算即可． ② 过点作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案． (1) 小问详解： 解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． (2) 小问详解： 解：①当靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：． ②如图，过点作的垂线交于点F， 在中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为． 3．【答案】（1）操控者所在位置与无人机所在位置的水平距离的长约为20m     （2）①；② 建筑物的高度约为25m      【分析】 本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，对于（1），根据题意可知，，，再根据，可得，代入计算即可． 对于（2）①，根据题意得，，结合，可得答案；② 作，先说明四边形DCEF是矩形，由，得，再根据等腰直角三角形的性质得，进而得出，然后由（1）结合，并根据（2），结合得出方程，求出答案即可． (1) 小问详解： 根据题意，有，，． 在中，， （m）． 答：操控者所在位置与无人机所在位置的水平距离BE的长约为20m； (2) 小问详解： ①根据题意，有，． 在中，， ②如图，过点D作，垂足为F，则． ． 四边形是矩形． ，． ． 根据题意，有， ． ． 由（1）知， ， 由（2）①知， ． ． 答：建筑物的高度约为25m． 4．【答案】（1）     （2）D到的距离约为      【分析】 （1）过点D作于H，利用四边形内角和定理计算即可． （2）过点D作于H，延长、交于点E，利用解直角三角形的知识，求得长度即可． 本题考查了四边形内角和定理，解直角三角形的相关计算，熟练掌握进行解直角三角形的计算是解题的关键． (1) 小问详解： 过点D作于H， 由题意得： ∴． (2) 小问详解： 过点D作于H， 延长、交于点E， ∵． ∴， ∵． ∴                     答：D到的距离约为． 5．【答案】（1）米/秒；（2）小汽车超速了 【分析】 （1）据题意得∠AOC=60°，∠BOC=30°，然后在Rt△AOC中可以求出∠OAC=30°，接着求出∠AOB，由此得到∠AOB=∠OAC，再利用等腰三角形的判定得到AB=OB，又在Rt△BOC中，由此求出OB，最后可以求出AB． （2）首先统一单位，然后利用时间、速度、路程之间的关系即可求出时间，然后比较大小即可解决问题． 【详解】 （1）据题意，得∠AOC=60°，∠BOC=30° 在Rt△AOC中，∠AOC=60° ∴∠OAC=30° ∵∠AOB=∠AOC-∠BOC=60°-30°=30° ∴∠AOB=∠OAC ∴AB=OB 在Rt△BOC中 ∴AB=（米） ∴v=÷1=（米/秒）． （2）∵36千米/时=10米/秒 又∵≈11.3， ∴＞10， ∴小汽车超速了． 【点睛】 此题主要考查了解直角三角形-方向角的问题，解题时首先正确理解题意，然后解直角三角形求出相关线段的长度，最后利用时间、速度、路程之间的关系即可解决问题． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $