学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷·培优卷（新教材人教版，范围：新教材人教版九上第25～28章）

2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九上第25~28章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．为宣传科技创新与绿色发展理念，某科技馆设计了以下标识图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程时，通过配方可以将其化成（，为常数）的形式，则，的值分别为（     ） A．，8 B．3，8 C．，10 D．3，10 4．如图，将在平面内绕点旋转到的位置，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．关于的一元二次方程的根的情况是（  ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 6．关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．它的图象经过点 D．当时，随的增大而增大 7．如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 ，与x轴交于两点，与y轴交于点．则下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时，y随x的增大而减小 D． 8．下列关于二次函数（m为常数）的结论： ①该函数的图象与函数图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图象上， 其中所有正确的结论序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 9．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） A． B．C． D． 10．如图，四边形是菱形，且，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、、，则下列四个结论中正确的有（     ）． ①若菱形的边长为1，则的最小值是1； ②； ③； ④连接，则； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．点与点B关于原点对称，则点B的坐标是________． 12．若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 13．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 14．如图，点A与点B分别在函数与的图象上，线段的中点M在y轴上．若的面积为3，则的值是________． 15．如图，抛物线与的顶点分别为，，是轴上的一个动点，则当的值最小时，的值是________． 16．如图，在中，，，，D为斜边的中点，线段绕点D逆时针旋转度后，点B的对应点为点P，连接，，在旋转过程中，当为等腰三角形时，的长是________． 三、解答题：本题共9小题，共72分。其中：17-20每题6分，21-23题每题8分，24-25题每题12分。 17．根据题目意思，解答下列各题 (1)选择适当的方法解方程：； (2)如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，且，求旋转角的度数． 18．如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何实数，此方程总有两个不等的实数根． (2)若，为方程的两个实数根，且满足，求实数k的值． 20．“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． (1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； (2)若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 21．如图所示的的正方形网格中的三个顶点都在格点上，请在所给的平面直角坐标系中解答下列问题： (1)画出绕原点O顺时针旋转后的，并写出点坐标． (2)画出关于原点对称的，并写出点坐标． (3)将绕某点逆时针旋转后，得到，顶点A，B，C的对应点分别为，，，请直接写出旋转中心的坐标． 22．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 23．【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； (3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 24．如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由： (2)如图，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②如图，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 25．【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置，如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转． (1)【问题发现】 ①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接EF，则线段，，之间的数量关系是________． (2)【类比迁移】 如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，延长交于点P，连接，，矩形可绕点O旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． (3)【拓展应用】 如图3，在中，，，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕点D旋转．当时，请求出线段的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 0 & C C B A 二、填空题：本题共6小题， 每小题3分，共18分。 11.（1,-2) 12.少<h 13.2026 14.6 15.3 4 120 16.13或33或12 三、解答题：本题共9小题，共72分。其中：17-20每题6分，21-23题每题8分，2425题每题12分。 17. 【详解】(1)解：2x2-3x=0 x(2x-3)=0 所以x=0,或2x-3=0 3 所以x=0,=2;3分 (2)解：，△ABC将绕点A逆时针旋转得到△ADE, .△ABC≌AADE, ..AC=AE 又CE=AE, .AC=AE=CE, .△ACE是等边三角形， 1/14 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠CAE=60° ∴旋转角的度数为60°.6分 18. 【详解】(1)解：“点P1,2)在反比例函数y=(x>0)的图象上， ∴k=1×2=2, 二反比例函数的表达式为少=名。 ;3分 （3解1：点PL2Qm在反比数y（x>0图象上·m ..AC=m-1 CO=n mn=2 0<n<2 ,PB,QD垂直于y轴，PA,QC垂直于x轴， ,四边形ACQE是矩形， ∴.S四边形AcoE=AC,QC=(m-1)n=mn-n=2-n .S与n的函数关系式为 =2-n0<n<2）.n6分 19. (1)证明：一元二次方程为x2-c+k-5=0, △=(-k)2-4×1×(k-5) 其判别式 =k2-4k+20 =(k-2)2+16 ·《-22≥0 :&-2y9+16>0 即4>0 .无论k取何实数，此方程总有两个不等的实数根.3分 (②)由韦达定理知：方+巧=k.名=k-5 2/14 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .k+k-5=-1, .k=2.6分 20. 13,100) 【详解】(1)解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为 设该二次函数的解析式为'=a(x-13)°+100 把点8,0代入，得：10a+100=0, 解得a=-1, :所求二次函数的解析式为=-(-13+10(3≤x≤13)， k 把点(13,100)代入yx得：k=1300· 所求反比例函数的解析式为y=13 x（x≥13)：3分 (2)解：由y=-(x-13)}2+100=75 解得=8专=18 (不合题意，舍去)， 1300 由y= =75 解得2 3 多g 3 28 答：每天至少需要执勤的时间为3分钟.6分 21. 3/14 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 () 点坐标为 ;3分 B （-3,2) B (2) 点坐标 ；6分 (2,3) A B 3) 旋转中心的坐标的坐标为 8分 B (1,0) 22. 【详解】(1)解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x, 根据题意得： 10(1+x)=12.1 x=0.1=10%x2=-2.1 解得 (不符合题意，舍去)· 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为10%；2分 4/14 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 35-y-15) (2)解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为 元，日销售量为 80+10y)件， (35-y-15)(80+10y)=1800 根据题意得： y2-12y+20=0 整理得： y=2,y2=10 解得： 又，要尽快减少库存， .y=10 答：每件应降价10元.5分 ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为4元/件 则w=10(a-15-3)+(a-15)儿80+10(35-a] =-10a2+680a-8250 =-10(a-34)2+3310 ∴.当a=34时，w有最大值，最大值为3310， ∴当售价为34元/件，即降价35-34=1元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310 元.8分 23. 1010 B 【详解】（山）解：由题意得：C(0,0),气22，即B(5,5), 抛物线的表达式为'=ar B(5,5) 将点 代入得：25a=5 1 解得0=5.2分 (2)解：：点C的坐标 m,n) 5/14 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴由题意得：点B的坐标为 (m+h,n+h) 将点B(m+mn+h)代入y=a(x-m+n得：a(m+h-m+n=n+h, 解得0=方.4分 (3)解：，扩音口A、B在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称， .ABx轴， ,点4的坐标为 ,8),顶点C到线段4B的距离为cm,扩音口宽度4B为2次m。 .B(2h,8)C(h,8-h) 一抛物线的表达式为y=a(x-h)+8-h 1 由(2)已得：a= h' .y=(h)+8-h ∴抛物线的对称轴为直线x=h, ①当4<h≤8时， 在0≤x≤8内，当0≤x≤h时，y随x的增大而减小：当h<x≤8时，y随x的增大而增大， ∴在0≤x≤8内，当x=h时，y取得最小值，最小值为8-h>0, 又当0≤x≤8时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与x轴的距离为2， 8-h=2, 解得h=6, ·a=方6： ②当h>8时， 在0≤x≤8内，y随x的增大而减小， 六在05x≤8内：当x=8时，y取得技小值，设小值为8-+8-么=-8<0， h 又，当0≤x≤8时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与x轴的距离为2， 64-8=-2 :.h 6/14 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得h32 3’ 13 .a= h32 13 综上，此时a的值为6或328分 24. (0解：少=-4x+4与y=2+2 与 互为“伴随对称抛物线”，理由如下： y=2-4x+4=(x-2}2 “抛物线'=-4红+4的顶点坐标为2,0) 将=2代入y=-r+2x ,得y=-22+2x2=0 ∴抛物线=-+2x经过点(2,0) y=-x+2x=-(x-102+1 抛物线”=-+2x的顾点坐标为， 把x=l代入)=-4x+ 4,得=1P-4×1+4=1 抛物线少=r-4x+ 经过有么) :y=r-4x+4y=-2+2x 与 互为“伴随对称抛物线”；4分 (②)解：09+4=0 证明如下： G:y=a(-h)广+店，C:y=4x-6广+6，顶点分别为4,4， 4(,)4么，k) 又：C与9互为“件随对称抛物线”， 7/14 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :k=4(么-6+6，名=a(h-h+k, 两式相加，得a+4)-)}=0 :名×么 h-h2≠0 9+4=0 ;.8分 ②G:y=r4+4=0 :4=1.4=-4=-1 C:y=-(x-)}+k :4(0,0）4(伤，)飞=份 如图，设44与BB相交于点P, 42 B2 A ABAB2 ,四边形 为正方形， :P为C的对称中心， A42⊥BB2BP=AP 格) 上BB,N⊥I 过点P作直线山y轴，垂足为M,过点8作 ,華足为N,则BP=∠4MP 8/14 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠B,PN=∠MAP=90°-∠MPA BP-4P ,△PB,N≌△APM(AAS) PN=AM BN=PM 明务各为冬冬 设B(xy),则2 29 :名=公 +h2 x1= 2 .B C 点在上， -2h-h=2 整理得 .么-2么-1%+)=(6-2公-)-公-2G-+2=2+2=4.…12分 25. 【详解】(1)①解：线段AE,BF之间的数量关系是AE=BF,理由如下： :正方形1BCD,正方形 ABCO .OA=OB=OC=OD,∠EOF=∠AOB=90° 9/14 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠OAE=∠OBF=45° ∴.∠AOE=90°-∠BOE=∠BOF, ∠AOE=∠BOF AO=BO ∠OAE=∠OBF' AOBF≌AOAE(ASA) AE=BF.2分 ②解：线段AE,CF,EF之间的数量关系是AE2+CF2=EF2,理由如下： '正方形ABCD 正方形 BCO .AB=BC=CD=DA,OA=OB=OC=OD,∠EOF=∠AOB=90° ∠OAE=∠OBF=45°， ∴∠AOE=90°-∠BOE=∠BOF, [∠AOE=∠BOF AO=BO ∠OAE=∠OBF' △OBF≌AOAE(ASA) .AE=BF .AB-AE=BC-BF: BE=CF: ,正方形ABCD, .∠ABC=90°， .BF2+BE2=EF2, 10/14 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 CF2+AE2-EF2.4分 (2)证明：线段AE,CF,EF之间的数量关系是AE2+CF2=EF2,理由如下： :矩形MBCD,矩形 BCO .OA=OC,AD‖BC,∠EOF=∠EAD=90° .∠AP0=∠CF0,∠PA0=∠FC0,∠EOP=90°， ∠APO=∠CFO ∠PAO=∠FCO AO=CO △OCF≌△OAP(ASA) ∴.AP=CF:OP=OF, B ∴.OE垂直平分PF: ∴.PE=EF: ,矩形ABCD, .∠EAP=90°， ∴.AP2+AE2=EP2, .CF2+AE2=EF2.8分 (3)解：当点E在线段AB上时， AE=2,AB=3, ∴.BE=AB-AE=1, 延长ED到点G;使DG=ED,连接CG,FG, D是边AC的中点， 11/14 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .DC=DA, E F ED=DG ∠ADE=∠CDG AD=CD △ADE≌ACDG(SAS) .CG=AE,∠A=∠ACG, .AB∥CG. .∠B+∠BCG=180°， ∠B=90° ∴.∠BCG=90°， ..CF2+CG2=FG2, .'CF2+AE2=FG2, .ED=DG,∠EDF=90°， ∴DF垂直平分EG; .GF=EF: :CF2+AE2=EF2, 设CF=x,则BF=BC-CF=4-x, 根据勾股定理，得BE2+BF2=EF2, .CF2+AE2=BE2+BF2, +2=P+(4-x =13 解得x=8: 12/14 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当点E在线段AB的反向延长线上时， :AE=2,AB=3, .BE=AB+AE=5, 延长ED到点O:使DO=ED,连接CO,FO, D是边AC的中点， ∴.DC=DA, B ED=DO ∠ADE=∠CDQ AD=CD △ADE≌aCDQ(SAS) CQ=AE=2∠EAD=∠ACQ .ABlCO, .∠ABC=∠BC2. .∠ABC=90° .∠BCQ=90° CF2+CO2=FO2 CF2+AE2=FO2 13/14 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ,ED=DQ,∠EDF=90°， ·.DF垂直平分EO: ..OF=EF: ..CF2+AE2=EF2, 设CF=x,则BF=CF-BC=x-4, 根据勾股定理，得BE2+BF2=EF2, .CF2+AE2=BE2+BF2, :+22=52+x-4 得=贺 1337 综上所述，CF的长为8或8；12分 14/14 11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11._______________ 14. ________________ 12. ___________ 15. _______________ 13. _________________ 16.________________ 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（6分） 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（8分） 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 一、 单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][CJ[D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8[A][BJ[C][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11 12, 13. 14. 16. 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) B E A C 19.(6分) 20.(6分) /% 100 03 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 22.(8分) 23.(8分) 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) B O 图1 图2 25.(12分) B 反1 图2 图3 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九上第25~28章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．为宣传科技创新与绿色发展理念，某科技馆设计了以下标识图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程时，通过配方可以将其化成（，为常数）的形式，则，的值分别为（     ） A．，8 B．3，8 C．，10 D．3，10 4．如图，将在平面内绕点旋转到的位置，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．关于的一元二次方程的根的情况是（  ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 6．关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．它的图象经过点 D．当时，随的增大而增大 7．如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 ，与x轴交于两点，与y轴交于点．则下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时，y随x的增大而减小 D． 8．下列关于二次函数（m为常数）的结论： ①该函数的图象与函数图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图象上， 其中所有正确的结论序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 9．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） A． B．C． D． 10．如图，四边形是菱形，且，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、、，则下列四个结论中正确的有（     ）． ①若菱形的边长为1，则的最小值是1； ②； ③； ④连接，则； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．点与点B关于原点对称，则点B的坐标是________． 12．若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 13．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 14．如图，点A与点B分别在函数与的图象上，线段的中点M在y轴上．若的面积为3，则的值是________． 15．如图，抛物线与的顶点分别为，，是轴上的一个动点，则当的值最小时，的值是________． 16．如图，在中，，，，D为斜边的中点，线段绕点D逆时针旋转度后，点B的对应点为点P，连接，，在旋转过程中，当为等腰三角形时，的长是________． 三、解答题：本题共9小题，共72分。其中：17-20每题6分，21-23题每题8分，24-25题每题12分。 17．根据题目意思，解答下列各题 (1)选择适当的方法解方程：； (2)如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，且，求旋转角的度数． 18．如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何实数，此方程总有两个不等的实数根． (2)若，为方程的两个实数根，且满足，求实数k的值． 20．“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． (1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； (2)若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 21．如图所示的的正方形网格中的三个顶点都在格点上，请在所给的平面直角坐标系中解答下列问题： (1)画出绕原点O顺时针旋转后的，并写出点坐标． (2)画出关于原点对称的，并写出点坐标． (3)将绕某点逆时针旋转后，得到，顶点A，B，C的对应点分别为，，，请直接写出旋转中心的坐标． 22．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 23．【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； (3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 24．如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由： (2)如图，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②如图，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 25．【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置，如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转． (1)【问题发现】 ①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接EF，则线段，，之间的数量关系是________． (2)【类比迁移】 如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，延长交于点P，连接，，矩形可绕点O旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． (3)【拓展应用】 如图3，在中，，，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕点D旋转．当时，请求出线段的长． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九上第25~28章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的三种表达形式（为常数，）、（为常数，）、（为常数，），逐一判断选项，选出符合定义的函数． 【详解】解：：是正比例函数，不是反比例函数； ：的分母为，不是的反比例函数； ：含常数项，不符合反比例函数形式； ：，是反比例函数． 2．为宣传科技创新与绿色发展理念，某科技馆设计了以下标识图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形定义逐一判断：轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：绕某一点旋转后，能够和原图形重合． 【详解】解：A、旋转可以与原图重合，是中心对称图形；但找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； B、存在对称轴，沿对称轴折叠两边可重合，是轴对称图形；绕中心旋转能与原图重合，是中心对称图形，符合题意； C、既没有对称轴，旋转也不能和原图重合，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形；绕中心旋转不能和原图重合，不是中心对称图形，不符合题意． 3．用配方法解一元二次方程时，通过配方可以将其化成（，为常数）的形式，则，的值分别为（     ） A．，8 B．3，8 C．，10 D．3，10 【答案】A 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， ． 4．如图，将在平面内绕点旋转到的位置，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质得到，再结合等腰三角形的性质求出的度数． 【详解】解：由旋转得，， ． 5．关于的一元二次方程的根的情况是（  ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵方程的判别式， 又∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 6．关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．它的图象经过点 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】先确定反比例函数的比例系数k，再结合其定义、性质及图象上点的坐标特征逐一判断． 【详解】解：∵， ∴该函数是反比例函数，其中，故A正确，不符合题意； ∴函数图象位于第二、四象限，且当时，随的增大而增大，故B、D正确，不符合题意； 将代入，得，故C错误，符合题意． 7．如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 ，与x轴交于两点，与y轴交于点．则下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时，y随x的增大而减小 D． 【答案】C 【分析】A选项：根据二次函数图象与x轴和y轴的交点，求出二次函数的解析式，可得判别式判断其符号． B选项：将a、b、c的值代入判断该式的符号． C选项：因为二次函数开口向上，对称轴为，所以根据二次函数的单调性规律判断时的增减性． D选项：由 A选项得到的c值判断c的符号． 【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴，A选项错误； ，B选项错误； ∵， ∴二次函数图象开口向上， ∵对称轴， ∴时，y随x增大而减小，C选项正确； ，D选项错误． 8．下列关于二次函数（m为常数）的结论： ①该函数的图象与函数图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图象上， 其中所有正确的结论序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】利用二次函数顶点式的核心性质，逐一验证各结论． 【详解】解：∵二次函数与的二次项系数均为， ∴两函数图象形状相同，结论①正确； 将代入，得， ∴该函数图象一定经过点，结论②正确； ∵该抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵的值不确定， ∴当时，不一定随的增大而减小，结论③错误； 该函数的顶点坐标为， 将代入，得， ∴该函数的顶点在的图象上，结论④正确； 综上，正确结论为①②④． 9．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象、反比例函数的图象、一次函数的图象．首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，∵对称轴在y轴右边 ∴， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数经过第一、二、四象限， 故选：B． 10．如图，四边形是菱形，且，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、、，则下列四个结论中正确的有（     ）． ①若菱形的边长为1，则的最小值是1； ②； ③； ④连接，则； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】①利用菱形轴对称，两点之间线段最短求最小值；②由旋转、等边三角形边角条件用证；③通过全等三角形面积相等对比两个四边形面积；④举动点特殊位置反例判断垂直是否恒成立． 【详解】解：① 菱形对角线为其对称轴， ，最小值为线段长． ，， 为等边三角形，，①正确． ②∵为等边三角形，绕点B逆时针旋转得到， ∴，， ，即， ∵， ，②正确． ③由得， ，， 仅当时，， 但两三角形是动点面积，无恒等关系，因此四边形面积不一定相等，③错误． ④与是动点，当点N靠近点B时,与不垂直，④错误． 综上，正确结论为①②，共2个． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．点与点B关于原点对称，则点B的坐标是________． 【答案】 【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：∵点与点B关于原点对称， ∴点B的坐标是． 12．若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，利用开口向下的二次函数点离对称轴越远函数值越小的性质，通过比较两点到对称轴的距离比较大小． 【详解】解：二次函数中，，，根据对称轴公式得对称轴为， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为，， ∴ ． 13．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，根据根与系数的关系得到，将所求代数式拆分后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 14．如图，点A与点B分别在函数与的图象上，线段的中点M在y轴上．若的面积为3，则的值是________． 【答案】6 【分析】设，，代入双曲线得到，，根据三角形的面积公式求出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，作轴于C，轴于D， ∴轴， ∵M是AB的中点， ∴， 设，， 代入得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．如图，抛物线与的顶点分别为，，是轴上的一个动点，则当的值最小时，的值是________． 【答案】 【分析】先配方求出顶点、坐标，根据两点之间线段最短，直线与轴交点即为取最小值时的动点，求出直线解析式，令，求得横坐标即为． 【详解】解：先把两个抛物线化为顶点式： ， ， ， 根据两点之间线段最短，连接，与轴交点就是使最小的点． 设直线解析式为， 将、代入： ， 解得， 直线：． 在轴上， 令：， ． 16．如图，在中，，，，D为斜边的中点，线段绕点D逆时针旋转度后，点B的对应点为点P，连接，，在旋转过程中，当为等腰三角形时，的长是________． 【答案】或或12 【分析】根据勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质、线段的垂直平分线的判定与性质、三角形的面积公式，结合分类讨论的思想，即可解答． 【详解】解：①当时，如图所示，连接，记与交点为， ，，，D为斜边的中点， ，． 由旋转得，， ． 又， 点、点在线段的垂直平分线上，即垂直平分， ，． ， ， ； ②当时，如图所示，连接，延长交于点， ，，，D为斜边的中点， ，． 由旋转得，． ，， 点、点在线段的垂直平分线上，即垂直平分， ，， ， ， ， ； ③当时，如图所示， ． 综上所述，的长为或或12． 三、解答题：本题共9小题，共72分。其中：17-20每题6分，21-23题每题8分，24-25题每题12分。 17．根据题目意思，解答下列各题 (1)选择适当的方法解方程：； (2)如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，且，求旋转角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）根据旋转的性质得出，确定，得出是等边三角形，即可求解． 【详解】（1）解： 所以，或 所以，； （2）解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴旋转角的度数为． 18．如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据反比例函数的性质得到，，，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点，在反比例函数图象上，， ，，，． ∵，垂直于y轴，，垂直于x轴， ∴四边形是矩形， ， ∴S与n的函数关系式为． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何实数，此方程总有两个不等的实数根． (2)若，为方程的两个实数根，且满足，求实数k的值． 【答案】(1)证明：一元二次方程为， 其判别式 ∵ ， ∴ ，即， ∴ 无论取何实数，此方程总有两个不等的实数根． (2) 【分析】（1）利用根的判别式，化简成，利用平方具有非负性，得到，从而，此方程总有两个不等的实数根． （2）根据韦达定理，，整体代入，得到关于k的一元一次方程，解出． 【详解】（1）略 （2）由韦达定理知：，， ∴， ∴． 20．“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． (1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； (2)若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 【答案】(1)（），（）； (2)每天至少需要执勤的时间为分钟 【分析】（1）将分别代入二次函数和反比例函数计算即可； （2）将分别代入二次函数和反比例函数求出的值，相减即可， 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 把点代入，得：， 解得， ∴所求二次函数的解析式为（）， 把点代入得：， ∴所求反比例函数的解析式为（）； （2）解：由， 解得，（不合题意，舍去）， 由， 解得， ， 答：每天至少需要执勤的时间为分钟． 21．如图所示的的正方形网格中的三个顶点都在格点上，请在所给的平面直角坐标系中解答下列问题： (1)画出绕原点O顺时针旋转后的，并写出点坐标． (2)画出关于原点对称的，并写出点坐标． (3)将绕某点逆时针旋转后，得到，顶点A，B，C的对应点分别为，，，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)，点坐标为； (2)，点坐标； (3)旋转中心的坐标的坐标为 【分析】（1）找到绕原点O顺时针旋转后的对应点，顺次连接即可得到，再写出点坐标即可； （2）找到关于原点对称的对应点，，顺次连接即可得到，再写出点坐标即可； （3）根据旋转作图中对应点连线的垂直平分线必过旋转中心即可得到旋转中心． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 22．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)①每件应降价10元；②当降价1元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 【分析】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据每件利润乘以日销售量等于日总利润建立方程求解； ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件，列出关于的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为； （2）解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得： 解得：， 又∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件应降价10元． ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件 则 ， ， ∴当时，w有最大值，最大值为3310， ∴当售价为34元/件，即降价元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 23．【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； (3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可； （2）先得出点的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可； （3）先求出点的坐标，则可得抛物线的解析式，再分两种情况：①和②，利用抛物线的增减性求出最小值，列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：，，即， ∴抛物线的表达式为， 将点代入得：， 解得． （2）解：∵点的坐标， ∴由题意得：点的坐标为， 将点代入得：， 解得． （3）解：∵扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称， ∴轴， ∵点的坐标为，顶点到线段的距离为，扩音口宽度为， ∴，， ∴抛物线的表达式为， 由（2）已得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时， 在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴， 解得， ∴； ②当时， 在内，随的增大而减小， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴， 解得， ∴； 综上，此时的值为或． 24．如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由： (2)如图，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②如图，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 【答案】(1)解：与互为“伴随对称抛物线”，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 将代入，得， ∴抛物线经过点， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 把代入，得， ∴抛物线经过点， ∴与互为“伴随对称抛物线”； (2)解：①，证明如下： ∵：，：，顶点分别为，， ∴，， 又∵与互为“伴随对称抛物线”， ∴，， 两式相加，得， ∵， ∴， ∴； ② 【分析】（）分别求出与的顶点坐标，再根据“伴随对称抛物线”的定义解答即可； （）①先求出，，根据“伴随对称抛物线”的定义得，，两式相加即可解答；②由题意可得，则：，设与相交于点，根据正方形的性质得，过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为，可证，得到，，设，则，，得到，，进而根据，点在上，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 ②∵：，， ∴，， ∴：， ∴，，， 如图，设与相交于点， ∵四边形为正方形，   ∴为的对称中心，，， ∴， 过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为，则，， ∵， ∴， ∴，， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，， ∵点在上， ∴， 整理得， ∴． 25．【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置，如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转． (1)【问题发现】 ①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接EF，则线段，，之间的数量关系是________． (2)【类比迁移】 如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，延长交于点P，连接，，矩形可绕点O旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． (3)【拓展应用】 如图3，在中，，，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕点D旋转．当时，请求出线段的长． 【答案】(1)① ② (2)证明：线段，，之间的数量关系是，理由如下： ∵矩形，矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴；， ∴垂直平分； ∴； ∵矩形， ∴， ∴， ∴． (3)或 【分析】（1）①根据正方形的性质，证明即可． ②根据正方形的性质，证明，再利用勾股定理，等量代换解答即可． （2）首先，得到；，证明垂直平分，得到；再利用勾股定理证明即可． （3）当点E在线段上时，延长到点G；使，连接,，设，则，根据勾股定理，得，，求解即可；当点E在线段的反向延长线上时，延长到点Q；使，连接,，设，则，根据勾股定理，得，继而得到，，求解即可． 【详解】（1）①解：线段，之间的数量关系是，理由如下： ∵正方形，正方形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． ②解：线段，，之间的数量关系是，理由如下： ∵正方形，正方形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴； ∴； ∵正方形， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）解：当点E在线段上时， ，， ， 延长到点G；使，连接,， ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分； ∴； ∴， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， 解得； 当点E在线段的反向延长线上时， ，， ， 延长到点Q；使，连接,， ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分； ∴； ∴， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， 解得； 综上所述，的长为或； / 学科网（北京）股份有限公司 $