专题05不等式（组）（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材浙教版

专题05 不等式（组）（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的概念 掌握不等式、解与解集的定义；学会识别一元一次不等式。 基础题，难度低，易忽略 “一元一次” 条件出错。 不等式的性质 掌握不等式 3 条基本性质；学会用性质 3 判断不等式变形正误。 高频考点，选择 / 填空为主，常考性质 3，易错点是忽略 c=0 的情况。 解不等式（组） 掌握解一元一次不等式的 5 步及要点；学会用口诀找不等式组公共解集。 必考考点，解答题为主，基础分核心，需步骤规范（如去分母不漏乘）。 在数轴上表示不等式解集 掌握数轴表示解集的规则；学会解集与数轴图形的双向转化。 高频基础题，常结合解不等式（组）考查，易错点是实心 / 空心点、折线方向。 不等式的整数解 掌握 “整数解” 含义； 学会找整数解、结合个数分析参数范围。 中档题，填空 / 解答题小问，易漏找负整数解失分。 由不等式的解集求参数 掌握解集与参数的关联；学会逆向推导参数值并检验边界。 难点，填空压轴 / 解答题小问，需逆向思维，易漏检验边界值。 由不等式的解集情况求参数 掌握不等式组有解 / 无解 / 唯一解的条件； 学会用数轴求参数范围。 难点，填空 / 解答题小问，常考无解 / 有解，易忽略 “等号是否成立”。 不等式组与方程的综合 掌握方程解与不等式的关联；学会先解方程再代入不等式求参数。 中档偏难题，解答题为主，拉分点，易因代入错误失分。 绝对值型不等式 掌握绝对值型不等式的解题方法 偏难题，解答题为主，容易因忽略部分情况导致错误失分 解特殊不等式组 掌握特殊不等式组（无解 / 唯一解型）的特征；学会判断其解集。 基础偏中档题，填空为主，易因口诀记错、数轴分析失误判断错解集。 一元一次不等式（组）的应用 掌握从实际问题提取不等关系的方法；学会列不等式（组）并取舍解集。 高频中档题，解答题为主，关键是找不等关键词，易忽略实际意义（如取整）失分。 知识点01 不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 知识点02 不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 知识点03 在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 知识点04 解一元一次不等式（组） 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 知识点05 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 题型一 不等式的概念 【典例1】（23-24八年级上·浙江湖州·期中）下列命题中，假命题的个数是（ ）   ①一元一次不等式的解集可以只含一个解②一元一次不等式组的解集可以只含一个解③一元一次不等式组的解集可以不含任何一个解④x=2是不等式x+3≥5的解集 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】不是下列哪个不等式的解（   ） A． B． C． D． 【变式2】 （23-24八年级上·浙江温州·期中）根据数量关系“x的2倍与y的差大于3”，列不等式： ． 【变式3】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 ． 【变式4】（22-23八年级上·浙江宁波·期中）将“a与b的和是负数”用不等式表示为 ． 题型二 不等式的性质 【典例1】（19-20八年级上·浙江温州·期中）若成立，则下列不等式成立的是（   ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列变形过程正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如果，那么下列结论一定正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·浙江温州·期中）若，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三 解不等式（组） 【典例1】（21-22八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式： (1)． (2)． 【变式1】解不等式，并将解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【变式2】解下列不等式（组） (1) (2) 【变式3】解不等式组． (1) (2) 题型四 在数轴上表示不等式解集 解｜题｜技｜巧 1.边界值的表示： 不等号含 “=”（≥、≤）：边界值处画实心圆点（表示包含该点）； 不等号不含 “=”（>、<）：边界值处画空心圆圈（表示不包含该点）。 2.方向的表示： 不等号为 “>” 或 “≥”：解集在边界值的右侧（沿数轴正方向延伸）； 不等号为 “<” 或 “≤”：解集在边界值的左侧（沿数轴负方向延伸）。 【典例1】满足不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（1） 解不等式：，把它的解集表示在数轴上． （2） 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式2】解不等式组，并把它的解集在下列数轴上表示出来． 题型五 不等式的整数解 解｜题｜技｜巧 1.求出解集：先解不等式（或不等式组），得到完整的解集范围； 2.列出整数：在解集范围内，找出所有整数（注意边界值是否包含，需结合不等号是否含 “=”）； 3.验证：检查列出的整数是否都在解集中，避免漏解或多解。 【典例1】不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】不等式的自然数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】不等式组的所有整数解的和为（    ） A．3 B．2 C．0 D． 【变式3】已知关于x的不等式组 有且只有1个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C．0 D． 【变式4】不等式的最大整数解是 ． 【变式5】求不等式组：的所有整数解． 题型六 由不等式的解集求参数 解｜题｜技｜巧 1.解含参数的不等式：将参数当作已知数，按解不等式的步骤，化为 “x> m” 或 “x < m” 的形式（m 含参数）； 2.对比已知解集：将化简后的解集与题目给出的解集对比，列等式（或不等式）求参数； 3.验证参数：求出参数后，代入原不等式，验证解集是否正确（避免因参数正负导致的错误）。 关｜键｜提｜醒 解含参数的不等式时，系数化为 1 前，必须判断参数的正负（或范围），否则无法确定不等号方向； 若化简后的解集形式与已知一致（如均为 x > m），则系数为正；若方向相反（如化简后 x <m，已知 x> n），则系数为负。 【典例1】若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【变式2】已知不等式组的解集为，则的值等于多少． 【变式3】已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 题型七 由不等式的解的情况求参数 解｜题｜技｜巧 1.解每个含参数的不等式：分别化为 “x> a”“x < b” 的形式（a、b 含参数）； 2.根据解集情况列条件： ◦若不等式组无解：按 “大大小小找不到” 列条件（如 {x > m, x < 2} 无解，则 m ≥ 2）； ◦若不等式组有解：按 “大小小大中间找” 列条件（如 {x > 1, x < n} 有解，则 n > 1）； ◦若不等式组解集为某一范围：按 “同大取大”“同小取小” 列条件（如 {x > 3, x > k} 解集为 x > 3，则 k ≤ 3）； 3.验证边界值：参数取边界值时，需验证不等式组的解集是否符合要求（如 {x> m, x < 2}，m=2 时，解集为 {x > 2, x < 2}，无解，符合 “无解” 的条件）。 【典例1】如果不等式组的解集是无解，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】关于y的一元一次不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若不等式组无解，则实数 的取值范围是 （  ）． A． B． C． D． 【变式3】如果关于的分式方程有正整数解，且关于的一元一次不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为（　　） A． B． C． D． 【变式4】关于的不等式组有解，则的取值范围为 ． 【变式5】关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 题型八 不等式组与方程的综合 【典例1】已知方程组的解满足，则m的取值范围为 ． 【变式1】若关于x，y二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 ． 【变式2】已知关于x，y的方程组的解满足，求的取值范围． 【变式3】已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解集为． 题型九 绝对值型不等式 【典例1】请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程． 对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．     (1)求含绝对值的不等式的解集； (2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值． 【变式1】先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 【变式2】对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)当时，此方程的“关联值”是 ； (2)若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解； (3)当时，探究方程是否有最小“关联值”，若有，求出最小“关联值”，若没有，请说明理由． 【变式3】如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【变式4】小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是_____； (2)求绝对值不等式的解集； (3)已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围_____． 题型十 解特殊的不等式 【典例1】阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【变式1】我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得． 原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 【变式2】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式． 解：∵，∴可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①② 解不等式组①，得；解不等式组②，得， ∴的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为_______； (2)试解一元二次不等式； (3)试解不等式． 【变式3】小明在学习一元二次不等式的解法时发现，可以应用初中所学知识，“用因式分解法解一元二次方程”的方法求解．方法如下： 解不等式：． 解：∵， ∴原不等式可化为． ∵两数相乘，同号为正， ∴①或② 由①得，由②得， ∴原不等式的解集为或． 请用以上方法解下列不等式： (1)； (2) 题型十一 不等式（组）的应用 【典例1】首届数字中国建设峰会于月日至日在福州海峡国际会展中心如期举行，某校组织位师生去会展中心参观，决定租用，两种型号的旅游车．已知一辆型车可坐人，一辆型车可坐人． (1)若学校需要租用这两种型号的旅游车共辆．学校至少要租用型车多少辆？ (2)由于学校经费紧张，若租用型车一辆需要元，型车一辆需要元，请设计一个租车方案，满足要求且租金最少． 【变式1】某商厦进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用8万元购进这种T恤衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价提高了4元． (1)求第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？ (2)商厦销售该款式T恤衫时每件定价都是58元，当第二批T恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批T恤衫的销售利润不低于49600元，剩余的T恤衫每件售价至少多少元？ 【变式2】如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 【变式3】如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【变式4】沅陵一中有360张旧课桌需维修，经过甲、乙两个维修小组的竞标得知，甲组工作效率是乙组的1.5倍，且甲组单独维修完这批旧课桌比乙组单独维修完这批旧课桌少用5天；已知甲组每天需要付工资800元，乙组每天需要付工资400元； （1）求甲、乙两个小组每天各维修多少张旧棵桌？ （2）学校维修这批旧课桌预算资金不超过7200元，时间不超过12天，请你帮学校算一算有几种维修方案（天数不足1天的按1天算）；每种方案需要多少钱？ 【变式5】校运会期间，七年级1班准备给班上50名同学每人购买一杯奶茶，有“杨枝甘露”和“满野凤梨”两款果茶供大家选择．经调查：“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元． (1)该班同学发现，购买1杯“杨枝甘露”和购买1杯“满野凤梨”需要32元，购买3杯“杨枝甘露”和2杯“满野凤梨”共需要81元．求的值； (2)同学们在某团上看到该店正在做活动．具体方式如下： 活动1：买十送一，送的产品为购买产品中价格最低的一种； 活动2：全部商品打9折． 如果同学们决定购买“杨枝甘露”30杯，另外的买“满野凤梨”．请通过计算，他们选择哪种活动更合算． (3)该班决定选择（2）中的活动2购买果茶，预算总费用不少于725元又不多于730元，有哪几种购买方案？ 【变式6】一家批发兼零售的文具店规定：凡一次性购买铅笔支以上（包括支），可以按批发价付款；购买支以下（不包括支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买支，那么只能按零售价付款，需要元；如果多购买支，那么可以按批发价付款，需要元． (1)这个学校八年级的学生总数在什么范围？ (2)如果按批发价购买支与按零售价购买支所付款相同，那么这个八年级学生有多少人？ 【变式7】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）不等式的解为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共个，购买资金不超过元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球元，每个排球元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．小明有两道题未答，要使总分不低于70分，那么小明至少答对的题数是（   ） A．17道 B．16道 C．15道 D．14道 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）将已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若，且，则的取值范围是 ． 6．（21-22八年级上·浙江宁波·期中）解下列不等式（组）： (1) (2) 7．（24-25八年级上·浙江·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）八年级篮球赛中，三班分在一组，争一个出线名额，此前A班对B班；A班对C班，比赛规则规定：如果三队胜的场数相同，将按总得失分率（总得失分率=总得分/总失分）的大小决定名次，总得失分率最高者出线．（总失分指对手所得的分数和） (1)求出A班的总得失分率； (2)当比赛还剩8秒，C班持球进攻且以落后B班，此时A班已经在欢庆胜利了． 假定比赛结束，B班57分保持不变，C班最终得分为x． ①求出B班的总得失分率（用含x的代数式进行表示）； ②若最终A班出线，求x的取值范围． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）关于x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围是 ． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）（1）解关于x的不等式，并求出其最小整数解． （2）解关于x的不等式组： 5．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）阅读下列材料：定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程． (1)方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围． 6．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）【问题情境】 小明所在的班级准备开展知识竞赛，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 素材1：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元． 素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动： 甲商店：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）； 乙商店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售． 【解决问题】 (1)在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个，若小明在甲商店成为会员购买，共需要_______元；若在乙商店购买，共需要______元；（均用含m的代数式表示） (3)请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量m在什么范围内时，去甲商店更合算？ 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）某中学因运动会开幕式演出需要，向佳衣服装厂购买A，B两种不同款式的服装，已知该厂用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米． (1)求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂这100套服装能否实现盈利不低于2185元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 8．（24-25八年级上·浙江金华·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定箭头形指示牌 素材1 某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图．该指示牌是轴对称图形，由长方形和三角形组成，且点B，F，E，C四点共线，小聪测量了点A到的距离为米，米，米． 素材2 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元． 问题解决 任务1 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由． 任务2 确定箭头形指示牌 小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过200元，请你确定长度的最大值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算： ，给出下列结论：① ；②若 ，则；③ ；④若 ，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·江苏盐城·中考真题）解不等式组：． 4．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 5．（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 6．（2025·河北·中考真题）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 7．（2025·湖南·中考真题）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买，两种香料．已知种材料的单价比种材料的单价多3元，且购买4件种材料与购买6件种材料的费用相等． (1)求种材料和种材料的单价； (2)若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买种材料多少件？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 不等式（组）（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的概念 掌握不等式、解与解集的定义；学会识别一元一次不等式。 基础题，难度低，易忽略 “一元一次” 条件出错。 不等式的性质 掌握不等式 3 条基本性质；学会用性质 3 判断不等式变形正误。 高频考点，选择 / 填空为主，常考性质 3，易错点是忽略 c=0 的情况。 解不等式（组） 掌握解一元一次不等式的 5 步及要点；学会用口诀找不等式组公共解集。 必考考点，解答题为主，基础分核心，需步骤规范（如去分母不漏乘）。 在数轴上表示不等式解集 掌握数轴表示解集的规则；学会解集与数轴图形的双向转化。 高频基础题，常结合解不等式（组）考查，易错点是实心 / 空心点、折线方向。 不等式的整数解 掌握 “整数解” 含义； 学会找整数解、结合个数分析参数范围。 中档题，填空 / 解答题小问，易漏找负整数解失分。 由不等式的解集求参数 掌握解集与参数的关联；学会逆向推导参数值并检验边界。 难点，填空压轴 / 解答题小问，需逆向思维，易漏检验边界值。 由不等式的解集情况求参数 掌握不等式组有解 / 无解 / 唯一解的条件； 学会用数轴求参数范围。 难点，填空 / 解答题小问，常考无解 / 有解，易忽略 “等号是否成立”。 不等式组与方程的综合 掌握方程解与不等式的关联；学会先解方程再代入不等式求参数。 中档偏难题，解答题为主，拉分点，易因代入错误失分。 绝对值型不等式 掌握绝对值型不等式的解题方法 偏难题，解答题为主，容易因忽略部分情况导致错误失分 解特殊不等式组 掌握特殊不等式组（无解 / 唯一解型）的特征；学会判断其解集。 基础偏中档题，填空为主，易因口诀记错、数轴分析失误判断错解集。 一元一次不等式（组）的应用 掌握从实际问题提取不等关系的方法；学会列不等式（组）并取舍解集。 高频中档题，解答题为主，关键是找不等关键词，易忽略实际意义（如取整）失分。 知识点01 不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 知识点02 不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 知识点03 在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 知识点04 解一元一次不等式（组） 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 知识点05 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 题型一 不等式的概念 【典例1】（23-24八年级上·浙江湖州·期中）下列命题中，假命题的个数是（ ）   ①一元一次不等式的解集可以只含一个解②一元一次不等式组的解集可以只含一个解③一元一次不等式组的解集可以不含任何一个解④x=2是不等式x+3≥5的解集 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】不等式的解就是能使不等式成立的未知数的值，据此可以作出判断． 【详解】解： ①一元一次不等式的解集不可能只含一个解，所以一元一次不等式的解集可以只含一个解是假命题； ②的解集是x=2, 所以一元一次不等式组的解集可以只含一个解是真命题； ③如无解，所以解集不含任何一个解，是真命题. ④不等式 x+3⩾5 的解集是 x⩾2 ， x=2 是它的一个解，是假命题； 故假命题的个数是1； 故答案为C. 【点睛】解答此题的关键是要掌握不等式及不等式组解集的相关知识，不等式的解集不可能只含一个解，不等式组的解集可能只含有一个解，也可能含有很多解，也可能不含任何一个解. 【变式1】不是下列哪个不等式的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，使不等式成立的未知数的值就是不等式的解． 把代入不等式，使不等式成立就是不等式的解，反之，则不是不等式的解． 【详解】解：A．当时，∵，∴不是不等式的解，故本选项符合题意； B．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意； C．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意； D．当时，∵ ，∴是不等式的解，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式2】 （23-24八年级上·浙江温州·期中）根据数量关系“x的2倍与y的差大于3”，列不等式： ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式题，关键是理解“大于”用数学符号表示应为“>”．表示出x的2倍与 y的差，表示为，后用“> "与3连接即可． 【详解】解∶ “x的2倍与y的差大于3”可表示为． 故答案为∶ ． 【变式3】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了把文字语言转化为数学语言，理解好题意是解题关键． 根据x与5的差不小于x的3倍，可知x与5的差大于等于x的3倍，从而可以用相应的不等式表示出来. 【详解】解：“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为， 故答案为：. 【变式4】（22-23八年级上·浙江宁波·期中）将“a与b的和是负数”用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】a与b的和为负数即是小于0的数，据此列不等式． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 题型二 不等式的性质 【典例1】（19-20八年级上·浙江温州·期中）若成立，则下列不等式成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变，熟练掌握性质是解题的关键． 根据不等式的基本性质，各选项的变形过程进行判断即可． 【详解】A、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故A正确； B、不等式的两边先乘，再加2，得，故B错误； C、不等式的两边都乘以，不等号的方向改变，故C错误； D、不等式两边都减2，不等号的方向不变，故D错误． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列变形过程正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式的性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．由，则，故选项A错误，不符合题意； B．由，，则，故选项B错误，不符合题意； C．由，则，故选项C正确，符合题意； D．由，则，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如果，那么下列结论一定正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式的性质．用不等式的性质对根据已知得到的不等式进行变形，从而找到最后的答案． 【详解】解：A. ∵ ，∴，故该选项正确，符合题意；     B. ∵ ，∴，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵ ，∴，故该选项不正确，不符合题意；     D. ∵ ，且，∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【变式3】（24-25八年级上·浙江温州·期中）若，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键； 根据不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴不一定成立， 此选项不符合题意； B、∵， ∴， 此选项符合题意； C、∵， ∴， 此选项不符合题意； D、∵， ∴， 此选项不符合题意； 故选：B 题型三 解不等式（组） 【典例1】（21-22八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式： (1)． (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了不等式的解法，熟练掌握不等式的解法是解题关键． （1）依次去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解不等式； （2）依次去分母去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解不等式． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 原不等式的解集是； （2）解： 原不等式的解集是 【变式1】解不等式，并将解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确求出不等式的解集是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解： 解得， 把解集表示在数轴上如图： （2）解：， ， ， ， 解得， 将解集表示在数轴上如图： 【变式2】解下列不等式（组） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解不等式即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 【变式3】解不等式组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法． （1）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可． 【详解】（1）解不等式得： 解不等式得： ∴； （2）解不等式得： 解不等式得： ∴． 题型四 在数轴上表示不等式解集 解｜题｜技｜巧 1.边界值的表示： 不等号含 “=”（≥、≤）：边界值处画实心圆点（表示包含该点）； 不等号不含 “=”（>、<）：边界值处画空心圆圈（表示不包含该点）。 2.方向的表示： 不等号为 “>” 或 “≥”：解集在边界值的右侧（沿数轴正方向延伸）； 不等号为 “<” 或 “≤”：解集在边界值的左侧（沿数轴负方向延伸）。 【典例1】满足不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集是解题的关键．先分别解两个不等式，再求公共解，并讲解集在数轴上表示，即可判断答案． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， 所以不等式组的解集为． 在数轴上表示如下： 故选：D． 【变式1】（1） 解不等式：，把它的解集表示在数轴上． （2） 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），数轴见解析；（2），数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）按照解一元一次不等式的步骤求解，最后在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得，其解集在数轴上表示如图， ； （2）， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为． 其解集在数轴上表示如图． ． 【变式2】解不等式组，并把它的解集在下列数轴上表示出来． 【答案】，图见解析． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，先求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： 题型五 不等式的整数解 解｜题｜技｜巧 1.求出解集：先解不等式（或不等式组），得到完整的解集范围； 2.列出整数：在解集范围内，找出所有整数（注意边界值是否包含，需结合不等号是否含 “=”）； 3.验证：检查列出的整数是否都在解集中，避免漏解或多解。 【典例1】不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确求出不等式的解集是解题的关键．根据去括号、移项、合并同类项即可求得不等式的解集，然后确定正整数解即可． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 则正整数解有3，2，1，一共3个． 故选：C． 【变式1】不等式的自然数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的自然数解， 先求出一元一次不等式的解集，再确定自然数解. 【详解】解：， 解得， 所以自然数解有2,1,0，共有3个. 故选：C. 【变式2】不等式组的所有整数解的和为（    ） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而确定不等式组的整数解，再把整数解相加，即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为， ∴原不等式组的所有整数解的和为， 故选：A． 【变式3】已知关于x的不等式组 有且只有1个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小， 大小小大中间找，大大小小解不了．先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有一个整数解求出整数解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式， 得：， 解不等式， 得：， ∵不等式组有且只有1个整数解， ∴不等式组的整数解为1， ∴． 故选：B． 【变式4】不等式的最大整数解是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 求不等式的最大整数解，按照移项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最大整数解即可． 【详解】解： ， ∴不等式的最大整数解是， 故答案为：． 【变式5】求不等式组：的所有整数解． 【答案】2，3，4 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键； 先求出每个不等式的解集，进而得到不等式组的解集，再确定解集中的整数即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的所有整数解为：2，3，4． 题型六 由不等式的解集求参数 解｜题｜技｜巧 1.解含参数的不等式：将参数当作已知数，按解不等式的步骤，化为 “x> m” 或 “x < m” 的形式（m 含参数）； 2.对比已知解集：将化简后的解集与题目给出的解集对比，列等式（或不等式）求参数； 3.验证参数：求出参数后，代入原不等式，验证解集是否正确（避免因参数正负导致的错误）。 关｜键｜提｜醒 解含参数的不等式时，系数化为 1 前，必须判断参数的正负（或范围），否则无法确定不等号方向； 若化简后的解集形式与已知一致（如均为 x > m），则系数为正；若方向相反（如化简后 x <m，已知 x> n），则系数为负。 【典例1】若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式组的解集，由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集求得a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 因为关于x的不等式组的解集是， 所以，即， 故选：D． 【变式1】不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能求出不等式组的解集是解此题的关键．求出不等式的解集，根据已知不等式组的解集，推出即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组的解集是， ∴， 故答案为：． 【变式2】已知不等式组的解集为，则的值等于多少． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，代数式求值；解不等式得，由不等式组的解集为可得，从而知的值，代入即可． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式组的解集为， ， ， 则． 【变式3】已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 【答案】(1) (2) (3)5、6、7 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握计算方法是解此题的关键． （1）由加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用加减消元法得出，根据，得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）解：， 由得：， ∵方程组的解集满足， ∴， 解得：； （3）解：∵ ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为5或6或7． 题型七 由不等式的解的情况求参数 解｜题｜技｜巧 1.解每个含参数的不等式：分别化为 “x> a”“x < b” 的形式（a、b 含参数）； 2.根据解集情况列条件： ◦若不等式组无解：按 “大大小小找不到” 列条件（如 {x > m, x < 2} 无解，则 m ≥ 2）； ◦若不等式组有解：按 “大小小大中间找” 列条件（如 {x > 1, x < n} 有解，则 n > 1）； ◦若不等式组解集为某一范围：按 “同大取大”“同小取小” 列条件（如 {x > 3, x > k} 解集为 x > 3，则 k ≤ 3）； 3.验证边界值：参数取边界值时，需验证不等式组的解集是否符合要求（如 {x> m, x < 2}，m=2 时，解集为 {x > 2, x < 2}，无解，符合 “无解” 的条件）。 【典例1】如果不等式组的解集是无解，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查“求一元一次不等式组参数的取值范围”，熟练掌握“一元一次不等式组的解是各个不等式的解的公共部分”是解题的关键．先把不等式组进行化简，再根据条件，即可得到m的取值范围． 【详解】由，解①得，， ， 不等式组的解集是无解， ， 故选：D． 【变式1】关于y的一元一次不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有3个整数解可得答案． 【详解】解； 解不等式①得， 解不等式②得， ∵关于y的一元一次不等式组有3个整数解， ∴3个整数解为，0，1， ∴， 故选：B． 【变式2】若不等式组无解，则实数 的取值范围是 （  ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式组无解问题． 先分别解两个不等式，得到各自的解集，再根据不等式组无解的条件确定参数的取值范围． 【详解】解：解得； 解得； 即， ∵不等式组无解， ∴， 解得， 故选：D． 【变式3】如果关于的分式方程有正整数解，且关于的一元一次不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先求解分式方程，得出，再求解一元一次不等式组，结合题意可得，或，分别代入求解计算即可． 【详解】解：， 去分母：， 解得：，为正整数，且， 解不等式， 可得：， 解不等式：， 可得：， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴， 又∵，为正整数，且， ∴或， 若，则， 得， 若，则， 得， ∴所有满足条件的整数的和为：， 故选：D． 【变式4】关于的不等式组有解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数． 先分别解两个不等式，进而求出不等式组的解集，再根据不等式组有解判断即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有解， ∴， 故答案为：． 【变式5】关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解． 首先解出每个不等式的解集，然后根据不等式无解，即两个不等式的解集没有公共解，进行列式，即可求得答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组无解， ∴， 故答案为：． 题型八 不等式组与方程的综合 【典例1】已知方程组的解满足，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组和不等式组相结合的问题，把方程组中的两个方程相减可得，则可得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∵方程组的解满足， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式1】若关于x，y二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组的基本方法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 首先解方程组，利用表示出x、y的值，然后代入，即可得到一个关于的不等式，解不等式求得的取值范围． 【详解】解： ， 得：， 解得：， 得：， 解得：， ∵， ∴， 去分母得， 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得． ∴的取值范围是． 故答案为：． 【变式2】已知关于x，y的方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组与解一元一次不等式组，正确计算是关键；先利用加减法求出方程组的解，再根据解满足得到关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：， ①＋②得， 解得， ①－②得， 解得， 因为， 所以， 解得． 【变式3】已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，去绝对值等知识点，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质以及一元一次不等式组解集的求法． （1）解二元一次方程组求出x和y，根据x为非正数，y为负数，得到关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围； （2）根据m的取值范围去绝对值即可； （3）由可得，根据解为，利用不等式的基本性质可得，结合（1）中结论可得，进而可得． 【详解】（1）解：解关于的方程组， 得， ∵为非正数，为负数， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∴ ； （3）∵不等式即的解集为， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵为整数， ∴当时该不等式的解集为． 题型九 绝对值型不等式 【典例1】请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程． 对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．     (1)求含绝对值的不等式的解集； (2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，绝对值的几何意义，解二元一次方程组，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式的能力． （1）依据题意，由绝对值的几何意义即可得出答案； （2）依据题意，由知，据此得出，再结合可得出关于、的方程组，解之即可求出、的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：对于含绝对值的不等式， 从如图的数轴上看：小于或大于2的数的绝对值大于2， 所以的解集为或． 根据绝对值的定义得：或； （2）解：由题意， ， ， ， 解集为， ， ． 【变式1】先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、解不等式等知识点，从材料中得到解题方法是解题的关键． （1）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （2）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：， ∴或， ∴或． （3）解：在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值． ∵在数轴上1和对应的点的距离为3， ∴满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为． 故答案为． 【变式2】对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)当时，此方程的“关联值”是 ； (2)若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解； (3)当时，探究方程是否有最小“关联值”，若有，求出最小“关联值”，若没有，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)，； (3)2 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次不等式，理解新概念，利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）当时，代入，求解，根据“关联值”的概念即可得解； （2）根据“关联值”的概念，分类讨论当，的4种情况即可得解； （3）将代入方程可得，求得， ．分，分类讨论，然后再确定是否有最小值即可． 【详解】（1）当时，， 解得， ， ， 此时方程的“关联值”为2； 故答案为∶ 2； （2）根据“关联值”为4，可分以下四种情况∶ ①当时，即， 解得， ，符合题意， 方程的解为； ②当时，即， 解得， ，符合题意， 方程的解为； ③当时，即， 解得， ， 不满足，“关联值” 实际应取，不符合 “关联值为” ，舍去． ④当时，即， 解得， ， 不满足，“关联值” 实际应取，不符合 “关联值为” ，舍去．  综上所述，所有满足条件的方程的解有，； （3）∵方程 的解为， 将其代入方程可得， 变形为 ．   根据“关联值”定义，分两种情况讨论：   情况一：当时，“关联值”为 ．   把代入，即 ．   ∵， ∴， 不等式可简化为 ．   解这个不等式得： ； 此时“关联值”为 ∵，为非负数，且的最小值为（ 当时， ，满足 ， ∴“关联值”为．   情况二：当时 “关联值”为 ．   把代入，即 ．   因为，， 不等式变为 ．   解这个不等式得： 这与矛盾， 所以这种情况不存在． 当时，方程的最小“关联值”为2． 【变式3】如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或； (2)； (3)或． 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，绝对值以及不等式的定义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法，理解绝对值、不等式的定义是正确解答的关键． （1）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （2）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （3）根据所表示的意义，用数轴表示，进而得出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）解：不等式的解集为， 解得； （3）解：所表示的意义为：数轴上表示数x的点，到表示数2，的点的距离之和大于7， 由数轴可知， 所以不等式的解集为或． 【变式4】小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是_____； (2)求绝对值不等式的解集； (3)已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围_____． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解含绝对值的不等式，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出时的x的值，再仿照题意可得答案； （2）当时，则或，分界点把数轴分为三部分： 数左边的数与数的差的绝对值大于；数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3；数2右边的数与的差的绝对值大于3，据此可得答案； （3）把方程组中的两个方程相加可得，则，同（2）分析可得答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴根据题意可得的解集是或； （2）解：当时，则或， 解得或， ， 分界点把数轴分为三部分： 数左边的数与数的差的绝对值大于； 数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3； 数2右边的数与的差的绝对值大于3， ∴的解集为或； （3）解：， ∴方程组中的两个方程相加可得， ∵， ∴， 当时，则或，解得或， ， 分界点把数轴分为三部分： 数左边的数与数的差的绝对值大于； 数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3； 数2右边的数与的差的绝对值大于3， ∴的解集为． 题型十 解特殊的不等式 【典例1】阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号． （1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集． （2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大小小大取中间，即可求出原不等式的解集． 【详解】（1）解：①当，则， ，解不等式组得． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：或． （2）解：①当，则， ， 不等式组无解． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：． 【变式1】我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得． 原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 【答案】(1) (2)可取的整数值为，． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及二元一次方程组的解法，熟练掌握求不等式组的解集及二元一次方程组的解的方法是解题关键． （1）根据阅读材料可得：当和异号时不等式成立，据此即可转化为不等式问题求解即可； （2）根据题意求出方程组的解，然后代入不等式组求解即可． 【详解】（1）解：根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为：或． 解不等式组，不等式组无解； 解不等式组 ，解得． 所以原不等式组的解集为：； （2）解： 得：，解得， 将代入①得，， ∴方程组的解为， ∵， ∴， 解不等式组得：， ∴可取的整数值为，． 【变式2】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式． 解：∵，∴可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①② 解不等式组①，得；解不等式组②，得， ∴的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为_______； (2)试解一元二次不等式； (3)试解不等式． 【答案】(1)或 (2)一元二次不等式的解集为0＜x＜5 (3)的解集为1＜x＜4 【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解； （2）利用提公因式法对不等式的左边进行因式分解，再求解可得； （3）需要分类讨论：①     ②据此求解可得． 【详解】（1）解：由原不等式得：（x+3）（x-3）＞0 ∴ 或 解得：x＞3或x＜-3． 故答案为：或 ； （2）∵， ∴可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，异号得负，得 ①     ② 解不等式组①，得0＜x＜5； 解不等式组②，无解， ∴的解集为0＜x＜5， 即一元二次不等式的解集为：0＜x＜5． （3）由有理数的除法法则：两数相除，异号得负，得 ①     ② 解不等式组①，得1＜x＜4； 解不等式组②，无解， ∴的解集为1＜x＜4． 【点睛】本题考查不等式组的解法，一元一次不等式组的应用．利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相乘（除），同号得正，异号得负的符号法则． 【变式3】小明在学习一元二次不等式的解法时发现，可以应用初中所学知识，“用因式分解法解一元二次方程”的方法求解．方法如下： 解不等式：． 解：∵， ∴原不等式可化为． ∵两数相乘，同号为正， ∴①或② 由①得，由②得， ∴原不等式的解集为或． 请用以上方法解下列不等式： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意可得两个不等式组: 或，解不等式即可求解； （2）利用“两数相除，同号得正，异号得负”结合题干的方法分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵，        ∴． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 ①或② ∴解不等式组①，得 解不等式组②，得， 故原不等式的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． （2）解：由题得不等式， 根据“两数相除，同号得正，异号得负” 得①，或②， ∴解不等式组①得，， 不等式组②无解， ∴原不等式的解集为． 【点睛】此题考查一元一次不等式组的应用，分式不等式以及整式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型. 题型十一 不等式（组）的应用 【典例1】首届数字中国建设峰会于月日至日在福州海峡国际会展中心如期举行，某校组织位师生去会展中心参观，决定租用，两种型号的旅游车．已知一辆型车可坐人，一辆型车可坐人． (1)若学校需要租用这两种型号的旅游车共辆．学校至少要租用型车多少辆？ (2)由于学校经费紧张，若租用型车一辆需要元，型车一辆需要元，请设计一个租车方案，满足要求且租金最少． 【答案】(1)辆； (2)型车辆，型车辆． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、方案选择． （1）设租用型车辆，则租用型车辆，因为辆车需要乘坐人，可列不等式，解不等式可以求出学校至少租用了辆型车； （2）根据学校租用的车辆中的座位不得少于个，设需要租车辆，车辆，可列不等式，分类讨论找到最佳租车方案． 【详解】（1）解：设租用型车辆，则租用型车辆， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 的最小值是， 答：学校至少租用了辆型车； （2）解：设需要租车辆，车辆， 根据题意可得：， 方案一、全部租用车，则有， 解得：， 需要租用辆车，需要费用(元)； 方案二、租用车辆，则有， 解得：， 需要租用辆车，辆车， 需要费用(元)； 方案三、租用辆车，则有， 解得：， 需要租用辆车，辆车， 需要费用(元)； 方案四、租用辆车，则有， 解得：， 需要租用辆车，辆车， 共需租金 （元）； 方案五、租用辆车，则有， 解得：， 需要租用辆车，辆车， 共需租金 （元）； 方案六、租用辆车，则有， 解得：， 需要租用辆车，辆车， 共需租金(元)； 方案七、全部租用车，则有， 解得：， 需要租用辆车， 共需要租金(元)， 可知方案四中，租用辆车，辆车，所需要的费用最少， 应租用辆车，辆车． 【变式1】某商厦进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用8万元购进这种T恤衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价提高了4元． (1)求第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？ (2)商厦销售该款式T恤衫时每件定价都是58元，当第二批T恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批T恤衫的销售利润不低于49600元，剩余的T恤衫每件售价至少多少元？ 【答案】(1)第一批T恤衫每件进价是40元 (2)第二批剩余的T恤衫每件售价至少50元 【分析】本题主要考查分式方程的应用，不等式的实际应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设第一批T恤衫每件进价是元，根据“第二批这种T恤衫所购数量是第一批购进量的2倍，但单价提高了4元”，列出方程，可求得第一批T恤衫每件进价； （2）设第二批剩余的T恤衫每件售价元，根据“要使第二批T恤衫的销售利润不低于49600元”可列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设第一批T恤衫每件进价是元， 根据题意，得：， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 答：第一批T恤衫每件进价是40元； （2）解：由（1）知，第一批购进（件），第二批购进4000件， 设第二批剩余的T恤衫每件售价元， 根据题意，得， 解得， 答：第二批剩余的T恤衫每件售价至少50元． 【变式2】如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)的取值范围为或或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，合理分类讨论是解题的关键． （1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）求出，分点在上运动和点在上运动两种情况，分别列式即可； （3）分点在上，点在上，点在上，三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式即可； （4）分，，三种情况讨论，分别根据列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵，以的速度沿运动， ∴点运动到点的时间为， 故答案为：； （2）解：∵，为的中点， ∴， ∴点运动到点的时间为， 点运动到点的时间为， ∴当点在上运动时，， 当点在上运动时，， 综上，； （3）解：当点在上时，即， 根据题意，得； 当点在上时，即， 根据题意，得， 当点在上时，即， 根据题意，得， ∴； （4）解：当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 综上，的取值范围为或或． 【变式3】如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 【变式4】沅陵一中有360张旧课桌需维修，经过甲、乙两个维修小组的竞标得知，甲组工作效率是乙组的1.5倍，且甲组单独维修完这批旧课桌比乙组单独维修完这批旧课桌少用5天；已知甲组每天需要付工资800元，乙组每天需要付工资400元； （1）求甲、乙两个小组每天各维修多少张旧棵桌？ （2）学校维修这批旧课桌预算资金不超过7200元，时间不超过12天，请你帮学校算一算有几种维修方案（天数不足1天的按1天算）；每种方案需要多少钱？ 【答案】（1）甲每天维修张36旧课桌，乙每天维修24张旧课桌；（2）甲负责216张旧课桌，乙负责144张旧课桌，需要费用为7200元 【分析】（1）设乙小组每天各维修x张旧课桌，根据题意列出方程即可求出答案； （2）分别计算甲乙单独完成该项工作的天数，设甲负责m张旧课桌，则乙负责（360﹣m）张旧课桌，根据题意可列出关于m的一元一次不等式组，得出m的值即可得出答案． 【详解】（1）设乙小组每天维修x张旧课桌， ∴甲小组每天维修1.5x张旧课桌， 根据题意可知： ， 解得：x＝24， 经检验，x＝24是原分式方程的解， 答：甲每天维修张36旧课桌，乙每天维修24张旧课桌； （2）由甲单独负责，此时完成工作需要＝10天，需要费用为10×800＝8000元， 由乙单独负责，此时完成工作需要＝15天，需要费用为15×400＝6000元， 故由甲或乙单独负责该项目都不符合题意，需要考虑甲乙合作完成， 设甲负责m张旧课桌，则乙负责（360﹣m）张旧课桌， ∴， 解得：m＝216， 此时学校需要付费为：800×+400×＝7200元 答：由甲负责216张旧课桌，乙负责144张旧课桌，需要费用为7200元． 【点睛】本题考查分式方程及一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确找出等量关系列出方程． 【变式5】校运会期间，七年级1班准备给班上50名同学每人购买一杯奶茶，有“杨枝甘露”和“满野凤梨”两款果茶供大家选择．经调查：“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元． (1)该班同学发现，购买1杯“杨枝甘露”和购买1杯“满野凤梨”需要32元，购买3杯“杨枝甘露”和2杯“满野凤梨”共需要81元．求的值； (2)同学们在某团上看到该店正在做活动．具体方式如下： 活动1：买十送一，送的产品为购买产品中价格最低的一种； 活动2：全部商品打9折． 如果同学们决定购买“杨枝甘露”30杯，另外的买“满野凤梨”．请通过计算，他们选择哪种活动更合算． (3)该班决定选择（2）中的活动2购买果茶，预算总费用不少于725元又不多于730元，有哪几种购买方案？ 【答案】(1)， (2)他们选择活动2更合算，理由见解析 (3)共有3种方案：①购买“杨枝甘露”28杯，购买“满野凤梨”22杯；②购买“杨枝甘露”29杯，购买“满野凤梨”21杯；③购买“杨枝甘露”30杯，购买“满野凤梨”20杯． 【分析】此题考查了二元一次方程组，有理数的混合运算的实际应用和一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是找准等量关系和不等关系列出二元一次方程组和一元一次不等式组． （1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）分别按照活动1和活动2的方式计算，然后比较求解即可； （3）设购买“杨枝甘露”a杯，则购买“满野凤梨”杯，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元， 根据题意得， 解得； （2）解：活动1：（元）， 活动2：（元）， ∵， ∴他们选择活动2更合算； （3）解：设购买“杨枝甘露”a杯，则购买“满野凤梨”杯， 根据题意得， 解得 ∵a是正整数 ∴或29或30 ∴或21或20 ∴共有3种方案：①购买“杨枝甘露”28杯，购买“满野凤梨”22杯；②购买“杨枝甘露”29杯，购买“满野凤梨”21杯；③购买“杨枝甘露”30杯，购买“满野凤梨”20杯． 【变式6】一家批发兼零售的文具店规定：凡一次性购买铅笔支以上（包括支），可以按批发价付款；购买支以下（不包括支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买支，那么只能按零售价付款，需要元；如果多购买支，那么可以按批发价付款，需要元． (1)这个学校八年级的学生总数在什么范围？ (2)如果按批发价购买支与按零售价购买支所付款相同，那么这个八年级学生有多少人？ 【答案】(1)这个学校八年级的学生总数不少于人且少于人； (2)这个八年级学生有人． 【分析】本题考查了不等式组的应用，分式方程的应用，读懂题意，列出不等式组，分式方程是解题的关键． （）设这个学校八年级有人，根据题意得，然后解不等式组即可； （）设铅笔的零售价为元支，则批发价为元支，根据题意得，然后解分式方程并检验即可． 【详解】（1）解：设这个学校八年级有人， 根据题意得：， 解得：， 答：这个学校八年级的学生总数不少于人且少于人； （2）解：设铅笔的零售价为元支，则批发价为元支， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴（人）， 答：这个八年级学生有人． 【变式7】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）不等式的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键． 去分母，移项，合并同类项，系数化1即可． 【详解】解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得， 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共个，购买资金不超过元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球元，每个排球元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一元一次不等式组的实际应用，解题关键是理解不超过为小于等于，不少于为大于等于． 设购买篮球个，则购买排球个，再结合题意列出不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买排球个， 由购买资金不超过元，可得， 由购买篮球的数量不少于排球数量的一半，可得， 则可列不等式组为． 故选：． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．小明有两道题未答，要使总分不低于70分，那么小明至少答对的题数是（   ） A．17道 B．16道 C．15道 D．14道 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设小明答对的题数是x道，根据“总分不低于70分”列出不等式，解不等式求得x的取值范围，根据x为整数，结合题意即可求解. 【详解】解：设小明答对的题数是x道， ， ， ∵x为整数， ∴x的最小整数为16， 故选：B． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）将已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质解一元一次不等式的方法是解题的关键． 不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 故选：B． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是关键． 利用不等式性质得到，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为： ， 6．（21-22八年级上·浙江宁波·期中）解下列不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项、合并同类项，系数化1，即可作答． （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可作答． 【详解】（1）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1，得． （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 7．（24-25八年级上·浙江·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】 本题考查的是解二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）解方程组得出，由x为非正数，y为负数知，解之即可； （2）根据m的取值范围判断出，，再去绝对值符号、合并同类项即可； （3）由不等式的解为，知；据此可得，结合以上所求m的范围知，继而可得整数m的值． 【详解】 解：（1）解方程组得：， ∵x为非正数，y为负数， ∴， 解得：； （2）∵， ∴，， 则原式． （3）由不等式的解为，知； 所以， 又因为， 所以， 因为m为整数， 所以． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）八年级篮球赛中，三班分在一组，争一个出线名额，此前A班对B班；A班对C班，比赛规则规定：如果三队胜的场数相同，将按总得失分率（总得失分率=总得分/总失分）的大小决定名次，总得失分率最高者出线．（总失分指对手所得的分数和） (1)求出A班的总得失分率； (2)当比赛还剩8秒，C班持球进攻且以落后B班，此时A班已经在欢庆胜利了． 假定比赛结束，B班57分保持不变，C班最终得分为x． ①求出B班的总得失分率（用含x的代数式进行表示）； ②若最终A班出线，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②，且x为整数 【分析】本题主要考查了列代数式、一元一次不等式的实际应用，熟练掌握相关知识和理解题意是解题的关键． （1）直接根据总得失分率公式代入计算即可； （2）①直接根据总得失分率公式代入计算即可； ②先算出C班总得失分率，由题很容易比较出A班总得失分率大于B班总得失分率，所以保证A班总得失分率大于C班总得失分率，从而建立关于x的不等式求解即可． 【详解】（1）解： A班总得失分率； （2）解：①B班总得失分率； ②C班总得失分率， 由题易知， ∴， ∴A班总得失分率大于B班总得失分率， ∵A班出线， ∴A班总得失分率大于C班总得失分率， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∵x为整数， ∴，且x为整数． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先求出不等式组的解集为，再根据恰好有3个整数解可得，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组有解， ∴， 又∵关于的不等式组恰好有3个整数解， ∴这个不等式组的3个整数解为， ∴， 解得， 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤． 先求解不等式，结合原不等式组的解集是，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：解不等式， 可得：， ∵原不等式组的解集是， ∴， 解得：， 故答案为：C． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）关于x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解不等式组，可先用表示出不等式组的解集，再根据恰有三个整数解可得到关于的不等式组，可求得的取值范围．求得不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①可得， 解不等式②可得， 由题意可知原不等式组有解， 原不等式组的解集为， 该不等式组恰好有三个整数解， 整数解为1，2，3， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）（1）解关于x的不等式，并求出其最小整数解． （2）解关于x的不等式组： 【答案】（1），最小整数解为3；（2） 【分析】本题主要考查解不等式及解不等式组； （1）先去分母，移项，系数化为1即可求出不等式的解集，再取其最小整数解即可； （2）分别根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1解出每个不等式的解集，再取公共部分即可． 【详解】解：（1） ， ∴最小整数解为3； （2） 整理①得， 解得， 整理②得， 解得：； ∴． 5．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）阅读下列材料：定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程． (1)方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了新定义“相伴方程”，正确理解新定义“相伴方程”，熟练掌握解一元一次方程和一元一次不等式组的方法是解题关键． （1）分别求解方程和不等式组，然后根据“相伴方程”的定义，即可获得答案； （2）分别求解不等式组和方程，结合“相伴方程”的定义可得关于的不等式组，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：方程是不等式组的相伴方程，理由如下： 解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵， ∴方程是不等式组的相伴方程； （2）解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵关于的方程是不等式组的相伴方程， ∴，解得． 6．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）【问题情境】 小明所在的班级准备开展知识竞赛，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 素材1：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元． 素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动： 甲商店：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）； 乙商店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售． 【解决问题】 (1)在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个，若小明在甲商店成为会员购买，共需要_______元；若在乙商店购买，共需要______元；（均用含m的代数式表示） (3)请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量m在什么范围内时，去甲商店更合算？ 【答案】(1)A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元 (2)， (3)购买A款运动盲盒的数量在范围内时，去甲商店更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，根据买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元，列出二元一次方程组，即可解答； （2）根据题意，列出代数式并化简，即可解答； （3）购买A款运动盲盒去甲商店更合算，即甲店的费用比乙店少，列出一元一次不等式，即可解答． 【详解】（1）解：设在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元． （2）解：小明在甲商店成为会员购买，所需费用为 （元）； 若在乙商店购买，所需费用为（元）； 故答案为：；． （3）解：当， 解得， ， ∴； 答：购买A款运动盲盒的数量m在范围内时，去甲商店更合算． 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）某中学因运动会开幕式演出需要，向佳衣服装厂购买A，B两种不同款式的服装，已知该厂用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米． (1)求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂这100套服装能否实现盈利不低于2185元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 【答案】(1)每套A款服装需用布料1.8米，每套B款服装需用布料1.6米 (2)该服装厂最少需要生产60套B款装 (3)能；有四种方案：A款服装生产40套，B款服装生产60套；A款服装生产39套，B款服装生产61套；A款服装生产38套，B款服装生产62套；A款服装生产37套，B款服装生产6套 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式以及方程组是解题的关键． （1）每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设服装厂需要生产套款服装，则生产套款服装，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装．根据该厂这100套服装能否实现盈利不低于2185元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米． 根据题意，得， 解得 答：每套A款服装需用布料1.8米，每套B款服装需用布料1.6米． （2）解：设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装． 根据题意，得 解得． 答：该服装厂最少需要生产60套B款装． （3）解：依据题意可列不等式：， 解得：， ∵， ∴， ∵m取正整数，∴，61，62，63， 相应方案有四种： A款服装生产40套，B款服装生产60套； A款服装生产39套，B款服装生产61套； A款服装生产38套，B款服装生产62套； A款服装生产37套，B款服装生产63套． 8．（24-25八年级上·浙江金华·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定箭头形指示牌 素材1 某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图．该指示牌是轴对称图形，由长方形和三角形组成，且点B，F，E，C四点共线，小聪测量了点A到的距离为米，米，米． 素材2 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元． 问题解决 任务1 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由． 任务2 确定箭头形指示牌 小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过200元，请你确定长度的最大值． 【答案】任务1：他的说法对，理由见解析；任务2：CE长度的最大值为米． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、不等式的实际应用，理解题意，灵活运用全等三角形的性质与判定，学会利用不等式解决实际问题是解题的关键． 任务1：过点B作于点G，利用全等三角形判定方法推出，即可得出结论； 任务2：设米，分别表示出长方形和三角形的面积，根据题意列出不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】解：任务1：他的说法对，理由如下： 如图，过点B作于点G， 则， 四边形是长方形， ， ， 在与中， ， ， ， 最高点B到地面的距离就是线段长； 任务2：该指示牌是轴对称图形，四边形是长方形， ，米， 设米，则米， 长方形的面积（平方米）， 的面积（平方米）， 当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时， 由题意得：， 解得：， 故长度的最大值为米． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 故选：D． 2．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算： ，给出下列结论：① ；②若 ，则；③ ；④若 ，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴ ，故①正确， ②∵ ， 当时，， 当时，，即，故②不正确； ③ 不成立，例如，则，故③不正确； ④当即时， 则：， 解得：， ∴； 当，即时， 则：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④正确， 故正确的有①和④，共2个， 故选：B． 3．（2025·江苏盐城·中考真题）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 4．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【答案】(1)型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元 (2)方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键： （1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以，． 所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元． （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数 ∴的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 5．（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【答案】(1)种文创产品每件的进价为元 (2)小张最多可以购进50件种文创产品 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：， 答：种文创产品每件的进价为元； （2）设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：小张最多可以购进50件种文创产品． 6．（2025·河北·中考真题）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． （1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 不等式两边同时除以2得， 数轴表示如下所示： （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （3） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 7．（2025·湖南·中考真题）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买，两种香料．已知种材料的单价比种材料的单价多3元，且购买4件种材料与购买6件种材料的费用相等． (1)求种材料和种材料的单价； (2)若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买种材料多少件？ 【答案】(1)A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； (2)最多能购买种材料20件． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． （1）设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元， 依题意， 解得， 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； （2）解：设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件， 依题意得：． 解得． ∴m的最大值为20． 答：最多能购买种材料20件． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $