专题02 特殊三角形（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材浙教版

专题02 特殊三角形 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 轴对称图形 考点二 等腰三角形 考点三 直角三角形 考点四 勾股定理及逆定理 05 重难题型突破 题型一 轴对称图形识别 题型二 折叠问题 题型三 轴对称图形绘图 题型四 等腰三角形的边和角 题型五 三线合一 题型六 等边对等角 题型七 等边三角形的性质 题型八 等腰三角形的判定 题型九 等腰三角形性质与判定 题型十 等边三角形的判定 题型十一 等边三角形的性质与判定 题型十二 逆命题逆定理 题型十三 直角三角形的性质 题型十四 直角三角形的判定 题型十五 勾股定理解三角形 题型十六 勾股数问题 题型十七 弦图背景的计算题 题型十八 勾股定理的应用 题型十九 勾股定理逆定理及应用 题型二十 直角三角形全等的判定 题型二十一 利用轴对称解决最短路径问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点与题型 本章在第 1 章基础上研究等腰三角形与直角三角形两类特殊图形。常考：图形的轴对称与对称轴；等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边）；等边三角形的性质与判定；逆命题与逆定理；直角三角形的性质（两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半、 角所对的直角边等于斜边的一半）；勾股定理 及其逆定理；直角三角形全等的判定 。题型以解答与证明为主，等腰三角形的“分类讨论”（已知一边或一角求周长、角度，需分腰与底两种情况）是期中经典中档题，勾股定理常结合折叠、展开图与最短路径命题，约占 35%—42%。 难易度 难度系数约 0.62—0.68，是三章中最难的一章，也是期中压轴题的主要来源：等腰三角形分类讨论与多解问题、勾股定理与折叠或展开结合、等腰与全等融合的探究题。典型失分点是分类讨论漏解或解出后不检验是否满足三边关系、三角形内角和，以及勾股定理中用错斜边。 识记 ① 能说出轴对称图形与两个图形成轴对称的区别，会找出等腰三角形、等边三角形、线段、角等常见图形的对称轴。 ② 能说出等腰三角形的性质：两底角相等（等边对等角）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）；以及判定定理：等角对等边。 ③ 能说出直角三角形的性质：两锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半； 角所对的直角边等于斜边的一半。 ④ 能说出勾股定理 及其逆定理的内容与适用条件，记住直角三角形全等的判定方法 。 ⑤ 能说出原命题、逆命题与逆定理的关系，知道“原命题为真，逆命题不一定为真”。 理解 ① 理解等腰三角形中边与角的对应关系，理解为什么已知一边长或已知一个角求周长、角度时必须分类讨论（腰与底不确定）。 ② 理解勾股定理的验证思路（面积法）与逆定理的用途（由边长关系判定直角三角形）。 ③ 理解“三线合一”与全等、轴对称的联系，能说明它为什么能同时提供角相等、线段相等与垂直三种结论。 ④ 理解折叠问题中的不变量：折叠前后的两个图形全等，对应边、对应角相等，可据此构造直角三角形用勾股定理求解。 应用 ① 能运用等腰三角形的性质与判定进行角度、线段的计算与证明，完整处理分类讨论并检验（是否满足三边关系与内角和）。 ② 能运用勾股定理求边长、解决最短路径（立体图形展开）与实际应用问题，能用逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。 ③ 能选用 完成直角三角形全等的判定与证明。 ④ 能综合处理“等腰＋全等”“等腰＋勾股”“折叠＋勾股”等中档综合题。 考点一 轴对称图形 轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 轴对称的性质 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 考点二 等腰三角形 等腰三角形的概念 1.定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧， 两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形. 等腰三角形的性质 1.性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 2.等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 等腰三角形的判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 等边三角形的概念 （1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2）性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3）判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4）推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 考点三 直角三角形 直角三角形的概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”. 要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质. 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. ⚠️概念辨析 直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形. 含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半. 直角三角形的判定 两个角互余的三角形是直角三角形. 在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 考点四 勾股定理及逆定理 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 2.注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理与其逆定理的区别与联系： ⚠️概念辨析 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。 联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。 题型一 轴对称图形识别 【例1】（26-27八年级上·全国·单元复习）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、不是轴对称图形． 💡破题要诀 ① 定义操作：把图形沿一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，就是轴对称图形。 ② 正 边形有 条对称轴；圆有无数条对称轴（每条过圆心的直线都是）。 ③ 等腰三角形有 1 条对称轴，等边三角形有 3 条，长方形有 2 条，正方形有 4 条。 ④ 平行四边形不是轴对称图形（它是中心对称图形）——这是高频陷阱。 ⑤ 找对称轴时，先连接一组对应点，再作这条连线的垂直平分线，即为对称轴。 迁移应用 【变式1-1】（26-27八年级上·全国·单元复习）下列图案中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、该图案不是轴对称图形，不符合题意； B、该图案不是轴对称图形，不符合题意 C、该图案是轴对称图形，符合题意； D、该图案不是轴对称图形，不符合题意． 【变式1-2】（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、B、 C找不到对称轴，不是轴对称图形； D沿竖直直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形． 【变式1-3】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 题型二 折叠问题 【例2】（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，已知长方形纸片，点、、分别为线段、、上的一点，将纸片沿着、折叠，使得点落在点处，点落在点处，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠知，，由题意得，即可求解． 【详解】解：由折叠知，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ 解得：． 💡破题要诀 ① 本质认识：折叠就是轴对称变换，折痕是对称轴，折叠前后的两个图形全等。 ② 由全等直接得到：重合的线段相等、重合的角相等——这是全题的突破口。 ③ 把「折叠后某点落在某处」翻译成：对应线段相等（或对应角相等），据此设未知数。 ④ 求长度时构造直角三角形：常以折痕为对称轴，用勾股定理列方程。 ⑤ 折痕必定垂直平分对应点的连线，需要时可连出这条线段。 迁移应用 【变式2-1】（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，中，，点D、E分别在、上，将沿折叠得到，点A对应点F，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠确定，，利用邻补角的关系求出，进而求出，的度数，再根据三角形外角的定义求出，又利用邻补角的关系求出，即得，问题随之得解． 【详解】解：由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-2】（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）把正方形一角折起如图，已知，那么___________． 【答案】30 【分析】根据折叠的性质，折叠前后的对应角相等，正方形的一个角为 ，观察图形可知， 与两个 组成了正方形的直角，根据 求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，折叠前后的对应角相等，即， ∵四边形为正方形， ∴ ， ， ， ， ． 【变式2-3】（25-26七年级上·广东湛江·期末）点，分别是长方形纸片边，上的点，沿，翻折，点落在点处，点落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数； (3)如图3，当点，落在的内部且点在外部时，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由折叠的性质得到，，根据，，即可求解； （2）由折叠的性质得到，，根据，，，即可求解； （3）由折叠的性质得到，，由，可得，根据，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠的性质，得到，， ， ； （2）解：由折叠的性质，得到，， ，， ，， ； （3）解： ，     ， 由折叠的性质，得到，， ， 的度数为． 题型三 轴对称图形绘图 【例3】（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在网格图中作出关于直线l对称的． 【答案】如图，即为所求， 【分析】根据轴对称的性质作图即可． 【详解】略． 💡破题要诀 ① 先找关键点：多边形的各个顶点、线段的端点。 ② 逐个作对称点：过关键点作对称轴的垂线并延长，在另一侧取等距离得到对称点。 ③ 对称轴上的点不动（它的对称点就是它本身）。 ④ 按原来的连接顺序依次连接各个对称点，不要打乱顺序。 ⑤ 画完用「对折能否重合」自我检验一遍。 迁移应用 【变式3-1】（25-26七年级下·四川成都·期末）在正方形网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． (1)作出的边上的高； (2)作出关于直线m对称的． 【答案】(1)解：如图所示即为所作， (2)解：如图所示即为所作， 【分析】（1）根据三角形的高的概念过点A作垂直于线段，垂足为D即可； （2）根据轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）略； （2）略． 【变式3-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，以直线为对称轴画出图形的另一半． 【答案】 解：如下图即为所求， 【分析】分别作出特殊点关于直线的对称点，顺次连接对应点得到的图形即为所求． 【详解】略 题型四 等腰三角形的边和角 【例4】（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）若等腰三角形的一边长为，另一边长为，则周长为（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】题目未明确等腰三角形的腰与底，需分类讨论腰长，结合三角形三边关系排除不能构成三角形的情况后计算周长即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： 当腰长为时，等腰三角形的三边长为，，，三边长能构成三角形， ∴周长为； 当腰长为时，等腰三角形的三边长为，，， ∵， 此情况的三边长不能构成三角形，舍去． 💡破题要诀 ① 先分清四个概念：腰、底边、顶角、底角，并在图上标出来。 ② 已知一边时必须分类：这条边可能是腰，也可能是底边。 ③ 已知一角时也要分类：这个角可能是顶角，也可能是底角。 ④ 分类后用两个检验器筛解：内角和为 180°（角的问题）、三边关系（边的问题）。 ⑤ 关键提醒：若已知的角是钝角或直角，它只能是顶角，因为底角必须小于 90° 迁移应用 【变式4-1】（25-26八年级上·广东汕头·期中）在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级上·广东汕头·期中）等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分的角是顶角或底角两种情况分别求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若的角是顶角，则顶角为； ②若的角是底角，则顶角为； 综上所述，它的顶角的度数为或． 【变式4-3】（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）某等腰三角形的腰长为4，底边长为3，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】 11 【分析】已知等腰三角形的腰长和底边长，根据等腰三角形两腰相等得到三边长，相加即可得到周长. 【详解】解：∵等腰三角形腰长为4，底边长为3， ∴等腰三角形的三边长分别为4，4，3， ∴该等腰三角形的周长为. 【变式4-4】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，若，则的度数是______． 【答案】/25度 【分析】利用“等边对等角”和三角形外角的性质可以得到，，从而解得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即． 题型五 三线合一 【例5】（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为，连接．已测得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形等边对等角求出顶角度数，结合三线合一性质计算即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，为的中点， 平分， ． 💡破题要诀 ① 内容：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。 ② 正向用法：见「等腰 + 底边中点」⟹ 得垂直 + 平分顶角；见「等腰 + 高」⟹ 得中线 + 平分顶角。 ③ 书写时必须说清楚：哪条线既是……又是……，不能只说「由三线合一得」。 ④ 范围限制：只针对底边而言，腰上的高、中线、角平分线并不重合。 ⑤ 使用前提必须先确认是等腰三角形，且所指的是顶角的平分线。 迁移应用 【变式5-1】（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）如图，在中，，点D是的中点．图中全等三角形有__________对． 【答案】3 【分析】根据已知条件，D是中点，结合等腰三角形三线合一的性质，推导与的位置关系，以及图中相等的线段、相等的角．按照从大到小或从局部到整体的顺序，有序枚举所有可能的三角形组合，用等全等三角形判定定理逐一验证是否全等．统计符合全等条件的三角形对数，避免重复计数． 【详解】解：第一对： 已知，D是的中点， 故， 又公共边， ∴． 第二对：． 由，第一对全等可得，加上公共边， ∴． 第三对：． 由、第一对全等可得，即，加上公共边，． 综上，共有3对全等三角形． 【变式5-2】（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，在中，，是边上的中线，点在边上，且，若，则的度数为_____． 【答案】/20度 【分析】由等腰三角形的性质及三角形内角和定理依次可得，， ，然后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式5-3】（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，点D是的中点，于点E，于点F． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵，点D是的中点， ∴平分（等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合，三线合一）． (2)证明：∵平分，，， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一进行证明即可； （2）根据角平分线的性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-4】（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，是的高，边的垂直平分线分别交，于点，，连接，． (1)若，求的长度； (2)若，则___________°． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一得到是的垂直平分线，推出，再结合是的垂直平分线得，通过等量代换求出结果． （2）先根据等腰三角形三线合一得到，结合第（1）问，用等边对等角求出的度数． 【详解】（1）解：，， ，（等腰三角形三线合一） 垂直平分， ．（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 又垂直平分， ，（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ．（等量代换） （2），， ，（等腰三角形三线合一） ， ， ．（等边对等角） 题型六 等边对等角 【例6】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，为边上一点，若，则以下结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等角对等边进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据已知条件无法判断，，，故D正确，A、B、C错误． 💡破题要诀 ① 定理内容：在同一个三角形中，相等的边所对的角相等（简称「等边对等角」）。 ② 使用前提：两条边必须在同一个三角形中，跨三角形不能用。 ③ 用法：先找出（或先证明）两边相等，再写出它们所对的角相等。 ④ 配合三角形内角和 180°，即可求出具体的角度。 ⑤ 它的逆定理是「等角对等边」，两者互为逆命题，都成立。 迁移应用 【变式6-1】（2026八年级上·江苏淮安·专题练习）如图，，点在边上，与相交于点．若，，则___． 【答案】80 【分析】首先利用全等三角形的性质求出，然后利用等边对等角得到，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式6-2】（25-26八年级上·广东汕头·期中）在中，，点、在上，且，连接、．求证：． 【答案】证明：， ．   在和中，， ．   ． 【详解】略 题型七 等边三角形的性质 【例7】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将等边沿着向右平移一定距离后得到，点在上．若，，则平移的距离为________． 【答案】6 【详解】解：∵是等边三角形，，， ∴， 则平移的距离为． 💡破题要诀 ① 边的性质：三条边都相等。 ② 角的性质：三个内角都相等，且都等于 60°。 ③ 三线合一：每条边上的中线、高、该边所对角的平分线互相重合（有三组）。 ④ 常用数据：边长为 时，高 ，面积 。 ⑤ 判定捷径：有一个角是 60° 的等腰三角形就是等边三角形。 迁移应用 【变式7-1】（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，是等边三角形，点D在上，点E在上，且，与相交于点P． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ，．   在和中， ， ． (2) 【分析】（1）由是等边三角形，得，，即可证明； （2）由得，根据三角形外角性质可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得．   是的一个外角（P在上，与互补）， ． 【变式7-2】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，和都是等边三角形，连接．求证：． 【答案】证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】和都是等边三角形，得，得，证明即可解决． 【详解】略． 【变式7-3】（2022·陕西商洛·模拟预测）如图，已知等边三角形，延长至点，延长至点，使，连接，．求证：． 【答案】证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵，， ∴． 在和中， ． ∴． ∴． 【分析】由等边三角形的性质可得，，再证明出，从而可得，即可得证． 【详解】略． 题型八 等腰三角形的判定 【例8】（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：∵与是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】先证明，得出，再证明，得出，最后根据等腰三角形的判定方法，得出结论即可． 【详解】略 💡破题要诀 ① 方法一（定义法）：证明有两条边相等。 ② 方法二（等角对等边）：证明有两个角相等，从而它们所对的边相等。 ③ 使用前提：两个角必须在同一个三角形中。 ④ 常见造等腰的模型：平行线 + 角平分线 ⟹ 出现等腰三角形（角平分线分出一个角，平行线把它搬到另一处，两角相等）。 ⑤ 证角相等的常用手段：平行线、全等三角形、角平分线、同角（等角）的余角相等。 迁移应用 【变式8-1】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G．请判断的形状，并加以证明． 【答案】解：是等腰三角形， 证明：平分， ． ， ，． ． ． 是等腰三角形． 【分析】由平分，得；由，根据平行线的同位角、内错角相等，得，．等量代换得，由等角对等边得，故是等腰三角形． 【详解】略 【变式8-2】（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）如图，在中，和分别为边和上的高，与交于点，点在边上，，连接和． (1)求的度数． (2)请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) 是等腰直角三角形，理由如下： ∵和分别为边和上的高，与交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形． 【分析】（1）易得垂直平分，进而得到，结合，得到为等腰直角三角形，即可得出结果； （2）根据高线的性质，得到，进而得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； （2）略 题型九 等腰三角形的性质与判定 【例9】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，，，，，分别是和的角平分线，且，，则的周长为_________． 【答案】17 【分析】由角平分线的定义和平行线的性质得出，，从而可得，，再结合三角形周长公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵，分别是和的角平分线， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为． 💡破题要诀 ① 综合题固定套路：先判定等腰（找等边或等角）→ 再用性质（等角或三线合一）→ 求出所求量。 ② 高频模型：平行线 + 角平分线 ⟹ 等腰三角形，见到这两个条件同时出现就要警觉。 ③ 含 30° 的直角三角形：30° 角所对的直角边等于斜边的一半，常与等腰搭配。 ④ 角不够用时用外角：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 ⑤ 多设未知角 ，把各个角用 表示，最后列一个方程统一求解。 迁移应用 【变式9-1】（26-27八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，是的中线，E是上一点，交于F，若，，，则的长度为____________ 【答案】3 【分析】延长，使，连接，证明，根据全等三角形的性质，等边对等角，结合等角对等边，以及线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：如图，延长，使，连接， 是的中线， ， 又，， ， ，， ， ， ， ， ， . 【变式9-2】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，若，延长交线段于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，，，． 在和中， ， ，． ， ． ，， ． (2) 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，，由等边对等角得出，由等角的余角相等得出． （2）在上截取，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，根据等角的补角相等得出，由等角对等边得出，进而可求出． 【详解】（1）略； （2）解：如图，在上截取，连接． ， ． 在和中， ， ，． ，， ， ， ． 题型十 等边三角形的判定 【例10】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，过点作交于点，．求证：是等边三角形． 【答案】证明：， ． 又， ． ∴， ， 是等边三角形． 【分析】根据平行线的性质和等角对等边，得出，然后根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可解答． 【详解】略 💡破题要诀 ① 判定一：三条边都相等（定义法）。 ② 判定二：三个角都相等（或三个角都等于 60°）。 ③ 判定三（最常用）：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 ④ 实操路径：先证出它是等腰三角形，再找一个 60° 角即可收工。 ⑤ 也可两边相等 + 夹角 60°，用 SAS 证出第三边也相等。 迁移应用 【变式10-1】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：．需再增加什么条件，可使成为等边三角形？ 【答案】证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴． 添加：，可使成为等边三角形（答案不唯一） 【分析】根据平行线的性质得出，结合已知得出，然后根据等角对等边即可得证；根据等边三角形的判定补充添加即可. 【详解】证明：略； 添加， ∵，， ∴， ∴是等边三角形． 【变式10-2】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，，于点， ， ， 是等边三角形， (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知，又因为，则题目可证； （2）由已知可证，则即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，， ，       由（1）可知：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ，       ， 即的长为． 【变式10-3】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． (2)是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形． ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 【分析】（1）利用可得，，结合等量代换可得，命题得证； （2）先计算出与，结合等边三角形的性质计算出的内角，从而确定形状． 【详解】（1）略 （2）略 题型十一 等边三角形的性质与判定 【例11】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，为等边三角形，边长为．点P从点A出发沿向点B运动，速度为；点Q同时从点B出发沿向点C运动，速度为．设运动时间为t秒（）． (1)求证：； (2)设与交于点M，求的度数，并说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使为等边三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：∵为等边三角形， ∴，． 由题意，，， ∴， 在和中，，，， ∴． (2)解：． 理由：由（1）得， ∴， ∵点M在线段上， ∴， 又， ∵是在顶点M处的外角． ∴． (3)解：存在，． 理由：，，， 若为等边三角形，则， 即， 解得：． 此时，符合题意， ∴当秒时，为等边三角形． 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质和三角形外角的性质，进行求解即可； （3）根据等边三角形的判定和性质，列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 💡破题要诀 ① 高频模型：手拉手——两个等边三角形共一个顶点，可得一对全等三角形。 ② 旋转法：把某个三角形绕公共顶点旋转 60°，构造出等边三角形或全等关系。 ③ 证线段相等优先找它们所在的两个三角形全等。 ④ 60° 角常与平行线、外角一起出现，可用来搬角。 ⑤ 先标出所有已知的相等线段与 60° 角，再去找全等关系。 迁移应用 【变式11-1】（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，点O是等边内一点，，，也是等边三角形． (1)求证：； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是直角三角形？ 【答案】(1)证明：∵等边， ∴，， ∵等边， ∴，， ， ∵ ∴． (2)解：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∵等边， ∴， ， ， ， ， , 故是等边三角形． (3)或 【分析】（1）利用等边三角形的性质，结合原理，证明全等即可； （2）根据周角，等边三角形的判定和性质，四边形内角和，解答即可； （3）根据是直角三角形，结合三角形全等的性质，分三种情况求解即可． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：∵等边， ∴， 是直角三角形， 当时，根据题意，得， ， ， 故； 当时， ， 故； 当时，根据题意，得， ， ， ∵等边， ∴， ∵， ∴，， ， ， 矛盾， 故此情形不成立， 综上所述，当或时；是直角三角形． 【变式11-2】（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）如图，在与中，，过点C作，交于E，交于点F，连结，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，求的长． 【答案】(1)解：是等边三角形，理由如下； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； (2)证明：∵， ∴是的垂直平分线， 即， ∵， ∴平分； (3)4 【分析】（1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 【变式11-3】（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）如图，两个全等的等边三角形和等边三角形的一边重叠地放在直线上，，交于点． (1)判断的形状，并说明理由． (2)连接，，求证：． 【答案】(1)解：是等边三角形． 理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形． (2)证明：∵，是两个全等的等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴． 【分析】（1）由和都是等边三角形，可得，即可得结论； （2）由和都是等边三角形，可得，，可证明，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 题型十二 逆命题逆定理 【例12】（21-22八年级下·贵州毕节·期中）对于命题“若，则”的逆命题是假命题，举一个反例，则符合要求的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：原命题的逆命题为“若，则”，反例需满足且． 选项A中，选项B中，均不满足，排除； 选项C中，，满足逆命题结论，不是反例，排除； 选项D中，，不满足逆命题结论，是反例． 💡破题要诀 ① 操作定义：把一个命题的题设和结论互换位置，所得的新命题就是它的逆命题。 ② 先改写再互换：先把原命题写成「如果 ，那么 」，逆命题就是「如果 ，那么 」。 ③ 重要观念：原命题为真，逆命题未必为真，必须单独判断。 ④ 只有当一个定理的逆命题经过证明为真时，它才叫做原定理的逆定理。 ⑤ 说明逆命题为假，举一个反例即可。 迁移应用 【变式12-1】（22-23八年级上·河南南阳·阶段检测）判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式． 根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断． 【详解】解：①对顶角相等没有逆定理； ②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行； ③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等； ④全等三角形的各角对应相等没有逆定理． 其中有逆定理的是：②③． 故选：D． 【变式12-2】（25-26八年级下·湖南湘西·期中）命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_______________ 【答案】两直线平行，同位角相等 【分析】交换原命题的题设和结论即可得到逆命题，先找出原命题的题设和结论，再交换得到结果． 【详解】解：原命题“同位角相等，两直线平行”中，题设为“同位角相等”，结论为“两直线平行”， 交换题设和结论，得到逆命题为“两直线平行，同位角相等”． 【变式12-3】（21-22七年级下·山东泰安·阶段检测）已知命题“如果一个三角形是钝角三角形，那么这个三角形的两个内角是锐角”，则该命题的逆命题是______命题．（填真或假） 【答案】假 【分析】交换原命题的条件和结论得到逆命题，再通过举反例即可判断逆命题的真假． 【详解】解：交换条件和结论，可得逆命题：如果一个三角形的两个内角是锐角，那么这个三角形是钝角三角形． 举反例：若三角形的三个内角分别为，，，这个三角形有两个内角是锐角，但它是锐角三角形，不是钝角三角形， 故该逆命题是假命题． 题型十三 直角三角形的性质 【例13】（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，为边上的中线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直角三角形的性质得到，再由等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵在中，，为边上的中线， ∴， ∴． 💡破题要诀 ① 性质一：直角三角形的两个锐角互余（和为 90°）。 ② 性质二（高频）：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ③ 性质三：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半（反之也成立）。 ④ 面积：（两条直角边乘积的一半），也可用斜边×斜边上的高÷2。 ⑤ 见到「斜边中点」立即联想「斜边中线 = 斜边一半」，常能构造出等腰三角形。 迁移应用 【变式13-1】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，，，是的角平分线，是的高，、相交于点F，则的度数是__________． 【答案】/55度 【分析】先根据等腰三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据直角三角形两锐角互余得出，根据三角形外角的性质求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，， ， ∵是的角平分线， ， 是的高， ， ， ． 【变式13-2】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，，则有，，再通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是斜边，上的中线， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 【变式13-3】（26-27八年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在中，是边上的高线，是的平分线，若，．求的度数． 【答案】 【分析】先根据外角的性质求的度数，再由角平分线求的度数，在中，根据两锐角互余即可解答． 【详解】解：是的一个外角， ， ，， ， 平分， ， ， ， ． 题型十四 直角三角形的判定 【例14】（26-27八年级上·广西梧州·阶段检测）在中，不能确定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形内角和，结合各选项的角度关系推导内角度数，判断是否存在直角． 【详解】解：已知三角形内角和为， A.∵，∴，即，解得，∴能判定是直角三角形； B. 设，，，则，即，解得，∴，∴能判定是直角三角形； C. ∵，∴，∴，∴能判定是直角三角形； D. ∵，∴，即，解得，∴，，∴不能判定是直角三角形． 💡破题要诀 ① 判定一（定义）：有一个角是直角，或有两个角互余。 ② 判定二（勾股定理逆定理）：若 ，则该三角形是直角三角形， 所对的角是直角。 ③ 判定三：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。 ④ 先判直角，再用勾股求长度，顺序不要颠倒。 ⑤ 实际问题中常用来判定「是否垂直」。 迁移应用 【变式14-1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用三角形内角和为，计算各选项中三角形的内角度数，判断是否存在直角，即可得出结论． 【详解】解：三角形的三个内角满足， A ， ，得， 是直角三角形，不符合题意； B ， ， 是直角三角形，不符合题意； C ， ， 是直角三角形，不符合题意； D ， ， 解得，三角形中不存在的角， 不是直角三角形，符合题意． 【变式14-2】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知，如图，是的高，是的角平分线，、相交于点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，是高， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2)； (3)证明：∵是的角平分线， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴． 【分析】根据题意可以求得，从而得到是直角三角形； 由直角三角形的性质可得，又是的角平分线，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解； 根据是的角平分线，则，然后通过，三角形的外角性质即可得出结论成立． 【详解】（1）略； （2）解：在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中， ； （3）略． 【变式14-3】（2026·湖北武汉·一模）如图，在中，，点E在边上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由题意易得，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质进行求证即可． 【详解】证明：，， ，， ∴， ∴， ，， ， ， ，即， ． 题型十五 勾股定理解三角形 【例15】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交数轴于点A．点O为原点，点A所表示的数为a，则a的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴； 由作图方法可得， ∵点B表示的数为2，且点A在点B的左侧， ∴． 💡破题要诀 ① 定理：，其中 是斜边（直角所对的边）。 ② 第一步永远是「找斜边」：直角所对的那条最长的边就是 。 ③ 求斜边：；求直角边：。 ④ 常用勾股数（要能认出来）：3,4,5；5,12,13；6,8,10；9,12,15；7,24,25；8,15,17。 ⑤ 折叠题：先由折叠得线段相等，再找出直角三角形，用勾股列方程。 迁移应用 【变式15-1】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质可得，设，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：由折叠的性质可知． 设，则， ． 在中，， 由勾股定理得， 即， 解得， ． 【变式15-2】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，点在边上，连接，已知，，，求的长． 【答案】 【分析】首先利用勾股定理求出，然后进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式15-3】（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，在Rt中，，点是的中点．记的周长为，的周长为的长为13．若，求的周长． 【答案】30 【分析】先写出两个三角形周长表达式，利用斜边中点得到，化简周长差得到两直角边的关系式；再根据勾股定理建立方程求出直角边长，最后计算三角形的周长． 【详解】解：由题意可知． 在中，，点是的中点，则， ， ． 在中，，即， （负值已舍）， ， ． 题型十六 勾股数问题 【例16】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．1，1， C．，， D．8，15，17 【答案】D 【分析】勾股数需为正整数，可先排除非正整数选项，再验证两较小数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：A选项的数均为分数，B、C选项含无理数，均不是正整数，不是勾股数； D选项中8,15,17均为正整数，且，是勾股数． 💡破题要诀 ① 定义：满足 的三个正整数。 ② 判断步骤：先排序找出最大数 ，再算两个较小数的平方和是否等于 。 ③ 构造公式：、、（，且都为正整数）。 ④ 一组勾股数的正整数倍仍是勾股数（如 3,4,5 的 2 倍是 6,8,10）。 ⑤ 牢记「正整数」这个前提，含小数或负数的不算勾股数。 迁移应用 【变式16-1】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）以下列各组数为勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．15，20，25 D．1，， 【答案】C 【分析】根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，不是勾股数； B、选项中的数不全是正整数，不是勾股数； C、∵，， ∴，且均为正整数，是勾股数； D、选项中的数不全是正整数，不是勾股数． 题型十七 弦图背景的计算题 【例17】（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为（     ） A．35 B．43 C．89 D．97 【答案】D 【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出，再由完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：∵它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b， ∴， ∴， ∴． 💡破题要诀 ① 认清结构：大正方形内放 4 个全等的直角三角形，中间围出一个小正方形。 ② 设直角三角形的两直角边为 、（），斜边为 。 ③ 中间小正方形的边长是 ；大正方形的边长是 。 ④ 面积关系（核心）：，展开即得 。 ⑤ 解题通法：用「整体面积 = 各部分面积之和」列方程，这是弦图题的万能入口。 迁移应用 【变式17-1】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成的．连接，，若，． (1)求线段的长度； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由． 【答案】(1) (2)不是直角三角形，理由如下： 中，， ． 在中，， ． 又由（1）知， ． ，即， 不是直角三角形． 【分析】（1）根据全等三角形的性质，得到，再根据勾股定理进行求解即可； （2）根据勾股定理求出，，由（1）知，继而推导出，即可解答． 【详解】（1）解：四个直角三角形全等，且， ， ， 在中，由勾股定理得： ； （2）略 【变式17-2】（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）数学活动课上，学习小组开展实践活动 【探究发现】三国时期的赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法验证了勾股定理． (1)已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图可知． ______，______，______， ，化简得． (2)【深入思考】如图2，用两个（1）中的直角三角形拼成一个梯形．求证：． (3)【实际应用】将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，形成如图3所示的风车．若，，风车外围轮廓（实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)；； (2)证明：由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (3) 【分析】（1）依据题意得，，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得，又设 ，故，又在中,由列式计算得解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意,如图, ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为, ， 设则， 在中, ， ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 题型十八 勾股定理的应用 【例18】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（丈=尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【分析】 本题考查了列方程解决实际问题，此处可将问题抽象成直角三角形，折断后的竹子和抵地处离竹子底部的距离为直角边，折断的另一部分竹子为斜边，设折断后的竹子高度为尺，则斜边为尺，根据题意由勾股定理列方程即可． 【详解】略 💡破题要诀 ① 第一步必须画图：把实际问题画成几何示意图，标出所有已知线段。 ② 第二步找直角三角形：没有现成的就作高或作垂线构造出来。 ③ 第三步设未知数：把要求的线段设为 ，其余线段用它表示，再用勾股列方程。 ④ 第四步检验：结果取正值，并检查是否符合实际（长度不能为负、不能超出范围）。 ⑤ 「滑动前后」是两个不同的直角三角形状态，同一条实物的长度在两状态中不变，这是列方程的桥梁。 迁移应用 【变式18-1】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）翠园东晓中学旧改工程顺利完成．举行竣工典礼时，在高，长的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图所示，则地毯的长度至少需要________m． 【答案】 【分析】将台阶的竖直部分平移至左侧，水平部分平移至下方，可知地毯的总长度等于直角三角形两直角边之和；已知斜边和一条直角边，利用勾股定理求出另一条直角边即可求解； 【详解】解：设台阶水平方向的总长度为， 由图可知，台阶剖面构成一个直角三角形，其中斜边长为，一条直角边（高度）长为， 根据勾股定理得：， 台阶水平方向的总长度为， 地毯铺在台阶面上，其长度等于所有台阶竖直高度之和与水平宽度之和， 地毯的长度至少为． 【变式18-2】（24-25八年级下·广东湛江·期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 【答案】 【分析】设，在中利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：设， 根据题意得：，，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，，， ∵， ∴， 解得：， ∴秋千绳索（或）长尺． 题型十九 勾股定理逆定理及应用 【例19】（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）如图，依据所标数据，下列判断正确的是（     ）． A．只有是直角三角形 B．只有是直角三角形 C．和都是直角三角形 D．和都不是直角三角形 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理，计算两短边的平方和以及长边的平方，判断得数是否相等，即可得到答案． 【详解】解：∵的三边， 又∵，， ∴， ∴， ∵的三边， 又∵，， ∴， ∴， ∴和都是直角三角形． 💡破题要诀 ① 第一步排序：找出三边中最长的一条，记为 。 ② 第二步计算：分别算 与 。 ③ 第三步判断：相等则是直角三角形，且 所对的角是直角。 ④ 实际应用：判断一块地是否为直角三角形、判断两线是否垂直。 ⑤ 计算前务必统一单位。 迁移应用 【变式19-1】（25-26八年级下·辽宁朝阳·期末） 如图，在四边形中，，，，且． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可知，根据勾股定理的逆定理可证，再根据角之间的关系求出的度数； （2）根据即可求出结果． 【详解】（1）解：如下图所示，连接， ，， ， 在中，， 在中， ，   ， ， ；     （2）解： ． 【变式19-2】（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）某台风沿东西方向路线由向移动，是沿海一处气象观测站．已知观测站与直线上、两点的距离分别为、、．气象预报：距离台风中心及以内的区域会受到台风影响． (1)气象观测站会不会受到台风的影响？请说明理由． (2)若台风中心移动速度为每小时，求该观测站受台风影响的持续时间？ 【答案】(1)气象观测站受台风影响， 过点C作于点D， 、、 ， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 气象观测站受台风影响； (2)受影响，台风影响该气象站持续的时间为5小时 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，过点C作于点D，利用三角形面积得出的长，进而得出气象观测站受台风影响， （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该气象站持续的时间． 【详解】（1）略 （2）解：如图：距离台风中心及以内的地区会受到影响， 时，正好影响C气象站， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵，， （小时）． 答：受影响，台风影响该气象站持续的时间为5小时． 【变式19-3】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）在一条东西走向的公路一侧有一个村庄D，公路边原有两个站点M，N，其中．由于道路施工，道路被阻断，现决定在公路边新建一个站点P（M、N、P在同一直线上），并新建一条道路．测得千米，千米，千米． (1)请判断道路是不是从村庄到公路的最短路径？并说明理由； (2)新道路比原道路短多少千米？ 【答案】(1)道路是从村庄到公路的最短路径；理由如下： 千米，千米，千米， ， ， ， 是从村庄到公路的最短路径； (2)新道路比原道路短千米 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得，即可得到答案； （2）设（千米），根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设（千米），则（千米）， （千米）， ， ， ， ， 解得， （千米）， （千米）， 新道路比原道路短千米． 题型二十 直角三角形全等的判定 【例20】（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，在中，是边上的高，且，点E为上的一点，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵是边上的高， ∴， 在和中， ， ∴ (2) 解：理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）由可证； （2）由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 💡破题要诀 ① 判定内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为 HL）。 ② 理解本质：由勾股定理，第三边必然也相等，所以 HL 其实就是 SSS 的特殊情形。 ③ 一般三角形的四条判定（SSS、SAS、ASA、AAS）对直角三角形同样适用。 ④ 书写时先说明「两个三角形都是直角三角形」，再用 HL。 ⑤ 注意只有直角三角形才能用 HL，一般三角形中同样的条件是 SSA，不能判定。 迁移应用 【变式20-1】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）在中，，，，平分，交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵平分，即，， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】（）由角平分线的性质定理得，进而根据判定定理“”即可求证； （）由全等三角形的性质得，即得，由勾股定理得，设，则，，再利用勾股定理列出方程解答即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， 设，则，， 在中，∵， ∴， 解得， ∴的长为． 【变式20-2】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，是的平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； (2)1 【分析】（1）由是的平分线，利用角的平分线的性质定理得到，再由得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，由，及（1）中等量代换即可求的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故的长为1． 题型二十一 利用轴对称解决最短路径问题 【例21】（25-26七年级下·北京·期中）如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质求出边长，作点关于的对称点，连接交于点，连接，利用两点之间线段最短可知即为的最小值，再证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，是边上的高，， ∴，，平分， 作点关于的对称点，连接交于点，连接， ∴在上，，， ∴， 即有最小值，为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形 ， ∴， ∴的最小值为． 💡破题要诀 ① 基本模型：直线同侧有两点 、，在直线上找一点 使 最小。 ② 作法：作出 关于直线的对称点 ，连接 ，与直线的交点即为所求的 。 ③ 理论依据：两点之间线段最短 + 轴对称的性质（）。 ④ 求最小值：最小值就是线段 的长度，用勾股定理计算。 ⑤ 两个动点（分别在两条边上）要作两次对称；「周长最小」常转化为几条线段之和最小。 迁移应用 【变式21-1】（21-22八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC与点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】 如图，连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=12， 解得：AD=6（cm）， ∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴点B关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为BM+MD的最小值， ∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）． 故选C． 【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 【变式21-2】（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”． 【分析问题】 (1)如图1，为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案．正确的方案是____________（填序号）． 【解决问题】 (2)如图2，在中，点与点关于直线对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为____________． 【类比探究】 (3)如图3，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3上作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹） ②当将军走过的路程最短，且时，则____________． 【答案】(1)④ (2)11 (3)①如图，点、即为所求 ②70 【分析】（1）经典将军饮马问题中，求直线上一点使最短的方法是：作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线的交点即为所求； （2）连接，根据轴对称得出，则的周长，得出最小值为的长度，即可解答； （3）①分别作点关于的对称点、点关于的对称点，连接，交于，交于，点、即为所求，此时最短； ②由对称性质可知：，，从而求出，在中，根据三角形内角和定理求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴的周长， 当点共线，且点位于之间时，最小，最小值为的长度， ∵，， ∴周长最小值为； （3）解：①略 ②如图， 由对称性质可知：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【变式21-3】（25-26七年级下·广东清远·期末）问题解决 【提出问题】 唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地出发，先到河流边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 (1)为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是 ． 【解决问题】 (2)如图2，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【类比探究】 (3)如图3，点是内一定点，将军牵马从军营点出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3中作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，求的度数． 【答案】(1)④，两点之间，线段最短 (2) (3)①所作图形如下： ② 【分析】（1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）连接，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）①过点P分别作，的对称点，，连接与，交点即为点C，D，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【详解】（1）解：正确的方案是④， ∵由轴对称的性质可得， ∴当点B，C，三点共线时，， ∴此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短， （2）解：连接，如图所示： ∵点与点关于直线成轴对称， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴当点，C，三点共线时，有最小值， ∴周长的最小值为； （3）解：①略 ②∵，， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级上·浙江台州·期中）在中，，，．下列条件中：①，②，③，④，⑤．能确定是直角三角形的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答． 【详解】解：对于条件①：∵，且， ∴，即， ∴是直角三角形． 对于条件②：设，则， ∴， ∴， ∴不是直角三角形． 对于条件③：∵ ， ∴由勾股定理逆定理，是直角三角形． 对于条件④：∵，即， ∴， ∴， ∴不是直角三角形． 对于条件⑤：设，则， ∴， ∴是直角三角形． ∴能确定是直角三角形的条件有①、③、⑤，共 3 个． 故选：C 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】、该图形是轴对称图形，符合题意； 、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选． 3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）等腰三角形的两边长分别为5和，则此三角形的周长为（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，掌握相关知识是解决问题的关键．分类讨论腰为5或腰为两种情况讨论，利用两边之和大于第三边判断是否构成三角形． 【详解】解：∵等腰三角形两边长为5和， ∴可能情况为：①腰为5，底为；②腰为，底为， 对于情况①：三边为， ∵，不满足两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形． 对于情况②：三边为， ∵，均成立， ∴能构成三角形． ∴周长为． 故选：B． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为边上两点，且满足．连结．若，则与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是问题求解的关键． 先根据，得到，然后用等量代换得到，代入，完成求解 ． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 故选：B． 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，沿着过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点D处，折痕为，若，，则的周长是（   ） A．10 B．12 C．12.5 D．13.5 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质及等腰三角形的判定，熟练掌握折叠的性质及等腰三角形的判定是解题的关键；由折叠的性质可得，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为； 故选C． 6．（25-26八年级上·浙江台州·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边对等角和三角形外角的性质，通过等边对等角找到相等角是解题关键． 先通过等边对等角，找到相等角，再通过三角形的外角性质找到角的等量关系，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选： D． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）《几何原本》卷2中的几何代数法是将代数定理通过图形实现证明．如图是勾股定理的推广．已知在钝角中，以其三边向外作正方形，若正方形的面积为36，J是边上靠近点B的三等分点，，记正方形的面积为，正方形的面积为，当的度数发生变化时，的值为______ ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据题意可得，，，由，得到，再代入求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为36， ∴， 由题意得，，， ∵， ∴， ∵J是边上靠近点B的三等分点 ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，三条直线a，b，c互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上，已知，，且a，b之间的距离为2，b，c之间的距离为3，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理．过A作于D，交直线c于点E，证明，得出，根据勾股定理得出，即可得出结果． 【详解】解：过A作于D，交直线c于点E，如图所示： ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，将一个等腰直角三角形按下图方式依次翻折，若，则下列说法中正确的是 （   ） ①平分； ②的长为； ③是等腰三角形； ④的周长等于的长． A．①②③ B．②④ C．②③④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形，三角形外角与内角的关系，熟练运用上述性质是解题的关键． ①计算出，可判断不平分； ②易得，利用可得到长为； ③根据折叠的性质得到不是等腰三角形； ④计算的周长为，则有的周长等于的长． 【详解】解：由折叠可得，， ， ， ， ，即不平分， 故①错误； 根据折叠的性质知，，且都是等腰直角三角形， ，， ， ，， 故②正确； ， ， 不是等腰三角形， 故③错误； 的周长，， 的周长等于的长， 故④正确． 故选：B． 10．（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【分析】本题考查命题与逆命题的基本概念．命题由条件和结论组成，交换条件和结论即可得到逆命题，因此所有命题都有逆命题．但定理的逆命题不一定成立，真命题的逆命题不一定为真，假命题的逆命题不一定为假． 【详解】解：A、任何命题都可以通过交换条件和结论得到逆命题，即所有的命题都有逆命题，选项正确； B、定理的逆命题不一定为真，如“全等三角形对应角相等”的逆命题不成立，即不是所有定理都有逆定理，选项错误； C、真命题的逆命题可能为假，如“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假，选项错误； D、假命题的逆命题可能为真，如“若两个角相等，则它们是对顶角”的逆命题“若两个角是对顶角，则它们相等”为真，选项错误； 故选：A． 11．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为___． 【答案】/105度 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 根据等边三角形的性质得，再根据得，由此得，再求出，由三角形内角和定理得，然后在中，再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中， 即的度数为． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·浙江温州·期中）命题“若，则或．”的逆命题为______． 【答案】若或，则 【分析】本题考查了命题和逆命题，将原命题的条件和结论互换即可求解，找出原命题的条件和结论是解题的关键． 【详解】解：命题“若，则或．”的逆命题为“若或，则”， 故答案为：若或，则． 13．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上． 【答案】(1) 如图1中，即为所求（答案不唯一）； (2) 如图2中，即为所求；理由如下： (3) 如图3中，即为所求（答案不唯一）． 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）关于等腰三角形的一点画出图形即可； （2）作一个直角边分别为的直角三角形即可； （3）作一个腰为的等腰直角三角形即可． 【详解】（1）略 （2） ∵，, ∴, 即是直角三角形，且， ∴． （3）略 14．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，平分，是的高，． (1)若，求的度数； (2)若为的4倍，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的角平分线和高，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键． （1）根据得，，再利用三角形外角的性质得，，最后根据直角三角形的性质，即可得出的度数； （2）根据为的4倍，设，则，根据等腰三角形的性质得，，利用三角形外角的性质得，，根据直角三角形性质可得，进一步得出，再根据角平分线的定义得，，最后由三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）解： ，， ， ． 是的高，即， ， ． 答：的度数为． （2）解： 为的4倍， 设，则． ， ， ． 是的高，即， ， ． 又 ， 即， ． 平分， ． 在中， ． 答：的度数为． 15．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数． (2)若，的周长为10，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义； （1）根据等边对等角以及三角形内角和定理求得，进而根据角平分线的定义，以及平行线的性质即可求解； （2）根据角平分线的定义，平行线的性质得出，则，进而根据的周长为10，得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：， ． 平分， ， ． （2）解：平分 ． ． ． 的周长为10， ． ， ． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在等边中，，为的中点，，分别是，边上的动点，且满足，以为边向左作等边． (1)当时，则_____； (2)连结、，则最小值为_____． 【答案】（1）4         （2） 【分析】（1）由可得，再由，即可求解； （2）连接，过点作于，可得，从而，可证，可得，从而点的轨迹为垂直于的直线，根据将军饮马问题的解决方法即可求解出的最小值． 【详解】（1）解：设，则， ∵在等边中，， ∴ ∴， 解得， ∴， 故答案为：4 （2）解： 过点作于，则， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴点的轨迹为垂直于的直线， 作点关于的对称点，连接，即为的最小值． 连接交于，过点作于，延长交于， ∵， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，将军饮马问题，勾股定理的应用，灵活运用方程思想，熟练掌握动点轨迹判断，全等三角形的性质与判定，将军饮马问题的解决方法是解题的关键． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，作射线是腰的高线，E是外射线上一动点，连接． (1)当时，求的长； (2)当时，求证：； (3)设的面积为，的面积为，且，有没有可能为等腰三角形，若有可能，求出相应的． 【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴； (3)满足条件的的值为2或 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理及勾股定理， （1）先求出，再根据勾股定理求出结论即可； （2）先证明，得出，再结合，求出，即可证明结论； （3）设，则，先证明，再分两种情况：当时，或当时，分别求出即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）略 （3）解：， ， 设，则, ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， 当时， ， ∴， ∴, ∴， ∴， 综上所述，满足条件的的值为2或. 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图1，在中，，点是线段上的任意一点，在的延长线上取一点，使得． (1)若，，求的度数． (2)若，求证：． (3)如图2，当点是线段的中点时，满足，若，求线段的长． 【答案】(1) (2) 证明：，，， ， ，， ， ， ， ； (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理； （1）根据等边对等角，三角形的内角和以及三角形的外角性质，即可求解； （2）根据三角形的外角的性质得出，进而得出，根据已知，等量代换得出，根据等角对等边得出，根据已知，即可得证； （3）过点作与点，设，则，在，，，勾股定理分别求得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ∴， ； （2）略 （3）解：过点作与点， ， ∴， ， ， ， ， 是的中点，设，则， ， 在中，，解得， 在中，，解得， 在中，，解得， ． 4．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，是中点，是上一动点，连接，将沿直线折叠得． (1)如图，当点恰好落在线段上时，求证：； (2)如图，在中，，，当点恰好落在线段上时，连接，求的长度； (3)如图，若为直角三角形，，，．连接、、，当与面积相等时，求的面积． 【答案】(1) 由折叠性质可得， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)； (3)． 【分析】（）由折叠性质可得，则，，又是中点，从而可得，则，然后通过三角形外角性质得到，根据平行线的判定即可求证； （）由折叠性质可得，则，证明为等边三角形，所以，又是中点，从而可得，所以，然后求证明为直角三角形，最后通过勾股定理即可求解； （）延长交于点，过点，作于，于，则，又，所以，证明，得，则有，重合，即三点共线，由勾股定理得，设，则在中，，即，解得，再根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠性质可得， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， 由勾股定理可得，； （3）解：延长交于点，过点，作于，于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，重合，即三点共线， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设， 则在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，图形的变换——折叠，平行线的判定，直角三角形的判定，三角形的外角性质，等边三角形的性质和判定，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，在和中，，且．连接．    (1)求证：①； ②是直角三角形； (2)若，点在线段上运动时，求周长的最小值． 【答案】(1) 证明：①∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，垂线段最短等，证得，推出的周长，是解答本题的关键． （1）①利用证得即可；②利用全等三角形性质得到，再通过角度的和差关系可得到，进而可得证； （2）通过全等三角形性质进而推出的周长，结合勾股定理和垂线段最短，可推出当时，的值最小，此时的周长最小，然后等腰三角形的性质和判定，求得的长度，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴的周长， ∵， ∴当取得最小值时，的周长的最小，最小值为， ∵，，点D在边上运动， ∴，即， ∴当取得最小值时，的值最小， 即当时，的值最小， ∵，， ∴当时，，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为． 6．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图1，在中，，是边上的高线，，． (1)求的长． (2)若点是射线上的一动点，作于点，连接， ①如图2，当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，求的长度； ②设直线交直线于点，连接，若，则长为______（直接写出结果）． 【答案】(1)， (2)①或；②或 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的解题思想，是解题的关键． （1）由勾股定理即可计算出的长，从而计算出的长； （2）①分两种情况：当时；当时，分别进行求解即可； ②分两种情况：当在线段上；当在射线上，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， ； （2）解：①分两种情况： Ⅰ．当时，则， ，， ， ， Ⅱ．当时， 在和中， ， ， ， ， 综上，或者； ②分两种情况： Ⅰ．当在线段上，连接， ，， ，得， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ，， ； Ⅱ．当在射线上，连接， 同理可得， ， ， 综上，的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 特殊三角形 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 轴对称图形 考点二 等腰三角形 考点三 直角三角形 考点四 勾股定理及逆定理 05 重难题型突破 题型一 轴对称图形识别 题型二 折叠问题 题型三 轴对称图形绘图 题型四 等腰三角形的边和角 题型五 三线合一 题型六 等边对等角 题型七 等边三角形的性质 题型八 等腰三角形的判定 题型九 等腰三角形性质与判定 题型十 等边三角形的判定 题型十一 等边三角形的性质与判定 题型十二 逆命题逆定理 题型十三 直角三角形的性质 题型十四 直角三角形的判定 题型十五 勾股定理解三角形 题型十六 勾股数问题 题型十七 弦图背景的计算题 题型十八 勾股定理的应用 题型十九 勾股定理逆定理及应用 题型二十 直角三角形全等的判定 题型二十一 利用轴对称解决最短路径问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点与题型 本章在第 1 章基础上研究等腰三角形与直角三角形两类特殊图形。常考：图形的轴对称与对称轴；等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边）；等边三角形的性质与判定；逆命题与逆定理；直角三角形的性质（两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半、 角所对的直角边等于斜边的一半）；勾股定理 及其逆定理；直角三角形全等的判定 。题型以解答与证明为主，等腰三角形的“分类讨论”（已知一边或一角求周长、角度，需分腰与底两种情况）是期中经典中档题，勾股定理常结合折叠、展开图与最短路径命题，约占 35%—42%。 难易度 难度系数约 0.62—0.68，是三章中最难的一章，也是期中压轴题的主要来源：等腰三角形分类讨论与多解问题、勾股定理与折叠或展开结合、等腰与全等融合的探究题。典型失分点是分类讨论漏解或解出后不检验是否满足三边关系、三角形内角和，以及勾股定理中用错斜边。 识记 ① 能说出轴对称图形与两个图形成轴对称的区别，会找出等腰三角形、等边三角形、线段、角等常见图形的对称轴。 ② 能说出等腰三角形的性质：两底角相等（等边对等角）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）；以及判定定理：等角对等边。 ③ 能说出直角三角形的性质：两锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半； 角所对的直角边等于斜边的一半。 ④ 能说出勾股定理 及其逆定理的内容与适用条件，记住直角三角形全等的判定方法 。 ⑤ 能说出原命题、逆命题与逆定理的关系，知道“原命题为真，逆命题不一定为真”。 理解 ① 理解等腰三角形中边与角的对应关系，理解为什么已知一边长或已知一个角求周长、角度时必须分类讨论（腰与底不确定）。 ② 理解勾股定理的验证思路（面积法）与逆定理的用途（由边长关系判定直角三角形）。 ③ 理解“三线合一”与全等、轴对称的联系，能说明它为什么能同时提供角相等、线段相等与垂直三种结论。 ④ 理解折叠问题中的不变量：折叠前后的两个图形全等，对应边、对应角相等，可据此构造直角三角形用勾股定理求解。 应用 ① 能运用等腰三角形的性质与判定进行角度、线段的计算与证明，完整处理分类讨论并检验（是否满足三边关系与内角和）。 ② 能运用勾股定理求边长、解决最短路径（立体图形展开）与实际应用问题，能用逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。 ③ 能选用 完成直角三角形全等的判定与证明。 ④ 能综合处理“等腰＋全等”“等腰＋勾股”“折叠＋勾股”等中档综合题。 考点一 轴对称图形 轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 轴对称的性质 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 考点二 等腰三角形 等腰三角形的概念 1.定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧， 两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形. 等腰三角形的性质 1.性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 2.等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 等腰三角形的判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 等边三角形的概念 （1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2）性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3）判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4）推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 考点三 直角三角形 直角三角形的概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”. 要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质. 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. ⚠️概念辨析 直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形. 含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半. 直角三角形的判定 两个角互余的三角形是直角三角形. 在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 考点四 勾股定理及逆定理 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 2.注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理与其逆定理的区别与联系： ⚠️概念辨析 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。 联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。 题型一 轴对称图形识别 【例1】（26-27八年级上·全国·单元复习）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 定义操作：把图形沿一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，就是轴对称图形。 ② 正 边形有 条对称轴；圆有无数条对称轴（每条过圆心的直线都是）。 ③ 等腰三角形有 1 条对称轴，等边三角形有 3 条，长方形有 2 条，正方形有 4 条。 ④ 平行四边形不是轴对称图形（它是中心对称图形）——这是高频陷阱。 ⑤ 找对称轴时，先连接一组对应点，再作这条连线的垂直平分线，即为对称轴。 迁移应用 【变式1-1】（26-27八年级上·全国·单元复习）下列图案中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 题型二 折叠问题 【例2】（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，已知长方形纸片，点、、分别为线段、、上的一点，将纸片沿着、折叠，使得点落在点处，点落在点处，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 本质认识：折叠就是轴对称变换，折痕是对称轴，折叠前后的两个图形全等。 ② 由全等直接得到：重合的线段相等、重合的角相等——这是全题的突破口。 ③ 把「折叠后某点落在某处」翻译成：对应线段相等（或对应角相等），据此设未知数。 ④ 求长度时构造直角三角形：常以折痕为对称轴，用勾股定理列方程。 ⑤ 折痕必定垂直平分对应点的连线，需要时可连出这条线段。 迁移应用 【变式2-1】（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，中，，点D、E分别在、上，将沿折叠得到，点A对应点F，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）把正方形一角折起如图，已知，那么___________． 【变式2-3】（25-26七年级上·广东湛江·期末）点，分别是长方形纸片边，上的点，沿，翻折，点落在点处，点落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数； (3)如图3，当点，落在的内部且点在外部时，若，求的度数（用含的代数式表示）． 题型三 轴对称图形绘图 【例3】（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在网格图中作出关于直线l对称的． 💡破题要诀 ① 先找关键点：多边形的各个顶点、线段的端点。 ② 逐个作对称点：过关键点作对称轴的垂线并延长，在另一侧取等距离得到对称点。 ③ 对称轴上的点不动（它的对称点就是它本身）。 ④ 按原来的连接顺序依次连接各个对称点，不要打乱顺序。 ⑤ 画完用「对折能否重合」自我检验一遍。 迁移应用 【变式3-1】（25-26七年级下·四川成都·期末）在正方形网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． (1)作出的边上的高； (2)作出关于直线m对称的． 【变式3-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，以直线为对称轴画出图形的另一半． 题型四 等腰三角形的边和角 【例4】（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）若等腰三角形的一边长为，另一边长为，则周长为（     ） A．或 B． C． D．或 💡破题要诀 ① 先分清四个概念：腰、底边、顶角、底角，并在图上标出来。 ② 已知一边时必须分类：这条边可能是腰，也可能是底边。 ③ 已知一角时也要分类：这个角可能是顶角，也可能是底角。 ④ 分类后用两个检验器筛解：内角和为 180°（角的问题）、三边关系（边的问题）。 ⑤ 关键提醒：若已知的角是钝角或直角，它只能是顶角，因为底角必须小于 90° 迁移应用 【变式4-1】（25-26八年级上·广东汕头·期中）在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级上·广东汕头·期中）等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式4-3】（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）某等腰三角形的腰长为4，底边长为3，则这个等腰三角形的周长为______． 【变式4-4】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，若，则的度数是______． 题型五 三线合一 【例5】（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为，连接．已测得，则（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 内容：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。 ② 正向用法：见「等腰 + 底边中点」⟹ 得垂直 + 平分顶角；见「等腰 + 高」⟹ 得中线 + 平分顶角。 ③ 书写时必须说清楚：哪条线既是……又是……，不能只说「由三线合一得」。 ④ 范围限制：只针对底边而言，腰上的高、中线、角平分线并不重合。 ⑤ 使用前提必须先确认是等腰三角形，且所指的是顶角的平分线。 迁移应用 【变式5-1】（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）如图，在中，，点D是的中点．图中全等三角形有__________对． 【变式5-2】（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，在中，，是边上的中线，点在边上，且，若，则的度数为_____． 【变式5-3】（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，点D是的中点，于点E，于点F． (1)求证：平分； (2)求证：． 【变式5-4】（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，是的高，边的垂直平分线分别交，于点，，连接，． (1)若，求的长度； (2)若，则___________°． 题型六 等边对等角 【例6】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，为边上一点，若，则以下结论正确的是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 定理内容：在同一个三角形中，相等的边所对的角相等（简称「等边对等角」）。 ② 使用前提：两条边必须在同一个三角形中，跨三角形不能用。 ③ 用法：先找出（或先证明）两边相等，再写出它们所对的角相等。 ④ 配合三角形内角和 180°，即可求出具体的角度。 ⑤ 它的逆定理是「等角对等边」，两者互为逆命题，都成立。 迁移应用 【变式6-1】（2026八年级上·江苏淮安·专题练习）如图，，点在边上，与相交于点．若，，则___． 【变式6-2】（25-26八年级上·广东汕头·期中）在中，，点、在上，且，连接、．求证：． 题型七 等边三角形的性质 【例7】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将等边沿着向右平移一定距离后得到，点在上．若，，则平移的距离为________． 💡破题要诀 ① 边的性质：三条边都相等。 ② 角的性质：三个内角都相等，且都等于 60°。 ③ 三线合一：每条边上的中线、高、该边所对角的平分线互相重合（有三组）。 ④ 常用数据：边长为 时，高 ，面积 。 ⑤ 判定捷径：有一个角是 60° 的等腰三角形就是等边三角形。 迁移应用 【变式7-1】（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，是等边三角形，点D在上，点E在上，且，与相交于点P． (1)求证：； (2)求的度数． 【变式7-2】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，和都是等边三角形，连接．求证：． 【变式7-3】（2022·陕西商洛·模拟预测）如图，已知等边三角形，延长至点，延长至点，使，连接，．求证：． 题型八 等腰三角形的判定 【例8】（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点．求证：是等腰三角形． 💡破题要诀 ① 方法一（定义法）：证明有两条边相等。 ② 方法二（等角对等边）：证明有两个角相等，从而它们所对的边相等。 ③ 使用前提：两个角必须在同一个三角形中。 ④ 常见造等腰的模型：平行线 + 角平分线 ⟹ 出现等腰三角形（角平分线分出一个角，平行线把它搬到另一处，两角相等）。 ⑤ 证角相等的常用手段：平行线、全等三角形、角平分线、同角（等角）的余角相等。 迁移应用 【变式8-1】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G．请判断的形状，并加以证明． 【变式8-2】（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）如图，在中，和分别为边和上的高，与交于点，点在边上，，连接和． (1)求的度数． (2)请判断的形状，并说明理由． 题型九 等腰三角形的性质与判定 【例9】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，，，，，分别是和的角平分线，且，，则的周长为_________． 💡破题要诀 ① 综合题固定套路：先判定等腰（找等边或等角）→ 再用性质（等角或三线合一）→ 求出所求量。 ② 高频模型：平行线 + 角平分线 ⟹ 等腰三角形，见到这两个条件同时出现就要警觉。 ③ 含 30° 的直角三角形：30° 角所对的直角边等于斜边的一半，常与等腰搭配。 ④ 角不够用时用外角：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 ⑤ 多设未知角 ，把各个角用 表示，最后列一个方程统一求解。 迁移应用 【变式9-1】（26-27八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，是的中线，E是上一点，交于F，若，，，则的长度为____________ 【变式9-2】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，若，延长交线段于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型十 等边三角形的判定 【例10】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，过点作交于点，．求证：是等边三角形． 💡破题要诀 ① 判定一：三条边都相等（定义法）。 ② 判定二：三个角都相等（或三个角都等于 60°）。 ③ 判定三（最常用）：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 ④ 实操路径：先证出它是等腰三角形，再找一个 60° 角即可收工。 ⑤ 也可两边相等 + 夹角 60°，用 SAS 证出第三边也相等。 迁移应用 【变式10-1】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：．需再增加什么条件，可使成为等边三角形？ 【变式10-2】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【变式10-3】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； 题型十一 等边三角形的性质与判定 【例11】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，为等边三角形，边长为．点P从点A出发沿向点B运动，速度为；点Q同时从点B出发沿向点C运动，速度为．设运动时间为t秒（）． (1)求证：； (2)设与交于点M，求的度数，并说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使为等边三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 💡破题要诀 ① 高频模型：手拉手——两个等边三角形共一个顶点，可得一对全等三角形。 ② 旋转法：把某个三角形绕公共顶点旋转 60°，构造出等边三角形或全等关系。 ③ 证线段相等优先找它们所在的两个三角形全等。 ④ 60° 角常与平行线、外角一起出现，可用来搬角。 ⑤ 先标出所有已知的相等线段与 60° 角，再去找全等关系。 迁移应用 【变式11-1】（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，点O是等边内一点，，，也是等边三角形． (1)求证：； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是直角三角形？ 【变式11-2】（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）如图，在与中，，过点C作，交于E，交于点F，连结，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，求的长． 【变式11-3】（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）如图，两个全等的等边三角形和等边三角形的一边重叠地放在直线上，，交于点． (1)判断的形状，并说明理由． (2)连接，，求证：． 题型十二 逆命题逆定理 【例12】（21-22八年级下·贵州毕节·期中）对于命题“若，则”的逆命题是假命题，举一个反例，则符合要求的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 💡破题要诀 ① 操作定义：把一个命题的题设和结论互换位置，所得的新命题就是它的逆命题。 ② 先改写再互换：先把原命题写成「如果 ，那么 」，逆命题就是「如果 ，那么 」。 ③ 重要观念：原命题为真，逆命题未必为真，必须单独判断。 ④ 只有当一个定理的逆命题经过证明为真时，它才叫做原定理的逆定理。 ⑤ 说明逆命题为假，举一个反例即可。 迁移应用 【变式12-1】（22-23八年级上·河南南阳·阶段检测）判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【变式12-2】（25-26八年级下·湖南湘西·期中）命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_______________ 【变式12-3】（21-22七年级下·山东泰安·阶段检测）已知命题“如果一个三角形是钝角三角形，那么这个三角形的两个内角是锐角”，则该命题的逆命题是______命题．（填真或假） 题型十三 直角三角形的性质 【例13】（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，为边上的中线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 性质一：直角三角形的两个锐角互余（和为 90°）。 ② 性质二（高频）：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ③ 性质三：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半（反之也成立）。 ④ 面积：（两条直角边乘积的一半），也可用斜边×斜边上的高÷2。 ⑤ 见到「斜边中点」立即联想「斜边中线 = 斜边一半」，常能构造出等腰三角形。 迁移应用 【变式13-1】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，，，是的角平分线，是的高，、相交于点F，则的度数是__________． 【变式13-2】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为______． 【变式13-3】（26-27八年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在中，是边上的高线，是的平分线，若，．求的度数． 题型十四 直角三角形的判定 【例14】（26-27八年级上·广西梧州·阶段检测）在中，不能确定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 判定一（定义）：有一个角是直角，或有两个角互余。 ② 判定二（勾股定理逆定理）：若 ，则该三角形是直角三角形， 所对的角是直角。 ③ 判定三：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。 ④ 先判直角，再用勾股求长度，顺序不要颠倒。 ⑤ 实际问题中常用来判定「是否垂直」。 迁移应用 【变式14-1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式14-2】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知，如图，是的高，是的角平分线，、相交于点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)求证：． 【变式14-3】（2026·湖北武汉·一模）如图，在中，，点E在边上，，，．求证：． 题型十五 勾股定理解三角形 【例15】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交数轴于点A．点O为原点，点A所表示的数为a，则a的值是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 定理：，其中 是斜边（直角所对的边）。 ② 第一步永远是「找斜边」：直角所对的那条最长的边就是 。 ③ 求斜边：；求直角边：。 ④ 常用勾股数（要能认出来）：3,4,5；5,12,13；6,8,10；9,12,15；7,24,25；8,15,17。 ⑤ 折叠题：先由折叠得线段相等，再找出直角三角形，用勾股列方程。 迁移应用 【变式15-1】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则长为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，点在边上，连接，已知，，，求的长． 【变式15-3】（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，在Rt中，，点是的中点．记的周长为，的周长为的长为13．若，求的周长． 题型十六 勾股数问题 【例16】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．1，1， C．，， D．8，15，17 💡破题要诀 ① 定义：满足 的三个正整数。 ② 判断步骤：先排序找出最大数 ，再算两个较小数的平方和是否等于 。 ③ 构造公式：、、（，且都为正整数）。 ④ 一组勾股数的正整数倍仍是勾股数（如 3,4,5 的 2 倍是 6,8,10）。 ⑤ 牢记「正整数」这个前提，含小数或负数的不算勾股数。 迁移应用 【变式16-1】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）以下列各组数为勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．15，20，25 D．1，， 题型十七 弦图背景的计算题 【例17】（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为（     ） A．35 B．43 C．89 D．97 💡破题要诀 ① 认清结构：大正方形内放 4 个全等的直角三角形，中间围出一个小正方形。 ② 设直角三角形的两直角边为 、（），斜边为 。 ③ 中间小正方形的边长是 ；大正方形的边长是 。 ④ 面积关系（核心）：，展开即得 。 ⑤ 解题通法：用「整体面积 = 各部分面积之和」列方程，这是弦图题的万能入口。 迁移应用 【变式17-1】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成的．连接，，若，． (1)求线段的长度； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由． 【变式17-2】（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）数学活动课上，学习小组开展实践活动 【探究发现】三国时期的赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法验证了勾股定理． (1)已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图可知． ______，______，______， ，化简得． (2)【深入思考】如图2，用两个（1）中的直角三角形拼成一个梯形．求证：． (3)【实际应用】将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，形成如图3所示的风车．若，，风车外围轮廓（实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 题型十八 勾股定理的应用 【例18】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（丈=尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为______． 💡破题要诀 ① 第一步必须画图：把实际问题画成几何示意图，标出所有已知线段。 ② 第二步找直角三角形：没有现成的就作高或作垂线构造出来。 ③ 第三步设未知数：把要求的线段设为 ，其余线段用它表示，再用勾股列方程。 ④ 第四步检验：结果取正值，并检查是否符合实际（长度不能为负、不能超出范围）。 ⑤ 「滑动前后」是两个不同的直角三角形状态，同一条实物的长度在两状态中不变，这是列方程的桥梁。 迁移应用 【变式18-1】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）翠园东晓中学旧改工程顺利完成．举行竣工典礼时，在高，长的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图所示，则地毯的长度至少需要________m． 【变式18-2】（24-25八年级下·广东湛江·期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 题型十九 勾股定理逆定理及应用 【例19】（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）如图，依据所标数据，下列判断正确的是（     ）． A．只有是直角三角形 B．只有是直角三角形 C．和都是直角三角形 D．和都不是直角三角形 💡破题要诀 ① 第一步排序：找出三边中最长的一条，记为 。 ② 第二步计算：分别算 与 。 ③ 第三步判断：相等则是直角三角形，且 所对的角是直角。 ④ 实际应用：判断一块地是否为直角三角形、判断两线是否垂直。 ⑤ 计算前务必统一单位。 迁移应用 【变式19-1】（25-26八年级下·辽宁朝阳·期末） 如图，在四边形中，，，，且． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【变式19-2】（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）某台风沿东西方向路线由向移动，是沿海一处气象观测站．已知观测站与直线上、两点的距离分别为、、．气象预报：距离台风中心及以内的区域会受到台风影响． (1)气象观测站会不会受到台风的影响？请说明理由． (2)若台风中心移动速度为每小时，求该观测站受台风影响的持续时间？ 【变式19-3】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）在一条东西走向的公路一侧有一个村庄D，公路边原有两个站点M，N，其中．由于道路施工，道路被阻断，现决定在公路边新建一个站点P（M、N、P在同一直线上），并新建一条道路．测得千米，千米，千米． (1)请判断道路是不是从村庄到公路的最短路径？并说明理由； (2)新道路比原道路短多少千米？ 题型二十 直角三角形全等的判定 【例20】（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，在中，是边上的高，且，点E为上的一点，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 💡破题要诀 ① 判定内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为 HL）。 ② 理解本质：由勾股定理，第三边必然也相等，所以 HL 其实就是 SSS 的特殊情形。 ③ 一般三角形的四条判定（SSS、SAS、ASA、AAS）对直角三角形同样适用。 ④ 书写时先说明「两个三角形都是直角三角形」，再用 HL。 ⑤ 注意只有直角三角形才能用 HL，一般三角形中同样的条件是 SSA，不能判定。 迁移应用 【变式20-1】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）在中，，，，平分，交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)求的长． 【变式20-2】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型二十一 利用轴对称解决最短路径问题 【例21】（25-26七年级下·北京·期中）如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 基本模型：直线同侧有两点 、，在直线上找一点 使 最小。 ② 作法：作出 关于直线的对称点 ，连接 ，与直线的交点即为所求的 。 ③ 理论依据：两点之间线段最短 + 轴对称的性质（）。 ④ 求最小值：最小值就是线段 的长度，用勾股定理计算。 ⑤ 两个动点（分别在两条边上）要作两次对称；「周长最小」常转化为几条线段之和最小。 迁移应用 【变式21-1】（21-22八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC与点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【变式21-2】（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”． 【分析问题】 (1)如图1，为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案．正确的方案是____________（填序号）． 【解决问题】 (2)如图2，在中，点与点关于直线对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为____________． 【类比探究】 (3)如图3，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3上作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹） ②当将军走过的路程最短，且时，则____________． 【变式21-3】（25-26七年级下·广东清远·期末）问题解决 【提出问题】 唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地出发，先到河流边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 (1)为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是 ． 【解决问题】 (2)如图2，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【类比探究】 (3)如图3，点是内一定点，将军牵马从军营点出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3中作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，求的度数． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级上·浙江台州·期中）在中，，，．下列条件中：①，②，③，④，⑤．能确定是直角三角形的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）等腰三角形的两边长分别为5和，则此三角形的周长为（　　） A． B． C． D．或 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为边上两点，且满足．连结．若，则与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，沿着过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点D处，折痕为，若，，则的周长是（   ） A．10 B．12 C．12.5 D．13.5 6．（25-26八年级上·浙江台州·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）《几何原本》卷2中的几何代数法是将代数定理通过图形实现证明．如图是勾股定理的推广．已知在钝角中，以其三边向外作正方形，若正方形的面积为36，J是边上靠近点B的三等分点，，记正方形的面积为，正方形的面积为，当的度数发生变化时，的值为______ ． 8．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，三条直线a，b，c互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上，已知，，且a，b之间的距离为2，b，c之间的距离为3，则的面积为________． 9．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，将一个等腰直角三角形按下图方式依次翻折，若，则下列说法中正确的是 （   ） ①平分； ②的长为； ③是等腰三角形； ④的周长等于的长． A．①②③ B．②④ C．②③④ D．③④ 10．（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 11．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为___． 12．（25-26八年级上·浙江温州·期中）命题“若，则或．”的逆命题为______． 13．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上． 14．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，平分，是的高，． (1)若，求的度数； (2)若为的4倍，求的度数． 15．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数． (2)若，的周长为10，求的长． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在等边中，，为的中点，，分别是，边上的动点，且满足，以为边向左作等边． (1)当时，则_____； (2)连结、，则最小值为_____． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，作射线是腰的高线，E是外射线上一动点，连接． (1)当时，求的长； (2)当时，求证：； (3)设的面积为，的面积为，且，有没有可能为等腰三角形，若有可能，求出相应的． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图1，在中，，点是线段上的任意一点，在的延长线上取一点，使得． (1)若，，求的度数． (2)若，求证：． (3)如图2，当点是线段的中点时，满足，若，求线段的长． 4．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，是中点，是上一动点，连接，将沿直线折叠得． (1)如图，当点恰好落在线段上时，求证：； (2)如图，在中，，，当点恰好落在线段上时，连接，求的长度； (3)如图，若为直角三角形，，，．连接、、，当与面积相等时，求的面积． 5．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，在和中，，且．连接．    (1)求证：①； ②是直角三角形； (2)若，点在线段上运动时，求周长的最小值． 6．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图1，在中，，是边上的高线，，． (1)求的长． (2)若点是射线上的一动点，作于点，连接， ①如图2，当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，求的长度； ②设直线交直线于点，连接，若，则长为______（直接写出结果）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $