专题04直角三角形（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材浙教版

专题04 直角三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直角三角形两锐角互余 掌握 “直角三角形两锐角和为 90°”，能求锐角度数，结合其他角性质（如角平分线）计算 常见题型：已知一个锐角求另一个； 易错点：忽略 “直角三角形” 前提 含30度角的直角三角形 掌握 “30度角对的直角边 = 斜边一半”及逆用，能求边长、证线段关系，结合等腰三角形解题 常见题型：折叠、含 30° 角的三角形边长计算； 斜中定理 掌握 “直角三角形斜边中线 = 斜边一半”，能证线段相等、求线段长，结合中点条件解题 常见题型：已知斜边求中线或反之； 易错点：非直角三角形误用定理 直角三角形的全等 熟练用 HL 及 SSS/SAS 等判定直角三角形全等，能根据条件选定理，区分 HL 与其他判定的适用场景 常见题型：已知直角 + 斜边 + 直角边用 HL； 易错点：混淆 HL 与 SSA（忽略直角） 直角三角形全等综合题 综合运用直角三角形性质（互余、斜中定理）与全等判定，解决多步证明或计算问题 常见题型：含中线、角平分线的直角三角形全等； 易错点：漏用直角性质 用勾股定理解直角三角形 掌握勾股定理，已知两边求第三边，结合面积、周长计算 常见题型：已知直角边求斜边、已知斜边与一直角边求另一直角边； 易错点：开方错误、单位换算漏算 勾股数问题 识别常见勾股数（如 3,4,5；5,12,13），能判断一组数是否为勾股数，构造简单勾股数 常见题型：勾股数的判断与补充； 易错点：忽略 “勾股数为正整数” 条件 勾股定理与折叠问题 找到折叠前后的等量关系（如对应边相等），构造直角三角形，用勾股定理列方程求解 常见题型：矩形、三角形折叠后求线段长； 易错点：找不到折叠后的直角三角形 利用勾股定理证明线段的关系 构造直角三角形（如作高），通过勾股定理推导线段的平方关系 常见题型：结合垂直条件证线段平方关系； 易错点：辅助线（作高）添加错误 勾股定理的证明方法 了解常见证明方法（如赵爽弦图、面积法拼接），能简述证明思路，结合图形验证定理 常见题型：赵爽弦图相关计算； 易错点：理解面积拼接时的等量关系 勾股定理的应用 用勾股定理解决实际问题（如梯子靠墙、航海距离、最短路径），建立直角三角形模型 常见题型：“梯子顶端下滑”“航海中两点距离” 问题； 易错点：实际场景转化为直角三角形错误 勾股定理的逆定理 掌握逆定理，能判断三角形是否为直角三角形 常见题型：已知三边判断三角形形状； 易错点：计算三边平方时出错 勾股定理逆定理的应用 综合逆定理与直角三角形性质，解决 “判定直角 + 计算边长” 的综合问题 常见题型：先判直角再求面积 / 斜边中线； 易错点：判定后漏用直角三角形性质 空间内最短路径问题 将立体图形（如长方体、圆柱）展开为平面图形，利用 “两点之间线段最短” 结合勾股定理求最短距离 常见题型：长方体表面两点最短路径、圆柱侧面展开路径； 易错点：展开方式错误（漏算一种展开情况） 知识点01直角三角形的概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”. 要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质 知识点02 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形. 含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半. 知识点03 直角三角形的判定 两个角互余的三角形是直角三角形. 在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 知识点04 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 2.注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 知识点05 勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 知识点06 等边三角形的概念 （1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2）性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3）判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4）推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 题型一 直角三角形两锐角互余 解｜题｜技｜巧 ① 定前提：先在图形中找 “直角符号（⊥）” 或题干中 “∠XXX=90°”，排除非直角三角形； ② 直接计算：已知一个锐角（如∠A=40°），另一个锐角 = 90°-∠A=50°； ③ 复杂场景（角平分线 / 折叠）：拆分角度后用互余。 【典例1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，，，则的度数为 ． 【变式2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，为直角三角形，，是斜边上的高，，则的度数是 ． 【变式3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）在中，，，是的高，是的角平分线，求的度数． 题型二 含30度角的直角三角形 解｜题｜技｜巧 ① 找“30°角”与“对边”，30°角的对边是“不与 30°角共顶点的直角边”（如 Rt△ABC 中，∠A=30°，∠C=90°，则对边为 BC）； ② 边长计算： •已知斜边（AB=6）→ 30° 角对边 BC=AB÷2=3； •已知 30° 角对边（BC=2）→ 斜边 AB=BC×2=4； ③ 逆用验证：若直角边 = 斜边一半（如 BC=AB÷2），则该直角边对的角 = 30°（必确认直角，非直角三角形不适用）。 【典例1】如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则 ． 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．若．则 ．    【变式2】（24-25八年级上·浙江·期中）如图，点E在边上，点F在边上，将等边沿折叠，使点A落在边上的点D的位置，，若的长是1，则等边的边长为 ． 【变式3】如图，在中，，D，E是内两点，连接，，延长交于点M，连接并延长交于点N．若平分，，，则的长是 ． 【变式4】如图，在中，，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点，求的长． 【变式5】如图，在中，为上一点，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型三 斜中定理 解｜题｜技｜巧 ① 定条件：确认 “直角三角形”+“线段是斜边中线”（如 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 中点，则CD是斜边中线）； ② 计算应用：斜边 AB=10→中线 CD=AB÷2=5；中线 CD=3→斜边 AB=6； ③ 证明线段相等：若中线 = 某直角边（如 CD=BC），则 BC=AB÷2→BC 对的角∠A=30°（结合含30°角性质）。 【典例1】如图在中，点是的中点，，（   ） A．8 B．5 C．4 D．3 【变式1】如图，在中，，D是的中点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于 ． 【变式3】在中，为钝角，都是这个三角形的高，P为的中点，若，则的度数为 ． 【变式4】如图，在中，是高，分别是的中点． (1)若，，求四边形的周长； (2)与有怎样的位置关系？证明你的结论． 题型四 直角三角形的全等 解｜题｜技｜巧 ① 优先用 HL：已知 “斜边 +一条直角边对应相等”，直接判定全等； ② 用普通判定： •已知“两直角边相等”（AC=DF，BC=EF）→ SAS（直角是两直角边的夹角，∠C=∠F=90°）； •已知“直角 + 一角 + 一边”（∠C=∠F=90°，∠A=∠D，AB=DE）→ AAS/ASA； ③ 避坑：解题时标注 “∠=90°”，避免漏用直角作为 “等角” 条件。 【典例1】如图，已知，，若用“”判定，还需补充一个条件，可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，中，，于D，于E，和交于点O，的延长线交于F，则图中全等直角三角形的对数为（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【变式2】如图，在中，于点，，，求证：． 题型五 直角三角形全等综合题 【典例1】如图，在的内部，点、在上，连接、，过点作，，垂足分别是、．且、恰好是和的中点，． (1)求证：； (2)求证：平分． 【变式1】如图，已知，垂足为，，垂足为，，．求证： (1)平分； (2)． 【变式2】（21-22八年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足． (1)求证：. (2)若，，求的长； (3)求证：． 题型六 用勾股定理解直角三角形 解｜题｜技｜巧 ① 辨边型：直角边与 90°角相邻，斜边是最长边（可通过 “边长大小” 判断，如 3、4、5 中，5 是斜边）； ② 套公式： ③ 验结果：确保 “两边之和＞第三边” 且边长为正（避免开方漏负号，边长无负）。 【典例1】（20-21八年级下·浙江台州·期末）如图，中，，是斜边的中点，过点作于点，则线段的长度为（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 【变式1】如图，在中，、，斜边的垂直平分线交于点D，交的延长线于点，连接，则的长为 【变式2】如图，在中，，垂足为点D，，，．求的面积． 【变式3】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，．点是延长线上的点，连接． (1)若，，．求的长； (2)若平分，，，直接写出的长． 题型七 勾股数问题 【典例1】下面四组数中不是勾股数的一组是（   ） A．6，10，8 B．1.5，2，2.5 C．10，24，26 D．9，40，41 【典例2】有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【变式1】下列各组数：①，，；②，，；③，，；④，，，其中是勾股数的有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【变式2】如图，正方形M经过2次“生长”形成“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，面积分别记作，所有的三角形都是直角三角形． (1)正方形的面积之间有什么关系？ (2)第2次“生长”出来的4个正方形的面积与正方形M的面积有什么关系？ (3)随着这棵勾股树的不断“生长”，请你提出一个问题，并给出答案． 【变式3】能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称为勾股数．观察下面表格中左栏给出的三个正整数． 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 ．．． ．．． 15，， ．．． ．．． (1)写出它们的共同点．（写出两条即可） (2)当时，求的值． 题型八 勾股定理与折叠问题 【典例1】如图，一张三角形纸片，，，．现将纸片折叠，使点A与点B重合，那么折痕长等于（   ） A．3cm B． C． D．5cm 【变式1】如图，在长方形纸片中，厘米，厘米．现将纸片沿直线折叠，使点与点重合，折痕为．则阴影部分的面积是 平方厘米． 【变式2】如图，在中，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为 ． 【变式3】如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为 ． 【变式4】如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是 ． 题型九 利用勾股定理证明线段的关系 【典例1】如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若，求证：． 【变式1】如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 题型十 勾股定理的证明方法 解｜题｜技｜巧 ① 赵爽弦图： •大正方形面积（边长 a+b）=(a+b)²； •大正方形面积 = 4 个直角三角形面积 + 小正方形面积（4×(1/2ab)+c²）； •联立：(a+b)²=2ab+c²→化简得 a²+b²=c²； ② 面积拼接法（总统证法）： •梯形面积（上底 a、下底 b、高 a+b）=(a+b)(a+b)/2； •梯形面积 = 2 个直角三角形面积 + 1 个等腰直角三角形面积（1/2ab+1/2ab+1/2c²）； •联立化简得 a²+b²=c²； ③ 关键：找准 “面积等量关系”，确保边长对应准确。 【典例1】如图，为上一点，，，，，交于点，且． (1)判断线段，，的数量关系，并说明理由； (2)连接，，若设，，，利用此图验证勾股定理． 【变式1】教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值． 【变式2】如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为． (1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________； ②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________； ③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理； (2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 题型十一 勾股定理的应用 【典例1】一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． (1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ (2)当这架云梯的顶端从A处下滑到达处时，它的底端从B处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是吗？ 【变式1】如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【变式3】如图，一棵高的巨大杉树在台风中被刮断，树顶C落在离树根B点处，科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B点的D处竖起一架梯子，请问这架梯子有多长？ 题型十二 勾股定理的逆定理 解｜题｜技｜巧 ① 排序：将三边按 “小→中→大” 排列（a≤b＜c，c 为最长边）； ② 计算：算 “小²+ 中²” 和 “大²”； ③ 判断： •若小²+ 中²= 大²→直角三角形，直角对最长边（∠C=90°）； •若不相等→非直角三角形； ④ 避坑：必须用 “最长边的平方” 与 “较短两边平方和” 比较，不可乱选边。 【典例1】如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为 时， 为直角三角形． 【变式1】如图，已知四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【变式2】如图，在四边形中，．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【变式3】如图，在四边形中，，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 题型十三 勾股定理逆定理的应用 【典例1】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿北偏东方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？ 【变式1】某中学A、两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量，米，米，米，米．求出四边形空地的面积． 【变式2】如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个三角形后，测得米，米，米，米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中阴影部分土地的面积． 【变式3】如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中，，，，． (1)连接，试求的长； (2)经测算，将这块空地打造成公园每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成公园需要的费用． 题型十四 空间内最短路径问题 【典例1】如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（   ）． A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1】如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的侧面爬到盒顶的点，蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ 【变式2】如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，求蚂蚁要爬行的最短路程．（） 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·浙江台州·期中）长度（单位：）如下的各组线段中，能组成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，4，5 C．6，8，10 D．7，12，13 2．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，由四个全等的直角三角形拼接而成，连接，其中，则的长是（    ） A．3 B． C．2 D． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于F，，若，则 ． 4．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，于点，求的度数． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期中）已知 是等边三角形，E、F 分别是边、上的点， 与相交于点G，且 ． (1)如图1， 的度数为 ； (2)如图2， 若， 垂足为D， 且，， 则的长度为 ； (3)如图3， 以为边在左侧作等边， 连接， 求证∶ ． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，E是上的一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 7．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证： (1) ； (2)． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，平分交于点，交于点．若，则的周长为（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图， 在中， ， 点在上， ， ， 延长至点， 使， 过点作于点 ， 交于点 ， 若， 则的长为 ． 4．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点随之停止运动．连接，，设点的运动时间为（）． (1)当点在线段上运动时，的长为_____（），的长为______（）（用含的式子表示）． (2)当与的一条边垂直时，求的值． (3)当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长． 5．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，已知是等边三角形，是边上任意一点（不和重合），，． (1)求证：． (2)如图，是的中点，连接，．连接，求的长度． (3)若，则的周长的最小值是______．（用含的代数式表示，直接写出答案） 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形中，度，E是上一点，且， (1)与全等吗？请说明理由； (2)求证：． 7．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，，，相交于点． (1)求证：； (2)平分，，，求的面积． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 3．（2024·山东淄博·中考真题）《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈尺，1尺寸）若设门的高和宽分别是尺和尺．则下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 5．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 6．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直角三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直角三角形两锐角互余 掌握 “直角三角形两锐角和为 90°”，能求锐角度数，结合其他角性质（如角平分线）计算 常见题型：已知一个锐角求另一个； 易错点：忽略 “直角三角形” 前提 含30度角的直角三角形 掌握 “30度角对的直角边 = 斜边一半”及逆用，能求边长、证线段关系，结合等腰三角形解题 常见题型：折叠、含 30° 角的三角形边长计算； 斜中定理 掌握 “直角三角形斜边中线 = 斜边一半”，能证线段相等、求线段长，结合中点条件解题 常见题型：已知斜边求中线或反之； 易错点：非直角三角形误用定理 直角三角形的全等 熟练用 HL 及 SSS/SAS 等判定直角三角形全等，能根据条件选定理，区分 HL 与其他判定的适用场景 常见题型：已知直角 + 斜边 + 直角边用 HL； 易错点：混淆 HL 与 SSA（忽略直角） 直角三角形全等综合题 综合运用直角三角形性质（互余、斜中定理）与全等判定，解决多步证明或计算问题 常见题型：含中线、角平分线的直角三角形全等； 易错点：漏用直角性质 用勾股定理解直角三角形 掌握勾股定理，已知两边求第三边，结合面积、周长计算 常见题型：已知直角边求斜边、已知斜边与一直角边求另一直角边； 易错点：开方错误、单位换算漏算 勾股数问题 识别常见勾股数（如 3,4,5；5,12,13），能判断一组数是否为勾股数，构造简单勾股数 常见题型：勾股数的判断与补充； 易错点：忽略 “勾股数为正整数” 条件 勾股定理与折叠问题 找到折叠前后的等量关系（如对应边相等），构造直角三角形，用勾股定理列方程求解 常见题型：矩形、三角形折叠后求线段长； 易错点：找不到折叠后的直角三角形 利用勾股定理证明线段的关系 构造直角三角形（如作高），通过勾股定理推导线段的平方关系 常见题型：结合垂直条件证线段平方关系； 易错点：辅助线（作高）添加错误 勾股定理的证明方法 了解常见证明方法（如赵爽弦图、面积法拼接），能简述证明思路，结合图形验证定理 常见题型：赵爽弦图相关计算； 易错点：理解面积拼接时的等量关系 勾股定理的应用 用勾股定理解决实际问题（如梯子靠墙、航海距离、最短路径），建立直角三角形模型 常见题型：“梯子顶端下滑”“航海中两点距离” 问题； 易错点：实际场景转化为直角三角形错误 勾股定理的逆定理 掌握逆定理，能判断三角形是否为直角三角形 常见题型：已知三边判断三角形形状； 易错点：计算三边平方时出错 勾股定理逆定理的应用 综合逆定理与直角三角形性质，解决 “判定直角 + 计算边长” 的综合问题 常见题型：先判直角再求面积 / 斜边中线； 易错点：判定后漏用直角三角形性质 空间内最短路径问题 将立体图形（如长方体、圆柱）展开为平面图形，利用 “两点之间线段最短” 结合勾股定理求最短距离 常见题型：长方体表面两点最短路径、圆柱侧面展开路径； 易错点：展开方式错误（漏算一种展开情况） 知识点01直角三角形的概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”. 要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质 知识点02 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形. 含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半. 知识点03 直角三角形的判定 两个角互余的三角形是直角三角形. 在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 知识点04 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 2.注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 知识点05 勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 知识点06 等边三角形的概念 （1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2）性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3）判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4）推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 题型一 直角三角形两锐角互余 解｜题｜技｜巧 ① 定前提：先在图形中找 “直角符号（⊥）” 或题干中 “∠XXX=90°”，排除非直角三角形； ② 直接计算：已知一个锐角（如∠A=40°），另一个锐角 = 90°-∠A=50°； ③ 复杂场景（角平分线 / 折叠）：拆分角度后用互余。 【典例1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质等知识点，关键是掌握全等三角形的对应角相等．由直角三角形的性质求出，由全等三角形的性质推出，即可得到的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选：． 【变式1】如图，，，，则的度数为 ． 【答案】/53度 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是掌握上述知识点． 先利用两直线平行内错角相等，求得，再利用直角三角形的两个锐角互余，求解的度数． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，为直角三角形，，是斜边上的高，，则的度数是 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键；先根据三角形高的定义得出 ，进而根据直角三角形的两个锐角互余得． ，然后再根据 即可得出答案． 【详解】解：∵是 斜边的高， ， ， ， ， 故答案为： 【变式3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）在中，，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的角平分线，外角的性质，高线，直角三角形两锐角互余的性质．根据高线可得的度数，再根据三角形的外角求得的度数，进而根据角平分线得到，即可求出的度数即可． 【详解】解： 是的高，， , , , 又是的角平分线， , , ． 题型二 含30度角的直角三角形 解｜题｜技｜巧 ① 找“30°角”与“对边”，30°角的对边是“不与 30°角共顶点的直角边”（如 Rt△ABC 中，∠A=30°，∠C=90°，则对边为 BC）； ② 边长计算： •已知斜边（AB=6）→ 30° 角对边 BC=AB÷2=3； •已知 30° 角对边（BC=2）→ 斜边 AB=BC×2=4； ③ 逆用验证：若直角边 = 斜边一半（如 BC=AB÷2），则该直角边对的角 = 30°（必确认直角，非直角三角形不适用）。 【典例1】如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则 ． 【答案】16 【分析】过点D作，交于F，先证是等边三角形，再证，得，设，则，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可． 【详解】解：如下图，过点D作，交于F， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， 点P为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，解题的关键是作辅助线证明． 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．若．则 ．    【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形．熟练掌握含角的直角三角形的性质，三角形角平分线定义，等腰三角形的判定和性质，三角形中线定义，是解题的关键． 先求出，根据角平分线定义得，根据含角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定可得，，则，由三角形边中线得，根据即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，， ∴， ∵是边上的中线． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·浙江·期中）如图，点E在边上，点F在边上，将等边沿折叠，使点A落在边上的点D的位置，，若的长是1，则等边的边长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、翻折变换的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地求出BD的长或AE的长是解题的关键．设，则，求得，由折叠得，所以，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：设， ∵是等边三角形， ∴， ∵于点F，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，在中，，D，E是内两点，连接，，延长交于点M，连接并延长交于点N．若平分，，，则的长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据等腰三角形三线合一的性质得出，再判断是等边三角形，继而得出，再根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半得出，即可求解． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【变式4】如图，在中，，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点，求的长． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质得出是的平分线，，结合已知求出，根据是的角平分线，，求出，从而求出． 【详解】解：在中，，， ， 是的中线， 是的平分线，， ，， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ． 【变式5】如图，在中，为上一点，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质， （1）由等角对等边，即可证明问题； （2）由等腰三角形的三线合一性质推出，由含角的直角三角形的性质推出，可得答案； 解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即的长为． 题型三 斜中定理 解｜题｜技｜巧 ① 定条件：确认 “直角三角形”+“线段是斜边中线”（如 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 中点，则CD是斜边中线）； ② 计算应用：斜边 AB=10→中线 CD=AB÷2=5；中线 CD=3→斜边 AB=6； ③ 证明线段相等：若中线 = 某直角边（如 CD=BC），则 BC=AB÷2→BC 对的角∠A=30°（结合含30°角性质）。 【典例1】如图在中，点是的中点，，（   ） A．8 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质来求解．本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，点是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式1】如图，在中，，D是的中点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形的性质得到，得到为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：， ， ∵D是的中点， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用“直角三角形斜边中点到三顶点距离相等”得出等腰三角形，再结合等腰三角形底角相等和三角形外角等于不相邻两内角和推导角度． 由且E为中点，得，故；由得，再利用三角形外角性质得，，计算得角度． 【详解】解：由条件可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】在中，为钝角，都是这个三角形的高，P为的中点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形中两锐角互余，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边对等角，根据直角三角形中两锐角互余，先求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得到，，根据等边对等角得到，最后根据求出结果． 【详解】解：， ， ，P为的中点， ，， ， ， 故答案为：． 【变式4】如图，在中，是高，分别是的中点． (1)若，，求四边形的周长； (2)与有怎样的位置关系？证明你的结论． 【答案】(1) (2)垂直，证明见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，以及中垂线的性质，熟练掌握这些性质是解题关键． （1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出，的长，进而可以求出周长； （2）根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上证明即可． 【详解】（1）解：是的高， 和均为直角三角形， 又、分别是、的中点 ， 四边形的周长为 （2）结论：垂直，证明如下： 由（1）可知，， 、在的垂直平分线上， 垂直． 题型四 直角三角形的全等 解｜题｜技｜巧 ① 优先用 HL：已知 “斜边 +一条直角边对应相等”，直接判定全等； ② 用普通判定： •已知“两直角边相等”（AC=DF，BC=EF）→ SAS（直角是两直角边的夹角，∠C=∠F=90°）； •已知“直角 + 一角 + 一边”（∠C=∠F=90°，∠A=∠D，AB=DE）→ AAS/ASA； ③ 避坑：解题时标注 “∠=90°”，避免漏用直角作为 “等角” 条件。 【典例1】如图，已知，，若用“”判定，还需补充一个条件，可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等求解即可． 【详解】解：由题意可知，，即两直角三角形斜边相等， 若用“”判定和全等，则还需一组直角边相等， 即或， 只有B选项符合. 故选：B． 【变式1】如图，中，，于D，于E，和交于点O，的延长线交于F，则图中全等直角三角形的对数为（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、．做题时要由易到难，不重不漏．，，，，，，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 【详解】解：，， ， ， ， ； ， ， ， ， ； ， ， ， ； ， ； ， ， ，， ，， 综上，共有6对全等直角三角形， 故选：D． 【变式2】如图，在中，于点，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，直接利用可证明． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ． 题型五 直角三角形全等综合题 【典例1】如图，在的内部，点、在上，连接、，过点作，，垂足分别是、．且、恰好是和的中点，． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）由，，垂足分别是F，G，得，根据“”证明，则； （2）由全等三角形的性质得，推导出，由，且，推导出，而，即可根据“”证明，得，则平分． 【详解】（1）证明：∵，，垂足分别是F，G， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴，， ∵，， ∴， ∵、恰好是和的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴平分． 【变式1】如图，已知，垂足为，，垂足为，，．求证： (1)平分； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“”定理证出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线的判定即可求证； （）证明，根据全等得出，即可求证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在角平分线上， ∴平分； （2）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（21-22八年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足． (1)求证：. (2)若，，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由“”可证； （2）过E作于G点，由角平分线的性质可得，由“”可证，，可得，，由勾股定理可求的长； （3）由（2）可知，，，可得结论． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：如图，过E作于G点， 又∵为的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）证明：由（2）可知，，， ∴． 题型六 用勾股定理解直角三角形 解｜题｜技｜巧 ① 辨边型：直角边与 90°角相邻，斜边是最长边（可通过 “边长大小” 判断，如 3、4、5 中，5 是斜边）； ② 套公式： ③ 验结果：确保 “两边之和＞第三边” 且边长为正（避免开方漏负号，边长无负）。 【典例1】（20-21八年级下·浙江台州·期末）如图，中，，是斜边的中点，过点作于点，则线段的长度为（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线定理、勾股定理及等积法，熟练掌握直角三角形斜边中线定理、勾股定理及等积法是解题的关键；由勾股定理可得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是斜边的中点， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 【变式1】如图，在中，、，斜边的垂直平分线交于点D，交的延长线于点，连接，则的长为 【答案】/ 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质和勾股定理的应用，是直角三角形，即满足勾股定理，设，由线段垂直平分线的性质得，，代入，求得，由勾股定理得．得，再由勾股定理得， 【详解】解：设， ∵是线段的垂直平分线且， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，, ∵垂直平分, ∴； 在中，， 故答案为：． 【变式2】如图，在中，，垂足为点D，，，．求的面积． 【答案】84 【分析】本题考查了勾股定理，在中，根据勾股定理求出，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又， ∴， ∴． 【变式3】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，．点是延长线上的点，连接． (1)若，，．求的长； (2)若平分，，，直接写出的长． 【答案】(1)4 (2)18 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定及性质等．掌握角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． （1）由勾股定理得，，即可求解； （2）过作交于，由角平分线的性质得，由勾股定理得，由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：过作交于， ， ，， ， 平分，， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， 解得：． 故的长为． 题型七 勾股数问题 【典例1】下面四组数中不是勾股数的一组是（   ） A．6，10，8 B．1.5，2，2.5 C．10，24，26 D．9，40，41 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义：满足 的三个正整数称为勾股数，分别对每一项进行分析即可． 【详解】解：A、，是勾股数，不符合题意； B、有两个数不是整数，不是勾股数，符合题意； C、，是勾股数，不符合题意； D、，是勾股数，不符合题意． 故选：B． 【典例2】有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了勾股定理规律问题．根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：， 由勾股定理得：， 则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4， …… “生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2026． 故答案为：2026． 【变式1】下列各组数：①，，；②，，；③，，；④，，，其中是勾股数的有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股数的定义，解题关键是熟练掌握勾股数的定义． 勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，且作为勾股数的三个数必须是正整数，根据定义即可求解． 【详解】解：，符合勾股数的定义； ，不符合勾股数的定义； 、不是正整数，不符合勾股数的定义； ，符合勾股数的定义． 综上，是勾股数的有①④． 故选：． 【变式2】如图，正方形M经过2次“生长”形成“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，面积分别记作，所有的三角形都是直角三角形． (1)正方形的面积之间有什么关系？ (2)第2次“生长”出来的4个正方形的面积与正方形M的面积有什么关系？ (3)随着这棵勾股树的不断“生长”，请你提出一个问题，并给出答案． 【答案】(1) (2) (3)这棵树每次“生长”增加的正方形面积之和是多少？答案：每次生长增加的正方形面积之和是 【分析】此题主要考查了三角形、正方形的面积计算以及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式． （1）根据正方形的面积公式及勾股定理得出、、之间的关系即可； 【详解】（1）解：正方形和是通过在正方形的边上构建直角三角形后形成的，根据勾股定理，直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上的正方形面积之和， 因此，正方形的面积等于正方形和的面积之和，即：． （2）解：正方形、、、是通过在正方形和 的边上构建直角三角形后形成的．根据勾股定理，正方形和的面积之和等于正方形的面积，而正方形、、、的面积之和等于正方形和的面积之和． 因此，正方形、、、的面积之和等于正方形的面积，即：． （3）解：这棵树每次“生长”增加的正方形面积之和是多少？ 答案：每次生长增加的正方形面积之和是． 【变式3】能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称为勾股数．观察下面表格中左栏给出的三个正整数． 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 ．．． ．．． 15，， ．．． ．．． (1)写出它们的共同点．（写出两条即可） (2)当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了勾股定理的应用和数字规律的探寻，理解题意是解题关键． （1）根据表格找出规律即可； （2）利用（1）中得出的规律，把已知数据代入即可． 【详解】（1）解：①以上各组数均满足； ②最小的数是奇数，其余的两个数是连续的正整数； ③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和． （写两条即可，合理即可） （2）设，则． 有，解得， ，． 题型八 勾股定理与折叠问题 【典例1】如图，一张三角形纸片，，，．现将纸片折叠，使点A与点B重合，那么折痕长等于（   ） A．3cm B． C． D．5cm 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握利用勾股定理列方程求解是关键．连结，设，先求出，在中，根据勾股定理列方程，求得，最后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图， ，，， ， 设，则， 由折叠可知，，， 在中，， ， 解得，即， 在中，， 即折痕长等于． 故选：C． 【变式1】如图，在长方形纸片中，厘米，厘米．现将纸片沿直线折叠，使点与点重合，折痕为．则阴影部分的面积是 平方厘米． 【答案】138 【分析】本题考查轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 由长方形与折叠可证，得到，在中，由勾股定理有，因此，结合厘米，求出厘米，厘米，从而根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴厘米，厘米，， 由折叠可得，，厘米，， ∴，，， ∴， ∴， ∵在中，由勾股定理有， ∴， ∵厘米， ∴厘米， ∴厘米，厘米， ∴厘米， ∴ （平方厘米）． 故答案为：138 【变式2】如图，在中，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的不变性是解题的关键．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， 故答案为：3． 【变式3】如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 设，根据勾股定理求出的长，根据翻折变换的性质用表示出、、，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴． 故选：A． 【变式4】如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，，可得，继而设，则，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处， ∴，， ∵折叠纸片，使点与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， 解得：， 即， 故答案为：； 题型九 利用勾股定理证明线段的关系 【典例1】如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1)7 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）先计算，结合，计算，再求的长； （2）连接，在上截取，连接，先证明，再利用等腰三角形的性质，勾股定理证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，在上截取，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【变式1】如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，进而推出，勾股定理求出，进而推出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． （2） 如图，连接． ∵． ∴． 同（1）法可得：． ∴． ∴，即． 在中，由勾股定理可知：． ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十 勾股定理的证明方法 解｜题｜技｜巧 ① 赵爽弦图： •大正方形面积（边长 a+b）=(a+b)²； •大正方形面积 = 4 个直角三角形面积 + 小正方形面积（4×(1/2ab)+c²）； •联立：(a+b)²=2ab+c²→化简得 a²+b²=c²； ② 面积拼接法（总统证法）： •梯形面积（上底 a、下底 b、高 a+b）=(a+b)(a+b)/2； •梯形面积 = 2 个直角三角形面积 + 1 个等腰直角三角形面积（1/2ab+1/2ab+1/2c²）； •联立化简得 a²+b²=c²； ③ 关键：找准 “面积等量关系”，确保边长对应准确。 【典例1】如图，为上一点，，，，，交于点，且． (1)判断线段，，的数量关系，并说明理由； (2)连接，，若设，，，利用此图验证勾股定理． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明过程见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的证明，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据可证明，则，．又因为，代换线段可得答案； （2）根据列出等式，化简即可得到答案． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图， ，， ． 又， ． ，， ． 在和中， ， ， ，． 又， ． （2）证明：， ∴， 由（1）得，， 作于， ，， ， ， 由平行线间距离处处相等可知， ∴， ， ． 【变式1】教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理的证明及应用，熟悉勾股定理的证明方法及应用是解题的关键； （1）先计算出梯形的面积，另一方面此梯形还可表示为两条直角边分别为a、b的两个直角三角形的面积与一个等腰直角三角形面积的和，由此即可得出勾股定理； （2）分别在与中，由勾股定理得; ，由此得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即； （2）解：在中，; 在中，， 所以， 解得， ∴， ∴． 【变式2】如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为． (1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________； ②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________； ③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理； (2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 【答案】(1)①，；②，；③； (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，熟练掌握通过图形面积关系验证勾股定理的方法是解题的关键． （1）①通过观察图②，确定大、小正方形的边长；②分别从整体和部分的角度表示大正方形的面积；③根据面积相等得出等式，进而验证勾股定理． （2）计算图③中图形的面积，从不同角度表示后，根据面积相等验证勾股定理． 【详解】（1）解：①大正方形的边长为，小正方形的边长为． ②大正方形的面积可以表示为，也可以表示为． ③由面积相等可得， 展开得， 整理得． （2）解：梯形的面积为，又梯形的面积为， ∴， ∴， 两边同乘得， 整理得，验证了勾股定理． 题型十一 勾股定理的应用 【典例1】一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． (1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ (2)当这架云梯的顶端从A处下滑到达处时，它的底端从B处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是吗？ 【答案】(1)这架云梯的顶端到地面的距离是 (2)云梯底端在水平方向滑动的距离为，不是 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）根据梯子的长度不变，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，，， 由勾股定理，得； 答：这架云梯的顶端到地面的距离是； （2）由题意，得，， 由勾股定理，得， ∴， 故云梯底端在水平方向滑动的距离为，不是． 【变式1】如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键． 由题意得，，，，即为消防车的高，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解． 【详解】解：由题意，得，，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 即消防车需要从点处向点处移动的距离为． 故选：C． 【变式2】如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【答案】(1)旗杆的高度为米 (2)此时绳结离地面米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． （1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答； （2）由题可知，米，米．在中根据勾股定理列出方程 ，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 答：旗杆的高度为米： （2）解：由题可知，米，米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴（米）， 答：此时，绳结离地面米高． 【变式3】如图，一棵高的巨大杉树在台风中被刮断，树顶C落在离树根B点处，科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B点的D处竖起一架梯子，请问这架梯子有多长？ 【答案】这架梯子的长为 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设的长为，则，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：设的长为，则． 根据题意，得， 即， 解得． ∴的长为． 在中，， 由勾股定理，得． 答：这架梯子的长为． 题型十二 勾股定理的逆定理 解｜题｜技｜巧 ① 排序：将三边按 “小→中→大” 排列（a≤b＜c，c 为最长边）； ② 计算：算 “小²+ 中²” 和 “大²”； ③ 判断： •若小²+ 中²= 大²→直角三角形，直角对最长边（∠C=90°）； •若不相等→非直角三角形； ④ 避坑：必须用 “最长边的平方” 与 “较短两边平方和” 比较，不可乱选边。 【典例1】如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为 时， 为直角三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于，如图： 则四边形为长方形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，， ， 当时，， 即， ， 解得，； 当时，如图：作于， 由勾股定理得，，， ， 在中，， 即， ， 解得：； 当时，在中， 则， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 【变式1】如图，已知四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，连接，由勾股定理求出，再由勾股定理逆定理得出，再由四边形的面积计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【变式2】如图，在四边形中，．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）先求得，再由勾股定理求出的长． 【详解】（1）是直角三角形． 理由如下： 在中， 是直角三角形； （2）在四边形中， 由（1）得， ∴在中， 【变式3】如图，在四边形中，，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理、勾股定理逆定理求证即可； （2）结合三角形面积公式，根据四边形的面积求解即可． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴ ∵， ∴ ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵，四边形的面积， ∴四边形的面积． 题型十三 勾股定理逆定理的应用 【典例1】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿北偏东方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？ 【答案】“海天”号沿北偏西方向航行 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的实际应用，根据题意可求出的长，则可证明得到，根据“远航”号的航向得到的度数，进而求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，海里，海里， ∴， ∵海里， ∴， ∴， ∴， ∵“远航”号沿北偏东方向航行， ∴， ∴， ∴“海天”号沿北偏西方向航行， 答：“海天”号沿北偏西方向航行． 【变式1】某中学A、两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量，米，米，米，米．求出四边形空地的面积． 【答案】平方米 【分析】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，分别求出和的面积，题目可解． 【详解】解：连接，         在中， ∵，米，米， ∴米， 在中， ∵米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ 平方米． ∴四边形空地的面积为平方米． 【变式2】如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个三角形后，测得米，米，米，米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中阴影部分土地的面积． 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2)平方米 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用； （1）直角三角形中，利用勾股定理解出，再利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形； （2）由，结合三角形面积公式解答． 【详解】（1）解：直角三角形ABC中， ，， ， ， ， ， 是直角三角形； （2） （平方米）． 【变式3】如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中，，，，． (1)连接，试求的长； (2)经测算，将这块空地打造成公园每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成公园需要的费用． 【答案】(1) (2)468000元 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用． （1）直接利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，进而求出空地的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ . 故的长为； （2）解：∵， ∴. ∴是直角三角形，. ∴该空地的面积为 ， (元) ． 故将这块地打造成公园需要468000元． 题型十四 空间内最短路径问题 【典例1】如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（   ）． A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．利用展开图，轴对称，勾股定理计算即可． 【详解】解：如图， 根据题意，，   作点关于直线的对称点G，连接，则为所求最小值， 则， 过点作，交的延长线于点E， 则四边形是矩形， 故， 故， 故， 故选：C． 【变式1】如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的侧面爬到盒顶的点，蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ 【答案】最短行程是 【分析】此题考查了勾股定理—最短路径问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．根据题意分两种情况，分别作图，利用勾股定理列式计算，进行求解，然后比较即可． 【详解】解：如图所示，连接即为所求路线， 根据题意：，， ∵在中， ∴根据勾股定理，， 如图所示，连接即为所求路线， 根据题意：，， ∵在中， ∴根据勾股定理，， ∵ ∴最短行程是． 【变式2】如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，求蚂蚁要爬行的最短路程．（） 【答案】蚂蚁要爬行的最短距离是厘米 【分析】本题考查平面展开最短路径问题，圆柱展开为长方形，根据题意可知道点和在平面上的位置，根据两点之间线段最短可求出解． 【详解】解：将圆柱的侧面展开，为的中点，如图所示： 就是蚂蚁爬的最短路径． 底面半径为， （厘米）， （厘米）， 厘米， （厘米）． 故蚂蚁要爬行的最短距离是厘米． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·浙江台州·期中）长度（单位：）如下的各组线段中，能组成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，4，5 C．6，8，10 D．7，12，13 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，解题的关键是掌握若三条线段满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则它们能组成直角三角形． 根据勾股定理的逆定理，若三条线段满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则它们能组成直角三角形．逐一验证各选项即可． 【详解】解：选项A：1，2，3 最长边为3，验证 ，而 ，，不能组成直角三角形． 选项B：2，4，5 最长边为5，验证 ，而 ，，不能组成直角三角形． 选项C：6，8，10 最长边为10，验证 ，而 ，，满足条件，能组成直角三角形． 选项D：7，12，13 最长边为13，验证 ，而 ，，不能组成直角三角形． 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，由四个全等的直角三角形拼接而成，连接，其中，则的长是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理及利用全等三角形确定相关边的长度是解题的关键．先根据全等直角三角形的性质确定小直角三角形的直角边长度，再利用勾股定理求的长． 【详解】解：∵ 四个直角三角形全等，，， ∴ 内部小正方形的边长为， 又∵ 是由小直角三角形的两条直角边构成的等腰直角三角形的斜边， ∴ 根据勾股定理，， 故选：． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于F，，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理．连接，先根据线段垂直平分线的性质得到的长，再判定是斜边边上的中线，得到的长，最后根据勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴． ∵是边上的高线， ∴是直角三角形，且． ∵是边上的中线， ∴是斜边边上的中线， ∴， ∴． ∴． 故答案为：6． 4．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，由等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期中）已知 是等边三角形，E、F 分别是边、上的点， 与相交于点G，且 ． (1)如图1， 的度数为 ； (2)如图2， 若， 垂足为D， 且，， 则的长度为 ； (3)如图3， 以为边在左侧作等边， 连接， 求证∶ ． 【答案】(1) (2)5 (3)证明过程见详解 【分析】（1）运用证明，再由即可求出的度数； （2）求出，根据直角三角形中度角所对的直角边等于斜边的一半可得，由此即可求出的长度； （3）延长至，使，连接，可得为等边三角形，再证明出，根据全等三角形的性质得到，从而证得． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：由（1）得，， ，且，， ， ， ； 故答案为：5； （3）解：延长至，使，连接，如图： ， ， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，E是上的一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，证明是本题的关键． （1）由“”可证，根据全等三角形的性质得到； （2）根据全等三角形的性质得到，由余角的性质可得，由勾股定理可求的长，根据三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ， 在与中， ， ， ； （2）解：由（1）可知， ∴， ∵， ， ，而， 为等腰直角三角形； 又，， ， ， 的面积． 7．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证： (1) ； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用证明，即可作答． （2）由（1）得，则，再运用证明，即可作答． 【详解】（1）证明：在和中， ∴． （2）解：由（1）得， ∴， ∵与分别为，边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，平分交于点，交于点．若，则的周长为（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线，等角对等边，勾股定理等知识；由角平分线的概念及平行线的性质得，，由勾股定理得从而可求得的周长． 【详解】解：∵平分交于点D， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的周长为． 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求解即可． 【详解】解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图， 在中， ， 点在上， ， ， 延长至点， 使， 过点作于点 ， 交于点 ， 若， 则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，过点作于点，设，则，求出，利用直角三角形的性质得 则，同理得，则，，再证，进而可依据“”判定，从而得，则，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示， 设， ∵， ∴， ∵， ， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点随之停止运动．连接，，设点的运动时间为（）． (1)当点在线段上运动时，的长为_____（），的长为______（）（用含的式子表示）． (2)当与的一条边垂直时，求的值． (3)当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长． 【答案】(1)； (2) 或 或 (3) 【分析】（1）结合题意“点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为1”，即可获得答案； （2）分三种情形讨论：当时，当时和当时，分别求解即可； （3）设与交于点，过点作，交于点，证明，由全等三角形的性质可得，即与中点重合，易知中点的运动轨迹在边上，且点经过的路径长为边的一半，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，当点在线段上运动时， ， ． （2）解：∵是边长为的等边三角形， ，， 如图1中，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得 ； 如图2中，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得 ； 如图3中，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得 ． 综上所述， 或 或 ； （3）解：根据题意，当点从点运动到点的过程中， ， 如下图，设与交于点，过点作，交于点， 则，，， ∴为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即与中点重合， ∴中点的运动轨迹在边上， 当与点重合时，与点重合，此时中点位于中点， 当与点重合时，此时， ∴， ∴，即此时中点与点重合， ∴中点经过的路径长． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、列代数式、一元一次方程的应用、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，理解题意，运用分类讨论的思想思考问题是解题关键． 5．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，已知是等边三角形，是边上任意一点（不和重合），，． (1)求证：． (2)如图，是的中点，连接，．连接，求的长度． (3)若，则的周长的最小值是______．（用含的代数式表示，直接写出答案） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）由等边三角形的性质可得，， 进而由可证，即可求证； （）由可得，， 即得是等边三角形， 得到，进而得，过点作直线于，由 可得，得到，即可得，得到，即得到，，最后利用勾股定理即可求解； （）由知是等边三角形可得的周长，可知当时，有最小值，即的 周长有最小值，利用直角三角形的性质和勾股定理可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：由()可知， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 如图，过点作直线于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）解：由()可知是等边三角形， ∴， ∴的周长， ∴当时，有最小值，即的 周长有最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形中，度，E是上一点，且， (1)与全等吗？请说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】考查了直角三角形的判定．熟练掌握直角三角形的判定和性质，是解题的关键． （1）由可得，进而可利用证明； （2）根据得，结合即得． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴． 7．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，，，相交于点． (1)求证：； (2)平分，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由可证，得到，再根据等角对等边即可求证； （）过点作于，由角平分线的性质可得，再根据三角形面积公式计算即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，角平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， 即， ∴； （2）解：过点作于， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 2．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合，得，由平移得到，根据平移对应线段相等，可知，进而得． 【详解】在中，，是中点， ∴， ∵， ∴， ∵沿方向向右平移至， ∴， 故选：B． 3．（2024·山东淄博·中考真题）《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈尺，1尺寸）若设门的高和宽分别是尺和尺．则下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题列方程组、勾股定理，设门的高和宽分别是尺和尺，根据“已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈”结合勾股定理列出方程组即可，理解题意，找准等量关系，正确列出方程组是解此题的关键． 【详解】解：设门的高和宽分别是尺和尺， 由题意得：， 故选：D． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 5．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 6．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【答案】(1) (2)，，，其中、、都是正整数，，证明见解析 (3)280 【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案． 【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24． （2）解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； （3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $