专题02全等三角形（期中复习讲义，知识必备+14大题型+分层专练）八年级数学上学期新教材浙教版

专题02 全等三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 图形的全等 掌握全等图形定义（完全重合），能识别全等图形 高频考法：结合三角形、四边形判断全等； 易错点：忽略 “对应元素” 全等三角形的概念与性质 掌握全等三角形定义、对应元素，能找对应关系，用性质求边、角值 高频考法：结合公共边 / 角找对应边 / 角；易错点：对应顶点顺序混淆 全等三角形的判定方法选择 熟记 SSS/SAS/ASA/AAS/HL，能按已知条件选定理，排除 SSA 陷阱 高频考法：“2 边 + 角” 定 SAS、“2 角 + 边” 定 ASA/AAS； 易错点：误用 SSA 垂直平分线的性质 掌握垂直平分线上点到线段两端距离相等的性质，能用性质推边等，结合三角形求线段 高频考法：利用性质证等腰三角形； 易错点：忽略 “线段两端” 条件 角平分线的性质 掌握角平分线上点到角两边距离相等的性质，能用性质推垂线段相等，证边 / 角等 高频考法：结合垂直条件证线段相等； 易错点：混淆 “距离”（需垂直） 三角形全等的证明 掌握证明步骤（标条件→找对应→用定理），能写规范证明过程，解决多步证全等问题 重点题型；高频考法：含公共边 / 对顶角 / 中线的证明； 易错点：步骤跳步、条件遗漏 动点问题中的全等三角形 理解动点 “变与不变量”，分类讨论，列方程并检验范围 高频考法：易错点：漏分类、不验 t 范围 全等三角形模型——倍长中线模型 掌握模型核心（延长中线至等长，构全等），能补中线辅助线，证线段和差 高频考法：已知中线，证 AB=CD； 易错点：延长方向错、不找对应关系 全等三角形的模型——半角模型 掌握模型特征（大角含半角，如 90° 含 45°），能旋转构全等，证线段关系 高频考法：正方形 / 等腰直角三角形中用半角； 易错点：旋转后对应边找错 全等三角形的模型——一线三等角模型 掌握模型特征（同一直线 3 个等角，如 3 个直角），能证 “角角边” 全等，求线段长 高频考法：直角坐标系中一线三垂直； 易错点：忽略 “等角” 条件 全等三角形的模型——截长补短模型 掌握模型方法（截长 / 补短构全等），能添加截 / 补辅助线，证线段和差（如 AB=CD+EF） 高频考法：证 “线段和 = 第三边”； 易错点：截 / 补位置错、辅助线描述不清 全等三角形的模型——手拉手模型 掌握模型特征，能找全等三角形，证边 / 角等 高频考法：等边 / 等腰直角三角形手拉手； 易错点：混淆 “拉手边”（如 AB 与 AD） 垂直平分线的证明 掌握证明方法（证 “垂直 + 平分” 或用逆定理），能选合适方法，结合全等证垂直平分 高频考法：用全等推 “垂直 + 平分”； 易错点：只证垂直 / 平分，漏其一 尺规作图 会作全等三角形、角平分线、垂直平分线，能描述作图步骤并保留痕迹，结合性质验证 高频考法：作角平分线 / 垂直平分线 ；易错点：作图痕迹不完整、步骤描述错 知识点01 全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点02 全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等； ②全等三角形的周长相等，面积相等；③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 知识点03 全等三角形的判定 全等三角形判定1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 全等三角形判定2——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 全等三角形判定3——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 全等三角形判定4——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 知识点04 判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 题型一 图形的全等 解｜题｜技｜巧 常见的全等图形（如四边形、矩形、菱形、圆）的判定，核心逻辑仍是 “对应元素相等 + 图形特有的性质”： 四边形全等：需满足 “四边对应相等 + 四角对应相等”（因四边形具有不稳定性，仅边或角相等不够）； 矩形全等：矩形对边相等、四角都是直角，因此判定条件可简化为 “一组邻边对应相等”（因邻边确定后，四边和四角都确定）； 菱形全等：菱形四边相等、对角相等，因此判定条件可简化为 “一组邻角对应相等” 或 “一条对角线对应相等”； 圆全等：圆的大小由半径决定，因此 “半径相等的圆全等”。 【典例1】．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等图形的定义．完全重合的两个图形叫做全等图形．根据定义，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、两个图形一个是圆形、一个是方形，不能完全重合，不是全等图形，本选项不符合题意； B、两个图形，一个是正六边形、一个是正五边形，不能完全重合，不是全等图形，本选项不符合题意； C、两个心形图案能完全重合，是全等图形，本选项符合题意； D、两个图形一大一小，不能完全重合，不是全等图形，本选项不符合题意； 故选：C． 【典例2】．（20-21八年级上·河南驻马店·期中）如示例图将的棋盘沿格线划分成两个全等的图形，请再用另外3种方法将的棋盘沿格线划分成两个全等图形（约定分割线必须经过网格线）． 【答案】详见解析 【分析】此题主要考查全等形，理解全等形的概念是解题关键． 直接利用全等图形的性质来构造图形． 【详解】解：如图所示： 【变式1】2025年国际篮联亚洲杯在沙特阿拉伯吉达举行，中国男篮获得亚军，女篮获得季军．下列与体育赛事相关的图标中，是由同一种全等图形组合而成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形，能够完全重合的两个图形是全等图形．根据全等图形的概念分析即可． 【详解】解：选项ABC的图形不是由同一种全等图形组合而成的，故都不符合题意； 选项D的图形是由五个全等的平行四边形构成，是由同一种全等图形组合而成的，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2】下列各组图形中，不是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等形的识别．根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解． 【详解】解：观察发现，B、C、D选项的两个图形都可以完全重合， ∴B、C、D选项的两个图形都是全等图形， A选项中两个图形不可能完全重合， ∴它们不是全等形． 故选：A． 题型二 全等三角形的概念与性质 【典例1】（19-20八年级上·浙江杭州·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．两个等边三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等 C．全等三角形的面积一定相等 D．面积相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】根据全等图形的概念和性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、两个等边三角形一定相似，但不一定全等，如一个等边三角形三边为2，2，2，另一个等边三角形是3，3，3，故选项A中的命题是假命题； B、形状相同的两个三角形相似，但不一定全等，如一个边长为2的等边三角形和一个边长为3的等边三角形，故选项B中的命题是假命题； C、全等三角形大小形状完全相同，所以面积一定相等，故选项C中的命题是真命题； D、面积相等的两个三角形不一定全等，如同底边，等高的两个三角形，故选项D中的命题是假命题； 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理和全等图形的性质，解答本题的关键是明确题意，可以判断出各个选项中的命题的真假． 【典例2】（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，，则CF的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应线段相等，据此可得，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质得出答案．掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 【详解】解：如图所示： ， ∵两个三角形全等，与是对应角， ∴． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，若，，则的长度是 ． 【答案】3.5 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，解题时注意：全等三角形的对应边相等．先根据全等三角形的性质，得出对应边相等，再根据线段的和差关系进行计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴的长度是． 故答案为：． 题型三 全等三角形的判定方法选择 解｜题｜技｜巧 1.先定类型：直角三角形优先用HL（需斜边 + 一条直角边对应相等）；普通三角形按已知条件选。 2按已知元素选定理： 3 边相等→SSS； 2 边 + 夹角相等→SAS（SSA 不行）； 2 角 + 边相等→夹边用ASA，对边用AAS； 1 边 1 角→先补 1 个相等元素（如公共角、中线得等边），再按上述选。 3.关键提醒： 挖隐含条件（公共边 / 角、对顶角、垂直 / 中线性质）； 避开 SSA、对应关系错这两个坑。 【典例1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，这一做法用到三角形全等的判定定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据作图过程得出，利用三边相等证明即可得答案． 【详解】解：∵角尺两边相同的刻度分别与，重合， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴这一做法用到三角形全等的判定定方法是． 故选：A． 【变式1】（19-20八年级上·河北石家庄·期中）如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握三种判定定理的内容是解题的关键；由已知有，且它们的夹角是对顶角也相等，则由可判定这两个三角形全等． 【详解】解：在与中， ， ∴； 故选：B． 【变式2】如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（　　）    A．① B．② C．③ D．①和③ 【答案】C 【分析】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去． 故选：C． 【变式3】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用．图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出， 所以，依据是ASA． 故选：D． 题型四 垂直平分线的性质 【典例1】（22-23八年级上·浙江台州·期中）如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（    ） A．，两边中线的交点处 B．，两边垂直平分线的交点处 C．，两边高线的交点处 D．，两内角平分线的交点处 【答案】B 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线定理的逆定理：到一条线段的两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．要求到三个小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得． 【详解】解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在两边垂直平分线的交点处． 故选：B． 【变式1】如图，在中，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，于点H，交于点G．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据可得出，利用判定，从而得出，．则，即；再利用判定，得出，又因为所以，连接，由是等腰直角三角形，即．又因为，得垂直平分．即．在中，是斜边，是直角边，所以．即． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴．故①正确； 在和中， ∵，，且， ∴． 又∵， ∴． ∴；． ∵， ∴；故②正确； 在和中， ∵平分， ∴． 又∵ ∴． ∴． 又由（2）知， ∴；故③正确； 连接． ∵是等腰直角三角形， ∴ 又， ∴垂直平分． ∴ 在中，是斜边，是直角边， ∴． ∵， ∴．故④错误． 综上，正确的是①②③， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·浙江·期中）如图，的周长为20，的垂直平分线交于点D、垂足为E，若，则的周长是（   ） A．17 B．15 C．14 D．12 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，，根据三角形的周长求出的长，再根据，推出的周长等于，即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D、垂足为E， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵的周长， ∴的周长是； 故选C． 【变式3】（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，是中边的垂直平分线，交于点D，交于点E，若，，则的周长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵是中边的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故答案为：13． 题型五 角平分线的性质 【典例1】如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的性质. 过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】如图，的三边、、长分别是15、20、10，其三条角平分线交于点，并将分为三个三角形，则的比值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点O作，垂足为D，过点O作，垂足为E，过点O作，垂足为F，利用角平分线的性质可得，从而可得，进行计算即可解答． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为D，过点O作，垂足为E，过点O作，垂足为F， 的三条角平分线交于点O， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】如图，E为平分线上一点，，的面积为12，则点E到直线的距离为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了角平分线上的一点到角的两边的距离相等的性质． 根据三角形面积公式得出点E到直线的距离，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求解． 【详解】解：∵，的面积为12， ∴点E到直线的距离， ∵E为平分线上一点， ∴点E到直线的距离， 故答案为：6． 【变式3】如图，在中，O为，的平分线的交点，，，，垂足分别为． (1)与是否相等，请说明理由； (2)若的周长是40，且，求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到该角两边的距离相等是解题的关键。 （1）根据角平分线的性质得到，则； （2）如图所示，连接，根据推出，再由的周长是40，得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵O为，的平分线的交点，，，， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， 由（1）得， ∵， ∴ ， ∵的周长是40， ∴， ∴． 题型六 三角形全等的证明 【典例1】如图，点A、D、C、F在同一条直线上，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用“边边边”证明； （2）利用全等三角形的性质和三角形内角和定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ ； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵根据三角形内角和，，， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，点E，F在上，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．先根据平行线的性质得到，再证明，然后根据“”可判断． 【详解】解：， ， ， ， 即， 在和中， ， ． 【变式2】（19-20八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，在中，，在上，且，平分交 于点，过点作的平行线交于点，连接并延长交于点． 求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键； （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质和平行线的性质可得，由外角的性质可得，可得； （3）由直角三角形的性质可证，可得结论． 【详解】（1）证明：平分， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ，， ， ； （3）证明：， ， ， ． 【变式3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知B，E，C，F在一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． （1）由可证； （2）由线段的和差关系可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵，，， ∴． 【变式4】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，点D，E分别在上，相交于点O，，求证：，小聪同学的证明过程如下： 证明：在和中， ∴（依据①： ） ∴（依据②： ） …… 任务： (1)小聪同学的证明过程中依据①是 ，依据②是 ； (2)按小聪同学的思路将证明过程补充完整； (3)图中共有 对全等三角形． 【答案】(1)，全等三角形的对应边相等 (2)见解析 (3)4 【分析】本题主要考查了全等三角形．熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键． （1）成立的依据是，成立的依据是全等三角形的对应边相等； （2）证明，结合∠BOD=∠COE，，可得，即得； （3）根据，，可得，根据，，，可得，由结合（1）（2）中，，可得4对全等三角形． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴（）， ∴（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：，全等三角形的对应边相等． （2）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）由（1）（2）知，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴ 故共有4对全等三角形， 分别是，，，． 故答案为：4． 题型七 动点问题中的全等三角形 解｜题｜技｜巧 1. 定变量与不变量：设时间t（或其他变量）表动点形成的线段，标记公共边、固定角等不变量； 2. 分类讨对应：按动点位置（如不同边上）、顶点对应关系，分情况，避免漏解； 3. 列方程验范围：用全等判定（SAS/ASA 等）列等式，解后检验t是否符合运动范围（如时间非负、线段不超原长）； 4. 避坑：不用 SSA，不丢分类情况。 【典例1】如图，在中，，，，直线经过点C且与边相交，动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的运动速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒，则当 时，与全等． 【答案】2或或12 【分析】分点在上，点在上；点与点重合；与重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．本题考查的是全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：①如图1，点在上，点在上时， 由题意得，，， ，， ，， ∵，， ， ， ， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点与点重合时， 由题意得，，， ，， ，， 当， 则， ， 解得：； ③如图3，当点与重合时， 由题意得，， ， ，， ， ， 当， 则， 即， 解得：； 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 故答案为：2或或12． 【变式1】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点D在线段上，且，动点P从的延长线上距A点的点E出发，以每秒的速度沿射线的方向运动了． (1)直接用含有t的代数式表示______； (2)在运动过程中，是否存在在某个时刻，使与以A，D，P为顶点的三角形全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或时，使与以A，D，P为顶点的三角形全等 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题： （1）根据题意可得； （2）当时，，可得或，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得，； 故答案为：； （2）解：存在，理由如下： 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴当时，， ∴或， ∴或， ∴或时，使与以A，D，P为顶点的三角形全等 【变式2】（20-21八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． （1） ， ； （2）当取何值时，和全等； （3）在（2）的前提下，若，，求． 【答案】（1）4，2；（2）；（3）cm2． 【分析】（1）根据角平分线的性质可证Rt△AFD≌Rt△AMD，得AF=AM，从而求出即可； （2）分两种情况进行讨论：①当0＜t＜4时，②当4≤t＜5时，分别根据△DFE≌△DMG，得出EF=GM，据此列出关于t的方程，进行求解即可． （3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案． 【详解】（1）∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF=DM， 在Rt△AFD和Rt△AMD中， ， ∴Rt△AFD≌Rt△AMD（HL）； ∴， ， ，， （2）①当0＜t＜4时，点G在线段CM上，点E在线段AF上． EF＝10﹣2t，MG＝4﹣t ∴10﹣2t＝4﹣t， ∴t＝6（不合题意，舍去）； ②当4＜t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上． EF＝10﹣2t，MG＝t﹣4， ∴10﹣2t＝t﹣4， ∴t＝； 综上所述当t＝时，△DFE与△DMG全等； （3）∵t＝， ∴AE＝2t＝， ∵DF＝DM， ∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD＝119：126， ∵AC＝14， ∴AB＝， ∴BF＝AB﹣AF＝﹣10＝， ∵S△ADE：S△BDF＝AE：BF＝：，S△AED＝28cm2， ∴S△BDF＝cm2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积公式以及动点问题，解题的难点在于第二问中求运动的时间，此题容易漏解和错解． 【变式3】如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)或 (2)点Q的运动速度为或 【分析】本题考查三角形面积的求法，三角形中线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．理解题意，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可求出，分类讨论：①当点P在上时；②当点P在上时；③当点P在上时，分别列方程求解即可； （2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∴． 分类讨论：①当点P在上时，不存在； ②当点P在上时，此时，如图， ∴， ∴； ③当点P在上时，此时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴． 综上可知当或时，的面积等于面积的一半； （2）解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 题型八 全等三角形模型——倍长中线模型 基｜本｜模｜型 A B D C E 已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE． 结论1：△ACD≌△EBD． A B D C F E 已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点，连接ED，延长ED到点F，使DF＝DE，连接CF． 结论2：△BDE≌△CDF． 已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F， 结论3：易证：△CDE≌△BDF（SAS） 结｜论｜推｜导 结论1：△ACD≌△EBD． 证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD． ∵∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD． 结论2：△BDE≌△CDF． 证明：∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD． ∵∠BDE＝∠CDF，DE＝DF，∴△BDE≌△CDF． 解｜题｜技｜巧 遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形． 【典例1】阅读下列材料，然后解决问题：和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用， 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． （1）如图1，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 ； （2）问题解决： 如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，E、F分别是边BC，边CD上的两点，且∠EAF=∠BAD，求证：BE+DF=EF． （3）问题拓展： 如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF=DB．求证：AC-AE=AF．    【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）延长AD到点E使DE=AD，连接BE，证明△ADC≌△EDB，根据全等三角形的性质得到BE=AC，根据三角形三边关系计算； （2）延长CB到G，使BG=DF，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AG=AF，∠GAB=∠FAD，证明△AEG≌△AEF，根据全等三角形的性质证明； （3）作DH⊥AB于H，在AB上截取BR=AF，分别证明Rt△DEF≌Rt△DHB，△DAF≌△DRB，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）延长AD到点E使DE=AD，连接BE， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE=AC=8， AB-BE＜AE＜AB+BE，即21-8＜2AD＜12+8， ∴2＜AD＜10， 故答案为2＜AD＜10； （2）证明：延长CB到G，使BG=DF，    ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABG=180°， ∴∠ADC=∠ABG， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG=AF，∠GAB=∠FAD， ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠FAD+∠BAE=∠GAB+∠BAE=∠BAD， ∴∠GAE=∠FAE， 在△AEG和△AEF中， ， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EF=GE， ∴EF=BE+BG=BE+DF； （3）证明：作DH⊥AB于H，在AB上截取BR=AF，    ∵∠CAB=60°，∠ACB=90°， ∴∠ABC=30°， ∴AB=2AC， ∵点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC，DH⊥AB， ∴DE=DH，AH=AE， 在Rt△DEF和Rt△DHB中， ∴Rt△DEF≌Rt△DHB（HL） ∴∠DFA=∠DBA， 在△DAF和△DRB中， ， ∴△DAF≌△DRB（SAS） ∴DA=DR， ∴AH=HR=AE=AR， ∵AF=BR=AB-AR=2AC-2AE ∴AC-AE=AF． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，是的中线，若，求和的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围______． 【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围______； 【迁移应用】 （3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：； （4）思考：如图3，是的中线，，请你判断线段与的关系，并加以证明． 【答案】（1）（2）（3）见解析（4），证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的性质和判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）如图2，延长至点F，使，连接，同理得，则，证明，即可得结论； （4）在的延长线上截取，连接，则，先证明得到和，进一步证明和，再证明得到和，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴的取值范围为：，即； 故答案为：； （2）如图1，延长至点E，使，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明：如图2，延长至点F，使，连接， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （4），证明如下： 如图3，在的延长线上截取，连接，则， ∵是的中线， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（24-25八年级上·北京·期中）老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出的取值范围是___________； (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰直角三角形，关键是“倍长中线”，构造全等三角形． （1）延长中线至点Q，使；连接，得到，判定，推出，由三角形三边关系定理得，即可得到， （2）延长到K，使，连接，得到，判定，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，延长中线至点Q，使；连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． （2）如图2，，理由如下： 延长到K，使，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）选择：由已知和作图能得到的理由是（   ） A．    B．   C．   D． （2）填空：求得的取值范围是__________． 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，已知：，，是的中线，求证：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点， （1）由证明，即可求解； （2）在中，，即，即可求解； （3）证明、，得到，即可求解； 熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）解：是中线， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由知，， 在中， ， ， ， 故答案为：； （3）证明：延长到，使，连接，如图所示， 是中线， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， 在与中 ， ， ， . 题型九 全等三角形的模型——半角模型 基｜本｜模｜型 等边三角形含半角A B C D E F 已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝CD，点E，F分别在AB，AC上， ∠EDF＝60°． 结论1：EF＝BE＋CF， ∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE． 正方形含半角A D B E C F 已知：四边形ABCD是正方形，点E， F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°． 结论2：EF＝BE＋DF， ∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE． 等腰直角三角形含半角A B C E D 已知：△ABC是等腰直角三角形， ∠BAC＝90°，点D，E在BC上， ∠DAE＝45°． 结论3：DE 2＝BD 2＋CE 2． 结｜论｜推｜导 结论1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE． 证明：延长AC到点G，使CG＝BE，连接DG． ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°． ∵∠BDC＝120°，BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，A B C D E F G ∴∠DBE＝∠DCF＝90°，∴∠DBE＝∠DCG＝90°， ∴△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，∠DEB＝∠G，∠BDE＝∠CDG． ∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠CDF＝60°， ∴∠CDG＋∠CDF＝60°，即∠GDF＝60°． ∵DF＝DF，∴△DEF≌△DGF， ∴EF＝FG，∠DEF＝∠G，∠DFC＝∠DFE． ∴∠DEB＝∠DEF． ∵FG＝CG＋CF，∴EF＝BE＋CF． 结论2：EF＝BE＋DF，∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE． 证明：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG． ∵正方形ABCD，∴∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，A D B E C F G ∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠G＝∠AFD，∠BAG＝∠DAF． ∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°， ∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°． ∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG， ∴EF＝EG，∠AEB＝∠AEF，∠AFE＝∠G． ∴∠AFD＝∠AFE． ∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF．A B C E D F 结论3：DE 2＝BD 2＋CE 2． 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACF，连接EF． ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝∠B＝45°， ∴∠ECF＝90°，∴EF 2＝CF 2＋CE 2＝BD 2＋CE 2， ∵∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°， ∴∠CAF＋∠CAE＝45°，即∠FAE＝45°． ∵AE＝AE，∴△AEF≌△AED， ∴EF＝DE，∴DE 2＝BD 2＋CE 2． 解｜题｜技｜巧 对于半角模型，一般情况下都需要做辅助线（延长或旋转），构造全等，通过等量代换得到相关的结论． 【典例1】（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的结论不成立，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型． （1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长到G，使，连接．在和中，已知了一组直角，，，因此两三角形全等，可得，，进而得．由此可证，即可得，进而可得结论． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】解：（1）延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴． ∵在与中， ， ∴， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式1】（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 【变式2】阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    【答案】【问题背景】，理由见详解；【初步探索】；【探索延伸】仍然成立，理由见详解；【结论运用】 【问题背景】将绕点逆时针旋转得，与重合，可证点共线，可证，，由此即可求证；【初步探索】根据作图可证，再证即可；【探索延伸】证明方法与“初步探索”的证明方法相同；【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，证明，，由此即可求解． 【详解】解：【问题背景】，理由如下， 如图所示，    ∵，， ∴将绕点逆时针旋转得，与重合， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【初步探索】根据题意，，延长至点， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【探索延伸】仍然成立，理由如下， 如图所示，延长至点，使得，    ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且， ∴； 【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，    根据题意可得，，，，， ∴在中，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时， ∴（海里），（海里）， 如图所示，延长至点，使得，则，    在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴此时两舰艇之间的距离为海里， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查四边形的综合，全等三角形的判定和性质的综合，方位角的运用，理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 题型十 全等三角形的模型——一线三等角模型 基｜本｜模｜型 A B D P C 1 2 3 已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）． 结论1：△CAP≌△PBD． 1 2 3 D P C B A 已知：点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）． 结论2：△APC≌△BDP． 结｜论｜推｜导 结论1：△CAP≌△PBD． 证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD． ∵∠1＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△CAP≌△PBD． 结论2：△APC≌△BDP． 证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3， ∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D．∵AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△APC≌△BDP． 解｜题｜技｜巧 在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性质解题．一线三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形（正方形或矩形）为背景，在几何综合题中考查． 【典例1】【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)21 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 【变式1】（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE； （2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE； 【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下： ∵BD⊥，CE⊥， ∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 【变式2】（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【答案】（1）①；②问题①中结论仍然成立，理由见解析 （2）G是的中点，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关判定方法及性质是解题的关键． （1）①由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； ②由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）作于M，于N，先证 ，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点G是的中点． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：； ②问题①中结论仍然成立，理由如下： ， ， ， 又，， ， ，， ； （2）G是的中点，理由如下： 如图，作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． 题型十一 全等三角形的模型——截长补短模型 解｜题｜技｜巧 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长: 指在长线段中截取一段等于已知线 段: 补短: 指将短线段延长, 延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等服三角形、角平分线等关键词 句, 可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程, 截长补短法(往往需证2次全等) 。 ①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。 如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF， 可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°， ∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG. ②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。 如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS）， 可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°， 又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG， 所以BF=NG=NC+CG=DF+CG. 【典例1】阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，在中，平分，．求证： 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题 方法二：如图3，延长到点，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题 (1)根据阅读材料，任选一种方法证明 (2)根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题：如图4，四边形中，是上一点，，，，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：“截长补短”模型和“一线三等角”模型，熟记相关模型，作出正确的辅助线是解题关键． （1）法一：证得，；根据可得，故，即可求证；法二：由条件得，推出，证即可求证； （2）在上取一点，使得，可得；根据得，进一步可得，推出；根据“一线三等角”模型可证，即可得出结论． 【详解】（1）证明： 法一：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 法二：∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ （2）证明：在上取一点，使得，如图所示： ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 即：， ∴， 即：， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 【变式1】【综合与实践题】 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长、的相交于点F，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】（1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由． 【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：． 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，求的长． 【答案】（1），见解析；（2）见解析；（3）3.4 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； （3）过点延长、相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，则，再根据，得，进而可得答案． 【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长、相交于点F， ， ，， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）延长至点H，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， （对顶角相等）， ， ， ； （3）延长、相交于点， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ，， ， ， 因此，的长为3.4． 【变式2】阅读下列材料，然后解决问题： 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． (1)如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，把集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______． (2)解决问题：如图2，在四边形中，分别是边上的两点，且，求证． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】求解本题的关键是熟练掌握 “截长补短”的方法，结合全等三角形的判定条件 “”，证明构造的三角形全等， （1）掌握全等三角形的判定，证明，然后，利用三角形三边关系“两边长度之和大于第三边，两边长度之差小于第三边” 即可得出范围； （2）关键是作辅助线，延长到，使，利用全等三角形的判定条件得到和，即可证明结论． 【详解】（1）解：延长到点使，连接，在和中， ， ， ， ，即， ， 故答案为：； （2）证明：延长到，使如下图所示， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 题型十二 全等三角形的模型——手拉手模型 基｜本｜模｜型 A D E B C O 已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA． 结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE， 结论2：∠BOC＝∠BAC， 结论3：OA平分∠BOE． 结｜论｜推｜导 结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE． 证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE． ∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE． 结论2：∠BOC＝∠BAC． 证明：设OB与AC相交于点F． ∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE． ∵∠AFB＝∠OFC，∴∠BOC＝∠BAC． 结论3：OA平分∠BOE． 证明：过点A分别做BD，CE的垂线，垂足为G，H． ∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD ＝S△ACE， ∴＝． ∵BD＝CE，∴AG＝AH， ∴OA平分∠BOE． 解｜题｜技｜巧 如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等． 【典例1】【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，， ，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，，见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形有关的内容，利用全等三角形性质解题． （1）可证，得，由对顶角相等得，可得． （2）可证，得，，在四边形中， ，又因为，得出 ，可得． （3）可证，得，易证，则，过点作，由，可知全等三角形面积相等则对应高相等，可得，由角平分线的判定定理，知点在的角平分线上，则，所以． 【详解】（1）解：，设与交于点O． ． ， 即． 在和中 ， ． ， ． （2）解：① 证明如下：如图2 ， 即 在和中 ② 证明如下：如图2 （已证） 在四边形中， 又， ， ． （3）解：． 如图3，过点作．设与交于， 则． ， ． 即 在和中 ，． 又， ， ， ，． 又 ． ． ， 平分． ． 【变式1】问题提出 （1）如图，在和中，，，（），将绕点顺时针旋转，连接．当点落在边上且三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是_______，的度数为____________； （2）如图，已知等边三角形，，是其外一点，且，，求四边形的周长； 问题解决 （3）某市园林绿化部门在某小区门口的空地上新建一个家门口的“口袋公园”，设计形状大致为三角形，如图所示，段临街道有足够长度，是小道上某小区的入口（点不在点处），且米，设计人员准备将公园分成，两大部分，是内一标志点，此处将栽植一棵风景大树，设计，，内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约元，留出适当大小的区域作为休闲健身区，其内安装健身器材需元，请你预算满足上述条件的建设费用大致需多少元？（不考虑其他花费） 【答案】（）；；（）四边形的周长为；（）满足条件的建设费用元． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的应用，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （）先求出，进而得，再依据“”判定和全等得，由此得，据此即可得出答案； （）延长到，使，连接，证明是等边三角形，得，，再根据是等边三角形得，，由此得，进而依据“”判定和全等得，则，由此即可得出四边形的周长； （）过点作交于点，连接，则和都是等腰直角三角形，进而得，，，，由此得，继而依据“”判定和全等得米，，则，再求出平方米，即可得出种植草坪的费用，据此可得满足条件的建设费用． 【详解】解：（）在中，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴和全等的三角形是，的度数为， 故答案为：；； （）延长到，使，连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形的周长为； （）过点作交于点，连接，如图所示， ∵，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴（米），， ∴，即， ∴（平方米）， ∴在内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约元， ∴在内部种植草坪的费用为：（元）， 又∵在区域内安装健身器材需元， ∴满条件的建设费用为（元）， 答：满足条件的建设费用元． 题型十三 垂直平分线的证明 【典例1】如图，是的角平分线，、分别是和的高．求证：垂直平分线段． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形的角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．结合三角形的角平分线的性质和定义证明，得到，再根据线段垂直平分线的判定定理即可证明结论． 【详解】证明：平分，， ，，， ， ， 又∵， 垂直平分． 【变式1】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形的对角线与相交于点，，．求证： (1)； (2)垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的判定； （1）根据直接证明； （2）根据（1）的结论可得，,即可得证垂直平分． 【详解】（1）在和中， ， ∴； （2）∵， ∴，， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，当时，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题关键是根据证明和全等． （1）根据证明和全等即可； （2）根据全等三角形的性质结合线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵E为的中点， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴垂直平分， ∴． 答：的长为5． 【变式3】（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)12 (2)点O 在的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为12； （2）解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 题型十四 尺规作图 【典例1】如图，已知，用尺规作，使． 【答案】图见解析 【分析】本题考查尺规作三角形，根据，作射线，截取，分别以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接即可． 【详解】解：如图，即为所求； 【变式1】如图，被墨迹污染了，请你重新作一个，使．(要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．)    【答案】见解析 【分析】本题主要考查限定工具作图，三角形全等的判定；根据已知三角形，利用进而得出全等三角形即可． 【详解】解：如图所示：，即为所求．    首先画一条射线并在其上截取，再分别以和为顶点作，，则与另一边的交点即为点，则即为所求作． 【变式2】已知直线及其两侧两点，，如图．    (1)在直线上求一点，使； (2)在直线上求一点，使直线平分． (以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的运用，掌握基本作图是解题关键． （1）作线段的垂直平分线与l的交点即为所求； （2）找出点B关于直线l对称的点C，再连接并延长，交直线l于点Q，再作射线即可． 【详解】（1）解：如下图所示：点P即为所求作的点，    （2）解：如下图所示：点Q即为所求作的点，    【变式3】如图，已知，点E、F位于的内部．请利用尺规作图在的内部画一点P，使点P到点E、F的距离相等，且到的两边距离相等． 【答案】见解析 【分析】此题考查了角平分线和线段垂直平分线的作图．作线段的垂直平分线，作的角平分线，交点即为点P． 【详解】解：如图，点P即为所求， 【变式4】如图，已知，． (1)在边上求作一点P，使． (2)在上求作一点M，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂线和角平分线的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键． （1）过点B作交于P，根据可得； （2）根据角平分线的尺规作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求； （2）解：如图所示，点M即为所求． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，延长交于D，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得，，根据三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：连接，延长交于D， ， ∵点P是，的垂直平分线的交点， ， ，， ， 故选：A． 2．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用． 图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，可以通过画出与书上完全一样的三角形， 故选：A． 3．（24-25八年级上浙江绍兴·期中）如图，在中，，将沿方向向右平移得到，交于G，已知，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，全等的性质；由平移得到三角形全等、线段相等是解题的关键． 由平移得，于是阴影部分面积等于梯形的面积，求得梯形的面积=，于是阴影部分的面积． 【详解】解：∵沿着点A到点C的方向平移到的位置， ∴， ∴阴影部分面积等于梯形的面积， 由平移的性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积=， ∴阴影部分的面积． 故答案为：35． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图：，，，那么的长为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，利用全等三角形的性质可得，再解即可，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：3． 5．（22-23八年级上·浙江·期中）如图，中，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为 ． 【答案】2.25或3 【分析】此题考查了全等三角形的性质．分两种情况讨论：①若，根据全等三角形的性质，则厘米，（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若，则厘米，，得出，据此求解即可． 【详解】解：中，厘米，点为的中点， 厘米， 若，则需厘米，（厘米）， 点的运动速度为3厘米秒， 点的运动时间为：秒， （厘米秒）； 若，则需厘米，， ， 解得：； 的值为：2.25或3， 故答案为：2.25或3． 6．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）如图正方形网格，点，，，均落在格点上，则 ． 【答案】90 【分析】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角形是关键．证明，得，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论． 【详解】解：如图， ∴，，， ， ， ， ， ， 故答案为：90． 7．（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，线段与线段交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据线段的和差可得出，再利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据等角对等边即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． ∴在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（    ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 由E、F分别是、上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点G，使，连接，先证明，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：∵E、F分别是、上的任意点， ∴与不一定相等，故①错误； ∵于点B，于点D， ∴， ∵， ∴的另一个条件是， ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，， ∴平分，故③⑤正确； 当平分时，，而， ∴， 即只有当时，平分， 但是动点，角度不固定，故④错误； 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．①；②若，则 ；③；④ ⑤．则上列说法一定正确的是（    ） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】设，，由角平分线的定义结合三角形内角和定理可得，再由三角形内角和定理计算即可判断①；证明，得出即可判断②；由平分，但与不一定相等即可判断③；在边上截取，连接，证明，，即可判断④；作于，于，由④可得，，推出，证明，得出，再由三角形面积公式即可判断⑤，从而得出答案． 【详解】解：①设，， ∵在中，，平分交于点，平分交于点， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ②∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵平分，但与不一定相等， ∴与不一定相等，故③错误； ④如图，在边上截取，连接， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ⑤如图，作于，于， ， 由④可得，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②④⑤． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，平分，于点，，，则 ． 【答案】 【分析】延长交于点，利用角平分线的性质，垂直易得到，进而得到，，结合图形可知和是分别以和为底边，高相等的两个三角形，进而得到，然后利用来求解． 【详解】解：延长交于点，如图 平分，， ，． 在和中 ， ， ， ． 和是分别以和为底边，高相等的两个三角形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形面积，作出辅助线，构建三角形全等是解答关键． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，是线段的垂直平分线．已知，则 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，连接，由，则，故有，再根据垂直平分线的性质得，再根据等腰三角形的性质和外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，    ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在长方形中，，点P以的速度沿向点运动，设点的运动时间为： (1)经过秒后， 厘米； (2)当时，此时 秒； (3)在（）的条件下，当时，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)厘米． 【分析】（）根据列代数式即可； （）由得到的长，即可求出的值； （）设，利用勾股定理表示出，，再在中利用勾股定理列方程，即可解决问题； 本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，列代数式，灵活运用勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）（cm）， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）在长方形中， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， 在中， 由勾股定理，得， 在中， ∴由勾股定理，得， 即：， 解得：，（不合，舍去）， ∴． 6．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． (1)理解概念：判断下列说法是否正确（对的打√，错的打×） ①全等三角形是“等角三角形”（） ②如图，在中，，，图中共有2对“等角三角形”（） ③如图，在中，，，无论为何值，都不可能是的“等角分割线”（） (2)概念应用：如图，在中，为角平分线，，求证：为的等角分割线． (3)在中，，是的等角分割线，直接写出的度数． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2)见解析 (3)或或或 【分析】（1）①根据全等三角形的性质可知答案正确；②根据题意可以写出三对等角三角形；③如果与成“等角三角形”，则要为等腰三角形，由得，即与矛盾，同理如果与成“等角三角形”，也有上述矛盾出现，所以无论为何值，都不可能是的“等角分割线”． （2）根据三角形内角和定理得到，结合平分得，则有，得是等腰三角形，利用，，有为的“等角分割线”； （3）当是等腰三角形，和，当是等腰三角形，和，利用等边对等角、等角分割线定义和三角形外角和求得； 【详解】（1）解：①根据全等三角形的性质可知三角形对应角相等，则有全等三角形是“等角三角形”成立； ②根据题意可以写出三对“等角三角形”，分别为与，与，与，答案错误； ③假设与成“等角三角形”，则要为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴，则，与矛盾； 同理如果与成“等角三角形”，也有上述结论， 故无论为何值，都不可能是的“等角分割线”正确． （2），， ， ∵平分， ， ， ∴是等腰三角形， ，，， 为的“等角分割线”； （3）解：①当是等腰三角形，时，， ∴； ②当是等腰三角形，时，， ∴， ∴； ③当是等腰三角形，时，， ∴； ④当是等腰三角形，时，， 设，则， 则， ∵，解得， ∴， ∴； 故的度数为或或或． 【点睛】本题主要考查等角三角形和等角分割线的新定义、等边对等角、三角形内角和定理及三角形外角性质，熟练应用分类讨论思想并结合给定定义证明结论是解题的关键． 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知点是等边内一点，连接，，，为外一点，且，连接，，． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理． （1）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，，根据勾股定理的逆定理得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ， ， 在与中， ， ； （2）解：， ，， 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ． 8．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点称做格点． (1)画出的高； (2)求的面积； (3)在边上找到一点E，满足． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图的应用与设计，则网格线的特点和三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据垂直的意义和网格线的特点作图； （2）根据三角形的面积公式求解； （3）根据垂直平分线的性质作图． 【详解】（1）即为所求； （2）的面积为：； （3）作的垂直平分线与的交于，点即为所求． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 2．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识； 根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明可判断B、C选项，由，不能判断，即可判断D选项，进而可得答案. 【详解】解：A、∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是筝形； C、∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形； D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形； 故选：D. 3．（2023·天津·中考真题）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（    ）    A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】由作图可知直线为边的垂直平分线，再由得到，则可知三点在以为圆心直径的圆上，进而得到，由勾股定理求出即可． 【详解】解：由作图可知，直线为边的垂直平分线， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴三点在以为圆心直径的圆上， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练掌握常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论． 4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】解：∵ ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 5．（2024·山东·中考真题）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为 ． 【答案】 【分析】如图，过作于，证明，，，再证明，再结合勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，过作于， 由作图可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴到的距离为； 故答案为： 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作． 6．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质可得，再结合题意得到，根据即可证明． 【详解】解：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 图形的全等 掌握全等图形定义（完全重合），能识别全等图形 高频考法：结合三角形、四边形判断全等； 易错点：忽略 “对应元素” 全等三角形的概念与性质 掌握全等三角形定义、对应元素，能找对应关系，用性质求边、角值 高频考法：结合公共边 / 角找对应边 / 角；易错点：对应顶点顺序混淆 全等三角形的判定方法选择 熟记 SSS/SAS/ASA/AAS/HL，能按已知条件选定理，排除 SSA 陷阱 高频考法：“2 边 + 角” 定 SAS、“2 角 + 边” 定 ASA/AAS； 易错点：误用 SSA 垂直平分线的性质 掌握垂直平分线上点到线段两端距离相等的性质，能用性质推边等，结合三角形求线段 高频考法：利用性质证等腰三角形； 易错点：忽略 “线段两端” 条件 角平分线的性质 掌握角平分线上点到角两边距离相等的性质，能用性质推垂线段相等，证边 / 角等 高频考法：结合垂直条件证线段相等； 易错点：混淆 “距离”（需垂直） 三角形全等的证明 掌握证明步骤（标条件→找对应→用定理），能写规范证明过程，解决多步证全等问题 重点题型；高频考法：含公共边 / 对顶角 / 中线的证明； 易错点：步骤跳步、条件遗漏 动点问题中的全等三角形 理解动点 “变与不变量”，分类讨论，列方程并检验范围 高频考法：易错点：漏分类、不验 t 范围 全等三角形模型——倍长中线模型 掌握模型核心（延长中线至等长，构全等），能补中线辅助线，证线段和差 高频考法：已知中线，证 AB=CD； 易错点：延长方向错、不找对应关系 全等三角形的模型——半角模型 掌握模型特征（大角含半角，如 90° 含 45°），能旋转构全等，证线段关系 高频考法：正方形 / 等腰直角三角形中用半角； 易错点：旋转后对应边找错 全等三角形的模型——一线三等角模型 掌握模型特征（同一直线 3 个等角，如 3 个直角），能证 “角角边” 全等，求线段长 高频考法：直角坐标系中一线三垂直； 易错点：忽略 “等角” 条件 全等三角形的模型——截长补短模型 掌握模型方法（截长 / 补短构全等），能添加截 / 补辅助线，证线段和差（如 AB=CD+EF） 高频考法：证 “线段和 = 第三边”； 易错点：截 / 补位置错、辅助线描述不清 全等三角形的模型——手拉手模型 掌握模型特征，能找全等三角形，证边 / 角等 高频考法：等边 / 等腰直角三角形手拉手； 易错点：混淆 “拉手边”（如 AB 与 AD） 垂直平分线的证明 掌握证明方法（证 “垂直 + 平分” 或用逆定理），能选合适方法，结合全等证垂直平分 高频考法：用全等推 “垂直 + 平分”； 易错点：只证垂直 / 平分，漏其一 尺规作图 会作全等三角形、角平分线、垂直平分线，能描述作图步骤并保留痕迹，结合性质验证 高频考法：作角平分线 / 垂直平分线 ；易错点：作图痕迹不完整、步骤描述错 知识点01 全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点02 全等三角形的性质（1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等； ②全等三角形的周长相等，面积相等；③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 知识点03 全等三角形的判定 全等三角形判定1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 全等三角形判定2——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 全等三角形判定3——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 全等三角形判定4——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 知识点04 判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 题型一 图形的全等 解｜题｜技｜巧 常见的全等图形（如四边形、矩形、菱形、圆）的判定，核心逻辑仍是 “对应元素相等 + 图形特有的性质”： 四边形全等：需满足 “四边对应相等 + 四角对应相等”（因四边形具有不稳定性，仅边或角相等不够）； 矩形全等：矩形对边相等、四角都是直角，因此判定条件可简化为 “一组邻边对应相等”（因邻边确定后，四边和四角都确定）； 菱形全等：菱形四边相等、对角相等，因此判定条件可简化为 “一组邻角对应相等” 或 “一条对角线对应相等”； 圆全等：圆的大小由半径决定，因此 “半径相等的圆全等”。 【典例1】．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（20-21八年级上·河南驻马店·期中）如示例图将的棋盘沿格线划分成两个全等的图形，请再用另外3种方法将的棋盘沿格线划分成两个全等图形（约定分割线必须经过网格线）． 【变式1】2025年国际篮联亚洲杯在沙特阿拉伯吉达举行，中国男篮获得亚军，女篮获得季军．下列与体育赛事相关的图标中，是由同一种全等图形组合而成的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列各组图形中，不是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 题型二 全等三角形的概念与性质 【典例1】（19-20八年级上·浙江杭州·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．两个等边三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等 C．全等三角形的面积一定相等 D．面积相等的两个三角形全等 【典例2】（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，，则CF的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，若，，则的长度是 ． 题型三 全等三角形的判定方法选择 解｜题｜技｜巧 1.先定类型：直角三角形优先用HL（需斜边 + 一条直角边对应相等）；普通三角形按已知条件选。 2按已知元素选定理： 3 边相等→SSS； 2 边 + 夹角相等→SAS（SSA 不行）； 2 角 + 边相等→夹边用ASA，对边用AAS； 1 边 1 角→先补 1 个相等元素（如公共角、中线得等边），再按上述选。 3.关键提醒： 挖隐含条件（公共边 / 角、对顶角、垂直 / 中线性质）； 避开 SSA、对应关系错这两个坑。 【典例1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，这一做法用到三角形全等的判定定方法是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（19-20八年级上·河北石家庄·期中）如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（　　）    A．① B．② C．③ D．①和③ 【变式3】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA 题型四 垂直平分线的性质 【典例1】（22-23八年级上·浙江台州·期中）如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（    ） A．，两边中线的交点处 B．，两边垂直平分线的交点处 C．，两边高线的交点处 D．，两内角平分线的交点处 【变式1】如图，在中，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，于点H，交于点G．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【变式2】（24-25八年级上·浙江·期中）如图，的周长为20，的垂直平分线交于点D、垂足为E，若，则的周长是（   ） A．17 B．15 C．14 D．12 【变式3】（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，是中边的垂直平分线，交于点D，交于点E，若，，则的周长为 ． 题型五 角平分线的性质 【典例1】如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 【变式1】如图，的三边、、长分别是15、20、10，其三条角平分线交于点，并将分为三个三角形，则的比值为 ． 【变式2】如图，E为平分线上一点，，的面积为12，则点E到直线的距离为 ． 【变式3】如图，在中，O为，的平分线的交点，，，，垂足分别为． (1)与是否相等，请说明理由； (2)若的周长是40，且，求的面积． 题型六 三角形全等的证明 【典例1】如图，点A、D、C、F在同一条直线上，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式1】（23-24八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，点E，F在上，且，．求证：． 【变式2】（19-20八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，在中，，在上，且，平分交 于点，过点作的平行线交于点，连接并延长交于点． 求证： (1)； (2)； (3)． 【变式3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知B，E，C，F在一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式4】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，点D，E分别在上，相交于点O，，求证：，小聪同学的证明过程如下： 证明：在和中， ∴（依据①： ） ∴（依据②： ） …… 任务： (1)小聪同学的证明过程中依据①是 ，依据②是 ； (2)按小聪同学的思路将证明过程补充完整； (3)图中共有 对全等三角形． 题型七 动点问题中的全等三角形 解｜题｜技｜巧 1. 定变量与不变量：设时间t（或其他变量）表动点形成的线段，标记公共边、固定角等不变量； 2. 分类讨对应：按动点位置（如不同边上）、顶点对应关系，分情况，避免漏解； 3. 列方程验范围：用全等判定（SAS/ASA 等）列等式，解后检验t是否符合运动范围（如时间非负、线段不超原长）； 4. 避坑：不用 SSA，不丢分类情况。 【典例1】如图，在中，，，，直线经过点C且与边相交，动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的运动速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒，则当 时，与全等． 【变式1】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点D在线段上，且，动点P从的延长线上距A点的点E出发，以每秒的速度沿射线的方向运动了． (1)直接用含有t的代数式表示______； (2)在运动过程中，是否存在在某个时刻，使与以A，D，P为顶点的三角形全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（20-21八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． （1） ， ； （2）当取何值时，和全等； （3）在（2）的前提下，若，，求． 【变式3】如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 题型八 全等三角形模型——倍长中线模型 基｜本｜模｜型 A B D C E 已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE． 结论1：△ACD≌△EBD． A B D C F E 已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点，连接ED，延长ED到点F，使DF＝DE，连接CF． 结论2：△BDE≌△CDF． 已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F， 结论3：易证：△CDE≌△BDF（SAS） 结｜论｜推｜导 结论1：△ACD≌△EBD． 证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD． ∵∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD． 结论2：△BDE≌△CDF． 证明：∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD． ∵∠BDE＝∠CDF，DE＝DF，∴△BDE≌△CDF． 解｜题｜技｜巧 遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形． 【典例1】阅读下列材料，然后解决问题：和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用， 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． （1）如图1，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 ； （2）问题解决： 如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，E、F分别是边BC，边CD上的两点，且∠EAF=∠BAD，求证：BE+DF=EF． （3）问题拓展： 如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF=DB．求证：AC-AE=AF．    【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，是的中线，若，求和的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围______． 【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围______； 【迁移应用】 （3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：； （4）思考：如图3，是的中线，，请你判断线段与的关系，并加以证明． 【变式2】（24-25八年级上·北京·期中）老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出的取值范围是___________； (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 【变式3】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）选择：由已知和作图能得到的理由是（   ） A．    B．   C．   D． （2）填空：求得的取值范围是__________． 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，已知：，，是的中线，求证：． 题型九 全等三角形的模型——半角模型 基｜本｜模｜型 等边三角形含半角A B C D E F 已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝CD，点E，F分别在AB，AC上， ∠EDF＝60°． 结论1：EF＝BE＋CF， ∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE． 正方形含半角A D B E C F 已知：四边形ABCD是正方形，点E， F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°． 结论2：EF＝BE＋DF， ∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE． 等腰直角三角形含半角A B C E D 已知：△ABC是等腰直角三角形， ∠BAC＝90°，点D，E在BC上， ∠DAE＝45°． 结论3：DE 2＝BD 2＋CE 2． 结｜论｜推｜导 结论1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE． 证明：延长AC到点G，使CG＝BE，连接DG． ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°． ∵∠BDC＝120°，BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，A B C D E F G ∴∠DBE＝∠DCF＝90°，∴∠DBE＝∠DCG＝90°， ∴△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，∠DEB＝∠G，∠BDE＝∠CDG． ∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠CDF＝60°， ∴∠CDG＋∠CDF＝60°，即∠GDF＝60°． ∵DF＝DF，∴△DEF≌△DGF， ∴EF＝FG，∠DEF＝∠G，∠DFC＝∠DFE． ∴∠DEB＝∠DEF． ∵FG＝CG＋CF，∴EF＝BE＋CF． 结论2：EF＝BE＋DF，∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE． 证明：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG． ∵正方形ABCD，∴∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，A D B E C F G ∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠G＝∠AFD，∠BAG＝∠DAF． ∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°， ∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°． ∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG， ∴EF＝EG，∠AEB＝∠AEF，∠AFE＝∠G． ∴∠AFD＝∠AFE． ∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF．A B C E D F 结论3：DE 2＝BD 2＋CE 2． 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACF，连接EF． ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝∠B＝45°， ∴∠ECF＝90°，∴EF 2＝CF 2＋CE 2＝BD 2＋CE 2， ∵∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°， ∴∠CAF＋∠CAE＝45°，即∠FAE＝45°． ∵AE＝AE，∴△AEF≌△AED， ∴EF＝DE，∴DE 2＝BD 2＋CE 2． 解｜题｜技｜巧 对于半角模型，一般情况下都需要做辅助线（延长或旋转），构造全等，通过等量代换得到相关的结论． 【典例1】（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【变式1】（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式2】阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    题型十 全等三角形的模型——一线三等角模型 基｜本｜模｜型 A B D P C 1 2 3 已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）． 结论1：△CAP≌△PBD． 1 2 3 D P C B A 已知：点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）． 结论2：△APC≌△BDP． 结｜论｜推｜导 结论1：△CAP≌△PBD． 证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD． ∵∠1＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△CAP≌△PBD． 结论2：△APC≌△BDP． 证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3， ∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D．∵AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△APC≌△BDP． 解｜题｜技｜巧 在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性质解题．一线三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形（正方形或矩形）为背景，在几何综合题中考查． 【典例1】【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【变式1】（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【变式2】（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 题型十一 全等三角形的模型——截长补短模型 解｜题｜技｜巧 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长: 指在长线段中截取一段等于已知线 段: 补短: 指将短线段延长, 延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等服三角形、角平分线等关键词 句, 可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程, 截长补短法(往往需证2次全等) 。 ①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。 如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF， 可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°， ∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG. ②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。 如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS）， 可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°， 又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG， 所以BF=NG=NC+CG=DF+CG. 【典例1】阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，在中，平分，．求证： 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题 方法二：如图3，延长到点，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题 (1)根据阅读材料，任选一种方法证明 (2)根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题：如图4，四边形中，是上一点，，，，求证： 【变式1】【综合与实践题】 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长、的相交于点F，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】（1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由． 【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：． 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，求的长． 【变式2】阅读下列材料，然后解决问题： 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． (1)如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，把集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______． (2)解决问题：如图2，在四边形中，分别是边上的两点，且，求证． 题型十二 全等三角形的模型——手拉手模型 基｜本｜模｜型 A D E B C O 已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA． 结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE， 结论2：∠BOC＝∠BAC， 结论3：OA平分∠BOE． 结｜论｜推｜导 结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE． 证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE． ∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE． 结论2：∠BOC＝∠BAC． 证明：设OB与AC相交于点F． ∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE． ∵∠AFB＝∠OFC，∴∠BOC＝∠BAC． 结论3：OA平分∠BOE． 证明：过点A分别做BD，CE的垂线，垂足为G，H． ∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD ＝S△ACE， ∴＝． ∵BD＝CE，∴AG＝AH， ∴OA平分∠BOE． 解｜题｜技｜巧 如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等． 【典例1】【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，， ，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 【变式1】问题提出 （1）如图，在和中，，，（），将绕点顺时针旋转，连接．当点落在边上且三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是_______，的度数为____________； （2）如图，已知等边三角形，，是其外一点，且，，求四边形的周长； 问题解决 （3）某市园林绿化部门在某小区门口的空地上新建一个家门口的“口袋公园”，设计形状大致为三角形，如图所示，段临街道有足够长度，是小道上某小区的入口（点不在点处），且米，设计人员准备将公园分成，两大部分，是内一标志点，此处将栽植一棵风景大树，设计，，内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约元，留出适当大小的区域作为休闲健身区，其内安装健身器材需元，请你预算满足上述条件的建设费用大致需多少元？（不考虑其他花费） 题型十三 垂直平分线的证明 【典例1】如图，是的角平分线，、分别是和的高．求证：垂直平分线段． 【变式1】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形的对角线与相交于点，，．求证： (1)； (2)垂直平分． 【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，当时，，，求的长． 【变式3】（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 题型十四 尺规作图 【典例1】如图，已知，用尺规作，使． 【变式1】如图，被墨迹污染了，请你重新作一个，使．(要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．)    【变式2】已知直线及其两侧两点，，如图．    (1)在直线上求一点，使； (2)在直线上求一点，使直线平分． (以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法) 【变式3】如图，已知，点E、F位于的内部．请利用尺规作图在的内部画一点P，使点P到点E、F的距离相等，且到的两边距离相等． 【变式4】如图，已知，． (1)在边上求作一点P，使． (2)在上求作一点M，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法） 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上浙江绍兴·期中）如图，在中，，将沿方向向右平移得到，交于G，已知，则阴影部分的面积为 ． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图：，，，那么的长为 ． 5．（22-23八年级上·浙江·期中）如图，中，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为 ． 6．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）如图正方形网格，点，，，均落在格点上，则 ． 7．（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，线段与线段交于点． (1)求证：； (2)求证：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（    ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．①；②若，则 ；③；④ ⑤．则上列说法一定正确的是（    ） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，平分，于点，，，则 ． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，是线段的垂直平分线．已知，则 ．    5．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在长方形中，，点P以的速度沿向点运动，设点的运动时间为： (1)经过秒后， 厘米； (2)当时，此时 秒； (3)在（）的条件下，当时，求的长． 6．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． (1)理解概念：判断下列说法是否正确（对的打√，错的打×） ①全等三角形是“等角三角形”（） ②如图，在中，，，图中共有2对“等角三角形”（） ③如图，在中，，，无论为何值，都不可能是的“等角分割线”（） (2)概念应用：如图，在中，为角平分线，，求证：为的等角分割线． (3)在中，，是的等角分割线，直接写出的度数． 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知点是等边内一点，连接，，，为外一点，且，连接，，． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 8．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点称做格点． (1)画出的高； (2)求的面积； (3)在边上找到一点E，满足． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 2．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（2023·天津·中考真题）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（    ）    A．9 B．8 C．7 D．6 4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 5．（2024·山东·中考真题）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为 ． 6．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $