河北省沧州市九年级数学上学期课时作业（冀教版九年级数学上册第二十五章第六节）

冀教版九年级数学上册　第二十五章　图形的相似 25.6　相似三角形的性质　分层作业 一、作品基础信息 学段学科 初中数学 教材版本 冀教版《义务教育教科书·数学》九年级上册（依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》编写） 年级册次 九年级上册 所属章节 第二十五章　图形的相似 课题名称 25.6　相似三角形的性质 课时安排 1课时（新授课配套课时作业） 作业类型 课时分层作业（A层基础巩固＋B层能力提升＋C层拓展探究） 适用对象 九年级全体学生 建议用时 约22分钟（A层约7分钟，B层约9分钟，C层约6分钟） 设计者 　　　　　　　　　　（学校／姓名） 二、设计背景与意图 （一）课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形的变化”领域要求理解相似三角形的性质，能运用相似三角形的性质解决简单的实际问题，并在观察、猜想、证明的过程中发展推理能力与几何直观。课标强调让学生经历“由相似到相似比”的推理，感悟从特殊到一般、从直观到逻辑的数学思想。本作业以“对应线段—周长—面积”为主线，把课标要求转化为可观察、可推理、可评价的分层任务，帮助学生把“相似比”这一统摄全章的工具用活。 （二）教材分析 本节是冀教版九年级上册第二十五章“图形的相似”的第6课时内容。它上承25.5“相似三角形的判定”，下启25.7“相似三角形的应用”。判定解决的是“是不是相似”的问题，性质则回答“相似以后有什么规律”：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。其中“面积比等于相似比的平方”是全章的思维高地，也是学生最容易与“周长比”混淆之处。 教材先以“对应高的比与相似比有什么关系”为切入点，用相似三角形给出证明，再把方法迁移到中线、角平分线与周长，最后借助面积公式推出面积比，体现了“提出问题—猜想—证明—应用”的研究路径。作业设计应延续这一路径，让学生既“会用”，也“知来路”，在推导中体会转化与类比的思想。 （三）学情分析 1．已有基础：学生已经掌握相似三角形的定义与三个判定定理，能进行比例式的变形与求值，具备用“两角分别相等”证明两个三角形相似的基本经验。 2．主要困难：一是把“周长比”与“面积比”混为一谈，直接把面积比写成相似比；二是对“对应线段”识别不到位，求比值时把对应关系写反；三是只会套用结论，不会说明理由，遇到“先判定相似、再用性质计算”的两步问题时中途卡壳。 3．分层依据：基于上述差异，把作业设计为A（基础巩固）、B（能力提升）、C（拓展探究）三个层次。A层面向全体学生，重在“记得住、用得对”；B层面向大多数学生，重在“判定与性质连起来用”；C层面向学有余力的学生，重在“想得深、说得清”。 （四）设计意图 1．控量提质，落实“双减”。全卷共9题，A层4题必做、B层3题选做、C层2题挑战，总量控制在22分钟以内，避免机械重复训练。 2．正本清源，突破难点。第1、2、3题反复在“对应线段比、周长比、面积比”之间切换，专治“面积比等于相似比”这一常见错误；第8题回到面积公式推导面积比，让学生知其所以然。 3．先判定后性质，连点成线。第5、6、7题都需要“先找出或证明相似三角形，再用性质计算”，帮助学生把判定与性质连成完整的推理链。 4．联系实际，学以致用。第5题以三角形余料加工正方形零件为背景，让学生用相似三角形的性质解决实际问题，体会数学与生产的联系，发展模型观念与应用意识。 5．分层评价，鼓励进阶。评价设置“基础达标—能力进阶—拓展挑战”三级量规，鼓励学生在完成本层任务后主动挑战更高层次，保护学习信心。 三、作业目标 （一）基础性目标（知识与技能） 1．知道相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方； 2．能利用相似三角形的性质求对应线段的长、三角形的周长和面积。 （二）发展性目标（过程与方法） 3．经历“猜想—证明—应用”的过程，会用相似三角形证明对应线段的比与相似比的关系； 4．能综合运用相似三角形的判定与性质解决简单的实际问题。 （三）素养性目标（核心素养） 5．在性质定理的推导与辨析中发展推理能力和几何直观； 6．在综合探究与实际应用中发展模型观念和应用意识。 四、作业内容与目标对应表 题号 层级 题型 对应作业目标 核心素养 预估用时 1 A层（基础） 选择 目标1 几何直观、抽象能力 1分钟 2 A层（基础） 填空 目标1 运算能力 2分钟 3 A层（基础） 填空 目标1、目标2 运算能力、几何直观 2分钟 4 A层（基础） 解答 目标2 运算能力、推理能力 2分钟 5 B层（提升） 解答 目标4 模型观念、应用意识 3分钟 6 B层（提升） 证明 目标3 推理能力 3分钟 7 B层（提升） 解答 目标2、目标3 运算能力、推理能力 3分钟 8 C层（拓展） 证明 目标3、目标5 推理能力 3分钟 9 C层（拓展） 探究 目标3、目标6 推理能力、几何直观 3分钟 说明：A层为必做题；B层为选做题（至少完成2题）；C层为挑战题（自主选择）。 五、作业评价 （一）评价方式 1．学生自评：对照“七、答案与解析”用“★”标注自己的达成情况，并把典型错题整理到错题本； 2．同伴互评：同桌交换批改A层，重点检查“对应线段有没有找对、面积比有没有写成相似比的平方”； 3．教师评价：A层全批全改，B层、C层以鼓励性评价和思路点评为主，对典型错误进行集体讲评。 （二）评价量规 层级 评价要点 达标标准 达成等级（自评） A层 相似三角形性质定理的直接应用 能说出三条性质，正确求出对应线段、周长与面积，A层4题中答对3题以上为达标 ★☆☆　★★☆　★★★ B层 判定与性质的综合运用 能先找出（或证明）相似三角形，再用性质计算或说理，过程书写规范完整 ★☆☆　★★☆　★★★ C层 性质定理的推导与开放探究 能独立完成面积比的证明，能准确表述结论并说明理由 ★☆☆　★★☆　★★★ （三）评价反馈与补偿 1．对A层出错的学生，课堂上再用“一看是否相似、二看对应关系、三看比的对象（线段／周长／面积）”三步法演示一遍，并配一组同类题巩固； 2．对B层完成较好的学生，鼓励其挑战C层，并用“你是怎样想到先证相似的”引导其表达思维过程； 3．对C层确有困难的学生，给出“面积比等于相似比的平方，先求相似比”的提示，只提示方向不代替思考。 六、试题详情 （一）A层：基础巩固（必做） 1．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为2∶3，则它们的对应高的比为________，对应中线的比为________，周长的比为________，面积的比为________。 2．已知△ABC∽△DEF，相似比为3∶2。若△ABC的周长为15 cm，则△DEF的周长为（　　） A．10 cm　　　　B．12 cm　　　　C．22.5 cm　　　　D．30 cm 3．两个相似三角形对应中线的比为2∶5，若较小三角形的面积为8，则较大三角形的面积为________。 4．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是边BC、B′C′上的高。已知AB＝6，A′B′＝9，AD＝4，求A′D′的长。 （第4题图） （二）B层：能力提升（选做） 5．如图，△ABC是一块锐角三角形的余料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm。要把它加工成正方形零件PQMN，使正方形的一边MN在边BC上，顶点P、Q分别在边AB、AC上，求这个正方形零件的边长。 （第5题图） 6．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线（D、D′分别是BC、B′C′的中点）。求证：AD∶A′D′＝AB∶A′B′。 （第6题图） 7．已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35 cm和14 cm，它们的周长之差为60 cm。 （1）求这两个三角形的相似比； （2）求这两个三角形的周长； （3）若较大三角形的面积为175 cm2，求较小三角形的面积。 （三）C层：拓展探究（挑战） 8．如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的高。 （1）求证：S△ABC∶S△A′B′C′＝k2； （2）若△ABC的面积为12，△A′B′C′的面积为27，求△ABC与△A′B′C′的相似比。 （第8题图） 9．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，且BD∶DC＝2∶1，E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F。 （1）求AF∶FC的值； （2）求S△AEF∶S△ABC的值。 （第9题图） 七、答案与解析 1．答案：2∶3；2∶3；2∶3；4∶9。 解析：由相似三角形的性质可知，对应高的比、对应中线的比都等于相似比，即2∶3；周长的比等于相似比，即2∶3；面积的比等于相似比的平方，即 。所以面积的比为4∶9。 2．答案：A。 解析：因为△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，所以它们的周长比等于相似比，即△ABC的周长∶△DEF的周长＝3∶2。设△DEF的周长为x cm，则 ，解得x＝10。所以△DEF的周长为10 cm。故选A。 3．答案：50。 解析：相似三角形对应中线的比等于相似比，所以这两个相似三角形的相似比为2∶5，它们的面积比为 。设较大三角形的面积为S，则 ，解得S＝50。 4．答案：A′D′＝6。 解析：因为△ABC∽△A′B′C′，相似三角形对应高的比等于相似比，所以 。 把AB＝6，A′B′＝9，AD＝4代入，得 ，解得A′D′＝6。 5．答案：正方形零件的边长为48 mm。 解析：设正方形PQMN的边长为x mm。因为PQ∥MN，即PQ∥BC，所以△APQ∽△ABC。 因为△APQ与△ABC对应边上的高分别为(AD－x)与AD，所以它们的相似比为 ，也等于对应高的比 ，即 。 解这个方程：80x＝120(80－x)，即80x＝9600－120x，得200x＝9600，x＝48。所以这个正方形零件的边长为48 mm。 6．答案：见解析。 证明：因为△ABC∽△A′B′C′，所以 AB∶A′B′＝BC∶B′C′，∠B＝∠B′。 因为D、D′分别是BC、B′C′的中点，所以 BD＝，B′D′＝，从而 。 又∠B＝∠B′，所以△ABD∽△A′B′D′。所以 ，即 AD∶A′D′＝AB∶A′B′。 这说明：相似三角形对应中线的比等于相似比。 7．答案：（1）5∶2；（2）100 cm和40 cm；（3）28 cm2。 解析：（1）这一对对应边长的比就是相似比，所以相似比为35∶14＝5∶2。 （2）因为相似三角形的周长比等于相似比，所以两三角形的周长之比为5∶2。设较大三角形的周长为5x cm，较小三角形的周长为2x cm，则5x－2x＝60，解得x＝20。所以这两个三角形的周长分别为100 cm和40 cm。 （3）面积比等于相似比的平方，即 。设较小三角形的面积为S cm2，则 ，解得S＝28。所以较小三角形的面积为28 cm2。 8．答案：（1）见解析；（2）2∶3。 （1）证明：设△ABC的面积为S，△A′B′C′的面积为S′，BC、B′C′边上的高分别为AD、A′D′。 因为 S＝，S′＝， 所以 。 又因为△ABC∽△A′B′C′，所以 ，于是 ，即 S△ABC∶S△A′B′C′＝k2。这正说明：相似三角形面积的比等于相似比的平方。 （2）由（1）知 S△ABC∶S△A′B′C′＝k2，即 12∶27＝k2。因为 12∶27＝4∶9，所以 ，得相似比 k＝2∶3。 9．答案：（1）AF∶FC＝2∶3；（2）S△AEF∶S△ABC＝1∶15。 （1）如图，过点E作EH∥BC，交AC于点H。 因为E是AD的中点，EH∥BC（即EH∥DC），所以EH是△ADC的中位线，H是AC的中点，EH＝。 因为BD∶DC＝2∶1，所以DC＝，从而 。 因为B、E、F三点共线，EH∥BC，所以△FEH∽△FBC，得 。 设AC＝a，则AH＝HC＝，FH＝FC－HC＝FC－。由 得 FC－＝，解得FC＝，所以AF＝a－＝，即AF∶FC＝2∶3。 （2）因为△AEF与△AEC有相同的高（点E到AC的距离），所以它们的面积之比等于AF∶AC，即 S△AEF∶S△AEC＝AF∶AC＝2∶5。 又因为E是AD的中点，△AEC与△ADC有相同的高（点C到AD的距离），所以 S△AEC∶S△ADC＝AE∶AD＝1∶2。 因为BD∶DC＝2∶1，所以DC＝，又△ADC与△ABC有相同的高（点A到BC的距离），所以 S△ADC∶S△ABC＝DC∶BC＝1∶3。 所以 S△AEF∶S△ABC＝，即 S△AEF∶S△ABC＝1∶15。 学科网（北京）股份有限公司 $