第8讲 整式的加减 优等生讲义 (知识梳理+典例+练习) 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第8讲 整式的加减 优等生讲义 (知识梳理+典例+练习) 2026-2027学年苏科版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解单项式、多项式的概念 · 掌握同类项的概念 · 掌握合并同类项法则 · 掌握去括号法则 · 能进行整式加减运算 📚 知识梳理 ☆ 1.整式的概念 单项式：数字与字母的积，单独一个数或字母也是单项式 单项式的系数与次数 多项式：几个单项式的和，项、常数项、次数 整式：单项式与多项式的统称 概念辨析例题：说出3x²y的系数与次数 解析：字母指数和2+1=3 ☆ 2.同类项与合并 所含字母相同且相同字母的指数分别相同 同类项系数可以不同 合并同类项：系数相加，字母与指数不变 合并后字母部分不变 概念辨析例题：合并3x+2x 解析：系数3+2=5，字母x不变 ☆ 3.去括号法则 括号前是“+”号，去括号不变号 括号前是“−”号，去括号各项变号 乘法分配律 逐项处理 概念辨析例题：化简−(a−b) 解析：括号前负号，各项变号 ☆ 4.整式的加减 先去括号 再合并同类项 结果按某字母降幂排列 化简后再求值 概念辨析例题：计算(3x+2)−(x−1) 解析：去括号3x+2−x+1，合并2x+3 📋 知识总结表 概念 定义 要点 单项式 数与字母的积 系数次数 多项式 几个单项式的和 项常数项次数 同类项 字母相同指数相同 系数可不同 合并同类项 系数相加 字母指数不变 去括号 正号不变负号变 分配律 整式加减 去括号合并 降幂排列 ⚠️ 核心考点 【创新及压轴题】（第38-43题） · 整体思想 · 图形拼凑 · 含参讨论 · 数形结合 1．（2025秋•蕲春县期末）下列关于单项式的说法中，正确的是（　　） A．系数是﹣3，次数是2 B．系数是﹣3，次数是3 C．系数是，次数是2 D．系数是，次数是3 2．（2026春•青浦区校级期末）下列各组中是同类项的是（　　） A．2xy2x与2x2y B．与x C．﹣5x2y2与5x2y2 D．5m2n与2mn2 3．（2026春•顺德区期末）如图，对于多项式A、B，定义一种新运算“⊗”，规定：．如图，若A＝2x+1，B＝﹣x+3，则A⊗B的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•衡水期末）下列说法正确的是（　　） A．单项式3ab的次数是1 B．多项式﹣4a2b+3ab﹣5的常数项是5 C．单项式的系数是 D．3a﹣2a2b﹣1是三次三项式 5．（2025秋•双阳区校级期末）将﹣3a2b+7a3b3+4ab2﹣1按字母a的降幂排列：____________________ ． 6．（2025秋•船营区校级期末）已知单项式3amb2与的和是单项式，那么m+2n＝_______ ． 7．（2026春•延庆区期中）把多项式6+4x2﹣3x﹣x3按字母x降幂排列为_________________ ． 8．（2025秋•宜阳县期末）若多项式3xmy﹣2x+1是三次三项式，则m＝_____ ． 9．（2025秋•宝安区期末）若与﹣x3y2是同类项，则m﹣2n＝ _____ ． 10．（2025秋•烟台期末）若关于x的多项式﹣5x3﹣（m+2）x2+（n+3）x﹣1不含二次项和一次项，求m2﹣n的值． 11．（2024秋•未央区校级期中）已知单项式3am﹣2b2与2abn是同类项，求n3﹣m2的值． 12．（2025秋•洛宁县期中）一个二次三项式x2+2x﹣3，将它与一个关于x的二项式ax﹣b相乘，乘积中不出现一次项，且二次项系数为7，求a、b的值． 13．（2024秋•同步）下列代数式中，哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？ ，，﹣2xy2，﹣2x+y2，，，a，π． 14．（2026春•临安区期中）若定义λ[a，b，c]是以a，b，c为系数的二次三项式，可以表示为：λ[a，b，c]＝ax2+bx+c．其中a，b，c，均为实数．例如：λ[1，2，3]＝x2+2x+3，λ[2，0．﹣2]＝2x2﹣2，完成下面的探究： （1）当x＝2时，求λ[1，1，1]的值； （2）若λ[0，2，1]×λ[0，1，1]＝2x2+3x+m，求3m+4的值． 二．模块2：合并同类项（共10小题） 15．（2025秋•芜湖期末）下列运算正确的是（　　） A．5m+n＝5mn B．4m﹣n＝3 C．3m2+2m3＝5m5 D．﹣m2n+2m2n＝m2n 16．（2026•苍梧县模拟）若单项式﹣xy2a与9x2b+3y6可以合并，则2a﹣b3的值为（　　） A．7 B．4 C．5 D．﹣3 17．（2025秋•芝罘区期末）若单项式﹣2x2ya与的差仍为单项式，则ab＝_____ ． 18．（2025秋•永春县期末）若单项式am﹣1b4与的和仍是单项式，则m的值是_____ ． 19．（2026•山东）计算：5ab+6ab＝_________ ． 20．（2025秋•柯桥区期末）已知单项式4xmy与单项式﹣7x2yn﹣2的和仍是单项式，则代数式m﹣n的值是_______ ． 21．（2025秋•大兴区期中）化简：5m2+4﹣3m2﹣5m﹣2m2﹣3+4m． 22．（2025秋•丰城市校级月考）已知关于x的多项式合并后不含x3项和x2项，求m+2n的值． 23．（2025秋•银川校级期中）化简： （1）x3﹣2x2﹣x3+5x2+4． （2）﹣5m2n+4mn2﹣2mn+6m2n+3mn． 24．（2024秋•安徽校级期中）如果两个关于x，y的单项式﹣mxa+2y3与2nx3a﹣4y3是同类项（其中xy≠0）． （1）求a的值． （2）如果这两个单项式的和为零，求（2m﹣4n﹣1）2024的值． 三．模块3：整式加减法（共13小题） 25．（2025秋•泉港区期末）已知A＝﹣2x2+3x﹣1，B＝ax+5，若关于x的多项式A+B不含一次项，则a＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 26．（2026春•慈溪市月考）已知m，n，p，q为整数，且q为负整数，满足m+n＝p，n﹣2p＝q，p+3q＝m，则m+2n+3p+4q的最小值为（　　） A．﹣7 B．7 C．﹣5 D．5 27．（2026春•伊金霍洛旗期末）已知m﹣n＝3，p+q＝2，则（n+2p）﹣（m﹣2q）的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1 28．（2026•南岸区校级模拟）对代数式1+（2x+10）﹣（2x﹣10）+（4x﹣5）﹣（4x+5）中的式子1，2x+10，2x﹣10，4x﹣5，4x+5，以它们为底数，添加指数1或者2，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“增幂操作”． 例如：12+（2x+10）1﹣（2x﹣10）1+（4x﹣5）2﹣（4x+5）1＝4x2﹣44x+41，下列说法： ①不存在任何“增幂操作”，使其运算结果为关于x的三次整式； ②至少存在一种“增幂操作”，使其运算结果为12x2﹣2x﹣69； ③所有运算结果为常数的“增幂操作”之和为26． 其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 29．（2025秋•肥西县期末）若a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，则多项式2a+2b﹣3c的值为（　　） A．9 B．﹣9 C．15 D．﹣15 30．（2025秋•西丰县期末）数学课上，老师设计了一个数学游戏：若两个多项式相减的结果等于第三个多项式，则称这三个多项式为“友好多项式”．甲、乙、丙三位同学各有一张多项式卡片，下面是甲、乙、丙三位同学的对话，根据对话内容，可以知道丙的多项式是 ____________________ （写出一个即可）． 31．（2025秋•长春期末）多项式x2﹣3kxy﹣3y2+4xy﹣8中不含有xy项，则k的值为__________________ ． 32．（2025秋•哈尔滨期末）将7张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图1和图2所示的两种方式放在长方形ABCD内（相邻的小长方形既无重叠，又不留空隙）．图1中两块阴影部分的周长和为C1，图2中阴影部分的周长为C2．若长方形ABCD的长比宽大（a﹣b），则C1﹣C2的值为_______ ． 33．（2025秋•沭阳县期末）若单项式﹣2xmy4与的和仍是单项式，则m﹣n＝_____ ． 34．（2025秋•广灵县期末）已知长方形的一边长为a﹣b，其邻边比该边的长度多b，则这个长方形的周长为__________ ． 35．（2026秋•单元）如果整式A与整式B的和为一个有理数a，那么我们称A，B为有理数a的“友好整式”．例如：x﹣4与﹣x+5为有理数1的“友好整式”．若关于x的整式4x3﹣kx2+6与﹣4x3﹣3xm+k﹣1为有理数n的“友好整式”，则mn的值为_____ ． 36．（2024秋•武侯区校级期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+2ab+a． 如：1☆3＝1×32+2×1×3+1＝16． （1）求3☆（﹣2）的值； （2）若关于x的多项式A＝[（a+x）☆x]☆（﹣2），且A中不含一次项，求a的值； （3）若2☆x＝m，☆3＝n（其中x为有理数），试比较m，n的大小． 37．（2024秋•长汀县期中）对于有理数x，y，a，t，若|x﹣a|+|y﹣a|＝t，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，则|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）﹣3和5关于2的“美好关联数”为 _____ ； （2）若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； （3）若x0和x1关于1的“美好关联数”为1，求x0+x1的最小值． 四．创新及压轴题（共6小题） 38．（2026•尤溪县一模）若四位数满足a+d＝b+c，则称这样的四位数为“和谐四位数”．例如：四位数2154，因为2+4＝1+5，所以四位数2154是和谐四位数． （1）填空：3122 _______ 和谐四位数（填“是”或“不是”）； （2）已知一个和谐四位数的千位数字为1，十位数字为9，求这个和谐四位数； （3）若是和谐四位数，将M的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数N，求证：M与N的和一定能被101整除． 39．（2025秋•正定县期末）如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示，单位：米）留下一个“T”型图形（阴影部分）． （1）用含x，y的代数式表示“T”型图形的周长； （2）若此图作为某施工图，“T”型图形的周边需围上单价为每米30元的栅栏，原长方形周边的其余部分需围上单价为每米20元的栅栏．若x＝1，y＝3，请计算整个施工所需的造价． 40．（2025秋•湖北期末）【定义】若一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个数为“异数”． 【发现】若m是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个正整数为F（m）． 例如：m＝256，交换百位和个位上的数字后得到652，652＞256，则652﹣256＝396，396÷99＝4，所以F（256）＝4． （1）F（346）＝_____ ，F（712）＝_____ ； （2）小方同学发现可以用“整式的加减”知识证明上述【发现】是正确的，设“异数”m百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c．请你帮小方同学写出证明过程； （3）已知s，t都是“异数”，s＝950+n，t＝170+n（其中n为小于10的正整数），求F（s）+F（t）的值． 41．（2025秋•青浦区校级期中）我们知道，2x+3x﹣x＝（2+3﹣1）x＝4x，类似地，我们也可以将（a+b）看成一个整体，则2（a+b）+3（a+b）﹣（a+b）＝（2+3﹣1）（a+b）＝4（a+b）． 整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： （1）把（p+q）3看成一个整体，求3（p+q）3﹣7（p+q）3+2（p+q）3合并的结果； （2）已知，求12x+2y﹣8的值； （3）已知x﹣3z＝4，z﹣y＝﹣1，2y+w＝9，求x+y﹣2z+w的值． 42．（2024秋•城阳区期末）某中学要建一长方形劳动基地，其中一面靠墙（足够长），其它三面用篱笆围起，已知长方形基地的长为（3a+4b）米，宽比长少（2a+b）米． （1）用a，b表示长方形劳动基地的宽． （2）求篱笆的总长度． （3）若a＝40，b＝20，篱笆单价为每米2元，求买篱笆所需的费用． 43．（2025秋•上海校级期中）定义：整式A乘以整式B，得到整式C，如果整式C的项数正好比整式A的项数多1，那么我们称整式B是整式A的“相邻增项式”． （1）如果A＝x﹣2，B＝2x+5，判断B是否是A的“相邻增项式”，并说明理由； （2）已知A＝x﹣3，B＝x2+2mx+n都是关于x的整式且m、n均为不等于0的有理数． ①填空：当n＝1时，如果B是A的“相邻增项式”，那么m的值为 ____________________ ； ②设D＝B（A+2），E＝B﹣A﹣n，如果关于x的整式D中不含x的二次项，且整式E是整式D的“相邻增项式”，求n的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 单项式系数是数字因数次数是字母指数和 · 同类项字母相同指数相同 · 合并同类项系数相加字母不变 · 去括号负号变正号不变 · 整式加减先化简再求值 【作业 1】（2025秋•平武县期末）下列各组中的两个项不属于同类项的是（　　） A．3x2y和﹣2x2y B．﹣xy和2yx C．﹣1和14 D．a2和32 【作业 2】（2025秋•萧县期末）如图，将图1中的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将①号、②号、③号正方形按图2方式叠放入④号正方形内部，若需求出阴影部分的周长和，只需知道下列哪个正方形的边长（　　） A．①号 B．②号 C．③号 D．④号 【作业 3】（2024秋•莘县期末）下列说法正确的个数是（　　） （1）2x2﹣3x+1＝0是多项式； （2）单项式的系数、次数分别是，4次； （3）0是单项式； （4）与﹣3yx2不是同类项； （5）不是单项式，也不是整式； （6）x3+1是三次二项式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业 4】（2025秋•龙潭区校级期末）下列说法正确的是（　　） A．是单项式 B．a2b的次数是2 C．a2+2a﹣5是二次三项式 D．是单项式 【作业 5】（2026•潮阳区三模）请写出一个只含字母x，y的五次单项式 ________________ ． 【作业 6】（2025秋•凉州区期末）若单项式7x2nym﹣n与单项式﹣3x4y2n是同类项，则mn的值是_______ ． 【作业 7】（2025秋•虹口区校级月考）已知P＝3ax﹣8x+1，Q＝x﹣2ax﹣3，无论x取何值，3P﹣2Q＝9恒成立，则a＝_____ ． 【作业 8】（2025秋•浦东新区校级期末）化简： （1）3（2x﹣5y）﹣4（3x+y）； （2）． 【作业 9】（2025秋•栖霞市期末）已知A＝4ab﹣5+b2，B＝2b2﹣ab，C＝﹣2b2+mab+3． （1）求2A﹣B； （2）若A﹣C的结果与字母a的取值无关，求m的值． 【作业 10】（2025秋•紫阳县校级期末）化简：3a2﹣（5a+2）+（1﹣a2）． 【作业 11】（2025秋•神木市期中）小方同学做一道数学题：两个多项式A，B．其中B为4x2﹣3x+7试求A+B，他误将“A+B”看成“A﹣B”，求出的结果为8x2﹣x+1，求多项式A．（化为最简形式） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 整式的加减 优等生讲义 (知识梳理+典例+练习) 2026-2027学年苏科版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解单项式、多项式的概念 · 掌握同类项的概念 · 掌握合并同类项法则 · 掌握去括号法则 · 能进行整式加减运算 📚 知识梳理 ☆ 1.整式的概念 单项式：数字与字母的积，单独一个数或字母也是单项式 单项式的系数与次数 多项式：几个单项式的和，项、常数项、次数 整式：单项式与多项式的统称 概念辨析例题：说出3x²y的系数与次数 解析：字母指数和2+1=3 ☆ 2.同类项与合并 所含字母相同且相同字母的指数分别相同 同类项系数可以不同 合并同类项：系数相加，字母与指数不变 合并后字母部分不变 概念辨析例题：合并3x+2x 解析：系数3+2=5，字母x不变 ☆ 3.去括号法则 括号前是“+”号，去括号不变号 括号前是“−”号，去括号各项变号 乘法分配律 逐项处理 概念辨析例题：化简−(a−b) 解析：括号前负号，各项变号 ☆ 4.整式的加减 先去括号 再合并同类项 结果按某字母降幂排列 化简后再求值 概念辨析例题：计算(3x+2)−(x−1) 解析：去括号3x+2−x+1，合并2x+3 📋 知识总结表 概念 定义 要点 单项式 数与字母的积 系数次数 多项式 几个单项式的和 项常数项次数 同类项 字母相同指数相同 系数可不同 合并同类项 系数相加 字母指数不变 去括号 正号不变负号变 分配律 整式加减 去括号合并 降幂排列 ⚠️ 核心考点 【创新及压轴题】（第38-43题） · 整体思想 · 图形拼凑 · 含参讨论 · 数形结合 1．（2025秋•蕲春县期末）下列关于单项式的说法中，正确的是（　　） A．系数是﹣3，次数是2 B．系数是﹣3，次数是3 C．系数是，次数是2 D．系数是，次数是3 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． 【解答】解：单项式的系数是，次数是3， 故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查的是单项式，熟知单项式系数及次数的定义是解答此题的关键． 2．（2026春•青浦区校级期末）下列各组中是同类项的是（　　） A．2xy2x与2x2y B．与x C．﹣5x2y2与5x2y2 D．5m2n与2mn2 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解答】解：A、相同字母的指数不相同，不是同类项； B、相同字母的指数不相同，不是同类项； C、符合同类项的定义，是同类项； D、相同字母的指数不相同，不是同类项； 故选：C． 【点评】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型． 3．（2026春•顺德区期末）如图，对于多项式A、B，定义一种新运算“⊗”，规定：．如图，若A＝2x+1，B＝﹣x+3，则A⊗B的最大值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求两个多项式相等时的x值：2x+1＝﹣x+3，得，按这个x值分两段，对应新运算的规则写出A⊗B的表达式两段的最大值都在处取得，代入计算得结果． 【解答】解：因为A＝2x+1，B＝﹣x+3， 令2x+1＝﹣x+3， 解得， 当时，2x+1≤﹣x+3， 根据新运算规则，A⊗B＝A＝2x+1， 此时A⊗B随x增大而增大， 当时，； 当时，2x+1＞﹣x+3， 根据新运算规则，A⊗B＝B＝﹣x+3， 此时A⊗B随x增大而减小， 最大值小于时的值， 综上，A⊗B的最大值为． 故选：D． 【点评】本题考查了多项式、有理数的混合运算，解决本题的关键是先通过解方程求出A＝B时x的值，再分区间讨论A与B的大小关系，进而确定A⊗B的表达式，最后求出其最大值． 4．（2025秋•衡水期末）下列说法正确的是（　　） A．单项式3ab的次数是1 B．多项式﹣4a2b+3ab﹣5的常数项是5 C．单项式的系数是 D．3a﹣2a2b﹣1是三次三项式 【分析】单项式的次数是各字母次数之和，多项式次数要找所组成的单项式中次数最高的那一项．根据定义逐项判断即可． 【解答】解：A．单项式3ab的次数是2，说法错误，不符合题意； B．多项式﹣4a2b+3ab﹣5的常数项是﹣5，说法错误，不符合题意； C．单项式的系数是，说法错误，不符合题意； D．3a﹣2a2b﹣1是三次三项式，说法正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查单项式和多项式的次数与系数，明确概念是解题关键． 5．（2025秋•双阳区校级期末）将﹣3a2b+7a3b3+4ab2﹣1按字母a的降幂排列：　7a3b3﹣3a2b+4ab2﹣1　 ． 【分析】先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答． 【解答】解：﹣3a2b+7a3b3+4ab2﹣1按字母a的降幂排列：7a3b3﹣3a2b+4ab2﹣1． 故答案为：7a3b3﹣3a2b+4ab2﹣1． 【点评】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键． 6．（2025秋•船营区校级期末）已知单项式3amb2与的和是单项式，那么m+2n＝　10　 ． 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知m＝4，n﹣1＝2， 解得m＝4，n＝3， ∴m+2n＝4+2×3＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 7．（2026春•延庆区期中）把多项式6+4x2﹣3x﹣x3按字母x降幂排列为　﹣x3+4x2﹣3x+6　 ． 【分析】先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答． 【解答】解：多项式6+4x2﹣3x﹣x3 按字母x的降幂排列：﹣x3+4x2﹣3x+6， 故答案为：﹣x3+4x2﹣3x+6． 【点评】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键． 8．（2025秋•宜阳县期末）若多项式3xmy﹣2x+1是三次三项式，则m＝　2　 ． 【分析】根据多项式次数和项的定义，三次三项式要求最高次项次数为3，且项数为3． 【解答】解：∵多项式3xmy﹣2x+1是三次三项式， ∴m+1＝3， 解得：m＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是关键． 9．（2025秋•宝安区期末）若与﹣x3y2是同类项，则m﹣2n＝ 　1　 ． 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项定义可知m＝3，2n＝2， 解得m＝3，n＝1， ∴m﹣2n＝3﹣2×1＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 10．（2025秋•烟台期末）若关于x的多项式﹣5x3﹣（m+2）x2+（n+3）x﹣1不含二次项和一次项，求m2﹣n的值． 【分析】根据题意易得：﹣（m+2）＝0，n+3＝0，从而可得m＝﹣2，n＝﹣3，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵﹣5x3﹣（m+2）x2+（n+3）x﹣1不含二次项和一次项， ∴﹣（m+2）＝0，n+3＝0， 解得：m＝﹣2，n＝﹣3， ∴m2﹣n＝（﹣2）2﹣（﹣3）＝4+3＝7． 【点评】本题考查了多项式，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 11．（2024秋•未央区校级期中）已知单项式3am﹣2b2与2abn是同类项，求n3﹣m2的值． 【分析】同类项含有字母相同且相同字母的指数相同，列方程求解，再代入求值可． 【解答】解：由题意得，m﹣2＝1，n＝2， 解得：m＝3， ∴n3﹣m2＝﹣1， ∴n3﹣m2的值为﹣1． 【点评】本题考查了代数式求值，同类项，熟练掌握以上知识点是关键． 12．（2025秋•洛宁县期中）一个二次三项式x2+2x﹣3，将它与一个关于x的二项式ax﹣b相乘，乘积中不出现一次项，且二次项系数为7，求a、b的值． 【分析】先根据多项式乘多项式法则计算，再根据乘积中不出现一次项，且二次项系数为7得出﹣（2b+3a）＝0，2a﹣b＝7，然后求解即可． 【解答】解：（x2+2x﹣3）（ax﹣b） ＝ax3﹣bx2+2ax2﹣2bx﹣3ax+3b ＝ax3+（2a﹣b）x2﹣（2b+3a）x+3b， ∵乘积中不出现一次项，且二次项系数为7， ∴﹣（2b+3a）＝0，2a﹣b＝7， 解得a＝2，b＝﹣3． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，理解多项式不含某一项的意义是解题的关键． 13．（2024秋•同步）下列代数式中，哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？ ，，﹣2xy2，﹣2x+y2，，，a，π． 【分析】根据整式，单项式，多项式的意义，逐一判断即可解答． 【解答】解：整式有：，﹣2xy2，﹣2x+y2，a，π； 单项式有：，﹣2xy2，a，π； 多项式有：﹣2x+y2． 【点评】本题考查了整式，单项式，多项式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 14．（2026春•临安区期中）若定义λ[a，b，c]是以a，b，c为系数的二次三项式，可以表示为：λ[a，b，c]＝ax2+bx+c．其中a，b，c，均为实数．例如：λ[1，2，3]＝x2+2x+3，λ[2，0．﹣2]＝2x2﹣2，完成下面的探究： （1）当x＝2时，求λ[1，1，1]的值； （2）若λ[0，2，1]×λ[0，1，1]＝2x2+3x+m，求3m+4的值． 【分析】（1）先根据题目给出的定义，明确λ[1，1，1]对应的二次三项式形式，再将x＝2代入该式进行计算； （2）首先依据定义分别写出λ[0，2，1]和λ[0，1，1]对应的表达式，然后计算这两个表达式的乘积，将乘积结果与等式右边的式子对比，确定m的值，最后把m的值代入3m+4计算出结果． 【解答】解：（1）因为λ[a，b，c]＝ax2+bx+c， 所以当a＝1，b＝1，c＝1时，λ[1，1，1]＝x2+x+1， 将x＝2代入x2+x+1，得： 22+2+1＝4+2+1＝7； （2）若λ[0，2，1]×λ[0，1，1]＝2x2+3x+m，求3m+4的值 第一步：根据定义写出两个表达式 根据 因为λ[a，b，c]＝ax2+bx+c， 所以λ[0，2，1]＝0x2+2x+1＝2x+1， λ[0，1，1]＝0x2+1x+1＝x+1， （2x+1）（x+1）， ＝2x2+2x+x+1 ＝2x2+3x+1， 因为2x2+3x+1＝2x2+3x+m， 可得m＝1， 将m＝1代入得：3m+4＝3×1+4＝7． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是根据题目给出的定义求出多项式． 二．模块2：合并同类项（共10小题） 15．（2025秋•芜湖期末）下列运算正确的是（　　） A．5m+n＝5mn B．4m﹣n＝3 C．3m2+2m3＝5m5 D．﹣m2n+2m2n＝m2n 【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：A、5m+n≠5mn，故A错误； B、4m﹣n≠3，故B错误； C、3m2+2m3≠5m5，故C错误； D、﹣m2n+2m2n＝m2n，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型． 16．（2026•苍梧县模拟）若单项式﹣xy2a与9x2b+3y6可以合并，则2a﹣b3的值为（　　） A．7 B．4 C．5 D．﹣3 【分析】根据已知条件判断单项式﹣xy2a与9x2b+3y6是同类项，从而列出关于a，b的方程，解方程求出a，b，最后代入进行计算即可． 【解答】解：∵单项式﹣xy2a与9x2b+3y6可以合并， ∴单项式﹣xy2a与9x2b+3y6是同类项， ∴2b+3＝1，2a＝6， 解得：a＝3，b＝﹣1， 2a﹣b3 ＝2×3﹣（﹣1）3 ＝6+1 ＝7， 故选：A． 【点评】本题主要考查了同类项，解题关键是熟练掌握同类项的定义． 17．（2025秋•芝罘区期末）若单项式﹣2x2ya与的差仍为单项式，则ab＝　9　 ． 【分析】根据同类项的定义直接得出a、b的值． 【解答】解：由同类项的定义可知b＝2，a＝3， ∴ab＝32＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 18．（2025秋•永春县期末）若单项式am﹣1b4与的和仍是单项式，则m的值是　3　 ． 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知m﹣1＝2， 解得m＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 19．（2026•山东）计算：5ab+6ab＝　11ab ． 【分析】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变． 【解答】解：5ab+6ab＝（5+6）ab＝11ab． 故答案为：11ab． 【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20．（2025秋•柯桥区期末）已知单项式4xmy与单项式﹣7x2yn﹣2的和仍是单项式，则代数式m﹣n的值是　﹣1　 ． 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知m＝2，n﹣2＝1， 解得m＝2，n＝3， ∴m﹣n＝2﹣3＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 21．（2025秋•大兴区期中）化简：5m2+4﹣3m2﹣5m﹣2m2﹣3+4m． 【分析】先交换同类项的位置，然后根据合并同类项法则进行化简即可． 【解答】解：原式＝5m2﹣3m2﹣2m2+4m﹣5m+4﹣3 ＝﹣m+1． 【点评】本题主要考查了同类项与合并同类项，解题关键是熟练掌握合并同类项法则． 22．（2025秋•丰城市校级月考）已知关于x的多项式合并后不含x3项和x2项，求m+2n的值． 【分析】根据合并同类项后不含x3项和x2项，可得：m＝5，n＝1，再把字母的值代入代数式求值即可． 【解答】解：原式， ∵合并同类项后不含x3项和x2项， ∴m﹣5＝0，n﹣1＝0， 解得：m＝5，n＝1， ∴m+2n＝5+2×1＝5+2＝7． 【点评】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是关键． 23．（2025秋•银川校级期中）化简： （1）x3﹣2x2﹣x3+5x2+4． （2）﹣5m2n+4mn2﹣2mn+6m2n+3mn． 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 【解答】解：（1）原式＝x3﹣x3﹣2x2+5x2+4＝3x2+4； （2）原式＝﹣5m2n+6m2n+4mn2﹣2mn+3mn＝m2n+4mn2+mn． 【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项的方法是关键． 24．（2024秋•安徽校级期中）如果两个关于x，y的单项式﹣mxa+2y3与2nx3a﹣4y3是同类项（其中xy≠0）． （1）求a的值． （2）如果这两个单项式的和为零，求（2m﹣4n﹣1）2024的值． 【分析】（1）根据同类项的定义，得到a+2＝3a﹣4，进行求解即可； （2）根据两个同类项的和为0，则两个同类项的系数之和为0，得到﹣m+2n＝0，整体代入法求值即可． 【解答】解：（1）∵单项式﹣mxa+2y3与2nx3a﹣4y3是同类项， ∴a+2＝3a﹣4， 解得：a＝3； （2）∵这两个单项式的和为零， ∴﹣m+2n＝0， ∴2m﹣4n＝﹣2（﹣m+2n）＝0， ∴原式＝（﹣1）2024＝1． 【点评】本题考查了同类项，合并同类项，单项式，代数式求值，掌握相应的运算法则是关键． 三．模块3：整式加减法（共13小题） 25．（2025秋•泉港区期末）已知A＝﹣2x2+3x﹣1，B＝ax+5，若关于x的多项式A+B不含一次项，则a＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【分析】先把多项式合并，然后令1次项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：∵A＝﹣2x2+3x﹣1，B＝ax+5 ∴A+B＝﹣2x2+3x﹣1+ax+5 ∵多项式﹣2x2+3x﹣1+ax+5＝﹣2x2+（a+3）x+4不含1次项， ∴a+3＝0， 解得a＝﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力． 26．（2026春•慈溪市月考）已知m，n，p，q为整数，且q为负整数，满足m+n＝p，n﹣2p＝q，p+3q＝m，则m+2n+3p+4q的最小值为（　　） A．﹣7 B．7 C．﹣5 D．5 【分析】利用消元法把m，n，p都用q表示，再代入所求代数式化简，最后根据q为负整数的条件求最小值． 【解答】解：根据题意，得， 将③代入①，得 （p+3q）+n＝p， ∴n＝﹣3q， 将n＝﹣3q代入②，得﹣3q﹣2p＝q， 解得p＝﹣2q， 将p＝﹣2q代入③，得 m＝﹣2q+3q＝q， 代入m＝q，n＝﹣3q，p＝﹣2q， 得m+2n+3p+4q＝q+2（﹣3q）+3（﹣2q）+4q＝﹣7q， ∵q为负整数， ∴q≤﹣1，且q为整数， ∴当q取最大负整数q＝﹣1时，m+2n+3p+4q取得最小值， ∴m+2n+3p+4q最小值为：﹣7×（﹣1）＝7． 故选：B． 【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 27．（2026春•伊金霍洛旗期末）已知m﹣n＝3，p+q＝2，则（n+2p）﹣（m﹣2q）的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1 【分析】把要求的整式先去括号，整理到和条件有关联的式子，再把条件整体代入即可． 【解答】解：∵m﹣n＝3，p+q＝2， ∴（n+2p）﹣（m﹣2q） ＝n+2p﹣m+2q ＝2（p+q）﹣（m﹣n） ＝2×2﹣3 ＝1． 故选：D． 【点评】本题考查了整式的加减以及化简求值，用到的数学思想是整体代入． 28．（2026•南岸区校级模拟）对代数式1+（2x+10）﹣（2x﹣10）+（4x﹣5）﹣（4x+5）中的式子1，2x+10，2x﹣10，4x﹣5，4x+5，以它们为底数，添加指数1或者2，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“增幂操作”． 例如：12+（2x+10）1﹣（2x﹣10）1+（4x﹣5）2﹣（4x+5）1＝4x2﹣44x+41，下列说法： ①不存在任何“增幂操作”，使其运算结果为关于x的三次整式； ②至少存在一种“增幂操作”，使其运算结果为12x2﹣2x﹣69； ③所有运算结果为常数的“增幂操作”之和为26． 其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】①式子添加的指数1或者2，则其运算结果最多为关于x的二次整式；②找出一个符合题意的即可；③设“增幂操作”的表达式为1+（2x+10）b﹣（2x﹣10）c+（4x﹣5）d﹣（4x+5）e，要使得运算结果为常数，则必须满足b＝c，d＝e，再枚举求解即可． 【解答】解：对代数式1+（2x+10）﹣（2x﹣10）+（4x﹣5）﹣（4x+5）中的式子1，2x+10，2x﹣10，4x﹣5，4x+5，以它们为底数，添加指数1或者2，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“增幂操作”． ①式子添加的指数1或者2， ∴其运算结果最多为关于x的二次整式； ∴不存在任何“增幂操作”，使其运算结果为关于x的三次整式， 故①正确； ②∵12+（2x+10）1﹣（2x﹣10）2+（4x﹣5）2﹣（4x+5）1 ＝1+（2x+10）﹣（4x2﹣40x+100）+（16x2﹣40x+25）﹣（4x+5） ＝12x2﹣2x﹣69， ∴至少存在一种“增幂操作”，使其运算结果为12x2﹣2x﹣69，故②正确； ③设“增幂操作”的表达式为1+（2x+10）b﹣（2x﹣10）c+（4x﹣5）d﹣（4x+5）e， 要使得运算结果为常数，则必须满足b＝c，d＝e， 则11+（2x+10）1﹣（2x﹣10）1+（4x﹣5）1﹣（4x+5）1＝11，符合题意； 11+（2x+10）1﹣（2x﹣10）1+（4x﹣5）2﹣（4x+5）2＝﹣80x+21，不符合题意； 11+（2x+10）2﹣（2x﹣10）2+（4x﹣5）1﹣（4x+5）1＝80x﹣9，不符合题意； 11+（2x+10）2﹣（2x﹣10）2+（4x﹣5）2﹣（4x+5）2＝1，符合题意； 12+（2x+10）1﹣（2x﹣10）1+（4x﹣5）1﹣（4x+5）1＝11，符合题意； 12+（2x+10）2﹣（2x﹣10）2+（4x﹣5）2﹣（4x+5）2＝1，符合题意； 12+（2x+10）2﹣（2x﹣10）2+（4x﹣5）1﹣（4x+5）1＝80x﹣9，不符合题意； 12+（2x+10）1﹣（2x﹣10）1+（4x﹣5）2﹣（4x+5）2＝﹣80x+21，不符合题意； ∴所有运算结果为常数的“增幂操作”之和为11+1+11+1＝24≠26，故③错误； 故选：B． 【点评】本题考查整式的加减，正确进行计算是解题关键． 29．（2025秋•肥西县期末）若a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，则多项式2a+2b﹣3c的值为（　　） A．9 B．﹣9 C．15 D．﹣15 【分析】将已知条件进行整理变形，代入计算即可． 【解答】解：解法1：∵a﹣2b＝3， ∴a+b＝3b+3． ∵2b﹣c＝﹣5， ∴， ∴， ∴2a+2b﹣3c＝﹣9． 解法2：∵a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5， ∴2a﹣4b＝6①，6b﹣3c＝﹣15②， ①+②得2a+2b﹣3c＝﹣9． ∴多项式2a+2b﹣3c的值为﹣9． 故选：B． 【点评】本题考查的是整式的加减，解题的关键在于把已知条件进行整理． 30．（2025秋•西丰县期末）数学课上，老师设计了一个数学游戏：若两个多项式相减的结果等于第三个多项式，则称这三个多项式为“友好多项式”．甲、乙、丙三位同学各有一张多项式卡片，下面是甲、乙、丙三位同学的对话，根据对话内容，可以知道丙的多项式是 　﹣x2﹣2x﹣3或x2+2x+3或5x2﹣4x﹣1　 （写出一个即可）． 【分析】根据“友好多项式”的定义，列出两个多项式之差，再进行化简即可． 【解答】解：根据“友好多项式”的规定，分三种情况讨论： ①2x2﹣3x﹣2﹣（3x2﹣x+1）＝2x2﹣3x﹣2﹣3x2+x﹣1＝﹣x2﹣2x﹣3， ②3x2﹣x+1﹣（2x2﹣3x﹣2）＝3x2﹣x+1﹣2x2+3x+2＝x2+2x+3， ③3x2﹣x+1+（2x2﹣3x﹣2）＝3x2﹣x+1+2x2﹣3x﹣2＝5x2﹣4x﹣1， 故丙的多项式是：﹣x2﹣2x﹣3或x2+2x+3或5x2﹣4x﹣1． 【点评】本题考查了整式的加减，分类讨论是解答本题的关键． 31．（2025秋•长春期末）多项式x2﹣3kxy﹣3y2+4xy﹣8中不含有xy项，则k的值为　　 ． 【分析】先把多项式合并，然后令xy项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：∵多项式x2﹣3kxy﹣3y2+4xy﹣8＝（4﹣3k）xy+x2﹣3y2﹣8不含xy项， ∴4﹣3k＝0， 解得k． 故答案为：． 【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力． 32．（2025秋•哈尔滨期末）将7张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图1和图2所示的两种方式放在长方形ABCD内（相邻的小长方形既无重叠，又不留空隙）．图1中两块阴影部分的周长和为C1，图2中阴影部分的周长为C2．若长方形ABCD的长比宽大（a﹣b），则C1﹣C2的值为　2a ． 【分析】根据图计算出长方形的宽为a+4b，再求得长方形的长；然后分别表示出C1、C2，再计算即可得出答案． 【解答】解：∵宽为a+4b， 则长为a+4b+（a﹣b）＝2a+3b， 由图可知： C1＝（2a+3b+a+4b）×2+（2a+3b﹣3b﹣a）×2＝8a+14b， C2＝2（2a+3b+a+4b）＝6a+14b， C1﹣C2＝8a+14b﹣（6a+14b）＝2a， 故答案为：2a． 【点评】本题考查了代数式、整式的加减．解题的关键是理解题意，根据图形将长和宽及C1、C2，表示出来． 33．（2025秋•沭阳县期末）若单项式﹣2xmy4与的和仍是单项式，则m﹣n＝　2　 ． 【分析】根据同类项的性质解出mn的值，代入m﹣n计算即可． 【解答】解：∵单项式﹣2xmy4与的和仍是单项式， ∴代数式﹣2xmy4与是同类项， ∴m＝3，m+n＝4， ∴m＝3，n＝1， ∴m﹣n＝3﹣1＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了同类项的概念，字母相同，相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项是解答本题的关键． 34．（2025秋•广灵县期末）已知长方形的一边长为a﹣b，其邻边比该边的长度多b，则这个长方形的周长为　4a﹣2b ． 【分析】由题意易得邻边的长，然后根据长方形的周长＝两邻边的长度之和的2倍列式计算即可． 【解答】解：已知长方形的一边长为a﹣b，其邻边比该边的长度多b， 则该邻边长为a﹣b+b＝a， 那么2（a﹣b+a）＝2（2a﹣b）＝4a﹣2b， 即这个长方形的周长为4a﹣2b， 故答案为：4a﹣2b． 【点评】本题考查整式的加减，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 35．（2026秋•单元）如果整式A与整式B的和为一个有理数a，那么我们称A，B为有理数a的“友好整式”．例如：x﹣4与﹣x+5为有理数1的“友好整式”．若关于x的整式4x3﹣kx2+6与﹣4x3﹣3xm+k﹣1为有理数n的“友好整式”，则mn的值为　4　 ． 【分析】根据“友好整式”的定义，整式4x3﹣kx2+6与﹣4x3﹣3xm+k﹣1相加二次项和一次项系数为0，即可算出k的值，即可算出mn的值． 【解答】解：∵关于x的整式4x3﹣kx2+6与﹣4x3﹣3xm+k﹣1为数n的“友好整式”， ∴m＝2， ∵4x3﹣kx2+6﹣4x3﹣3xm+k﹣1＝﹣（k+3）x2+5+k， ∵k+3＝0， ∴k＝﹣3， ∴5+k＝n，即5+（﹣3）＝n， ∴n＝2， ∴mn＝2×2＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了整式的加减，读懂题目中所给的概念是解决本题的关键． 36．（2024秋•武侯区校级期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+2ab+a． 如：1☆3＝1×32+2×1×3+1＝16． （1）求3☆（﹣2）的值； （2）若关于x的多项式A＝[（a+x）☆x]☆（﹣2），且A中不含一次项，求a的值； （3）若2☆x＝m，☆3＝n（其中x为有理数），试比较m，n的大小． 【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）把相应的值代入，利用新定义的运算求解，再结合条件即可求解； （3）把相应的值代入，利用新定义的运算分别求出m，n，再比较大小即可． 【解答】解：（1）3☆（﹣2） ＝3×（﹣2）2+2×3×（﹣2）+3 ＝3×4﹣12+3 ＝12﹣12+3 ＝3； （2）A＝[（a+x）☆x]☆（﹣2） ＝[（a+x）x2+2（a+x）x+（a+x）]☆（﹣2） ＝（ax2+x3+2ax+2x2+a+x）☆（﹣2） ＝（ax2+x3+2ax+2x2+a+x）×（﹣2）2+2（ax2+x3+2ax+2x2+a+x）×（﹣2）+（ax2+x3+2ax+2x2+a+x） ＝（ax2+x3+2ax+2x2+a+x）×4﹣4（ax2+x3+2ax+2x2+a+x）+ax2+x3+2ax+2x2+a+x ＝4ax2+4x3+8ax+8x2+4a+4x﹣4ax2﹣4x3﹣8ax﹣8x2﹣4a﹣4x+ax2+x3+2ax+2x2+a+x ＝ax2+x3+2ax+2x2+a+x ＝x3+（a+2）x2+（2a+1）x+a， ∵A中不含一次项， ∴2a+1＝0， ∴； （3）∵2☆x＝m，☆3＝n，（其中x为有理数） ∴m＝2x2+4x+2，， ∴m﹣n＝2x2+4x+2﹣4x＝2x2+2＞0， ∴m＞n． 【点评】本题考查了整式的加减运算，新定义，多项式的项，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解新定义，掌握整式的加减运算法则，有理数的混合运算法则是解题的关键． 37．（2024秋•长汀县期中）对于有理数x，y，a，t，若|x﹣a|+|y﹣a|＝t，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，则|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）﹣3和5关于2的“美好关联数”为 　8　 ； （2）若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； （3）若x0和x1关于1的“美好关联数”为1，求x0+x1的最小值． 【分析】（1）根据“美好关联数”的定义求解即可； （2）根据“美好关联数”的定义求解即可； （3）根据“美好关联数”的定义得到|x0﹣1|+|x1﹣1|＝1，可以看成x0到1的距离与数x1到1的距离和为1，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：|﹣3﹣2|+|5﹣2|＝8； （2）由题意得：|x﹣3|+|2﹣3|＝4， ∴|x﹣3|＝3， 解得：x＝6或x＝0； （3）由题意得：|x0﹣1|+|x1﹣1|＝1， ∴在数轴上可以看作数x0到1的距离与数x1到1的距离和为1， 当x0≥1，x1≥1时，有x0﹣1+x1﹣1＝1，∴x0+x1＝3， 当x0≥1，x1＜1时，有x0﹣1+1﹣x1＝1，∴x0﹣x1＝1，∴x0+x1＝x0+x0﹣1＝2x0﹣1≥1， 当x0＜1，x1≥1时，有1﹣x0+x1﹣1＝1，∴x1﹣x0＝1，∴x0+x1＝x0+x0+1＝2x0+1≥3， 当x0＜1，x1＜1时，有1﹣x0+1﹣x1＝1，∴x0+x1＝1， 综上所述，x0+x1有最小值1． 【点评】本题主要考查了绝对值的几何意义，解绝对值方程，数字类的规律探索，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． 四．创新及压轴题（共6小题） 38．（2026•尤溪县一模）若四位数满足a+d＝b+c，则称这样的四位数为“和谐四位数”．例如：四位数2154，因为2+4＝1+5，所以四位数2154是和谐四位数． （1）填空：3122 　不是　 和谐四位数（填“是”或“不是”）； （2）已知一个和谐四位数的千位数字为1，十位数字为9，求这个和谐四位数； （3）若是和谐四位数，将M的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数N，求证：M与N的和一定能被101整除． 【分析】（1）根据“和谐四位数”的定义对3122进行分析，即可作答． （2）先根据a+d＝b+c以及千位数字为1，十位数字为9，得出d＝b+8，结合0≤d≤9，且d为整数，得0≤b≤1，且b为整数，则b＝0或b＝1，即可作答． （3）先理解得a+d＝b+c，，则M+N＝1000a+100b+10c+d+1000d+100c+10b+a＝1111（b+c），根据b+c为整数，且1111÷101＝11，故M+N＝1111（b+c）一定能被101整除． 【解答】解：（1）由“和谐四位数”可知，且3+2＝5≠1+2， ∴3122不是和谐四位数； 故答案为：不是； （2）设这个和谐四位数为，即a+d＝b+c， ∵一个和谐四位数的千位数字为1，十位数字为9， 即a＝1，c＝9， ∴1+d＝b+9， ∴d＝b+8 由条件可知0≤b≤1，且b为整数， ∴当b＝0时，则d＝0+8＝8， 此时这个和谐四位数为1098； ∴当b＝1时，则d＝1+8＝9， 此时这个和谐四位数为1199； 综上：这个和谐四位数为1098或1199； （3）∵是和谐四位数，将M的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数N， ∴a+d＝b+c，， 则， ， 由条件可知 M+N＝1000a+100b+10c+d+1000d+100c+10b+a ＝1001a+1001d+110b+110c ＝1001（a+d）+110b+110c ＝1001（b+c）+110（b+c） ＝1111（b+c）， ∵b+c为整数，且1111÷101＝11， ∴M+N＝1111（b+c）一定能被101整除． 【点评】本题考查了新定义，整式的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 39．（2025秋•正定县期末）如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示，单位：米）留下一个“T”型图形（阴影部分）． （1）用含x，y的代数式表示“T”型图形的周长； （2）若此图作为某施工图，“T”型图形的周边需围上单价为每米30元的栅栏，原长方形周边的其余部分需围上单价为每米20元的栅栏．若x＝1，y＝3，请计算整个施工所需的造价． 【分析】（1）根据图象列出代数式，并计算即可； （2）根据题意，表示出造价的代数式，再代入x，y的值计算即可． 【解答】解：（1）根据图象列出代数式可得： 2x+（y+x+y）+2x+y+y+x+y+y＝6x+6y； （2）整个施工所需的造价为： 30（6x+6y）+20×4y＝180x+260y． 当x＝1，y＝3时， 180x+260y＝180×1+260×3＝180+780＝960（元）， 答：整个施工所需的造价为960元． 【点评】本题考查整式的加减，列代数式和代数式求值，根据图象列出代数式是解题关键． 40．（2025秋•湖北期末）【定义】若一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个数为“异数”． 【发现】若m是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个正整数为F（m）． 例如：m＝256，交换百位和个位上的数字后得到652，652＞256，则652﹣256＝396，396÷99＝4，所以F（256）＝4． （1）F（346）＝　3　 ，F（712）＝　5　 ； （2）小方同学发现可以用“整式的加减”知识证明上述【发现】是正确的，设“异数”m百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c．请你帮小方同学写出证明过程； （3）已知s，t都是“异数”，s＝950+n，t＝170+n（其中n为小于10的正整数），求F（s）+F（t）的值． 【分析】（1）根据新定义和F（m）的计算方法，直接计算即可； （2）设出“异数”m百位、十位、个位上的数字，分别表示出交换百位和个位数字后的两个数，再根据F（m）的计算方法进行证明； （3）先根据s和t的表达式求出它们的百位、十位、个位上的数字，再根据F（m）的计算方法分别求出F（s）和F（t），最后计算F（s）+F（t）的值． 【解答】解：（1）∵643＞346， ∴643﹣346＝297，297÷99＝3， 即F（346）＝3； ∵712＞217， ∴712﹣217＝495，495÷99＝5， 即F（712）＝5． 故答案为：3；5． （2）设“异数”m百位上的数字为a，个位上的数字为c，十位上的数字为b， 则m＝100a+10b+c， 交换百位和个位上的数字后得到100c+10b+a． 当a＜c时： （100c+10b+a）﹣（100a+10b+c）＝100c+10b+a﹣100a﹣10b﹣c＝99（c﹣a）， 则． ∵a，c为正整数且a＜c， ∴c﹣a为正整数． 当a＞c时：（100a+10b+c）﹣（100c+10b+a）＝100a+10b+c﹣100c﹣10b﹣a＝99（a﹣c）， 则． ∵a，c为正整数且a＞c， ∴a﹣c为正整数． 因此，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数． （3）已知s＝950+n， ∵n为小于10的正整数， ∴s的百位数字是9，个位数字是n，十位数字是5， 已知t＝170+n， ∵n为小于10的正整数， ∴t的百位数字是1，个位数字是n．十位数字是7， 对于s：交换百位和个位上的数字后得到100n+50+9， ∵n＜9， ∴950+n＞100n+50+9， 则， 对于t：交换百位和个位上的数字后得到100n+70+1， ∵n＞1， ∴100n+70+1＞170+n， 则， ∴F（s）+F（t）＝（9﹣n）+（n﹣1）＝9﹣n+n﹣1＝8． 【点评】分析本题主要考查新定义运算、整式的加减运算以及代数式求值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 41．（2025秋•青浦区校级期中）我们知道，2x+3x﹣x＝（2+3﹣1）x＝4x，类似地，我们也可以将（a+b）看成一个整体，则2（a+b）+3（a+b）﹣（a+b）＝（2+3﹣1）（a+b）＝4（a+b）． 整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： （1）把（p+q）3看成一个整体，求3（p+q）3﹣7（p+q）3+2（p+q）3合并的结果； （2）已知，求12x+2y﹣8的值； （3）已知x﹣3z＝4，z﹣y＝﹣1，2y+w＝9，求x+y﹣2z+w的值． 【分析】（1）根据合并同类项的法则求解即可； （2）根据，利用整体代入法求解即可； （3）根据x+y﹣2z+w＝（x﹣3z）+（2y+w）+（z﹣y），利用整体代入法求解即可． 【解答】解：（1）原式＝（3﹣7+2）（p+q）3 ＝﹣2（p+q）3； （2）∵， ∴； （3）∵x﹣3z＝4，z﹣y＝﹣1，2y+w＝9， ∴x+y﹣2z+w ＝（x﹣3z）+（2y+w）+（z﹣y） ＝4+9+（﹣1） ＝12． 【点评】本题主要考查了代数式求值，整式的加减计算，合并同类项，利用整体法求解是解题的关键． 42．（2024秋•城阳区期末）某中学要建一长方形劳动基地，其中一面靠墙（足够长），其它三面用篱笆围起，已知长方形基地的长为（3a+4b）米，宽比长少（2a+b）米． （1）用a，b表示长方形劳动基地的宽． （2）求篱笆的总长度． （3）若a＝40，b＝20，篱笆单价为每米2元，求买篱笆所需的费用． 【分析】（1）根据长方形基地的长为（3a+4b）米，宽比长少（2a+b）米，可以计算出宽的长度； （2）根据图形可知：篱笆的总长度为一个长+两个宽，然后代入数据计算即可； （3）将a＝40和b＝20代入（2）中的结果求出篱笆总长度，再根据篱笆单价为每米2元，即可计算出买篱笆所需的费用． 【解答】解：（1）∵长方形基地的长为（3a+4b）米，宽比长少（2a+b）米， ∴宽为：（3a+4b）﹣（2a+b） ＝3a+4b﹣2a﹣b ＝（a+3b）米； （2）由（1）可知：长为（3a+4b）米，宽为（a+3b）米， ∴篱笆的总长度为：（3a+4b）+2（a+3b） ＝3a+4b+2a+6b ＝（5a+10b）米； （3）当a＝40，b＝20时， 篱笆的总长度为：5a+10b ＝5×40+10×20 ＝200+200 ＝400（米）， ∵篱笆单价为每米2元， ∴买篱笆所需的费用为：400×2＝800（元）， 答：买篱笆所需的费用为800元． 【点评】本题考查整式的加减、列代数式、代数式求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 43．（2025秋•上海校级期中）定义：整式A乘以整式B，得到整式C，如果整式C的项数正好比整式A的项数多1，那么我们称整式B是整式A的“相邻增项式”． （1）如果A＝x﹣2，B＝2x+5，判断B是否是A的“相邻增项式”，并说明理由； （2）已知A＝x﹣3，B＝x2+2mx+n都是关于x的整式且m、n均为不等于0的有理数． ①填空：当n＝1时，如果B是A的“相邻增项式”，那么m的值为 　或　 ； ②设D＝B（A+2），E＝B﹣A﹣n，如果关于x的整式D中不含x的二次项，且整式E是整式D的“相邻增项式”，求n的值． 【分析】（1）根据“相邻增项式”的定义，即可判断； （2）①当n＝1时，先整理出AB的代数式，再根据已知条件，即可得出答案； ②先求出m的值，再代入，接着根据条件即可得出n的值． 【解答】解：（1）B是否是A的“相邻增项式”，理由如下： AB＝（x﹣2）（2x+5） ＝2x2+x﹣10， ∵AB的项数是3，二A的项数是2， ∴B是否是A的“相邻增项式”． （2）①当n＝1时， AB＝（x﹣3）（x2+2mx+1） ＝x3+（2m﹣3）x2+（1﹣6m）x﹣3， ∵当n＝1时，如果B是A的“相邻增项式”， ∴1﹣6m＝0或2m﹣3＝0， ∴m或m． 故答案为：或． ②D＝（x2+2mx+n）（x﹣3+2） ＝x3+（2m﹣1）x2+（n﹣2m）x﹣n， ∵关于x的整式D中不含x的二次项， ∴2m﹣1＝0， ∴m， ∴D＝x3+（n﹣1）x﹣n， ∴E＝B﹣A﹣n＝x2+x+n﹣x+3﹣n ＝x2+3， ∴ED＝（x2+3）[x3+（n﹣1）x﹣n] ＝x5+（n+2）x3﹣nx2+3（n﹣1）x﹣3n， ∴当n＝1时，D为关于x的二项式，而DE为四项式（舍去）， 当n≠1且n≠0时，D为关于x的三项式， ∵整式E是整式D的“相邻增项式”， ∴n＝﹣2， 综上所述，n＝﹣2． 【点评】本题主要考查整式的加减，理解题意是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 单项式系数是数字因数次数是字母指数和 · 同类项字母相同指数相同 · 合并同类项系数相加字母不变 · 去括号负号变正号不变 · 整式加减先化简再求值 【作业 1】（2025秋•平武县期末）下列各组中的两个项不属于同类项的是（　　） A．3x2y和﹣2x2y B．﹣xy和2yx C．﹣1和14 D．a2和32 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解答】解：A、符合同类项的定义，是同类项； B、符合同类项的定义，是同类项； C、符合同类项的定义，是同类项； D、所含字母不相同，不是同类项； 故选：D． 【点评】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型． 【作业 2】（2025秋•萧县期末）如图，将图1中的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将①号、②号、③号正方形按图2方式叠放入④号正方形内部，若需求出阴影部分的周长和，只需知道下列哪个正方形的边长（　　） A．①号 B．②号 C．③号 D．④号 【分析】设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y，结合图1分别表示出③号，④号正方形的边长，5号长方形的长和宽，然后结合图2分别表示出左上角阴影部分的长与宽，右下角阴影部分的边长，计算出两个阴影部分的周长之和即可． 【解答】解：设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y，则③号正方形的边长为（x+y），④号正方形的边长为2x+y，⑤号长方形的长为（3x+y），宽为y﹣x， 左上角阴影部分的长为2x+y﹣y＝2x，宽为2x+y﹣（x+y）＝x， 右下角阴影是一个边长为x的正方形， 则两个阴影的周长和为10x，与①号周长有关， 故选：A． 【点评】本题考查整式加减的实际应用，设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y，结合图1分别表示出③号，④号正方形的边长，5号长方形的长和宽是解题的关键． 【作业 3】（2024秋•莘县期末）下列说法正确的个数是（　　） （1）2x2﹣3x+1＝0是多项式； （2）单项式的系数、次数分别是，4次； （3）0是单项式； （4）与﹣3yx2不是同类项； （5）不是单项式，也不是整式； （6）x3+1是三次二项式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据多项式的定义：单项式和的形式；单项式的定义：数字和字母乘积的形式，其中数字是单项式的系数，单个数字，单个字母也是单项式；以及同类项的定义：两个单项式，字母相同，字母的指数也相同，进行判断即可． 【解答】解：2x2﹣3x+1＝0不是多项式，是等式， ∴（1）说法错误； 单项式的系数、次数分别是，2+1＝3次， ∴（2）说法错误； 0是单项式，即（3）说法正确； 与﹣3yx2是同类项， ∴（4）说法错误； 不是单项式，是多项式，即是整式， ∴（5）说法错误； x3+1是三次二项式，即（6）说法正确， 所以正确的有（3）、（6），共2个， 故选：B． 【点评】本题考查多项式、单项式和同类项的概念．熟练掌握相关定义是解题的关键． 【作业 4】（2025秋•龙潭区校级期末）下列说法正确的是（　　） A．是单项式 B．a2b的次数是2 C．a2+2a﹣5是二次三项式 D．是单项式 【分析】根据单项式、多项式的定义，分析每个选项，是分式，a2b的次数是3，a2+2a﹣5是二次三项式，是多项式，由此选出正确答案． 【解答】解：由已知得： A选项是分式，不是单项式，此说法不正确，故不符合题意； B选项a2b的次数是3，此说法不正确，故不符合题意； C选项a2+2a﹣5是二次三项式，此说法正确，故符合题意； D选项是多项式，此说法不正确，故不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了单项式、多项式的定义，熟练掌握其定义是解答本题的关键． 【作业 5】（2026•潮阳区三模）请写出一个只含字母x，y的五次单项式 x3y2（答案不唯一）　 ． 【分析】根据单项式的次数的定义解答即可． 【解答】解：含字母x，y的五次单项式可以是x3y2（答案不唯一）， 故答案为：x3y2（答案不唯一）． 【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义、其次数的定义是解题的关键． 【作业 6】（2025秋•凉州区期末）若单项式7x2nym﹣n与单项式﹣3x4y2n是同类项，则mn的值是　36　 ． 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知2n＝4，m﹣n＝2n， 解得m＝6，n＝2， ∴mn＝62＝36． 故答案为：36． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 【作业 7】（2025秋•虹口区校级月考）已知P＝3ax﹣8x+1，Q＝x﹣2ax﹣3，无论x取何值，3P﹣2Q＝9恒成立，则a＝　2　 ． 【分析】根据题意可以得到关于a的等式，从而可以求得a的值，本题得以解决． 【解答】解：∵P＝3ax﹣8x+1，Q＝x﹣2ax﹣3，无论x取何值时，3P﹣2Q＝9恒成立， ∴3P﹣2Q ＝3（3ax﹣8x+1）﹣2（x﹣2ax﹣3） ＝9ax﹣24x+3﹣2x+4ax+6 ＝13ax﹣26x+9 ＝（13a﹣26）x+9 ＝9， ∴13a﹣26＝0， 解得a＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式的加减的计算方法． 【作业 8】（2025秋•浦东新区校级期末）化简： （1）3（2x﹣5y）﹣4（3x+y）； （2）． 【分析】（1）先使用分配律去括号再合并即可； （2）先去括号，再通分计算即可． 【解答】解：（1）原式＝6x﹣15y﹣12x﹣4y ＝（6x﹣12x）+（﹣15y﹣4y） ＝﹣6x﹣19y； （2）原式 ． 【点评】本题考查了整式的加减运算，解决本题的关键是先去括号，再合并同类项并正确计算． 【作业 9】（2025秋•栖霞市期末）已知A＝4ab﹣5+b2，B＝2b2﹣ab，C＝﹣2b2+mab+3． （1）求2A﹣B； （2）若A﹣C的结果与字母a的取值无关，求m的值． 【分析】（1）将A、B代入化简，合并同类项； （2）将A、C代入化简，合并同类项，根据结果与字母a的取值无关求出m的值． 【解答】解：（1）∵A＝4ab﹣5+b2，B＝2b2﹣ab， 2A﹣B＝2（4ab﹣5+b2）﹣（2b2﹣ab） ＝8ab﹣10+2b2﹣2b2+ab ＝9ab﹣10； （2）A﹣C＝（4ab﹣5+b2）﹣（﹣2b2+mab+3） ＝4ab﹣5+b2+2b2﹣mab﹣3 ＝（4﹣m）ab+3b2﹣8， 由于A﹣C的结果与字母a的取值无关， ∴4﹣m＝0，即m＝4． 【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是明确整式加减的计算方法． 【作业 10】（2025秋•紫阳县校级期末）化简：3a2﹣（5a+2）+（1﹣a2）． 【分析】先去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：3a2﹣（5a+2）+（1﹣a2） ＝3a2﹣5a﹣2+1﹣a2 ＝2a2﹣5a﹣1． 【点评】此题考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则． 【作业 11】（2025秋•神木市期中）小方同学做一道数学题：两个多项式A，B．其中B为4x2﹣3x+7试求A+B，他误将“A+B”看成“A﹣B”，求出的结果为8x2﹣x+1，求多项式A．（化为最简形式） 【分析】由题知A﹣B＝8x2﹣x+1，从而得到A＝B+8x2﹣x+1，即可求出多项式A． 【解答】解：由题知A﹣B＝8x2﹣x+1， ∴A＝B+8x2﹣x+1， ∵B为4x2﹣3x+7， ∴A＝4x2﹣3x+7+8x2﹣x+1 ＝12x2﹣4x+8． 【点评】本题考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $