第13讲 平面图形的初步认识(1) 优等生讲义 2026-2027学年 苏科版七年级数学上册

第13讲 平面图形的初步认识(1) 2026-2027 苏科版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解直线、射线、线段的概念与区别，掌握两点确定一条直线、两点之间线段最短两个基本事实，并能用于解释生活现象。 · 会比较线段长短，理解线段中点的意义，能进行线段的和差倍分计算，掌握尺规作图作一条线段等于已知线段。 · 理解角的概念与表示方法，掌握度分秒的换算与角的加减乘除运算，理解角平分线的意义并用于角度计算。 · 理解余角、补角的概念与性质，掌握同角（等角）的余角相等、补角相等，并能用于角度推理。 · 理解相交线、对顶角、邻补角、垂线的概念与性质，掌握对顶角相等、垂线段最短，能进行简单的几何推理。 📚 知识梳理 ☆ 1.直线、射线、线段 直线没有端点，向两方无限延伸，不可度量；射线有一个端点，向一方无限延伸，不可度量；线段有两个端点，可以度量。 基本事实1：经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线），用于解释木匠弹墨线、打靶瞄准等。 基本事实2：两点之间线段最短，用于解释弯曲公路改直、拉绳插秧等，两点之间线段的长度叫两点间的距离。 线段中点：把线段分成两条相等线段的点，若M是AB中点，则AM=BM=1/2 AB；线段的和差倍分计算常结合中点与方程思想。 概念辨析例题：下列说法正确的是（ ）A. 直线AB和直线BA是两条不同的直线 B. 射线AB和射线BA是同一条射线 C. 线段AB和线段BA是同一条线段 D. 延长直线AB 解析：A错，直线无方向，AB与BA是同一条直线；B错，射线端点不同方向不同，不是同一条；C对，线段无方向；D错，直线本身无限延伸，不能延长。故选C。 ☆ 2.角 角由有公共端点的两条射线组成，公共端点叫顶点，两条射线叫边；角可用三个大写字母、一个大写字母、数字或希腊字母表示。 度分秒换算：1°=60′，1′=60″，按60进制；角的加减乘除运算中，乘法先算秒再分再度，除法从度开始依次进行。 角平分线：从角的顶点出发把角分成两个相等角的射线，若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB。 余角与补角：若∠α+∠β=90°则互余，若∠α+∠β=180°则互补；同角（等角）的余角相等、补角相等，是角度等量代换的重要依据。 概念辨析例题：已知∠α=54°30′，则∠α的余角为（ ）A. 35°30′ B. 36°30′ C. 125°30′ D. 126°30′ 解析：余角=90°-54°30′=89°60′-54°30′=35°30′。注意度分秒借位：90°=89°60′。故选A。 ☆ 3.相交线 对顶角：两条直线相交形成的相对的角，对顶角相等；邻补角：相邻且互补的角，邻补角之和为180°。 垂线：两条直线相交所成四个角中有一个是直角，则互相垂直，其中一条叫另一条的垂线；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 垂线段最短：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；垂线段的长度叫点到直线的距离。 相交线中的角度计算常结合对顶角相等、邻补角互补、垂直定义，通过设未知数列方程求解。 概念辨析例题：如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE=55°，则∠BOD的度数为（ ）A. 35° B. 45° C. 55° D. 125° 解析：OE⊥AB，所以∠AOE=90°，∠AOC=∠AOE-∠COE=90°-55°=35°；∠BOD与∠AOC是对顶角，所以∠BOD=∠AOC=35°。故选A。 📋 知识总结表 核心概念 关键公式/性质 注意事项 直线/射线/线段 两点确定一条直线；两点之间线段最短 直线不可延长，射线可反向延长，线段可延长 线段中点 AM=BM=1/2 AB 中点必须在线段上，注意和差倍分关系 度分秒 1°=60′，1′=60″ 加减乘除按60进制，借位进位要细心 角平分线 ∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB 角平分线是射线，不是直线或线段 余角/补角 和为90°互余，和为180°互补 同角（等角）的余角/补角相等，用于等量代换 对顶角/垂线 对顶角相等；垂线段最短 垂直定义推出90°，点到直线距离是垂线段长度 ⚠️ 核心考点 【考点1】直线、射线、线段（第1-15题） · 概念辨析：直线无端点、射线一个端点、线段两个端点；直线和射线不可度量，线段可度量；表示时注意端点顺序。 · 基本事实应用：两点确定一条直线（弹墨线、瞄准、插秧），两点之间线段最短（改直公路、最短路径），看清题目问的是哪个原理。 · 线段计算：先找中点关系，再用和差倍分列等式；多中点问题设未知数，用方程思想求解；注意点在线段上还是延长线上。 · 尺规作图：作一条线段等于已知线段，用圆规截取长度，再在射线上画弧；作图保留痕迹，不写作法。 1．（2025秋•兰州期末）如图1，线段a、b，图2中线段AB表示的是（　　） A．a﹣b B．a+b C．a﹣2b D．2a﹣b 【考点】直线、射线、线段． 【分析】根据图形可以看出线段AB是线段AC与线段BC的差，从而可以得到AB如何表示． 【解答】解：由图可得， AB＝AC﹣BC＝a+a﹣b＝2a﹣b． 故选：D． 【点评】本题考查直线、射线、线段，解题的关键是利用数形结合的思想，根据图形解答． 2．（2025秋•红山区期末）往返A，B两地的客车，中途停靠两个站，客运站根据两站之间的距离确定票价（距离不相等，票价就不同）．若任意两站之间的距离都不相等，则不同的票价共有（　　） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【考点】直线、射线、线段． 【分析】根据线段的定义以及线段条数的计算方法进行解答即可． 【解答】解：由题意可知，不同的票价有1+2+3＝6（种）， 故选：C． 【点评】本题考查直线、射线、线段，理解线段的定义，掌握线段条数的计算方法是正确解答的前提． 3．（2025秋•海淀区校级期末）值日生小亮为了把桌子又快又好的摆整齐，总是先把一列的第一张桌子和最后一张桌子摆好，再依次摆中间的桌子，这样做蕴含的数学依据是　两点确定一条直线　 ． 【考点】直线的性质：两点确定一条直线． 【分析】小亮先摆好第一张和最后一张桌子，相当于确定一条直线的两个端点，从而确定一条直线，然后中间的桌子沿这条直线摆放，确保整齐． 【解答】解：先把一列的第一张桌子和最后一张桌子摆好，再依次摆中间的桌子，这样做蕴含的数学依据是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 【点评】本题考查了直线的性质，掌握“两点确定一条直线”是解题的关键． 4．（2026春•张店区期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 　两点确定一条直线　 ． 【考点】直线的性质：两点确定一条直线． 【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线即可得． 【解答】解：能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 【点评】本题主要考查直线的性质，掌握直线的性质：两点确定一条直线是解题的关键． 5．（2025秋•綦江区期末）下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（　　） A．木匠弹墨线 B．打∀靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 【考点】线段的性质：两点之间线段最短． 【分析】根据线段的性质解答即可． 【解答】解：A、B、D依据两点确定一条直线；C依据两点之间线段最短． 故选：C． 【点评】本题考查的是线段的性质，掌握“两点确定一条直线”，“两点之间线段最短”的基本事实是正确判断的关键． 6．（2025秋•廉江市校级月考）金秋十月，银杏谷生态旅游区是赏银杏胜地，一簇簇金黄色点缀在山谷村落之间．小明同学捡到一片沿直线被折断的银杏叶（如图），他发现被折断了的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是　两点之间，线段最短　 ． 【考点】线段的性质：两点之间线段最短． 【分析】由于银杏叶沿直线被折断，因此原银杏叶边缘的曲线长度被折断后的线段长度取代，由线段的性质“两点之间，线段最短”，可知被折断的银杏叶周长更小，于是得到问题的答案． 【解答】解：因为银杏叶沿直线被折断， 所以原银杏叶边缘的曲线长度被折断后的线段长度取代， 因为“两点之间，线段最短”， 所以曲线长度大于连接对应两点的线段长度， 所以被折断的银杏叶周长更小． 故答案为：两点之间，线段最短． 【点评】此题重点考查线段的性质“两点之间，线段最短”，将银杏叶边缘的长度变化转化为曲线与线段的长度比较是解题关键． 7．（2025秋•北流市期末）如图，已知线段AB＝10cm，M是AB中点，点N在AB上，NB＝2cm，那么线段MN的长为（　　） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 【考点】两点间的距离． 【分析】根据M是AB中点，先求出BM的长度，则MN＝BM﹣BN． 【解答】解：∵AB＝10cm，M是AB中点， ∴BMAB＝5cm， 又∵NB＝2cm， ∴MN＝BM﹣BN＝5﹣2＝3cm． 故选：C． 【点评】本题考查了线段的长短比较，根据点M是AB中点先求出BM的长度是解本题的关键． 8．（2025秋•青岛期末）如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下列等式不正确的是（　　） A．CD＝AD﹣BC B．CD＝AC﹣DB C．CDAB D．CDAB﹣DB 【考点】两点间的距离． 【分析】根据线段中点的定义可判断． 【解答】解：∵C是AB的中点，D是BC的中点 ∴AC＝BCAB，CD＝BDBC ∵CD＝AD﹣AC ∴CD＝AD﹣BC 故A正确 ∵CD＝BC﹣DB ∴CD＝AC﹣DB 故B正确 ∵AC＝BCAB，CD＝BDBC ∴CDAB 故C错误 ∵CD＝BC﹣DB ∴CDAB﹣DB 故D正确 故选：C． 【点评】本题考查了两点之间的距离，熟练掌握线段中点的定义是本题的关键． 9．（2026秋•天心区月考）如图，点C在线段AB的延长线上，AB＝6，BCAB，点M是线段AC的中点，则线段AM的长为　4　 ． 【考点】两点间的距离． 【分析】根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可． 【解答】解：∵AB＝6，BCAB， ∴BC6＝2， ∵点C在线段AB的延长线上， ∴AC＝AB+BC＝6+2＝8， ∵点M是线段AC的中点， ∴AM＝MCAC8＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及线段的和差关系是正确解答的关键． 10．（2026•红河州模拟）两根木条，一根长20cm，一根长24cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为 　2或22　 cm． 【考点】两点间的距离． 【分析】根据两点间的距离分两种情况计算即可． 【解答】解：当两条线段一端重合，另一端在同一方向时， 此时两根木条的中点之间的距离为12﹣10＝2（cm）； 当两条线段一端重合，另一端方向相反时， 此时两根木条的中点之间的距离为10+12＝22（cm）； 故答案为2或22． 【点评】本题考查了两点之间的距离，解决本题的关键是分两种情况讨论． 11．（2025秋•南昌县期末）如图，点B是线段AC上一点，且AB＝21，BCAB． （1）求线段AC的长． （2）若点O是线段AC的中点，求线段OB的长． 【考点】两点间的距离． 【分析】（1）求出线段BC用AB+BC可得结论； （2）利用线段中点的意义，求出线段OC，用OC﹣BC即可． 【解答】解：（1）∵AB+BC＝AC． 又∵，AB＝21， ∴AC＝AB+BC＝21+7＝28； （2）∵O是AC的中点， ∴， ∴OB＝CO﹣BC＝14﹣7＝7． 【点评】本题主要考查了线段中点的意义，两点之间的距离，正确使用线段的中点的意义是解题的关键． 12．（2025秋•苏州校级期末）如图，已知线段AB＝24cm，C为AB延长线上一点，且BCAB． （1）求AC的长； （2）若D是AB的中点，E是AC的中点，求DE的长． 【考点】两点间的距离． 【分析】（1）首先求出BC＝8cm，再根据线段的和差可得AC的长； （2）首先根据线段中点的定义可得AD＝12cm，AE＝16cm，再根据DE＝AE﹣AD可得答案． 【解答】解：（1）因为， 所以， 所以AC＝AB+BC＝24+8＝32（cm）； （2）因为D是AB的中点，E是AC的中点， 所以， 所以DE＝AE﹣AD＝16﹣12＝4（cm）． 【点评】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义与线段的和差是解题关键． 13．（2025秋•许昌期末）如图，已知线段AB、a、b． （1）请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①延长线段AB到C，使BC＝a； ②反向延长线段AB到D，使AD＝b． （2）在（1）的条件下，如果AB＝8cm，a＝6cm，b＝10cm，且点E为CD的中点，求线段AE的长度． 【考点】两点间的距离． 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据线段的画出和线段的中点的定义即可得到结论． 【解答】解：（1）①如图所示，线段BC即为所求， ②如图所示，线段AD即为所求； （2）∵AB＝8cm，a＝6cm，b＝10cm， ∴CD＝8+6+10＝24cm， ∵点E为CD的中点， ∴DEDC＝12cm， ∴AE＝DE﹣AD＝12﹣10＝2cm． 【点评】本题考查了直线、射线、线段，利用了线段中点的性质，线段的和差． 14．（2025秋•澄海区期末）已知，直线l上线段AB＝6、线段CD＝2（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧）． （1）若线段BC＝1，则线段AD＝　7或9　 ； （2）如图2，点P、Q分别为AD、BC的中点，求线段PQ的长度； （3）若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，若MN＝2DN，求线段CD运动的时间． 【考点】两点间的距离． 【分析】（1）①当点C在点B的左侧时，②当点C在点B的右侧时，根据线段的和差即可得到结论； （2）设BC＝x，则AD＝AB+BC+CD＝12+x，根据线段中点的定义得到PDAD＝6x，CQx，于是得到结论； （3）线段CD运动的时间为t，则AM＝2t，BC＝t，列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）①当点C在点B的左侧时， ∵AB＝6，BC＝1，CD＝2， ∴AC＝5， ∴AD＝AC+CD＝7， ②当点C在点B的右侧时， ∵AB＝6，BC＝1，CD＝2， ∴AD＝AB+BC+CD＝9， ∴线段AD＝7或9； 故答案为：7或9； （2）设BC＝x， 则AD＝AB+BC+CD＝8+x， ∵点P、Q分别为AD、BC的中点， ∴PDAD＝4x，CQx， ∴PQ＝PD﹣CD﹣CQ＝4x﹣2x＝2； （3）线段CD运动的时间为t， 则AM＝2t，BC＝t， ∴BM＝AB﹣AM＝6﹣2t或BM＝AM﹣AB＝2t﹣6，BD＝BC+CD＝t+2， ∵点N是线段BD的中点， ∴DN＝BNBDt+1， ∵MN＝2DN， ∴6﹣2tt+1＝2（t+1）或（2t﹣6）﹣（t+1）＝2（t+1）， 解得：t＝2或t＝18 故线段CD运动的时间为2s或18s． 【点评】本题主要考查了两点间的距离，依据线段的和差关系列方程是解决问题的关键． 15．（2025秋•五指山期末）如图，点C、D在线段AB上，点C为AB中点，若AC＝5cm，BD＝2cm，则CD＝　3　 cm． 【考点】比较线段的长短． 【分析】首先由点C为AB中点，可知BC＝AC，然后根据CD＝BC﹣BD得出． 【解答】解：∵点C为AB中点， ∴BC＝AC＝5cm， ∴CD＝BC﹣BD＝3cm． 【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 【考点2】角（第16-30题） · 度分秒运算：加法秒满60进分、分满60进度；乘法从秒开始乘再进位；除法从度开始除，余数转下一级；借位时1°=60′。 · 角平分线计算：利用角平分线分出两个等角，结合已知角的和差关系求未知角；多条角平分线时逐层推导。 · 余角补角：互余和为90°，互补和为180°；同角（等角）的余角/补角相等是证明角相等的常用工具；注意一个角的补角比余角大90°。 · 三角板拼角：一副三角板含30°、45°、60°、90°，拼角时两角和或差；重叠部分用90°减去已知角求未知角。 16．（2026春•中牟县校级月考）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日郑州市正午太阳光线与水平面的夹角β为55°18′，若光能利用率最高，则集热板与水平面的夹角α的度数是（　　） A．44°42′ B．34.3° C．34°82′ D．34.7° 【考点】度分秒的换算． 【分析】理解题意，集热板与太阳光线垂直时，集热板与水平面的夹角α和太阳光线与水平面的夹角β互余，即α+β＝90°，按互余关系计算即可． 【解答】解：∵集热板与太阳光线垂直， ∴集热板与水平面的夹角α和太阳光线与水平面的夹角β互余， 即α+β＝90°， ∵春分日郑州市正午太阳光线与水平面的夹角β为55°18′， ∴α＝90°﹣55°18′＝34°42′＝34.7°， 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是理解题意． 17．（2025秋•江汉区校级期末）计算57°31′+25°36′×4＝　159　 °　55　 '． 【考点】度分秒的换算． 【分析】根据角度的四则混合运算法则进行计算即可． 【解答】解：∵1°＝60′，1′＝60″， ∴57°31′+25°36′×4 ＝57°31′+100°144′ ＝157°175′ ＝159°55′， 即57°31′+25°36′×4＝159°55'， 故答案为：159，55． 【点评】本题主要考查了角度的混合运算，解题的关键是掌握角度的混合运算法则． 18．（2025秋•三河市期末）如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【考点】角平分线的定义． 【分析】利用角平分线的性质和角与角的和差关系计算即可． 【解答】解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线， ∴∠COD∠COE，∠BOC∠AOC， 又∵∠AOB＝40°，∠COE＝60°， ∴∠BOC＝40°，∠COD＝30°， ∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝40°+30°＝70°． 故选：C． 【点评】本题考查角与角之间的运算和角平分线的知识点，注意结合图形，发现角与角之间的关系，进而求解． 19．（2025秋•阳山县期末）如图，∠AOB是平角，∠BOC＝60°，OD平分∠AOC，则∠DOC＝　60°　 ． 【考点】角平分线的定义． 【分析】先计算∠AOC的度数，再根据角平分线的定义计算即可． 【解答】解：∵∠AOB是平角，∠BOC＝60°， ∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°， ∵OD平分∠AOC， ∴， 故答案为：60°． 【点评】本题考查角平分线的定义，关键是掌握几何图形的角度计算． 20．（2025秋•合肥校级期末）如图，点O为线段AD外一点，M，C，B，N为AD上任意四点，连接OM，OC，OB，ON，下列结论： ①以O为顶点的角有15个； ②若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD＝5∠COB，则； ③若M为AB的中点，N为CD的中点，则； ④若MC＝CB，MN＝ND，则CD＝2CN． 正确的是 　①②③　 ． 【考点】角平分线的定义；两点间的距离；角的概念． 【分析】在①中，以OA为边的角有5个，以OM为边的角右边有4个，左边有1个，以OC为边的角右边有3个，左边有2个，所以以OA、OM、OC、OB、ON、OD为边的角各有5个，一共有5×6÷2＝15个，数出有几个角即可． 在②中，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，可设∠1＝∠2＝α，∠3＝∠4＝β，∠5＝m，再换算即可． 在③中，由M为AB的中点，N为CD的中点，得AMAB，NDCD，再换算即可． 在④中，设MC＝CB＝x，设BN＝y，再换算即可． 【解答】解：在①中，以OA为边的角有5个，以OM为边的角右边有4个，左边有1个，以OC为边的角右边有3个，左边有2个，所以以OA、OM、OC、OB、ON、OD为边的角各有5个，一共有5×6÷2＝15个， 故①正确． 在②中，如图，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， 可设∠1＝∠2＝α，∠3＝∠4＝β，∠5＝m， ∵∠AOD＝5∠COB， ∴2α+2β+m＝5m， ∴α+β＝2m． ∵∠MON＝∠2+∠5+∠4＝α+β+m＝3m， （∠MOC+∠BON）（∠2+∠4）（α+β）＝3m， ∴， 故②正确． 在③中， ∵M为AB的中点，N为CD的中点， ∴AMAB，NDCD， ∴MN＝AD﹣AM﹣ND＝AD（AB+CD）＝AD（AC+CB+CD）＝AD（AD+BC）（AD﹣BC）， 故③正确． 在④中， ∵MC＝CB， ∴设MC＝CB＝x， 设BN＝y， ∴MN＝ND＝2x+y， ∵CD＝CB+BN+ND＝3x+2y， 2CN＝2（x+y）＝2x+2y， ∴CD≠2CN， 故④错误． 综上所述，正确的①②③， 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了角平分线的定义，两点间的距离，角的概念，掌握这些知识是解题关键． 21．（2025秋•凉州区期末）如图，在∠AOC内部作了一条射线OB，下列说法正确的是（　　） A．∠AOC可以用∠O表示 B．∠1＝∠2 C．∠2与∠COB是同一个角 D．∠AOC＝∠1+∠AOB 【考点】角的计算． 【分析】根据知识点，结合图形，对每个选项进行逐一分析． 【解答】解：A、∠AOC不可以用∠O表示，当点O为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，错误，不符合题意； B、从图中可直观看出，射线OB更靠近射线OA，因此∠1明显小于∠2，错误，不符合题意； C、根据角的表示法，∠2与∠COB都指的是由射线OB和OC组成的同一个角，正确，符合题意； D、∠AOC＝∠1+∠2，错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查几何图形初步中“角”的相关知识，解题的关键在于准确理解图形中每个角的定义和范围． 22．（2025秋•江北区期末）如图，已知∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，OE平分∠AOC，则∠AOE＝　65°　 ． 【考点】角的计算；角平分线的定义． 【分析】利用角的和差关系进行计算可得答案． 【解答】解：∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠AOB＝80°，∠BOC＝50°， ∴∠AOC＝80°+50°＝130°． 又∵OE平分∠AOC， ∴∠AOE∠AOC＝65°， 故答案为：65°． 【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题关键． 23．（2025秋•惠阳区期末）如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线，∠DOE＝90°． （1）若∠AOD＝35°，求∠COE的度数； （2）若∠AOD＝α，求∠COE的度数（用含α的代数式表示）． 【考点】角的计算；角平分线的定义． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，从而∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝55°，∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝35°； （2）同（1）思路即可求解． 【解答】解：（1）∵O是直线AB上一点， ∴∠AOB＝180°， 由题意可得：， ∵∠AOD＝35°， ∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝90°﹣35°＝55°， ∵∠DOE＝90°， ∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝90°﹣55°＝35°． （2）∵O是直线AB上一点， ∴∠AOB＝180°， 由题意可得：， ∵∠AOD＝α， ∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝90°﹣α， ∵∠DOE＝90°， ∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝90°﹣（90°﹣α）＝α． 【点评】本题考查角平分线的定义，角的和差，正确进行计算是解题关键． 24．（2025秋•惠东县期末）综合与探究 【问题情境】： 某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，进行“玩转三角板”的探究活动． 【问题实践】： 海阔太空小组进行了如下探究：已知O为直线AB上的一点，将直角三角板的直角∠COE置于点O处，如图1所示，若OF平分∠AOE． 【解决问题】你来试试吧! （1）如图1，若∠COF＝34°，则∠EOF＝　56°　 ，∠BOE＝　68°　 ； （2）如图1，若∠BOE＝m°，求∠AOE，∠COF的度数．（用含m的代数式表示）； 【深入探究】未来可期小组受到启发进行了进一步动态探究： （3）当三角板的直角∠COE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，提出问题：∠BOE与∠COF的数量关系是什么？请说明理由． 【考点】角的计算；角平分线的定义． 【分析】（1）利用角的和差可求得∠EOF，利用角平分线的性质得到∠AOE，再利用平角的定义求解可求； （2）利用平角的定义求出∠AOE，利用角平分线定义求出∠EOF，然后利用角的和差求解即可； （3）利用角的和差∠EOF＝90°﹣∠COF，利用角平分线求出∠AOE＝2∠EOF，然后利用平角的定义求出∠BOE＝180°﹣∠AOE，最后代入化简即可． 【解答】解：（1）由题意，∵∠COF＝34°，∠COE＝90°， ∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣34°＝56°， 又∵OF平分∠AOE， ∴∠AOE＝2∠EOF＝2×56°＝112°， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝68°， 故答案为：56°，68°； （2）∵∠BOE＝m°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣m°， 又∵OF平分∠AOE， ∴， ∵∠COE是直角， ∴． （3）∠BOE＝2∠COF． 理由如下：∵∠COE是直角， ∴∠EOF＝90°﹣∠COF， 又∵OF平分∠AOE， ∴∠AOE＝2∠EOF， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣2（90°﹣∠COF）＝2∠COF． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义，角的运算，正确使用角平分线的计算是解题的关键． 25．（2025秋•重庆校级期末）已知，OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB＝3∠AOC． （1）如图1所示，若∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数； （2）如图2所示，∠AOB＝x°，射线OP，射线OQ分别从OC，OB出发，并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕着点O逆时针旋转，OP和OQ分别只在∠AOC和∠BOC内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出∠AOP和∠COQ的数量关系； ②若∠AOB＝150°，当，求t的值． 【考点】角的计算；角平分线的定义． 【分析】（1）先求出∠AOC＝40°，再根据角平分线的定义得到∠AOM＝20°，∠AON＝60°，由此即可得到答案； （2）①先求出∠AOCx°，∠BOCx°，根据题意可得∠COP＝t°，∠BOQ＝2t°，由此求出∠AOP＝（x﹣t）°，∠COQ＝（x﹣2t）°，则∠COQ＝2∠AOP； ②求出∠POQ＝（x﹣t）°，∠BOP＝（x+t）°，再由∠AOB＝150°，∠POQ∠BOP，得到（x﹣t）（x+t），把x＝150代入方程求出t的值即可． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝3∠AOC，∠AOB＝120°， ∴∠AOC120°＝40°， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB， ∴∠AOM∠AOC，∠AON∠AOB， ∴∠AOM＝20°，∠AON＝60°， ∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝60°﹣20°＝40°； （2）①∠COQ＝2∠AOP；理由如下： ∵∠AOB＝3∠AOC，∠AOB＝x°， ∴∠AOCx°， ∴∠BOCx°， 由题意得：∠COP＝t×1°＝t°，∠BOQ＝t×2°＝2t°， ∴∠AOP＝∠AOC﹣∠COP＝（x﹣t）°，∠COQ＝∠BOC﹣∠BOQ＝（x﹣2t）°， ∴∠COQ＝2∠AOP； ②由①知∠COP＝t°，∠COQ＝（x﹣2t）°， ∵∠POQ＝∠COQ+∠COP，∠BOP＝∠BOC+∠COP， ∴∠POQ＝（t）°，∠BOP＝（t）°， ∵∠AOB＝150°，∠POQ∠BOP， ∴， 把x＝150代入得：100﹣t， 解得t＝20， ∴若∠AOB＝150°， 当∠POQ∠BOP时，t＝20． 【点评】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，根据图形得出角之间的等量关系是解题的关键． 26．（2025秋•南召县期末）如图，A、O、B在同一直线上，∠AOC＝∠BOC，若∠1＝∠2，则图中互余的角共有（　　） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【考点】余角和补角． 【分析】求出∠AOC＝∠BOC＝90°，推出∠1+∠DOC＝90°，∠2+∠AOE＝90°，求出∠DOC＝∠AOE，推出∠2+∠COD＝90°，∠1+∠AOE＝90°，根据余角的定义得出即可． 【解答】解：∵∠AOC＝∠BOC，∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∴∠1+∠DOC＝90°，∠2+∠AOE＝90°， ∵∠1＝∠2， ∴∠DOC＝∠AOE， ∴∠2+∠COD＝90°，∠1+∠AOE＝90°， 即图中互余的角共有4对． 故选：B． 【点评】本题考查了邻补角，互余的应用，注意：如果∠A和∠B互余，则∠A+∠B＝90°． 27．（2025秋•株洲校级期末）在桌面上，把一副三角板摆成如图的位置．若∠1比∠2大22°，则∠2的度数为（　　） A．33 B．34 C．35 D．36 【考点】余角和补角． 【分析】根据图形得出∠1+∠2＝90°，然后根据∠1的度数比∠2的度数大22°列出方程，求解即可． 【解答】解：由图可知∠1+∠2＝90°， 由题意可知∠1﹣∠2＝22°， ∴∠2＝（90°﹣22°）÷2＝34°． 故选：B． 【点评】本题考查了余角和补角，能根据题意得出算式∠1+∠2＝90°是解此题的关键． 28．（2026春•梅县区期中）如图所示，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOB＝28°，则∠COD的度数是　28°　 ． 【考点】余角和补角． 【分析】根据角的和差关系进行求解即可． 【解答】解：根据题意可知，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOB＝28°， ∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣28°＝62°， ∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣62°＝28°． 故答案为：28°． 【点评】本题考查了余角和补角，掌握余角和补角的定义是关键． 29．（2025秋•镇江期末）已知∠α与∠β互余，且∠α＝54°30′，则∠β＝　35.5　 °． 【考点】余角和补角；度分秒的换算． 【分析】根据互余的定义得出∠α+∠β＝90°，即可求出∠β的度数． 【解答】解：∵∠α与∠β互余， ∴∠α+∠β＝90°， ∵∠α＝54°30′， ∴∠β＝90°﹣54°30′＝90°﹣54.5°＝35.5°， 故答案为：35.5． 【点评】本题考查了余角和补角，度分秒的换算，正确计算是解题的关键． 30．（2025秋•长沙期末）如图，点O在直线AB上，从点O引出射线OC，其中射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，下列结论： ①∠DOE＝90°； ②∠COE与∠AOE互补； ③若OC平分∠BOD，则∠AOE＝150°； ④∠BOE的余角可表示为． 其中正确的是 　①②③④　 ．（只填序号） 【考点】余角和补角；角的概念；角平分线的定义． 【分析】利用补角的定义，角平分线的定义，余角的定义对各结论进行分析即可． 【解答】解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC， ∴∠COD∠AOC，∠COE＝∠BOE∠BOC， ∴∠DOE＝∠COD+∠COE（∠AOC+∠BOC）， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠DOE＝90°，故①结论正确； ∵∠AOE+∠BOE＝180°， ∴∠AOE+∠COE＝180°， 即∠AOE与∠COE互补，故②结论正确； ∵OC平分∠BOD， ∴∠COD∠BOD， ∵∠BOD＝180°﹣∠AOD， ∴∠COD＝90°∠AOD， ∴∠AOD＝90°∠AOD， 解得：∠AOD＝60°， ∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝60°+90°＝150°，故③结论正确； ∵∠DOE＝90°， ∴∠COE＝90°﹣∠COD， ∴∠BOE＝90°﹣∠COD， ∵∠BOE的余角为：90°﹣∠BOE， ∴∠BOE的余角为：∠COD， ∵∠COD∠AOC，∠AOC＝∠AOE﹣∠COE， ∴∠COD（∠AOE﹣∠COE）， 即∠BOE的余角可表示为：（∠AOE﹣∠COE），故④结论正确， 综上所述，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点评】本题主要考查余角与补角，角平分线，解答的关键是对相应的定义的掌握与运用． 31．（2025秋•霍山县月考）如图，已知∠AOB的补角等于它的余角的10倍． （1）求∠AOB的度数； （2）若OD平分∠BOC，∠AOC＝3∠BOD（∠AOC＜180°），求∠AOD的度数． 【考点】余角和补角；角平分线的定义． 【分析】（1）根据补角和余角之间的等量关系，合理地设出未知数列出方程求解即可； （2）根据角平分线的定义和角的关系，合理设元列出方程求解即可． 【解答】解：（1）设∠AOB＝x， 180°﹣x＝10（90°﹣x）， 解得x＝80°． ∴∠AOB的度数为80°； （2）设∠BOD＝y，则∠AOC＝3y， ∵OD平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠BOD＝2y， 由题意，3y+2y+80°＝360°， 解得y＝56°， ∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝80°+56°＝136°． 【点评】本题考查角度的计算、补角和余角的概念；如果两个角的和为180°，则这两个角互补；如果两个角的和为90°，则这两个角互余；熟练掌握设元求角是解题的关键． 【考点3】相交线（第31-45题） · 对顶角与邻补角：两条直线相交形成两对对顶角、四对邻补角；对顶角相等，邻补角互补；求角时先找对顶角或邻补角关系。 · 垂直推理：垂直定义推出90°角，90°角推出垂直；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；注意垂直是相互的。 · 垂线段最短：点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段本身；最短路径问题中作垂线段；注意区分两点间距离和点到直线距离。 · 综合计算：相交线中角度关系复杂时，设未知角为x，用对顶角相等、邻补角互补、垂直定义列方程求解。 32．（2026春•中牟县校级月考）若∠1和∠2是对顶角，且∠2的邻补角为70°，则∠1的度数为（　　） A．110° B．70° C．35° D．145° 【考点】对顶角、邻补角． 【分析】利用邻补角和为180°，对顶角相等两个知识点，即可求出∠1的度数． 【解答】解：∵∠2的邻补角为70°， ∴∠2＝180°﹣70°＝110°， ∵∠1和∠2是对顶角， ∴∠1＝∠2＝110°（对顶角相等）， 故选：A． 【点评】本题考查对顶角、邻补角，掌握对顶角、邻补角的定义是解题的关键． 33．（2026春•中牟县校级月考）右面是小孔成像及其模型图，若∠1+∠2＝58°，则∠3的度数为　151°　 ． 【考点】对顶角、邻补角． 【分析】由对顶角相等并结合题意得出∠1＝∠2＝29°，再由邻补角的定义计算即可得出结果． 【解答】解：∵∠1+∠2＝58°， ∴∠1＝∠2＝29°（对顶角相等）， ∴∠3＝180°﹣∠2＝151°， 故答案为：151°． 【点评】本题考查对顶角、邻补角，掌握对顶角相等是解题的关键． 34．（2026•望奎县开学）如图，当剪子口∠AOB增大15°时，∠COD增大15°，其根据是：　对顶角相等　 ． 【考点】对顶角、邻补角． 【分析】∠AOB与∠COD是对顶角，根据对顶角相等的性质可知两角始终相等，变化量也相同． 【解答】解：由题意得：∠AOB＝∠COD， ∴当∠AOB增大15°时，∠COD也增大15°， ∴其根据是对顶角相等， 故答案为：对顶角相等． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角相等是解题的关键． 35．（2026春•中牟县校级月考）下列各图中，过直线l外一点M画l的垂线，三角板操作正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】垂线． 【分析】根据垂线的作法确定即可． 【解答】解：用直角三角板的一条直角边与直线l重合，另一条直角边过点M后沿直角边画直线， 故选：D． 【点评】本题考查垂线，掌握垂线的做法是解题的关键． 36．（2026春•营口期末）如图，AB与EF相交于点D，CD⊥AB，∠CDE：∠ADE＝1：4，∠BDF的度数为（　　） A．60° B．75° C．66° D．72° 【考点】垂线． 【分析】由CD⊥AB和∠CDE：∠ADE＝1：4可得∠ADE＝72°，结合对顶角相等可得∠BDF＝72°． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°（垂直的定义）， 由条件可知， ∵∠BDF＝∠ADE， ∴∠BDF＝72°． 故选：D． 【点评】本题考查了垂线，熟练掌握该知识点是关键． 37．（2026•杭州校级开学）如图，点O在直线AB上，射线OC，射线OD，射线OE在直线AB同侧，若OC⊥OD，OE平分∠AOC，则（　　） A．∠DOE＝∠BOC B．∠DOE＝3∠BOD C．∠DOC﹣∠COE＝∠BOD+∠AOE D．∠DOC+∠COE＝∠BOD+∠AOE 【考点】垂线；角平分线的定义；角的计算． 【分析】根据条件及角度之间的关系逐项进行判断即可． 【解答】解：由OC⊥OD可知，∠DOC＝90°，∠AOC+∠BOD＝90°， 由OE平分∠AOC可得，∠COE＝∠AOE∠AOC，据此，根据条件及角度之间的关系逐项进行判断如下： A．∵∠DOE＝∠DOC+∠COE＝90°+∠COE，∠BOC＝∠DOC+∠BOD＝90°+∠BOD， ∠COE≠∠BOD， ∴∠DOE≠∠BOC，本选项错误，不符合题意； B．∵∠DOE＝∠DOC+∠COE＝90°∠AOC＝90°（90°﹣∠BOD）＝135°∠BOD， ∴∠DOE≠3∠BOD，本选项错误，不符合题意； C．∵∠BOD+∠AOC＝90°， ∴∠BOD+∠AOE+∠COE＝90°， ∴∠BOD+∠AOE＝90°﹣∠COE＝∠DOC﹣∠COE，本选项正确，符合题意； D．∵∠COE＝∠AOE，∠COE与∠BOD不一定相等， ∴∠DOC+∠COE≠∠BOD+∠AOE，本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查角的计算，正确找出角之间的关系是解题的关键． 38．（2025秋•鼓楼区校级期末）如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥CD，∠BOE＝55°，则∠AOC＝ 　35　 °． 【考点】垂线． 【分析】根据垂直定义可得：∠COE＝90°，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵OE⊥CD， ∴∠COE＝90°， ∵∠BOE＝55°， ∴∠AOC＝180°﹣∠COE﹣∠BOE＝35°， 故答案为：35． 【点评】本题考查了垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 39．（2025秋•如皋市校级月考）直线AB⊥CD，垂足为点O，直线EF经过点O，若锐角∠COE＝30°，则∠AOF＝　60或120　 °． 【考点】垂线． 【分析】由题意∠AOF可能为锐角或∠AOF也可能为钝角，故需讨论这两种情况． 【解答】解：①如图1． ∵AB⊥CD， ∴∠AOC＝90°． ∴∠AOF＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣90°﹣30°＝60°． ②如图2． ∵AB⊥CD， ∴∠AOD＝90°． ∵∠COE与∠DOF是对顶角， ∴∠COE＝∠DOF＝30°． ∴∠AOF＝∠AOD+∠DOF＝90°+30°＝120°． 综上：∠AOF＝60°或120°． 故答案为：60或120． 【点评】本题主要考查了对顶角、垂直的意义，角的和差计算，解题的关键是注意分类讨论的思想． 40．（2026•望奎县开学）已知一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，且这两个角的差是30°，则这两个角中较大角的度数为　105°　 ． 【考点】垂线；角的计算． 【分析】由一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，可得两角相等或互补，结合两角差为30°，排除相等的情况，计算得到较大角的度数． 【解答】解：由一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，可得两角相等或互补，结合两角差为30°，排除相等的情况，分两种情况讨论如下： 过点D作DF∥BC，过点E作EG∥BC， ∴EG∥DF∥BC， ∴∠ABC+∠BEG＝180°，∠BCD+∠CDF＝180°，∠DEG＝∠EDF， ∵DE⊥AB，CD⊥BC， ∴∠BED＝∠BCD＝90°， ∴∠CDF＝90°； ∵∠BEG＝∠BED+∠DEG， ∴∠ABC+90°+∠DEG＝180°， ∴∠ABC+∠CDF+∠EDF＝180°， ∴∠ABC+∠CDE＝180°， 由条件可知∠CDE﹣∠ABC＝30°，即∠ABC＝∠CDE﹣30°， ∴∠CDE﹣30°+∠CDE＝180°， ∴∠CDE＝105°， ∴这两个角中较大角的度数为105°； 如图所示，这两个角为∠ABC，∠CDE，其中DE⊥AB，CD⊥BC， 过点D作DF∥BC，过点E作EG∥BC， ∴EG∥DF∥BC， ∴∠ABC+∠BEG＝180°，∠BCD+∠CDF＝180°，∠DEG＝∠EDF， ∵DE⊥AB，CD⊥BC， ∴∠BED＝∠BCD＝90°， ∴∠CDF＝90°； ∵∠BEG＝∠BED+∠DEG， ∴∠ABC+90°+∠DEG＝180°， ∴∠ABC+90°+∠EDF＝180°， ∴∠ABC+90°+90°﹣∠CDE＝180°，即∠ABC＝∠CDE， 此时不满足这两个角的差是30°，不符合题意； 综上所述，这两个角中较大角的度数为105°． 故答案为：105°． 【点评】本题考查了垂直、角度的计算，熟练掌握以上知识点是关键． 41．（2026春•中牟县校级月考）下面是小红根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你在横线上补全解答过程（其中括号里填依据）． 条件及问题 思路方法 解答过程（部分依据省略） 知识要素 如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，OF是∠AOE的平分线．∠COF＝38°，求∠BOD的度数． 未知角已知角 ∵EO⊥CD，（已知） ∴∠EOC＝　90　 °，（垂直的定义） ∵∠COF＝38°，（　已知　 ） ∴∠EOF＝　52　 °， 又∵OF平分∠AOE，（已知） ∴∠AOF ＝∠EOF ＝　52　 °． ∵∠COF＝38°， ∴∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝　14　 °， ∴∠BOD＝∠AOC＝　14　 °．（　对顶角相等　 ） 垂直、角平分线、互余、对顶角． 【考点】垂线；角平分线的定义；余角和补角；对顶角、邻补角． 【分析】由垂线的定义可得∠EOC＝90°，结合已知得出∠EOF＝52°，由角平分线的定义可得∠AOF＝∠EOF＝52°，求出∠AOC＝14°，即可得出结果 【解答】解：∵EO⊥CD，（已知） ∴∠EOC＝90°，（垂直的定义） ∵∠COF＝38°，（已知） ∴∠EOF＝52°， 又∵OF平分∠AOE，（已知） ∴∠AOF＝∠EOF＝52°． ∵∠COF＝38°， ∴∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝14°， ∴∠BOD＝∠AOC＝14°．（对顶角相等） 故答案为：90，已知，52，AOF，EOF，52，14，14，对顶角相等． 【点评】本题考查垂直的定义、对顶角的性质，掌握垂直的定义、对顶角的定义是解题的关键． 42．（2026春•岷县期末）如图所示，O是直线AB上的点，∠AOC＝40°，OD平分∠BOC． （1）求∠BOD的度数． （2）若OE⊥AB，求∠DOE的度数． 【考点】垂线；角平分线的定义；角的计算． 【分析】（1）由邻补角的性质求出∠BOC＝140°，由角平分线的定义得到∠BOD∠BOC＝70°； （2）由垂直的定义得到∠BOE＝90°，于是得到∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝20°． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝40°， ∴∠BOC＝180°﹣70°＝140°， ∵OD平分∠BOC， ∴∠BOD∠BOC＝70°； （2）∵OE⊥AB， ∴∠BOE＝90°， 由（1）知∠BOD＝70°， ∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝20°． 【点评】本题考查垂线，角平分线的定义，角的计算，关键是掌握垂直的定义，角平分线的定义． 43．（2026春•莱州市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O． （1）∠EOB的余角是　∠BOD，∠AOC，∠DOF ；（写出图中所有符合要求的角） （2）若∠EOF＝130°，求∠AOC的度数． 【考点】垂线；角平分线的定义；余角和补角；对顶角、邻补角． 【分析】（1）利用垂直的定义得到∠BOE+∠BOD＝90°，再利用角平分线的定义得到∠BOD＝∠DOF，根据对顶角的性质得到∠BOD＝∠AOC，从而确定与∠EOB互余的角； （2）求出∠DOF＝40°，可以得出∠AOC的度数． 【解答】解：（1）∵直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O， ∴∠EOB+∠BOD＝90°，∠BOD＝∠AOC＝∠DOF， ∴∠EOB的余角是∠BOD，∠AOC，∠DOF； （2）∵∠EOF＝130°， ∴∠DOF＝130°﹣90°＝40°， ∴∠AOC＝40°． 【点评】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角相等，余角的定义，能够熟练运用以上知识是解题的关键． 44．（2026春•云阳县校级期中）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（　　） A．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 B．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【考点】垂线段最短；直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短． 【分析】根据垂线段最短解答即可． 【解答】解：根据垂线段最短可知： 因为线段PC⊥AD，所以PC是点P到直线AD的垂线段，PC最短．蕴含的数学道理是垂线段最短． 故选：A． 【点评】本题考查了垂线段，熟练掌握该知识点是关键． 45．（2025秋•绿园区期末）如图是10×10的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在∠AOB的边OB上． （1）过点P画OA的垂线，垂足为H． （2）过点P画OB的垂线，交OA于点C． （3）线段PH的长度是点P到OA 的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC （用“＜”号连接），依据是　垂线段最短　 ． 【考点】作图—应用与设计作图；垂线段最短． 【分析】（1）根据垂线的定义画出图形； （2）根据垂线的定义画出图形； （3）利用点到直线的距离的定义，垂线段最短判断即可． 【解答】解：（1）如图，直线PH即为所求； （2）如图，直线PC即为所求； （3）线段PH的长度是点P到OA的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC，依据是：垂线段最短． 故答案为：OA；PH＜PC＜OC；垂线段最短． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，垂线段最短，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 💯 课后巩固 复习建议 · 线段与角的计算是本讲核心：先找中点/角平分线关系，再用和差倍分列等式，多中点/多平分线问题设未知数用方程思想。 · 度分秒运算按60进制，加减乘除都要细心进位借位；余角补角记住和为90°/180°，同角等角的余角补角相等是常用等量代换工具。 · 相交线中对顶角相等、邻补角互补、垂直定义推出90°，三者结合可解决大部分角度计算题；复杂图形中设未知数列方程。 · 两个基本事实要记牢：两点确定一条直线、两点之间线段最短，能区分生活现象分别对应哪个原理。 · 作图题保留尺规痕迹，不写作法；证明题写出推理依据，注意几何语言规范。 【作业1】（2025秋•舟山期末）《荀子•劝学》有云，木受绳则直，金就砺则利．大意是说，木材经墨线比量后加工便可取直，刀剑等金属制品被磨刀石磨过就会锋利．如图，木匠师傅欲做一工件，于木板上确定两点A，B，依此弹出线段再加工，其依据为 　两点确定一条直线　 ． 【考点】直线的性质：两点确定一条直线． 【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线进行解答． 【解答】解：木匠师傅欲做一工件，于木板上确定两点A，B，依此弹出线段再加工，其依据为两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【点评】本题主要考查的是直线的性质：两点确定一条直线，掌握直线的性质是解题的关键． 【作业2】（2025秋•碑林区校级期末）已知点C在线段AB上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB中点的是（　　） A．AC＝BC B．AB＝2AC C．AC+BC＝AB D． 【考点】两点间的距离． 【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然A、B、D都可以确定点C是线段AB中点 【解答】解：A、AC＝BC，则点C是线段AB中点； B、AB＝2AC，则点C是线段AB中点； C、AC+BC＝AB，则C可以是线段AB上任意一点； D、BCAB，则点C是线段AB中点． 故选：C． 【点评】本题主要考查线段中点，解决此题时，能根据各选项举出一个反例即可． 【作业3】（2025秋•鲤城区校级期末）如图，已知线段AB＝12cm，M是AB中点，点N在AB上，NB＝2cm，那么线段MN的长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【考点】两点间的距离． 【分析】根据M是AB中点，先求出BM的长度，则MN＝BM﹣BN． 【解答】解：∵AB＝12cm，M是AB中点， ∴BMAB＝6cm， 又∵NB＝2cm， ∴MN＝BM﹣BN＝6﹣2＝4（cm）． 故选：C． 【点评】本题考查了线段的长短比较，根据点M是AB中点先求出BM的长度是解本题的关键． 【作业4】（2025秋•姑苏区校级期末）如图，点C在线段AB上，D、E分别为AC、AB的中点，若CB＝5cm，则DE的长为　2.5　 cm． 【考点】两点间的距离． 【分析】设AC＝xcm，则AB＝（x+5）cm，根据中点的定义可得，，再根据线段的和差关系即可求解． 【解答】解：设AC＝xcm， ∵CB＝5cm， ∴AB＝AC+CB＝（x+5）cm， ∵D、E分别为AC、AB的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：2.5． 【点评】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业5】（2025秋•玉田县期末）如图，C为线段AB上一点，D为CB的中点，AB＝10cm，AD＝7cm． （1）求AC的长； （2）若点E在线段AB上，且CE＝2cm，求BE的长． 【考点】两点间的距离． 【分析】（1）根据AC＝AB﹣BC，求出BC即可解决问题． （2）分两种情形分别求解即可解决问题． 【解答】（1）解：∵AB＝10cm，AD＝7cm， ∴BD＝3cm， ∵D 为 CB 的中点， ∴CB＝2BD＝6cm． ∴AC＝4cm． （2）解：当点 E 在点 C 左侧时，BE＝CB+CE＝8cm； 当点 E 在点 C 右侧时，BE＝CB﹣CE＝4cm． 【点评】本题考查两点间距离，线段的中点等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 【作业6】（2026春•淄博校级月考）下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【考点】角的概念． 【分析】结合各选项中的图形，根据角的表示方法即可得出答案． 【解答】解：对于选项A，图中的∠1，还可以用∠AOB表示，不能用∠O表示， 故选A不符合题意； 对于选项B，图中∠1，还可以∠AOB，不能用∠O表示， 故选B不符合题意； 对于选项C，图中的∠1，能用∠AOB和∠O表示， 故选C符合题意； 对于选项D，图中的∠1，能用∠AOB，不能用∠O表示， 故选D不符合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了角的概念，准确识图，熟练掌握角的表示方法是解决问题的关键． 【作业7】（2025秋•武威期末）如图，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠AOC，且∠COD＝18°，则∠AOB＝　72　 °． 【考点】角平分线的定义． 【分析】根据角平分线的定义进行计算即可． 【解答】解：∵OD平分∠AOC，∠COD＝18°， ∴∠AOC＝2∠COD＝36°， 又∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOB＝2∠AOC＝72°， 故答案为：72． 【点评】本题考查角平分线，理解角平分线的定义是正确计算的前提． 【作业8】（2026•河南一模）如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则α、β、γ三个角的数量关系为（　　） A．α+β+γ＝90° B．α+β﹣γ＝90° C．α﹣β+γ＝90° D．α+2β﹣γ＝90° 【考点】角的计算． 【分析】根据β＝∠BOD﹣∠BOC，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOF的度数从而求解． 【解答】解：如图： ∵∠DOE＝90°﹣α， ∴∠BOD＝90°﹣∠DOE＝α， ∵∠BOC＝90°﹣γ， 又∵β＝∠BOD﹣∠BOC， ∴β＝α﹣（90°﹣γ）＝α﹣90°+γ， ∴α﹣β+γ＝90°， 故选：C． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，角度的计算，正确应用角的和差进行推算是解决本题的关键． 【作业9】（2025秋•焦作期末）已知∠AOB＝60°，OM是∠AOB的平分线，∠BOC＝20°，ON是∠BOC的平分线，则∠MON的度数为 　20°或40°　 ． 【考点】角的计算；角平分线的定义． 【分析】结合已知条件，分OC在∠AOB内部或外部两种情况进行讨论，然后利用角的计算求得对应的∠MON的度数即可． 【解答】解：①如图，当OC在∠AOB内部时， ∵OM是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°， ∴∠BOM∠AOB＝30°， ∵ON是∠BOC的平分线，∠BOC＝20°， ∴∠BON∠BOC＝10°， ∴∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝30°﹣10°＝20°； ②如图，当OC在∠AOB外部时， ∵OM是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°， ∴∠BOM∠AOB＝30°， ∵ON是∠BOC的平分线，∠BOC＝20°， ∴∠BON∠BOC＝10°， ∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝30°+10°＝40°； 综上，∠MON的度数为20°或40°， 故答案为：20°或40°． 【点评】本题考查角的计算及角平分线的定义，根据已知条件进行分类讨论并画出相应的草图是解题的关键． 【作业10】（2025秋•碑林区校级期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． （1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 　20°　 ． （2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？ （3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【考点】角的计算． 【分析】（1）根据“内半角”的定义，可求出∠COD的度数，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD，可得出结论； （2）由旋转可分别求出∠BOC和∠AOD的度数，再根据“内半角”的定义，可列出等式，即可求出α的值； （3）由旋转可知，分三种情况，分别进行讨论，根据“内半角”的定义，可求出对应的时间． 【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝70°，∠COD是∠AOB的内半角， ∴∠COD∠AOB＝35°， ∵∠AOC＝15°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣15°﹣35°＝20°； 故答案为：20°． （2）如图2，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝α， ∴∠BOC＝63°﹣α，∠AOD＝63°+α， ∵∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即63°﹣α， 解得α＝21°， 当旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角； （3）能，理由如下， 由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝3t°；根据题意可分以下三种情况： ①当射线OC在∠AOB内，如图4， 此时，∠BOC＝30°﹣3t°，∠AOD＝30°+3t°， 则∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即30°﹣3t°（30°+3t°）， 解得t（秒）； ②当射线OC在∠AOB外部，有以下两种情况，如图5，图6， 如图5，此时，∠BOC＝3t°﹣30°，∠AOD＝30°+3t°， 则∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即3t°﹣30°（30°+3t°）， 解得t＝30（秒）； 如图6，此时，∠BOC＝360°﹣3t°+30°，∠AOD＝360°﹣3t°﹣30°， 则∠AOD是∠BOC的内半角， ∴∠AOD∠BOC，即360°﹣3t°﹣30°（360°﹣3t°+30°）， 解得t＝90（秒）； 综上，在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒． 【点评】本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，及角度的和差运算；由旋转正确表达对应的角是本题解题关键． 【作业11】（2026春•白银期末）一个角的余角等于它补角的，则这个角是 　45°　 ． 【考点】余角和补角． 【分析】根据题意，列出方程，解方程即可． 【解答】解：设这个角的度数为x度， 根据题意，得：90﹣x（180﹣x）， 解得：x＝45， 故答案为：45°． 【点评】本题主要考查余角和补角，解决此题时，需要利用方程解决，能找到题目中的关键词“等于”是关键． 【作业12】（2025秋•衡水期末）如图，点O在直线AB上，在直线AB的上方作两条射线OC、OD． （1）若∠COD＝90°，写出图1中∠AOC的余角：　∠BOD（或∠DOB）　 ，∠AOC的补角：　∠BOC（或∠COB ； （2）如图2，OE是∠AOD的平分线，OF是∠BOC的平分线， ①若∠COD＝90°，求∠EOF的度数； ②设∠EOF＝α，直接用含α的代数式表示∠COD的度数． 【考点】余角和补角；角平分线的定义． 【分析】（1）根据互余和互补的定义，结合已知∠COD＝90°以及平角解答即可； （2）①先根据已知条件求出∠AOD+∠BOC的度数，再利用角平分线的性质求出∠EOD+∠FOC的度数，最后通过∠EOF＝（∠EOD+∠FOC）﹣∠COD，即可求解； ②用∠COD表示出∠EOD+∠FOC和∠EOF，即可求解． 【解答】解：（1）∠BOC+∠AOC＝180°， 又∵∠COD＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣90°＝90°， ∴图1中∠AOC的余角：∠BOD（或∠DOB），∠AOC的补角：∠BOC（或∠COB）； 故答案为：∠BOD（或∠DOB）；∠BOC（或∠COB）； （2）①∵∠COD＝90°，∠AOB＝180°， ∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣90°＝90°， ∵OF是∠BOC的角平分线，OE是∠AOD的角平分线， ∴， ∴∠EOF＝（∠EOD+∠FOC）﹣∠COD ＝45°； ②∵OF是∠BOC的角平分线，OE是∠AOD的角平分线， ∴， ∴ ． ∴∠EOF＝（∠EOD+∠FOC）﹣∠COD， ∴， ∴∠EOF＝α，则∠COD＝180°﹣2∠EOF＝180°﹣2α． 【点评】本题考查了余角和补角、角平分线的定义，解决本题的关键是根据角平分线的定义进行解答． 【作业13】（2026春•伊犁州期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOD＝52°，则∠AOC的度数是（　　） A．26° B．38° C．52° D．128° 【考点】对顶角、邻补角． 【分析】根据对顶角相的性质即可解答． 【解答】解：如图：∵∠AOC和∠BOD是对顶角， ∴∠AOC＝∠BOD＝52°． 故选：C． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角，找准对顶角并掌握对顶角相等是解答本题的关键． 【作业14】（2026•望奎县开学）如图，直线a，b相交于点O，若∠1＝45°，则∠2＝　135°　 ． 【考点】对顶角、邻补角． 【分析】根据互为邻补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解． 【解答】解：由图可知，∠1与∠2互为邻补角， ∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣45°＝135°． 故答案为：135°． 【点评】本题考查了邻补角的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键． 【作业15】（2026秋•同步）如图，AB⊥l，CB⊥l，B为垂足，那么A，B，C三点在同一条直线上吗？请说明理由． 【考点】垂线． 【分析】根据垂线性质解答即可． 【解答】解：∵AB⊥l，CB⊥l，B为垂足， ∴A，B，C三点在同一条直线上（在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线）． 【点评】本题考查了垂线，熟练掌握垂线的性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 平面图形的初步认识(1) 2026-2027 苏科版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解直线、射线、线段的概念与区别，掌握两点确定一条直线、两点之间线段最短两个基本事实，并能用于解释生活现象。 · 会比较线段长短，理解线段中点的意义，能进行线段的和差倍分计算，掌握尺规作图作一条线段等于已知线段。 · 理解角的概念与表示方法，掌握度分秒的换算与角的加减乘除运算，理解角平分线的意义并用于角度计算。 · 理解余角、补角的概念与性质，掌握同角（等角）的余角相等、补角相等，并能用于角度推理。 · 理解相交线、对顶角、邻补角、垂线的概念与性质，掌握对顶角相等、垂线段最短，能进行简单的几何推理。 📚 知识梳理 ☆ 1.直线、射线、线段 直线没有端点，向两方无限延伸，不可度量；射线有一个端点，向一方无限延伸，不可度量；线段有两个端点，可以度量。 基本事实1：经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线），用于解释木匠弹墨线、打靶瞄准等。 基本事实2：两点之间线段最短，用于解释弯曲公路改直、拉绳插秧等，两点之间线段的长度叫两点间的距离。 线段中点：把线段分成两条相等线段的点，若M是AB中点，则AM=BM=1/2 AB；线段的和差倍分计算常结合中点与方程思想。 概念辨析例题：下列说法正确的是（ ）A. 直线AB和直线BA是两条不同的直线 B. 射线AB和射线BA是同一条射线 C. 线段AB和线段BA是同一条线段 D. 延长直线AB 解析：A错，直线无方向，AB与BA是同一条直线；B错，射线端点不同方向不同，不是同一条；C对，线段无方向；D错，直线本身无限延伸，不能延长。故选C。 ☆ 2.角 角由有公共端点的两条射线组成，公共端点叫顶点，两条射线叫边；角可用三个大写字母、一个大写字母、数字或希腊字母表示。 度分秒换算：1°=60′，1′=60″，按60进制；角的加减乘除运算中，乘法先算秒再分再度，除法从度开始依次进行。 角平分线：从角的顶点出发把角分成两个相等角的射线，若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB。 余角与补角：若∠α+∠β=90°则互余，若∠α+∠β=180°则互补；同角（等角）的余角相等、补角相等，是角度等量代换的重要依据。 概念辨析例题：已知∠α=54°30′，则∠α的余角为（ ）A. 35°30′ B. 36°30′ C. 125°30′ D. 126°30′ 解析：余角=90°-54°30′=89°60′-54°30′=35°30′。注意度分秒借位：90°=89°60′。故选A。 ☆ 3.相交线 对顶角：两条直线相交形成的相对的角，对顶角相等；邻补角：相邻且互补的角，邻补角之和为180°。 垂线：两条直线相交所成四个角中有一个是直角，则互相垂直，其中一条叫另一条的垂线；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 垂线段最短：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；垂线段的长度叫点到直线的距离。 相交线中的角度计算常结合对顶角相等、邻补角互补、垂直定义，通过设未知数列方程求解。 概念辨析例题：如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE=55°，则∠BOD的度数为（ ）A. 35° B. 45° C. 55° D. 125° 解析：OE⊥AB，所以∠AOE=90°，∠AOC=∠AOE-∠COE=90°-55°=35°；∠BOD与∠AOC是对顶角，所以∠BOD=∠AOC=35°。故选A。 📋 知识总结表 核心概念 关键公式/性质 注意事项 直线/射线/线段 两点确定一条直线；两点之间线段最短 直线不可延长，射线可反向延长，线段可延长 线段中点 AM=BM=1/2 AB 中点必须在线段上，注意和差倍分关系 度分秒 1°=60′，1′=60″ 加减乘除按60进制，借位进位要细心 角平分线 ∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB 角平分线是射线，不是直线或线段 余角/补角 和为90°互余，和为180°互补 同角（等角）的余角/补角相等，用于等量代换 对顶角/垂线 对顶角相等；垂线段最短 垂直定义推出90°，点到直线距离是垂线段长度 ⚠️ 核心考点 【考点1】直线、射线、线段（第1-15题） · 概念辨析：直线无端点、射线一个端点、线段两个端点；直线和射线不可度量，线段可度量；表示时注意端点顺序。 · 基本事实应用：两点确定一条直线（弹墨线、瞄准、插秧），两点之间线段最短（改直公路、最短路径），看清题目问的是哪个原理。 · 线段计算：先找中点关系，再用和差倍分列等式；多中点问题设未知数，用方程思想求解；注意点在线段上还是延长线上。 · 尺规作图：作一条线段等于已知线段，用圆规截取长度，再在射线上画弧；作图保留痕迹，不写作法。 1．（2025秋•兰州期末）如图1，线段a、b，图2中线段AB表示的是（　　） A．a﹣b B．a+b C．a﹣2b D．2a﹣b 2．（2025秋•红山区期末）往返A，B两地的客车，中途停靠两个站，客运站根据两站之间的距离确定票价（距离不相等，票价就不同）．若任意两站之间的距离都不相等，则不同的票价共有（　　） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 3．（2025秋•海淀区校级期末）值日生小亮为了把桌子又快又好的摆整齐，总是先把一列的第一张桌子和最后一张桌子摆好，再依次摆中间的桌子，这样做蕴含的数学依据是_____________ ． 4．（2026春•张店区期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 _____________ ． 5．（2025秋•綦江区期末）下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（　　） A．木匠弹墨线 B．打∀靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 6．（2025秋•廉江市校级月考）金秋十月，银杏谷生态旅游区是赏银杏胜地，一簇簇金黄色点缀在山谷村落之间．小明同学捡到一片沿直线被折断的银杏叶（如图），他发现被折断了的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是______________ ． 7．（2025秋•北流市期末）如图，已知线段AB＝10cm，M是AB中点，点N在AB上，NB＝2cm，那么线段MN的长为（　　） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 8．（2025秋•青岛期末）如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下列等式不正确的是（　　） A．CD＝AD﹣BC B．CD＝AC﹣DB C．CDAB D．CDAB﹣DB 9．（2026秋•天心区月考）如图，点C在线段AB的延长线上，AB＝6，BCAB，点M是线段AC的中点，则线段AM的长为_____ ． 10．（2026•红河州模拟）两根木条，一根长20cm，一根长24cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为 _________ cm． 11．（2025秋•南昌县期末）如图，点B是线段AC上一点，且AB＝21，BCAB． （1）求线段AC的长． （2）若点O是线段AC的中点，求线段OB的长． 12．（2025秋•苏州校级期末）如图，已知线段AB＝24cm，C为AB延长线上一点，且BCAB． （1）求AC的长； （2）若D是AB的中点，E是AC的中点，求DE的长． 13．（2025秋•许昌期末）如图，已知线段AB、a、b． （1）请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①延长线段AB到C，使BC＝a； ②反向延长线段AB到D，使AD＝b． （2）在（1）的条件下，如果AB＝8cm，a＝6cm，b＝10cm，且点E为CD的中点，求线段AE的长度． 14．（2025秋•澄海区期末）已知，直线l上线段AB＝6、线段CD＝2（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧）． （1）若线段BC＝1，则线段AD＝________ ； （2）如图2，点P、Q分别为AD、BC的中点，求线段PQ的长度； （3）若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，若MN＝2DN，求线段CD运动的时间． 15．（2025秋•五指山期末）如图，点C、D在线段AB上，点C为AB中点，若AC＝5cm，BD＝2cm，则CD＝_____ cm． 【考点2】角（第16-30题） · 度分秒运算：加法秒满60进分、分满60进度；乘法从秒开始乘再进位；除法从度开始除，余数转下一级；借位时1°=60′。 · 角平分线计算：利用角平分线分出两个等角，结合已知角的和差关系求未知角；多条角平分线时逐层推导。 · 余角补角：互余和为90°，互补和为180°；同角（等角）的余角/补角相等是证明角相等的常用工具；注意一个角的补角比余角大90°。 · 三角板拼角：一副三角板含30°、45°、60°、90°，拼角时两角和或差；重叠部分用90°减去已知角求未知角。 16．（2026春•中牟县校级月考）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日郑州市正午太阳光线与水平面的夹角β为55°18′，若光能利用率最高，则集热板与水平面的夹角α的度数是（　　） A．44°42′ B．34.3° C．34°82′ D．34.7° 17．（2025秋•江汉区校级期末）计算57°31′+25°36′×4＝________ °_______ '． 18．（2025秋•三河市期末）如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 19．（2025秋•阳山县期末）如图，∠AOB是平角，∠BOC＝60°，OD平分∠AOC，则∠DOC＝________ ． 20．（2025秋•合肥校级期末）如图，点O为线段AD外一点，M，C，B，N为AD上任意四点，连接OM，OC，OB，ON，下列结论： ①以O为顶点的角有15个； ②若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD＝5∠COB，则； ③若M为AB的中点，N为CD的中点，则； ④若MC＝CB，MN＝ND，则CD＝2CN． 正确的是 ________ ． 21．（2025秋•凉州区期末）如图，在∠AOC内部作了一条射线OB，下列说法正确的是（　　） A．∠AOC可以用∠O表示 B．∠1＝∠2 C．∠2与∠COB是同一个角 D．∠AOC＝∠1+∠AOB 22．（2025秋•江北区期末）如图，已知∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，OE平分∠AOC，则∠AOE＝________ ． 23．（2025秋•惠阳区期末）如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线，∠DOE＝90°． （1）若∠AOD＝35°，求∠COE的度数； （2）若∠AOD＝α，求∠COE的度数（用含α的代数式表示）． 24．（2025秋•惠东县期末）综合与探究 【问题情境】： 某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，进行“玩转三角板”的探究活动． 【问题实践】： 海阔太空小组进行了如下探究：已知O为直线AB上的一点，将直角三角板的直角∠COE置于点O处，如图1所示，若OF平分∠AOE． 【解决问题】你来试试吧! （1）如图1，若∠COF＝34°，则∠EOF＝________ ，∠BOE＝________ ； （2）如图1，若∠BOE＝m°，求∠AOE，∠COF的度数．（用含m的代数式表示）； 【深入探究】未来可期小组受到启发进行了进一步动态探究： （3）当三角板的直角∠COE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，提出问题：∠BOE与∠COF的数量关系是什么？请说明理由． 25．（2025秋•重庆校级期末）已知，OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB＝3∠AOC． （1）如图1所示，若∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数； （2）如图2所示，∠AOB＝x°，射线OP，射线OQ分别从OC，OB出发，并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕着点O逆时针旋转，OP和OQ分别只在∠AOC和∠BOC内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出∠AOP和∠COQ的数量关系； ②若∠AOB＝150°，当，求t的值． 26．（2025秋•南召县期末）如图，A、O、B在同一直线上，∠AOC＝∠BOC，若∠1＝∠2，则图中互余的角共有（　　） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 27．（2025秋•株洲校级期末）在桌面上，把一副三角板摆成如图的位置．若∠1比∠2大22°，则∠2的度数为（　　） A．33 B．34 C．35 D．36 28．（2026春•梅县区期中）如图所示，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOB＝28°，则∠COD的度数是________ ． 29．（2025秋•镇江期末）已知∠α与∠β互余，且∠α＝54°30′，则∠β＝_________ °． 30．（2025秋•长沙期末）如图，点O在直线AB上，从点O引出射线OC，其中射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，下列结论： ①∠DOE＝90°； ②∠COE与∠AOE互补； ③若OC平分∠BOD，则∠AOE＝150°； ④∠BOE的余角可表示为． 其中正确的是 _________ ．（只填序号） 31．（2025秋•霍山县月考）如图，已知∠AOB的补角等于它的余角的10倍． （1）求∠AOB的度数； （2）若OD平分∠BOC，∠AOC＝3∠BOD（∠AOC＜180°），求∠AOD的度数． 【考点3】相交线（第31-45题） · 对顶角与邻补角：两条直线相交形成两对对顶角、四对邻补角；对顶角相等，邻补角互补；求角时先找对顶角或邻补角关系。 · 垂直推理：垂直定义推出90°角，90°角推出垂直；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；注意垂直是相互的。 · 垂线段最短：点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段本身；最短路径问题中作垂线段；注意区分两点间距离和点到直线距离。 · 综合计算：相交线中角度关系复杂时，设未知角为x，用对顶角相等、邻补角互补、垂直定义列方程求解。 32．（2026春•中牟县校级月考）若∠1和∠2是对顶角，且∠2的邻补角为70°，则∠1的度数为（　　） A．110° B．70° C．35° D．145° 33．（2026春•中牟县校级月考）右面是小孔成像及其模型图，若∠1+∠2＝58°，则∠3的度数为_________ ． 34．（2026•望奎县开学）如图，当剪子口∠AOB增大15°时，∠COD增大15°，其根据是：__________ ． 35．（2026春•中牟县校级月考）下列各图中，过直线l外一点M画l的垂线，三角板操作正确的是（　　） A． B． C． D． 36．（2026春•营口期末）如图，AB与EF相交于点D，CD⊥AB，∠CDE：∠ADE＝1：4，∠BDF的度数为（　　） A．60° B．75° C．66° D．72° 37．（2026•杭州校级开学）如图，点O在直线AB上，射线OC，射线OD，射线OE在直线AB同侧，若OC⊥OD，OE平分∠AOC，则（　　） A．∠DOE＝∠BOC B．∠DOE＝3∠BOD C．∠DOC﹣∠COE＝∠BOD+∠AOE D．∠DOC+∠COE＝∠BOD+∠AOE 38．（2025秋•鼓楼区校级期末）如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥CD，∠BOE＝55°，则∠AOC＝ _______ °． 39．（2025秋•如皋市校级月考）直线AB⊥CD，垂足为点O，直线EF经过点O，若锐角∠COE＝30°，则∠AOF＝___________ °． 40．（2026•望奎县开学）已知一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，且这两个角的差是30°，则这两个角中较大角的度数为_________ ． 41．（2026春•中牟县校级月考）下面是小红根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你在横线上补全解答过程（其中括号里填依据）． 条件及问题 思路方法 解答过程（部分依据省略） 知识要素 如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，OF是∠AOE的平分线．∠COF＝38°，求∠BOD的度数． 未知角已知角 ∵EO⊥CD，（已知） ∴∠EOC＝_______ °，（垂直的定义） ∵∠COF＝38°，（_______ ） ∴∠EOF＝_______ °， 又∵OF平分∠AOE，（已知） ∴∠________ ＝∠________ ＝_______ °． ∵∠COF＝38°， ∴∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝_______ °， ∴∠BOD＝∠AOC＝_______ °．（__________ ） 垂直、角平分线、互余、对顶角． 42．（2026春•岷县期末）如图所示，O是直线AB上的点，∠AOC＝40°，OD平分∠BOC． （1）求∠BOD的度数． （2）若OE⊥AB，求∠DOE的度数． 43．（2026春•莱州市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O． （1）∠EOB的余角是___________________ ；（写出图中所有符合要求的角） （2）若∠EOF＝130°，求∠AOC的度数． 44．（2026春•云阳县校级期中）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（　　） A．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 B．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 45．（2025秋•绿园区期末）如图是10×10的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在∠AOB的边OB上． （1）过点P画OA的垂线，垂足为H． （2）过点P画OB的垂线，交OA于点C． （3）线段PH的长度是点P到_______ 的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是_____________ （用“＜”号连接），依据是__________ ． 💯 课后巩固 复习建议 · 线段与角的计算是本讲核心：先找中点/角平分线关系，再用和差倍分列等式，多中点/多平分线问题设未知数用方程思想。 · 度分秒运算按60进制，加减乘除都要细心进位借位；余角补角记住和为90°/180°，同角等角的余角补角相等是常用等量代换工具。 · 相交线中对顶角相等、邻补角互补、垂直定义推出90°，三者结合可解决大部分角度计算题；复杂图形中设未知数列方程。 · 两个基本事实要记牢：两点确定一条直线、两点之间线段最短，能区分生活现象分别对应哪个原理。 · 作图题保留尺规痕迹，不写作法；证明题写出推理依据，注意几何语言规范。 【作业1】（2025秋•舟山期末）《荀子•劝学》有云，木受绳则直，金就砺则利．大意是说，木材经墨线比量后加工便可取直，刀剑等金属制品被磨刀石磨过就会锋利．如图，木匠师傅欲做一工件，于木板上确定两点A，B，依此弹出线段再加工，其依据为 _____________ ． 【作业2】（2025秋•碑林区校级期末）已知点C在线段AB上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB中点的是（　　） A．AC＝BC B．AB＝2AC C．AC+BC＝AB D． 【作业3】（2025秋•鲤城区校级期末）如图，已知线段AB＝12cm，M是AB中点，点N在AB上，NB＝2cm，那么线段MN的长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【作业4】（2025秋•姑苏区校级期末）如图，点C在线段AB上，D、E分别为AC、AB的中点，若CB＝5cm，则DE的长为________ cm． 【作业5】（2025秋•玉田县期末）如图，C为线段AB上一点，D为CB的中点，AB＝10cm，AD＝7cm． （1）求AC的长； （2）若点E在线段AB上，且CE＝2cm，求BE的长． 【作业6】（2026春•淄博校级月考）下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【作业7】（2025秋•武威期末）如图，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠AOC，且∠COD＝18°，则∠AOB＝_______ °． 【作业8】（2026•河南一模）如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则α、β、γ三个角的数量关系为（　　） A．α+β+γ＝90° B．α+β﹣γ＝90° C．α﹣β+γ＝90° D．α+2β﹣γ＝90° 【作业9】（2025秋•焦作期末）已知∠AOB＝60°，OM是∠AOB的平分线，∠BOC＝20°，ON是∠BOC的平分线，则∠MON的度数为 ____________ ． 【作业10】（2025秋•碑林区校级期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． （1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ ________ ． （2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？ （3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【作业11】（2026春•白银期末）一个角的余角等于它补角的，则这个角是 ________ ． 【作业12】（2025秋•衡水期末）如图，点O在直线AB上，在直线AB的上方作两条射线OC、OD． （1）若∠COD＝90°，写出图1中∠AOC的余角：________________ ，∠AOC的补角：_______________ ； （2）如图2，OE是∠AOD的平分线，OF是∠BOC的平分线， ①若∠COD＝90°，求∠EOF的度数； ②设∠EOF＝α，直接用含α的代数式表示∠COD的度数． 【作业13】（2026春•伊犁州期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOD＝52°，则∠AOC的度数是（　　） A．26° B．38° C．52° D．128° 【作业14】（2026•望奎县开学）如图，直线a，b相交于点O，若∠1＝45°，则∠2＝_________ ． 【作业15】（2026秋•同步）如图，AB⊥l，CB⊥l，B为垂足，那么A，B，C三点在同一条直线上吗？请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $