3.5 图形的位似 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本练习聚焦“图形的位似”，通过基础认知、技能应用到综合探究的三级分层设计，覆盖位似概念、性质、坐标变换及实际应用，强化从单一知识点到跨情境综合的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|位似概念识别、简单性质（如第6题判断位似图形）|以选择填空为主，强化概念辨析，培养抽象能力| |技能应用层|位似坐标变换、周长面积比计算（如第4题坐标缩放、第10题周长比）|结合网格作图（如13题），提升空间观念与运算能力| |综合探究层|位似与实际问题结合（如15题硬纸片剪拼）|创设实践情境，融合几何与代数，发展创新意识与应用能力|

3.5图形的位似 一、单选题 1.如图，四边形ABCD,AB'CD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，己知点A,A的坐标分别为 (2,0)(3,0) 若四边形ABCD的面积为8，则四边形AB'CD'的面积为(） B B A D A.12 B.18 C.24 D.27 2如图，已知64BC与。DBr位似，点O为位似中心，0E=0B,下列结论不在确的是（) A.AB∥DE B.BC=2EF C.∠ABC=∠EDF D.S.C4.D 3.如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以原点为位似中心的位似图形，若AC=3OA,点B 的坐标为(，3)，则点D的坐标为() A.(2,6) B.（-2,6) C.(3,9) D.（-3,-9) 1 4.在平面直角坐标系中，已知点E(一4,2)，F(一3，一3)，以原点0为位似中心，相似比为2， 把△EFO缩小，则点E的对应点E的坐标是() A.(-2,1) B.(-8,4) C.(-8,4)或(8，-4) D.(-2,1)或(2，-1) 5.如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F,连接DE,若 ∠DEF=a,则∠ABE的度数为() B D A.45+号 B.45°-u C.45°-C 2 D.45°C 3 6.下列选项中属于位似图形的是() A B. C. 7.如图，这是物理学中的小孔成像，AB是物体，遮挡板MN上的小孔抽象成点O,AB透过小孔在光屏 PO上成的像是倒立放大的实像CD,△ABO和△DCO成位似图形，位似中心为点O,遮挡板MN和光屏 P№的水平距离为8cm,AB=6,此时，像CD的长为12，为了使像CD的长度变成AB的3倍，在物体 AB和屏幕PO位置不变的情况下，可以将遮挡板MN() M D A.水平向右移动lcm B.水平向左移动lcm C.水平向右移动1.5cm D.水平向左移动l.5cm 8.在直角坐标平面上有(4,2)、B(2,)两点，以原点为位以中心把线段B缩小到原来的半，得到线 段公 ,那么的坐标是() A.只有2) B.只有，-2) c.(21或2) D.21)或2- 9.如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O,且△ABC与△DEF的面积之比是I6:9,则AC:FD 的值为() A A.6:4 B.4:3 C.4:7 D.9:5 二、填空题 10.如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，OC:OF=1:2.若△ABC的周长为4，则 △DEF的周长是 ll.如图，△ABC,aDCE,aFEG是三个全等的等腰三角形，底边BC,CE,EG在同一直线上.BF分别交 4C,CD,DE于点Be,R.小明发现△1BP与DO 于点 位似，其位似中心是 B 12.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且 位似比为2：5，点A,B,E在x轴上，若正方形ABCD的边长为4，则F点坐标是 G 三、解答题 13.如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A,B,C,O均为格点，请利用无刻度的 直尺作图 T (I)以点O为位似中心，将△ABC在网格中放大为原来的2倍，得到△4BC,请画出△4BC; (2)作出线段AC上的点D,使AD:CD=1:2 14.在13x13的网格图中，已知△4BC和点 M(1,2) (I)以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△AB'C': (2)写出△A'B'C'的各顶点坐标. 15.1综合与实践 【发现并提出问题】 在进行综合与实践活动时，学习小组发现可以将一张特殊的平行四边形硬纸片剪拼成一个有盖的直四棱 柱形盒子（无损耗无重叠），在制作过程中，学习小组提出了一个问题：制作的盒子的高与四边形硬纸 片的边长存在怎样的数量关系？ 【分析并解决问题】 探究一：盒子的高与正方形硬纸片的边长的数量关系 (1)以正方形OABC的顶点O为坐标原点，OA,OC所在的直线为坐标轴建立如图1所示的平面直角坐 标系，此时点B的坠标为4)，再以正方形0MBC的两条对角线交点P为位似中心，画一个正方形 DEFG,使它与正方形OABC位似，且相似比为1：2，然后按图2的方式将正方形纸片OABC沿虚线剪开， 可拼接成如图3所示的四棱柱形有盖盒子. 请在图1中画出正方形DEFG,此时盒子的高h为一： B 图1 图2 图3 探究二：盒子的高与菱形硬纸片的边长的数量关系 (2)按探究一的方式将图4中的菱形硬纸片制作成了如图5所示的四棱柱形有盖盒子.在菱形ABCD中， 若AB=a,∠DAB=60°，则盒子的高Pp为；（用含a的代数式表示） D D D ◇ 图4 图5 图6 【推广并创新应用】 探究三：盒子的高与矩形硬纸片的边长的数量关系 (3)如图6，矩形硬纸片ABCD中，AB=m,AD=n,将该纸片沿虚线剪开，把所得的四个阴影部分纸 片再剪拼成一个长方形盖子，并与剩余部分一起拼接成一个四棱柱形有盖盒子，求盒子的高PQ.(用含 有L,n的代数式表示) 16.如图，在正方形ABCD中，点E是AB上一点，连接DE,点M是线段DE的中点，连接BM, CM,CM=CD A D M (I)求证：BM=CM: (2)求∠CDE的度数. 17.判断满足下列关系的两个三角形是否是位似图形？如果是，请指出位似中心 图(1) 图(2) (I)如图(1)所示，AB,CD相交于点O,且∠B=∠D,AD=CB: (2)如图(2)所示，AB,CD相交于点O,且∠B=∠A 《3.5图形的位似同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 答案 B B D 0 B 10.8 11.点F 12 13.(1)如图，△4BC即为所求 B A (2)如图，点D即为所求， B 14.(1)如图，△AB'C'即为所求： B 218.B5,2)C01,4 15.(1)如图1， 正方形 即为所求： G D 图1 DEFG 正方形DEFG与正方形OABC相似比为1：2， ..PE:PB=1:2. ..PE=BE, “点B的坐标为 4,4) E(3,3) 盒子的高h为l: 故答案为：1； (2)如图2，过P作P21AB交于Q, D C 四边形 是菱形， 图2 ABCD ∴BD⊥AC, ∠BAC=∠DAB =2×60°=30°， .∴.OA=AB·coS∠BAD =a·c0s30° 5 2, 01 0A2 ..OP=AP =0M=5。 2 a. P四Ap=3 -a 8； 5 a 故答案为：8 (3)如图3， D P E 图3 由题意得， 四个阴影部分四边形是四个全等的正方形， :DG=AF=AP=PO=BE, 设DG=AF=AP=PO=BE=x, 则E0=n-2x,FG=m-2x, 由盒子得底部面积和盖子面积可得， 4x2=(m-2x)(n-2x) mn .X= 2m+2n ..PO=mn 2m+2n 16.(1)证明：连接AM, A D M E B ,正方形ABCD, .∠BAD=∠CDA=∠BCD=90°，AB=CD=BC, ,点M是线段DE的中点， :AM=DM=IDE 2 .∠MAD=∠MDA, ∴.∠BAM=90°-∠MAD=90°-∠MDA=∠CDM. AB=CD. :△BMM≌aCDM(SaS) .BM=CM: (2)解：CM=CD,BM=CM,AB=CD=BC, .BM=CM=BC .△BCM是等边三角形， ∴.∠BCM=60°， .∠DCM=90°-60°=30°， .CM=CD A4CDE=80-4DCM）-75° 17.(1)解：∠B=∠D,AD=CB, 点A与点C,点D与点B为对应点， :AD与BC不一定平行， .△AOD与△COB不是位似图形： (2)解：∠B=∠A, ∴.AC∥BD .△AOC∽ABOD AB,CD相交于点O, :△AOC与△BOD是位似图形，位似中心是点O.