精品解析：甘肃平凉市铁路中学2026-2027学年九年级上学期9月学情检测数学试卷

2026~2027学年度9月学情检测卷 九年级 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的倒数是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数. ∵， ∴的倒数是． 2. 若方程是关于的一元二次方程，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程需要同时满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得，， 解得，， 综上所述：． 3. 一元二次方程用配方法解可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解： ， 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在第二象限，则m的取值范围是（　　） A. m＜﹣1 B. m＞2 C. ﹣1＜m＜2 D. m＞﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵点P（m-2，m+1）在第二象限， ∴， 解得-1＜m＜2． 故选C． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 5. 下列各曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义即可求出答案． 【详解】解：根据函数的定义可知：对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应； ．图中一个值有时对应的不是一个值，因此不是的函数，故错误； ．图中一个值有时对应的不是一个值，因此不是的函数，故错误； ．图中一个值对应一个值，因此是的函数，故正确； ．图中一个值有时对应的不是一个值，因此不是的函数，故错误． 6. 某场比赛中每两支球队之间比赛1场，若x支球队共进行了21场比赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵支球队中每支球队需与其余支球队各赛1场 ∴累计比赛场次为 ∵每两支球队之间的比赛被重复计算2次 ∴实际总场次为 ∵总场次为21 ∴． 7. 已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系，从第一个方程得到两根和与两根积，再对第二个方程利用根与系数的关系得到的表达式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵一元二次方程的两根为，， ∴两根之积满足， ∴． 8. 世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法， “对于一个绝对值小于1的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为负整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 9. 若方程的两个根恰好是等腰的两条边长，则的周长为（ ）． A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理，解此方程得到得，，然后根据三角形三边的关系得到的腰为6，底边为2，再计算三角形的周长，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：， 解得，， 因为这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长， ①当的腰为6，底边为2，则的周长为； ②当的腰为2，底边为6时，不能构成三角形． 综上所述，该三角形的周长的14． 故选：B． 10. 红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式即可，读懂题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案写在题中的横线上 11. 因式分解：_____． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：． 12. 将二次函数的图像向右平移4个单位长度后得到的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数平移的“左加右减”规律，对原解析式变形即可求解 【详解】解：二次函数的图像向右平移4个单位，得到平移后的函数解析式为． 13. 已知m是方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根据方程根的定义，将已知条件代入所求表达式进行化简． 【详解】解：因为m是方程 的一个根， 所以代入得 ，即 ． 则 ． 故答案为：． 14. 已知一个直角三角形的两条直角边长恰好分别是方程的两根，则此三角形的斜边长为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】先解方程，得出两根，再利用勾股定理来求解即可． 【详解】解：∵， ∴（x−6）（x−8）＝0， ∴x＝6或8； ∴两直角边为6和8， ∴此三角形的斜边长＝＝10， 故答案是：10． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，用到的知识点是因式分解法和勾股定理，关键是根据方程的特点选择合适的解法． 15. 某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为95分、85分、90分，综合成绩按笔试、试讲、面试的占比为，则该名教师的综合成绩为______． 【答案】90分 【解析】 【分析】根据加权平均数公式，代入数据计算即可得到结果． 【详解】解：∵总权重为 ， ∴该教师的综合成绩为 （分）． 16. 定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，因此，按照这个规定，若，则的值是______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据新定义的运算规则，分和两种情况列方程，求解后舍去不符合条件的根即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当，即时，， ∴， 整理得， ， ∴， ∵， ∴不符合条件，舍去， ∴； 当，即时，， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴不符合条件，舍去， ∴； 综上，的值为或． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】不等式组无解 【解析】 【详解】解：， 解不等式得， 解得， 解不等式得， 解得， ∵两个解集无公共部分， ∴不等式组无解． 19. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ∴，． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【详解】试题分析：先将括号里的进行通分，再把除法转化为乘法，再进行约分化简，最后把x的值代入即可. 试题解析： = = = 当时，原式=. 考点：分式的化简求值. 21. 如图，在中，已知． （1）用尺规作图：作的平分线交于点；同时作交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想并证明：猜想四边形的形状，并给予证明． 【答案】（1）解：如图所示： 、即为所求； （2）解：四边形是菱形． 证明如下：由（1）知四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的尺规作图方法即可得出结果，在上截取，连接，由平行四边形的判定与性质即可得到； （2）由（1）知四边形是平行四边形，由菱形的判定定理求证即可． 【小问1详解】 解：作图略； 证明如下：是的平分线， ， 在中，，则， ， 则， ， ， ， 四边形是平行四边形，则； 【小问2详解】 略 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两个实数根为，满足，求的值． 【答案】（1） 证明：∵一元二次方程为，其中，，， ∴ ∵ ， ∴ ，即， ∴ 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）计算方程的判别式，配方后证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系表示出两根和与两根积，代入已知等式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得，， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∵ 无论取何值方程均有两个实数根， ∴的值为或. 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程 23. 为进一步宣传垃圾分类知识，某校组织全校学生进行“垃圾分类知识测试”（满分100分）．现随机抽取部分学生的测试成绩x（单位：分）整理成A：，B：，C：，D：四个分数段，绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）抽取的学生的人数是________人，请补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中A段学生所对的圆心角是________，抽取的学生的测试成绩的中位数在A，B，C，D中________段（填字母）； （3）若测试成绩在80分以上（含80分）定为“优秀”，该校有1150名学生，请你估计该校测试成绩“优秀”的学生人数． 【答案】（1）50， 补全频数分布直方图如下： （2）72，C （3）598人 【解析】 【分析】（1）用C组人数除以占比求出抽取的学生的人数，然后求出B组人数，然后补全频数分布直方图即可； （2）用乘以A组占比即可求出圆心角；根据中位数的定义求解； （3）利用样本估计总体求解． 【小问1详解】 解：抽取的学生的人数是（人）， ∴B组人数为（人）， 图略； 【小问2详解】 解：扇形统计图中A段学生所对的圆心角是； ∵共有50个数据， ∴中位数是第25个和第26个数据的平均数， ∵A，B组的和为，C组人数为21， ∴第25个数，第26个数都落在C组； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校测试成绩“优秀”的学生人数为598人． 24. 已知三角形的三边长分别为，若，且 （1）试确定三角形的形状； （2）求三角形的面积． 【答案】（1） 三角形是直角三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）先求出b、c的长度，再计算，利用勾股定理逆定理判断三角形形状； （2）根据直角三角形面积公式计算面积． 【小问1详解】 解：三角形是直角三角形 理由： ， 移项得， 配方得， ，，  ，， 解得，， 将，代入， 得， ， 三角形是直角三角形； 【小问2详解】 解：由（1）得三角形为直角三角形，为斜边，、为直角边， ， ． 25. 面向日益严峻的气候变化形势，以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动，新能源汽车的市场需求正在不断增加．下表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况： 月份 7月 9月 销量/万辆 （1）求该款车销量的月平均增长率． （2）青岛一个该品牌店购进一批该款车型进行销售，已知进价为每辆6万元．经试销发现：当该款汽车售价为万元时，平均每月销量为150辆；而当售价每降低万元时，平均每月就能多售出15辆．为了扩大销量，该店决定降价促销，若该店想要维持利润不变，该款车的售价应为每辆多少万元？ 【答案】（1）该款车销量的月平均增长率为 （2）下调后每辆汽车的售价为7万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款车销量的月平均增长率为，可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，利用该店销售该款汽车平均每周的销售利润每辆的销售利润每周的销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该款车销量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该款车销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设下调后每辆车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵为了扩大销量， ， 答：下调后每辆汽车的售价为7万元． 26. 我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似的，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． （1）下列各式中是“完全平方根式”的有______； ①②③ （2）利用“完全平方根式”化简：； （3）已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时，求出这个最小值． 【答案】（1）①③ （2） （3）最小值为 【解析】 【分析】（1）将式子的常数项合并，验证是否存在正整数使得常数项为，带根号项为； （2）把根号内的式子转化为完全平方根式，利用二次根式的性质开方化简； （3）由完全平方根式的定义得出，列举正整数解，通过比较的大小得到最小值． 【小问1详解】 解：根据“完全平方根式”的定义，若式子可表示为（为正整数）， 则为完全平方根式， ①，取，满足，，是完全平方根式； ②，若，则，不是正整数，故不是完全平方根式； ③，取，满足，，是完全平方根式． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴原式． 【小问3详解】 解：∵是完全平方根式，且为正整数，带根号项为正， ∴存在正整数，使得， 根据等式两边有理数部分与无理数部分分别相等， 可得 ，， 由，可得，即， ∵， ∴要使A最小，需使最小， ∵，为正整数， ∴可能的正整数对为， 分别计算：当时，； 当时，； 当时，． ∵，，， 且， ∴， 又∵当时，，存在正整数满足条件（如），符合题意， ∴A的最小值为． 27. 如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动．当点到达点时，两点同时停止运动． （1）出发几秒时的面积为？ （2）出发几秒时的长度为？ （3）的面积能为吗？若能，求出时间，若不能，说明理由？ 【答案】（1）秒 （2）秒 （3）解：不能． 理由如下： 设出发秒时的面积为，则、， 在矩形中，，则， ， 即， ， 一元二次方程无实数解， 即的面积不能为． 【解析】 【分析】（1）先分别表示出，再由三角形面积公式列一元二次方程求解即可； （2）先分别表示出，再由勾股定理列一元二次方程求解即可； （3）先分别表示出，再由三角形面积公式列一元二次方程，判断解的情况即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，点走完所花时间为；点走完所花时间为； 两点同时停止运动的时间为， 设出发秒时的面积为，则、， 在矩形中，，则， ， 即， ，解得或（，舍去）， 即出发秒时的面积为； 【小问2详解】 解：设出发秒时的长度为，则、， 在矩形中，，则， 在中，由勾股定理可得，则， ，即， 解得或（不合题意，舍去）， 即出发秒时的长度为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度9月学情检测卷 九年级 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的倒数是（ ） A. B. 5 C. D. 2. 若方程是关于的一元二次方程，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程用配方法解可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在第二象限，则m的取值范围是（　　） A. m＜﹣1 B. m＞2 C. ﹣1＜m＜2 D. m＞﹣1 5. 下列各曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 某场比赛中每两支球队之间比赛1场，若x支球队共进行了21场比赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（ ） A. 1 B. C. 5 D. 8. 世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 9. 若方程的两个根恰好是等腰的两条边长，则的周长为（ ）． A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10 10. 红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案写在题中的横线上 11. 因式分解：_____． 12. 将二次函数的图像向右平移4个单位长度后得到的函数解析式为______． 13. 已知m是方程的一个根，则的值为______． 14. 已知一个直角三角形的两条直角边长恰好分别是方程的两根，则此三角形的斜边长为___________． 15. 某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为95分、85分、90分，综合成绩按笔试、试讲、面试的占比为，则该名教师的综合成绩为______． 16. 定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，因此，按照这个规定，若，则的值是______． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在中，已知． （1）用尺规作图：作的平分线交于点；同时作交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想并证明：猜想四边形的形状，并给予证明． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两个实数根为，满足，求的值． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程 23. 为进一步宣传垃圾分类知识，某校组织全校学生进行“垃圾分类知识测试”（满分100分）．现随机抽取部分学生的测试成绩x（单位：分）整理成A：，B：，C：，D：四个分数段，绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）抽取的学生的人数是________人，请补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中A段学生所对的圆心角是________，抽取的学生的测试成绩的中位数在A，B，C，D中________段（填字母）； （3）若测试成绩在80分以上（含80分）定为“优秀”，该校有1150名学生，请你估计该校测试成绩“优秀”的学生人数． 24. 已知三角形的三边长分别为，若，且 （1）试确定三角形的形状； （2）求三角形的面积． 25. 面向日益严峻的气候变化形势，以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动，新能源汽车的市场需求正在不断增加．下表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况： 月份 7月 9月 销量/万辆 （1）求该款车销量的月平均增长率． （2）青岛一个该品牌店购进一批该款车型进行销售，已知进价为每辆6万元．经试销发现：当该款汽车售价为万元时，平均每月销量为150辆；而当售价每降低万元时，平均每月就能多售出15辆．为了扩大销量，该店决定降价促销，若该店想要维持利润不变，该款车的售价应为每辆多少万元？ 26. 我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似的，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． （1）下列各式中是“完全平方根式”的有______； ①②③ （2）利用“完全平方根式”化简：； （3）已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时，求出这个最小值． 27. 如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动．当点到达点时，两点同时停止运动． （1）出发几秒时的面积为？ （2）出发几秒时的长度为？ （3）的面积能为吗？若能，求出时间，若不能，说明理由？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $