3.4圆周角（分层作业，8大题型）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以“理解-掌握-运用”三级分层设计，覆盖圆周角概念、定理及综合应用，通过基础巩固、能力进阶到创新探究的梯度，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|圆周角概念、定理、直径相关性质|基础辨析题（如概念判断）、简单计算题，巩固核心知识点| |B组|圆内接四边形性质|综合解答题（如内接四边形角度计算），强化定理综合应用| |C组|圆周角创新性问题|探究证明题（如结合旋转、动点的几何问题），发展创新思维|

分层作业 3.4 圆周角 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 圆周角的概念 题型02 圆周角定理 题型03 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型04 直径所对的圆周角是直角 题型05 90°圆周角所对弦是直径 B组 能力进阶 题型01 圆内接四边形 题型02 圆内接四边形 C组 思维拔高 题型 圆周角·创新性问题 圆周角的概念题型01 1．下列各图中的角，其中为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建厦门·月考）如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 3．已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C．②以D为圆心，DO长为半径画，与OB交于点E，连接DC并延长，使DC的延长线交于点P，连接DE，则的度数为（    ）． A．15° B．20° C．30° D．40° 4．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠AOC=∠B，则∠B=_______度． 5．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝______ 6．已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列命题： ①若AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形； ②若OA＝OC，∠ABC＝∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形； ③若AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD是矩形； ④若AB＝CD，OA＝OC，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是矩形． 其中所有真命题的序号是_______________． 7．观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 8．已知射线经过的圆心，与相交于点A，点B在上，且，P为射线上异于点O，A的一动点，直线交于点C，且． (1)如图①，当点P在线段上时，求的度数． (2)如图②，当点P在线段的延长线上时，求的度数． 圆周角定理题型02 1．（2025·广东云浮·一模）如图，是的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，点、在上．若，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，等腰中，，D为边上一点．用尺规按如下的步骤操作： ①以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点E，连接； ②作的角平分线，交射线于点P，交于点Q． 结论Ⅰ：；结论Ⅱ：． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ不对Ⅱ对 B．Ⅰ对Ⅱ不对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 4．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C=_____°． 5．（24-25九年级上·云南昆明·月考）如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为______. 6．下面是“作一个角”的尺规作图过程． 已知：平面内一点A． 求作：，使得． 作法：如图， （1）作射线； （2）在射线取一点O，以O为圆心，为半径作圆，与射线相交于点C； （3）以C为圆心，C为半径作弧，与交于点D，作射线． 则即为所求的角． 请回答：该尺规作图的依据是_________________． 7．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，在中，直径弦，若，求的度数． 8．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，，是的两条弦且，点是弧的中点，点沿着弦从点运动到点． (1)如图1，当时，连结，，，．求证：； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，当点运动到点时，连结和，如果正好过圆心且，．求此时的长． 同弧或等弧所对的圆周角相等题型03 1．如图，是的直径，，则（   ）    A． B． C． D． 2．（25-26九年级·期末）如图，是的直径，C，D是圆上两点，连接．若，则的度数为（　 ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边始终经过轴正半轴上一定点为的中点，经过点且垂直于轴的直线与边分别交于点，与对角线、分别交于点与轴交于点．下面4个结论： ①的长度不变；②始终等于；③经过一个定点；④．其中正确的有（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 4．如图，⊙O的直径CD垂直于AB，∠AOC=48°，则∠BDC=　　度． 5．（25-26九年级上·河北邢台·月考）如图，在中，，点在上．若，则______°． 6．（2025·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，为上靠近点的三等分点，为上一点，，，则_________． 7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，点D是的中点．求∠ABD的度数． 8．【发现问题】如图1，在画展厅，为保护展品，会放置围栏分隔观赏者和展品，现在数学小组想知道围栏位置是否合适，做出以下研究． 【资料查阅】1471年德国数学家米勒也提出过类似问题，如图2，观赏最佳的位置就是展品的最高点A与最低点B与观赏者的眼睛C所形成的视角最大． 【米勒定理】如图3，当经过A，B，C三点的与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．这是为什么呢？ 请思考后完成填空： 设点是上任意一个异于C的点， 是的外角， ______（填“、或”）， 又 ______， ． 眼睛位于点C处时，最大． 【问题解决】如图4，在上述定理基础上，假如竖直墙壁上的展品的最高点A距离地面的高度为3.4米，最低点B距离地面的高度为2.4米，观赏者的眼睛C距离地面的高度为1.6米，那么围栏放在什么位置最合适呢？ 直径所对的圆周角是直角题型04 1．如图，是的直径，点C在上．若，，则长为（    ） A． B． C．3 D．2 2．如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在中，，，，，且，若是奇异三角形，则；③如图，是的直径，C是上一点（不与点A、B重合），D是半圆弧的中点，C、D在直径的两侧，若在内存在点E，使，．则是奇异三角形；④在③的条件下，当是直角三角形时，，其中，说法正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 4．如图，已知为的直径，，则______． 5．如图，已知是的外接圆，是的直径，若，则的度数是__________． 6．（2025·陕西西安·三模）如图，为的内接三角形，，连接并延长，交于点D，连接，，若，则为________． 7．（25-26九年级上·河南许昌·月考）已知是圆的直径，是圆上一点，，求的长． 8．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①， 点O为坐标原点，的半径为1， 点． 动点B在上，连接， 作等边（为顺时针顺序），求的最大值． 【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接， 以为边在 的左侧作等边三角形 ， 连接． （1） 请你找出图中与相等的线段，并说明理由； （2） 线段的最大值为 ． 【灵活运用】 （3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为， 点 P 为线段 外一动点， 且，求线段长的最大值． 【迁移拓展】 （4）如图③， ， 点D 是以为直径的半圆上不同于 B、C的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最大值和最小值． 90°圆周角所对弦是直径题型05 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·质检）下列图形中的线段是圆的直径的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）数学课堂上，王老师带同学们利用直角三角尺检查某种半圆形零件是否合格，下列四个零件中，合格的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，以点O为圆心的量角器（半圆O）的直径和重合，零刻度落在点B处（即从点B处开始读数），点D是上一点，连结并延长交半圆于点P，若，则点P在量角器上显示的读数为（    ）度 A．64 B．26 C．52 D．32 4．如图，观察图中的尺规作图痕迹，若，，则______． 5．（25-26九年级上·期末）如图，以点为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么_______． 6．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，直线、分别经过点、，且．若直线关于对称的直线为，直线关于对称的直线为，直线、交于点，则的最大值为______． 7．如图，圆周角．若连接，则过圆心O吗？为什么？    8．（2026·河南周口·模拟）如图，在平面直角坐标系中，点为原点，点是反比例函数的图像上一点，以为圆心，长为半径作，与坐标轴分别交于点，，连接． (1)求证：点是线段的中点； (2)若的面积为12，求反比例函数的解析式； (3)在（2）的条件下，若，将绕着点顺时针旋转，使点落在双曲线上的点，则点的坐标为_______． 圆内接四边形题型01 1．若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（    ） A． B．3 C． D． 2．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 3．如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 4．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为______． 5．如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是______． 6．如图，四边形为菱形，为对角线，在射线，上分别有动点E，F，在射线上有动点P，连接，已知，，记，，若，则的长为________． 7．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，求大正方形的面积． 8．（24-25九年级上·江苏盐城·月考）【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小明在完成此题解答后提出：如图2，若的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【直接应用】 （2）如图3，锐角中，是高线，于G，于F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图4，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为D、E．则的最小值为 ． （4）如图5，小明完成上面的问题后发现的两条高相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图6，已知是的外接圆，是的高，相交于点P．若，请直接写出的面积 ．（结果请用m，n的代数式表示，并保留） 圆内接四边形题型02 1．若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（    ） A． B．3 C． D． 2．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 3．如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 4．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为______． 5．如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是______． 6．如图，四边形为菱形，为对角线，在射线，上分别有动点E，F，在射线上有动点P，连接，已知，，记，，若，则的长为________． 7．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，求大正方形的面积． 8．（24-25九年级上·江苏盐城·月考）【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小明在完成此题解答后提出：如图2，若的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【直接应用】 （2）如图3，锐角中，是高线，于G，于F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图4，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为D、E．则的最小值为 ． （4）如图5，小明完成上面的问题后发现的两条高相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图6，已知是的外接圆，是的高，相交于点P．若，请直接写出的面积 ．（结果请用m，n的代数式表示，并保留） 圆周角·创新性问题题型 1．（2025·山西吕梁·模拟）阅读与思考 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务 如图1，圆内接四边形的对角线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，则为的中点． 下面是部分证明过程： ， ， ． ， ．．．．．． 任务一：请将上述过程补充完整． 任务二：如图2，在中，把边绕点顺时针旋转得到，把边绕点逆时针旋转得到．连接，取的中点，连接并延长交于点，延长至点，使，连接． （1）求证：． （2）若，则的长为___________． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·月考）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图①，在中，劣弧的度数为，点是优弧上的动点，且不与点重合，弦的垂直平分线分别交射线，弦于点． (1)求证：是等边三角形； (2)能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； (3)若的半径为2，则面积的最大值是______． 4．（25-26九年级·期末）内接于，，请用直尺和圆规在上找一点（不与点，重合），使．如下是小温、小州两位同学的作图过程． 请你选择其中一种做法，判断对错，并说明理由． 解：我选择__________（填“小温”或“小州”）的作法，该作法是__________的（填“正确”或“错误”），理由如下： 5．如图，已知四边形内接于，为其中一条对角线． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，若经过圆心O，连接， ，求的大小． 6．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在⊙O中，是上的点（不与点重合），连接并延长至点，连接并延长至点．连接． (1)求证：． (2)若的面积为27，求的半径． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.4 圆周角 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 圆周角的概念 题型02 圆周角定理 题型03 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型04 直径所对的圆周角是直角 题型05 90°圆周角所对弦是直径 B组 能力进阶 题型01 圆内接四边形 题型02 圆内接四边形 C组 思维拔高 题型 圆周角·创新性问题 圆周角的概念题型01 1．下列各图中的角，其中为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义，可以判断哪个选项是正确的． 【详解】解：∵顶点在圆上，角的两条边都与圆相交的角叫做圆周角， ∴选项A、C、D中的角不是圆周角，选项B中的角是圆周角． 2．（25-26九年级上·福建厦门·月考）如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角的定义，根据圆周角的定义，结合图形即可求解． 【详解】解：由图可知： 所对圆周角的是或， 故选：C． 3．已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C．②以D为圆心，DO长为半径画，与OB交于点E，连接DC并延长，使DC的延长线交于点P，连接DE，则的度数为（    ）． A．15° B．20° C．30° D．40° 【答案】A 【分析】根据题意得：OD=OC=PD，根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意得：OD=OC=PD， ∴∠ODC=∠OCD，∠DOP=∠OPD， ∵， ∴∠ODC=∠OCD=， ∴∠DOP=∠OPD=， ∴∠POC=∠DOP-∠AOB=15°． 故选：A 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 4．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠AOC=∠B，则∠B=_______度． 【答案】120 【分析】连结OB，可知△OAB和△OBC都是等腰三角形，∠ABC=∠A+∠C=∠AOC，四边形内角和360゜，可求∠B． 【详解】如图，连结OB， ∵OA=OB=OC， ∴△OAB和△OBC都是等腰三角形， ∴∠A=∠OBA，∠C=∠OBC， ∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=∠A+∠C， ∴∠A+∠C=∠ABC=∠AOC ∵∠A+ ∠ABC+∠C+∠AOC=360゜ ∴3∠ABC=360゜ ∴∠ABC=120゜ 即∠B=120゜． 故答案为：120． 【点睛】本题考查圆周角度数问题，要抓住半径相等构造两个等腰三角形，把问题转化为解∠B的方程是关键． 5．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝______ 【答案】54° 【分析】根据圆的基本性质，可得∠OEB=∠OBE，∠AOB=18°，从而得到∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，继而得到∠BOE=108°，即可求解． 【详解】解：∵CD是⊙O的直径， ∴OD=OE=OB， ∴∠OEB=∠OBE， ∵AB=OD， ∴AB=OB， ∴∠AOB=∠A， ∵∠A＝18°， ∴∠AOB=18°， ∴∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°， ∴∠BOE=108°， ∴∠EOD=180°-∠BOE-∠AOB=54°． 故答案为：54° 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 6．已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列命题： ①若AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形； ②若OA＝OC，∠ABC＝∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形； ③若AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD是矩形； ④若AB＝CD，OA＝OC，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是矩形． 其中所有真命题的序号是_______________． 【答案】③ 【分析】根据平行四边形的特征，矩形的判定方法，判断即可； 【详解】解：①假命题，如图AECD是平行四边形，AB=AE=CD，∠ABC=∠AEB，四边形ABCD不是平行四边形； ②假命题，如图，OA＝OC，∠ABC＝∠ADC，四边形ABCD不能证明是平行四边形； ③真命题，如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，则AB∥CD，BC即为平行线间的距离， ∵AD＝BC， ∴AD为平行线间的距离，即AD与平行线垂直， ∴四边形的四个内角都为90°，四边形ABCD是矩形； ④假命题，如图，ABCE是矩形，CD=CE=AB，OA＝OC，∠ABC＝90°，四边形ABCD不是矩形； 综上所述③是真命题， 故答案为：③； 【点睛】本题考查了真假命题的判定，平行四边形和矩形的特征，结合圆的性质寻找反例是解题关键． 7．观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 【答案】 (a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角； (b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角； (c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角． (d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角； (e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角. 【详解】略 【点睛】本题主要考查了圆周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 8．已知射线经过的圆心，与相交于点A，点B在上，且，P为射线上异于点O，A的一动点，直线交于点C，且． (1)如图①，当点P在线段上时，求的度数． (2)如图②，当点P在线段的延长线上时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是圆的综合题型，主要利用了等边对等角的性质、三角形外角的性质，根据题意，设关键角为x，利用三角形内角和定理列方程是解题给关键. （1）设，再用含x的式子表示出，最后根据三角形内角和定理列方程求解即可. （2）设，再用含x的式子表示出，最后根据三角形内角和定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：． 设． ． 在中，， 解得． （2）解：设， ． ， ． 在中，， 解得， ， ． 圆周角定理题型02 1．（2025·广东云浮·一模）如图，是的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据圆周角定理计算即可．掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 2．如图，是的直径，点、在上．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接，由可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，等腰中，，D为边上一点．用尺规按如下的步骤操作： ①以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点E，连接； ②作的角平分线，交射线于点P，交于点Q． 结论Ⅰ：；结论Ⅱ：． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ不对Ⅱ对 B．Ⅰ对Ⅱ不对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 【答案】A 【分析】根据圆周角定理和角平分线的概念逐项判断即可． 【详解】∵是的角平分线， ∴， ∵D为边上一点， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴Ⅰ不对； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴Ⅱ对． 故选：A． 【点睛】此题考查了圆周角定理定理，角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 4．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C=_____°． 【答案】58 【详解】试题解析：如图，连接OB， ∵OA=OB， ∴△AOB是等腰三角形， ∴∠OAB=∠OBA， ∵∠OAB=32°， ∴∠OAB=∠OAB=32°， ∴∠AOB=116°， ∴∠C=58°． 故答案为58°. 5．（24-25九年级上·云南昆明·月考）如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为______. 【答案】 【分析】　本题考查了圆内接四边形“对角互补”的性质，理解圆的有关性质是解题的关键．利用圆内接四边形的对角互补，可先求出；再依据圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），计算出的大小。 【详解】解：在中，， ， 是弧所对的圆心角，是弧所对的圆周角， ， 故答案为：． 6．下面是“作一个角”的尺规作图过程． 已知：平面内一点A． 求作：，使得． 作法：如图， （1）作射线； （2）在射线取一点O，以O为圆心，为半径作圆，与射线相交于点C； （3）以C为圆心，C为半径作弧，与交于点D，作射线． 则即为所求的角． 请回答：该尺规作图的依据是_________________． 【答案】同圆或等圆半径相等，三边相等的三角形是三角形，等边三角形的内角是，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半． 【分析】根据尺规作图过程，进行证明，即可得出结论． 【详解】解：证明：连接CD，OD． 由圆的定义和尺规作图得：OD=OC=CD，（圆的半径都相等） ∴△OCD是等边三角形，（三边相等的三角形是三角形） ∴∠DOC=60°，（等边三角形的内角是） ∴．（一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半） 故答案为：同圆或等圆半径相等，三边相等的三角形是三角形，等边三角形的内角是，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半． 【点睛】本题考查了尺规作图的综合应用，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和圆周角定理． 7．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，在中，直径弦，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据等边对等角求出的度数，再根据垂直得出，最后根据圆周角定理即可得解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 8．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，，是的两条弦且，点是弧的中点，点沿着弦从点运动到点． (1)如图1，当时，连结，，，．求证：； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，当点运动到点时，连结和，如果正好过圆心且，．求此时的长． 【答案】(1) 证明：点是弧的中点， ， ． ，是所对的圆周角， ． 在和中 ， ． (2) 证明：在上截取，连接，，，，如下图 点是弧的中点， ， ． ，是所对的圆周角， ． 在和中 ， ， ． ， ， ， 即． (3)4 【分析】（1）根据点是弧的中点，得到，利用同弧所对的圆周角相等得，再利用证明三角形全等； （2）在上截取，连接，，，，根据（1）的方法得到，进而得到，再结合，利用三线合一来求得即可求解； （3）在上截取，连接，，，，利用（2）的方法得到，得到，进而得到 ，结合直径所对的圆周角是直角求得，用勾股定理求出，设，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在上截取，连接，，，，如下图 点是弧的中点， ， ． ，是所对的圆周角， ． 在和中 ， ， ， ． 正好过圆心， ，， ， ， ． ， ． 设， ． 在中 ， 解得，（不符合题意舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定和性质，三线合一，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，作出辅助线，构建三角形全等是解答关键． 同弧或等弧所对的圆周角相等题型03 1．如图，是的直径，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键． 2．（25-26九年级·期末）如图，是的直径，C，D是圆上两点，连接．若，则的度数为（　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角的有关定理，解题的关键是找到同弧所对的圆周角． 根据是的直径，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边始终经过轴正半轴上一定点为的中点，经过点且垂直于轴的直线与边分别交于点，与对角线、分别交于点与轴交于点．下面4个结论： ①的长度不变；②始终等于；③经过一个定点；④．其中正确的有（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】过点E作于T，可证明四边形是矩形，得到，，再证明，得到，据此可判断①；设交于P，连接，可证明是的中位线，得到，则，证明，得到D、F、P、N四点共圆，则，即可证明是等腰直角三角形，据此可判断②；证明，可得，据此可判断③；当点A与点M重合时，点N也与点M重合，此时点F与点P重合，据此可判断④． 【详解】解：如图所示，过点E作于T， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点M为定点，即的长为定长， ∴的长为定长，故①正确； 设交于P，连接， 由正方形的性质可得，P为的中点， 又∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴D、F、P、N四点共圆， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，故②正确； ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵M为定点，D为的中点， ∴点D为定点，的长为定长， ∴的长为定长， 又∵， ∴点G为定点，即经过一个定点，故③正确； 当点A与点M重合时，点N也与点M重合，此时点F与点P重合， ∴此时， ∵， ∴此时不满足，故④错误； ∴正确的有①②③； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，圆周角定理，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于证明D、F、P、N四点共圆． 4．如图，⊙O的直径CD垂直于AB，∠AOC=48°，则∠BDC=　　度． 【答案】24 【详解】解：连接OB， ∵⊙O的直径CD垂直于AB， ∴ ∴∠BOC=∠AOC=48°， ∴∠BDC=∠AOC=×48°=24° 5．（25-26九年级上·河北邢台·月考）如图，在中，，点在上．若，则______°． 【答案】40 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握同圆或等圆中同弧所对圆周角相等是解题的关键．本题可依据同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等这一圆周角定理来求解的度数． 【详解】解：在中，， ． 故答案为：． 6．（2025·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，为上靠近点的三等分点，为上一点，，，则_________． 【答案】 【分析】根据题意，如图所示，过点作于点，过点作于点，延长交于点，连接，则四边形是矩形，，是等腰直角三角形，则，设，则，则，有点四点共圆，点四点共圆，，则，，由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵为上靠近点的三等分点， ∴， 如图所示，过点作于点，过点作于点，延长交于点，连接，则四边形是矩形，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，则， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴点四点共圆，点四点共圆， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形，则， 在中，， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，圆的基础知识，掌握矩形的性质，同弧所对圆周角相等是关键． 7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，点D是的中点．求∠ABD的度数． 【答案】∠ABD=102°． 【分析】根据∠CAB＝60°，可得，再由点D是的中点可得，由圆周角定理可知∠CBD＝30°，由此即可求出∠ABD的度数． 【详解】解：∠AOB＝96°， ∴∠ACB＝48°， ∵∠CAB＝60°， ∴∠ABC＝180°-∠ACB-∠CAB=72°，， 又∵点D是的中点， ∴， ∴∠CBD＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝102°． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，找准同弧所对圆周角和圆心角是解题关键． 8．【发现问题】如图1，在画展厅，为保护展品，会放置围栏分隔观赏者和展品，现在数学小组想知道围栏位置是否合适，做出以下研究． 【资料查阅】1471年德国数学家米勒也提出过类似问题，如图2，观赏最佳的位置就是展品的最高点A与最低点B与观赏者的眼睛C所形成的视角最大． 【米勒定理】如图3，当经过A，B，C三点的与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．这是为什么呢？ 请思考后完成填空： 设点是上任意一个异于C的点， 是的外角， ______（填“、或”）， 又 ______， ． 眼睛位于点C处时，最大． 【问题解决】如图4，在上述定理基础上，假如竖直墙壁上的展品的最高点A距离地面的高度为3.4米，最低点B距离地面的高度为2.4米，观赏者的眼睛C距离地面的高度为1.6米，那么围栏放在什么位置最合适呢？ 【答案】米勒定理∶，；问题解决∶ 围栏放在距离墙壁米位置最合适 【分析】米勒定理∶由得，由圆的基本性质得，即可求证； 问题解决∶过作交于，由矩形的判定方法得 四边形是矩形，由矩形的性质得，，由线段和差可求，，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】米勒定理 请思考后完成填空： 设点是上任意一个异于C的点， 是的外角， ， （填“、或”）， 又， ， ， 眼睛位于点C处时，最大， 故答案：，； 问题解决∶ 解：如图，过作交于， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 故围栏放在距离墙壁米位置最合适． 【点睛】本题考查了矩形的判定及性质，圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，掌握性质，理解米勒定理及题意中线段的实际意义，构建直角三角形用勾股定理求解是解题的关键． 直径所对的圆周角是直角题型04 1．如图，是的直径，点C在上．若，，则长为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查直径所对的圆周角是直角、勾股定理，先根据直径所对的圆周角是直角得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又∵，， ∴， 故选：A． 2．如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质，得，根据圆周角定理求出，，进而求出，计算即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形内接于， ， ， 是的直径， ， ， ∵ ， 故选：D．    3．我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在中，，，，，且，若是奇异三角形，则；③如图，是的直径，C是上一点（不与点A、B重合），D是半圆弧的中点，C、D在直径的两侧，若在内存在点E，使，．则是奇异三角形；④在③的条件下，当是直角三角形时，，其中，说法正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】①设等边三角形的边长为a，则，即可判断①； ②由勾股定理得出，由是奇异三角形，且，得出，由得出，，，即可判断②； ③由股定理得出，，由已知得出，，即可得出是奇异三角形，即可判断③；④由是奇异三角形，得出，分两种情况，由直角三角形和奇异三角形的性质即可得判断④． 【详解】解：①设等边三角形的边长为a， 则，符合“奇异三角形”的定义，故①正确； ②∵， ∴， ∵是奇异三角形，且， ∴， 由①②得∶，， 故，故②错误； ③∵， ∴，， ∵D是半圆的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴是奇异三角形，故③正确； ④由③得∶是奇异三角形， ∴， 当是直角三角形时， 由②得：，或， 当时， ，即， ∵， ∴， ∴， 当， ，即， ∵， ∴ ∴， 综上所述，的度数为或，故④错误； 故选：． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了奇异三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直径所对的圆周角是直角、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握奇异三角形的定义、等边三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 4．如图，已知为的直径，，则______． 【答案】65 【分析】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得的度数，即可求得答案． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故答案为： 5．如图，已知是的外接圆，是的直径，若，则的度数是__________． 【答案】15 【分析】连接，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等可得的度数，据此可求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（2025·陕西西安·三模）如图，为的内接三角形，，连接并延长，交于点D，连接，，若，则为________． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，等边对等角，三角形的内角和定理，根据圆周角定理，得到，进而得到，推出的关系，根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 7．（25-26九年级上·河南许昌·月考）已知是圆的直径，是圆上一点，，求的长． 【答案】6 【分析】根据圆周角定理，可算出的度数，根据圆的半径得到，的关系，进而判断是等边三角形即可求解． 本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，根据圆周角定理求角度是解题关键． 【详解】由题可得图，连接, , , 为等边三角形， ． 故答案为：6． 8．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①， 点O为坐标原点，的半径为1， 点． 动点B在上，连接， 作等边（为顺时针顺序），求的最大值． 【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接， 以为边在 的左侧作等边三角形 ， 连接． （1） 请你找出图中与相等的线段，并说明理由； （2） 线段的最大值为 ． 【灵活运用】 （3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为， 点 P 为线段 外一动点， 且，求线段长的最大值． 【迁移拓展】 （4）如图③， ， 点D 是以为直径的半圆上不同于 B、C的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】 （1）与相等的线段是，理由如下， 根据题意，，是等边三角形，作图如下，连接， ∴， ∴点在以点为圆心，以为半径的上， ∵，是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴与相等的线段是， 故答案为：； （2）；（3）的值最大是；（4）的最大值为，最小值为． 【分析】（1）根据题意作图，连接，根据等边三角形的性质可证，由此即可求解； （2）根据题意可得的最大值即为的最大值，当点三点共线时，的值最大，由的半径为1， 点，得到的最大值为，由此即可求解； （3）根据题意，将绕点顺时针旋转后，点与点重合，点的对应点为点，如图所示，得到，，则是等腰直角三角形，则有的最大值即为的最大值，当点三点共线时，，即最大值为，分别求出，的值即可求解； （4）根据题意，分类讨论：以为边的等边在左侧时，以为边作等边，连接，可证，得到，则有的最大值即为的最大值，当时，的值最大，即经过垂直于时的直径时，的值最大；当以为边的等边在右侧时，以为边作等边，连接，可证，得到，则有的最小值即可为的最小值，当时，的值最小；根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）∵， ∴的最大值即为的最大值， 在中， ∵， ∴当点三点共线时，的值最大， ∵的半径为1， 点， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：； （3）∵， ∴将绕点顺时针旋转后，点与点重合，点的对应点为点，如图所示，则， ∴，，则是等腰直角三角形， ∴的最大值即为的最大值， ∵， ∴当点三点共线时，，即最大值为， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的值最大是， ∴的值最大是； （4）如图所示，以为边的等边在左侧时，以为边作等边，连接， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴的最大值即为的最大值， ∵点D 是以为直径的半圆上不同于 B、C的一个动点， ∴当时，的值最大，即经过垂直于时的直径时，的值最大，如图所示，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为； 如图所示，当以为边的等边在右侧时，以为边作等边，连接， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值即可为的最小值，当时，的值最小， 同理，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； 综上所述，的最大值为，最小值为． 【点睛】本题主要考查坐标于图形，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的基础知识的综合运用，掌握圆的基础知识，正确作出辅助线，构造三角形全等，数形结合分析思想是解题的关键． 90°圆周角所对弦是直径题型05 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·质检）下列图形中的线段是圆的直径的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理推论：度的圆周角所对的弦是直径，据此逐项分析即可得出答案 【详解】解：A．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； B．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； C．图中直角是圆周角，所以线段是圆的直径，故选项符合题意； D．图中直角是圆周角，但是点A不在圆上，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）数学课堂上，王老师带同学们利用直角三角尺检查某种半圆形零件是否合格，下列四个零件中，合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，根据直角所对的弦为直径，进行判断即可． 【详解】解：由直角所对的弦为直径，可知，只有选项C中的零件是合格的； 故选C． 3．如图，在中，，，以点O为圆心的量角器（半圆O）的直径和重合，零刻度落在点B处（即从点B处开始读数），点D是上一点，连结并延长交半圆于点P，若，则点P在量角器上显示的读数为（    ）度 A．64 B．26 C．52 D．32 【答案】C 【分析】连接，根据，可得点C在点O为圆心的圆上，从而得到，再求出的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴点C在点O为圆心的圆上， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点P在量角器上显示的读数为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据题意得到点C在点O为圆心的圆上是解题的关键． 4．如图，观察图中的尺规作图痕迹，若，，则______． 【答案】3 【分析】由作图知，BF是线段DE的垂直平分线，再证明CB=BD，即可求解． 【详解】解：由作图知，BF是线段DE的垂直平分线，BF交DE于G， ∴EG=GD， ∵∠CED=90°， ∴BG∥CE， ∴CB=BD， ∴BE=CD=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，直角三角形斜边上中线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 5．（25-26九年级上·期末）如图，以点为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么_______． 【答案】##35度 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据“的圆周角所对的弦是直径”，可得点在圆上，再根据圆周角定理，计算即可求解． 【详解】解：由题可知，，则， 量角器的直径与直角三角板的斜边重合，， 点在圆上， ． 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，直线、分别经过点、，且．若直线关于对称的直线为，直线关于对称的直线为，直线、交于点，则的最大值为______． 【答案】 【分析】由坐标及勾股定理可得，再根据垂心的定义、轴对称、平行线的性质、直角三角形的性质可得；说明点P在以为直径的圆O上，C、O、P共线时最大；再根据内心的意义、等面积法确定点C的坐标，然后确定的长，最后求得的值即可． 【详解】解：∵，点， ∴， 如图：过C分别作的垂线，垂足为E、F、G， ∵点是的内心， ∴, ∵直线关于对称的直线为，直线关于对称的直线为，直线、交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即, ∴点P在以为直径的圆O上，C、O、P共线时最大， ∴，, ∵, ∴,即， ∴, ∴, ∴， ∴的最大值为为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了内心的定义、勾股定理、平行线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理等知识点，发现点P在以AB为直径的圆O上，C、O、P共线时最大成为解题的关键． 7．如图，圆周角．若连接，则过圆心O吗？为什么？    【答案】 过圆心O．理由如下： 如图，分别连接，    ∵， ∴，即B、O、C三点在一条直线上， ∴是的直径， ∴过圆心O． 【分析】本题考查了圆周角定理，因为不能确定是否过圆心，所以不能直接连接，“由，得∠BOC＝180°，从而是的直径． 【详解】略 8．（2026·河南周口·模拟）如图，在平面直角坐标系中，点为原点，点是反比例函数的图像上一点，以为圆心，长为半径作，与坐标轴分别交于点，，连接． (1)求证：点是线段的中点； (2)若的面积为12，求反比例函数的解析式； (3)在（2）的条件下，若，将绕着点顺时针旋转，使点落在双曲线上的点，则点的坐标为_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据可证明是的直径，结合点是圆心，即可证明结论； （2）设点的坐标为，过点作于点，作于点，由垂径定理可得，，进而可得，，结合的面积为12，可解得，即可获得答案； （3）设点的坐标为，由题意可得，，利用完全平方公式可得，，进而可知，结合，可得，易得或，求解即可获得答案． 【详解】（1）证明：， 是的直径， 点是圆心， 点是线段的中点； （2）设点的坐标为，如图，过点作于点，作于点， 由垂径定理可得，， ，， 的面积为12， ，即， ， ， ， 反比例函数的解析式为； （3）设点的坐标为， 由题意可得，， ， ， ∴， ，， ∴， 或， 解得或， 点的坐标为或． 圆内接四边形题型01 1．若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】运用正方形的性质，以及与外接圆的关系，可求出边心距． 【详解】解：∵一个正方形的周长为24， ∴正方形的边长为6， 由中心角只有四个可得出360°÷4=90°， ∴中心角是：90°， ∴边心距是边长的一半，为3， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质与正方形与它的外接圆的关系，题目比较典型． 2．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，利用方程解决问题，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，设的半径为，根据垂径定理得，列关于半径的方程求解即可． 【详解】解：连接，设的半径为， 则，， ，， ， 是的中点， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为， 故选：C． 3．如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论； 【详解】解：连接BD， ∵ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A ∵ ∴ ∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120° ∵ ∴△CBE为等边三角形 ∴∠BCE＝∠A=60°， ∵点C为的中点， ∴∠CDB＝∠DBC=30° ∴∠ABD=90°，∠ADB=30° ∴AD为直径 ∵AB=2 ∴AD=2AB=4 ∴的面积是= 故答案选：D 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键． 4．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为______． 【答案】 【分析】连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积． 【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，． 则，． ∵， ∴//， ∴ ∴BE=CD， ∵ ∴． 在Rt△中，AB=10， 所以，由勾股定理得， ∴． 所以圆的面积为． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键． 5．如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是______． 【答案】 【分析】根据题意得出正方形的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个正方形的最小圆面的半径． 【详解】解：如图所示：点O为正方形的外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 故答案为： 【点睛】此题考查了正方形的外接圆与外心，解题关键是得出外接圆圆心位置． 6．如图，四边形为菱形，为对角线，在射线，上分别有动点E，F，在射线上有动点P，连接，已知，，记，，若，则的长为________． 【答案】 【分析】如图，连接交于点，过点作于点，过点作于点，根据四边形为菱形，得出，从而得，，求出，则，结合，得出，根据角平分线的性质得出，从而得出，根据，得出点四点共圆，得出，根据，得出，，证出，从而得，根据等腰三角形的性质和勾股定理得出，从而算出，根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作于点，过点作于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴ ∴ ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴点四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题考查了四点共圆，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 7．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，求大正方形的面积． 【答案】64cm2 【分析】连接OA、OB、OE，证Rt△ADO≌Rt△BCO，推出OD=OC，设AD=a，则OD=a，由勾股定理求出OA=OB=OE=a，求出EF=FC=4cm，在△OFE中由勾股定理求出a，即可求出答案． 【详解】解：连接OA、OB、OE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=BC，∠ADO=∠BCO=90°， ∵在Rt△ADO和Rt△BCO中 ∵， ∴Rt△ADO≌Rt△BCO， ∴OD=OC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC， 设AD=acm，则OD=OC=DC=AD=acm， 在△AOD中，由勾股定理得：OA=OB=OE=acm， ∵小正方形EFCG的面积为16cm2， ∴EF=FC=4cm， 在△OFE中，由勾股定理得：(a)2=42+(a+4)2， 解得：a=-4（舍去），a=8， ∴正方形面积为 故答案为：64cm²． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，用的数学思想是方程思想． 8．（24-25九年级上·江苏盐城·月考）【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小明在完成此题解答后提出：如图2，若的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【直接应用】 （2）如图3，锐角中，是高线，于G，于F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图4，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为D、E．则的最小值为 ． （4）如图5，小明完成上面的问题后发现的两条高相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图6，已知是的外接圆，是的高，相交于点P．若，请直接写出的面积 ．（结果请用m，n的代数式表示，并保留） 【答案】 （1）证明：点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由如下： 如图：连接， ∵M是的中点， ∴ ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴ ∴ ∴点B、C、D、E四点也在同一个圆上； 点A、D、O、E四点在同一个圆上，理由如下： 如图，连接，取的中点N，连接， 则 ， ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴， ∴， ∴点A、D、O、E四点在同一个圆上； （2）证明：由于与共斜边， ∴B、C、D、E四点共圆． ∴， 同理与共斜边， ∴D、E、F、G四点共圆． ∴， ∴． ∴． （3）； （4）． 【分析】本题主要考查了圆周角定理、四点共圆、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识点，正确画出图形、掌握并灵活运用四点共圆成为解题的关键． （1）做辅助线构造直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到相等的线段，最后根据等量代换及圆的定义解答即可； （2）通过四点共圆及圆周角定理得到，然后根据同位角相等两直线平行即可证明结论； （3）如图，连接，设中点为O，连接，易得P，D，C，E四点共圆，为直径，O为圆心，再结合等腰三角形的性质可得；设圆O的半径为r， 如图：过O作，易得，要使最小，则的半径r最小，故直径最小，当时，，即；最后代入即可解答； （4）如图：连接并延长交于Q，连接，则；如图：连接并延长交于F，即，进而证明四边形是平行四边形可得，再运用勾股定理可得，即的半径为，最后根据圆的面积公式即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，连接，设中点为O，连接， ∵ ∴P，D，C，E四点共圆，为直径，O为圆心， ∴， ， ∴， 设圆O的半径为r， 如图：过O作， ∴， ∴，即， 要使最小，则的半径r最小，故直径最小． 当时，运用等边三角形的性质及勾股定理可得， ∴ ∴． （4）如图：连接并延长交于Q，连接， ∴， 如图：连接并延长交于F，即， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即的半径为， ∴的面积为． 圆内接四边形题型02 1．若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】运用正方形的性质，以及与外接圆的关系，可求出边心距． 【详解】解：∵一个正方形的周长为24， ∴正方形的边长为6， 由中心角只有四个可得出360°÷4=90°， ∴中心角是：90°， ∴边心距是边长的一半，为3， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质与正方形与它的外接圆的关系，题目比较典型． 2．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，利用方程解决问题，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，设的半径为，根据垂径定理得，列关于半径的方程求解即可． 【详解】解：连接，设的半径为， 则，， ，， ， 是的中点， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为， 故选：C． 3．如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论； 【详解】解：连接BD， ∵ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A ∵ ∴ ∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120° ∵ ∴△CBE为等边三角形 ∴∠BCE＝∠A=60°， ∵点C为的中点， ∴∠CDB＝∠DBC=30° ∴∠ABD=90°，∠ADB=30° ∴AD为直径 ∵AB=2 ∴AD=2AB=4 ∴的面积是= 故答案选：D 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键． 4．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为______． 【答案】 【分析】连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积． 【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，． 则，． ∵， ∴//， ∴ ∴BE=CD， ∵ ∴． 在Rt△中，AB=10， 所以，由勾股定理得， ∴． 所以圆的面积为． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键． 5．如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是______． 【答案】 【分析】根据题意得出正方形的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个正方形的最小圆面的半径． 【详解】解：如图所示：点O为正方形的外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 故答案为： 【点睛】此题考查了正方形的外接圆与外心，解题关键是得出外接圆圆心位置． 6．如图，四边形为菱形，为对角线，在射线，上分别有动点E，F，在射线上有动点P，连接，已知，，记，，若，则的长为________． 【答案】 【分析】如图，连接交于点，过点作于点，过点作于点，根据四边形为菱形，得出，从而得，，求出，则，结合，得出，根据角平分线的性质得出，从而得出，根据，得出点四点共圆，得出，根据，得出，，证出，从而得，根据等腰三角形的性质和勾股定理得出，从而算出，根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作于点，过点作于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴ ∴ ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴点四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题考查了四点共圆，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 7．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，求大正方形的面积． 【答案】64cm2 【分析】连接OA、OB、OE，证Rt△ADO≌Rt△BCO，推出OD=OC，设AD=a，则OD=a，由勾股定理求出OA=OB=OE=a，求出EF=FC=4cm，在△OFE中由勾股定理求出a，即可求出答案． 【详解】解：连接OA、OB、OE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=BC，∠ADO=∠BCO=90°， ∵在Rt△ADO和Rt△BCO中 ∵， ∴Rt△ADO≌Rt△BCO， ∴OD=OC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC， 设AD=acm，则OD=OC=DC=AD=acm， 在△AOD中，由勾股定理得：OA=OB=OE=acm， ∵小正方形EFCG的面积为16cm2， ∴EF=FC=4cm， 在△OFE中，由勾股定理得：(a)2=42+(a+4)2， 解得：a=-4（舍去），a=8， ∴正方形面积为 故答案为：64cm²． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，用的数学思想是方程思想． 8．（24-25九年级上·江苏盐城·月考）【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小明在完成此题解答后提出：如图2，若的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【直接应用】 （2）如图3，锐角中，是高线，于G，于F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图4，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为D、E．则的最小值为 ． （4）如图5，小明完成上面的问题后发现的两条高相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图6，已知是的外接圆，是的高，相交于点P．若，请直接写出的面积 ．（结果请用m，n的代数式表示，并保留） 【答案】 （1）证明：点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由如下： 如图：连接， ∵M是的中点， ∴ ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴ ∴ ∴点B、C、D、E四点也在同一个圆上； 点A、D、O、E四点在同一个圆上，理由如下： 如图，连接，取的中点N，连接， 则 ， ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴， ∴， ∴点A、D、O、E四点在同一个圆上； （2）证明：由于与共斜边， ∴B、C、D、E四点共圆． ∴， 同理与共斜边， ∴D、E、F、G四点共圆． ∴， ∴． ∴． （3）； （4）． 【分析】本题主要考查了圆周角定理、四点共圆、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识点，正确画出图形、掌握并灵活运用四点共圆成为解题的关键． （1）做辅助线构造直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到相等的线段，最后根据等量代换及圆的定义解答即可； （2）通过四点共圆及圆周角定理得到，然后根据同位角相等两直线平行即可证明结论； （3）如图，连接，设中点为O，连接，易得P，D，C，E四点共圆，为直径，O为圆心，再结合等腰三角形的性质可得；设圆O的半径为r， 如图：过O作，易得，要使最小，则的半径r最小，故直径最小，当时，，即；最后代入即可解答； （4）如图：连接并延长交于Q，连接，则；如图：连接并延长交于F，即，进而证明四边形是平行四边形可得，再运用勾股定理可得，即的半径为，最后根据圆的面积公式即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，连接，设中点为O，连接， ∵ ∴P，D，C，E四点共圆，为直径，O为圆心， ∴， ， ∴， 设圆O的半径为r， 如图：过O作， ∴， ∴，即， 要使最小，则的半径r最小，故直径最小． 当时，运用等边三角形的性质及勾股定理可得， ∴ ∴． （4）如图：连接并延长交于Q，连接， ∴， 如图：连接并延长交于F，即， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即的半径为， ∴的面积为． 圆周角·创新性问题题型 1．（2025·山西吕梁·模拟）阅读与思考 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务 如图1，圆内接四边形的对角线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，则为的中点． 下面是部分证明过程： ， ， ． ， ．．．．．． 任务一：请将上述过程补充完整． 任务二：如图2，在中，把边绕点顺时针旋转得到，把边绕点逆时针旋转得到．连接，取的中点，连接并延长交于点，延长至点，使，连接． （1）求证：． （2）若，则的长为___________． 【答案】 任务一：证明：， ， ， ， ， ， 同理， ， 为的中点． 任务二：（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 任务一：根据余角的性质证明，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得出，得出，根据等腰三角形的判定得出，同理得出，即可得出结论； 任务二：（1）先证明四边形是平行四边形，得出，证明，得出，根据，得出，即可证明结论； （2）作于点，根据直角三角形的性质求出，求出，根据勾股定理求出，根据等腰三角形的性质求出． 【详解】任务一：略 任务二：（1）略 （2）如图，作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·月考）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【答案】 （1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，； （3）． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论； （2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得出； （3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 【点睛】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图①，在中，劣弧的度数为，点是优弧上的动点，且不与点重合，弦的垂直平分线分别交射线，弦于点． (1)求证：是等边三角形； (2)能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； (3)若的半径为2，则面积的最大值是______． 【答案】(1) 证明：连接，， ∵劣弧的度数为， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形； (2)的度数为，，． (3) 【分析】（1）连接，，证明，，从而可得结论； （2）如图，连接，，由为等边三角形，，结合，可得，如图，当重合时，，为等腰三角形，可得，如图，当时，连接，由，可得， （3）解：如图，连接，证明，可得，取的中点，连接，，，，，过作于，当过时，最大，可得最大，则最大，再进一步解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，， ∵是的垂直平分线， ∴在上， ∵为等边三角形， ∴， ∵为等腰三角形，此时， ∴， 如图，当重合时，，为等腰三角形， ∴同理可得：， ∴， 如图，当时，连接， ∴， 同理：在上， ∵， ∴， 综上：的度数为，，． （3）解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴在上，， ∵，， ∴， ∴， 取的中点，连接，，，，， ∵由等边三角形可得， ∴， ∴在以为圆心，为半径的上， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴在上， 过作于，当过时，最大， ∴最大，则最大， 此时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最大面积为． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，弦，弧，圆心角的关系的应用，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 4．（25-26九年级·期末）内接于，，请用直尺和圆规在上找一点（不与点，重合），使．如下是小温、小州两位同学的作图过程． 请你选择其中一种做法，判断对错，并说明理由． 解：我选择__________（填“小温”或“小州”）的作法，该作法是__________的（填“正确”或“错误”），理由如下： 【答案】 若选择小温的作法（图1），则该作法是正确的 理由如下：连结， ， ， ． 若选择小州的作法（图2），则该作法是错误的， 理由如下：连结， ， ∴， ， ． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，小温的作法正确，连结，可证明，得到；小州的作法错误，连结，可证明，得到，则可求出． 【详解】略 5．如图，已知四边形内接于，为其中一条对角线． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，若经过圆心O，连接， ，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）四边形内接于，，则，即可求解； （2）连接，由， ，得；再由同弧所对的圆周角相等可得；由是的直径，得，从而求得． 【详解】（1）解：∵四边形内接于，， ， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，弧、弦及圆周角的关系，直径对的圆周角为直角，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 6．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在⊙O中，是上的点（不与点重合），连接并延长至点，连接并延长至点．连接． (1)求证：． (2)若的面积为27，求的半径． 【答案】(1) 证明：点均在上， 四边形为圆内接四边形， ． 又． ∴， ， 又， (2)的半径为5 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，垂径定理，勾股定理等知识．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． （1）由四边形为圆内接四边形，得到，进而可得，再根据同弧(或等弧)所对圆周角相等得出，由对顶角相等可得，进而证明结论； （2）过点作于点，连接，根据垂径定理可知点O在上，，由求出，设，则．根据在中， ，列方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图，过点作于点． 为的垂直平分线， 点在上， ． ，即， ，解得． 设，则． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 的半径为5． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $