3.6 正多边形【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区）

3.6 正多边形【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区） 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 6 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．正六边形的中心角的度数是（　　） A．30°　B．60°　C．90°　D．120° 【答案】B 正 n 边形的中心角等于 。正六边形的边数 n＝6，所以中心角为 ＝60°。 2．若一个正多边形的每一个外角都等于 45°，则它的边数是（　　） A．6　B．7　C．8　D．9 【答案】C 任意多边形的外角和都等于 360°。正多边形的各个外角都相等，所以边数等于 360° 除以每个外角的度数，即 ＝8。 3．正八边形的对称轴的条数为（　　） A．4　B．6　C．8　D．16 【答案】C 正 n 边形共有 n 条对称轴：n 为偶数时，其中 条经过相对的两个顶点，另外 条经过相对两边的中点。正八边形的边数 n＝8，所以对称轴有 8 条。 4．外接圆半径为 4 的正六边形，其边长为（　　） A．2　B．　C．4　D． 【答案】C 正六边形的中心角为 60°。设它的外接圆圆心为 O，相邻两个顶点为 A、B，则 OA＝OB＝4，∠AOB＝60°，所以 △OAB 是等边三角形，AB＝OA＝4。即正六边形的边长等于它的外接圆半径。 5．已知正三角形的外接圆半径为 2，则它的边长为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 设正三角形 ABC 的外接圆圆心为 O，D 为边 BC 的中点。把顶点与重心相连，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍，所以 OD＝OA＝1。在 Rt△OBD 中，BD＝＝＝，所以边长 BC＝2BD＝。 6．如图，正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O，边心距 OM＝，则它的边长为（　　） A．1　B．2　C．　D．4 【答案】B 边心距 OM 垂直于边 AB，M 是 AB 的中点，所以 AM＝AB。正六边形的中心角 ∠AOB＝60°，又 OA＝OB，所以 △AOB 是等边三角形。在 Rt△AOM 中，∠AOM＝30°，它对的直角边 AM 等于斜边 OA 的一半，设 AM＝x，则 OA＝2x。由勾股定理得 ＝，解得 x＝1，所以边长 AB＝2x＝2。 7．边长为 2 的正六边形，其面积等于（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 连结正六边形的中心和六个顶点，把它分成 6 个全等的等边三角形，每个三角形的边长都是 2。其中一个等边三角形的底为 2、高为 ，面积为 ×2×＝。所以正六边形的面积为 6×＝。 8．如图，正五边形 ABCDE 的两条对角线 AC 与 BD 相交于点 P，则 ∠APB 的度数是（　　） A．72°　B．90°　C．108°　D．120° 【答案】C 正五边形的每个内角为 ＝108°。在 △ABC 中，AB＝BC，∠ABC＝108°，所以 ∠BAC＝∠BCA＝＝36°；同理 ∠ABD＝36°。在 △ABP 中，∠PAB＝∠PBA＝36°，所以 ∠APB＝180°－36°－36°＝108°。 9．正三角形、正方形、正六边形的外接圆半径都等于 R，则它们的边长之比为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 设外接圆半径都是 R。正三角形中，外心到顶点的距离是它到对边距离的 2 倍，而高等于这两段长度之和，所以高为 R；再由勾股定理可求得它的边长为 R。正方形的对角线是直径 2R，所以边长为 ＝R。正六边形相邻两顶点与中心构成等边三角形，边长等于 R。因此三者的边长之比为 R∶R∶R＝。 10．如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正六边形 ABCDEF 的中心与原点 O 重合，边 AB 平行于 x 轴且在 x 轴上方。将点 A 绕原点 O 逆时针旋转，每次旋转 90°，则第 2026 次旋转结束时点 A 的坐标是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 正六边形的中心角为 60°，外接圆半径等于边长 2。由 AB 平行于 x 轴且在 x 轴上方，可得边心距为 ，即 A、B 到 x 轴的距离都是 ，A 的横坐标为 1，所以 A。点 A 绕原点每旋转 90° 到下一个位置，4 次旋转为一个循环，回到原处。因为 2026＝4×506＋2，所以第 2026 次旋转结束时点 A 与第 2 次旋转结束时的位置相同，即转过 180°。横、纵坐标都变为原来的相反数，得 。 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．如图，正方形 ABCD 内接于 ⊙O。若这个正方形的边长为 2，则 ⊙O 的半径是　　　　　。 【答案】 正方形的外接圆圆心是两条对角线的交点，外接圆的直径就是正方形的对角线。对角线长为 ＝，所以半径等于 。 12．正七边形的内角和等于　　　　　度。 【答案】900 n 边形的内角和为 。正七边形的边数 n＝7，所以内角和为 ＝900°。 13．如图，正八边形 ABCDEFGH 内接于 ⊙O，则 ∠AOB 的度数是　　　　　。 【答案】45 正八边形的八个顶点把 ⊙O 分成 8 段相等的弧，每一段弧所对的圆心角就是正八边形的中心角，等于 ＝45°。所以 ∠AOB＝45°。 14．如图，边长为 4 的正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O，则对角线 AC 的长是　　　　　。 【答案】 正六边形的边长等于外接圆半径，所以 OA＝OC＝4，且 ∠AOB＝∠BOC＝60°，于是 ∠AOC＝120°。过点 O 作 OH⊥AC，垂足为 H。因为 △AOC 是顶角 120°、腰长 4 的等腰三角形，所以底角为 30°，于是 OH＝OA＝2。由勾股定理 AH＝＝，所以 AC＝2AH＝。 15．正三角形的边心距为 1，则它的外接圆的半径是　　　　　。 【答案】2 正三角形的外接圆圆心同时也是内切圆圆心。这个点到顶点的距离就是外接圆半径 R，到边的距离就是边心距 r。由三角形的重心性质，该点到顶点的距离是它到对边距离的 2 倍，即 R＝2r。由 r＝1 得 R＝2。 16．正方形 ABCD 与正六边形 EFGHIJ 都内接于 ⊙O（如图），⊙O 的半径为 2。则正方形的边长与正六边形的边长之比是　　　　　。 【答案】 外接圆半径为 2 时，正方形的对角线等于直径 4，所以它的边长为 ＝；正六边形的边长等于它的外接圆半径，为 2。因此正方形与正六边形的边长之比为 ＝。 三、解答题（本题有 6 小题，共 46 分） 17．（7 分）关于正多边形的定义，小明和小红有不同的看法。小明认为：各边都相等的多边形是正多边形。小红认为：各角都相等的多边形是正多边形。如图，左图是一个菱形，右图是一个矩形。 (1) 小明的说法正确吗？请结合左图说明理由； (2) 小红的说法正确吗？请结合右图说明理由； (3) 综合以上讨论，怎样给正多边形下定义才准确？ 【答案】(1) 不正确，理由见解析；(2) 不正确，理由见解析；(3) 各边相等且各角相等的多边形是正多边形 (1) 小明的说法不正确。左图是菱形，它的四条边都相等，但四个角一般不相等（只有正方形才各角都相等）。所以「各边相等」不能保证一个多边形是正多边形。 (2) 小红的说法不正确。右图是矩形，它的四个角都等于 90°、各角都相等，但相邻两边的长一般不相等（只有正方形才各边都相等）。所以「各角相等」也不能保证一个多边形是正多边形。 (3) 正多边形必须同时满足各边相等与各角相等，所以准确的说法是：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形，两个条件缺一不可。 18．（7 分）已知一个正多边形的一个内角与一个外角的度数之比为 7∶2。 (1) 求这个正多边形的每个外角的度数； (2) 求这个正多边形的边数。 【答案】(1) 40°；(2) 9 (1) 在正多边形的同一个顶点处，内角与它相邻的外角互补，两角的度数和为 180°。把 180° 按 7∶2 分配，每个外角的度数为 180°×＝40°。 (2) 正多边形的各个外角都相等，且外角和为 360°，所以边数等于 ＝9。 19．（8 分）⊙O 的半径为 6，它的内接正六边形为 ABCDEF（如图）。 (1) 求中心角 ∠AOB 的度数； (2) 不通过计算，直接说明正六边形的边长为什么等于 ⊙O 的半径。 【答案】(1) 60°；(2) 证明见解析 (1) 正六边形的六个顶点把 ⊙O 分成 6 段相等的弧，所以中心角 ∠AOB＝＝60°。 (2) 因为 OA 与 OB 都是 ⊙O 的半径，所以 OA＝OB，△AOB 是等腰三角形。又它的顶角 ∠AOB＝60°，由三角形内角和得 ∠OAB＝∠OBA＝60°，于是 △AOB 的三个角都相等，它是等边三角形。所以正六边形的边长 AB＝OA，即等于 ⊙O 的半径。 20．（8 分）正多边形都有很好的对称性。 (1) 正十二边形有几条对称轴？它是不是中心对称图形？ (2) 一个正多边形绕它的中心旋转 40° 后能够与自身重合，求这个正多边形边数的最小值。 【答案】(1) 12 条，是；(2) 9 (1) 正 n 边形有 n 条对称轴，所以正十二边形有 12 条对称轴。因为 12 是偶数，它的对称轴中有一半经过相对的两个顶点，绕中心旋转 180° 后能与自身重合，所以正十二边形是中心对称图形。 (2) 正 n 边形绕中心旋转一个中心角 后与自身重合。只要 40° 是这个中心角的整数倍，旋转 40° 就能与自身重合，即存在正整数 k 使 k×＝40°，得 n＝9k，所以 n 的最小值为 9（此时中心角恰好是 40°，旋转一次即与自身重合）。 21．（8 分）正五边形 ABCDE 内接于 ⊙O，连结 BE（如图）。 (1) 求 ∠BAE 的度数； (2) 求 ∠ABE 的度数； (3) 判断 △ABE 的形状，并说明理由。 【答案】(1) 108°；(2) 36°；(3) 等腰三角形 (1) ∠BAE 是正五边形的一个内角，等于 ＝108°。 (2) 因为 AB 与 AE 都是正五边形的边，所以 AB＝AE，△ABE 是等腰三角形。由 (1) 得顶角 ∠BAE＝108°，所以 ∠ABE＝∠AEB＝＝36°。 (3) △ABE 是等腰三角形。理由：正五边形的各边都相等，所以 AB＝AE，两边相等的三角形是等腰三角形。它的三个内角分别是 108°、36°、36°，其中顶点 A 处的角恰好是正五边形的一个内角。 22．（8 分）正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O，⊙O 的半径为 2（如图）。连结 AC、CE、EA，得到 △ACE。 (1) 求证：△ACE 是等边三角形； (2) 求 △ACE 的边长； (3) 求图中阴影部分（圆内且在 △ACE 外部）的面积（结果保留 π）。 【答案】(1) 证明见解析；(2) ；(3) (1) 正六边形的六条边都相等，所以六段弧也相等，每段弧所对的圆心角都是 60°。点 A 与点 C 之间隔着一个顶点 B，所以 ∠AOC＝60°＋60°＝120°；同理 ∠COE＝∠EOA＝120°。圆心角相等，它们所对的弦也相等，所以 AC＝CE＝EA，△ACE 是等边三角形。 (2) 由 (1) 知 ∠AOC＝120°，又 OA＝OC＝2。过点 O 作 OH⊥AC，垂足为 H。因为 △AOC 是顶角 120°、腰长 2 的等腰三角形，所以底角为 30°，于是 OH＝OA＝1。由勾股定理 AH＝＝，所以 AC＝2AH＝。 (3) ⊙O 的面积为 π×＝。等边三角形 ACE 的边长为 ，它的面积为 ×＝×12＝。所以阴影部分的面积为 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.6 正多边形【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区） 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 6 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．正六边形的中心角的度数是（　　） A．30°　B．60°　C．90°　D．120° 2．若一个正多边形的每一个外角都等于 45°，则它的边数是（　　） A．6　B．7　C．8　D．9 3．正八边形的对称轴的条数为（　　） A．4　B．6　C．8　D．16 4．外接圆半径为 4 的正六边形，其边长为（　　） A．2　B．　C．4　D． 5．已知正三角形的外接圆半径为 2，则它的边长为（　　） A．　B．　C．　D． 6．如图，正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O，边心距 OM＝，则它的边长为（　　） A．1　B．2　C．　D．4 7．边长为 2 的正六边形，其面积等于（　　） A．　B．　C．　D． 8．如图，正五边形 ABCDE 的两条对角线 AC 与 BD 相交于点 P，则 ∠APB 的度数是（　　） A．72°　B．90°　C．108°　D．120° 9．正三角形、正方形、正六边形的外接圆半径都等于 R，则它们的边长之比为（　　） A．　B．　C．　D． 10．如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正六边形 ABCDEF 的中心与原点 O 重合，边 AB 平行于 x 轴且在 x 轴上方。将点 A 绕原点 O 逆时针旋转，每次旋转 90°，则第 2026 次旋转结束时点 A 的坐标是（　　） A．　B．　C．　D． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．如图，正方形 ABCD 内接于 ⊙O。若这个正方形的边长为 2，则 ⊙O 的半径是　　　　　。 12．正七边形的内角和等于　　　　　度。 13．如图，正八边形 ABCDEFGH 内接于 ⊙O，则 ∠AOB 的度数是　　　　　。 14．如图，边长为 4 的正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O，则对角线 AC 的长是　　　　　。 15．正三角形的边心距为 1，则它的外接圆的半径是　　　　　。 16．正方形 ABCD 与正六边形 EFGHIJ 都内接于 ⊙O（如图），⊙O 的半径为 2。则正方形的边长与正六边形的边长之比是　　　　　。 三、解答题（本题有 6 小题，共 46 分） 17．（7 分）关于正多边形的定义，小明和小红有不同的看法。小明认为：各边都相等的多边形是正多边形。小红认为：各角都相等的多边形是正多边形。如图，左图是一个菱形，右图是一个矩形。 (1) 小明的说法正确吗？请结合左图说明理由； (2) 小红的说法正确吗？请结合右图说明理由； (3) 综合以上讨论，怎样给正多边形下定义才准确？ 18．（7 分）已知一个正多边形的一个内角与一个外角的度数之比为 7∶2。 (1) 求这个正多边形的每个外角的度数； (2) 求这个正多边形的边数。 19．（8 分）⊙O 的半径为 6，它的内接正六边形为 ABCDEF（如图）。 (1) 求中心角 ∠AOB 的度数； (2) 不通过计算，直接说明正六边形的边长为什么等于 ⊙O 的半径。 20．（8 分）正多边形都有很好的对称性。 (1) 正十二边形有几条对称轴？它是不是中心对称图形？ (2) 一个正多边形绕它的中心旋转 40° 后能够与自身重合，求这个正多边形边数的最小值。 21．（8 分）正五边形 ABCDE 内接于 ⊙O，连结 BE（如图）。 (1) 求 ∠BAE 的度数； (2) 求 ∠ABE 的度数； (3) 判断 △ABE 的形状，并说明理由。 22．（8 分）正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O，⊙O 的半径为 2（如图）。连结 AC、CE、EA，得到 △ACE。 (1) 求证：△ACE 是等边三角形； (2) 求 △ACE 的边长； (3) 求图中阴影部分（圆内且在 △ACE 外部）的面积（结果保留 π）。 学科网（北京）股份有限公司 $