第十七章 因式分解（2核心+7题型+3难点+复习讲义）数学新教材人教版八年级上册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十七章因式分解 复习目标 1.理解因式分解的概念，能准确区分因式分解与整式乘法是方向相反的变形（前者“和 差化积”，后者“积化和差”)。 2.掌握提公因式法，能准确确定公因式（系数取最大公约数、字母取相同字母最低次 幂)，区分单项式公因式与多项式整体公因式的处理方式。 复习要点 3.掌握平方差公式(a2-b2=(a+b)(a-b)与完全平方公式(a22ab+b2-(a地b)2),能区分 两个公式的适用条件（两项异号Vs三项首尾平方同号）。 4.掌握因式分解的一般步骤“一提、二套、三检查”，理解“分解彻底”的要求，能按 规范流程完成因式分解。 5.理解因式分解在筒化运算、代数式求值及判断三角形形状等问题中的应用价值。 重点：提公因式法与公式法（平方差、完全平方）的综合运用，以及“一提二套三检 查”的规范分解流程。 复习重难点 难点：准确判断多项式结构以选择适当方法，避免公式混淆与符号错误，并确保分解到 “不能再分解为止”的彻底性。 理脉络 知识体系构建 1/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 概念：多项式化成几个整式的积 因式分解的定义 与整式乘法互为逆变形 ~分解原则：分解到每个因式不能再分解为止 公因式确定：系数取最大公因数，字母取最低次 条 提公因式法 提公因式后括号内为各项除以公因式的商 知识梳理 首项为负时提出负号，括号内各项变号 平方差公式：a?-b=(a+b)(ab)一适用条件：二项式、两项异号且可化为平方 公式法 完全平方公式：a±2ah+b2=(a±b)2一适用条件：三项式、首尾为平方中间为2倍积 般步骤：一提公因式、二套公式、三检查 分解步骤与策略 分解顺序：先看公因式，再看能否用公式 验证方法：因式相乘展开与原式相等 混淆因式分解与整式乘法 因式分解 漏提公因式或提后括号内漏项 公因式系数或指数确定错误 提出负公因式后括号内未变号 易错点 平方差公式误用：非平方差强行套用或符号判断 错误 完全平方公式误用：中间项不是±2ab或符号判断 错误 分解不彻底：提公因式后仍可用公式却提前停止 学法指导 结果写成和的形式而非积的形式 提公因式法分解因式 用平方差公式分解二项式 用完全平方公式分解三项式 高频考点 先提公因式再用公式的多步综合分解 因式分解与整式乘法的互逆关系应用 利用因式分解进行简便计算 因式分解在代数式求值中的应用 过主干 核心内容整合 知识点 因式分解的概念 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫分解因式）。 2.与整式乘法的关系： 互逆关系：因式分解与整式乘法是方向相反的恒等变形。 区别：整式乘法是“积化和差”，结果是多项式；因式分解是“和差化积”，结果是整式的乘积形式。 验证方法：可用整式乘法（将因式相乘）的结果与原多项式对比，来验证因式分解的正确性。 2/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 口要点速测 1.(26-27九年级上陕西西安开学考试)下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的是() 2x2+2xy=2x(x+y) B.(（x+x-2)=(x-2)x+) C.2-x-2=x(x-)-2 2。(25-25八年级下陕西汉中期末)已知整式4-“分解因式的结果为4(+5x-5),则a= 3.(25-26八年级下广东揭阳·期末)仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为(x+n),得， x2-4x+m=（x+3)(x+n) 2-4x+m=x2+(n+3)x+3n 则 [n+3=-4 m=3n, 解得n=-7,m=-21, :另一个因式为x-7),m的值为-21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式+x+m有个因式是任+2），求另一个因式以及m的位 ②已知二次三项式2+3x+k有一个因武是：-引，求另个因武以及人的值. 知识点 因式分解的基本方法 1.提公因式法 3/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 公因式：多项式各项都含有的相同因式。 确定公因式的方法： 系数：取各项系数的最大公约数。 字母：取各项相同的字母。 指数：相同字母取最低次幂。 步骤：a+mb+c=m(a+b+c),把公因式提到括号外面。 2.公式法 (1)平方差公式：公式：a2.b2=(a+b)(a-b)。 特征：两项式，两项符号相反，且都能写成平方的形式。 (2)完全平方公式：公式：a2+2ab+b2=(a+b:a2.2ab+b2=(a-b)2。 特征：三项式，其中有两项是平方项（且符号相同），另一项是这两个数（或式）的乘积的±2倍。 一要点速测 4.(25-26八年级下·陕西咸阳期末)对多项式2m2+8mn进行因式分解，应提取的公因式是（) A.4 B.m2 C.2m D.2n 5.(2026八年级上全国专题练习)因式分解： a(x-1)-（x-1)= 6.(25-26八年级上山东淄博阶段检测)因式分解： (1)81(a+b}'-16(a-b} 2m2-2mj'-3(m2-2m）-4 7.(26-27九年级上·陕西西安开学考试)先阅读材料，再解答问题： 因式分解：(x-2y-2(x-2)+1 解：将“x-2y”看成一个整体，设x-2y=A, 则原式=-2A+1=(A-} 再将x-2y=4代入，得原式(x-2y-」 4/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想. (1因式分解：16+8(x-)+(x-}. 9x2+6xy+y2-25 (2)因式分解： 3)应用：已知一个长方形的长为*cm，宽为cm,且满足：+-2x-2y+1=0 求该长方形的周长 研题型 高频题型突破 题型1判断是否是因式分解 ■例1(25-26八年级上·山东临沂·期末)下列各式从左到右的变形为因式分解的是() A.x2+4=(x-2)}+4x B.x-6x+9=(x-3 C.(a+1)(a-1)=a2-1 D. 解题要点 1. 看结果是否为积的形式：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积。若结果仍是和差形式（如x 2-1=(x+1)(x-1)才对，而x2-1=x(x-1/x)不对)，则不是因式分解。 2.看是否为整式且恒等：各因式必须是整式（分母不含字母），且分解前后必须恒等变形。最后需检 查是否分解彻底（每个因式不能再分解）。注意与整式乘法的区别。 ■迁移练1-1(25-26八年级上·四川泸州期末)下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（) A.m(x+y)=mx+my B.r+3x-10=(x-2)0x+5) C.m2-9+3m=(m+3)(m-3)+3m ■迁移练1-2(25-26八年级上河南周口·期末)以下变形不是因式分解的是() A.4ab=2a.2b B.x-2x=x(x-2) 5/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.r2-9=(x+3(x-3) D.a2+2a+1=(a+1 ■迁移练1-3(25-26八年级上·云南昆明期末)下列等式，从左到右的变形是因式分解的是() 3x+3y-5=3(x+y)-5 B.12xy=3x.4xy C.a2-4=(a+2)a-2) D.-1 题型2已知因式分解的结果求参数 例2(25-26八年级上江苏泰州期末)若二次三项式x2-mx-6可分解为(x-3(x+2),则m的值为 解题要点 1.展开对比系数：将己知的因式分解结果按整式乘法展开，与原来的多项式逐项对比，对应项的系数 相等，列出关于参数的方程（组），解出参数值。 2.代入特殊值或恒等：也可令因式中字母取特殊值（如0、1）简化计算，或利用恒等式两边对应项系 数相等求解。注意检验结果是否使各因式有意义，分解是否彻底。 1迁移练21(25-26八年级上江西南昌期末)若多项武+r-b因式分解的结果是：-2(x+5) 则 a+b= 1迁移练22(25-26八年级上河南周口期末)已知多项式4xy+M可分解因武为如(+9-)”）则 M为 ■迁移练2-3(25-26七年级上·上海期末)已知整式mx2+7x-20(m是常数)可以分解为两个一次因式 的积，其中一个因式是2x+5,则另一个因式是一 题型3公因式 【例3(25-26八年级上江苏泰州期末)把多项式4xy-2y分解因式时，应提取的公因式是 6/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 1.找系数与字母公因式：系数取各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母的最低次幂。 两者相乘即为公因式。 2.注意整体与符号：若多项式含括号整体（如a(x-y)与b(xy)),则括号整体可作公因式。当首项 系数为负时，通常提出“-”号，使括号内首项为正。提公因式后需检查是否分解彻底。 ■迁移练3-1(25-26八年级上河北保定·期末)将多项式6ab-3ab分解因式时，应提取的公因式是 迁移练3-2(25-26八年级上甘肃天水期末)多项式9xy-360y+3y的公因式是 迁移练3-3(24-25七年级下河北保定期末)9a2-12a+4和6a2-4a的公因式为 题型4判断能否用公式法分解因式 1例4(25-26八年级上海南海口期末)下列多项式属于完全平方式的是() A.x2-2x+4 B.x2-4x+4 C.-+ D.4x2-4x-1 解题要点 1. 对照公式结构：平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)(两项、异号、均为平方形式)；完全平方公式a 2±2ab+b2=(a±b)2(三项、首尾为平方且同号、中间为两底数积的2倍)。 2.先提后套再检验：若有公因式，先提取公因式再套公式。注意各项能否写成平方形式，中间项符号 决定是“和”还是“差”。分解后需检验能否继续分解，确保彻底。 ■迁移练41(25-26八年级上·重庆綦江期末)下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是() Ay2+2 B.2-9 Cy3-27 D.y2+6y+1 ■迁移练4-2(25-26七年级下·安徽六安·期末)下列多项式中，能用公式法分解因式的是() A.x- B.+y2 C.r2-2 D.+ 7/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■迁移练43(25-26八年级上山东烟台期中)下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是 () A.x2-1 B.4x2+4x+4 C.x2+2x+1 D.x2-2x-1 题型5综合提公因式和公式法分解因式 1例5(25-26八年级上江苏扬州期末)分解因式： (a8m2-12mn ②(-月+B- 解题要点 1. 先提后套：分解时先看各项有无公因式，若有则先提取公因式（系数取最大公约数，字母取最低次 幂，整体括号也可作公因式)。提完后看剩余因式是否符合平方差或完全平方公式结构。 2.分解彻底：套用公式后，检查每个因式能否继续分解（如平方差后可能再出平方差）。注意符号处 理，首项为负先提负号。最终结果必须是几个整式的积，且不能再分解为止。 ☐迁移练5-1(25-26八年级上山东德州期末)分解因式 a)2m(a-b)-3n(6-a) (2)16r2-64 ■迁移练5-2(25-26八年级上河南许昌·期末)因式分解： 1)r-6r2+9r (2(x2+4)-16r2 ■迁移练5-3(25-26八年级上山东烟台期末)把下列各式因式分解： 8/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 aa2+9-36a2. (24ab-12ab+8a 题型6因式分解在有理数简算中的应用 例6(25-26八年级上山东威海期末)利用因式分解计算：2028-22027= 解题要点 1.逆用乘法分配律：观察算式结构，若各项含相同因数，可逆向提取公因式，将复杂乘法转化为简便 运算（如99×101-99×1=99×(101-1）)。 2.套用公式简化：遇平方差或完全平方结构，可用公式分解后约分或合并（如1012-992=(101+99） (101-99)=200×2)。注意符号与运算顺序，结果需为最简。 ■迁移练6-1(25-26八年级下江西九江·月考)简便运算：4+4×98+982= 迁移练6-2(25-26八年级上湖北襄阳·期末)利用因式分解计算：2026×2027-20272= 迁移练6-3(25-26七年级下·北京延庆期末)在算式：①(99-10(952-)，②(982-22)962-2)，③ (962-42)(952-1) 972-32)(972-1) 中，计算结果与 相同的是 (填写序号)· 题型7利用因式分解求值 ■例7(25-26八年级上全国期末)若-y=20,且x+y=-5,则x-y值是 解题要点 1.先分解再代入：将所求代数式进行因式分解，化为几个因式的积。再把已知字母的值（或整体值） 代入，能大幅简化计算，避免直接展开的繁琐。 2.整体代换与公式：若已知条件以整体形式给出（如a+b=3,ab=2)，优先用平方差、完全平方公式 分解，再整体代入求值。注意符号与分解彻底性。 ■迁移练7-1(25-26八年级上河南漯河期末)已知a-b=V2,ab=3,则ab-ab2的值为. 9/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1迁移练72(5-26八年级上福建厦门期末)已知0>0，b>0,a+2b+2a+26-2)-5,则 a2+2ab+6b 的值是 迁移练7-3(25-26八年级上新疆乌鲁木齐期末)若实数x,y,m满足x2-2y-4y=1+m, 2y2+4xy+6=1-m ,则的值为 破难点 方法聚焦透析 难点一十字相乘法因式分解 难点1：二次项与常数项系数的拆分组合 需将二次项系数和常数项分别拆为两数之积，再交叉相乘凑一次项。难点在于拆分数对多且方向不定，尤 其系数较大时，盲目试算效率极低，需结合整除性快速筛选可能组合。 难点2：符号规律与整体意识的缺乏 常数项为正时两数同号，为负时异号，且需与一次项符号联动判断。难点在于学生易忽视符号对拆分方向 的约束，或未将多项式视为整体，导致符号错配、分解失败。 口难点精练 1.(25-26八年级上甘肃临夏·月考)阅读下列材料： 将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：2=x·x.-35=(-5)×(+7) x-5 ②交叉相乘，验中项： x+7→7x-5x=2x" x2+2x-35=(x+7)(x-5) ③横向写出两因式： 10/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法. 试用上述方法分解因式： ①+5x+4 (2)-6r-7 、2x2+x-6 (3) 2.(25-26八年级上江西上饶期末)阅读下列材料： 将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：2=xx,-35=(5)x(+7) ②交叉相乘，验中项： 5 >7x-5x=2x +7 x2+2x-35=(x+7)(x-5) ③横向写出两因式： 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法. 试用上述方法分解因式： )+5x+4 (②-6x-7 3.(25-26八年级上山东临沂期末)材料：将一个形如 +x+9的二次三项式因式分解时，如果能满 足P=m+”且9=mm,则可以把广+px+9因武分解成任+m(+川）.例如+3x+2,具体做法是先分 解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和 右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”. x2+3x+2=(x+1)(x+2) 这样，我们可以得到： 11/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 1×2+1×1=3 材料2：分解因式：（x++2(x+)+1 解：将“+少”看成一个整体，令+y=K,则原式=+2K+1=(K+,再将“K”还原，得：原 式=(x+y+1)2 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法， 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ①x2+5x+6②2x2+2x-12 (2)结合材料1和材料2，对下面小题进行因式分解： ①(x-y)+4(x-y)+3②(2a+3b)2-4(2a+3b)-12 难点二分组分解法因式分解 难点1：分组方式的多样性与目标性 多项式需合理分组，使各组能提取公因式或套用公式。难点在于分组不唯一，需预判哪组能产生后续可提 取的公因式，若盲目分组则各组无法衔接，分解中断。 难点2：组间公因式的衔接与符号处理 分组后需保证两组间有整体公因式可提。难点在于处理含负号或需补项的式子，常需调整分组或提取负号 使组间结构统一，学生易忽略符号变化导致公因式识别失败。 难点精练 1,(25-26八年级上·重庆合川期末)阅读下列材料：分解因式：2axr-10ay+5hy-bx, 12/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法一：原式=(2ar-10aw)+(5-bx)=2a(x-5y)+b(5y-)=(x-5y2a-b) 方法二：原式(2ar-b)+(5y-10a)=x(2a-b)+5yb-2a）)=(2a-b0x-5列)） 对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用 提公因式法、公式法分解因式。 请尝试利用材料中的方法分解因式： 0)r+2+r+1 23x+3gy-4x-4 2.(25-26七年级上·上海闵行·期中)乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式 -36y2+x-6y进行因 式分解 x-36y+x-6y解：原式(-36y)+x-69第 步 ①提公因式法： =(x-6y)(x+6y)+(x-6y) ②公式法： 第二步 ③十字相乘法. =(x-6y)(x+6y+1) 第三步 ()乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是一法， 第二步到第三步因式分解运用的方法是」 法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； x2-6y+9y2-3x+9y (2)请你按照上述方法分解因式： 3.(25-26八年级上陕西西安·期末)阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解.如 x2-4y2-2x+4y 细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两 部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式.具体过程如下： x2-4y2-2x+4y 13/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(x2-4y2）-(2x-4y) =(x+2y)(x-2y)-2(x-2y) =(x-2y)(x+2y-2) 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法. 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：a2-ab+3a-3b: (②若多项式r-9y+x+3y利用分组分解法可分解为 2x+3y)(2x-3y+1 ,求ab的值. 难点三因式分解的应用 难点1：求值问题中的目标导向变形 已知条件或所求式中常含高次或对称结构。难点在于根据目标式反推需分解的部分，通过因式分解降次或 构造整体代入，学生易盲目展开，丧失简便路径。 难点2：实际或几何背景的等价转化 应用于面积、周长或整数解问题时，需将几何或数论条件转化为因式乘积形式。难点在于从非标准表述中 提取公因式或构造平方差，若不能识别隐含的整除或非负性，则无法锁定解的范围。 口难点精练 1.(25-26七年级上：河北保定·期末)（发现）一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把 这样的三位正整数叫做“对称数”.如202、343、666等都是“对称数”. (1)填空： ①202-(2+0+2)=198=9×22 ②343-(3+4+3)= ③666-(6+6+6)=648=9×72 (2)小敏观察(1)后有一个猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除，请你再任 14/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 意写出另外两个对称数，并通过计算验证小敏的猜想. (3)设b“为一个对称数，请通过计算和推理说明小敏的猜想是正确的。 2.(25-26八年级上广西玉林期末)阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某 一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方 式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.例如：分解因式x2+2x-3.原式 =x2+2x-3=x2+2x+1-1-3=(x+1)}-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1) 【材料2】因式分解：(x+)+2(x+y)+1 解：把+y看皮一个整体，令+y=4,则原式+21+1=(1+少旷，再将4=+y重新代入，得：原 式(x+y+) 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法.请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：x2-4x-5: 2根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：(x--4(-)+4, ③当。，b；。分别为BC的三边时，且满足女+h+c2二a-2b-2c+0时，判断BC的形进 2 2 并说明理由。 3.(25-26八年级上·福建泉州期末)阅读材料，回答问题. 材料一：对于关于x的多项式P,有如下结论：若x-a是P的因式，则当x=a时，P=0. 这个结论被称为因式定理.例如：若x-2是多项式P=x2-4的因式，则当x=2时，P=0, 材料二：用2)表示三次多项式r+am+b+12,即()=+ar+br+12,例如：当r=2时， Q(2)=23+a×22+b×2+12 15/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 已知0=0(3)=0 求下列问题： )求()=r2+ar2+br+1 中的a和b的值： 2)若()=24 利用因式定理，求此时x的值： 8)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m,使得Q()+m 写成某些正整数的平方，例如：当 x=4和x=5时，(4)=240(5)=72 ,存在常数m=97,使得 Q(4)+m=24+97=121=112 Q(5)+m=72+97=169=132 求当=5和X=7时，满足结论的正整数m的值. 验成果 综合达标检测 ©基础达标 一、单选题 1.(26-27九年级上·重庆开学考试)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是() A.y+=x(x+y) B.r-9=-9-x) c.(x+2=x2+2x+1 D.r+3x=x(x+3) 2.(25-26八年级下·陕西西安期末)因式分解多项式5m2n-10mm2,应提取的公因式是() A.mn2 B.5mn C.mn2 D.5m2n2 3.(25-26八年级下广东佛山期末)已知a+b=3,a-b=5,可得a2-b2=() A.21 B.18 C.15 D.12 二、填空题 16/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3x4-3y4= 4.(25-26八年级上广东汕头期末)因式分解： 625-26人年级上陕西安康阶段检测)若x+y=2,则代数式4？+)+4)的值为 6.(2026浙江中考真题)老师布置了一个任务：对于非零实数a,b,满足a2-a=b+b,探讨a-b的 值.小光解得a-b=1,但同桌认为小光的推理有问题.请你写出一组非零实数a,b,使原等式成立，但 a-b≠1.如： 、 三、解答题 7.(25-26八年级上：山东德州阶段检测)因式分解 、3a3b2c-12a2b2c2+9ab2c2 (1) 、16x2-81 (2) 6)-+yw-9 8.(26-27八年级上：湖南常德·阶段检测)利用因式分解计算： (1)5352×4-465×4:: (21022+102x196+9g2 2+2x-3=(x+3)x-1 9.(25-26八年级下·江苏扬州期中)因为 ,这说明多项式+2x-3有一个因式为 x-1,我们把x=1代入此多项式发现x=1能使多项式x2+2x-3的值为0.利用上述阅读材料求解： (1)若x-4是多项式x2+c+8的一个因式，求k的值； (2)若(c+2)和(x-3)是多项式x+mx2-6x+n的两个因式，试求m,n的值： 10.(25-26八年级下陕西咸阳阶段检测)若一个正整数能表示成口2+b2(a,b是正整数)的形式，则称 这个数为“梦想数”.例如：因为5可以表示为2+的形式，所以5是“梦想数”. 2x 2 (1)若13是“梦想数”，则13可以表示为 的形式： (2)请你再写两个小于30的“梦想数”(5和13除外)： 17/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M=x2+y2+kc+6y+13 (3)已知 (x,y,k是正整数)，要使M为“梦想数”，求k的值.（用因式分解 的方法解答) 能力进阶 一、单选题 1.(26-27九年级上四川达州开学考试)下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是() A.(m-3m+3)=m2-9 B.y+4y-5=y0y+4)-5 c.a+4a+4=(a+4} D.2x2-3x-2=(2x+10(x-2) 2.(25-26八年级下广东深圳期末)已知多项式×-5x+4因式分解后是x-1儿x+m）,则m的值为 A.-4 B.-5 C.4 D.5 3.(26-27九年级上：广东深圳开学考试)某课外密码研究小组接收到一条密文： 8x(m2-n2）-8y(m2-2) 已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 m-n m+n x-y x+y 8 明文 福 爱 田 外 我 幸 把密文 8x(m2-n2)-8y(m2-n2 用因式分解解码后，明文可能是() A.我爱福田 B.我爱福外 C.我爱幸福 D.幸福福田 4.(26-27九年级上：重庆开学考试)已知整式 M=a+axta2x2+…+anx" 其中0，a,…,4,4 均为非零整数，为正整数.0=0(k=0,2,川，且a+a++s12,若a4.=16 下列说法正 确的个数有() ①若n=2,满足条件的整式M共有8个： 18/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若n=3,则所有满足条件的整式M都能被 x+I) 整除： ③所有满足条件的整式M共有48个. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题 5.(25-26八年级上·安徽准南期末)在对多项式6ab-2a2b2+b°进行因式分解时，提取的公因式为 6.(25-26八年级下四川成都期末)因式分解：(a+3a°-9(d+3a)+20 7.(25-26七年级下·山东菏泽期末)在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解” 法产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式-少，因式分解的结果是《-x+:+y）若 取x=9,=9,则各个因式的值是：(-月=0，x+)=18,(仗+y)=162,于是就可以纪0186C 4x3-xy2 作为一个六位数的密码.对于多项式 取=12y=12 时，用上述方法产生的密码是： (写出一个即可)· 8.(25-26七年级下·四川成都期末)约定：对于正整数k,若两个正整数m,n满足 (m--=0(m<川，称m,n是关于k的“完美数组”，将这个“完美数组”记为m,川）.如：关于 5的“完美数组”共有2组，分别是4，(2,3).关于3的“完美数组”是 一，已知关于正整数C 的“完美数组”为 怎》，其中的，'满足+2+少=784，则关于正整数©的“完美数组”的组数共 有 组. 三、解答题 9.(21-22八年级下四川成都期中)因式分解： a)r-8r2+16x (206-4ab62+46 19/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8)9(m+m2-(m-nj2 ④㎡(a-小-2m(a-)+a-) 10.(26-27八年级上全国单元测试)材料：如何将 +(p+q)x+P四型的式子分解因式呢？ 我们知道x+p(x+)=+D+g)r+网， 所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得： x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) (x+1)(x+2)=x2+3x+2,∴.x2+3x+2=(x+1)(x+2) 例如： 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下 角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项 的系数，如图： x2+3x+2=(x+1)(x+2) 这样，我们可以得到： 2 1×2+1×1=3 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将x2+5x+6分解因式的结果为： 2)若r+px-15 利用十字相乘法可分解为 c+ax+5)(a,p均为整数)，求a和p的值. 11.(25-26八年级下·贵州毕节·期末)【阅读材料】要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它 的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得am+m+bm+bn-(am+am)+(bm+b加） =a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 这种分解因式的方法称为分组分解法. 根据以上方法回答下列问题： 20/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)【尝试填空】3x-18+xy-6y= (2)【解决问题】因式分解：ab-bc+a2-c2; (3)【拓展应用】已知三角形的三边长分别为a,b,c,且满足a2-2ac+b2-2bc+2c2=0,试判断这个三 角形的形状，并说明理由. 12.(25-26八年级下江西萍乡期未)我们把多项式a2+2ab+b及a2-2ab+b2叫做完全平方式，如果一 个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去 这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解 因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值的问题. 例如：分解因式：+2x-3=(x+2x+)-4=(c+-4=(x+1+20x+1-2)=(+30x-). 再例如：求代数式2x2+4x-6的最小值： 22+4x-6=2(2+2x-3)=2(x+-8,因为c+≥0，所以当x=-1时，2r+4x-6有最小值，最小 值是-8， (1)分解因式：m2-4m-5=一 (2)求多项式-x2+6x-16的最大值： (3)已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2=10a+8b-41,求第三边c的取值范围. 21/21 第十七章 因式分解 复习要点 1. 理解因式分解的概念，能准确区分因式分解与整式乘法是方向相反的变形（前者“和差化积”，后者“积化和差”）。 2. 掌握提公因式法，能准确确定公因式（系数取最大公约数、字母取相同字母最低次幂），区分单项式公因式与多项式整体公因式的处理方式。 3. 掌握平方差公式（a²-b²=(a+b)(a-b)）与完全平方公式（a²±2ab+b²=(a±b)²），能区分两个公式的适用条件（两项异号 vs 三项首尾平方同号）。 4. 掌握因式分解的一般步骤“一提、二套、三检查”，理解“分解彻底”的要求，能按规范流程完成因式分解。 5. 理解因式分解在简化运算、代数式求值及判断三角形形状等问题中的应用价值。 复习重难点 重点：提公因式法与公式法（平方差、完全平方）的综合运用，以及“一提二套三检查”的规范分解流程。 难点：准确判断多项式结构以选择适当方法，避免公式混淆与符号错误，并确保分解到“不能再分解为止”的彻底性。 知识点 因式分解的概念 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫分解因式）。 2.与整式乘法的关系： 互逆关系：因式分解与整式乘法是方向相反的恒等变形。 区别：整式乘法是“积化和差”，结果是多项式；因式分解是“和差化积”，结果是整式的乘积形式。 验证方法：可用整式乘法（将因式相乘）的结果与原多项式对比，来验证因式分解的正确性。 要点速测 1．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项，的变形属于因式分解． B选项，的左边已是整式乘积形式，不属于因式分解． C选项，的右边不是乘积形式，不属于因式分解． D选项，的右边含分式，不是整式乘积，不属于因式分解． 2．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）已知整式分解因式的结果为，则______． 【答案】100 【分析】将分解因式后的结果展开，对比原式对应项的系数即可求得． 【详解】解：， 由题意得， ． 3．（25-26八年级下·广东揭阳·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式有一个因式是（），求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为（），得， ， 则， ， 解得，， ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)另一个因式为，的值为 【分析】（1）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可； （2）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可. 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 解得：， ∴另一个因式为的值为． （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ， 解得：， ∴另一个因式为的值为． 知识点 因式分解的基本方法 1. 提公因式法 公因式：多项式各项都含有的相同因式。 确定公因式的方法： 系数：取各项系数的最大公约数。 字母：取各项相同的字母。 指数：相同字母取最低次幂。 步骤：ma + mb + mc = m(a + b + c)，把公因式提到括号外面。 2. 公式法 （1）平方差公式：公式：a²- b²= (a + b)(a - b)。 特征：两项式，两项符号相反，且都能写成平方的形式。 （2）完全平方公式：公式：a² + 2ab + b²= (a + b)²；a²- 2ab + b²= (a - b)²。 特征：三项式，其中有两项是平方项（且符号相同），另一项是这两个数（或式）的乘积的±2倍。 要点速测 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）对多项式进行因式分解，应提取的公因式是（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 多项式中，系数2与8的最大公约数为2，两项共有的字母为，的最低次数为1，仅在第二项出现，不属于共有字母， ∴应提取的公因式是． 5．（2026八年级上·全国·专题练习）因式分解：____． 【答案】 【分析】找出原式的公因式，利用提取公因式法即可完成因式分解． 【详解】解： ． 6．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式整理为平方差公式的标准形式，利用平方差公式分解后化简即可； （2）把看作整体，先十字分解，再利用完全平方公式分解至彻底即可． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ． 7．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）先阅读材料，再解答问题： 因式分解：， 解：将“”看成一个整体，设， 则原式， 再将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 【答案】(1) (2) (3)该长方形的周长为． 【分析】（1）把看成一个整体，利用完全平方公式进行因式分解； （2）先把前三项利用完全平方公式变形，再利用平方差公式继续分解； （3）先对给定的等式进行变形，通过因式分解求出的值，进而求出长方形的周长． 【详解】（1）解：因式分解， 设，则原式可化为， 则． 再把代回，得到原式． （2）解： ． （3）解：， ， 设，则 ， ， 解得． 因为长方形的周长， 把代入，得到． 题型1 判断是否是因式分解 ▌例1 （25-26八年级上·山东临沂·期末）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，需根据此定义逐一判断． 本题主要考查了因式分解，掌握因式分解的定义是解题的关键因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，不是因式分解，故不符合题意； B．是因式分解，符合题意； C．是乘法运算，不是因式分解，故不符合题意； D．中含有分式，不是因式分解，故不符合题意； 故选：B． 解题要点 1. 看结果是否为积的形式：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积。若结果仍是和差形式（如 x²-1=(x+1)(x-1) 才对，而 x²-1=x(x-1/x) 不对），则不是因式分解。 2. 看是否为整式且恒等：各因式必须是整式（分母不含字母），且分解前后必须恒等变形。最后需检查是否分解彻底（每个因式不能再分解）。注意与整式乘法的区别。 ▌迁移练1-1 （25-26八年级上·四川泸州·期末）下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义判断，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的变形，需满足结果为整式乘积、所有因式都是整式两个条件． 【详解】解：选项A的变形是整式乘法，结果是和的形式，不符合因式分解定义． 选项C的变形结果是和的形式，不是几个整式的积，不符合定义． 选项D的变形中，是分式，不是整式，不符合定义． 选项B中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义． ▌迁移练1-2 （25-26八年级上·河南周口·期末）以下变形不是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题需依据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，判断各选项是否符合要求 【详解】∵因式分解的定义为：把一个多项式化成几个整式的积的形式，需满足两个核心条件：①变形对象是多项式；②变形结果是几个整式的积的形式 ∴对各选项逐一分析： 选项A：左边是单项式，不满足“对象为多项式”的要求，因此该变形不是因式分解； 选项B：左边是多项式，右边是两个整式的积，符合因式分解的定义，是因式分解； 选项C：左边是多项式，右边是两个整式的积，符合因式分解的定义，是因式分解； 选项D：左边是多项式，右边是整式的积，符合因式分解的定义，是因式分解， 故选：A ▌迁移练1-3 （25-26八年级上·云南昆明·期末）下列等式，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． 根据因式分解的定义对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项中，等式右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义． B选项中，等式左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解的要求． C选项中，等式左边是多项式，右边是两个整式的积的形式，符合因式分解的定义． D选项中，等式右边不是整式（分母含有字母），不符合因式分解的定义． 故选：C． 题型2 已知因式分解的结果求参数 ▌例2 （25-26八年级上·江苏泰州·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为_________． 【答案】1 【分析】本题考查因式分解与整式乘法的关系．通过将给定的因式分解形式展开，与原二次三项式比较系数，可求出 m 的值即可． 【详解】解：， ， ， 解得， 故答案为． 解题要点 1. 展开对比系数：将已知的因式分解结果按整式乘法展开，与原来的多项式逐项对比，对应项的系数相等，列出关于参数的方程（组），解出参数值。 2. 代入特殊值或恒等：也可令因式中字母取特殊值（如0、1）简化计算，或利用恒等式两边对应项系数相等求解。注意检验结果是否使各因式有意义，分解是否彻底。 ▌迁移练2-1 （25-26八年级上·江西南昌·期末）若多项式因式分解的结果是，则___________． 【答案】13 【分析】此题考查了已知因式分解的结果求参数，代数式求值，将因式分解的结果展开，与原多项式比较系数，求出a和b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：， 根据题意得， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：13． ▌迁移练2-2 （25-26八年级上·河南周口·期末）已知多项式可分解因式为，则为_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 计算，进而根据“多项式可分解因式为”即可得出的值． 【详解】解：， ∵多项式可分解因式为， ∴． 故答案为：． ▌迁移练2-3 （25-26七年级上·上海·期末）已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解的意义，设另一个因式为一次式，通过比较系数求解． 【详解】解：设另一个因式为，则． ∴． ∴对于常数项，，解得； 对于一次项系数，，代入得，解得． ∴另一个因式为． 故答案为：． 题型3 公因式 ▌例3 （25-26八年级上·江苏泰州·期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【答案】 【分析】公因式：多项式的每一项都含有的因式． 【详解】解：的公因式是． 解题要点 1. 找系数与字母公因式：系数取各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母的最低次幂。两者相乘即为公因式。 2. 注意整体与符号：若多项式含括号整体（如a(x-y)与b(x-y)），则括号整体可作公因式。当首项系数为负时，通常提出“-”号，使括号内首项为正。提公因式后需检查是否分解彻底。 ▌迁移练3-1 （25-26八年级上·河北保定·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了公因式，确定公因式时，系数取各项系数的最大公因数，字母部分取各项相同字母的最低次幂． 【详解】解：多项式中，系数6和3的最大公因数是3，字母的最低次幂是，字母的最低次幂是，因此公因式为， 故答案为：． ▌迁移练3-2 （25-26八年级上·甘肃天水·期末）多项式的公因式是______ 【答案】 【分析】本题考查了公因式．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据找公因式的方法得出答案即可． 【详解】解：多项式的公因式是． 故答案为： ▌迁移练3-3 （24-25七年级下·河北保定·期末）和的公因式为______________． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解及公因式定义，熟记公因式的定义是解题的关键． 先将两个多项式因式分解，然后根据公因式定义：每个单项式中都有的因式，即可得到答案． 【详解】解：，， ∴和的公因式为， 故答案为：． 题型4 判断能否用公式法分解因式 ▌例4 （25-26八年级上·海南海口·期末）下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方式的判定；依据完全平方公式结构特征分析，关键是符合的形式． 【详解】解：完全平方式必须满足的形式， A、，不符合完全平方式，故A不符合题意； B、，符合完全平方式，故B符合题意； C、，不符合完全平方式，故C不符合题意； D、，不符合完全平方式，故D不符合题意． 故选：B． 解题要点 1. 对照公式结构：平方差公式 a²-b²=(a+b)(a-b)（两项、异号、均为平方形式）；完全平方公式 a²±2ab+b²=(a±b)²（三项、首尾为平方且同号、中间为两底数积的2倍）。 2. 先提后套再检验：若有公因式，先提取公因式再套公式。注意各项能否写成平方形式，中间项符号决定是“和”还是“差”。分解后需检验能否继续分解，确保彻底。 ▌迁移练4-1 （25-26八年级上·重庆綦江·期末）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式分析判断即可． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、，能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； 故选：B． ▌迁移练4-2 （25-26七年级下·安徽六安·期末）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式因式，熟知分解因式的方法是解题的关键，公式法为． 【详解】解：A． ：可提取公因式得，属于提公因式法，非公式法，不符合题意． B． ：平方和无法在实数范围内用公式法分解，不符合题意． C． ：可利用平方差公式分解为，符合题意． D． ：可提取公因式得，同样属于提公因式法，非公式法，不符合题意． 故选：C． ▌迁移练4-3 （25-26八年级上·山东烟台·期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意； B．，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意； C．，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意； D．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意； 故选：C． 题型5 综合提公因式和公式法分解因式 ▌例5 （25-26八年级上·江苏扬州·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键： （1）利用提公因式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 解题要点 1. 先提后套：分解时先看各项有无公因式，若有则先提取公因式（系数取最大公约数，字母取最低次幂，整体括号也可作公因式）。提完后看剩余因式是否符合平方差或完全平方公式结构。 2. 分解彻底：套用公式后，检查每个因式能否继续分解（如平方差后可能再出平方差）。注意符号处理，首项为负先提负号。最终结果必须是几个整式的积，且不能再分解为止。 ▌迁移练5-1 （25-26八年级上·山东德州·期末）分解因式 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了因式分解： （1）原式变形后，提取公因式； （2）提取公因式后，再用平方差公式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌迁移练5-2 （25-26八年级上·河南许昌·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌迁移练5-3 （25-26八年级上·山东烟台·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法、公式法和十字相乘法进行的因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法． （1）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． （2）先提公因式，再利用十字相乘法即可进行因式分解． 【详解】（1）解：． （2）解：． 题型6 因式分解在有理数简算中的应用 ▌例6 （25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用；通过提取公因式进行因式分解后计算． 【详解】解： ． 故答案为 ． 解题要点 1. 逆用乘法分配律：观察算式结构，若各项含相同因数，可逆向提取公因式，将复杂乘法转化为简便运算（如 99×101-99×1=99×(101-1)）。 2. 套用公式简化：遇平方差或完全平方结构，可用公式分解后约分或合并（如 101²-99²=(101+99)(101-99)=200×2）。注意符号与运算顺序，结果需为最简。 ▌迁移练6-1 （25-26八年级下·江西九江·月考）简便运算：________． 【答案】10000 【分析】本题考查了因式分解、完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方公式计算，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． ▌迁移练6-2 （25-26八年级上·湖北襄阳·期末）利用因式分解计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解．通过提取公因式2027进行因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为 ▌迁移练6-3 （25-26七年级下·北京延庆·期末）在算式：①，②，③中，计算结果与相同的是_________________（填写序号）． 【答案】①② 【分析】本题主要考查了根据平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键； 先分别根据平方差公式计算，再比较结果即可． 【详解】解：①； ②； ③； ， 所以计算结果与相同的是①②． 故答案为：①②． 题型7 利用因式分解求值 ▌例7 （25-26八年级上·全国·期末）若，且，则值是________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟记平方差公式． 根据平方差公式解答即可． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 解题要点 1. 先分解再代入：将所求代数式进行因式分解，化为几个因式的积。再把已知字母的值（或整体值）代入，能大幅简化计算，避免直接展开的繁琐。 2. 整体代换与公式：若已知条件以整体形式给出（如a+b=3，ab=2），优先用平方差、完全平方公式分解，再整体代入求值。注意符号与分解彻底性。 ▌迁移练7-1 （25-26八年级上·河南漯河·期末）已知，，则的值为___________． 【答案】 【分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：，， ． ▌迁移练7-2 （25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，，，则的值是_____． 【答案】9 【分析】根据平方差公式计算得出，即可求出的值，再结合已知条件进一步确定的值，再将要求的代数式变形为代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． ▌迁移练7-3 （25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若实数x，y，m满足，，则m的值为______________． 【答案】3 【分析】先把两个等式相加，再进行配方，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求解． 【详解】解：，， 两式相加，得：， ， ， ，， ， ． 难点一 十字相乘法因式分解 难点1：二次项与常数项系数的拆分组合 需将二次项系数和常数项分别拆为两数之积，再交叉相乘凑一次项。难点在于拆分数对多且方向不定，尤其系数较大时，盲目试算效率极低，需结合整除性快速筛选可能组合。 难点2：符号规律与整体意识的缺乏 常数项为正时两数同号，为负时异号，且需与一次项符号联动判断。难点在于学生易忽视符号对拆分方向的约束，或未将多项式视为整体，导致符号错配、分解失败。 难点精练 1．（25-26八年级上·甘肃临夏·月考）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； （3）根据十字相乘法分解因式即可； 理解阅读材料，掌握十字相乘法的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：∵常数项，一次项系数， ∴； （2）∵常数项，一次项系数， ∴； （3）①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． 2．（25-26八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 3．（25-26八年级上·山东临沂·期末）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ；． 【答案】(1)；； (2)；． 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式．解决本题的关键是阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式． 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可． 【详解】（1）解：， ； 解：， ； （2）解：， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：； ：解， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：． 难点二 分组分解法因式分解 难点1：分组方式的多样性与目标性 多项式需合理分组，使各组能提取公因式或套用公式。难点在于分组不唯一，需预判哪组能产生后续可提取的公因式，若盲目分组则各组无法衔接，分解中断。 难点2：组间公因式的衔接与符号处理 分组后需保证两组间有整体公因式可提。难点在于处理含负号或需补项的式子，常需调整分组或提取负号使组间结构统一，学生易忽略符号变化导致公因式识别失败。 难点精练 1．（25-26八年级上·重庆合川·期末）阅读下列材料：分解因式：． 方法一：原式； 方法二：原式． 对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式． 请尝试利用材料中的方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键． （）利用分组分解法解答即可； （）利用分组分解法解答即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 【答案】(1)②，① (2) 【分析】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； 【详解】（1）解：乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是平方差公式， 第二步到第三步因式分解运用的方法是提公因式法． 故答案为：②，①． （2）解： ． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)若多项式利用分组分解法可分解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分组分解法分解因式．解题关键是正确分组，使得分组后可以分别进行因式分解，并且分解后能出现新的公因式，进而提取公因式完成整个多项式的因式分解． （1）进行分组为，通过提取公因式，乘法分配律的逆运算进行因式分解； （2）先用整式乘法还原，再由对应项系数相等得出、的值，进而求出． 【详解】（1）解： ． （2）， 而 比较系数可得， ． 难点三 因式分解的应用 难点1：求值问题中的目标导向变形 已知条件或所求式中常含高次或对称结构。难点在于根据目标式反推需分解的部分，通过因式分解降次或构造整体代入，学生易盲目展开，丧失简便路径。 难点2：实际或几何背景的等价转化 应用于面积、周长或整数解问题时，需将几何或数论条件转化为因式乘积形式。难点在于从非标准表述中提取公因式或构造平方差，若不能识别隐含的整除或非负性，则无法锁定解的范围。 难点精练 1．（25-26七年级上·河北保定·期末）（发现）一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫做“对称数”．如202、343、666等都是“对称数”． (1)填空： ① ②__________=__________ ③ (2)小敏观察（1）后有一个猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除，请你再任意写出另外两个对称数，并通过计算验证小敏的猜想． (3)设为一个对称数，请通过计算和推理说明小敏的猜想是正确的． 【答案】(1)333， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，理解“对称数”的意义是解题的关键． （1）根据题意，直接计算结果即可； （2）根据题意，可以计算出两个对称数，然后根据题目中的方法验证小敏的猜想； （3）根据题意，可以用含a、b的式子表示出小敏猜想的结果，然后分解因式，即可证明小敏的猜想正确． 【详解】（1）解：②333，； （2）解：363，； 888，；（答案不唯一） （3）解：设， 则 ． 能被9整除， 能被9整除， 小敏的猜想是正确的． 2．（25-26八年级上·广西玉林·期末）阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)等腰三角形，见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，因式分解的应用，非负数的性质，掌握好配方法和换元法是关键． （1）先使用题干的配方法，再运用平方差公式进行因式分解即可； （2）将看作整体，利用完全平方公式进行因式分解，再将换成即可； （3）先将系数化整，分别对、、进行配方，由非负数的性质求出、、的值，然后判断的形状． 【详解】（1）解：； （2）解：设， ， ∴； （3）解：是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是等腰三角形． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料，回答问题． 材料一：对于关于x的多项式P，有如下结论：若是P的因式，则当时，． 这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，． 材料二：用表示三次多项式，即，例如：当时，． 已知，求下列问题： (1)求中的a和b的值； (2)若，利用因式定理，求此时x的值； (3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m，使得能写成某些正整数的平方．例如：当和时，，，存在常数，使得，．求当和时，满足结论的正整数m的值． 【答案】(1)a的值为0，b的值为 (2)x的值为或或4； (3)或或 【分析】本题主要考查了因式定理的应用、二元一次方程组的解法、一元三次方程的因式分解与求解、平方差公式的应用以及整数的性质，熟练掌握利用因式定理对多项式进行因式分解以及根据平方差公式和整数性质求解不定方程是解题的关键． （1）根据因式定理，将和代入多项式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值． （2）先由(1)得到的具体表达式，再根据列出方程，通过因式定理找出方程的因式，分解因式后求解方程． （3）先计算和的值，根据题意设、，两式相减得到平方差，利用平方差公式分解后，根据正整数的性质列出所有可能的因数分解情况，进而求出的正整数解． 【详解】（1）解：∵， ∴即① ∵， ∴ 即② 联立①②得 解得 ∴a的值为0，b的值为； （2）解：由（1）得， 当时，， ， 当时，， ∴是的因式， 当时，， ∴是的因式， 设另一个因式为， 则， 即， 解得， ∵， ∴， ∴或或， ∴x的值为或或4； （3）解：当，， 当，， ∵能写成某些正整数的平方， ∴，能写成某些正整数的平方， 不妨设①，②（其中，都是正整数）， 得：，即， ∵， 且，同奇同偶，且， 所有可能情况如下： 或或或或， 解得或或或或， 此时或或或或， ∵正整数m， ∴或或． 基础达标 一、单选题 1．（26-27九年级上·重庆·开学考试）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住因式分解的核心特征：左边为多项式，右边为几个整式的积的形式，且变形前后等式恒成立． 【详解】解：A、右边，与左边不相等，故A错误； B、右边仅为多项式的符号变形，不是几个整式的积的形式，故B错误； C、左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，故C错误； D、左边是多项式，右边是与两个整式的积，且变形前后等式恒成立，符合因式分解的定义，故D正确． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期末）因式分解多项式，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多项式的公因式的系数是多项式所有项的系数的最大公因数，字母是所有项均含的字母且次数取最低次数，它们的乘积即为多项式的公因式．据此即可解答． 【详解】解：∵多项式的两项系数为5和10， 最大公约数是5． 两项均含字母，， 其中的最低次数为1， 的最低次数为1． ∴ 应提取的公因式是． 3．（25-26八年级下·广东佛山·期末）已知，，可得（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将所求式子用平方差公式变形后，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 二、填空题 4．（25-26八年级上·广东汕头·期末）因式分解：__________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再连续利用平方差公式分解，直到每个因式都不能再分解． 【详解】解： ． 5．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）若，则代数式的值为________． 【答案】1 【分析】先将所求代数式因式分解，整理出含的式子，再整体代入已知条件计算． 【详解】解：， 又 ， 原式 ． 6．（2026·浙江·中考真题）老师布置了一个任务：对于非零实数，，满足，探讨的值．小光解得，但同桌认为小光的推理有问题．请你写出一组非零实数，，使原等式成立，但．如：___________． 【答案】 ，（答案不唯一） 【分析】将原等式整理因式分解后可得，满足且非零时，即可满足且原等式成立． 【详解】解：， ∵要求原等式成立且，为非零实数 ∴只需满足，且， ∴可取，得 验证：左边，右边，左边右边，且，符合要求． 三、解答题 7．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）因式分解 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）提取多项式各项的公因式，完成因式分解； （2）将原式变形为平方差的形式，套用平方差公式分解； （3）先变形提取公因式，再用平方差公式继续分解至不能分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8．（26-27八年级上·湖南常德·阶段检测）利用因式分解计算： (1)；； (2)． 【答案】(1)280000； (2)40000 【详解】（1）解： （2）解： 9．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干信息把代入求解即可； （2）根据题干信息把和分别代入得到关于m，n的二元一次方程组，进而求解即可． 【详解】（1）解：依题意，把代入得 解得：； （2）解：把和分别代入， 即 解得： 10．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）若一个正整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“梦想数”．例如：因为5可以表示为的形式，所以5是“梦想数”． (1)若13是“梦想数”，则13可以表示为的形式； (2)请你再写两个小于30的“梦想数”（5和13除外）：________，________； (3)已知（x，y，k是正整数），要使M为“梦想数”，求k的值．（用因式分解的方法解答） 【答案】(1)2，3 (2)10，25．（答案不唯一） (3) 【分析】（1）根据“梦想数”的概念解答； （2）根据“梦想数”的概念解答； （3）根据完全平方公式将代数式进行变形，可求k的值． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：由，， 故是“梦想数”； （3）解： 要使M是“梦想数”， 则为完全平方式， ， 是正整数， ，此时，是“梦想数”． 能力进阶 一、单选题 1．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，不合题意； B、等号右边为，不是积的形式，不合题意； C、等号右边展开为，与左边不相等，变形错误，不合题意； D、等号右边是两个整式的积，展开后为，与左边相等，符合因式分解定义，符合题意． 2．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知多项式因式分解后是，则的值为（     ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用多项式乘法展开右侧因式乘积，再根据多项式相等对应项系数相等的性质求解m，也可直接对左侧多项式因式分解得到结果． 【详解】解：， 根据题意可得， 可得， 解得． 3．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 福 爱 田 外 我 幸 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（   ） A．我爱福田 B．我爱福外 C．我爱幸福 D．幸福福田 【答案】A 【分析】先将密文因式分解，再对应密码手册解答即可． 【详解】解： ， 由密码手册可知，8对应明文“我”，对应明文“爱”，对应明文“福”，对应明文“田”， 则密文解码后，明文可能是我爱福田． 4．（26-27九年级上·重庆·开学考试）已知整式，其中，，，，均为非零整数，为正整数，，且，若，下列说法正确的个数有（     ） ①若，满足条件的整式共有8个； ②若，则所有满足条件的整式都能被整除； ③所有满足条件的整式共有48个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】①求出或，，进而得到，即可得出结果；②根据题意得到，，进而得到，进行判断即可；③分情况讨论进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或； ∵，， ∴， ①当时，则，或；， ∵，，，，均为非零整数， ∴， 故满足条件的整式共有个；故①错误； ②当时，则，， ∴ ； ∴所有满足条件的整式都能被整除；故②正确； ③当时，或，共2种情况； 当时，由①可知，共有16种情况； 当时，则， ∴， ∴， ∴满足条件的整式共有个； 当时，则， ∴， ∴，， ∴满足条件的整式共有个； 当时，则， ∴， ∴，， ∴满足条件的整式共有个； 当时，则， ∴， ∵，，，，均为非零整数， ∴不存在，满足条件的整式共有0个； 当时，不存在满足条件的整式， 综上：所有满足条件的整式共有个．故③错误； 故正确的只有②，共1个. 二、填空题 5．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）在对多项式进行因式分解时，提取的公因式为______． 【答案】 【分析】根据公因式的确定方法，分别求出多项式各项系数的最大公约数，以及各项共有的相同字母的最低次数，二者乘积即为公因式． 【详解】解：多项式的各项系数分别为，，，其最大公约数为，各项都含有的相同字母为，，其中的次数分别为，，，最低次数为，的次数分别为，，，最低次数为， 因此提取的公因式为． 6．（25-26八年级下·四川成都·期末）因式分解：=___________ 【答案】 【分析】将看成一个整体，利用十字相乘法进行分解，再对各因式进行分解． 【详解】解：原式 ． 7．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是：____________（写出一个即可）． 【答案】121236或361212或123612（答案不唯一） 【分析】先对多项式运用提公因式法和平方差公式进行因式分解，再代入，计算各因式的值，将各因式的值按顺序组合即可得到密码． 【详解】解： ， 当，时，，， 将三个因式的值按顺序排列，可得密码为121236或361212或123612． 8．（25-26七年级下·四川成都·期末）约定：对于正整数，若两个正整数，满足，称，是关于的“完美数组”，将这个“完美数组”记为．如： 关于的“完美数组”共有组，分别是，．关于的“完美数组”是________，已知关于正整数的“完美数组”为，其中的，满足，则关于正整数的“完美数组”的组数共有________组． 【答案】 【分析】根据定义化简等式，结合正整数性质推导出完美数组满足，再分别计算所求结果． 【详解】解：根据“完美数组”定义，对于关于的完美数组，满足，，且，，均为正整数， 对等式因式分解得：， ∴ 或 ， ∵，，，均为正整数， ∴，不可能等于， ∴，整理得． 当时，则有，只有，符合条件， ∴关于的完美数组为； ∵关于正整数的“完美数组”为， ∴，． ∵， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， 即， ∴，解得， ∵是正整数， ∴可取，共种取值，每种对应唯一符合条件的，因此共有组． 三、解答题 9．（21-22八年级下·四川成都·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．（26-27八年级上·全国·单元测试）材料：如何将型的式子分解因式呢？ 我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：． 例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为 ； (2)若利用十字相乘法可分解为（a，p均为整数），求a和p的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据十字相乘法分解即可； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：由题意得， 均为整数， ， ． 11．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）【阅读材料】要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得，这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： (1)【尝试填空】________； (2)【解决问题】因式分解：； (3)【拓展应用】已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)这个三角形是等边三角形，理由如下： ， ， ∴， ，， ． ，，                 ，， ， ∴这个三角形是等边三角形． 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，利用非负性得到，，之间的关系，即可得出结果． 【详解】（1）解：原式  ． （2）解：原式， ， ．                 （3）略 12．（25-26八年级下·江西萍乡·期末）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值的问题． 例如：分解因式：； 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． (1)分解因式：_______； (2)求多项式的最大值； (3)已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围． 【答案】(1) (2)多项式的最大值为 (3) 【分析】（1）先在一次项后加上，再减去，构造完全平方式，最后用平方差公式分解； （2）先提取负号，将括号内的二次三项式配方，利用完全平方式的非负性，求出最大值； （3）先将等式配方，求出和的值，再利用三角形三边关系确定的范围． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ∴， 当时，有最大值； （3）解：， ， ， 即， ，， ，， 、、是的三边， ， 故． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $