第十六章 整式的乘法（3核心+11题型+4难点+复习讲义）数学新教材人教版八年级上册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十六章整式的乘法 复习目标 1.理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法法则，能准确区分四种 幂运算的指数变化规律（相加、相乘、分别乘方、相减）。 2.掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，能区分三种乘 法类型的运算步骤与易错点（漏乘、符号错误）。 复习要点 3.理解平方差公式与完全平方公式的代数结构与几何背景，能区分两个公式的适用条件 与结果形式，避免混淆。 4.掌握添括号法则（添正不变、添负全变），理解添括号是凑乘法公式进行简便运算的 核心技巧。 5.理解整式乘法与整式除法互为逆运算的关系，能综合运用幂的运算性质与乘法公式进 行化简求值。 重点：幂的四种运算法则、整式的三类乘法运算，以及平方差公式与完全平方公式的理 解与应用。 复习重难点 难点：灵活运用乘法公式进行简便运算（如添括号凑公式），以及综合运用幂的运算性 质解决混合运算与化简求值问题。 理脉络 知识体系构建 1/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同底数幂的乘法 aman=a(m+n),底数不变指数相加，前提 底数相同 幂的运算法则 幂的乘方一(a^m)^n=a(mn),底数不变指数相乘 积的乘方一(ab)^n=anb^n,每个因式分别乘方再相乘 单项式×单项式 系数相乘，同底数幂相乘，独有字母连同指数作 为积的因式 单项式×多项式一用单项式分别乘多项式的每一项，再把积相加 知识梳理 整式的乘法 多项式×多项式 用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一 项，再把积相加 同底数幂的除法一a^m÷an=a^(m-n)(a0),底数不变指数相减 委指数幂一a^0=1(a+0) 平方差公式一(a+h)(a-b)=a2-b2,两数和与差之积等于平方差 乘法公式 完全平方公式一(a+b)2=a2+2ab+b2:(a-b)2=a2-2ab+b 公式变形(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)等常用变形 整式的乘法 混淆运算法则一同底数幂乘法误写成a(mn),与幂的乘方混淆 符号错误 多项式乘法漏乘负号；(a-b)漏掉中间项-2ab或 符号写错 漏乘项一单项式乘多项式或多项式乘多项式漏乘某一项 易错点 指数条件遗漏一零指数幂、同底数幂除法忘记底数不为零(a0) 公式误用 把(a+b)2误当a2+b2；混淆平方差与完全平方的 适用条件 系数漏乘2一完全平方公式中间项2h中的系数2被漏掉 学法指导 运算顺序出错一混合运算先乘方再乘除后加减的顺序混乱 幂的三大法则综合运算一中考必考基础题 乘法公式的灵活运用一平方差与完全平方混合应用 利用公式求值一已知a+b、ab求a2+h等变形求值问题 高频考点 整式乘法实际应用一图形面积、代数式表示问题 巧用平方差公式简便计算一数字运算 幂的运算与整式乘法混合题型 乘法公式与代数式化简综合题 过主千 核心内容整合 知识点 幂的运算 1.同底数幂的乘法性质：·Q”=4+"(其中m,n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数 2/31 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即a+"=d”·d”(,n都是正整数) 3.幂的乘方法则： (a")》”=am(其中n都是正整数.即幂的乘方，底数不变，指数相乘。 4,幂的乘方法则逆用公式： am=(d")"=(a")" 根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变 形，从而解决问题， 5,积的乘方法则：(a》=4-”(其中”是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再 把所得的幂相乘 6积的乘方法则逆用公式：46=(b)逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数 10 X210 =1 时，计算更简便.如： 要点速测 1.(26-27九年级上广西南宁·开学考试)下列运算中，正确的是() A.x2.x3=xs B.3x2+2x3=6x C.(x2)=x D.(2ab)=6a'b 2.(25-26七年级下陕西宝鸡期中)计算：（2mn°+(-m)°（-2n) 知识点 整式的乘法 1.单项式与单项式相乘： 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字 母，连同它的指数作为积的一个因式。 2.单项式与多项式相乘： 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就 3/31 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即(a+b+c)l=Cm+b+cu 3.多项式与多项式相乘： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 银即(a+b)(L+n)=(mm+2+b+b2 4.同底数幂的除法：a”÷a”=a”(其中m,八都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减。 5.零指数幂：a°=1(a≠0) 6.整式的除法 (1)单项式÷单项式：系数相除，同底数幂指数相减，独含字母照搬 (2)多项式÷单项式：各项分别除单项式再求和 (3)易错：漏符号、漏单独字母、指数算错 口要点速测 3.(26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)化简 a2x+2x-4到-5x(x- 26ry-2xy-8y:(-2) 4(25-26七年级下黑龙江大庆期末利若r+x写P》 -x+3q） 的积中不含x与x2项， (1)求p=，9= ②求代数式(pg)+pg的值. 5.(26-27八年级上：湖南衡阳阶段检测)如图1，在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车 的盲区面积进行探究，图2是货车盲区的部分分布图，盲区1,2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲 区3是一个正方形. 4/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2b 盲区2 2a+3b 货车 盲区3 2a 2a+3b 盲区1 2b 图1 图2 (1)用含a,b的代数式表示图中盲区的总面积（结果需化简）· (2)若a=1,b=2,求图中盲区的总面积. 知识点 乘法公式 1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a2-b2 公式的几种变化： ①位置变化：(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2: (-a-b)(a-b)=(-b-ad(-btad=(-b+a）(-b-a)=(-b)2-a2=b2-a2 ②系数变化：(2a+3b)(2-3b)=(2a2-(3b)2=4a2-9b2 ③指数变化：(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4 ④增项变化：(a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2 ⑤连用公式变化：(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b ⑥公式逆运算：a2-b2=(atb)(a-b) 2.完全平方公式：两数和（差）的平方，等于它们的平方和，加（减）它们积的2倍. 即完全平方和(a+b)2=a2+2b+b2;完全平方差(b)2=a2-2ab+b2 (1)公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 (2)公式的变化：①a2+b2=(a+b)2-2ab;②a2+b2=(a-b)2+2ab:③(atb)2=(a-b)2+4ab; ④(a-b)2=(atb)2-4ab:⑤(atb)2-(a-b)2-4ab. 要点速测 6。(2026八年级上全国专题练习)先化简，再求值：[x-2+(x+2(x-2小2x,其中x=7 5/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-2 7.(25-26六年级下山东烟台期末)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后 将剩余部分拼成一个长方形（如图2）· b a 图1 图2 (1)上述操作能验证的等式是 (请选择正确的选项) d-b=(a+b)(a-b)B.(a-b)-d2-2ab+b a(a+b)=a2+ab D a2-b2=b(a+b) (2)用你选的等式进行简便计算： ①1012-992-962+942. ②20262-2×20252+2×20242-20232， 8.(25-26八年级上：四川眉山期中)【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一 些代数恒等式。例如图1可以得到(a+b)=心+2ab+b2 基于此，请解答下列问题： b a b 图1 图2 (四【直接应用】若x+y=3.+y=5 ,则的值为. ②【类比应用】①若x-3x-4)=1,则(x-3+(x-4= 6/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 @若x清足6-4(2x-5列-号，求6-4rf+42r-的值。 ③若x满足(2025-+(202-=2025，求225-2022-的值： (3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（∠40B=∠C0D=90°）如图2所示放置，其中A,O,D在 一直线上，连接MC,BD.若4D=l6,oc+am=68 ,求一块直角三角板的面积. 研题型 高频题型突破 题型1判断整式运算是否正确 】例1(2026七年级上：重庆专题练习)下列各式运算正确的是() A.（m=mB.3m.2m2=6m2c.m+2m2=3mD.2m÷(←m）=-2m 解题要点 1.逐项核对法则：检查运算是否符合幂的运算法则（同底数幂相乘底数不变指数相加、积的乘方等） 合并同类项法则（字母和指数不变，系数相加减）及去括号法则（括号前是负号，去括号各项变号）。 2.特值验证与顺序检查：可用特殊值代入原式与结果验证是否相等。同时检查运算顺序（先乘方、再 乘除、后加减)和符号处理，注意完全平方公式中间项是否漏乘2。 ■迁移练1-1(25-26八年级上·天津和平·期末)下列计算正确的是（) A.a.a=a B.（-3a}=6a c.（-2x(x2-x=-2x3-2x D.(a+2)(2-a)=4-a2 ■迁移练1-2(25-26八年级上·黑龙江伊春期末)下列计算正确的是() A.2a(-3ab+2a）=6ab+4a B.（-3a2b）°÷9a2=-3ab C.a'+a=a8 D.（m+n2=-m2+n 7/31 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■迁移练1-3(25-26八年级上·天津滨海新月考)下列运算中，正确的是() A.xx=x B.(x+y)(x-y)=x2+y2 C.x(x-2)=-2x+x2 D.3ry÷()=3x 题型2判断是否可用平方差或完全平方公式运算 1例2(25-26八年级上广东江门月考)下列各式可以用平方差公式的是() A.（-a+4e(a-4c) B.（-3a-l01-3a) C.(x-2y)(2x+)) D.（-2x-y2x+) 解题要点 1.平方差公式条件：形如(a+b)(a-b)=a2-b2,需满足两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项 互为相反数。即结构为“同号项与异号项”。 2.完全平方公式条件：形如(a±b)2=a2±2ab+b2,需为两数和（或差）的平方。展开结果为三项： 首平方、尾平方、中间为两底数积的2倍（符号与括号内一致）。注意识别公式结构，不可混用。 迁移练2-1(25-26八年级上：云南昆明期末)下列式子中，不能用平方差公式运算的是() A.(a+b)(a-B) B.（a+b(-a-b) c.(a+b)(-a-b) D.(a+b)(-a+b) Ⅱ迁移练2-2(25-26八年级上·山东济宁·周测)下列运算正确的是() A.(x+y0-x)=x2-y2 B.（-x+y=-r2+2y-y2 c.（-x-月=-2-2y-y D.(x+y)(-y+x)=x2-y2 ■迁移练2-3(25-26八年级上·江西南昌·期末)下列各式中，能用完全平方公式计算的是() 8/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.(2a-3b)(-2a-3b) B.(a+3b)(a+3b) C.(a-3b)(a+3b) D.(3a-4b)(4a+3b) 题型3幂的混合运算及逆运算 1例3(25-26七年级上上海闵行期末)计算：（2x+(3x-(←x÷(-x) 解题要点 1.正用法则按序算：同底数幂相乘除（底数不变，指数相加/减）、幂的乘方（指数相乘）、积的乘 方（各因式分别乘方）。混合运算先乘方，再乘除，后加减，注意符号。 2.逆用公式巧变形：常逆用ah=a”·a”、a"=(a)"、a”·b”(ab)”等，将已知条件转化为同底或同指数 形式。比较幂的大小可化为同底数或同指数后比较。注意指数为负或零时的条件。 ■迁移练3-1(25-26八年级上：河北廊坊月考)计算： u)a+2a-(-a÷(a2} a2(a-a2a+(-2a}÷a2 ■迁移练3-2(25-26八年级上新疆阿克苏·月考)计算： (1)已知xm=64,x”=8,求xm"的值： (2)已知2”=a,2”=b,求23m+10m的值 迁移练3-3(25-26八年级上湖南衡阳月考)(1)己知x”=6,x=2,求①x+;②x2m-3”的值. (2)已知x-2y-1=0,求2÷4×8的值. 题型4零指数幂 9/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Ⅱ例4(25-26八年级上黑龙江大兴安岭地期末)若2-”=1 则x= 解题要点 1.底数不为零：零指数幂公式a=1(a≠0)。解题时务必先确认底数a≠0，若底数为零则无意义。 这是最易忽略的隐含条件。 2.整体底数与符号：底数可以是数、单项式或多项式整体。计算时先化简底数，判断其是否为零。如 (-2)=1,而-2=-1（指数只作用于2）。注意区分底数符号与负号的位置。 1迁移练41（25-26七年级下广东清远期未)计算：(+(-2026° 【迁移练42(25-26七年级上上海黄浦月考)若等式(K+8)”= 成立，则x的值为 ■迁移练43(25-26八年级上山东日照月考)若等式(2x+1)*205=1成立，则x的值为 题型5完全平方式中的字母参数问题 例5(25-26八年级上山西临汾期末)若x2+mx+25是完全平方式，则m的值是 解题要点 1.对照公式定中间项：完全平方式形如a2士2ab+b2。已知首尾平方项时，中间项为士2ab,据此列 方程求参数。注意中间项符号与括号内一致。 2.￥ 分类讨论与检验：若参数位置不确定（可能首项、中间项或尾项含参），需分情况讨论。求出参数 后回代检验是否为完全平方式，确保二次项系数为正且符合完全平方结构。注意“士”两种可能。 迁移练51(25-26七年级上上海杨浦期末)若关于x的整式am+x2+16是某一个整式的平方，则a的 值是 1迁移练52(2526八年级上鬃龙江伊春期末)若-2(m+3)r+16是完全平方式，测m= 1迁移练5-3(25-26八年级上四川眉山月考)已知4x++9是一个完全平方式，那么k的值为 已知M是含字母x的单项式，要使多项式I6x2+M+1是某个多项式的平方，则M为」 10/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型6已知多项式乘积不含某项求字母的值 例6(25-26八年级上河北廊坊期末)若(3x+2x-m)的展开式中不含x的一次项，则实数m的值为 解题要点 1.展开合并同类项：先将多项式乘积按整式乘法展开，再合并同类项，得到含参数的整理结果。注意 符号与各项系数准确。 2.令指定项系数为零：根据题意“不含某项”，令该项的系数等于0，建立关于字母的方程，解出参 数值。注意区分“不含某项”与“该项系数为0”，必要时检验其他项是否受影响。 ■迁移练6-1(25-26八年级上·四川资阳期末)若计算1+x2xr+x+)的结果中含x2项的系数为-2，则 a的值为. 1迁移练62(2526八年级上广东汕头期末)要使+2(：+-展开式中不含合？项，则k的值等于 迁移练63(25-26七年级上重庆期末)已知A=2x2+ar-b,B=-x+1,C=2r+3r2+5.若AB+C的 值与x的取值无关，则当x=-2时，A的值为 题型7整式乘除混合运算 1例7 (25-26八年级上甘肃天水期末)化简：[(-+(x+(x-)]÷2x 解题要点 1.按序运算与法则：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内。单项式乘除用同底数幂法则（指 数相加/减)；多项式乘多项式逐项相乘再合并；除法转化为乘法（乘以倒数）或逐项相除。 2.符号与合并同类项：注意负号、去括号变号，尤其括号前是负号时各项均变号。计算后及时合并同 类项，结果按某一字母降幂排列。最后检查是否化到最简，避免漏项或符号错误。 ■迁移练7-1(2025·重庆·模拟预测)计算： 3(x+y)2-(2x+y)(-y+2x)+(2x2y+x3)÷x ■迁移练7-2(25-26八年级上：河北廊坊期末)计算： 11/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④2a(a-l)+(a+3ja-3) 24ah-6ab+12ab)(-2ab) ■迁移练7-3(25-26八年级上·天津红桥·期末)计算： a8ry-6ry）(-2ry)】 (24(x+1-2(0x+2)(2x-4) 题型8整式乘法混合运算一化简求值 ■例8(25-26八年级上四川眉山期末)先化简，再求值： [c+2-(x+6r--5y]÷号】 其中x=2025,y=2026 解题要点 1. 先化简再代入：先按运算顺序（先乘方、再乘除、后加减）展开整式乘法，去括号后合并同类项， 化为最简形式。注意符号与完全平方公式的中间项。 2.代入求值验算：将字母的值代入化简后的式子，负数、分数代入要加括号。也可用整体代入简化计 算。结果需为最简，必要时用特值验证原式与化简式相等。 ■迁移练8-1(25-26八年级上·重庆北碚期末)化简求值： (x+2y)}+(x-3y)(x+3y)-5y(2x-y)÷2x 其中x=(-,y=(-2 ■迁移练8-2(25-26八年级上·吉林长春·期末)先化简，再求值： 2x+y)(2x--(-2+(6x-10xy)(-2x),其中x=3y=-3. 1迁移练8-3(25-26八年级上山东济宁周测)化简求值 [(2x+-(2x+yx-)-2](-2)）,其 12/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 中x=-2,y= 2. 题型9利用乘法公式简便运算 ■例9(25-26八年级上甘肃金昌·期末)用简便方法计算： 482+96×52+522 (1) (230.252-2025 解题要点 1. 构造平方差：将两数相乘化为(a+b)(a-b)=a2-b2形式。如102×98=(100+2)(100- 2)=1002-22=9996。关键是找两数的平均数和差。 2.构造完全平方：将接近整十整百的数写成(a士b)2=a2士2ab+b2。如992=(100-1)2=10000 200+1=9801。注意中间项符号与漏乘2，结果需准确。 迁移练9-1(25-26七年级下·全国·课后作业)用简便方法进行计算： 0)172+102+32 (2)9×11×101×10001 512+492 +51×49 (3)2 ■迁移练9-2(25-26八年级上·山东济宁·周测)计算： 2022+404×198+1982 (1) (22023×2025-2024 6-y+3x+y-3) ■迁移练9-3(25-26七年级下·全国课后作业)运用平方差公式计算： (1)197×203 13/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)99.8×100.2. 8)60× 3 20252 (4)2026×2024+1. 题型10通过对完全平方公式变形求值 I例10(25-26八年级上湖南衡阳期末)已知a+b=5,ab=6,求下列各式的值： 0)0+6 (2)a-b 解题要点 1. 掌握常用变形：由(a±b)2=a2±2ab+b2可得：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab:(a+b)2-(a- b)2=4ab:(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)。 2. 整体代入求值：根据已知条件（如a+b、ab、a2+b2、ab),选择合适变形公式整体代入。注意符 号与已知量的对应，避免展开求根。常用于已知和与积求平方和或差。 迁移练101(25-26七年级上：上海期中)已知m+n=5,mn=-3, (1)求(m-2n-2)的值 2)求m-)2 迁移练102(25-26八年级上江西南昌·月考)己知x+y=7,少=9，求下列各式的值. 0①r-2+r2 2x+y2 1迁移练10-3(25-26七年级下全国周测)已知x+y=3,y=-7,求： 14/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +y2 的值 2-y+ 的值. (3)) 的值. 题型11单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积 【例11(25-26八年级上·陕西安康期末)对联是中华传统文化的瑰宝.如图所示，对联装裱后卷轴的总 宽度为b,总长度为3b,对联上方留白称为天头，长为6a,下方留白称为地头，图中天头和地头的长度之 1 比为3：2，左、右两边的边宽均为天头与地头长度之和的10： 卷轴宽b 天头下 天头长6a 卷 长 3b 地头地头长 边宽 (I)这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度为. 横向宽度为 一；（用含a、b的代数 式表示，并将结果化为最简) (2)求这副对联画心（即图中阴影部分）的面积.（用含a、b的代数式表示，并将结果化为最简） 解题要点 1.面积法理解法则：将大长方形分割成若干小矩形，面积分别对应各乘积项。单项式乘多项式即多个 小矩形面积之和；多项式乘多项式即各行各列乘积之和，直观验证展开式。 2.列式与计算：根据图形长宽列代数式表示面积，利用乘法法则展开、合并。求阴影面积常用割补法 (总面积减空白面积)。注意各项符号与对应边长，结果需化简。 1迁移练11(25-26八年级上新疆吐鲁番期末)如图，有一块长3a-5b)m、宽(a-b)m。 的长方形地 15/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 块，现计划在中间修筑一个长m、宽a-26)m 的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分） (a>2b) 铺上草坪. 3a-5b a-2b a-b (1)用含a,b的代数式表示草坪的面积； (结果需化简) (2)当a=25,b=5时，求草坪的面积. ■迁移练11-2(25-26八年级上陕西榆林期末)书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮 进行包裹.现有一本数学课本（如图1），其长为28cm、宽为20.5cm、厚为lcm.小军用一张长方形纸 (如图2)包好了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正 方形的边长(Cm)即为折叠进去的宽度.请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） 20.5cm 数学 28cm 封面 封底 厚1cm 图1 图2 (I)图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为cm,宽为cm: (2)求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积， Ⅱ迁移练11-3(25-26八年级上·贵州黔西期末)如图1，吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙， 顺应山势，其部分结构是接地而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与 自然融为一体.如图2是某吊脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3所示的几何图形（单位：）. 16/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a+36 7+2b b-2 -3a- 2a+3b 2a+3b 图1 图2 图3 (1)请用含字母a,b的代数式表示图3的面积 (2)若a=-2,b=4,此时图3的面积是多少平方米？ 破难点 方法聚焦透析 难点一多项式乘法中的规律性问题 难点1：算式结构的多层归纳 给定若干特殊乘法式（如(x+1)x2-x+1)=x3+1),需观察系数、次数及符号的演变规律。难点在于从个别 算式中提炼出统一的代数结构，尤其涉及交替符号或递推形式时，易被表面数值迷惑而归纳偏差。 难点2：通项猜想的适用范围检验 归纳出通项后，需代入更多情形或利用多项式恒等原理验证。难点在于界定规律成立的字母取值范围及指 数条件，忽视边界（如为正整数）或跳步验证，会导致规律误用。 口口难点精练 1.(25-26八年级上河南信阳·月考)观察下列各式. (x-1)(x+1)=x2-1 (x-10(x2+x+1)=x2-1 (x-1)x3+x2+x+1)=x4-1 )根据以上规律，则(-1+r+++2+x+) ②你能否由此归纳出一般规律x-1r+x++x+1) 17/31 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3)根据以上规律求：5204+5223+5202++52+5的结果. 2.(25-26七年级上河北保定·月考)我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在 《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”· ......(a+b)=a+b ..(a+b)2=a2+2ab+b2 ..(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 .(a+b)4=a+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 此图揭示了α+b(”为非负整数)的辰开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下向题。 (1)请在图中括号内的数为 2a+b) 展开式中共有 项，第19项系数为 6)根据上面的想律，写出a+b的展开式： (④)利用上面的规律计算：3-5×3+10x3-10×32+5×3-1: 3.(2526八年级上山东日照月考)阅读材料一：(a+b可以展开成一个有规律的多项式： (a+b)=a+b (a+b)=a2+2ab+b2 (a+b)=a+3a2b+3ab2+b (a+b)）=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化.下面我们依次对 (a+b)展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它 上方两数之和.例如，在三角形中第三行的三个数1,2,1，拾好对应(a+b=a+2b+b 展开式中的系 18/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数. (a+b)°=1 y (a+b)}=a+b 11 (a+b)}=a2+2ab+b2 121 (a+b)=a+3a2b+3ab2+b 1331 (a+b)=a+4a3b+6a2b2+4ab3+b 14641 (a+b)3=a3+5ab+10ab2+10a2b3+5ab+b 15101051 )观察（α+b)的辰开式，各项系数和是一；猜想多项式(a+b)”(m取正整数）的展开式的各项系数 之和一（结果用含字母n的代数式表示）； (2)利用材料中的规律计算： 0写出（a-2的展开式 ②25-5×24+10×23-10×22+5×2-1 难点二平方差公式与几何图形的应用 难点1：几何图形向平方差结构的映射 需将图形面积关系（如大正方形挖去小正方形后剩余L形)转化为a?-b2形式。难点在于识别图形分割与 拼接中隐含的边长关系，若对应边混淆，则无法建立代数等式。 难点2：割补前后面积不变的等价验证 通过剪拼将L形转化为矩形，需确保剪拼过程中面积恒等且边长对应准确。难点在于说明转化后矩形的长 与宽分别对应a+b和a-b，学生易忽略变形过程中边长的对应关系，导致公式推导逻辑断裂。 口难点精练 1.(24-25八年级上·黑龙江牡丹江月考)【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小 正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面 19/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 积，可以得到乘法公式 (用含a,b的等式表示) 【应用】请应用这个公式完成下列各题： (1)已知4m2=12+n2,2m+n=4,则2m-n的值为= (2)计算：20232-2024×2022 【扩展】计算：1002-992+982-972+…+42-32+22-12 - a- 习b长 b← 图① 图② 2.(25-26八年级上·全国期末)从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1)，然后将剩 余部分拼成一个长方形（如图2）· 图1 图2 (1)上述操作能验证的等式是_： (2)计算： (x+y+2)-(x+y) 6)运用0写出的等式，解答下列各思： ①已知a-b=3,a2-b2=21,求a+b的值： ②计算： 〔0-2年) 3.(25-26八年级上·重庆璧山期中)已知，如图1所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两 个图形.请仔细观察，解决下列问题： 20/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -b b 图1 图2 图3 (1)比较图2和图3的阴影部分的面积可以得到的等式是 (2)请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：20242-2020×2028： ②求2+102+(2+2+少-2+1+1的结果的个位数字. 难点三完全平方公式与几何图形的应用 难点1：正方形分割的面积对应 将边长为+b的正方形分割为两个小正方形和两个矩形，其面积和对应+2ab+b2。难点在于准确识别各 分块的边长与面积表达式，若图形分割与代数项对应错位，则公式推导失效。 难点2：变形图形的等面积转化 通过剪拼构造(a-b)等变式时，需保证剩余面积与代数式等价。难点在于处理重叠或缺失区域，明确a-b2 与(a+b)(a-b)的面积对应关系，学生易混淆图形边界导致恒等式验证错误。 口难点精练 1.(25-26七年级上·湖北咸宁·期中)实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的 思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”请你利用 “数形结合”的思想解决以下问题： 【知识生成】(1)一个长为2a,宽为2b的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀将该长方形平均分成4 个小长方形，然后用这4个小长方形拼成如图2所示的图形.观察图形，写出一个(a-b,(a+b,b三 者之间的等量关系式： 21/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识应用】(2)运用（山中的结论，若a+b=10,b=5,求a-b的值： 【类比迁移】(3)如图3，若a+2b=16,a-2b=4,求阴影部分的面积 b a 0 6 b a Q 图1 图2 图3 2.(25-26八年级上·辽宁抚顺期末)【阅读材料】若满足⑧--3)=4，求⑧-+(K-3 ,求 的值， 解：设8-x=a,x-3=b.则(8-xx-3)=ab=4,a+b=8-x+(x-3)=5 (8-x)2+(x-3)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17 这里用到了完全平方公式的变形： d+=a+2-2b,或2ah=a+°-（女+b）, 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： (a-b)2=(a+b)2-4ab(a+b)2=(a-b)2+4ab 【类比探究】解决下列问题： (1若a-202+2026-m=4,求r-20222026-0 的值 【拓展应用】 (2)如图，已知正方形ABCD的边长为x,E、F分别是AD、DC上的点，且AE=1,CF=3,长方形 EMFD的面积是24，分别以MF,DF为边长作正方形MFRW和正方形GFDH.求阴影部分的面积， B M E G H 22/31 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26八年级上·福建泉州月考)综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，“智慧小组”将4个全等的长为a,宽为b的长方形纸片由图1拼成如图2所示的图形 【操作发现】 (1)根据图1和图2中阴影部分的面积相等的关系，能验证的公式是一，利用此公式解决问题：若 x+y=5,y=6 x>y x-y 且，求的值 【解决问题】 (2)已知(2026-a+(a-2025=7,求(2026-aa-2025)的值. 【拓展应用】 (3)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC,BC为边作正方形ACDE和正方形BCFG,M为 21 AC上一点，点N在CB的延长线上，且AM=BN,若CM=3,CN=8,Sa4cs=2,求图中阴影部分（两 个正方形的面积和)的面积. Q a 图1 图2 图3 难点四整式的运算中的新定义型问题 难点1：新运算符号向整式运算的转化 题目定义如a@b=a-ab+b等非常规运算，需将其准确还原为加、减、乘、乘方等基本操作。难点在 于代入含字母的整式时，需同步处理括号、符号与运算顺序，若代入粗心则整式层级错乱。 难点2：新定义与常规运算律的兼容 新运算常与交换律、结合律、分配律混合使用。难点在于明确新运算是否满足这些运算律，避免将其误当 普通乘法处理。学生易混淆优先级或错误套用运算律，导致化简结果偏差。 23/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 口难点精练 1.(25-26九年级上·宁夏吴忠期中)[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子 的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中， 并结合非负数的意义来解决一些问题. 例如，把二次三项式x-2x+3进行配方. 解： x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x2-2x+1)+2=(x-1)}+2 我们定义：一个整数能表示成a2+b2(a,b是整数)的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅 美数”例如，5是“雅美数”.理由：因为5=2+1.再如.M=+20+2y=(c++少(x,y是整 数)，所以M也是“雅美数”. (1)[问题解决]4,6两个数中的“雅美数”是 ②)若二次三顶式-6r+13(x是整数)是“雅美数”，可配方成任-m+”（m,n为常数)，则m的 值为多少？ =x2+4y2+8x-12y+k (3)[问题探究]已知 (x,y是整数，k是常数且4)，要使S为“雅美数”，试求 出符合条件的k值. 2。（25:26八年缀上四川达州开学考试)【定义理解】对于两个正数“，b(a≠)， ,定义一种新的运算， 记作7(a,b),即：如果a=b,那么7ab)=C例如： 33=27,7(3,27)=3 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空： 7(2,4)= 7(2,16)= 7(2,64)= 【归纳猜想】 先观察2,4)，7216)与764)的结果之间的关系.再观察三个数4,16,64之间的关系.试若归纳： 24/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n(a,m)+7(a,n)= 【初步应用】 如图，大正方形BCD的边长为m,小正方形CGFE的边长为”，若7am)+7a,m)=nap), n(2,m+n)=47(2p)=5 ,求图中阴影部分的面积. 3.(25-26八年级上北京·期中)小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多 项式2-2x+3,由于-2x+3=(-1少+2，所以当x-1取任意一对互为相反数的数时，多项式 x2-2x+3 的值是相等的，例如，当-1=1. x=2x=0,x2-2x+3 ,即或时， 的值均为3：当-1=2 即x=3或-1时，x2-2x+3的值均为6. 于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x一取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相 等，就称该多项式关于x=t对称.例如x2-2x+3关于x=1对称. 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式x2-6x+10关于x= 对称： (2)若关于x的多项式x2+2bx+3关于x=4对称，则b的值为 6)整式+6x+(r+2x+关于x 对称 25/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 验成果 综合达标检测 ©基础达标 一、单选题 1.(25-26八年级下贵州黔西南·期末)下列计算正确的是() A.mm=m B (x+y)2=x2+y2 C.(x-2)x+2)=x2-4 D.(m2）°=m 2.(26-27九年级上·浙江温州开学考试)已知 3x+2yx-6列)=-52，y=-8,则-4y的值为 () A.60 B.-60 C.68 D.68 3.(25-26七年级下·陕西汉中·期中)我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如 5÷3就除不尽，可以用余数表示，即：5除以3商1余2.同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式 4x3-2x2+r+3 bx 除以，商式为 x2-x- 余3，则+力的值为() A.12 B.8 C.-8 D.-12 4.(2026江苏南通中考真题)在两个特殊整数的乘法运算中，存在一种简便方法（如图），可以用图1 到图2的转化过程加以说明（图中a,b均为整数）.下列算式中，能用这种方法进行计算的是() 10a 10a-b b 10a平6 10a 图1 图2 A.25×25 B.33×27 C.46×44 D.85×58 二、填空题 5.(25-26七年级下陕西汉中期中)计算：a÷a2·a的值为. 26/31 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(26-27八年级上湖南衡阳·阶段检测)已知一个三角形面积为6ab2-4ab°+2ab,一条边上的高为ab, 则这条边的长度为 7.(25:26七年级下四川成都期末)若7x+1(7x-) 的乘积结果中不含x的一次项，则常数《的值为 8.（25-26七年级下河南平顶山期末)若x-)°=1 有意义，有理数应满足条件 三、解答题 9.(26-27八年级上：河南周口阶段检测)计算、化简 0计算：-2ry+.-(←3xy (a+3)(a-3)-4(a2-2) (2)计算： 3)先化简，再求值：（a+2b2a+b)-2(a-b2,其中g=-2,b- 2 10.(26-27八年级上：甘肃天水：阶段检测)按要求解题 (1)已知10”=5,10=2，求103m+2”的值： 记8=4=16，求3”的位 11.(25-26七年级下·陕西汉中·期末)我国是中草药的发源地.为了让学生充分体验中草药种植的乐趣， 某校规划了一块形状为长方形的种植田种植金银花，一块形状为正方形的种植田种植黄芪，其中长方形种 4a+b) a+b) 植田的长为 米，宽为 米，正方形种植田的边长为2a米 (I)求种植金银花的面积比种植黄芪的面积大多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果化至最简） (2)当a=3,b=2时，求种植金银花的面积比种植黄芪的面积大多少平方米？ 12.(25-26八年级上湖北黄石期末)阅读材料：已知a+b=8,ab=15,求a+b的值. 解：d+P=(a+b}-2ab=64-30=34 27/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 参考上面的方法求解下列问题： E E D B 图① 图② 00若+y=8,+y=40,求”的值： ②己知x满足x-l5-)4,求x-旷+5-的值. (2)如图①，已知长方形ABCD的周长为12，分别以AD、AB为边，向外作正方形ADEF、ABGH,且正 方形ADEF、ABGH的面积和为20. ①求长方形ABCD的面积： ②如图②，连接HF、CF、CH,求△CFH的面积. 能力进阶 一、单选题 1.(26-27八年级上湖南期中)下列不能用平方差公式直接计算的是() A.（-m+n(m-n) B.（m-n)(-m+n) c.(x+2x-2) D.（-2x+y2x+) 2.(26-27八年级上：四川达州开学考试)下列运算中，正确的是() A.3a2-a2-2a B.(a+b)2=a2+6 c.ab2÷a2=a D.(a'b)=ab 3.(26-27八年级上·浙江金华开学考试)把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分(B 28/31 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为长方形)，再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B S2 S,-S2=15 纸片的面积为，若 ,则图2中阴影部分面积为() B B A A 图1 图2 A.18 B.19 C.20 D.21 二、填空题 4.（25-26七年级下陕西成阳阶段检测)规定0*6=2”×2”.若2*(x+1)=2 ,则x的值为 5.(25-26七年级下河北承德期末)观察：下列等式(x-x+=2-1,(c-x+x+)--1 (x-10(x23+x2+x+1=x4-1 据此规律，当x-r+x+r+2+x+)=0 时，代数式-2的值为 6.(25-26七年级下·浙江台州期末)如图1，一个大正方形和一个小正方形摆放在一起，点A,B,E在 同一条线上，点O为的中点，图中阴影部分的面积记为.将小正方形往左平移，使得点B与点B重 合，得到图2，点O为4B的中点，图中阴影部分的面积记为.若8-8=18 ,则小正方形的面积为 D D G OB A O'B' B(E) 图1 图2 三、解答题 7.(2026八年级上全国专题练习)先化简再求值：[2x--(2x-32x+川小：2y,其中x=1, 29/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-2 8.(2026八年级上·全国专题练习)计算： )-3x°(x÷(-x 2(2x+(2x-y)-(-2y)°+(6r-10x2y）(-2x2） a b =ad-bc 9.(26-27八年级上湖南湘潭·开学考试)对于任意实数a,b,c,d我们规定cd x-2y x+3y (1)若x=1,y=-1,求x-yx-2y的值（先化简，后求值）. x-1x+1 -8≤ <4 (2)若xx+5,求非负整数x的值. 10.(25-26七年级下·四川成都期末)按要求解答下列问题： b a D 图1 图2 图3 【知识回顾】 如图1，长方形的长与宽分别为a、b,请认真观察图形，解答下列问题： ①)若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图2的正方形，请写出下列三个代数式(a+b',(a-b,b 之间的一个等量关系式：一： (2)根据(1)中的等量关系，解决如下问题：若 .x-y=7 xy=6 x2+y2 ，求 的值： 【深入探究】 6)若a满足(2023-0a-2024)=-5,求(2023-+(a-2024 的值： 【应用迁移】 (④)如图3，长方形ABCD中，AB=2BC,E、F是边AB上的点(E在F左侧)，以EF为边向下作正方 30/31 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 形EFGH,延长GH交AD于点M,再以MH为边向上作正方形MHOP,若BF=2k,DM=k+1,(k 21 为常数，且k>0),正方形MHQP与长方形ABCD重叠部分的长方形面积为4，求长方形AMGF的周长. 31/31 第十六章 整式的乘法 复习要点 1. 理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法法则，能准确区分四种幂运算的指数变化规律（相加、相乘、分别乘方、相减）。 2. 掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，能区分三种乘法类型的运算步骤与易错点（漏乘、符号错误）。 3. 理解平方差公式与完全平方公式的代数结构与几何背景，能区分两个公式的适用条件与结果形式，避免混淆。 4. 掌握添括号法则（添正不变、添负全变），理解添括号是凑乘法公式进行简便运算的核心技巧。 5. 理解整式乘法与整式除法互为逆运算的关系，能综合运用幂的运算性质与乘法公式进行化简求值。 复习重难点 重点：幂的四种运算法则、整式的三类乘法运算，以及平方差公式与完全平方公式的理解与应用。 难点：灵活运用乘法公式进行简便运算（如添括号凑公式），以及综合运用幂的运算性质解决混合运算与化简求值问题。 知识点 幂的运算 1.同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）. 3.幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 4.幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 5.积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 6.积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数 时，计算更简便.如： 要点速测 1．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，运算正确，故该选项正确； B、与不是同类项，无法合并，运算错误，故该选项错误； C、，运算错误，故该选项错误； D、，运算错误，故该选项错误． 【答案】 【详解】解：． 2．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据积的乘方和单项式乘以单项式运算法则，合并同类项法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 知识点 整式的乘法 1.单项式与单项式相乘： 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 2.单项式与多项式相乘： 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 3.多项式与多项式相乘： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 4.同底数幂的除法：(其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：（a≠0） 6.整式的除法 （1）单项式÷单项式：系数相除，同底数幂指数相减，独含字母照搬 （2）多项式÷单项式：各项分别除单项式再求和 （3）易错：漏符号、漏单独字母、指数算错 要点速测 3．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）若的积中不含x与项， (1)求______，______； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)12 【分析】（1）首先根据多项式乘以多项式法则进行计算，然后根据“积中不含x与项”可得，求解即可获得答案； （2）首先将原式整理为，然后代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵的积中不含x与项， ∴，解得； （2）解：由（1）可知，， ∴ ． 5．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图1，在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究，图2是货车盲区的部分分布图，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个正方形． (1)用含，的代数式表示图中盲区的总面积（结果需化简）． (2)若，，求图中盲区的总面积． 【答案】(1) (2)36 【分析】（1）根据直角三角形，正方形的面积公式即可得到结论； （2）把，代入（1）中所得式子即可． 【详解】（1）解：∵盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个正方形， ∴盲区1，2的面积， 盲区3的面积， ∴图中盲区的总面积 （2）解：代入，得： ． 知识点 乘法公式 1.平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 2.完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab. 要点速测 6．（2026八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先利用乘法公式展开并合并同类项，再计算多项式除以单项式化简原式，再代入数值计算即可解答． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 7．（25-26六年级下·山东烟台·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是________．（请选择正确的选项） A．    B． C．    D． (2)用你选的等式进行简便计算： ①； ②． 【答案】(1)A (2)①20；②4049 【分析】（1）利用平方差公式求解； （2）①利用平方差公式进行计算； ②利用平方差公式进行计算． 【详解】（1）解：上述操作能验证的等式是； （2）解：① ； ② ． 8．（25-26八年级上·四川眉山·期中）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到基于此，请解答下列问题： (1)【直接应用】若，，则的值为____________； (2)【类比应用】①若，则 ； ②若x满足，求的值； ③若x满足，求的值； (3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】(1)2 (2)①3；②31；③1008 (3)30 【分析】（1）直接由完全平方公式即可得出答案． （2）①先由得，再将代入即可得出答案； ②根据完全平方公式即可得出答案； ③根据完全平方公式即可得出答案． （3）设，，由得，据此可得，然后再由得，由此利用完全平方公式可求出，最后利用三角形面积公式可求出一块直角三角板的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴． ②原式 ； ③∵ ， ∴； （3）解：设，， ∵，点A、O、D三点共线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型1 判断整式运算是否正确 ▌例1 （2026七年级上·重庆·专题练习）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方、单项式的乘法、合并同类项、单项式的除法． 根据积的乘方、单项式的乘法、合并同类项、单项式的除法法则逐一计算后判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．不是同类项，原计算错误，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意； 故选：D． 解题要点 1. 逐项核对法则：检查运算是否符合幂的运算法则（同底数幂相乘底数不变指数相加、积的乘方等）、合并同类项法则（字母和指数不变，系数相加减）及去括号法则（括号前是负号，去括号各项变号）。 2. 特值验证与顺序检查：可用特殊值代入原式与结果验证是否相等。同时检查运算顺序（先乘方、再乘除、后加减）和符号处理，注意完全平方公式中间项是否漏乘2。 ▌迁移练1-1 （25-26八年级上·天津和平·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，包括同底数幂乘法、积的乘方、单项式乘多项式以及平方差公式的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：选项A： ，故A错误； 选项B： ，故B错误； 选项C： ，故C错误； 选项D： ，故D正确． 故选：D． ▌迁移练1-2 （25-26八年级上·黑龙江伊春·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，积的乘方，合并同类项，完全平方公式，单项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． ▌迁移练1-3 （25-26八年级上·天津滨海新·月考）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据运算法则：同底数幂相乘，平方差公式，单项式乘以多项式，单项式除以单项式，分别对四个式子逐一计算，再作判断． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：C． 题型2 判断是否可用平方差或完全平方公式运算 ▌例2 （25-26八年级上·广东江门·月考）下列各式可以用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，根据判断各选项即可． 【详解】解：A．，为完全平方的相反数，不符合题意； B．，符合题意； C．，无相同项或互为相反数的项，不符合题意； D．，为完全平方的相反数，不符合题意； 故选 ：B． 解题要点 1. 平方差公式条件：形如 (a+b)(a-b)=a²-b²，需满足两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数。即结构为“同号项与异号项”。 2. 完全平方公式条件：形如 (a±b)²=a²±2ab+b²，需为两数和（或差）的平方。展开结果为三项：首平方、尾平方、中间为两底数积的2倍（符号与括号内一致）。注意识别公式结构，不可混用。 ▌迁移练2-1 （25-26八年级上·云南昆明·期末）下列式子中，不能用平方差公式运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键，平方差公式要求两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数．选项C中两个二项式整体互为相反数，不符合公式条件． 【详解】解：选项A∶ ，a相同，b与相反，∴可用公式． 选项B∶ ，相同，b与相反，∴可用公式． 选项C∶，不符合平方差公式“一项相同，另一项互为相反数”的结构特点，∴不能用公式． 选项D∶ ，b相同，a与相反，∴可用公式． ∴不能用平方差公式的是C． 故选C． ▌迁移练2-2 （25-26八年级上·山东济宁·周测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的计算，熟练掌握公式是解题的关键． 通过直接计算每个选项，判断其正确性即可． 【详解】解：∵ 平方差公式：， 完全平方公式：，． A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意． 故选：D． ▌迁移练2-3 （25-26八年级上·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“完全平方式的定义”，熟练掌握完全平方式的形式是解题关键． 根据完全平方式的定义，两个因式需完全一致或其中一个式子是另一个式子的因式，才能应用完全平方式，根据定义判断即可． 【详解】 A选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； B选项：，两项都相等，符合完全平方公式； C选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； D选项： 中，两项无共同点，不满足定义，不能用完全平方公式； 故选：B． 题型3 幂的混合运算及逆运算 ▌例3 （25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，先运算积的乘方，然后运算同底数幂相乘，再运算同底数幂相除，最后合并同类项，即可作答． 【详解】解： ． 解题要点 1. 正用法则按序算：同底数幂相乘除（底数不变，指数相加/减）、幂的乘方（指数相乘）、积的乘方（各因式分别乘方）。混合运算先乘方，再乘除，后加减，注意符号。 2. 逆用公式巧变形：常逆用 am+n=am·an、amn=(am)n、an·bn=(ab)n等，将已知条件转化为同底或同指数形式。比较幂的大小可化为同底数或同指数后比较。注意指数为负或零时的条件。 ▌迁移练3-1 （25-26八年级上·河北廊坊·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则并准确运算． （1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项； （2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ． ▌迁移练3-2 （25-26八年级上·新疆阿克苏·月考）计算： (1)已知求的值； (2)已知，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用． （1）逆用同底数幂的除法法则计算即可； （2）先逆用同底数幂乘法得到，再逆用幂的乘方计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． ▌迁移练3-3 （25-26八年级上·湖南衡阳·月考）（1）已知，，求①；②的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）①12；②；（2）16 【分析】本题主要考查了同底数幂除法及其逆运算，幂的乘方及其逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）分别根据同底数幂乘法和同底数幂除法的逆运算求解即可； （2）先根据幂的乘方得到原式，再根据同底数幂除法的法则求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ①； ②； （2）∵， ∴， ∴ ． 题型4 零指数幂 ▌例4 （25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若，则 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了乘方运算，零指数幂，当时，需考虑底数为1、底数为且指数为偶数、指数为0，且底数不为0这三种情况，据此讨论求解即可． 【详解】解：当时，则，则， 此时，满足题意； 当时，则，则， 此时，满足题意； 当时，则，则， 此时，符合题意； 综上所述，x的值为或或， 故答案为：或或． 解题要点 1. 底数不为零：零指数幂公式 a⁰=1（a≠0）。解题时务必先确认底数a≠0，若底数为零则无意义。这是最易忽略的隐含条件。 2. 整体底数与符号：底数可以是数、单项式或多项式整体。计算时先化简底数，判断其是否为零。如 (-2)⁰=1，而 -2⁰=-1（指数只作用于2）。注意区分底数符号与负号的位置。 ▌迁移练4-1 （25-26七年级下·广东清远·期末）计算：________． ▌迁移练4-2 （25-26七年级上·上海黄浦·月考）若等式成立，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了零指数幂以及乘方运算，掌握相关运算法则是解题关键，注意分类讨论．根据零指数幂的性质，乘方的运算法则分类讨论求解即可． 【详解】解：①当时，解得：， ∴ 此时，符合题意； ②当时，解得：， ∴， 此时，符合题意； ③当时，解得：， ∴， 此时，符合题意； 综上可知，x的值为或或． 故答案为：或或． ▌迁移练4-3 （25-26八年级上·山东日照·月考）若等式成立，则x的值为 ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方，正确分类讨论是解题关键．直接利用当时，当时，当时，分别分析得出答案． 【详解】解：当时， 解得， 此时，，更符合题意， 成立； 当时， 解得， 则等式成立； 当时， 解得， 则等式成立； 综上所述，x的值为或或． 故答案为：或或． 题型5 完全平方式中的字母参数问题 ▌例5 （25-26八年级上·山西临汾·期末）若是完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解本题的关键． 利用完全平方式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵是完全平方式，即， ∴， 故答案为：． 解题要点 1. 对照公式定中间项：完全平方式形如 a²±2ab+b²。已知首尾平方项时，中间项为 ±2ab，据此列方程求参数。注意中间项符号与括号内一致。 2. 分类讨论与检验：若参数位置不确定（可能首项、中间项或尾项含参），需分情况讨论。求出参数后回代检验是否为完全平方式，确保二次项系数为正且符合完全平方结构。注意“±”两种可能。 ▌迁移练5-1 （25-26七年级上·上海杨浦·期末）若关于的整式是某一个整式的平方，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键． 根据完全平方公式的结构特点，设原式为某个整式的平方，通过比较系数建立方程组求解 【详解】设整式为，则其平方为，与原式比较系数，得：，，，， 由得， 由且得， 代入得， 将代入得， 即， 解得， 则， 故答案为：． ▌迁移练5-2 （25-26八年级上·黑龙江伊春·期末）若是完全平方式，则 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了求完全平方式中的系数，根据所给多项式可确定两平方项，则可确定一次项，据此比较系数求解的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴一次项为， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：1或． ▌迁移练5-3 （25-26八年级上·四川眉山·月考）已知是一个完全平方式，那么k的值为 ． 已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．对于第一问，利用完全平方公式的结构特征即可求解，对于第二问，考虑两种情形：M作为中间项或平方项两种情况，然后分类讨论求解． 【详解】解：对于第一问：∵是完全平方式，且，， ∴．故． 故答案为：． 对于第二问：解：要使是某个多项式的平方，有两种情况： ①当它是完全平方式时，可表示为，所以． ②当它是另一个多项式的平方时，如设为． 与比较，得，， 为M中的系数． 由，代入，得， 所以，． 故答案为：或． 题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值 ▌例6 （25-26八年级上·河北廊坊·期末）若的展开式中不含的一次项，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，不含的一次项，就是该项系数为，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵展开式中不含的一次项， ∴， ∴， ∴实数的值为． 故答案为：． 解题要点 1. 展开合并同类项：先将多项式乘积按整式乘法展开，再合并同类项，得到含参数的整理结果。注意符号与各项系数准确。 2. 令指定项系数为零：根据题意“不含某项”，令该项的系数等于0，建立关于字母的方程，解出参数值。注意区分“不含某项”与“该项系数为0”，必要时检验其他项是否受影响。 ▌迁移练6-1 （25-26八年级上·四川资阳·期末）若计算的结果中含项的系数为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点包括多项式的乘法运算法则、同类项的合并方法，以及通过系数对应关系构建方程求解参数的代数思想，核心是对整式运算和方程求解的综合应用；将多项式展开后，合并同类项，根据项的系数为，列出方程求解． 【详解】解： ∵项的系数为， ∴， 解得． 故答案为：． ▌迁移练6-2 （25-26八年级上·广东汕头·期末）要使展开式中不含项，则k的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，解题关键是掌握不含某项、则某项的系数为零是解题的关键． 先根据多项式乘法展开，然后合并同类项，然后让项的系数为零，据此列出关于k的方程求解即可． 【详解】解：， ∵展开式中不含项， ∴项的系数，解得：． 故答案为：． ▌迁移练6-3 （25-26七年级上·重庆·期末）已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．原式利用多项式乘以多项式法则和整式加减运算法则计算，再根据值与x的取值无关，求出、的值，进而得到代数式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 的值与x的取值无关， ，， ，， ， 当时，A的值为， 故答案为：3． 题型7 整式乘除混合运算 ▌例7 （25-26八年级上·甘肃天水·期末）化简：． 【答案】 【详解】解： ． 解题要点 1. 按序运算与法则：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内。单项式乘除用同底数幂法则（指数相加/减）；多项式乘多项式逐项相乘再合并；除法转化为乘法（乘以倒数）或逐项相除。 2. 符号与合并同类项：注意负号、去括号变号，尤其括号前是负号时各项均变号。计算后及时合并同类项，结果按某一字母降幂排列。最后检查是否化到最简，避免漏项或符号错误。 ▌迁移练7-1 （2025·重庆·模拟预测）计算： 【答案】． 【分析】本题考查了整式的运算，通过完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式进行化简，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． ▌迁移练7-2 （25-26八年级上·河北廊坊·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算单项式乘多项式和多项式乘多项式，再计算加法即可； （2）利用多项式除以单项式的运算法则，每一项都除以即可． 本题主要考查了多项式乘多项式，多项式除以单项式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． ▌迁移练7-3 （25-26八年级上·天津红桥·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了多项式除以单项式，完全平方公式，平方差公式，熟练相关运算法则是解题的关键． （）利用多项式除以单项式的法则，进行计算即可； （）利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型8 整式乘法混合运算——化简求值 ▌例8 （25-26八年级上·四川眉山·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的运算，涉及到乘法公式等知识，掌握相关知识并熟练使用，同时注意计算过程中需注意的事项，是本题的解题关键． 先使用完全平方公式和整式的乘法对小括号内的式子进行计算，然后合并同类项，再做除法即可化简完毕，最后将x、y的值代入即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 解题要点 1. 先化简再代入：先按运算顺序（先乘方、再乘除、后加减）展开整式乘法，去括号后合并同类项，化为最简形式。注意符号与完全平方公式的中间项。 2. 代入求值验算：将字母的值代入化简后的式子，负数、分数代入要加括号。也可用整体代入简化计算。结果需为最简，必要时用特值验证原式与化简式相等。 ▌迁移练8-1 （25-26八年级上·重庆北碚·期末）化简求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式法则对中括号内的式子进行化简，再进行多项式除以单项式的运算，最后将x、y的值代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴． ▌迁移练8-2 （25-26八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和多项式除以单项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． ▌迁移练8-3 （25-26八年级上·山东济宁·周测）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式中括号中利用完全平方公式及多项式的乘法化简，合并后再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 题型9 利用乘法公式简便运算 ▌例9 （25-26八年级上·甘肃金昌·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10000 (2)505 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用． （1）将式子变形为符合完全平方公式的形式进行简便计算； （2）利用平方差公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 解题要点 1. 构造平方差：将两数相乘化为 (a+b)(a-b)=a²-b² 形式。如 102×98=(100+2)(100-2)=100²-2²=9996。关键是找两数的平均数和差。 2. 构造完全平方：将接近整十整百的数写成 (a±b)²=a²±2ab+b²。如 99²=(100-1)²=10000-200+1=9801。注意中间项符号与漏乘2，结果需准确。 ▌迁移练9-1 （25-26七年级下·全国·课后作业）用简便方法进行计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察到，将原式凑成完全平方公式的形式，简化计算； （2）把各数写成整十/整百/整千的形式，连续用平方差公式逐步化简； （3）将原式通分，观察分子特点，利用完全平方公式的形式简化计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． ▌迁移练9-2 （25-26八年级上·山东济宁·周测）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法； （1）根据完全平方公式可以解答本题； （2）根据平方差公式可以解答本题； （3）根据平方差公式可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． ▌迁移练9-3 （25-26七年级下·全国·课后作业）运用平方差公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （2）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （3）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （4）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 题型10 通过对完全平方公式变形求值 ▌例10 （25-26八年级上·湖南衡阳·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据求解即可； （2）根据先求出的值，然后再求的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 解题要点 1. 掌握常用变形：由 (a±b)²=a²±2ab+b² 可得：a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-b)²+2ab；(a+b)²-(a-b)²=4ab；(a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²)。 2. 整体代入求值：根据已知条件（如a+b、ab、a²+b²、a-b），选择合适变形公式整体代入。注意符号与已知量的对应，避免展开求根。常用于已知和与积求平方和或差。 ▌迁移练10-1 （25-26七年级上·上海·期中）已知，， (1)求的值 (2)求 【答案】(1) (2)37 【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则将式子展开，将已知代入求值即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． ▌迁移练10-2 （25-26八年级上·江西南昌·月考）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题关键是将所求式子转化为含和的形式． （1）将结合完全平方公式转化为，代入，计算． （2）将变形为，代入已知值求出，再对其平方得到结果． 【详解】（1）∵，， ∴． （2）∵，， ∴， ∴． ▌迁移练10-3 （25-26七年级下·全国·周测）已知，，求： (1)的值． (2)的值． (3)的值． 【答案】(1)23 (2)30 (3)37 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据完全平方公式变形求解； （2）将（1）中所求的，以及代入即可求解； （3）根据，代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 题型11 单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积 ▌例11 （25-26八年级上·陕西安康·期末）对联是中华传统文化的瑰宝．如图所示，对联装裱后卷轴的总宽度为b，总长度为，对联上方留白称为天头，长为，下方留白称为地头，图中天头和地头的长度之比为，左、右两边的边宽均为天头与地头长度之和的． (1)这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度为________，横向宽度为________；（用含a、b的代数式表示，并将结果化为最简） (2)求这副对联画心（即图中阴影部分）的面积．（用含a、b的代数式表示，并将结果化为最简） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘法在几何图形中的应用，正确理解题意表示出这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度和横向宽度是解题的关键． （1）根据题意求出地头的长，进而可求出左、右两边的边宽，再结合图形可得答案； （2）根据长方形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵天头和地头的长度之比为，且天头长为， ∴地头长为， ∴这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度为； ∵左、右两边的边宽均为天头与地头长度之和的， ∴这副对联画心（即图中阴影部分）的横向宽度为； （2）解： ， ∴这副对联画心（即图中阴影部分）的面积为． 解题要点 1. 面积法理解法则：将大长方形分割成若干小矩形，面积分别对应各乘积项。单项式乘多项式即多个小矩形面积之和；多项式乘多项式即各行各列乘积之和，直观验证展开式。 2. 列式与计算：根据图形长宽列代数式表示面积，利用乘法法则展开、合并。求阴影面积常用割补法（总面积减空白面积）。注意各项符号与对应边长，结果需化简。 ▌迁移练11-1 （25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，有一块长、宽的长方形地块，现计划在中间修筑一个长、宽的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪． (1)用含的代数式表示草坪的面积；（结果需化简） (2)当时，求草坪的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了长方形面积公式，多项式乘法法则及整式的加减运算． （1）根据长方形面积公式求出长方形地块和塑像的面积，再通过两者面积的关系求出草坪的面积， （2）将a、b的值代入草坪面积的表达式中求出具体数值即可． 【详解】（1）解：由图可知，草坪的面积是： ， 答：草坪面积为； （2）解：当时， ， 答：草坪的面积是． ▌迁移练11-2 （25-26八年级上·陕西榆林·期末）书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹．现有一本数学课本（如图1），其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸（如图2）包好了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长（）即为折叠进去的宽度．请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） (1)图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为______，宽为______； (2)求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘以多项式与几何图形，明确题意，准确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，列出代数式，即可求解； （2）利用长方形的面积公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，长为，宽为， 故答案为：，； （2）解：由题意得， ▌迁移练11-3 （25-26八年级上·贵州黔西·期末）如图1，吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙，顺应山势，其部分结构是接地而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与自然融为一体．如图2是某吊脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3所示的几何图形（单位：m）． (1)请用含字母a，b的代数式表示图3的面积． (2)若，，此时图3的面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用． （1）根据梯形的面积公式计算即可； （2）将，代入（1）中结果计算即可． 【详解】（1）解：面积为： ； （2）解：当，时，原式=， 故此时图3的面积是． 难点一 多项式乘法中的规律性问题 难点1： 算式结构的多层归纳 给定若干特殊乘法式（如 (x+1)(x2-x+1)=x3+1），需观察系数、次数及符号的演变规律。难点在于从个别算式中提炼出统一的代数结构，尤其涉及交替符号或递推形式时，易被表面数值迷惑而归纳偏差。 难点2：通项猜想的适用范围检验 归纳出通项后，需代入更多情形或利用多项式恒等原理验证。难点在于界定规律成立的字母取值范围及指数条件，忽视边界（如n为正整数）或跳步验证，会导致规律误用。 难点精练 1．（25-26八年级上·河南信阳·月考）观察下列各式． (1)根据以上规律，则 _______； (2)你能否由此归纳出一般规律_______； (3)根据以上规律求： 的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解：观察题中已有等式规律，可得出： ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：通过观察总结可知：当前面的多项式最高次数为n时，得数的x次数应该为n+1， ． 故答案为：． （3）解： 根据（2）的结论，有， 因此，原式． 2．（25-26七年级上·河北保定·月考）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为________； (2)展开式中共有________项，第19项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 【答案】(1)6 (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的规律，数字的变化规律，解题关键是找出规律． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，用表示出展开式中共项数，当时，用表示出倒数第项的系数，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令，时代入展开式即可得到所求代数式的值； 【详解】（1）解：图中括号内的数为， 故答案为：6； （2）展开式有项， ，展开式有项，倒数第三项系数为； ，展开式有项，倒数第3项系数为3，倒数第三项系数为； ，展开式有项，倒数第3项系数为6，倒数第三项系数为； 展开式有项，倒数第3项系数为，倒数第三项系数为； ……； 以此类推，展开式中共有项，倒数第三项的系数， ∴展开式共有项，第项系数为， 故答案为：，； （3）根据图示，， 故答案为：； （4）∵， 当，时，， ∴． 3．（25-26八年级上·山东日照·月考）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数．                                                      1      1  1                                        1  2  1                               1  3  3  1                      1  4  6  4  1         1  5  10  10  5  1 (1)观察的展开式，各项系数和是______；猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和______（结果用含字母n的代数式表示）； (2)利用材料中的规律计算： ①写出的展开式 ② 【答案】(1)64， (2)①，②1 【分析】本题考查了数字的变化类、列代数式、多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值． （1）由已知式子列出的展开式，再计算出各项系数和即可；根据规律发现可知，（n取正整数）的展开式的各项系数之和为； （2）①根据前面发现的规律，将所求式子变形，即可运用发现的规律解答本题即可； ②利用的展开式，将式子转化为，计算得1． 【详解】（1）解：， ∴各项系数和为：， ∵的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， ……， ∴（n取正整数）的展开式的各项系数之和为， 故答案为：64，． （2）解：① ； ②观察式子， 将原式与进行比较，可发现当，时，两者形式完全相同， ∴原式． 难点二 平方差公式与几何图形的应用 难点1：几何图形向平方差结构的映射 需将图形面积关系（如大正方形挖去小正方形后剩余L形）转化为 a2-b2 形式。难点在于识别图形分割与拼接中隐含的边长关系，若对应边混淆，则无法建立代数等式。 难点2：割补前后面积不变的等价验证 通过剪拼将L形转化为矩形，需确保剪拼过程中面积恒等且边长对应准确。难点在于说明转化后矩形的长与宽分别对应a+b和 a-b ，学生易忽略变形过程中边长的对应关系，导致公式推导逻辑断裂。 难点精练 1．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·月考）【探究】如图①，边长为的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________． （用含a，b的等式表示） 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为___________． （2）计算：． 【扩展】计算： 【答案】【探究】【应用】（1）3，（2）；【扩展】 【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的灵活应用． 探究：利用图形的面积得出平方差公式； 应用：（1）利用平方差公式进行求解即可； （2）利用平方差公式进行求解即可； 扩展：先利用平方差公式进行整理，再进行计算即可． 【详解】解：【探究】， 故答案为：； 【应用】（1）由得，， 即， 将代入上式得，； 故答案为：3； （2）原式 ； 【扩展】 ． 2．（25-26八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查平方差公式的变形计算，掌握平方差公式是关键． （1）根据图形面积计算即可； （2）运用（1）中的结论计算即可； （3）①运用（1）中的结论计算即可； ②运用（1）中的结论分别计算出每一项，最后再计算乘法即可． 【详解】（1）解：图1的面积为，图2的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：①，，， ， ； ② ． 3．（25-26八年级上·重庆璧山·期中）已知，如图所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图和图两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)比较图和图的阴影部分的面积可以得到的等式是________． (2)请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②求的结果的个位数字． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（）根据图形表示出阴影部分的面积即可求解； （）①利用平方差公式计算即可求解；②利用平方差公式可得计算结果为，再找出个位数字的变化规律即可求解； 本题考查了平方差公式的几何背景以及数字的变化规律，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，阴影部分的面积为；由图可得，阴影部分的面积为， ∴得到的等式是， 故答案为：； （2）解：① ； ②原式 ， ∵，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ， ∴个位数字以，，，的规律重复出现， ∵， ∴的个位数字为， 即的结果的个位数字为． 难点三 完全平方公式与几何图形的应用 难点1：正方形分割的面积对应 将边长为a+b的正方形分割为两个小正方形和两个矩形，其面积和对应a2+2ab+b2。难点在于准确识别各分块的边长与面积表达式，若图形分割与代数项对应错位，则公式推导失效。 难点2：变形图形的等面积转化 通过剪拼构造(a-b)2等变式时，需保证剩余面积与代数式等价。难点在于处理重叠或缺失区域，明确a2-b2与(a+b)(a-b)的面积对应关系，学生易混淆图形边界导致恒等式验证错误。 难点精练 1．（25-26七年级上·湖北咸宁·期中）实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【知识生成】（1）一个长为，宽为的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀将该长方形平均分成4个小长方形，然后用这4个小长方形拼成如图2所示的图形．观察图形，写出一个，三者之间的等量关系式：__________________． 【知识应用】（2）运用（1）中的结论，若，求的值： 【类比迁移】（3）如图3，若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）30 【分析】本题主要考查完全平方公式和几何图形面积的关系，完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）图2中大正方形面积为；四个小长方形面积为，中间空白的小正方形面积为，根据图形面积之间的关系可得答案； （2）结合第一问的，即可得代入即可； （3）根据，，求出，根据，即可得出答案． 【详解】解：（1）图2中大正方形的边长为，则其面积可以表示为； 图2中四个小长方形的面积可以表示为，中间空白的小正方形边长为，则其面积可以表示为， ∴； （2）∵，，， ∴； （3）∵，， ∴ ， ． 2．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 这里用到了完全平方公式的变形： ，或， 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： ，． 【类比探究】解决下列问题： （1）若，求的值． 【拓展应用】 （2）如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）的值为6；（2）20 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用及多项式乘多项式，正确理解题目，熟练掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． （1）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答； （2）根据题意易得：，，然后设，，则，，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）设，， ， ， ， ， ， 的值为6； （2）正方形的边长为，，， ，， 设，， ， 长方形的面积是24， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 3．（25-26八年级上·福建泉州·月考）综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，“智慧小组”将4个全等的长为，宽为的长方形纸片由图1拼成如图2所示的图形． 【操作发现】 （1）根据图1和图2中阴影部分的面积相等的关系，能验证的公式是______，利用此公式解决问题：若，且，求的值． 【解决问题】 （2）已知，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，分别以为边作正方形和正方形为上一点，点在的延长线上，且，若，，求图中阴影部分（两个正方形的面积和）的面积． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式与图形的面积，完全平方公式变形求值； （1）根据两个图形的面积相等即可得出等式，进而将，代入公式进行计算即可求解； （2）设，则，，再根据完全平方公式变形，即可求解； （3）设，根据题意得出，，进而根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：（1）依题意，图1中阴影部分的面积为， 图1中阴影部分的面积为 ， ∵图1和图2中阴影部分的面积相等， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）解：设， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 即图中阴影部分（两个正方形的面积和）的面积为． 难点四 整式的运算中的新定义型问题 难点1：新运算符号向整式运算的转化 题目定义如a＠b = a2 - ab + b等非常规运算，需将其准确还原为加、减、乘、乘方等基本操作。难点在于代入含字母的整式时，需同步处理括号、符号与运算顺序，若代入粗心则整式层级错乱。 难点2：新定义与常规运算律的兼容 新运算常与交换律、结合律、分配律混合使用。难点在于明确新运算是否满足这些运算律，避免将其误当普通乘法处理。学生易混淆优先级或错误套用运算律，导致化简结果偏差。 难点精练 1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“雅美数”． (1)[问题解决]4，6两个数中的“雅美数”是________． (2)若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为多少？ (3)[问题探究]已知（x，y是整数，k是常数且），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值． 【答案】(1)4 (2)12 (3)25 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据、和“雅美数”的定义求解即可得； （2）将配方成，则，代入计算即可得； （3）将配方成，根据，和“雅美数”的定义可得，据此即可得． 【详解】（1）解：∵，0和2都是整数， ∴4是“雅美数”； ∵，不能表示成两个数的平方和形式， ∴6不是“雅美数”； 故答案为：4． （2）解： ， ∵二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（为常数）， ∴， ∴． （3）解： ， ∵，为整数， ∴，， ∴要使为“雅美数”，即能表示为两个整数的平方和，则， ∴． 2．（25-26八年级上·四川达州·开学考试）【定义理解】对于两个正数，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；__________ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察三个数，，之间的关系．试着归纳：__________ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】问题初探：2；4；6；归纳猜想：；初步应用：96 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，新定义，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）根据（1）的运算结果，归纳得； （3）根据（2）所求可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：问题初探：∵， ∴；；； 归纳猜想：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 初步应用：∵，，， ∴， ∵， ∴ ． 3．（25-26八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于____________对称； (2)若关于的多项式关于对称，则的值为_________； (3)整式关于____________对称． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题主要考查多项式的配方以及根据新定义判断多项式的对称轴，解题的关键在于将多项式通过配方转化为完全平方式的形式，再根据定义确定对称轴． （1）首先对多项式进行配方，化成完全平方的形式，求解对称轴即可． （2）先对多项式进行配方，在根据多项式关于对称，求解的值即可． （3）先对整式中的两个多项式分别进行因式分解，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴多项式关于对称 故答案为：3； （2）解：∵， ∴关于对称， ∵关于对称， ∴， ； 故答案为：； （3）解：， ， ∴原式， ∵当取相反数时，相等，故原式值相等， ∴关于对称． 故答案为：． 基础达标 一、单选题 1．（25-26八年级下·贵州黔西南·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法法则、完全平方公式、平方差公式、幂的乘方运算法则，分别计算即可得出答案． 【详解】解：A选项：，本选项计算错误，故不符合题意； B选项：，本选项计算错误，故不符合题意； C选项：，本选项计算正确，故符合题意； D选项：，本选项计算错误，故不符合题意． 2．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）已知，，则的值为（     ） A．60 B． C．68 D． 【答案】B 【分析】将已知等式左边展开，变形得到含待求式的整体，代入计算． 【详解】解：， 将代入，得， 即， 所以． 3．（25-26七年级下·陕西汉中·期中）我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：5除以3商1余2．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（     ） A．12 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】由被除式、除式、商、余式的关系可得，再展开对比得到关于a、b的方程组求得a、b的值，最后求和即可． 【详解】解：∵多项式除以，商式为余3， ∴， ， ∴， 解得， ∴． 4．（2026·江苏南通·中考真题）在两个特殊整数的乘法运算中，存在一种简便方法（如图），可以用图1到图2的转化过程加以说明（图中，均为整数）．下列算式中，能用这种方法进行计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图1和图2得出该算式应满足的形式，即可解答； 【详解】解：由图1知长方形面积为，由图2知面积为， 该算式应满足的形式， ，此时，符合题意，其余选项均不符合． 二、填空题 5．（25-26七年级下·陕西汉中·期中）计算：的值为____________________． 【答案】 【分析】从左到右的顺序计算，利用同底数幂的乘除法则求解． 【详解】解： ． 6．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知一个三角形面积为，一条边上的高为，则这条边的长度为_________． 【答案】 【分析】根据三角形面积公式可得底边长等于面积的2倍除以高，再计算整式除法即可． 【详解】解：设这条边的长度为， 由三角形面积公式可得， ． 7．（25-26七年级下·四川成都·期末）若的乘积结果中不含的一次项，则常数的值为________． 【答案】1 【分析】展开多项式乘积，令的一次项系数为，解方程即可得到的值． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴一次项系数等于，即， 解得． 8．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）若有意义，有理数应满足条件________． 【答案】 【分析】根据零指数幂的定义，零指数幂的底数不能为0，据此求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得． 三、解答题 9．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）计算、化简 (1)计算：． (2)计算：． (3)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3) ； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； 当，时， 原式. 10．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）按要求解题 (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， 即，， ∴． 11．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）我国是中草药的发源地．为了让学生充分体验中草药种植的乐趣，某校规划了一块形状为长方形的种植田种植金银花，一块形状为正方形的种植田种植黄芪，其中长方形种植田的长为米，宽为米；正方形种植田的边长为米． (1)求种植金银花的面积比种植黄芪的面积大多少平方米？（用含、的代数式表示，结果化至最简） (2)当，时，求种植金银花的面积比种植黄芪的面积大多少平方米？ 【答案】(1)种植金银花的面积比种植黄芪的面积大平方米； (2)种植金银花的面积比种植黄芪的面积大34平方米． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 答：种植金银花的面积比种植黄芪的面积大平方米． （2）当，时，（平方米）， 答：种植金银花的面积比种植黄芪的面积大34平方米． 12．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）阅读材料：已知，，求的值． 解：， 参考上面的方法求解下列问题： (1)①若，，求的值； ②已知满足，求的值． (2)如图①，已知长方形的周长为12，分别以、为边，向外作正方形、，且正方形、的面积和为20． ①求长方形的面积； ②如图②，连接、、，求的面积． 【答案】(1)①12；②8 (2)①8；②14 【分析】（1）①根据，代入求解即可； ②设，可得，由代入求出的值即可； （2）①设，则，即，由正方形的面积和为20，得到，根据代入求出即可； ②根据求出面积，变形后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， ∴，解得； ②设，则， 由得， ， 即的值为8； （2）解：①设， ∵长方形的周长为12， ∴，即， ∵正方形的面积和为20， ∴， 由得，， ， 即长方形的面积为8； ②根据题意可得，，， 根据①可得，，长方形的面积为8， ∴ ． 能力进阶 一、单选题 1．（26-27八年级上·湖南·期中）下列不能用平方差公式直接计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“两个数的和与两个数的差的积”能运用平方差公式直接计算，逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A、，不满足“两个数的和与两个数的差的积”，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意； B、满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； C、满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； D、满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意． 2．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，故A选项运算错误． ，B选项运算错误． ，C选项运算错误． ，D选项运算正确． 3．（26-27八年级上·浙江金华·开学考试）把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】D 【分析】设图1正方形纸片边长为，部分的宽为，长为，根据图2得出和，再利用得到，再表示出代入计算即可． 【详解】解：设图1正方形纸片边长为，部分的宽为，长为， 根据图2是正方形，得， 即， 由图2两个的位置，可得，即， 图2正方形边长为， ， ， ， ， ． 二、填空题 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）规定．若，则x的值为______． 【答案】1 【详解】解：由定义，可知， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·河北承德·期末）观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为________． 【答案】 【分析】先根据已知等式总结规律，将原方程化简得到，然后求解，再代入求值即可． 【详解】解：观察已知等式，可得规律：， 对于， 根据规律得， 即， 解得或， 当时，； 当时，， 因此代数式的值为． 6．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图1，一个大正方形和一个小正方形摆放在一起，点，，在同一条线上，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．将小正方形往左平移，使得点与点重合，得到图2，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．若，则小正方形的面积为_________． 【答案】36 【分析】延长交的延长线于点，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图像列出的代数式，代入求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 延长交的延长线于点， ∵点为的中点， ∴， 则， ， ， ∵点为的中点， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， 化简，得， ∴小正方形的面积为． 三、解答题 7．（2026八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【详解】解： ， 当时，原式． 8．（2026八年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按单项式乘除混合运算的法则进行计算． （2）结合平方差，完全平方公式以及多项式除以单项式进行计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 9．（26-27八年级上·湖南湘潭·开学考试）对于任意实数 a， b， c， d， 我们规定， (1)若，， 求的值（先化简，后求值）． (2)若， 求非负整数的值． 【答案】(1)； (2)，， 【详解】（1）解：， ， ，， 原式； （2）解：， ， ， 解得， 非负整数的值为，，． 10．（25-26七年级下·四川成都·期末）按要求解答下列问题： 【知识回顾】 如图，长方形的长与宽分别为、，请认真观察图形，解答下列问题： (1)若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图的正方形，请写出下列三个代数式，，之间的一个等量关系式： ； (2)根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值； 【深入探究】 (3)若满足，求的值； 【应用迁移】 (4)如图，长方形中，，、是边上的点（在左侧），以为边向下作正方形，延长交于点，再以为边向上作正方形，若，，（为常数，且），正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，求长方形的周长． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）结合图形面积关系，直接找，，三者之间的等量关系式； （2）利用完全平方公式对两边平方，再根据（1）中的等量关系，整体代入、，求出，进而求出的值； （3）换元法设，，先求出与，再利用完全平方变形求； （4）设，用含的代数式表示线段，根据重叠部分面积列方程，求出的值，再代入计算长方形的周长． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：把两边平方得：， 由（1）得：， 将、代入得：， 展开得，，即， 整理得：； （3）解：设，，则有，， 把两边平方得：，即， 把代入得：，即， 则； （4）解：设，则， 正方形，长方形， ，， 正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，即长方形面积为， ，即， 整理得：， 开方得：（负值舍去）， ，， 则长方形周长为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $