第十六章 整式的乘法章末重难点复习（重难点讲义）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学讲义以“14知识点+8题型”系统构建整式乘法知识体系，通过考点框架图梳理同底数幂乘除、幂的乘方、乘法公式等核心内容，用要点提醒标注易错点，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于题型分层设计，如乘法公式变形求值题（典例结合变式训练，培养运算能力）、几何图形应用题（面积法验证公式，发展几何直观），配套巩固与强化训练，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

第十六章 整式的乘法章末重难点复习 14知识点+8题型+巩固训练+强化训练 1.掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方； 2.掌握整式的乘法（单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式）； 3.掌握整式的除法（同底数幂的除法、零指数幂、负整数指数幂、单项式÷单项式、多项式÷单项式）； 4.熟悉乘法公式，通过乘法公式变形求值； 5.熟悉乘法公式在几何图形中的应用； 5.掌握整式的乘法为背景的材料阅读类问题； 5.掌握整式的混合运算； 1.同底数幂的乘法 法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式： （、 都是正整数） 推广： （三个及以上同底数幂相乘同样适用） 要点提醒： - 底数必须相同，且底数 可以是单项式、多项式或其他代数式 - 指数相加，不是相乘 - 当底数互为相反数时，先统一底数：（ 为偶数），（ 为奇数） - 底数为多项式时，把多项式看作一个整体 2. 幂的乘方 - 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘 - 公式：（、 都是正整数） - 推广： 3. 积的乘方 - 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 - 公式：（ 为正整数） - 推广： 4. 单项式乘单项式 - 法则：系数相乘作为积的系数；同底数幂分别相乘；只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式 - 实质：乘法交换律、结合律 + 同底数幂乘法 - 示例： 5. 单项式乘多项式 - 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 - 公式： - 实质：乘法分配律 - 注意：不要漏乘多项式中的每一项；注意符号（单项式为负时每一项都要变号） 6. 多项式乘多项式 - 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 - 公式： - 注意：不重不漏，按顺序乘；结果有同类项要合并；最终结果一般按某个字母降幂排列 7. 同底数幂的除法 - 法则：底数不变，指数相减 - 公式：（，、为正整数且 ） 8. 零指数幂 - 公式：（） - 任何不等于0的数的0次幂都等于1 - 注意： 无意义 9. 负整数指数幂 - 公式：（，为正整数） - 即：任何不等于0的数的 次幂，等于这个数的 次幂的倒数 - 推广： 对 也成立（结果为负指数） 10. 单项式÷单项式 - 系数相除作商的系数；同底数幂分别相除；只在被除式中含有的字母连同指数照抄 - 示例： 11. 多项式÷单项式 - 多项式的每一项分别除以单项式，再把商相加 - 公式： - 注意：每一项都要除，不漏项，注意符号 12. 整式混合运算顺序 - 先乘方，再乘除，最后加减 - 有括号先算括号内的 - 同级运算从左到右 13. 平方差公式 - 公式： - 语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 - 结构特征：左边是两个二项式相乘，一项相同（），一项互为相反数（ 与 ）；右边是相同项的平方减去相反项的平方 - 常见变形： - - - 位置变化、符号变化都可套用 14. 完全平方公式 - 公式：； - 语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的 2 倍 - 记忆口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍在中央，符号看前方 - 结构特征：左边是二项式的平方；右边是三项式，首尾两项是平方项（非负），中间项是积的 2 倍 - 常见变形： - - - - 题型01 同底数幂的乘法 【典例】（25-26八年级上·山西朔州·期末）计算的结果是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，运用同底数幂的乘法法则求解即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴， 故选：． 解题梳理 解题核心： 底数不变，指数相加。 基本方法： - 直接套用：，多个连乘时指数连加 - 底数不同时先统一：互为相反数的底数，按奇偶次幂转化为同底数 - 底数为多项式时，把多项式看作整体，如 常见考法： - 直接计算：按法则合并指数 - 已知幂的值求代数式的值：逆用法则， - 比较大小：化为同底数或同指数后比较 易错提醒： 指数是相加不是相乘；底数必须真正相同才能用法则；注意符号，负数的奇次幂为负。 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）已知，则的值为（     ） A．0 B．1 C．12 D．42 【答案】C 【分析】逆用同底数幂乘法法则求出的值，再计算的结果． 【详解】解：∵， ∴把代入得：， 解得：， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级上·广东梅州·期末）已知，则的值是（   ） A．10 B． C．25 D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法、有理数的乘方，根据同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【变式1-3】（25-26八年级上·天津和平·期末）已知，，则__________．（用含x，y的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方及同底数幂的乘法进行变形，进而解决问题．利用指数运算性质，将分解为，再分别用和表示各部分． 【详解】由已知 ，得 ； 由 ，且 ，得 ， 所以 ； 因此 ． 故答案为：． 【变式1-4】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，逆用同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型02 幂的乘方与积的乘方 【典例】（25-26八年级上·山东日照·期末）已知，，则的值是（    ） A．2 B．1 C．0 D．12 【答案】D 【分析】利用幂的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，对所求式子变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：， 又，， 代入原式得，． 解题梳理 解题核心： 幂的乘方指数相乘，积的乘方各因式分别乘方。 幂的乘方： - ，注意与同底数幂乘法区分（一个指数乘，一个指数加） - 逆用：，常用于求值和比较大小 积的乘方： - ，每个因式都要乘方，不能漏项 - 逆用：，常用于简便计算，如 混合运算顺序： 先算积的乘方和幂的乘方，再算同底数幂乘法，最后合并同类项。 【变式2-1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的乘方与同底数幂的乘法法则是解题的关键． 根据幂的乘方与同底数幂的乘法将式子化简，再将代入，即可求解． 【详解】解：， ． 故选：D． 【变式2-2】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）已知，则的值为（    ） A．12 B．17 C．36 D．72 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算法则的应用，利用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则将所求式子转化为已知条件的形式，再代入计算，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【变式2-3】（25-26八年级上·河南信阳·期末）___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方逆用，同底数幂乘法逆用，将合并为， 将变为，然后逆用积的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2-4】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）已知：，则______． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂相乘和幂的乘方的逆运算，解一元一次方程，掌握好相关的运算法则是关键． 将方程中的所有幂转换为以为底的幂，利用指数运算法则简化方程，再根据底数相同指数相等的原则求解． 【详解】解：根据幂的乘方运算法则进行化简，得， ，，，， ∴原方程化简为：， 合并，得， ∴， 解得． 故答案为：． 题型03 整式的乘法 【典例】（25-26八年级上·福建福州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再根据单项式乘单项式法则计算即可； （2）根据多项式乘多项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 解题梳理 解题核心： 按法则逐项相乘，最后合并同类项。 单项式×单项式： - 系数相乘，同底数幂相乘，单独字母照抄 - 注意：只在一个单项式中出现的字母不要漏掉 单项式×多项式： - 用单项式遍乘多项式每一项，再相加 - 关键：不漏乘、符号正确（单项式为负时每一项都变号） 多项式×多项式： - 一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项 - 按顺序乘，不重不漏；结果有同类项必须合并 - 结果一般按某个字母降幂排列 常见考法： 化简求值（先化简再代入）、解方程或不等式（利用整式乘法展开后整理）。 易错提醒： 漏乘项、符号错误、忘记合并同类项是三大常见错误。 【变式3-1】（25-26八年级上·江西上饶·期末）已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是关键.． （1）先计算A与B的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有x项和常数项为4，列方程即可得到答案； （2）把代入，利用整式的四则运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， 与的乘积中不含有项，常数项为4， ，解得． 把代入，可得， 故． （2）解：根据（1）可知，， ． 【变式3-2】（25-26八年级上·广东惠州·阶段检测）已知的展开式中不含x的一次项，常数项是，求： (1)m，n的值． (2)的值． 【答案】(1) (2)35 【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出的值； （2）先将原式进行化简，然后将与的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 ． 由题意可知，， ． （2）解： ． ， ． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【变式3-3】（25-26八年级下·河南·期末）“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般地表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； (1)请用此方法拆分______； (2)请你用上面的方法归纳一般结论，用含n（n为正整数）的等式表示，并借助运算证明这个结论是正确的； (3)嘉嘉尝试借助图形的面积验证（2）中的结论．思路是将边长为n的正方形（如图）进行适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度． (4) 【答案】(1) (2)解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 则含n的等式是． 证明：∵右边，左边， ∴左边右边， ∴成立． (3)解：画图如下： 【分析】（1）依据材料中等式的规律解答即可； （2）根据依据材料中发现等式的规律写出含 n的等式证明成立即可． （3）根据题意画出图形即可． 【详解】（1）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第2024个等式：； （2）略 （3）略 【变式3-4】（25-26八年级上·山西朔州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算积的乘方运算和同底数幂的除法运算，再合并同类项即可得到答案； （2）直接由多项式乘以多项式的运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型04 整式的除法 【典例】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）计算__________． 【答案】 【分析】多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【详解】解：原式 解题梳理 解题核心： 系数相除，同底数幂指数相减，单独字母照抄。 同底数幂除法： - （）， 时结果为负指数幂 - 零指数：（）；负指数： 单项式÷单项式： - 系数相除作商的系数；同底数幂分别相除；只在被除式中出现的字母连同指数照抄 - 注意：只在除式中出现的字母，结果写到分母（或用负指数表示） 多项式÷单项式： - 多项式每一项分别除以单项式，再把商相加 - 注意：每一项都要除，不漏项，符号要正确 易错提醒： 同底数幂相除是指数相减不是相除；零指数底数不能为0；多项式除以单项式不要只除第一项。 【变式4-1】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 【答案】5 【分析】本题考查了科学记数法和单项式除以单项式，先把数据用科学记数法表示，根据题意列出算式，再根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ，， ， 阵风战机价格是歼-10C的5倍． 故答案为：5． 【变式4-2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆用．利用指数运算法则，将所求表达式分解为已知条件的组合，然后代入数值计算． 【详解】解：由已知，根据幂的乘方法则，得． 由，且，得， 再根据幂的乘方法则，得． 因此，． 故答案为：． 【变式4-3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查单项式除以单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据整式的除法法则，系数相除，同底数幂相除． 【详解】解；原式 ． 故答案为：． 【变式4-4】（25-26八年级上·广东东莞·期末）可依照计算如图： 因此． 阅读上述材料后仿照计算． 【答案】 【分析】本题考查除法运算，理解题干中提供的运算方法是解题关键 按照题干所提供的方法进行计算即可． 【详解】解：如图， 故． 题型05 通过乘法公式变形求值 【典例】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）已知，，，求和的值； 【答案】17；3 【分析】由完全平方公式进行变形即可求解； 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴或3， ∵，∴， ∴． 解题梳理 解题核心： 熟记公式及其变形，整体代入求值。 平方差公式变形： - - 逆用：，用于因式分解或简便计算 完全平方公式变形（重点）： - - 核心变形： - - - - 解题步骤： - 第一步：看已知条件给出了什么（、、、 中的哪些） - 第二步：看要求的是什么 - 第三步：选择合适的变形公式，整体代入 - 不需要求出 、 的具体值，整体代换是关键 常见题型： - 已知 和 ，求 、 - 已知 和 ，求 - 已知 和 ，求 、 【变式5-1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）拓展探究： 材料：我们知道，，两式相减可得：，由此可得公式：． (1)已知，，求的值： (2)探究：已知，，求（用m 、n 表示）； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值． (1)利用完全平方公式可得：，，把等式两边分别相减即可求出的值； (2)利用完全平方公式可得：，根据，即可求出； (3)利用完全平方公式可得：，把代入即可求代数式的值． 【详解】（1）解：， ， 整理得：， ， ， 整理得：， 得：， 解得：； （2）解：， ， 整理得：， 又， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， 原式. 【变式5-2】（25-26八年级上·河南许昌·期末）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据计算求解即可； （3）根据计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：由（1）得 ∴ ． 【变式5-3】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）计算或化简 (1)先化简再求值：，其中，． (2)已知：，．求和的值． 【答案】(1)化简结果为，值为 (2)， 【分析】本题考查乘法公式，整式的混合运算，代数式求值，完全平方公式的变形求值，熟练掌握相关公式是关键． （1）先利用乘法公式展开，再按照整式混合运算的法则进行化简，最后代入求值即可； （2）利用完全平方公式对代数式进行变形，然后求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 当，时， 原式， ， ， ； （2）解：由完全平方公式可得： ， ∴， 由完全平方公式可得： ， ∴． 【变式5-4】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）【举一】教材118页“拓展探索”的第7题如下： 已知，，求的值． 分析：对于类似这样的问题，我们不妨从式子结构特征出发，运用整体思想解决． 解答：因为，所以，即． 因为，所以． 【反三】参考上述过程请你解答教材中类似的问题 (1)若，． ①________； ②求的值； (2)已知，，求与的值． 【答案】(1)①；②； (2)，． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用和整体代入的数学思想，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）①已知和，利用完全平方公式，将变形为，整体代入求值． ②已知和，利用完全平方公式，先由求出，再整体代入求． （2）已知和，利用两式相减消去、求出，再利用两式相加消去求出． 【详解】（1）解：①∵，， ∴ ； ②∵，， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ ∴ ． 题型06 乘法公式在几何图形中的应用 【典例】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）我们可以将进行变形，得到，等．请灵活利用这些变形解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)若满足，求的值； (3)如图，四边形是梯形，，连接，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)9； (2)； (3)25． 【分析】（1）根据已知条件和完全平方公式进行计算即可； （2）设，根据已知条件求出和，然后利用完全平方公式进行解答即可； （3）设，图中阴影部分的面积可用梯形面积减去两个等腰直角三角形的面积来表示，再利用完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：令， 则， ． （3）解：设， ， ． 则图中阴影部分的面积为 ． 解题梳理 解题核心： 用两种方式表示同一图形的面积，建立等式验证公式。 平方差公式的几何验证： - 从边长为 的大正方形中剪去边长为 的小正方形，剩余面积为 - 将剩余部分剪拼成长为 、宽为 的长方形，面积为 - 由面积相等得： 完全平方公式的几何验证： - 边长为 的大正方形，可分为一个边长为 的正方形、一个边长为 的正方形、两个长 宽 的长方形 - 总面积 - 同理可验证 解题方法： - 求图形面积：用整式表示各部分面积，再求和或差 - 验证公式：用割补法，同一图形面积两种表示，列等式 - 实际应用：如草坪面积、包装盒表面积等，列出代数式后利用公式化简 【变式6-1】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，在学习乘法公式时，借助图形的面积可以直观验证整式的乘法公式，了解公式的几何背景． (1)如图1，正方形由一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形，两个长、宽分别为a、b的长方形拼接而成．通过计算阴影部分的面积，可以得到关于a、b的关系式（用含a、b的代数式表示）； (2)如图2，正方形、的边长分别为x、y，其中点F在上，点H在上，若，，求图中阴影部分的面积； (3)如图3，两个正方形的边长分别为m和，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去2个长方形的面积，即可得出结果； （2）根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去2个三角形的面积，即可得出结果； （3）根据阴影部分的面积等于两个三角形的面积相加，即可得出结果． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为：， 也可以表示为：， 则得：； （2）解：图中阴影部分的面积为：， ∵，， ∴图中阴影部分的面积为：， （3）解：阴影部分的面积为：， ∵， ∴阴影部分的面积为：． 【变式6-2】（25-26八年级上·重庆酉阳·期末）如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形（如图2，阴影部分是一个小正方形）． (1)用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积，完成下面的填空（列式即可）：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得________；由正方形的面积公式可得________； (2)写出三个代数式，，之间的等量关系式________． (3)已知，，请利用发现的结论，求的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）根据分割法和正方形的面积公式作答即可； （2）根据等积法即可得出结果； （3）利用（2）中结论，利用整体代入法进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由上面的结论可知， ，， 原式． 【变式6-3】（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）我们知道，图形是一种重要的数学语言，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)初步感知：如图1，写出一个我们熟悉的数学公式 ； (2)解决问题： ①若，，则的值为________； ②如图2，为上一点，分别以，为边作正方形，，连接，，．若与的面积和为，的面积为，求的长； (3)类比探究：如图3，将一长方形纸片按图裁剪，其阴影部分是两种大小不同，边长分别为与的正方形，其余空白部分均为长方形，观察图形，发现整式可以分解因式为 ； 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查乘法公式在几何图形中的应用，运用整体思想和数形结合思想是关键． （1）根据题意，图形符合完全平方公式，写出即可； （2）①根据完全平方公式的变形进行计算即可； ②设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意可得，，通过构造完全平方公式可得，因此； （3）分析图形可得大长方形的长为，宽为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，其余的小长方形的面积均为，根据面积相等写出等式即可． 【详解】（1）解：由图可知，大正方形的面积为，两个小正方形的面积分别为和，长方形的面积为， ∴数学公式为； （2）解：①∵， ∴； ②设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，，， 由题意可知，，， 将，得， ， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； （3）解：由图可知，大长方形的长为，宽为， 由面积相等可得，． 【变式6-4】（25-26八年级上·湖北随州·期末）很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，容易机械记忆．为了帮助同学们直观理解公式的几何意义，老师设计了一节“拼图与公式”实验课： 【知识重现】 观察图①，用等式表示图中图形面积的运算： 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分的面积为__________． 【拓展应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，则__________． （3）若实数满足，求． 【学习致用】 （4）如图③，两块完全相同的直角三角板与按图示放置，点在同一直线上．连接，已知，且，求一块直角三角板的面积． 【答案】（1）；（2）108；（3）15；（4）58 【分析】考查了完全平方公式的几何背景及应用，熟练掌握完全平方公式的变形与几何意义是解题的关键． （1）观察图②，用整体与部分的面积关系推导等式，即大正方形面积减去空白部分面积得到阴影部分面积，或者用各部分阴影小图形面积相加来表示． （2）根据类比探究得出的公式，将与的值代入计算 ． （3）把和看作整体，利用类比探究的公式，结合已知条件计算 ． （4）设出直角三角板的两条直角边，根据线段和与面积和的条件，结合完全平方公式变形求解单块三角板面积 ． 【详解】解：（1）大正方形边长，面积，空白是两个长宽的长方形，两个小正方形的面积分别为，， ∴阴影面积； （2）由，，， ∴； （3）设，，则， ． ， ∴； （4）设，，则 ． ，即 ． ∵， ∴， 解得 ． ∴一块直角三角板面积 ． 题型07 整式的混合运算 【典例】（25-26八年级上·河南周口·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式和平方差公式进行化简，再代入数值计算． 先利用完全平方公式展开，再利用平方差公式展开，然后合并同类项化简原式，最后将，代入化简后的式子求值． 【详解】解： . 当 ， 时，原式． 解题梳理 解题核心： 严格按运算顺序，灵活运用公式，最后合并同类项。 运算顺序： - 先乘方，再乘除，最后加减 - 有括号先算括号内的（或去括号） - 同级运算从左到右 解题步骤： - 第一步：观察式子结构，确定运算顺序 - 第二步：能套用乘法公式的优先用公式（平方差、完全平方） - 第三步：按法则进行乘除运算 - 第四步：去括号（注意符号变化） - 第五步：合并同类项，得到最简结果 - 第六步：若为化简求值题，再代入数值计算 常用技巧： - 多个多项式相乘，先观察能否用公式简化 - 连续用平方差 - 分组为 用完全平方 - 去括号时，括号前是负号，括号内每一项都变号 【变式7-1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】本题考查了整式混合运算及求值，平方差公式及完全平方公式，先利用平方差公式和完全平方公式将括号打开，合并同类项完成化简，再将代入即可求出正确答案． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式7-2】（24-25八年级上·四川眉山·期末）化简求值：，其中，． 【答案】，值为3 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值．先计算括号内整式的乘法运算，再合并，最后计算整式的除法运算，最后代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 【变式7-3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）化简求值其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 分别计算多项式除以单项式以及完全平方公式，再去括号，合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式7-4】（25-26八年级上·四川广安·期末）先化简，再求值；，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答的关键． 先利用乘法公式计算括号内，再利用整式除法化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解： ． 当，时，原式． 题型08 整式的乘法为背景的材料阅读类问题 【典例】（25-26八年级上·河南安阳·期末）数学活动：在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．图1是2026年1月的月历，我们用如图所示框住任意3个数（如图2阴影部分）将位置B上的数平方，位置A，C上的数相乘，然后再相减． (1)填空 例如：________，________．不难发现，结果都是________； (2)请你再举出一个符合这个规律的类似的例子； (3)设位置B上的数为x，请你对以上的规律加以证明． 【答案】(1)64，64，64 (2) （答案不唯一，计算正确均可）； (3) 证明：设位置B上的数为x，则位置A上的数为，位置C上的数为． ． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、列代数式、平方差公式以及规律探究，熟练掌握月历中数的排列规律和平方差公式是解题的关键． （1）先根据有理数的运算法则，分别计算两个算式的结果，再归纳出共同的结果． （2）根据月历中数的排列规律，选取一组满足条件的数，仿照示例进行计算． （3）设位置上的数为，根据月历中数的排列规律，用含的代数式表示出位置、上的数，再代入，利用平方差公式化简证明． 【详解】（1）解：， ， 不难发现，结果都是， 故答案为：，，． （2）略 （3）略 解题梳理 解题核心： 读懂材料给出的新方法/新公式，模仿应用解决问题。 常见类型： - 新定义运算：定义一种新的运算规则，按规则计算 - 公式推导与推广：材料给出推导过程，要求推广到一般情况或解决类似问题 - 规律探究：给出一组算式，找规律，用整式表示并验证 - 方法迁移：材料介绍一种解题方法（如错位相减法、裂项法），要求用该方法解题 解题步骤： - 第一步：仔细阅读材料，理解新定义、新公式或新方法的本质 - 第二步：分析材料中的示例，掌握使用方法和注意事项 - 第三步：将材料中的方法迁移到问题中，模仿示例进行计算或证明 - 第四步：对于规律探究题，先用整式表示一般规律，再用整式乘法验证 关键能力： - 阅读理解能力：准确把握材料中的新概念 - 类比迁移能力：将材料方法应用到新情境 - 归纳猜想能力：从特殊到一般找规律 - 验证能力：用整式乘法证明猜想的正确性 【变式8-1】（25-26八年级上·福建福州·期末）在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2026年1月份的月历，我们任意选择其中所示的阴影方框部分，将每个阴影方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减（乘积大的减小的），例如：，．不难发现，结果都是7． (1)请你再选择一个类似方框列出算式进行计算，看一看是否符合这个规律？ (2)设任意一个月历中类似方框的左上角的数为，请你列出代数式进行计算，看一看是否有同样的规律？ 【答案】(1)（答案不唯一），符合规律 (2)解：有，理由如下： 方框中的左上角的数为，则其他3个数为， 方框中4个位置上的数交叉相乘，再相减， 列式得，， ， ， 结果为7，所以有同样的规律． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是掌握新定义运算规则． （1）根据规则列出算式进行计算即可； （2）根据规则列出代数式，然后利用整式的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：（答案不唯一），符合规律； （2）略 【变式8-2】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 【答案】（1）4； （2）； （3）； （4）解：由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是； （5） 【分析】（1）根据规律可知：将展开后，各项的系数和为4； （2）根据规律可得结论； （3）把展开，即可得出答案； （4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是； （5）利用（4）得到的规律，经过计算可得结论． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：4； （2）第二行：，各项系数和为， 第三行：，各项系数和为， 第四行：，各项系数和为， 第五行：，各项系数和为， … 第行：展开后各项系数和为； 故答案为：； （3）由（2）得：， 故答案为：； （4）略 （5）由规律可知，分子总是1， 第n行的第一个数的分母就是n， 第二个数的分母是第一个数的倍， 第三个数的分母是第二个数的分母的倍， 第四个数的分母是第三个数的分母的倍， ....， 根据图表的规律，可得第8行第6列为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对于规律性，杨辉三角和莱布尼茨三角是比较常见的数字变化类，要求学生通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 【变式8-3】（25-26八年级上·河南许昌·期末）观察下列两位数相乘的运算规律： ， ， ， …… (1)按照以上规律计算：_______=______． (2)设这两个两位数的十位上的数字为（为小于10的正整数），请用含的等式表示上述运算规律，并加以证明． 【答案】(1)；2024 (2) 解：规律： 证明：左边 右边 ∴左边=右边，等式成立． 【分析】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示数、图形的规律，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）观察题目给出的示例，发现规律为：十位数字相同、个位为4和6的两位数相乘，计算方式是“十位数字×（十位数字+1）”． （2）用含a的式子表示这两个两位数，分别为和．根据示例规律写出等式，将左边展开化简，最终得到与右边完全相同的表达式，从而证明规律成立． 【详解】（1）解：按照以上规律计算：， 故答案为：；2024 （2）略 【变式8-4】（25-26八年级上·河南濮阳·期末）【课本再现】 活动：个位数字是5的两位数平方的规律 我们在过去的学习中发现了如下的运算规律： ，，，……你能写出一般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？ 下面是亮亮的解答过程，请你补充完整． 解：设该两位数的十位数字是n(，且n是整数)，个位数字是5． 规律为∶． 证明如下： ∵…… 【类比探究】 兴趣小组的同学发现下面式子也有相似的规律 ，，，…… （1）请你利用上述规律计算∶___________=_________． （2）观察上面三组式子，兴趣小组的同学归纳了一般规律并进行证明，请你补充完整． 两个两位数相乘，设这两个两位数字的十位数字都是n(，且n是整数)，其中一个两位数的个位数字为m(，且m是整数)，则另外一个两位数的个位数字为_________，一般规律是_________________． 证明：…… 【迁移应用】 （3）兴趣小组的同学利用规律快速计算了，你知道他们是怎样利用规律的吗？请你写出计算过程． 【答案】课本再现 ； 类比探究 （1），； （2），；证明： ∵其中一个两位数的个位数字为m(，且m是整数)， ∴另外一个两位数的个位数字为， 一般规律是； 证明： ； 迁移应用 （3）由题意得，， ∴． 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 课本再现：根据题目给出的等式，即可发现规律； （2）根据题目给出的等式，即可发现规律； （3）由题意得，，运用（2）中的规律得出计算结果即可． 【详解】课本再现 略 类比探究 （1）∵， ， ， ……， ∴， 故答案为：，； （2）略 迁移应用 （3）略 【巩固训练】 1．（25-26八年级上·陕西安康·期末）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 2．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，将大正方形通过剪、割、拼后组成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，下面两幅图中，其中能够验证平方差公式的是（     ） A．甲乙均可以 B．甲乙均不可以 C．甲可以，乙不可以 D．甲不可以，乙可以 【答案】C 【分析】利用面积法，分别计算图形剪拼前后的面积表达式，判断其对应的乘法公式． 【详解】 解：甲图中，左图阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即， 右图平行四边形底为，高为，面积为， ， 故甲可以验证平方差公式． 乙图中，大正方形边长为，面积为 ， 内部由边长为的正方形和四个长宽为、的长方形组成，面积和为， ， 故乙验证的是完全平方公式． 综上所述，甲可以，乙不可以． 3．（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）已知多项式，，其中为正整数，下列说法： ①当时，一定成立； ②当的值为正数时，的最小值为1； ③当时，若为正整数，则整数的值仅有1个． 其中正确的个数为（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】①通过作差配方判断A与B的大小关系；②通过配方法求的最小值，结合k为正整数确定最小值；③将分式拆分，根据正整数条件枚举x的取值． 【详解】解：①当时，，， ∵ ， ∴， 即一定成立， 故①正确． ②， ∵， ∴的最小值为， 若的值恒为正数，则，解得， ∵为正整数， ∴的最小值为， 故②正确． ③当时，，（）， ∵为正整数，为整数， ∴是的约数，且，的整数约数为， 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，不符合； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，不符合； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，不符合； 综上，符合条件的整数有个，故③错误． 4．（25-26八年级下·山东济南·期末）已知多项式可以写成一个多项式的平方，则k为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用完全平方公式对比系数即可求出的值． 【详解】解：∵多项式可以写成一个多项式的平方， ∴，即， ∴． 5．（25-26八年级上·广东潮州·阶段检测）现规定一种运算：，其中a，b为有理数．求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义的运算得到整式的混合运算，根据单项式乘以多项式，就是用单项式乘以多项式的每一项，再把它们的积相加；然后合并同类项，求解即可． 【详解】解：根据新定义运算可得 ， A选项符合题意． 6．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，边长为x 的正方形的边长增加4，用含x 的式子表示增加后的正方形的面积为_______． 【答案】 【分析】根据题意确定新正方形的边长，利用完全平方公式或图形面积和计算总面积，对比系数得出结果． 【详解】解：由题意可知，增加后的正方形边长为 ，则正方形的面积为 ， 根据完全平方公式可得： ， 对比可知，的系数为． 7．（25-26八年级下·福建福州·期末）我们知道，数叫做黄金分割数，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．若，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】已知，可从出发变形为，即可求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·重庆永川·期末）对于任意一个四位正整数m，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字与十位数字之差等于百位数字与个位数字之差等于3．则称m 为“吉安数”，例如，∵，且，∴5320是“吉安数”．若一个正整数a是另外一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数，例如：，则4为完全平方数．若一个“吉安数”为，则这个数为_________ ；若m是“吉安数”，记 ，若是一个完全平方数，则满足条件的“吉安数”m的最大值为______ ． 【答案】 7643 9461 【分析】根据“吉安数”的概念列方程，求出a的值，进而求出这个数，首先根据题意设，然后根据“吉安数”的概念求解判断即可． 【详解】解：一个“吉安数”为， ∴， ∴， 故这个数为7643； ∵是一个完全平方数， ∴设，x是正整数， ∴， ∵是四位正整数， ∴， ∴， 又∵是正整数， ∴的最大值为9， 当时，， ∵， ∴9461是一个“吉安数”， 故满足条件的“吉安数”m的最大值为9461． 9．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知实数a、b满足，，则______． 【答案】27 【分析】完全平方公式． 【详解】解：∵， ∴． 10．（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）已知，，，则代数式的值为________． 【答案】6 【分析】观察题意可得，，，利用恒等式将所求式子进行变形，再整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴ ． 11．（24-25八年级上·河北邢台·期末）已知． (1)求多项式； (2)若，求多项式的值． 【答案】(1) (2) 的值为 【分析】（1）本题利用等式变形，通过整式乘法与化简求出多项式M； （2）根据幂的运算性质求出a的值，然后代入求值． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴，即， ∴． 把代入： 12．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）计算与化简： (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3)化简结果为，值为 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ， 当，时， 原式． 13．（25-26八年级下·山东东营·期末）定义：将多项式变形为的形式，我们称为配方．其本质是完全平方公式的逆用，即：． 例如：若将多项式进行配方，则． 配方法在解决最值问题、代数式求值问题等均有广泛应用． (1)将多项式配方为的形式，则________，________； (2)若多项式，．证明：无论x取何值，均成立． 【答案】(1)， (2)证明：， 对于任意实数，都有， ， 即无论取何值，均成立． 【分析】（1）本题根据配方法，利用完全平方公式将多项式凑成为的形式，直接对应得到和的值； （2）先利用单项式乘多项式法则和平方差公式化简、，再代入计算，再对所得结果配方，利用完全平方的非负性即可证明结论成立． 【详解】（1）解： ，； （2）略． 14．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像， (1)求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)63平方米 【分析】（1）根据大长方形的面积减去中间正方形的面积即可求解； （2）将，代入（1）中化简结果进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （平方米） 答：绿化的面积为平方米． （2）解：当，时，（平方米） 答：绿化的面积为63平方米． 15．（25-26八年级上·河南许昌·期末）对于任意实数，我们规定：，．例如：，． (1)填空：①________；②若，则________；③若，则________0．（填“>”，“<”或“=”） (2)若，且，求与的值． 【答案】(1)①13②4③= (2)； 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）根据定义，结合完全平方公式求解即可． 【详解】（1）①解：； ②解：，，解得； ③解：，，，，则． （2）解： ， 即， 整理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ． 【强化训练】 1．（25-26八年级上·广西崇左·期末）已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式求值，把两边同时平方，可得：，整理可得：． 【详解】解：， ， 可得：， ， ， 即． 故选：C． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式．利用平方差公式，通过凑出的形式逐步化简连乘式，进而计算出的值． 【详解】解：∵， ∴ 则． 故选：D． 3．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）已知等式（，为正整数），则的值不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键；将等式左边展开，比较左右两边系数可得  和 ，其中 、为正整数. 列举所有可能的计算值即可得到结论． 【详解】解：∵ ， ∴ ，， ∵ 为正整数， ∴ 或或或， ∴ 值为：， ∴ 不可能为 . 故选：C． 4．（25-26八年级上·河北邢台·期末）[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D． 【答案】A 【分析】由被除式、除式、商、余式的关系可得，再展开对比得到关于a、b的方程组求得a、b的值，最后求和即可． 【详解】解：∵多项式除以，商式为余3， ∴， ， ∴，解得：， ∴．即A选项符合题意． 5．（25-26八年级上·江西南昌·期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1： ，系数分别为1，2，1；… 请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是（　　） A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天 【答案】B 【分析】本题主要考查整式乘法的规律探究，依题意得，求得的余数．结合一个星期天，利用所给规律求得天的余数，即可获得答案． 【详解】解：∵，系数为1； ，系数分别为1，1： ，系数分别为1，2，1；… ∴展开后系数分别为1，3，… ∴展开后系数分别为1，4，… ∴展开后系数分别为1，10，… ∵， 依题意，， ∵， ∴的余数为2，即的余数为2， ∴今天是星期三，则经过天后是星期五． 故选：B． 6．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）对于，规定，例如：，所以，记，，则y与x之间的数量关系式为____． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算的新定义问题。根据新定义，将和转化为指数形式，再利用同底数幂的乘法性质建立与的关系 【详解】解：由，得. 由，得. ∵， ， . 7．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）已知，计算：，，． 观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算：____．（为正整数）． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，解题的关键是根据题目找出规律表示出一般形式．先观察给定的等式规律，猜想出一般形式，再令，求得的值，再将所求式子变形为，进而得解． 【详解】解：由给定的等式可知，对于任意正整数 ，有 ． 令，则有 ，即， ， ． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末） ______． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算、有理数乘法运算律、积的乘方的逆运算等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 先逆用同底数幂乘法的运算法则将原式写成，再运用有理数乘法运算律、积的乘方的逆运算进行简便运算即可． 【详解】解： ． 故答案为． 9．（25-26八年级上·山东威海·期中）计算：的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式的运用，先将分子进行因式分解，再化简即可求解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·上海宝山·期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如（a、b实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫这个复数的虚部． 它有如下特点： （1）它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似，例如：      （2）若两个复数，它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如：的共轭复数为． 若是的共轭复数，则_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的新定义运算，准确理解所给定义式是解题的关键； 根据完全平方公式展开计算即可． 【详解】解：， ∵是的共轭复数， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）【阅读与思考】 “杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（n为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． … 【初步感知】 （1）按以上规则，展开式共有________项，第三项（字母部分为）的系数是________； 【拓展推广】 （2）利用杨辉三角，写出的展开式________； 【迁移应用】 （3）我们在对的推演过程中，是将中的“b”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式． 【答案】（1）5，6；（2）；（3） 【分析】本题考查了杨辉三角与二项式展开式的规律应用． （1）根据前面二项式展开式的项数规律以及杨辉三角的系数规律来求解； （2）依据杨辉三角的规律，先得出其对应的一行数，再得出的展开式； （3）通过替换的方法即可得到的展开式． 【详解】解：（1）观察已知的二项式展开式： 有2项，有3项，有4项， ∴的展开式共有项， ∴的展开式共有项， 由杨辉三角可知，对应的杨辉三角的一行数为1，4，6，4，1， ∴第三项的系数是6， 故答案为：5，6； （2）根据杨辉三角的规律，对应的杨辉三角的一行数为1，5，10，10，5，1， ∴的展开式为， 故答案为：； （3）由题意知， ． 12．（25-26八年级上·广东东莞·期末）【教材原题】 （1）通过第章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 如图①可以得到的公式为_____； 如图②可以得到的公式为_____； 【探索发现】 （2）现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件，、和之间的等量关系为_____； 【结论应用】 （3）①若，则_____； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （4）如图④，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，已知这两个正方形的边长之和为3，则阴影部分的面积为_____． 【答案】（1），；（2）；（3），；（4） 【分析】本题考查了代数式求值、完全平方公式与图形面积等知识点，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）直接根据图形列出等式即可解答； （2）根据（1）的结论作差即可解答； （3）①由，得，即可求解，②令，则，根据题意可知，代入，即可求解； （4）由，两边平方再化简，可得，根据图形可知阴影部分的面积为两个正方形面积的一半，即，代入，即可求解． 【详解】（1）解：由①可得， 由②可得， 故答案为：，； （2），， ， 即， 故答案为：； （3）解：①， ， 故答案为：； ②令， 则， ， ； 由（2）可知， 则． （4）解：根据题意可知， ， ， 根据图形可知阴影部分的面积为两个正方形面积的一半，故阴影部分的面积为， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·山东临沂·期末）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)【直接应用】 若，，求的值． (2)【类比应用】 ①若，则______． ②若满足，求的值． (3)【知识迁移】 两块全等的特制直角三角形板（）如图2所示放置，其中，，在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角形板的面积． 【答案】(1) (2)①；② (3)30 【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，三角形面积的计算，完全平方公式在几何图形中的应用，熟练地运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键． （1）把，，代入，从而可得答案； （2）①先求出，根据求出结果即可； ②先求出，再利用完全平方公式变形求值即可； （3）先证明，，，三点共线，由可得，，结合已知条件可得，，再利用求出，从而计算答案． 【详解】（1）解：，，， ， 解得，； （2）解：①， ， ； 故答案为：3； ②， ， ； （3）解：，，三点共线，且， ， ， ，，三点共线， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， 即一块直角三角板的面积为30． 14．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式． (1)通过观察图1的大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，请直接写出此公式； (2)有两类正方形纸片，，其边长分别为，（），图2是由两张正方形纸片和两张正方形纸片排成的一个正方形，其中两张型纸片有重叠（图中阴影部分），图3是将，纸片并列放置后构造出来的新的正方形；用含，的代数式分别表示图2中阴影部分的面积和图3中阴影部分的面积（列出式子并化简） (3)在（2）的条件下，若图2和图3中阴影部分的面积分别为和，将两个正方形纸片和三个正方形纸片如图4摆放，求阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)图阴影部分面积为，图阴影部分面积为； (3)图中的阴影部分的面积是． 【分析】本题考查完全平方公式与图形面积，掌握数形结合的思想，是解题的关键； （1）根据大正方形的面积等于两个阴影部分的面积加上两个长方形的面积，即可得出结果； （2）根据图形列出表示面积的代数式即可； （3）根据，，求出，然后代入化简后的阴影部分的面积表达式求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵两个正方形，，边长分别为，， ∴阴影部分正方形的边长为， ∴图2阴影部分面积为：； 图3阴影部分面积为：． 答：图2阴影部分面积为，图3阴影部分面积为． （3）解：根据题意得： ，， ∴， 由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴图4阴影部分面积为： ， ． 答：图4中的阴影部分的面积是． 15．（25-26八年级上·福建泉州·期末）【阅读理解】我们已经学过完全平方公式：，适当地变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，，求的值． 解：由完全平方公式：， 因此． 因为，， 所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）填空：若，，则_____； 【类比应用】 （2）若关于的方程满足，求的值； 【思维拓展】 （3）“幻方”是中国古代数学的智慧结晶，最早记载于春秋《大戴礼记》．现将数字填入如图所示的三个两两相交的圆圈中，三个交点处（即两个圆圈的重叠部分）填入的数字分别记为，，． 若每个圆圈上的三个数字之和都相等，求的值； 在的条件下，若每个圆圈上的三个数字的平方和分别记为，，，且，求的值． 【答案】（）；（）；（）或；． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）仿照题例即可求解； （）因为，显然，所以，即，然后两边平方即可求解； （）设每个圆圈上的三个数字之和为，则得，因为为整数，且，解得，然后通过为的倍数即可求解； 因为，所以，即，然后分（）当，（）当两种情况求解即可． 【详解】解：（）由完全平方公式：， 因此， 因为，， 所以， 故答案为：； （）因为，显然， 所以， 即， 所以； （）设每个圆圈上的三个数字之和为， ∴， ， ， 因为为整数，且， 解得， 又因为为的倍数， 所以或； 因为， 所以， 即， （）若，则， 所以（不合题意，舍去）； （）若，则， 所以． 所以的值为． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 整式的乘法章末重难点复习 14知识点+8题型+巩固训练+强化训练 1.掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方； 2.掌握整式的乘法（单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式）； 3.掌握整式的除法（同底数幂的除法、零指数幂、负整数指数幂、单项式÷单项式、多项式÷单项式）； 4.熟悉乘法公式，通过乘法公式变形求值； 5.熟悉乘法公式在几何图形中的应用； 5.掌握整式的乘法为背景的材料阅读类问题； 5.掌握整式的混合运算； 1.同底数幂的乘法 法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式： （、 都是正整数） 推广： （三个及以上同底数幂相乘同样适用） 要点提醒： - 底数必须相同，且底数 可以是单项式、多项式或其他代数式 - 指数相加，不是相乘 - 当底数互为相反数时，先统一底数：（ 为偶数），（ 为奇数） - 底数为多项式时，把多项式看作一个整体 2. 幂的乘方 - 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘 - 公式：（、 都是正整数） - 推广： 3. 积的乘方 - 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 - 公式：（ 为正整数） - 推广： 4. 单项式乘单项式 - 法则：系数相乘作为积的系数；同底数幂分别相乘；只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式 - 实质：乘法交换律、结合律 + 同底数幂乘法 - 示例： 5. 单项式乘多项式 - 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 - 公式： - 实质：乘法分配律 - 注意：不要漏乘多项式中的每一项；注意符号（单项式为负时每一项都要变号） 6. 多项式乘多项式 - 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 - 公式： - 注意：不重不漏，按顺序乘；结果有同类项要合并；最终结果一般按某个字母降幂排列 7. 同底数幂的除法 - 法则：底数不变，指数相减 - 公式：（，、为正整数且 ） 8. 零指数幂 - 公式：（） - 任何不等于0的数的0次幂都等于1 - 注意： 无意义 9. 负整数指数幂 - 公式：（，为正整数） - 即：任何不等于0的数的 次幂，等于这个数的 次幂的倒数 - 推广： 对 也成立（结果为负指数） 10. 单项式÷单项式 - 系数相除作商的系数；同底数幂分别相除；只在被除式中含有的字母连同指数照抄 - 示例： 11. 多项式÷单项式 - 多项式的每一项分别除以单项式，再把商相加 - 公式： - 注意：每一项都要除，不漏项，注意符号 12. 整式混合运算顺序 - 先乘方，再乘除，最后加减 - 有括号先算括号内的 - 同级运算从左到右 13. 平方差公式 - 公式： - 语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 - 结构特征：左边是两个二项式相乘，一项相同（），一项互为相反数（ 与 ）；右边是相同项的平方减去相反项的平方 - 常见变形： - - - 位置变化、符号变化都可套用 14. 完全平方公式 - 公式：； - 语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的 2 倍 - 记忆口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍在中央，符号看前方 - 结构特征：左边是二项式的平方；右边是三项式，首尾两项是平方项（非负），中间项是积的 2 倍 - 常见变形： - - - - 题型01 同底数幂的乘法 【典例】（25-26八年级上·山西朔州·期末）计算的结果是 A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 底数不变，指数相加。 基本方法： - 直接套用：，多个连乘时指数连加 - 底数不同时先统一：互为相反数的底数，按奇偶次幂转化为同底数 - 底数为多项式时，把多项式看作整体，如 常见考法： - 直接计算：按法则合并指数 - 已知幂的值求代数式的值：逆用法则， - 比较大小：化为同底数或同指数后比较 易错提醒： 指数是相加不是相乘；底数必须真正相同才能用法则；注意符号，负数的奇次幂为负。 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）已知，则的值为（     ） A．0 B．1 C．12 D．42 【变式1-2】（25-26八年级上·广东梅州·期末）已知，则的值是（   ） A．10 B． C．25 D． 【变式1-3】（25-26八年级上·天津和平·期末）已知，，则__________．（用含x，y的代数式表示） 【变式1-4】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）计算：___________． 题型02 幂的乘方与积的乘方 【典例】（25-26八年级上·山东日照·期末）已知，，则的值是（    ） A．2 B．1 C．0 D．12 解题梳理 解题核心： 幂的乘方指数相乘，积的乘方各因式分别乘方。 幂的乘方： - ，注意与同底数幂乘法区分（一个指数乘，一个指数加） - 逆用：，常用于求值和比较大小 积的乘方： - ，每个因式都要乘方，不能漏项 - 逆用：，常用于简便计算，如 混合运算顺序： 先算积的乘方和幂的乘方，再算同底数幂乘法，最后合并同类项。 【变式2-1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）已知，则的值为（    ） A．12 B．17 C．36 D．72 【变式2-3】（25-26八年级上·河南信阳·期末）___________． 【变式2-4】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）已知：，则______． 题型03 整式的乘法 【典例】（25-26八年级上·福建福州·期末）计算： (1)； (2)． 解题梳理 解题核心： 按法则逐项相乘，最后合并同类项。 单项式×单项式： - 系数相乘，同底数幂相乘，单独字母照抄 - 注意：只在一个单项式中出现的字母不要漏掉 单项式×多项式： - 用单项式遍乘多项式每一项，再相加 - 关键：不漏乘、符号正确（单项式为负时每一项都变号） 多项式×多项式： - 一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项 - 按顺序乘，不重不漏；结果有同类项必须合并 - 结果一般按某个字母降幂排列 常见考法： 化简求值（先化简再代入）、解方程或不等式（利用整式乘法展开后整理）。 易错提醒： 漏乘项、符号错误、忘记合并同类项是三大常见错误。 【变式3-1】（25-26八年级上·江西上饶·期末）已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 【变式3-2】（25-26八年级上·广东惠州·阶段检测）已知的展开式中不含x的一次项，常数项是，求： (1)m，n的值． (2)的值． 【变式3-3】（25-26八年级下·河南·期末）“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般地表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； (1)请用此方法拆分______； (2)请你用上面的方法归纳一般结论，用含n（n为正整数）的等式表示，并借助运算证明这个结论是正确的； (3)嘉嘉尝试借助图形的面积验证（2）中的结论．思路是将边长为n的正方形（如图）进行适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度． (4) 【变式3-4】（25-26八年级上·山西朔州·期末）计算： (1)； (2)． 题型04 整式的除法 【典例】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）计算__________． 解题梳理 解题核心： 系数相除，同底数幂指数相减，单独字母照抄。 同底数幂除法： - （）， 时结果为负指数幂 - 零指数：（）；负指数： 单项式÷单项式： - 系数相除作商的系数；同底数幂分别相除；只在被除式中出现的字母连同指数照抄 - 注意：只在除式中出现的字母，结果写到分母（或用负指数表示） 多项式÷单项式： - 多项式每一项分别除以单项式，再把商相加 - 注意：每一项都要除，不漏项，符号要正确 易错提醒： 同底数幂相除是指数相减不是相除；零指数底数不能为0；多项式除以单项式不要只除第一项。 【变式4-1】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 【变式4-2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若，则的值为______． 【变式4-3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）计算：______． 【变式4-4】（25-26八年级上·广东东莞·期末）可依照计算如图： 因此． 阅读上述材料后仿照计算． 题型05 通过乘法公式变形求值 【典例】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）已知，，，求和的值； 解题梳理 解题核心： 熟记公式及其变形，整体代入求值。 平方差公式变形： - - 逆用：，用于因式分解或简便计算 完全平方公式变形（重点）： - - 核心变形： - - - - 解题步骤： - 第一步：看已知条件给出了什么（、、、 中的哪些） - 第二步：看要求的是什么 - 第三步：选择合适的变形公式，整体代入 - 不需要求出 、 的具体值，整体代换是关键 常见题型： - 已知 和 ，求 、 - 已知 和 ，求 - 已知 和 ，求 、 【变式5-1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）拓展探究： 材料：我们知道，，两式相减可得：，由此可得公式：． (1)已知，，求的值： (2)探究：已知，，求（用m 、n 表示）； (3)已知，求的值． 【变式5-2】（25-26八年级上·河南许昌·期末）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式5-3】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）计算或化简 (1)先化简再求值：，其中，． (2)已知：，．求和的值． 【变式5-4】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）【举一】教材118页“拓展探索”的第7题如下： 已知，，求的值． 分析：对于类似这样的问题，我们不妨从式子结构特征出发，运用整体思想解决． 解答：因为，所以，即． 因为，所以． 【反三】参考上述过程请你解答教材中类似的问题 (1)若，． ①________； ②求的值； (2)已知，，求与的值． 题型06 乘法公式在几何图形中的应用 【典例】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）我们可以将进行变形，得到，等．请灵活利用这些变形解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)若满足，求的值； (3)如图，四边形是梯形，，连接，若，求图中阴影部分的面积． 解题梳理 解题核心： 用两种方式表示同一图形的面积，建立等式验证公式。 平方差公式的几何验证： - 从边长为 的大正方形中剪去边长为 的小正方形，剩余面积为 - 将剩余部分剪拼成长为 、宽为 的长方形，面积为 - 由面积相等得： 完全平方公式的几何验证： - 边长为 的大正方形，可分为一个边长为 的正方形、一个边长为 的正方形、两个长 宽 的长方形 - 总面积 - 同理可验证 解题方法： - 求图形面积：用整式表示各部分面积，再求和或差 - 验证公式：用割补法，同一图形面积两种表示，列等式 - 实际应用：如草坪面积、包装盒表面积等，列出代数式后利用公式化简 【变式6-1】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，在学习乘法公式时，借助图形的面积可以直观验证整式的乘法公式，了解公式的几何背景． (1)如图1，正方形由一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形，两个长、宽分别为a、b的长方形拼接而成．通过计算阴影部分的面积，可以得到关于a、b的关系式（用含a、b的代数式表示）； (2)如图2，正方形、的边长分别为x、y，其中点F在上，点H在上，若，，求图中阴影部分的面积； (3)如图3，两个正方形的边长分别为m和，且，求阴影部分的面积． 【变式6-2】（25-26八年级上·重庆酉阳·期末）如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形（如图2，阴影部分是一个小正方形）． (1)用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积，完成下面的填空（列式即可）：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得________；由正方形的面积公式可得________； (2)写出三个代数式，，之间的等量关系式________． (3)已知，，请利用发现的结论，求的值． 【变式6-3】（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）我们知道，图形是一种重要的数学语言，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)初步感知：如图1，写出一个我们熟悉的数学公式 ； (2)解决问题： ①若，，则的值为________； ②如图2，为上一点，分别以，为边作正方形，，连接，，．若与的面积和为，的面积为，求的长； (3)类比探究：如图3，将一长方形纸片按图裁剪，其阴影部分是两种大小不同，边长分别为与的正方形，其余空白部分均为长方形，观察图形，发现整式可以分解因式为 ； 【变式6-4】（25-26八年级上·湖北随州·期末）很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，容易机械记忆．为了帮助同学们直观理解公式的几何意义，老师设计了一节“拼图与公式”实验课： 【知识重现】 观察图①，用等式表示图中图形面积的运算： 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分的面积为__________． 【拓展应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，则__________． （3）若实数满足，求． 【学习致用】 （4）如图③，两块完全相同的直角三角板与按图示放置，点在同一直线上．连接，已知，且，求一块直角三角板的面积． 题型07 整式的混合运算 【典例】（25-26八年级上·河南周口·期末）先化简，再求值：，其中，． 解题梳理 解题核心： 严格按运算顺序，灵活运用公式，最后合并同类项。 运算顺序： - 先乘方，再乘除，最后加减 - 有括号先算括号内的（或去括号） - 同级运算从左到右 解题步骤： - 第一步：观察式子结构，确定运算顺序 - 第二步：能套用乘法公式的优先用公式（平方差、完全平方） - 第三步：按法则进行乘除运算 - 第四步：去括号（注意符号变化） - 第五步：合并同类项，得到最简结果 - 第六步：若为化简求值题，再代入数值计算 常用技巧： - 多个多项式相乘，先观察能否用公式简化 - 连续用平方差 - 分组为 用完全平方 - 去括号时，括号前是负号，括号内每一项都变号 【变式7-1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式7-2】（24-25八年级上·四川眉山·期末）化简求值：，其中，． 【变式7-3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）化简求值其中． 【变式7-4】（25-26八年级上·四川广安·期末）先化简，再求值；，其中，． 题型08 整式的乘法为背景的材料阅读类问题 【典例】（25-26八年级上·河南安阳·期末）数学活动：在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．图1是2026年1月的月历，我们用如图所示框住任意3个数（如图2阴影部分）将位置B上的数平方，位置A，C上的数相乘，然后再相减． (1)填空 例如：________，________．不难发现，结果都是________； (2)请你再举出一个符合这个规律的类似的例子； (3)设位置B上的数为x，请你对以上的规律加以证明． 解题梳理 解题核心： 读懂材料给出的新方法/新公式，模仿应用解决问题。 常见类型： - 新定义运算：定义一种新的运算规则，按规则计算 - 公式推导与推广：材料给出推导过程，要求推广到一般情况或解决类似问题 - 规律探究：给出一组算式，找规律，用整式表示并验证 - 方法迁移：材料介绍一种解题方法（如错位相减法、裂项法），要求用该方法解题 解题步骤： - 第一步：仔细阅读材料，理解新定义、新公式或新方法的本质 - 第二步：分析材料中的示例，掌握使用方法和注意事项 - 第三步：将材料中的方法迁移到问题中，模仿示例进行计算或证明 - 第四步：对于规律探究题，先用整式表示一般规律，再用整式乘法验证 关键能力： - 阅读理解能力：准确把握材料中的新概念 - 类比迁移能力：将材料方法应用到新情境 - 归纳猜想能力：从特殊到一般找规律 - 验证能力：用整式乘法证明猜想的正确性 【变式8-1】（25-26八年级上·福建福州·期末）在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2026年1月份的月历，我们任意选择其中所示的阴影方框部分，将每个阴影方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减（乘积大的减小的），例如：，．不难发现，结果都是7． (1)请你再选择一个类似方框列出算式进行计算，看一看是否符合这个规律？ (2)设任意一个月历中类似方框的左上角的数为，请你列出代数式进行计算，看一看是否有同样的规律？ 【变式8-2】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 【变式8-3】（25-26八年级上·河南许昌·期末）观察下列两位数相乘的运算规律： ， ， ， …… (1)按照以上规律计算：_______=______． (2)设这两个两位数的十位上的数字为（为小于10的正整数），请用含的等式表示上述运算规律，并加以证明． 【变式8-4】（25-26八年级上·河南濮阳·期末）【课本再现】 活动：个位数字是5的两位数平方的规律 我们在过去的学习中发现了如下的运算规律： ，，，……你能写出一般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？ 下面是亮亮的解答过程，请你补充完整． 解：设该两位数的十位数字是n(，且n是整数)，个位数字是5． 规律为∶． 证明如下： ∵…… 【类比探究】 兴趣小组的同学发现下面式子也有相似的规律 ，，，…… （1）请你利用上述规律计算∶___________=_________． （2）观察上面三组式子，兴趣小组的同学归纳了一般规律并进行证明，请你补充完整． 两个两位数相乘，设这两个两位数字的十位数字都是n(，且n是整数)，其中一个两位数的个位数字为m(，且m是整数)，则另外一个两位数的个位数字为_________，一般规律是_________________． 证明：…… 【迁移应用】 （3）兴趣小组的同学利用规律快速计算了，你知道他们是怎样利用规律的吗？请你写出计算过程． 【巩固训练】 1．（25-26八年级上·陕西安康·期末）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，将大正方形通过剪、割、拼后组成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，下面两幅图中，其中能够验证平方差公式的是（     ） A．甲乙均可以 B．甲乙均不可以 C．甲可以，乙不可以 D．甲不可以，乙可以 3．（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）已知多项式，，其中为正整数，下列说法： ①当时，一定成立； ②当的值为正数时，的最小值为1； ③当时，若为正整数，则整数的值仅有1个． 其中正确的个数为（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．（25-26八年级下·山东济南·期末）已知多项式可以写成一个多项式的平方，则k为（     ） A．4 B．2 C． D． 5．（25-26八年级上·广东潮州·阶段检测）现规定一种运算：，其中a，b为有理数．求的值（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，边长为x 的正方形的边长增加4，用含x 的式子表示增加后的正方形的面积为_______． 7．（25-26八年级下·福建福州·期末）我们知道，数叫做黄金分割数，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．若，则代数式的值为________． 8．（25-26八年级下·重庆永川·期末）对于任意一个四位正整数m，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字与十位数字之差等于百位数字与个位数字之差等于3．则称m 为“吉安数”，例如，∵，且，∴5320是“吉安数”．若一个正整数a是另外一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数，例如：，则4为完全平方数．若一个“吉安数”为，则这个数为_________ ；若m是“吉安数”，记 ，若是一个完全平方数，则满足条件的“吉安数”m的最大值为______ ． 9．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知实数a、b满足，，则______． 10．（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）已知，，，则代数式的值为________． 11．（24-25八年级上·河北邢台·期末）已知． (1)求多项式； (2)若，求多项式的值． 12．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）计算与化简： (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中，． 13．（25-26八年级下·山东东营·期末）定义：将多项式变形为的形式，我们称为配方．其本质是完全平方公式的逆用，即：． 例如：若将多项式进行配方，则． 配方法在解决最值问题、代数式求值问题等均有广泛应用． (1)将多项式配方为的形式，则________，________； (2)若多项式，．证明：无论x取何值，均成立． 14．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像， (1)求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） (2)求出当，时的绿化面积． 15．（25-26八年级上·河南许昌·期末）对于任意实数，我们规定：，．例如：，． (1)填空：①________；②若，则________；③若，则________0．（填“>”，“<”或“=”） (2)若，且，求与的值． 【强化训练】 1．（25-26八年级上·广西崇左·期末）已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）已知等式（，为正整数），则的值不可能是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北邢台·期末）[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D． 5．（25-26八年级上·江西南昌·期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1： ，系数分别为1，2，1；… 请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是（　　） A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天 6．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）对于，规定，例如：，所以，记，，则y与x之间的数量关系式为____． 7．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）已知，计算：，，． 观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算：____．（为正整数）． 8．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末） ______． 9．（25-26八年级上·山东威海·期中）计算：的值为______． 10．（25-26八年级上·上海宝山·期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如（a、b实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫这个复数的虚部． 它有如下特点： （1）它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似，例如：      （2）若两个复数，它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如：的共轭复数为． 若是的共轭复数，则_______________． 11．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）【阅读与思考】 “杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（n为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． … 【初步感知】 （1）按以上规则，展开式共有________项，第三项（字母部分为）的系数是________； 【拓展推广】 （2）利用杨辉三角，写出的展开式________； 【迁移应用】 （3）我们在对的推演过程中，是将中的“b”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式． 12．（25-26八年级上·广东东莞·期末）【教材原题】 （1）通过第章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 如图①可以得到的公式为_____； 如图②可以得到的公式为_____； 【探索发现】 （2）现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件，、和之间的等量关系为_____； 【结论应用】 （3）①若，则_____； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （4）如图④，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，已知这两个正方形的边长之和为3，则阴影部分的面积为_____． 13．（25-26八年级上·山东临沂·期末）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)【直接应用】 若，，求的值． (2)【类比应用】 ①若，则______． ②若满足，求的值． (3)【知识迁移】 两块全等的特制直角三角形板（）如图2所示放置，其中，，在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角形板的面积． 14．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式． (1)通过观察图1的大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，请直接写出此公式； (2)有两类正方形纸片，，其边长分别为，（），图2是由两张正方形纸片和两张正方形纸片排成的一个正方形，其中两张型纸片有重叠（图中阴影部分），图3是将，纸片并列放置后构造出来的新的正方形；用含，的代数式分别表示图2中阴影部分的面积和图3中阴影部分的面积（列出式子并化简） (3)在（2）的条件下，若图2和图3中阴影部分的面积分别为和，将两个正方形纸片和三个正方形纸片如图4摆放，求阴影部分的面积． 15．（25-26八年级上·福建泉州·期末）【阅读理解】我们已经学过完全平方公式：，适当地变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，，求的值． 解：由完全平方公式：， 因此． 因为，， 所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）填空：若，，则_____； 【类比应用】 （2）若关于的方程满足，求的值； 【思维拓展】 （3）“幻方”是中国古代数学的智慧结晶，最早记载于春秋《大戴礼记》．现将数字填入如图所示的三个两两相交的圆圈中，三个交点处（即两个圆圈的重叠部分）填入的数字分别记为，，． 若每个圆圈上的三个数字之和都相等，求的值； 在的条件下，若每个圆圈上的三个数字的平方和分别记为，，，且，求的值． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $