第四章 投影与视图（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材北师大版

第四章 投影与视图 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 投影 考点二 视图 05 重难题型突破 题型一 判断几何体的三视图 题型二 画小立方块堆砌图形的三视图 题型三 由三视图求几何体的表面积或体积 题型四 利用平行投影求物体的高度 题型五 利用中心投影求物体的高度 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 九上第四章“投影与视图”在期中考试中约占5—8分，难度以容易题为主（0.85左右），属“基础送分区”。考点集中在平行投影与中心投影辨析、常见几何体三视图判断与还原、由三视图计算小立方块数量。题型上，选择填空多考三视图识别、影子方向判断及简单计算；解答题偶有平行投影测高（结合相似）或画三视图作图题。该章命题立足空间观念，极少出现高难度综合题。 识记 记住投影的定义，能区分平行投影（太阳光）与中心投影（灯光）的典型实例，准确说出圆柱、圆锥、球等常见几何体的三视图名称。 理解 理解平行投影中“物高与影长成正比”的规律，掌握中心投影中影子随光源距离变化的特征（近短远长），厘清三视图“长对正、高平齐、宽相等”的对应关系。 应用 能根据三视图还原几何体或计算表面积体积，利用平行投影比例关系测量旗杆高度，并判断不同时刻太阳光下影子方向与长度的变化规律。 考点一 投影 1.投影现象：物体在光线照射下，在地面或其他平面上留下影子的现象，影子所在平面为投影面。 2.中心投影：手电筒、路灯和台灯等光线可看成从一点发出，这样的光线照射物体所形成的投影为中心投影。等高物体垂直地面放置时，离点光源近的影子短，远的影子长；等长物体平行于地面放置时，离点光源越近，影子越长，越远则越短，但不会短于物体本身长度。 3.平行投影：太阳光线可看成平行光线，其形成的投影为平行投影。等高物体垂直地面放置时，在太阳光下影子一样长；等长物体平行于地面放置时，在太阳光下影子一样长且等于物体本身长度。在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例。 4.正投影：当平行光线与投影面垂直时的投影，是特殊的平行投影。 5.中心投影与平行投影的区别与联系 （1）区别：太阳光线平行，太阳光下影子长度与物体高度成比例，同一时刻影子方向总是相同；灯光发散，灯光下影子与物体高度不一定成比例，影子方向可能相同也可能不同。 （2）联系：都是研究物体投影的方式，平行投影由平行光线形成，如太阳光线、月光等；中心投影由一点发出的光线形成，如灯泡、手电筒的光线等。 ⚠️避坑指南 ❌ 区分平行投影与中心投影：平行光线是平行投影，点光源是中心投影，别混。 ❌避坑：同一物体不同投影可能不同；平行投影中物高与影长成比例，中心投影不成。 考点二 视图 1.三视图的概念：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形称为视图。从正面、左面和上面观察物体，分别得到主视图、左视图和俯视图，它们统称为三视图。 2.三视图的关系：位置上，俯视图在主视图下方，左视图在主视图右方；大小上，遵循主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图宽相等的原则。 3.画几何体的三视图：先确定主视图位置并画出，再在主视图正下方画出俯视图，保证长对正，在主视图正右方画出左视图，做到高平齐、宽相等，几何体上被遮挡看不见部分的轮廓线画成虚线。 4.由三视图想象几何体的形状：分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面，再综合考虑整体图形，可根据实线和虚线想象看得见和看不见的轮廓线，也可通过熟记简单几何体的三视图来帮助想象复杂几何体的形状。 ⚠️避坑指南 ❌ 三视图：主视图看长高，俯视图看长宽，左视图看宽高，注意“长对正、高平齐、宽相等”。 ❌ 避坑：看不见的轮廓线画虚线；别把左视图和右视图搞反，方向要对应。 题型一 判断几何体的三视图 典例1 （25-26九年级下·重庆·期中）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图的定义解答即可． 【详解】解：它的左视图有两层，第一层有两个小正方形，第二层左边有一个小正方形，如图： ． 💡破题要诀 1. 定方向：正视图看前，侧视图看左，俯视图看下，视线垂直于投影面。 2. 抓轮廓：看可见轮廓画实线，被挡轮廓画虚线，注意长对正、高平齐、宽相等。 迁移应用 1．（25-26九年级下·湖南常德·期中）中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意思是：把一长方体沿对角面一分为二，相同的这两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的主视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：由图可知，这个立体图形的主视图为． 2．（25-26七年级上·福建泉州·期中）如图所示的是一种常用的圆顶螺杆，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了俯视图，熟练掌握俯视图的概念是解题关键．根据俯视图的定义：从上面观察物体所得到的视图是俯视图求解即可． 【详解】 解：圆顶螺杆的俯视图是． 故选：B． 3．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图为放置在水平实验台上的锥形瓶，关于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 【答案】A 【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案． 【详解】解：由三视图的定义，知该锥形瓶的主视图与左视图相同． 题型二 画小立方块堆砌图形的三视图 典例2 （25-26九年级上·陕西榆林·期中）用若干个棱长为1的小正方体搭一个几何体，从上面看到这个几何体的形状如图所示（小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数）． (1)请在图中画出主视图和左视图； (2)这个几何体的体积是______． 【答案】(1) 如图所示： (2)12 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，求几何体的体积，能正确画出从正面和左面看到的图形是解题的关键． （1）从上面看得到图形的数字可得，从正面看有3列，看到小正方形的数量从左到右依次是4个、3个，2个；从左面看有3列，从左到右看到小正方形的数量依次是2个，4个，2个，据此可作图即可； （2）根据从正面、左面、上面看到的小正方形个数求出体积即可． 【详解】（1）略 （2）解：这个几何体的体积是：． 故答案为：12． 💡破题要诀 1. 定方向数层数：从正面、左面、上面分别观察，数清各列最高层数和每层块数。 2. 画轮廓标虚实：按投影画正方形，可见画实线，被挡画虚线，注意长对正、高平齐、宽相等。 迁移应用 1．（25-26七年级上·四川眉山·期中）如图，由若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体放置在平整的地面上． (1)请画出这个几何体的三视图． (2)在这个几何体的表面喷上红色的漆（底部不喷漆），则在所有的小正方体中，有 个小正方体只有三个面是红色． 【答案】(1) 由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为； 左视图有列，每列小正方形数目分别为； 俯视图有列，每列小正方形数目分别为．据此可画出图形； (2) 【分析】本题考查简单组合体的三视图的画法．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．注意涂色面积指组成几何体的外表面积． （）先分析几何体的小正方体堆叠结构，再分别从正面、左面、上面观察，确定每列小正方形的个数与分布，据此画出主视图、左视图、俯视图； （）明确底层不喷漆的规则，逐一分析各层小正方体的暴露面数(贴合面与底面不计)，结合几何体堆叠结构，数出仅三个面暴露的小正方体数量即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：正方体只有三个面是红色的应该是：第一列个，第二列个，第三列最底层个， ∴共个． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·全国·期中）作图题： (1)请在方格中画出该几何体的三个视图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加几块小正方体． 【答案】(1) 解：该几何体的三个视图如图所示， ； (2)最多可以添加2块 【分析】本题考查了三视图，解题的关键是具有一定的空间概念． （1）根据三视图画出相应的图形即可； （2）在俯视图上相应位置备注出相应摆放的数目即可． 【详解】（1）略 （2）解：在如图所示位置添加相应数量的小正方体， 所以最多可以添加2块． 3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_____个小正方体组成，请画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需_____克漆； (3)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加_____个小正方体． 【答案】(1)8， 这个几何体从三个方向看的图形，如下图： (2)200 (3)3 【分析】本题考查作图—三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示，注意涂色面积是组成几何体的表面面积． （1）先数出这个几何体中小正方体的个数，由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方体数目分别为1，2，3，左视图有2列，每列小正方体数目分别为3，1，俯视图有3列，每列小正方体数目分别为1，2，2，据此可画出图形； （2）求出不含底面的表面积即可求解； （3）保持从上面看和从左面看到的图形不变，可往第一列上面的几何体上放2个小正方体， 第二列上面的几何体上放1个小正方体，即可． 【详解】（1）解：这个几何体是由个小正方体组成， 故答案为：8 （2）解：克， 即共需200克漆； 故答案为：200 （3）解：保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加个小正方体． 【点睛】故答案为：3． 题型三 由三视图求几何体的表面积或体积 典例3 （25-26九年级下·全国·期末）一个几何体的三视图如图所示，请先写出这个几何体的名称，再根据三视图画出它的平面展开图，并求其表面积S． 【答案】三这个几何体的名称是三棱柱， 【分析】本题考查三视图，棱柱的表面积，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 有2个视图的轮廓是长方形，那么这个几何体为棱柱，另一个视图是三角形，那么该几何体是三棱柱；根据勾股定理求出等腰三角形的腰长，再根据三棱柱的表面积公式求解即可． 【详解】解：这个几何体的名称是三棱柱，其平面展开图如图①所示(画法不唯一)．由三视图，可知三棱柱的底面是等腰三角形，如图②，过点A作于点D． 由题意，得， ∴ ∴． 💡破题要诀 1. 还原几何体：由三视图确定形状与尺寸，标出长、宽、高或半径等数据。 2. 套公式计算：根据几何体表面积、体积公式代入求值，注意单位与展开面。 迁移应用 1．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知某几何体的三视图如图所示，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为等边三角形． (1)请写出该几何体的名称：________； (2)根据图中数据，求该几何体的体积． 【答案】(1)正三棱柱 (2) 【分析】本题主要考查的是几何体的知识 （1）由三视图判断几何体， （2）根据几何体的形状，求体积，即可． 【详解】（1）解：由三视图可得，该几何体为正三棱柱． （2）解：如图，过点作于点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴该几何体的体积为：． 2．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图所示是一个直四棱柱及其主视图和俯视图（等腰梯形）． (1)根据图中所给数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为______； (2)在虚线框内画出其左视图，并标出各边的长； (3)求这个几何体的侧面积． 【答案】(1) (2) 解：左视图如下图所示： (3) 【分析】本题主要考查了三视图、勾股定理，三视图是从几何体的正面、左面、上面观察到的几何体的平面图形． （1）过点作，根据等腰梯形的性质求出，利用勾股定理求出等腰梯形的高； （2）从左面看，左视图是矩形,宽等于（1）中梯形的高，高等于主视图中棱柱的高； （3）几何体的侧面是四个矩形，其中左侧和右侧的矩形的长是宽是，正面的矩形长是宽是，后面的矩形长是宽是，根据矩形的面积公式求出四个矩形的面积之和即为几何体的侧面积． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作， 四边形是等腰梯形， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：， 这个几何体的侧面积是． 3．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）（1）如图①是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称； （2）根据两种视图中尺寸（ 单位：），计算这个组合几何体的表面积．（ π取3.14） 【答案】（1）主，俯；（2） 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，以及几何体的表面积，关键是掌握三视图所看的位置． （1）找到从正面和上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中． （2）根据题目所给尺寸，计算出下面长方体表面积+上面圆柱的侧面积． 【详解】解：（1）如图所示： （2）表面积 ． 题型四 利用平行投影求物体的高度 典例4 （25-26九年级上·河北保定·期中）【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： （1）太阳光下形成的投影属于＿＿＿＿；（填“平行投影”或“中心投影”）； （2）在图中画出在阳光下的投影； （3）求立柱的长． 【解决问题】（4）如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为1，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高为＿＿＿＿． 【答案】（1）平行投影； （2）如图所示，就是的投影． （3）的长为； （4）这棵树高 【分析】本题重点考查平行投影和相似三角形的实际应用，平行投影下，两个物体竖直放在地面上，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形的对应边成比例，抽取题目关键信息，作出图形，并利用相似三角形的性质是解决本题的关键． （1）【数学思考】太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影， （2）【数学思考】过点作的平行线，并交直线于，即得到投影， （3）【数学思考】根据平行投影的特征，得到两个相似三角形和，并利用相似三角形对应边成比例，求得立柱的值， （4）【解决问题】此题需要先抽取题目信息，画图构造，作出的平行线，并利用其与相似，计算得到的值，进而求得古树的高度． 【详解】解：（1）太阳光线属于平行光线，形成平行投影． （2）作直线，过点作，交直线于； （3）太阳光线是平行的， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故立柱的长为． 答：立柱的长为． （4）如图，过点作交于点， 则，， ， 即， ， ． 答：这棵树高． 💡破题要诀 1. 找平行关系：同一时刻物高与影长成正比，建立比例式。 2. 代数据求解：将已知物高、影长代入比例，求未知高度，注意单位统一。 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川·期中）九天楼矗立于塔子山公园内，是成都市地标建筑之一、在一个阳光灿烂的午后，小明来到公园游玩，目睹了气势恢宏的九天楼，其垂直于水平地面，他萌生了测量该建筑高度的想法．他观察到阳光下建筑的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为86米，坡面上的影长为12米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米．（参考数据） (1)求点到水平地面的距离； (2)求小明测得的九天楼高度（结果精确到1米） 【答案】(1)点到水平地面的距离为6米； (2)小明测得的九天楼高度为米． 【分析】此题考查了平行投影，平行四边形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过C作交延长线于H，根据含角直角三角形的性质求解即可； （2）过H作交于E，证明出四边形为平行四边形，得到米，然后勾股定理求出，然后根据求出的长，进而求解即可． 【详解】（1）解：过C作交延长线于H， 在中，， ∴（米）； 答：点到水平地面的距离为6米； （2）解：过H作交于E， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形 ∴米 在中，， （米） （米） ∵身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米， ∴，即 解得， ∴（米）． 答：小明测得的九天楼高度为米． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）甲楼、乙楼、斜坡的底部在同一水平面并且在同一直线上，具体数据如下图所示，已知甲、乙两楼间距，乙楼高，宽，斜坡坡度为，乙楼底端与斜坡底端相距，小明从点出发沿斜坡向上走到达点，此时小明垂直于水平地面站立恰好从乙楼楼顶上方看到甲楼楼顶，小明眼睛位置点与站立地点距离． (1)求甲楼高度； (2)某一时刻太阳光线照射甲楼顶端的影子恰好落在乙楼底端点，求此时乙楼的影子落在斜坡上的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（）过点作于点，交于点，延长交于点，由坡坡度为，可设，，得，即得到，解得，得到，， 进而得到，，，即可得，再根据可得，即可求解； （）设阳光线照射乙楼顶端的影子恰好落在斜坡上的点，过点作于点，于点，由斜坡坡度为， 设，，得，即得，，，再根据即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，相似三角形的应用，平行投影，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，交于点，延长交于点， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 解得， ∴， 答：甲楼高度为； （2）解：设太阳光线照射乙楼顶端的影子恰好落在斜坡上的点，过点作于点，于点，如图， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）为测量水平操场上旗杆的高度，九年级各学习小组运用了多种测量方法． (1)如图1，小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为______m； (2)如图2，小红站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小红的眼睛距地面高度，小红到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小俊所在的学习小组，打算采用图3的方法测量惠山古镇映月里广场阿炳雕像的高度．他们带有总长的皮尺与长度为的标杆，但他们到实地发现雕像前面有一喷泉池，他们所带的皮尺测不出喷泉池的宽度．他们设计以下测量方案：如下图，标杆竖直放在处，眼睛与地面距离恰好为的同学在处时，视线与标杆顶部以及阿炳像的顶端在同一直线上，此时测得；标杆竖直放在处，该同学在处时，视线与标杆顶部以及阿炳像的顶端在同一直线上，此时测得．已知点、、、、在一条直线上，，请你根据学习小组测量出的数据，计算阿炳像的高度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，投影，矩形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由投影可得，进而证明，根据对应边成比例即可求解； （2）由题意得，进而证明，根据对应边成比例即可求解； （3）直线与，，分别交于点R，T，W，可得矩形，，，，由此求出相关线段长度，证明，，根据对应边成比例即可求解． 【详解】（1）解：为的影子，为的影子， ， ， 又， ， ， ， 即旗杆的高度为， 故答案为：； （2）解：如图2， 由题意知，， ， ，即， ， 即旗杆的高度为； （3）解：如图，直线与，，分别交于点R，T，W， 由题意得，四边形，，，均为矩形， ，，，，， ， 设，， ，， ， ，即， 解得， 同理可证， ，即， ， 解得， ， 即阿炳像的高度为． 题型五 利用中心投影求物体的高度 典例5 （25-26九年级上·甘肃兰州·期中）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A走到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4米恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，经过测量发现长为6米． (1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置； (2)估计路灯的高． 【答案】(1) 如图： 点O和点Q即为所求： (2)路灯的高是4.5米 【分析】此题考查了中心投影作图、相似三角形的判定与性质，熟练掌握投影的特点与相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）由题意可得，进而得到，即，解得，再结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）由题意可知：， ， ，， 又， ，则， 即：， 解得：， ， ， ， 所以路灯的高是4.5米． 💡破题要诀 1. 找相似三角形：光源、物体顶端与影端构成相似三角形，对应边成比例。 2. 列比例求解：用物高与影长、光源距离关系列式，代入数据求高度。 迁移应用 1．（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．已知小明的身高为．    【解决问题1】根据常识猜想小明在沿方向从向前进时，小明的影长如何变化________． 【解决问题2】求灯杆的高度． 【答案】[解决问题1]：逐渐变长；[解决问题2] 【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． [解决问题1]：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长，即可得到答案； [解决问题2]：根据相似三角形的判定与性质分别得出比例式，进而得出，求出，即可得到答案． 【详解】[解决问题1]：由题意，可知：小明在沿方向从向前进时，小明的影长逐渐变长； [解决问题2]：解：由题意，可知：，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， 把代入， 解得：．    2．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小亮的身高用线段表示，路灯在线段上． (1)请你确定路灯所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子． (2)如果路灯距离地面，小亮的身高为，小亮与灯杆的距离为，请求出小亮影子的长度． 【答案】(1) 如图，点，线段即为所求； (2)小亮影子的长度为 【分析】本题考查作图应用与设计作图，相似三角形的性质，中心投影，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）连接，延长交于点，连接，延长交于点，点，线段即为所求； （2）利用相似三角形的性质构建方程求解． 【详解】（1）略 （2）， △△， ， ， ， 答：小亮影子的长度为． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 【答案】(1)9.6米 (2)米 (3)①米；② 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，列代数式，一次函数中的实际意义，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由证，用相似比求高度； （2）由证，代入求长度； （3）①用相似比表示出、，相加得的表达式； ②计算的表达式，计算1秒内移动的距离即为在地面上移动的速度． 【详解】（1）解：由题意，可知， 米， 米， 米， ，， ， ∴，， ， ， ， ， 答：路灯的高度为米； （2）解：， 米， ∵米，米， ∴米，米， ， ， ∴，， ， ， ， ， ， 答：的长是米； （3）解：①由（1）（2）得，， 当运动秒后，米，则米， 设米，米， ， 解得：； ， 解得； 米， 故答案为：米； ②由题意可知：影子的顶端在地面上移动的距离是， 米， 当秒时， 米， 当秒时， 米， ∴1秒时间内移动的距离为： 米， 影子的顶端在地面上移动的速度是米秒． 故答案为：． 基础固本练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（25-26八年级下·江苏常州·期中）一张长方形卡纸在太阳光的照射下落在地面上的影子的形状不可能是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形 【答案】A 【分析】太阳光线是平行光线，属于平行投影，根据平行投影的特点判断即可． 【详解】解：∵太阳光是平行投影，长方形卡纸的两组对边互相平行， ∴平行直线在平行投影下得到的投影仍然互相平行， 因此长方形影子的两组对边依然分别平行，影子一定是对边平行的平行四边形，矩形，正方形都是特殊的平行四边形，都可以形成， 梯形只有一组对边平行，不可能满足两组对边分别平行的特点，因此不可能得到梯形的影子． 2．（2026·山西·中考真题）一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图定义解答即可． 【详解】解：从左面观察几何体，看不见的孔洞轮廓要用虚线表示，零件左侧整体为矩形，前后贯通的圆孔在左视图中呈现两条水平虚线，下方还有底座矩形，对应选项A． 3．（25-26九年级下·宁夏银川·期中）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（   ） A．50 B．66 C．70 D．76 【答案】B 【详解】解：由主视图和俯视图可知，底面正方形的对角线长为，长方体的高为， ∴底面边长为， ∴这个长方体的表面积为． 4．（25-26九年级上·山西晋中·期末）在灯光秀观演活动中，有一直射灯垂直射向古城墙，小花想估计直射灯与城墙的距离，如图，用一块三角板与墙面平行放置，灯光照射下在城墙形成投影，小花妈妈帮助量得三角板的一边长为80cm，且投影三角板的对应边长为100cm，三角板中心点与其投影的中心点距离大约是，由此估计直射筒灯距离城墙大约（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的应用，分式方程的应用，如图，设直射灯所在的位置为点，三角板的中心为点，投影的中心为点，则，设直射筒灯距离城墙大约，则，，设，，连接、，根据题意知：，，证明，，进一步推出，代入数据求解即可．解题的关键是正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 【详解】解：如图，设直射筒灯所在的位置为点，三角板的中心为点，投影的中心为点，则，设直射筒灯距离城墙大约，则，，设，，连接、， 根据题意知：，， ∴，；，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴直射筒灯距离城墙大约． 故选：A． 二、填空题 5．（25-26九年级上·陕西西安·期末）秦腔是四大声腔中最古老、最丰富的声腔体系．秦腔演员在灯光下表演的影子是_____投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【分析】本题考查的是投影的分类，灵活运用中心投影与平行投影的定义是解题的关键．根据投影的定义可知，由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，而灯光属于点光源，因此秦腔演员在灯光下表演的影子是中心投影． 【详解】解：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，灯光属于点光源，秦腔演员在灯光下的影子是由该点光源发出的光线形成的投影，因此是中心投影． 故答案为：中心． 6．（25-26九年级上·北京昌平·期末）如图，小树在路灯的照射下形成影子．若路灯灯泡底端距离地面的高度，，，则小树高度______． 【答案】8 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据相似三角形的判定证出，然后利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴小树高度． 故答案为：8． 7．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长为______． 【答案】 【分析】本题考查了中心投影，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，过轴于点，交于点，由两端的坐标分别为，，所以轴，，则有，，然后证明，则有，再代入求值即可，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过轴于点，交于点， ∵两端的坐标分别为，， ∴轴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，1米竹竿垂直于地面，在太阳光照射下形成的影子为1.5米，树影投射在墙上的影高等于2米，若树根到墙的距离等于9米，则树高等于_____米． 【答案】8 【分析】本题考查平行投影的相似性质，解题的关键是利用平行光线形成的相似三角形对应边成比例． 先根据竹竿与影子的比例确定光线的相似比，再结合树到墙的距离计算树在地面的投影长度，最后加上墙上的影高得到树高． 【详解】解：由题意，1米竹竿的影子长1.5米， 光线形成的物体高度与水平影子长度的比为： 如图，过点作于点， 则米，米， 设树在水平地面的投影对应的树高部分为，根据相似性质：， 代入，得：， 树高（米）． 故答案为：8． 三、解答题 9．（25-26九年级上·河南南阳·期中）小明家的客厅有一张圆桌，它的直径为米，桌高为米，其示意图如图所示．在点A处有一盏灯，它到地面的距离为2米，圆桌在地面上的影子的直径是，图中的各点均在同一平面内．若点D到点O的距离为21米，求点E到点O的距离． 【答案】23米 【分析】本题考查中心投影，正确将中心投影相关问题转化为相似三角形的问题是解题关键． 根据相似三角形的相似比等于对应高的比，求出即可求解． 【详解】解：连接，并延长交于点F， 由题意可得米，米，米，米，， ∴（米）， ∵， ∴，， ，， ∴，即， ∴米， ∴（米）． ∴点E到点O的距离是23米． 10．（25-26七年级上·山东青岛·期末）由10个相同的正方体搭成如图所示的几何体，放在桌面上． (1)画出该几何体的三视图； (2)若每个正方体的棱长为1，则该几何体的表面积为_____．（不含底面） 【答案】(1) 解：该几何体的三视图如图所示： (2)32 【分析】本题考查了几何体的三视图，计算几何体的表面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用空间想象，且结合三视图的特征进行作图即可； （2）先算出每个方向上的面的数量，再根据每个正方体的棱长为1，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：依题意，前面：6个面； 后面：6个面； 左面：7个面； 右面：7个面； 上面：6个面； ∴ ∴该几何体的表面积为32． 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度． 【答案】电线杆的高度为米 【分析】此题考查的平行投影，相似三角形的应用举例，在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．过点G作于点Q，于点P，得出四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，由题意得，然后根据实际高度和影长成正比例列式，求解即可． 【详解】解：如图， 过点G作于点Q，于点P， 根据题意得出，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∵米，米，宽米，米， ∴米，，米， ∵点G是的中点， ∴米， ∴（米）， ∵实际高度和影长成正比例， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴， ∴（米）． 答：电线杆的高度为米． 12．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，南阳白河国家湿地公园有一灯柱，M为光源．某兴趣小组为了测量灯柱的高度，在灯柱同侧竖立两根长度均为的标杆和，点N，B，C在同一条直线上．测得长度为，的影长为． (1)求灯柱的高度； (2)请画出标杆的影子，并直接写出的长度． 【答案】(1)灯柱的高度为 (2)标杆的影子如图所示；的长度为 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，即可求解； （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴灯柱的高度为； （2）解：同理可证明， ∴ ∴， 解得， ∴的长度为． 综合进阶练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（2026·广东深圳·中考真题）下列四个立体花瓶图形中，主视图与左视图不同的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，对各选项中的立体图形进行分析判断即可． 【详解】A、主视图与左视图轮廓相同，故不符合题意； B、主视图与左视图轮廓相同，故不符合题意； C、主视图能看到两侧的装饰物，左视图看到的是瓶身的侧面，轮廓宽度不同，故主视图与左视图不同，符合题意； D、主视图与左视图轮廓相同，故不符合题意． 2．（25-26九年级上·江西上饶·期末）一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，中心投影等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 先证明，推出，求得米，再证明，得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵米，米，米 则米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，则米， ∴， ∴米， 故选：B． 二、填空题 3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，圆桌正上方的灯泡（看成一个点）发出的光线照射到桌面后，在地面上形成阴影．若桌面的半径，桌面与地面的距离，灯泡到桌面的距离，则地面上阴影部分的面积为______（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，即相似三角形的对应边成比例．先根据，可得出∽，由相似三角形的对应边成比例可求出的长，再由圆的面积公式即可得出结论． 【详解】解：，， ∴， ∽， ， 即， 解得， 故答案为： 4．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，小明家的客厅有一张高0.8米（即米）的圆桌，圆桌的直径为1米，点处有一盏灯，圆桌在此灯光下的影子最外侧两点分别为、，以所在直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，已知图中所有的点均在同一平面内，轴，米，点的坐标为，则点的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的实际应用，由题意可推出；得出，进而得到 ，结合即可求解． 【详解】解：由题意得：轴， ∴ ∴， ， 即： 故答案为： 三、解答题 5．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，一个几何体是由几个同样大小的小正方体搭成的几何体． (1)该几何体由______个小正方形组成； (2)请分别画出该几何体的主视图、左视图； (3)若小正方形的边长为1，请求出该几何体的表面积（含下底面）？ 【答案】(1) (2) 如图所示： (3) 【分析】题考查组合体的三视图，发挥空间想象能力是解决问题的关键． （1）从上到下逐层数出小正方体的个数即可得到答案； （2）由组合体的构成，从正面看、从左面看即可得到其平面图形； （3）该几何体的表面积就是能看到的小正方体的各个面的面积之和，数出能看到的各个面求和即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 该几何体由个小正方形组成， 故答案为：； （2）略 （3）解：小正方形的边长为1， 小正方体的每一个面的面积为1， 如图所示： 该几何体的表面积就是能看到的小正方体的各个面的面积之和， 则该几何体的表面积为：． 6．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． (1)在图中画出光源的位置（用点P表示）； (2)此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； (3)在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 【答案】(1) 如图，点P即为所求： (2)中心投影 (3) 如图所示，为所求． 【分析】本题考查了中心投影，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据在同一时刻同一光源下立柱形成的影子为与，连接并延长交于点P，即为所求； （2）因为所有光线均从同一个点P发出，呈发散状，且不同立柱的影子方向不平行，符合中心投影的特征，即可解答； （3）连接并延长交地面于点M，则为所求． 【详解】（1）如图，点P为光源的位置，点P即为所求： （2）解：此光源下形成的投影是中心投影． 故答案为：中心投影； （3）如图所示，线段为立柱在此光源下所形成的影子，则为所求． 7．（25-26八年级下·山东泰安·期末）为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)1米 【分析】（1）由题意知：米，米，证明，列比例式计算即可； （2）证明，求得（米），再根据，求解即可； （3）连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，根据，列比例式求解即可； 【详解】（1）解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米； （2）解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米； （3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高． 8．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）9月30日是中国烈士纪念日，在苍郁静谧的惠山北麓，无锡市革命烈士陵园改造及环境提升工程已顺利完工，以全新面貌重新对外开放．纪念塔是整个陵园的核心和最高点，由塔身和塔座两部分构成，塔身正面镌刻着“为国牺牲人民英雄纪念塔”，此次改造工程包含了对烈士纪念塔塔座的扩建．某校数学研究性学习小组开展测量纪念塔高度的活动．经测量，纪念塔塔座高度为，如图，即，由于塔顶A和塔底中心B均无法到达，经研究，设计并实施了如下测量活动： 太阳光下，塔身的顶端A的影子落在点E处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端D的影子落在点F处，若此时站在点H处的观测者从点G处看到标杆顶D、塔顶A在同一条直线上，塔身底部点C在观测者的水平视线上．已知在同一平面内，点F，H，E，B在同一水平线上，，，． 根据以上信息，解决下列问题． (1)求该时刻下，纪念塔塔高与其影长的数量关系； (2)求纪念塔塔高． 【答案】(1) (2)18米 【分析】本题考查了相似三角形的应用及矩形的性质和判定，解题的关键是通过平行光线构建相似三角形，结合相似三角形性质建立等量关系． （1）根据太阳光下，同一时刻，物体长度和其影长的比值相等得出，结合题干数据即可求解． （2）如图，令与的交点为，则四边形和是矩形，得出，，，设， 则，，表示出，证明，则，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 即， ． （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ∴，， ∴， 设， 则 ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 米， 答：纪念碑的高度为18米． 9．（25-26九年级上·广东茂名·期中）【问题情境】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影． (1)画图操作：如图①，三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源O的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． (2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______； (3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 【答案】(1) 如图，光源O、线段即为所求； (2)B (3)灯杆高度为5.4m 【分析】（1）连接，并延长交于点O，再连接，过点E作，交于点K； （2）小明从点A出发，影子越来越短，到路灯下方达到最短，之后越来越长，可知B符合题意； （3）先说明，即可得出 ，再代入数值可得然后根据求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：B； 根据题意可知影子越来越短，至最短，随后越来越长，可知B符合题意； （3）解：如图所示，设， 由题意得，， ， ， ， ， ， 解得， ∴ ． ∵， 解得， ∴灯杆高度为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 投影与视图 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 投影 考点二 视图 05 重难题型突破 题型一 判断几何体的三视图 题型二 画小立方块堆砌图形的三视图 题型三 由三视图求几何体的表面积或体积 题型四 利用平行投影求物体的高度 题型五 利用中心投影求物体的高度 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 九上第四章“投影与视图”在期中考试中约占5—8分，难度以容易题为主（0.85左右），属“基础送分区”。考点集中在平行投影与中心投影辨析、常见几何体三视图判断与还原、由三视图计算小立方块数量。题型上，选择填空多考三视图识别、影子方向判断及简单计算；解答题偶有平行投影测高（结合相似）或画三视图作图题。该章命题立足空间观念，极少出现高难度综合题。 识记 记住投影的定义，能区分平行投影（太阳光）与中心投影（灯光）的典型实例，准确说出圆柱、圆锥、球等常见几何体的三视图名称。 理解 理解平行投影中“物高与影长成正比”的规律，掌握中心投影中影子随光源距离变化的特征（近短远长），厘清三视图“长对正、高平齐、宽相等”的对应关系。 应用 能根据三视图还原几何体或计算表面积体积，利用平行投影比例关系测量旗杆高度，并判断不同时刻太阳光下影子方向与长度的变化规律。 考点一 投影 1.投影现象：物体在 下，在地面或其他平面上留下 的现象，影子所在平面为投影面。 2.中心投影：手电筒、路灯和台灯等光线可看成从 ，这样的光线照射物体所形成的投影为 。等高物体垂直地面放置时，离点光源近的影子短，远的影子长；等长物体平行于地面放置时，离点光源越近，影子越长，越远则越短，但不会短于物体本身长度。 3.平行投影： 可看成 ，其形成的投影为 。等高物体垂直地面放置时，在太阳光下影子一样长；等长物体平行于地面放置时，在太阳光下影子一样长且等于物体本身长度。在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例。 4.正投影：当平行光线与投影面 时的投影，是特殊的平行投影。 5.中心投影与平行投影的区别与联系 （1）区别：太阳光线 ，太阳光下影子长度与物体高度成比例，同一时刻影子方向总是相同；灯光 ，灯光下影子与物体高度不一定成比例，影子方向可能相同也可能不同。 （2）联系：都是研究物体投影的方式，平行投影由 形成，如太阳光线、月光等；中心投影由 的光线形成，如灯泡、手电筒的光线等。 ⚠️避坑指南 ❌ 区分平行投影与中心投影：平行光线是平行投影，点光源是中心投影，别混。 ❌避坑：同一物体不同投影可能不同；平行投影中物高与影长成比例，中心投影不成。 考点二 视图 1.三视图的概念：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形称为视图。从 、 和 观察物体，分别得到 、 和 ，它们统称为三视图。 2.三视图的关系：位置上，俯视图在主视图下方，左视图在主视图右方；大小上，遵循主视图与俯视图 ，主视图与左视图 ，左视图与俯视图 的原则。 3.画几何体的三视图：先确定主视图位置并画出，再在主视图正下方画出俯视图，保证长对正，在主视图正右方画出左视图，做到高平齐、宽相等，几何体上被遮挡看不见部分的轮廓线画成 。 4.由三视图想象几何体的形状：分别根据 、 和 想象几何体的前面、上面和左侧面，再综合考虑整体图形，可根据 和 想象看得见和看不见的轮廓线，也可通过熟记简单几何体的三视图来帮助想象复杂几何体的形状。 ⚠️避坑指南 ❌ 三视图：主视图看长高，俯视图看长宽，左视图看宽高，注意“长对正、高平齐、宽相等”。 ❌ 避坑：看不见的轮廓线画虚线；别把左视图和右视图搞反，方向要对应。 题型一 判断几何体的三视图 典例1 （25-26九年级下·重庆·期中）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1. 定方向：正视图看前，侧视图看左，俯视图看下，视线垂直于投影面。 2. 抓轮廓：看可见轮廓画实线，被挡轮廓画虚线，注意长对正、高平齐、宽相等。 迁移应用 1．（25-26九年级下·湖南常德·期中）中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意思是：把一长方体沿对角面一分为二，相同的这两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的主视图为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·福建泉州·期中）如图所示的是一种常用的圆顶螺杆，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图为放置在水平实验台上的锥形瓶，关于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 题型二 画小立方块堆砌图形的三视图 典例2 （25-26九年级上·陕西榆林·期中）用若干个棱长为1的小正方体搭一个几何体，从上面看到这个几何体的形状如图所示（小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数）． (1)请在图中画出主视图和左视图； (2)这个几何体的体积是______． 💡破题要诀 1. 定方向数层数：从正面、左面、上面分别观察，数清各列最高层数和每层块数。 2. 画轮廓标虚实：按投影画正方形，可见画实线，被挡画虚线，注意长对正、高平齐、宽相等。 迁移应用 1．（25-26七年级上·四川眉山·期中）如图，由若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体放置在平整的地面上． (1)请画出这个几何体的三视图． (2)在这个几何体的表面喷上红色的漆（底部不喷漆），则在所有的小正方体中，有 个小正方体只有三个面是红色． 2．（25-26七年级上·全国·期中）作图题： (1)请在方格中画出该几何体的三个视图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加几块小正方体． 3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_____个小正方体组成，请画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需_____克漆； (3)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加_____个小正方体． 题型三 由三视图求几何体的表面积或体积 典例3 （25-26九年级下·全国·期末）一个几何体的三视图如图所示，请先写出这个几何体的名称，再根据三视图画出它的平面展开图，并求其表面积S． 💡破题要诀 1. 还原几何体：由三视图确定形状与尺寸，标出长、宽、高或半径等数据。 2. 套公式计算：根据几何体表面积、体积公式代入求值，注意单位与展开面。 迁移应用 1．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知某几何体的三视图如图所示，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为等边三角形． (1)请写出该几何体的名称：________； (2)根据图中数据，求该几何体的体积． 2．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图所示是一个直四棱柱及其主视图和俯视图（等腰梯形）． (1)根据图中所给数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为______； (2)在虚线框内画出其左视图，并标出各边的长； (3)求这个几何体的侧面积． 3．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）（1）如图①是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称； （2）根据两种视图中尺寸（ 单位：），计算这个组合几何体的表面积．（ π取3.14） 题型四 利用平行投影求物体的高度 典例4 （25-26九年级上·河北保定·期中）【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： （1）太阳光下形成的投影属于＿＿＿＿；（填“平行投影”或“中心投影”）； （2）在图中画出在阳光下的投影； （3）求立柱的长． 【解决问题】（4）如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为1，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高为＿＿＿＿． 💡破题要诀 1. 找平行关系：同一时刻物高与影长成正比，建立比例式。 2. 代数据求解：将已知物高、影长代入比例，求未知高度，注意单位统一。 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川·期中）九天楼矗立于塔子山公园内，是成都市地标建筑之一、在一个阳光灿烂的午后，小明来到公园游玩，目睹了气势恢宏的九天楼，其垂直于水平地面，他萌生了测量该建筑高度的想法．他观察到阳光下建筑的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为86米，坡面上的影长为12米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米．（参考数据） (1)求点到水平地面的距离； (2)求小明测得的九天楼高度（结果精确到1米） 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）甲楼、乙楼、斜坡的底部在同一水平面并且在同一直线上，具体数据如下图所示，已知甲、乙两楼间距，乙楼高，宽，斜坡坡度为，乙楼底端与斜坡底端相距，小明从点出发沿斜坡向上走到达点，此时小明垂直于水平地面站立恰好从乙楼楼顶上方看到甲楼楼顶，小明眼睛位置点与站立地点距离． (1)求甲楼高度； (2)某一时刻太阳光线照射甲楼顶端的影子恰好落在乙楼底端点，求此时乙楼的影子落在斜坡上的长度． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）为测量水平操场上旗杆的高度，九年级各学习小组运用了多种测量方法． (1)如图1，小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为______m； (2)如图2，小红站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小红的眼睛距地面高度，小红到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小俊所在的学习小组，打算采用图3的方法测量惠山古镇映月里广场阿炳雕像的高度．他们带有总长的皮尺与长度为的标杆，但他们到实地发现雕像前面有一喷泉池，他们所带的皮尺测不出喷泉池的宽度．他们设计以下测量方案：如下图，标杆竖直放在处，眼睛与地面距离恰好为的同学在处时，视线与标杆顶部以及阿炳像的顶端在同一直线上，此时测得；标杆竖直放在处，该同学在处时，视线与标杆顶部以及阿炳像的顶端在同一直线上，此时测得．已知点、、、、在一条直线上，，请你根据学习小组测量出的数据，计算阿炳像的高度． 题型五 利用中心投影求物体的高度 典例5 （25-26九年级上·甘肃兰州·期中）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A走到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4米恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，经过测量发现长为6米． (1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置； (2)估计路灯的高． 💡破题要诀 1. 找相似三角形：光源、物体顶端与影端构成相似三角形，对应边成比例。 2. 列比例求解：用物高与影长、光源距离关系列式，代入数据求高度。 迁移应用 1．（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．已知小明的身高为．    【解决问题1】根据常识猜想小明在沿方向从向前进时，小明的影长如何变化________． 【解决问题2】求灯杆的高度． 2．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小亮的身高用线段表示，路灯在线段上． (1)请你确定路灯所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子． (2)如果路灯距离地面，小亮的身高为，小亮与灯杆的距离为，请求出小亮影子的长度． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 基础固本练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（25-26八年级下·江苏常州·期中）一张长方形卡纸在太阳光的照射下落在地面上的影子的形状不可能是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形 2．（2026·山西·中考真题）一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·宁夏银川·期中）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（   ） A．50 B．66 C．70 D．76 4．（25-26九年级上·山西晋中·期末）在灯光秀观演活动中，有一直射灯垂直射向古城墙，小花想估计直射灯与城墙的距离，如图，用一块三角板与墙面平行放置，灯光照射下在城墙形成投影，小花妈妈帮助量得三角板的一边长为80cm，且投影三角板的对应边长为100cm，三角板中心点与其投影的中心点距离大约是，由此估计直射筒灯距离城墙大约（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26九年级上·陕西西安·期末）秦腔是四大声腔中最古老、最丰富的声腔体系．秦腔演员在灯光下表演的影子是_____投影．（填“平行”或“中心”） 6．（25-26九年级上·北京昌平·期末）如图，小树在路灯的照射下形成影子．若路灯灯泡底端距离地面的高度，，，则小树高度______． 7．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长为______． 8．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，1米竹竿垂直于地面，在太阳光照射下形成的影子为1.5米，树影投射在墙上的影高等于2米，若树根到墙的距离等于9米，则树高等于_____米． 三、解答题 9．（25-26九年级上·河南南阳·期中）小明家的客厅有一张圆桌，它的直径为米，桌高为米，其示意图如图所示．在点A处有一盏灯，它到地面的距离为2米，圆桌在地面上的影子的直径是，图中的各点均在同一平面内．若点D到点O的距离为21米，求点E到点O的距离． 10．（25-26七年级上·山东青岛·期末）由10个相同的正方体搭成如图所示的几何体，放在桌面上． (1)画出该几何体的三视图； (2)若每个正方体的棱长为1，则该几何体的表面积为_____．（不含底面） 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度． 12．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，南阳白河国家湿地公园有一灯柱，M为光源．某兴趣小组为了测量灯柱的高度，在灯柱同侧竖立两根长度均为的标杆和，点N，B，C在同一条直线上．测得长度为，的影长为． (1)求灯柱的高度； (2)请画出标杆的影子，并直接写出的长度． 综合进阶练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（2026·广东深圳·中考真题）下列四个立体花瓶图形中，主视图与左视图不同的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江西上饶·期末）一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 二、填空题 3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，圆桌正上方的灯泡（看成一个点）发出的光线照射到桌面后，在地面上形成阴影．若桌面的半径，桌面与地面的距离，灯泡到桌面的距离，则地面上阴影部分的面积为______（结果保留） 4．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，小明家的客厅有一张高0.8米（即米）的圆桌，圆桌的直径为1米，点处有一盏灯，圆桌在此灯光下的影子最外侧两点分别为、，以所在直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，已知图中所有的点均在同一平面内，轴，米，点的坐标为，则点的坐标是___________． 三、解答题 5．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，一个几何体是由几个同样大小的小正方体搭成的几何体． (1)该几何体由______个小正方形组成； (2)请分别画出该几何体的主视图、左视图； (3)若小正方形的边长为1，请求出该几何体的表面积（含下底面）？ 6．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． (1)在图中画出光源的位置（用点P表示）； (2)此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； (3)在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 7．（25-26八年级下·山东泰安·期末）为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 8．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）9月30日是中国烈士纪念日，在苍郁静谧的惠山北麓，无锡市革命烈士陵园改造及环境提升工程已顺利完工，以全新面貌重新对外开放．纪念塔是整个陵园的核心和最高点，由塔身和塔座两部分构成，塔身正面镌刻着“为国牺牲人民英雄纪念塔”，此次改造工程包含了对烈士纪念塔塔座的扩建．某校数学研究性学习小组开展测量纪念塔高度的活动．经测量，纪念塔塔座高度为，如图，即，由于塔顶A和塔底中心B均无法到达，经研究，设计并实施了如下测量活动： 太阳光下，塔身的顶端A的影子落在点E处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端D的影子落在点F处，若此时站在点H处的观测者从点G处看到标杆顶D、塔顶A在同一条直线上，塔身底部点C在观测者的水平视线上．已知在同一平面内，点F，H，E，B在同一水平线上，，，． 根据以上信息，解决下列问题． (1)求该时刻下，纪念塔塔高与其影长的数量关系； (2)求纪念塔塔高． 9．（25-26九年级上·广东茂名·期中）【问题情境】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影． (1)画图操作：如图①，三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源O的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． (2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______； (3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $