第一章集合与常用逻辑用语中十类重难点题型（压轴题专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建三阶训练体系，聚焦集合与常用逻辑用语核心方法，通过典例变式夯实基础，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|4大核心+3底线原则+5易错点|集合运算/关系、充分必要条件等核心解法，空集处理、元素互异性验证等实用技巧|从集合概念到逻辑用语，形成“概念-关系-运算-应用”递进链条| |题型归纳|10类题型（每类1典例+2变式）|元素互异性求值、子集问题等题型模版，如充分必要性先定范围再判推导|题型覆盖高频考点，以题载法，强化方法迁移与易错点突破| |压轴挑战|15道综合题|新定义题列举尝试法等思维策略，培养创新意识与应用能力|衔接高考难题，提升复杂情境下知识综合应用能力|

专题01 集合与常用逻辑用语中十类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用集合元素互异性求值 题型二、集合间的包含关系辨析 题型三、集合的子集问题 题型四、集合的交、并、补运算 题型五、利用集合间的基本关系求解参数的范围 题型六、命题间充分、必要性辨析 题型七、利用命题间充分、必要性求参数的范围 题型八、命题的否定 题型九、已知（任意）、(存在）性求参数的范围 题型十、以集合为背景的新定义题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 集合与常用逻辑用语是高中数学开篇基础，所有题型围绕集合运算、集合关系、充分必要条件、全称与存在量词四大核心展开，解题贯穿三条底线原则：一是集合元素互异性优先验证，二是空集是所有集合的子集、非空集合的真子集，三是充分、必要性问题必须先定范围、再判推导关系。学生高频易错点主要有如下几种情形： 1. 遗漏空集情况，尤其子集、交集为空的参数题型，是最高频丢分点； 2. 忽略集合元素互异性，求出参数直接作答，未做检验； 3. 交、并、补混淆端点虚实，等号取舍错误导致范围偏差； 4. 条件判断颠倒推导方向，混淆充分性与必要性； 5. 量词命题否定错误，只否结论不换量词，或错误否定条件 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用集合元素互异性求值 典例1 若集合则 . 易错提醒 1.两集合相等是指集合元素完全一样，与元素顺序无关，因为集合元素具有无序性 2.求出参数值之后务必要代入到集合中检验，保证满足集合元素的互异性 变式1-1集合其中为常数,若,则 .= . 变式1-2已知集合,则的取值范围是 . 题型二、集合间的包含关系辨析 典例2 已知集合判断的关系. 题型模版 1.特征：集合用描述法给出，但实际元素是有规律的 2.方法一：利用实数间的关系直接得出其中规律性； 方法二：用列举法表示出集合的元素，观察集合间的关系 变式2-1已知集合则的关系为 ． 变式2-2已知集合. (1)试分别判断与集合的关系 (2)若,则是否一定为集合中的元素？说明理由. 题型三、集合间的子集问题 典例3 已知若,求满足条件的集合的数量 题型模版及易错提醒 1.要能够把找满足集合C的问题转化为求解对应集合的子集的问题. 2.在求解问题时要区分是子集还是真子集. 变式3-1知.若,且求满足条件的集合的数量. 变式3-2知.若,且满足条件的有63个,则m的值为多少. 题型四、集合的交、并、补运算 典例4 已知集合,则 . 题型模版及易错提醒 1.首先将非最简集合化为最简集合. 2.集合交、并、补运算时注意方向及边界“=”的取舍. 变式4-1 设集合则= 变式4-2 设全集 ，,,={11}, 求集合 题型五、利用集合间的基本关系求解参数的范围 典例5 已知集合,若,求实数的取值范围. 易错提醒 1.根据集合间的包含关系求参数时,不要忘记考虑空集的情况； 2.在考虑集合非空的情况时，不要忘记对应的范围。 变式5-1 已知集合,若中元素个数为2个,求实数的取值范围. 变式5-2 已知集合,且,求实数的取值范围. 题型六、命题间的充分、必要性辨析 典例6 已知，，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型模版 1. 判断充分必要性关系，第一步要先判断两者间的相互推导关系.若认为能推出需要能严格证明，若认为推不出则需要举出反例. 2. 下结论时需明确谁是“条件”，切勿将充分条件与必要条件混淆. 变式6-1 设，是两个实数，命题：“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 变式6-2设集合，，那么“”是“”的________条件．（填“充分”或“必要”） 题型七、利用命题间充分、必要性求参数的范围 典例7 若“”是“”成立的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型模版 充分必要性关系应用，务必明确两个范围间的推导关系：“小范围”“大范围” 变式7-1已知，（其中），若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 变式7-2已知集合或，． (1)求实数的取值范围，使它成为的充要条件； (2)求实数的一个值，使它成为的一个充分不必要条件； (3)求实数的取值范围，使它成为的一个必要不充分条件． 题型八、命题的否定 典例 8命题p：，，则p的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型模版 命题的否定需注意两点： 1：条件中的换，其他变；2.结论中“成立”变“不成立”，常见的有“变“”等 变式8-1命题“任意，则”的否定为_________． 变式8-2命题“存在，使得”的否定是______． 题型九、已知（任意）、(存在）性求参数的范围 典例 9命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 题型模版 （方程或不等式）恒成立；可用基本的转化思想： ;; ;; 变式9-1若命题p:“”.使命题p为假命题的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式9-2若命题“存在， ”为假命题，求实数的取值范围. 变式9-3．已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围 题型十、以集合为背景的新定义题 典例 10已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 题型模版及解题技巧 新定义题对综合素养要求较高，一般情况列举尝试法以及特殊值到一般法不失为两种“笨拙”但“有效”的理解、解决新定义题的技巧。 变式10-1给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（    ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 变式10-2若数集具有性质：对任意的， ，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（   ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素个数一定是有限个 D．“权集”中一定有1 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 2．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义若，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．已知集合，，则（    ） A．存在，对任意，都有 B．对任意，存在，使得 C．存在且，对任意，都有 D．对任意且，存在，使得 4．已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（   ） A．50 B．51 C．52 D．53 5．（多选）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（    ） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 5． 6．(多选)指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知为全集且元素个数有限，对于的任意一个子集，定义集合的指示函数若，则（    ） 注：表示中所有元素所对应的函数值之和（其中是定义域的子集）. A． B． C． D． 7．（多选）集合，，记.则下列正确的是（   ） A．中有个元素 B．中的最大元素为511 C．当为奇数时，中有个元素 D．当为偶数时，中的元素之和为 8．（多选）对于一个非空集合，如果满足以下四个条件： ① ② ③，若且，则 ④，若且，则 就称集合B为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（ ） A．设，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有4个 B．设，则集合是集合A的一个“偏序关系” C．设，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个 D．是实数集的一个“偏序关系” 9．已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 10．设，则集合中的元素个数为______． 11．对非空集合中的每个元素，都乘以再求和，称为集合的交叉数，例如，则集合的交叉数为．若集合，则的所有非空子集的交叉数的总和为______． 12．已知集合,集合,其中要么,要么,则符合条件的集合有__________个. 13．设，集合含有个元素，若存在三个元正整数集合，，满足如下两个条件，则称为三分集合.①；②，，元素可分别排列为有序数组，及，使得对，均有，特别地，当为三分集合时，称为完美三分数.如：因为为三分集合，所以为最小完美三分数. (1)请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论）：，； (2)求出大于的最小完美三分数. 14．设正整数S可以表示成n个正整数，，…，（）之和，且，用所有满足上述条件的数组，，…，组成集合．对于，记，集合中元素的最大值为． (1)直接写出中的所有元素； (2)对于，若，求证：并直接写出，； (3)求，并写出中相应的所有元素． 15．已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语中十类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用集合元素互异性求值 题型二、集合间的包含关系辨析 题型三、集合的子集问题 题型四、集合的交、并、补运算 题型五、利用集合间的基本关系求解参数的范围 题型六、命题间充分、必要性辨析 题型七、利用命题间充分、必要性求参数的范围 题型八、命题的否定 题型九、已知（任意）、(存在）性求参数的范围 题型十、以集合为背景的新定义题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 集合与常用逻辑用语是高中数学开篇基础，所有题型围绕集合运算、集合关系、充分必要条件、全称与存在量词四大核心展开，解题贯穿三条底线原则：一是集合元素互异性优先验证，二是空集是所有集合的子集、非空集合的真子集，三是充分、必要性问题必须先定范围、再判推导关系。学生高频易错点主要有如下几种情形： 1. 遗漏空集情况，尤其子集、交集为空的参数题型，是最高频丢分点； 2. 忽略集合元素互异性，求出参数直接作答，未做检验； 3. 交、并、补混淆端点虚实，等号取舍错误导致范围偏差； 4. 条件判断颠倒推导方向，混淆充分性与必要性； 5. 量词命题否定错误，只否结论不换量词，或错误否定条件 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用集合元素互异性求值 典例1 若集合则 . 【答案】 【详解】解：∵题中出现了,∴,而集合中必须有元素0，∴只能,代入条件可得，∴=，解得，检验：=时不满足集合元素互异性，∴=，∴ 易错提醒 1.两集合相等是指集合元素完全一样，与元素顺序无关，因为集合元素具有无序性 2.求出参数值之后务必要代入到集合中检验，保证满足集合元素的互异性 变式1-1集合其中为常数,若,则 .= . 【答案】； 【详解】解：由可得（1）或（2）.由（1）消去可得,即,解得或.经检验,与时,均不满足中元素的互异性,舍去.由（2）消去可得,即,解得,或.把带回方程求解,得. 变式1-2已知集合,则的取值范围是 . 【答案】 【详解】解：根据中元素的互异性可得，且,解得,,且. 题型二、集合间的包含关系辨析 典例2 已知集合判断的关系. 【答案】 【详解】解：思路：证明且,从而. ,则①若为偶数，则.从而,所以.②若为奇数，则.从而,所以.可得. ,则①若,则,所以. ②若,则,所以.可得.综上所述 题型模版 1.特征：集合用描述法给出，但实际元素是有规律的 2.方法一：利用实数间的关系直接得出其中规律性； 方法二：用列举法表示出集合的元素，观察集合间的关系 变式2-1已知集合则的关系为 ． 【答案】 【详解】解：;;.易得,,则.所以,即.存在,但,所以.综上所述：. 变式2-2已知集合. (1)试分别判断与集合的关系 (2)若,则是否一定为集合中的元素？说明理由. 【答案】（1）.（2） 【详解】(1)解：,,. （2）.理由如下：.则,显然.所以. 题型三、集合间的子集问题 典例3 已知若,求满足条件的集合的数量 【答案】4 【详解】解：因为,所以中一定会有元素1,2.同时，所以中的元素除了1,2至多只能出现，所以满足条件的集合的数量就等于集合子集的数量. 题型模版及易错提醒 1.要能够把找满足集合C的问题转化为求解对应集合的子集的问题. 2.在求解问题时要区分是子集还是真子集. 变式3-1知.若,且求满足条件的集合的数量. 【答案】 【详解】解：因为,所以中一定会有元素1,2.同时，所以中的元素除了1,2至多只能出现且不能同时出现在中，所以满足条件的集合的数量就等于集合真子集的数量为个. 变式3-2知.若,且满足条件的有63个,则m的值为多少. 【答案】8 【详解】解：因为,所以中一定会有元素1,2.同时，所以中的元素除了1,2至多只能出现且不能同时出现在中，所以满足条件的集合的数量就等于集合真子集的数量为个, 解得. 题型四、集合的交、并、补运算 典例4 已知集合,则 . 【答案】 【详解】详解：,∴, 题型模版及易错提醒 1.首先将非最简集合化为最简集合. 2.集合交、并、补运算时注意方向及边界“=”的取舍. 变式4-1 设集合则= 【答案】 {0,1} 【详解】解:,故={0,1} 变式4-2 设全集 ，,,={11}, 求集合 A B 2，7 13，17 11 3，5，19 【答案】 【详解】解:, 用韦恩图法来解决本题易知： , 题型五、利用集合间的基本关系求解参数的范围 典例5 已知集合,若,求实数的取值范围. 【答案】 【详解】解：∵,∴.∵.∴①时,需满足,解得.②时,即,此时还需满足解得,所以.综上所述 易错提醒 1.根据集合间的包含关系求参数时,不要忘记考虑空集的情况； 2.在考虑集合非空的情况时，不要忘记对应的范围。 变式5-1 已知集合,若中元素个数为2个,求实数的取值范围. 【答案】 【详解】解：①,无解.②,解得.所以. 变式5-2 已知集合,且,求实数的取值范围. 【答案】或或} 【详解】解：∵,∴. ①当时，,解得. ②当时，需,解得. ③当时，需,解得. ④当时,需,解得. 综上：或或} 题型六、命题间的充分、必要性辨析 典例6 已知，，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】解：先验证是否成立.由等式的性质当时，等式两边同乘一个数等式仍然成立.故成立.再验证是否成立.显然取，则满足条件，但不成立，故.综上“”“”,故选A 题型模版 1. 判断充分必要性关系，第一步要先判断两者间的相互推导关系.若认为能推出需要能严格证明，若认为推不出则需要举出反例. 2. 下结论时需明确谁是“条件”，切勿将充分条件与必要条件混淆. 变式6-1 设，是两个实数，命题：“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于选项A，当时，满足，但命题不成立； 即由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 所以不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，A错误； 对于选项C，D，当时，满足，，但命题不成立. 即由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 所以不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，C错误； 不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，D错误； 对于选项B，当时，若，都小于等于，则，与矛盾， 所以由可推出命题“，中至少有一个数大于”成立， 若命题“，中至少有一个数大于”成立， 例如，此时，此时不成立， 故由命题“，中至少有一个数大于”成立不能推出， 所以是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件. 变式6-2设集合，，那么“”是“”的________条件．（填“充分”或“必要”） 【答案】充分 【详解】解：由题意得，，所以“”⇒“”，所以“”是“”的充分条件． 题型七、利用命题间充分、必要性求参数的范围 典例7 若“”是“”成立的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，， 则由题意得，所以，解得． 题型模版 充分必要性关系应用，务必明确两个范围间的推导关系：“小范围”“大范围” 变式7-1已知，（其中），若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意，将命题的关系转化为集合之间的关系，利用集合之间的关系即可求解. 【详解】根据题意，设集合，集合，其中， 因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件，即集合是集合的真子集， 其次满足，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 变式7-2已知集合或，． (1)求实数的取值范围，使它成为的充要条件； (2)求实数的一个值，使它成为的一个充分不必要条件； (3)求实数的取值范围，使它成为的一个必要不充分条件． 【答案】(1)； (2)是所求的一个充分不必要条件(答案不唯一)； (3)是所求的一个必要但不充分条件.(答案不唯一)． 【详解】（1）的充要条件是， 所以实数的取值范围是． （2）由(1)知，的充要条件是， 则取区间内的任意一个实数作为的值，都是的一个充分但不必要条件; 比如是所求的一个充分但不必要条件.(答案不唯一) （3）的充要条件是， 要求实数的取值范围，使它成为的一个必要但不充分条件， 即求一个集合，满足是该集合的真子集. 故是所求的一个必要但不充分条件.(答案不唯一). 题型八、命题的否定 典例 8命题p：，，则p的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据特称量词的否定选出答案即可. 【详解】命题p：，的否定是，， 故选：B． 题型模版 命题的否定需注意两点： 1：条件中的换，其他变；2.结论中“成立”变“不成立”，常见的有“变“”等 变式8-1命题“任意，则”的否定为_________． 【答案】存在，使得 【详解】命题“任意，则”的否定为：“存在，使得” ． 变式8-2命题“存在，使得”的否定是______． 【答案】任意，都有 【详解】因为原命题是存在量词命题， 所以原命题的否定是全称量词命题：任意，都有. 故答案为：任意，都有. 题型九、已知（任意）、(存在）性求参数的范围 典例 9命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数的取值范围，再求其真子集，即可判断选项. 【详解】若命题“，”为假命题， 则命题的否定“，”为真命题， 即，恒成立， ，，当，取得最大值， 所以，选项中只有是的真子集， 所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为. 故选：D 题型模版 （方程或不等式）恒成立；可用基本的转化思想： ;; ;; 变式9-1若命题p:“”.使命题p为假命题的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】为真命题，由根的判别式得到不等式，求出，得到答案. 【详解】为真命题， 故需满足，解得， 故使命题p为假命题的实数的取值范围为. 故选：C 变式9-2若命题“存在， ”为假命题，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据命题的否定为真命题，讨论的取值，结合二次不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】由题意可知，任意，是真命题， 当时，成立， 当时，，得， 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 变式9-3．已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）， 当命题为假命题时，为真命题， 所以当时，成立， 当时，可得，解得， 综上所述，； （2）由（1）知， 若命题为假命题，则， 若命题为真命题，则或， 若命题为真命题， 则，解得或， 若命题为假命题，则， 所以命题为假命题、为真命题时，； 命题为假命题、为真命题时，； 所以若命题和中有且仅有一个是假命题，则或. 题型十、以集合为背景的新定义题 典例 10已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 【答案】(1)不是的完美子集，是的完美子集 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）中任意子集之和可以是，，，，，均互不相等，满足性质①， 是再添一个不在中但在中的元素，取，， 的不同子集元素和分别为： ， 没有和相等的子集，所以不满足性质②，不是的完美子集； 的任意子集之和可以是， 均互不相等，满足性质①， 对于性质②，对任意，， 任意子集之和组成的集合为 当,存在的子集的元素和等于，只要取的两个子集为 ， 即可满足条件，而当，，取子集和即可， 所以是的完美子集； （2）反证法：设A的元素和为S,若,考察包含A的元子集. 由于A的任意两个子集元素之和不等，且B的任意一个包含16的子集元素和比B的任意个不包含16的子集元素和大， 从而B的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而. 又满足条件，此时，从而的最小值为16. （3）， 假设若，则的非空子集有个， 而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾． 假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内 (因为任意一个这样的和小于，且由知：，，，不同时属于) 若，则由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 若则由知．，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾， 若和都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和． 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 综上所述，． 题型模版及解题技巧 新定义题对综合素养要求较高，一般情况列举尝试法以及特殊值到一般法不失为两种“笨拙”但“有效”的理解、解决新定义题的技巧。 变式10-1给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（    ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 【答案】C 【详解】集合中，，则， 即的相伴数集中的最小数不是1，因此不是规范数集； 集合，， ， 即的相伴数集中的最小数是1，因此是规范数集. 故选：C 变式10-2若数集具有性质：对任意的， ，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（   ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素个数一定是有限个 D．“权集”中一定有1 【答案】B 【详解】对A，因为与均不属于数集，所以A错误； 对B，因为，，，，，都属于数集，所以B正确； 对C，举例，由“权集”的定义易知其为“权集”，所以C错误； 对D：举例，因为，都属于数集，则其是“权集”， 所以“权集”中不一定有1，故D错误. 故选：B. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，结合题设中集合的性质，结合特例和性质的运算方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，假设，令，则， 令，则；令，不存在，不符合题意， 所以，所以A正确； 对于B，由题意知：，则， 所以，所以B正确； 对于C，因为，所以， 因为，所以，所以C正确； 对于D，由，则，所以D错误. 故选：D. 2．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义若，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】根据题意可得或，进而讨论a的范围，确定出，最后得到答案. 【详解】因为，，所以或， 由，得， 关于x的方程， 当时，即时，易知，符合题意； 当时，即或时，易知0， -a不是方程的根，故，不符合题意； 当时，即时，方程 无实根， 若a=0，则B={0}，，符合题意， 若或，则，不符合题意. 所以，故. 故选：B. 3．已知集合，，则（    ） A．存在，对任意，都有 B．对任意，存在，使得 C．存在且，对任意，都有 D．对任意且，存在，使得 【答案】D 【分析】先分析集合，的元素特征，集合中的元素是分子为非零整数，分母为2的非负整数次幂的分数；集合中的元素是分子为非零整数，分母为正奇数的分数，再结合各选项依次分析. 【详解】对于选项A：设，取， 则， 因为不为3的倍数，则不为3的倍数， 所以，故A错误； 对于选项B：设，假设存在，使得， 则，整理可得， 因为为奇数，为偶数， 即，假设不成立，故B错误； 对于选项C：对于任意非零有理数（为互质奇数，）， 若，令，则； 若，令，则；故C错误； 对于选项D：对于任意非零有理数（为互质奇数，）， 若，令，则； 若，令，则；故D正确. 4．已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（   ） A．50 B．51 C．52 D．53 【答案】C 【分析】根据题意分析可知集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，进而分析的最大值. 【详解】因为，由选项可知的最大值大于3， 若对任意的，，，存在，使得， 则集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26， 即或或， 若，则， 解得，此时的最大值为51； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 综上所述：的最大值为52. 5．（多选）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（    ） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 5． 【答案】ABD 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 6．(多选)指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知为全集且元素个数有限，对于的任意一个子集，定义集合的指示函数若，则（    ） 注：表示中所有元素所对应的函数值之和（其中是定义域的子集）. A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据的定义，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由于,所以 故，故A错误， 对于B，若,则，此时满足， 若且时，， 若且时，， 若且时，， 综上可得，故B正确， 对于C， 而， 由于，所以 故,C正确， , 当时，此时中至少一个为1，所以， 当时，此时均为0，所以， 故,故D正确， 故选：BCD 7．（多选）集合，，记.则下列正确的是（   ） A．中有个元素 B．中的最大元素为511 C．当为奇数时，中有个元素 D．当为偶数时，中的元素之和为 【答案】ACD 【分析】集合中的元素都是3的正整数倍数，集合中的元素都是至之间的整数，所以集合中的元素都是至之间3的正整数倍数，构成一个公差为3的等差数列，结合等差数列的相关知识和自然数的规律即可解决本题. 【详解】选项A：“整数端点区间”中的整数个数为，其中， 所以中的元素个数为； 选项B：， 且，指的是至之间所有的正整数倍数，因为，不是的正整数倍数，所以中的最大元素应为510； 选项C：，指的是至之间所有的正整数倍数，除以3的余数的规律是： 除以3余2，除以3余1，除以3余2，除以3余1，……，据此归纳可知， 当为奇数时，除以3余2，当为偶数时，除以3余1， 所以，当为奇数时，至之间所有的正整数倍数最小为，最大为， 所以，，由于这些数都是的倍数， 所以中的元素个数为； 选项D：当为偶数时，至之间所有的正整数倍数最小为，最大为， 所以，， 中的元素个数为 因为中的元素成公差为3的等差数列，所以其元素之和为 . 8．（多选）对于一个非空集合，如果满足以下四个条件： ① ② ③，若且，则 ④，若且，则 就称集合B为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（ ） A．设，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有4个 B．设，则集合是集合A的一个“偏序关系” C．设，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个 D．是实数集的一个“偏序关系” 【答案】BCD 【分析】根据“偏序关系”的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，所以由“偏序关系”可知集合，或，或，共3个，所以A错误， 对于B，因为，所以由“偏序关系”可知集合满足①②③④， 所以是集合A的一个“偏序关系”，所以B正确， 对于C，由②可知集合B中必须含有， 由③可知与，与，与不能同时出现， 所以再从，，，，，中取一个，共6个， 即含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个，所以C正确， 对于D，满足①②， 因为，所以满足③， 因为，所以，所以，满足④， 所以是实数集的一个“偏序关系”，所以D正确， 故选：BCD. 9．已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 【答案】1 【分析】通过集合相等的性质分类讨论求解. 【详解】显然， ①若，则解得，此时，不满足集合中元素的互异性； ②若，则，则，，时即可满足集合中元素的互异性，满足题意； ③若，则，则或可解得或. 经检验这两种情况均不满足集合中元素的互异性. 综上可知，. 10．设，则集合中的元素个数为______． 【答案】31 【分析】以集合为基础，通过线性组合构造集合，分析该组合的取值范围与连续性，即可最终确定集合的元素个数. 【详解】当时，得； 当时，得， 因为变量的系数为1，当固定时，取1，2，3，4可使连续取4个整数； 变量的系数分别为2，3，4，其组合可覆盖从10到40的所有整数，无间隔， 即10到40之间的所有整数都可以表示为的形式， 所以集合中的元素为从10到40的所有整数，共有个. 11．对非空集合中的每个元素，都乘以再求和，称为集合的交叉数，例如，则集合的交叉数为．若集合，则的所有非空子集的交叉数的总和为______． 【答案】96 【分析】求出每个元素出现的总次数，然后根据题意求解即可. 【详解】由题意可知，元素在集合的所有非空子集中分别出现次数是一样的， 它们每一个出现的次数都相当于另外5个元素组成的集合的子集个数，故其出现次数均为次， 则这些交叉数的总和是： . 故答案为：96. 12．已知集合,集合,其中要么,要么,则符合条件的集合有__________个. 【答案】211 【分析】根据集合的互异性和无序性，只需考虑集合真包含于集合的情况即可，可根据集合中元素的数量进行分类讨论. 【详解】由集合的互异性可知，,因此集合真包含于集合或集合真包含于集合. 由集合的无序性可知，只需求解真包含于的情况即可. 因此，真包含于,包含于. 根据集合的元素个数进行分类讨论，其中代表符合条件的集合的数量. ①若为空集，此时是集合的非空子集，则; ②若包含集合中的任意一个元素，将该元素记为,此时集合的可能情况数可认为是集合去掉元素后的新集合的非空子集数，因此; 以下情形的计数原理与情形②相同，不再赘述. ③若包含集合中的任意两个元素，则; ④若包含集合中的任意三个元素，则. ⑤若包含集合中的任意四个元素，此时因此. 综上，. 13．设，集合含有个元素，若存在三个元正整数集合，，满足如下两个条件，则称为三分集合.①；②，，元素可分别排列为有序数组，及，使得对，均有，特别地，当为三分集合时，称为完美三分数.如：因为为三分集合，所以为最小完美三分数. (1)请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论）：，； (2)求出大于的最小完美三分数. 【答案】(1)不是；是 (2) 【分析】（1）根据三分集合的定义直接判断. （2）根据三分集合及完美三分数的概念举例说明. 【详解】（1）（i）不是三分集合，下面用反证法证明. 证明：假设是三分集合， 设，，，不妨设， 由，得， 则， 则，这与矛盾， 故假设错误，故不是三分集合； （ii）是三分集合. 理由如下：令，，， 则，满足条件①； 且由；；可知，满足条件②. 故是三分集合. （2）由（1）可知，当时，不是三分集合； 当时，， 假设是三分集合， 同理由， 得到，可推出与矛盾， 故假设也错误，故不是三分集合； 当时，， 存在三个元集合，，， 满足为三分集合的两个条件. 故大于的最小完美三分数为. 14．设正整数S可以表示成n个正整数，，…，（）之和，且，用所有满足上述条件的数组，，…，组成集合．对于，记，集合中元素的最大值为． (1)直接写出中的所有元素； (2)对于，若，求证：并直接写出，； (3)求，并写出中相应的所有元素． 【答案】．(1) (2)证明：因为均为正整数，且，所以 又所以 下面求和． 固定数组的项数，若其中两个数相差至少，把较小的数增加、较大的数减少，则各项之和不变，而乘积增大． 反复调整可知：固定时，乘积最大当且仅当各项之差不超过． 对于，分别比较不同项数下的最大乘积：      2 3 4 5 6 对应数值依次为． 当时，最优数组中的各项只能为或，故 因此取得最大值的数组为和． 对于 ，同理有      2 3 4 5 6 7 对应数值依次为 ． 当 时， 因此. (3)中相应的元素为和. 【分析】（1）根据定义对5进行拆解，再分析得到满足题意的情况即可； （2）首先分析得，再作差即可证明，再分和计算即可； （3）分5类情况进行讨论即可. 【详解】（1）的所有元素有． 理由：因为或或或或或， 而又要满足，即各项数字乘积大于2， 则中满足的所有元素有． （2）略. （3）设且，当时， ①．事实上，若存在不大于的正整数，使得，则，此时 ，令， 设，则，这与矛盾，所以； ②，事实上，若存在不大于的正整数，使得， 令，因为， 所以， 令， 则，这与矛盾，所以； ③中2与4不同时出现．事实上，若2与4同时出现， 设， 则，因为，所以将都换成3得到的更大， 所以中2与4不同时出现： ④中最多有一个4．事实上，，而， 所以中最多有一个4； ⑤中最多有两个2，事实上，，而，所以中最多有两个2： 所以当时，，或， 或，而， 所以中相应的元素为和. 15．已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 【答案】(1)，是“好的” (2)证明见解析 (3)除、、外的正整数 【详解】（1）当时，由题中定义可得，且，故是“好的”. （2）时，取，，则的值为、、、，除以8的余数为4，7，5，0. 所以，此时，合乎题意； 时，取，， 的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16的余数为4，7，12，15，5，8，13，0. 所以，则，满足条件. 故是“好的”，是“好的”. （3）①首先证明：若正整数是“好的”，则也是“好的”.（*） 事实上，若正整数是“好的”， 设，，，此时集合、满足时条件. 时，考虑，， 则也满足条件，（*）得证. ②再证：为奇数是“好的”.（**） 事实上，取，，则满足条件，（**）得证. 由（*）（**）及（2）知除1，2，4外的正整数均为“好的”. ③再证：不是“好的”. 对集合，记为中元素个数，由条件，. 若，则，矛盾. 若或，则，则，矛盾. 于是不是“好的”. 同理易知，2不是“好的”. 所以，所求为除1，2，4外的正整数. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $