专题03 集合中必考七大含参问题（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以集合含参问题为核心，通过知识梳理系统提炼分类讨论、空集处理等解题方法，构建“概念-类型-策略”逻辑链条，培养数学推理与抽象能力，实现专项突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|2个知识点|分类讨论、空集考虑、根的判别式、子集转化方程/不等式|从集合含参概念出发，按元素关系、个数、集合关系等类型构建解题策略体系| |题型精讲|7题型42题|每种题型对应具体解题步骤，强调互异性检验、端点值取舍|通过选择/填空/解答题梯度设计，覆盖集合含参高频考法与易错点|

专题03 集合中必考七大含参问题（专项训练） 【人教A版】 【题型1 集合中元素个数的含参问题】 2 【题型2 元素与集合关系中的含参问题】 5 【题型3 根据集合的相等关系求参数】 8 【题型4 根据集合的包含关系求参数】 11 【题型5 集合的基本运算中的含参问题】 14 【题型6 交并补集混合运算中的含参问题】 17 【题型7 集合新定义中的含参问题】 20 模块一 知识梳理·基础夯实 知识点1 集合中的含参问题 集合中的含参问题是集合学习中的一个重点问题，也是一个易错点.对于学生来说，要想解决好此类问题，其要点在于能够正确判断端点值能否取到，注意考虑空集的情况；含参问题的考查题型丰富，有时以小题形式出现，有时出现于解答题之中，求解此类问题时常常用到分类讨论思想，需要灵活求解. 知识点2 集合中含参问题的常见类型及其解题策略 常考的含参类型如下： 1．元素与集合关系中的含参问题 (1)解题方法：已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，一般利用分类讨论思想求解. (2)求解步骤： ①分类讨论：由元素属于或不属于集合入手，进行分类讨论； ②检验：将所求参数值回代到集合，利用集合中元素的互异性检验能否构成集合； ③经检验后找出符合条件的参数值，即可得出最终结果. 求解过程中要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验. 2．集合中元素个数的含参问题 (1)解题方法：对于集合中元素个数的含参问题，我们要考虑集合是否为空集；此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参数，常利用根的判别式求解，要注意一元二次方程的二次项系数是否为零. (2)求解步骤： 对于一元一次方程，直接进行求解即可； 对于一元一次方程： ①对集合中的方程的二次项系数是否为零进行讨论； ②当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解. 3．集合关系中的含参问题 集合关系中的含参问题主要有两类：一、根据集合的相等关系求参数问题；二、根据集合的包含关系求参数问题. (1)根据集合的相等关系求参数问题的解题策略 要求解此类问题，就要明确两集合相等的定义，即两集合中所含元素完全相同，与元素顺序无关，对此分类讨论集合中元素的所有情况即可，要做到不重不漏． (2)根据集合的包含关系求参数问题的解题策略 ①解题方法：由两个集合间的包含关系求参是一种常见题型，常利用子集的知识将问题转化为解方程(组)或不等式(组)求解. ②求解步骤： 第1步，确定两个集合中谁是谁的子集； 第2步，看集合中是否含有参数，如果子集中含有参数，要对子集是否为空集进行讨论， 第3步，把集合的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)来求解，求出参数，最后合并结果. 4．集合的基本运算中的含参问题 (1)解题方法：对于此类问题，通常要通过集合的运算结果得到集合间的关系，进而得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组进行求解. (2)求解步骤： ①通过集合运算结果，分析得到各集合间的关系； ②利用集合间的包含关系，列出相应的方程组或不等式组，进行求解； ③综合得到最终参数的取值或范围，要注意对所求结果进行检验. 模块二 考点突破·题型精讲 【题型1 集合中元素个数的含参问题】 1．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【解题思路】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【解答过程】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 故选：C. 2．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】D 【解题思路】根据和中只有一个元素，即可结合二次方程和一次方程的根求解. 【解答过程】当时，则需满足且，解得， 当中只有一个元素时，则或，解得， 综上可知：集合中至多有一个元素，则或， 故选：D. 3．（26-27高一上·全国·课后作业）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【解答过程】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 4．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）集合为单元素集合，则__________. 【答案】或 【解题思路】结合单元素集合的意义，分类讨论与两种情况即可得解. 【解答过程】因为集合为单元素集合， 所以有且只有一个解， 当，即时，方程可化为，解得，满足题意； 当，即时，，解得， 经检验：当，方程的解为，满足题意； 综上：或. 故答案为：或. 5．（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）根据方程有两个不等实根可讨论得到结果； （2）根据方程有唯一解或两个相等实根可讨论得到结果. 【解答过程】（1）集合中恰有两个元素，有两个不等实根； 当时，，解得：，不合题意； 当时，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为：或. （2）集合中只有一个元素，有唯一实根或两个相等实根； 当时，，解得：，符合题意； 当时，，解得：，此时； 综上所述：实数的取值集合为. 6．（25-26高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【解题思路】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【解答过程】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或. 【题型2 元素与集合关系中的含参问题】 7．（25-26高一上·山东济南·开学考试）已知集合，且，则实数的取值为（   ） A． B．3 C．2或3 D．或3 【答案】D 【解题思路】根据元素与集合的关系，对是否为2进行分类讨论，可得结果. 【解答过程】若，可得或； 当时，满足题意； 当时，满足题意； 若时，可知，不满足元素的互异性，不合题意. 因此实数的取值为或3. 故选：D. 8．（25-26高一上·浙江·期中）若，则的可能值为（    ） A．0，2 B．0，1 C．1，2 D．0，1，2 【答案】A 【解题思路】根据，分，，讨论求解. 【解答过程】因为， 当时，集合为，不成立； 当时，集合为，成立； 当时，则（舍去）或，当时，集合为，成立； ∴或. 故选：A. 9．（25-26高一下·全国·单元测试）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【解题思路】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【解答过程】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B. 10．（25-26高一上·辽宁·期中）已知集合，且，则的值为__________. 【答案】或 【解题思路】分别考虑和，再检查是否满足集合中元素的互异性，由此可知结果. 【解答过程】由题意得或，解得或或， 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 所以的值为或， 故答案为：或. 11．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合含有三个元素分别是，，若，求实数的值． 【答案】0 【解题思路】根据集合中元素互异的性质，可求出参数的值 【解答过程】若，则，此时中元素是1，0，1，与集合中元素的互异性矛盾，舍去． 若，则或， 当时，中元素是2，1，3，符合题意； 当时，中元素是0，1，1，与集合中元素互异性矛盾，舍去． 若，则或（均舍去）． 综上可知． 12．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）根据集合元素的三要素即可求解； （2）由得或，分类讨论，验证是否满足集合即可； （3）由得或，分类讨论，最后验证是否满足题意即可. 【解答过程】（1）由题意有：，即，解得， 所以； （2）由，所以或， 当时，，又因为，不满足元素的互异性， 当时，即，解得或（舍去）， 所以； （3）由有或， 当时，化简有，又，所以该方程无解； 当时，化简有，解得或， 当时，，所以满足题意， 当时，，所以满足题意， 所以存在或，使得. 【题型3 根据集合的相等关系求参数】 13．（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】首先由知两集合元素完全相同，而，故必属于，从而、、中必有一个等于，结合互异性排除后，分与两类讨论，每一类下将表达为具体元素，并与逐项对照，利用元素相等关系及互异性消去变量、检验合理性，最终得出符合所有条件的实数对. 【解答过程】由题意，根据集合元素的互异性可知，，因为，所以， 又因为，所以或， 若，则，此时，， 因为，所以，解得，此时，，满足题意； 若，则，此时，， 因为，所以，即，又因为且，所以此种情况无解； 综上所述，， 所以. 故选：B. 14．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 【答案】C 【解题思路】利用集合相等条件求解，并检验集合中元素的互异性即可得到判断. 【解答过程】由可得：，解得或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去， 即满足题意， 故选：C. 15．（25-26高一上·福建福州·期中）已知，若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据集合相等的定义，以及集合中元素的互异性，求得的值，代入计算，即可求解. 【解答过程】由集合，可得，即，所以， 若，此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，解得或（舍去）， 综上可得，，， 所以 故选：C. 16．（2026高一·全国·专题练习）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数__________． 【答案】 【解题思路】两个集合相等且都有三个元素，又都含有元素 ，所以除去公共元素 后，剩余两个元素组成的集合也相等．对两个二元集合的元素对应关系分类讨论，并结合集合元素的互异性检验所得结果． 【解答过程】因为集合 和集合 中都恰有三个元素，所以 与各自集合中的另外两个元素均不相同． 又因为 ，且 是两个集合的公共元素，所以 ． 两个二元集合相等，分以下两种情况讨论． ① 若 ，，则 ，解得 或 ． 当 时，，其中只有两个不同的元素，不符合“集合 中有三个元素”的条件，舍去． 当 时，，符合题意． ② 若 ，，则由第一个等式得 ． 代入第二个等式，得 ，所以 ． 但将 代入 ，得到 ，矛盾，因此此种情况无解． 综上，． 故答案为：． 17．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知，. (1)求实数的取值范围； (2)当时，求实数的值. 【答案】(1)且 (2) 【解题思路】（1）利用集合中元素的互异性解方程即可得出结果； （2）由集合相等构造方程组即可求得. 【解答过程】（1）由并根据集合中元素的互异性可知， 即，解得且； 所以实数的取值范围为且； （2）当时，可得或； 当时，解得，当时，无解； 所以. 18．（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据两个集合相等得出一元二次方程有两个实数根代入联立方程组解出检验即可； （2）由，分与讨论分析即可. 【解答过程】（1）若，则和是方程的两个实数根， 所以， 解得，代入中得：， 解得：或，满足， 所以. （2）当时，，满足， 当且时，或， 当时，，                         当时，，                          故的取值构成的集合为. 【题型4 根据集合的包含关系求参数】 19．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系分析求解. 【解答过程】因为则 (1)若，则，解得； (2)若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 20．（25-26高一上·河南平顶山·开学考试）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【解答过程】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或，解得. 综上，，即m的取值范围是 . 故选：C. 21．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）集合或， ，若，则实数的取值范围是（　　） A．且 B． C．或 D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，分，和，三种情况讨论，结合，列出不等式，即可求解. 【解答过程】当时，不等式，即为不成立，即，满足； 当时，不等式，解得，即， 要使得，则满足，解得； 当时，不等式，解得，即， 要使得，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围为. 故选：D. 22．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】结合，分，两种情况讨论求解即可. 【解答过程】当时，，即，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 23．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【解答过程】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 24．（2026高一·全国·专题练习）已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得 ，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，，，． (2)存在，或． 【解题思路】（1）化简，再结合 逐个列举即可； （2）由和两类情况讨论求解. 【解答过程】（1）当时， ， ． 又因为 ，所以这样的集合P共有6个：，，，，，． （2）当，即，时，，满足题意． 当时，若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意； 若有两个不相等的实数根， 又，结合根与系数的关系可得两根，故，此时． 综上，实数a的取值范围为或． 【题型5 集合的基本运算中的含参问题】 25．（25-26高一上·山西吕梁·期末）集合，集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据交集的结果可得出关于的等式，然后检验即可. 【解答过程】因为，集合，，则，解得， 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，，此时，符合题意. 故选：A. 26．（25-26高二下·吉林延边·阶段检测），，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析可知， ，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【解答过程】因为，，，则， 若，则，解得； 若且，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 27．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知集合，，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据补集的定义及集合的特性计算即可. 【解答过程】因为集合，，又， 所以,解得或. 当时，集合A互异性不成立舍去； 当时，符合题意； 所以. 故选：C. 28．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）集合，若且，则的取值为_________． 【答案】 【解题思路】由，得到或，求得的值，结合，逐个检验，即可求解. 【解答过程】由集合， 因为，则或，解得或或， 当时，集合，可得，不满足，舍去； 当时，集合，可得，不满足，舍去； 当时，集合，可得，满足. 故答案为：. 29．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）由并集性质得，分类讨论为空集和非空集两种情况列不等式求解； （2）由交集为空集的条件，分类讨论为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解. 【解答过程】（1）由并集的性质可知等价于， ①当时，满足，即，解得； ②当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意，①当时，满足，此时，解得； ②当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. 30．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）当时，写出集合，利用并集的定义可得出集合； （2）由题意可得，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围； （3）分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，， 又因为，故. （2）因为，则，且，． 当时，则，解得，满足； 当时，由题意可得，无解， 综上所述，实数的取值范围是. （3）因为，且， 当时，则，解得，满足； 当时，由题意可得或，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【题型6 交并补集混合运算中的含参问题】 31．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【答案】D 【解题思路】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可． 【解答过程】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或， 故选：D． 32．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据求得的取值范围. 【解答过程】因为集合， 所以， 由于， 所以. 故选：A. 33．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，求得，利用，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【解答过程】由集合，， 可得，则， 因为，则满足，解得， 结合选项，可得选项D不满足题意. 故选:D. 34．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 【答案】 【解题思路】分析可知，分类讨论的符号，结合包含关系运算求解. 【解答过程】因为集合，， 若，则， 对于方程，则， 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则中有两个元素， 可知，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 35．（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据交集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【解答过程】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即a的取值范围为． 36．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)实数的取值范围为. 【解题思路】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）根据所选条件可得出，分、两种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 【题型7 集合新定义中的含参问题】 37．（25-26高一上·北京·阶段检测）设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【解题思路】根据题设描述只需保证各集合中（）尽量小，结合已知及集合的性质有最大时，进而分析的取值. 【解答过程】由题设，，，…，中都至少有一个元素，且元素个数互不相同， 要使最大，则各集合中（）尽量小， 所以集合，，，…，的元素个数尽量少且数值尽可能连续， 所以，不妨设，有， 当时，， 当时，， 只需在时，在上述特征值取最小情况下，使其中一个集合的特征值增加5即可，故的最大值为11. 故选：B. 38．（25-26高一上·山东·期中）在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解题思路】根据可分比集合定义，验证时成立，证明时不成立得到正整数的最大值为7. 【解答过程】取，，满足题意，此时； 若，若， 因为和，故， 因为，故， 此时考虑元素8：因为且，故； 因为且，故， 所以8无法划分，与矛盾， 当时，类似推导可得矛盾，例如：若，则， 进而，元素无法划分，矛盾； 故正整数n的最大值为7． 故选：B. 39．（25-26高一上·上海·期中）已知，用表示非空集合A中元素个数，定义，集合，，若，则a的可能的取值有（    ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解题思路】由已知条件求得，可得出或，然后对实数的取值进行分类讨论，确定方程的解的个数，由此可求得实数的所有可能取值. 【解答过程】由题意可知，，故， 由题中定义可得，或. 由题意可知，为关于的方程的一根. 当时，则，则方程只有一个实根，可得， 此时，方程无实根，则满足条件； 当时，则关于的方程有三个根，必有， 此时，关于的方程的两根分别为，，分以下两种情况讨论： ①若是方程的一根时，则，解得. 当时，则，合乎题意； 当时，则，合乎题意； ②当方程有两个相等的实根，则，解得. 当时，，合乎题意； 当时，，合乎题意. 综上，a的可能的取值为 故选：D. 40．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）对于集合，定义．若集合，且，则__________． 【答案】 【解题思路】由题意可得，则有或，解出对应的的值后求出、进行验证即可得. 【解答过程】由，则、、、， 由，故，则， 若，则，此时， 则，故不符； 则，则，此时， 则，， 则，符合要求； 故. 故答案为：. 41．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）定义运算：对任意，有.  设集合，且，且集合B是集合U的子集. (1)求集合U； (2)求实数m的取值范围. 【答案】(1). (2) 【解题思路】(1)由题中的新定义先求得，再求出集合U. (2)由题意判断集合B是集合U的子集，对集合B中的元素进行分类讨论可得出实数m的取值范围. 【解答过程】（1）因为任意，有且， 当时， ，所以； 当时， ，所以； 当时， ，所以； 所以集合. （2）由（1）知集合， 对于方程，， 当即时，，满足题意； 当即时，.集合B不是集合U中的子集，不合题意； 当即时，方程有两个不相等的实根，记为，且则.由题知. 当或或时，均不符合.所以当时，无m的值符合题意. 综上所述：实数的取值范围是：. 42．（2026·北京·模拟预测）已知集合，其中，，，…，是的互不相同的子集.记的元素个数为（），的元素个数为（）. (1)若，，，，，写出所有满足条件的集合（结论不要求证明）； (2)若，且对任意的，都有，求的最大值； (3)若给定整数，（）且对任意，都有，求的最大值. 【答案】(1)或或或 (2) (3) 【解题思路】（1）根据新定义对交集情况分类讨论即可； （2）将集合的子集进行两两配对得到16组，写出选择的16个含有元素1的子集即可得到； （3）分中有一元集合和没有一元集合但有二元集合，以及均为三元集合讨论即可. 【解答过程】（1）因为，则和的元素个数均为1， 又因为，则， 若，，则或； 若，，则或； 综上或或或. （2）集合共有32个不同的子集， 将其两两配对成16组， 使得，则不能同时被选中为子集， 故. 选择的16个含有元素1的子集:，符合题意. 综上，. （3）结论:， 令，集合符合题意. 证明如下： ①若中有一元集合，不妨设， 则其它子集中都有元素1，且元素都至多属于1个子集， 所以除外的子集至多有个，故. ②若中没有一元集合，但有二元集合，不妨设.其它子集分两类: 或，和或， 其中互不相同，互不相同且均不为1，2. 若，则，有 若，则由得每个集合中都恰包含中的1个元素（不是2)， 且互不相同， 因为中除2外至多还有2个元素，所以. 所以. ③若均为三元集合，不妨设.将其它子集分为三类： ， 其中. 若，则(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合)， 所以. 若，不妨设， 则由得每个集合中都或者有4、或者有5， 又中除1外无其它公共元素，所以. 所以. 综上，. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 集合中必考七大含参问题（专项训练） 【人教A版】 【题型1 集合中元素个数的含参问题】 2 【题型2 元素与集合关系中的含参问题】 3 【题型3 根据集合的相等关系求参数】 4 【题型4 根据集合的包含关系求参数】 5 【题型5 集合的基本运算中的含参问题】 6 【题型6 交并补集混合运算中的含参问题】 7 【题型7 集合新定义中的含参问题】 8 模块一 知识梳理·基础夯实 知识点1 集合中的含参问题 集合中的含参问题是集合学习中的一个重点问题，也是一个易错点.对于学生来说，要想解决好此类问题，其要点在于能够正确判断端点值能否取到，注意考虑空集的情况；含参问题的考查题型丰富，有时以小题形式出现，有时出现于解答题之中，求解此类问题时常常用到分类讨论思想，需要灵活求解. 知识点2 集合中含参问题的常见类型及其解题策略 常考的含参类型如下： 1．元素与集合关系中的含参问题 (1)解题方法：已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，一般利用分类讨论思想求解. (2)求解步骤： ①分类讨论：由元素属于或不属于集合入手，进行分类讨论； ②检验：将所求参数值回代到集合，利用集合中元素的互异性检验能否构成集合； ③经检验后找出符合条件的参数值，即可得出最终结果. 求解过程中要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验. 2．集合中元素个数的含参问题 (1)解题方法：对于集合中元素个数的含参问题，我们要考虑集合是否为空集；此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参数，常利用根的判别式求解，要注意一元二次方程的二次项系数是否为零. (2)求解步骤： 对于一元一次方程，直接进行求解即可； 对于一元一次方程： ①对集合中的方程的二次项系数是否为零进行讨论； ②当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解. 3．集合关系中的含参问题 集合关系中的含参问题主要有两类：一、根据集合的相等关系求参数问题；二、根据集合的包含关系求参数问题. (1)根据集合的相等关系求参数问题的解题策略 要求解此类问题，就要明确两集合相等的定义，即两集合中所含元素完全相同，与元素顺序无关，对此分类讨论集合中元素的所有情况即可，要做到不重不漏． (2)根据集合的包含关系求参数问题的解题策略 ①解题方法：由两个集合间的包含关系求参是一种常见题型，常利用子集的知识将问题转化为解方程(组)或不等式(组)求解. ②求解步骤： 第1步，确定两个集合中谁是谁的子集； 第2步，看集合中是否含有参数，如果子集中含有参数，要对子集是否为空集进行讨论， 第3步，把集合的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)来求解，求出参数，最后合并结果. 4．集合的基本运算中的含参问题 (1)解题方法：对于此类问题，通常要通过集合的运算结果得到集合间的关系，进而得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组进行求解. (2)求解步骤： ①通过集合运算结果，分析得到各集合间的关系； ②利用集合间的包含关系，列出相应的方程组或不等式组，进行求解； ③综合得到最终参数的取值或范围，要注意对所求结果进行检验. 模块二 考点突破·题型精讲 【题型1 集合中元素个数的含参问题】 1．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 2．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 3．（26-27高一上·全国·课后作业）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）集合为单元素集合，则__________. 5．（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 6．（25-26高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【题型2 元素与集合关系中的含参问题】 7．（25-26高一上·山东济南·开学考试）已知集合，且，则实数的取值为（   ） A． B．3 C．2或3 D．或3 8．（25-26高一上·浙江·期中）若，则的可能值为（    ） A．0，2 B．0，1 C．1，2 D．0，1，2 9．（25-26高一下·全国·单元测试）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 10．（25-26高一上·辽宁·期中）已知集合，且，则的值为__________. 11．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合含有三个元素分别是，，若，求实数的值． 12．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 【题型3 根据集合的相等关系求参数】 13．（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D．或 14．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 15．（25-26高一上·福建福州·期中）已知，若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 16．（2026高一·全国·专题练习）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数__________． 17．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知，. (1)求实数的取值范围； (2)当时，求实数的值. 18．（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 【题型4 根据集合的包含关系求参数】 19．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 20．（25-26高一上·河南平顶山·开学考试）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 21．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）集合或， ，若，则实数的取值范围是（　　） A．且 B． C．或 D． 22．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是___________． 23．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 24．（2026高一·全国·专题练习）已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得 ，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【题型5 集合的基本运算中的含参问题】 25．（25-26高一上·山西吕梁·期末）集合，集合，若，则（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高二下·吉林延边·阶段检测），，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知集合，，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 28．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）集合，若且，则的取值为_________． 29．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 30．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【题型6 交并补集混合运算中的含参问题】 31．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 32．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 33．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 34．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 35．（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 36．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【题型7 集合新定义中的含参问题】 37．（25-26高一上·北京·阶段检测）设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 38．（25-26高一上·山东·期中）在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 39．（25-26高一上·上海·期中）已知，用表示非空集合A中元素个数，定义，集合，，若，则a的可能的取值有（    ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 40．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）对于集合，定义．若集合，且，则__________． 41．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）定义运算：对任意，有.  设集合，且，且集合B是集合U的子集. (1)求集合U； (2)求实数m的取值范围. 42．（2026·北京·模拟预测）已知集合，其中，，，…，是的互不相同的子集.记的元素个数为（），的元素个数为（）. (1)若，，，，，写出所有满足条件的集合（结论不要求证明）； (2)若，且对任意的，都有，求的最大值； (3)若给定整数，（）且对任意，都有，求的最大值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $