专题02 实数（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材北师大版

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02实数（期中复习讲义） 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 实数的分类与 能正确对实数进行分类（有理数、无理数），高频易错点，容易忽视无理数的判定及实数 性质 掌握实数的相反数、绝对值、倒数等性质 性质的综合应用，小题、解答题均有涉及 平方根与算术 能准确区分平方根和算术平方根的概念，熟 基础必考点，常出现在小题，易因概念混淆 平方根 练计算非负数的平方根、算术平方根 失分 立方根 能理解立方根的定义，熟练计算实数的立方 基础考点，多在小题中考查，难度较低但需 根，明确其唯一性 注意符号 二次根式的概 能判断二次根式有意义的条件，熟练运用二 基础考点，多在小题中考查，难度较低但需 念与性质 次根式的性质 注意符号 二次根式的运 能熟练进行二次根式的乘除运算、加减运算 核心考点，是解答题的重要组成部分，运算 算（乘除、加减 (先化简再合并同类二次根式) 过程中易因化简不彻底、符号错误失分 记·必备知识 同知识点01平方根与算术平方根 :知识点：若2=a(a20)，则x是a的平方根，记为士V:其中非负的平方根石是a的算术平方根。 ~示例：求16的平方根和算术平方根，平方根为士V6士4，算术平方根为，64。 易错点：混淆平方根与算术平方根，如误将16的算术平方根写成±4：忽略被开方数非负，如计算一9 (无意义)。 属知识点02立方根 知识点：若x3=a,则x是a的立方根，记为， 任意实数都有唯一立方根。 -示例：求-8的立方根， 8-2(因(-2)3=-8)。 ·易错点：符号判断错误，如误将一27算成3，与平方根混淆，认为负数没有立方根。 局知识点03实数的分类与性质 1/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·知识点：实数分为有理数（整数、分数）和无理数（无限不循环小数）；实数与数轴上的点一一对应，且 实数的相反数、绝对值、倒数性质与有理数一致。 示例：在巨、314、号中，5是无理数，314和号是有理数。 易错点：误将无限循环小数归为无理数；忽略无理数的绝对值计算。 昼知识点04二次根式的运算 如识点：次根式除店6d20620,号层（2060），加减清先化简为最简二次 式，再合并同类二次根式。 示例：计算后+V8,化简得2巨+3巨5反 ·易错点：运算前未化简，如直接计算5+⑧得26：忽略被开方数取值范围，如计算一3*√4（无 意义)。 破·重难题型 巴题型一 无理数的识别 解|题|技|巧 1,定义判断法：若一个数不能表示为两个整数的比值（即分数形式号，P、9为整数且q≠0），则为无 理数。例如、巨无法写成分数，是无理数。 2.小数特征法：无理数的小数形式是无限不循环小数。若小数有限（如0.5)或无限循环（如0.3)， 则为有理数；若无限且无循环规律（如1.010010001…），则为无理数。 3常见类型法：记住典型无理数，如开方开不尽的数(5·5)、特定常数(、）、构造的无限 不循环小数，可快速识别。 4.运算排除法：有理数间的加、减、乘、除（除数不为0）运算结果仍为有理数，若运算后出现无限 不循环小数，则结果为无理数。 【典例1】(24-25七年级下广东中山期中)在实数9， 22 ， √4,0.1,10π，中，不是无理数的个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 【变式T】(23-24七年级下内蒙古呼和浩特期中)在实数2,0,8，无，2,03 0.2020020002血（相邻的两个2之间依次多1个0）中，无理数有() 2/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式2】2425八年级上四眉山期）在7,0号.2西，牙5.2-5,0010100 (相邻两个1之间依次多个0)中，无理数有（)个. A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 程序设计与实数运算 解|题|技|巧 1.精度控制优先：用浮点数（如Python的foat、Java的double)处理实数，但需警惕精度误差，例如避免 直接比较浮点数相等，可通过判断差值是否小于极小值（如1-9）实现。 2.选择合适数据类型：简单运算用基本浮点数类型，高精度场景（如金融计算)用专门类，如Pyho的 decimal.Decimal、Java的BigDecimal,可自定义精度。 3.规避运算陷阱：避免除以零，先判断除数非零；减少累积误差，如按绝对值从小到大累加，或用算法优 化（如Kahan求和）。 4.借助数学库：复杂运算（开方、三角函数等）调用成熟库，如Python的mah模块、C+的<emath>:, 降低手动实现的错误率。 【典例1】(24-25七年级下·山东日照期中)在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y 值是( ) 是有理数 输入x 取算术 是有理数 取立方根 是无理数 平方根 输出y 是无理数 A.√2 B.迈 C.2 D.1 【变式1】(23-24七年级下·山东济宁期中)小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的 值是有理数64时，输出的y的值是(). 有理数 是有理数 是无理数 输入x值 取算术 取立 平方根 方根 输出y 无理数 A.8 B.±8 C.2 D.2 3/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(24-25七年级下，湖北武汉·期中)在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值 是() 有理数 是有理数 是无理数 输入x的值 取算术平方根 取立方根 输出y 无理数 A.2 B.4 C.2 D.4 题型三 利用平方根与立方根的定义解方程 解|题技巧 1. 还原“单根”形式：先通过移项、系数化为1，将方程化为“（未知数表达式)的n次方=常数”的 形式(n=2为平方根，n=3为立方根)。 2.根据根的定义求解： 平方根：若a2=b(b20),则a=士6，注意bc0时无实数解。 立方根：若a=b(6为任意实数)，则a35,立方根只有一个实数解。 3.检验结果：将解代入原方程，验证是否满足等式，排除计算错误。 【典例1】(24-25七年级下·湖北武汉·期中)解方程： (1)(2-x2=1: (2)3(x+1)3+81=0. 【变式1】(24-25七年级下·湖北孝感期中)求下列各式中的x: (1)42x-12=36 (2x-13=-8 【变式2】(24-25八年级下·黑龙江大庆期中)求下列各式中x的值： (1)(x-1)2+8=72 (2)x-1)3=64 4/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四判断是香为二次根式、最简二次根式、同类二次根式 解|题|技|巧 1,判断二次根式：紧扣定义一形如石(20)的式子。关键看两点：一是根指数为2（可省略）， 二是被开方数a非负，两者同时满足即为二次根式。 2.判断最简二次根式：需同时满足两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数 不含分母。 3.判断同类二次根式：先将所有二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同，相同则为同类 【典例1】(24-25八年级下·广东珠海期中)下列式子中，是二次根式的是() A.√4 B.√5 C.6 D.I 【变式1】(24-25八年级下.湖北黄石·阶段练习)下列二次根式中，是最简二次根式的是() A.⑧ B.2xy C. ab V2 D.V3x2+2 【变式2】(24-25八年级下·天津静海期中)下列二次根式能与√5合并的是() A.V⑧ B.√12 C.V20 D.V28 它题型五 利用二次根式的性质化简 解|题|技|巧 1.抓核心性质：牢记两大核心性质， 32 =4(注意绝对值，避免直接等于a)和b=反×6(a20 ,b≥0)，以此为化简依据。 2.先判被开方数非负：先确认被开方数是正数或0，若含字母需明确取值范围，保证二次根式有意义。 3.分解被开方数：将被开方数拆为“平方数×非平方数”。 4.处理绝对值：化简sqt{a^2时，根据a的正负去绝对值。 5.最终检查：确保结果满足“被开方数不含平方因子”“不含分母”，即化为最简二次根式。 【典例1】(24-25八年级上上海期中)计算：√3-π)2= 【变式1】(24-25九年级上海南海口期中)当x<0时，化简：冈+V2-2x+1= 【变式2】(24-25八年级上四川巴中期中)实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如下图所示. 5/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b 0 a (1)用><”或“=”填空：b0,a-C0,Q+b0: 2)化简：la+c+vb-a)2+a. 巴题型六 二次根式的混合运算 解|题|技|巧 1.遵循运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的，同级运算从左到右进 行。 2.先化简再运算：将所有二次根式化为最简形式，减少计算量。 3.巧用运算律：乘法分配律(a(b+c)=ab+ac)可简化计算，避免逐项展开。 4.注意符号与细节：计算时留意负号，分母有理化要彻底，最后检查结果是否为最简二次根式。 【典例1】(24-25八年级下广西南宁期中)计算： (1)318÷√2+2x5: 2(2-1+5+5)5-5 【变式1】(24-25八年级下·新疆伊犁期中)计算： 0)3s+32-95 26-ix5-69 【变式2】(2425八年级下山东青岛期中)计算： 0s-5x8, a5y-而+6辰 is÷6-2 - 巴题型七 二次根式中的新定义型问题 解引题技|巧 6/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.精读定义，明确规则：先逐字理解新定义的含义，标注关键条件（如定义域、运算公式等）。 2.套用定义转化问题：将新定义中的符号、表达式代入题目，转化为熟悉的二次根式运算。 :3.结合二次根式性质验证：化简或计算时，同步运用二次根式的非负性、最简形式等性质，确保结果符合 数学规范。若新定义涉及字母，需结合定义域判断取值范围。 4.举例验证，避免错用：若对定义理解模糊，可代入简单数值试算，验证运算逻辑是否正确，再解决原题。 【典例1】(24-25七年级下·江西南昌期中)阅读材料： 材料一：定义[y表示不大于x的最大整数，例如2.5=2，[3)=3，[V2]=1; 材料二：定义新运算a*b=[a-[bl,如2.5*2=[2.5-[2]=2-2=0，对有序实数对(a,b). 若满足a*b=1,则称该有序数对为“望一”数对： 若满足a*b=0,则称该有序数对为望音”数对. (1)计算√4*√5的值： (2)下列数对是“望一”数对的有 是“望音”数对的有 (填序号) ①(5,7）；②(-1.5，-2.5)；③5,25) (3)计算：√*√2+√5*√4+5*√6+…+√2023*√2024=· 【变式1】(24-25八年级下.青海海东·期中)定义新运算：对于任意实数a、b,都有a⊕b=aa-b)+1, 例如2⊕5=2×2-5+1=-5. ()求(7+3列©（万+的值： 2求(5-⊕(5⊕1的值. 【变式2】(24-25八年级下·江西赣州期中)对于实数a,b定义一种新运算“o”,规定a0b=a2-√2b 如302=32-√2×2=9-25 (1)201= ,（-6)02= (2)若100x=8,求x的值. 它题型八 二次根式中的规律探究问题 解|题技|巧 7/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.列举前几项，直观找规律：先计算前3-4个式子的结果，观察被开方数、根号外系数、结果的变化趋势。 2.用字母表示规律：将发现的规律用含n(n为正整数)的式子概括，注意标注n的取值范围。 3.验证规律正确性：对概括的式子进行代数证明，左边通过二次根式性质化简，看是否等于右边。 4.按规律解决问题：根据验证后的规律，计算指定项或推导后续式子。 【典例1】(24-25八年级下·浙江台州期中)观察下列等式，并回答问题： 第1个等式： I.112 V23V2×3=2V3 第2个等式： --得 第3个等式： 第4个等式： 111)15 V4(565V24 (1)请直接写出第5个等式 (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明； 1 1 (3)计算： ×√2025×2026×2027. 1V2025 20262027 【变式1】(24-25八年级下·山东淄博期中)观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： =√2-1 √2+1 3+23-v2 1 1 4+g4-v5 5+店5-va 1 (1)求√7+√的倒数； (②)请你用含n(n为正整数)的关系式表示上述各式子的变形规律（不必证明）： 1 1 1 (3)利用上面的结论，求下列式子的值： +…十 √2025+1 √2+1√3+√2 √2025+√2024 8/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(24-25七年级下·湖北孝感期中)学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有 规律的算式.阅读观察下列算式，探求规律： 527394 4-2-gy-164 25-5 【实践探究】 (1)按照此规律，①计算： 17 81 ②第n个式子是 (用含n的式子表示，n是大于等于1整数)： (2)计算： 31 256 【迁移应用】 (3)若，1- 4049 =x符合上述规律，请求出x的值 n 过·分层验收 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1.(2425七年级下云南大理期中)在给出的一组数0，受5,3145.1010100100L号中，无理数有 () A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2.(24-25七年级下·广东广州期中)下列计算正确的是（) A.±V16=±4 B.V-22=-2 C.3√2-2√2=1 D.V2N2-3=2-2 3.(24-25八年级下云南昆明期中)实数a,b在数轴上的位置如图所示，则Vb-a)2+(a的化简结果 为() 0a> 9/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2a B.b-a C.2a-b D.2b-a 二、填空题 4.(23-24七年级下.宁夏吴忠期中)√16的平方根为，一8的相反数是」 5.(24-25八年级下.吉林期中)若4√2与最简二次根式33-2a可以合并，则a=一 6.(24-25八年级下·广东汕头期中)已知x,y为实数，且y=Vx-25-√25-x+16,则 F+=— 三、解答题 7.(23-24七年级下·河南濮阳·期中)求满足条件的x值： (1)3(x-2)2=27 (2)(-2+x)3=-216 8.(2425八年级下·新疆期中)计算： (1)V75-54+√96-V108; as9-2 9.(24-25七年级下·广东中山期中)已知5a+2的立方根是3，-7+b的算术平方根是4，c是√11的整数部 分 (I)求a,b,c的值； (2)求-3a+b+c的平方根. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1.(24-25八年级下·内蒙古通辽·期中)下列二次根式①， :@函：@F:@y层：@而，最 10/12 专题02 实数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 实数的分类与性质 能正确对实数进行分类（有理数、无理数），掌握实数的相反数、绝对值、倒数等性质 高频易错点，容易忽视无理数的判定及实数性质的综合应用，小题、解答题均有涉及 平方根与算术平方根 能准确区分平方根和算术平方根的概念，熟练计算非负数的平方根、算术平方根 基础必考点，常出现在小题，易因概念混淆失分 立方根 能理解立方根的定义，熟练计算实数的立方根，明确其唯一性 基础考点，多在小题中考查，难度较低但需注意符号 二次根式的概念与性质 能判断二次根式有意义的条件，熟练运用二次根式的性质 基础考点，多在小题中考查，难度较低但需注意符号 二次根式的运算（乘除、加减） 能熟练进行二次根式的乘除运算、加减运算（先化简再合并同类二次根式） 核心考点，是解答题的重要组成部分，运算过程中易因化简不彻底、符号错误失分 知识点01 平方根与算术平方根 - 知识点：若x2 = a（a≥0），则x是a的平方根，记为；其中非负的平方根是a的算术平方根。 - 示例：求16的平方根和算术平方根，平方根为=4，算术平方根为=4。 - 易错点：混淆平方根与算术平方根，如误将16的算术平方根写成4；忽略被开方数非负，如计算（无意义）。 知识点02 立方根 - 知识点：若x3 = a，则x是a的立方根，记为，任意实数都有唯一立方根。 - 示例：求-8的立方根，=-2（因(-2)3=-8）。 - 易错点：符号判断错误，如误将算成3；与平方根混淆，认为负数没有立方根。 知识点03 实数的分类与性质 - 知识点：实数分为有理数（整数、分数）和无理数（无限不循环小数）；实数与数轴上的点一一对应，且实数的相反数、绝对值、倒数性质与有理数一致。 - 示例：在、3.14、中，是无理数，3.14和是有理数。 - 易错点：误将无限循环小数归为无理数；忽略无理数的绝对值计算。 知识点04 二次根式的运算 - 知识点：二次根式乘除：*=（a≥0,b≥0），=（a≥0,b>0）；加减需先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式。 - 示例：计算+，化简得2+3=5。 - 易错点：运算前未化简，如直接计算+得；忽略被开方数取值范围，如计算*（无意义）。 题型一 无理数的识别 解｜题｜技｜巧 1. 定义判断法：若一个数不能表示为两个整数的比值（即分数形式，p、q为整数且q≠0），则为无理数。例如π、无法写成分数，是无理数。 2. 小数特征法：无理数的小数形式是无限不循环小数。若小数有限（如0.5）或无限循环（如0.3...），则为有理数；若无限且无循环规律（如1.010010001...），则为无理数。 3. 常见类型法：记住典型无理数，如开方开不尽的数（、）、特定常数（π、e）、构造的无限不循环小数，可快速识别。 4. 运算排除法：有理数间的加、减、乘、除（除数不为0）运算结果仍为有理数，若运算后出现无限不循环小数，则结果为无理数。 【典例1】（24-25七年级下·广东中山·期中）在实数，，，中，不是无理数的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数， 根据定义逐项判断无理数，即可得出答案. 【详解】解：是无理数，不是无理数，是有理数，一共3个. 故选：B. 【变式1】（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在实数，0，，，，，（相邻的两个2之间依次多1个0）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：0，，都是整数，是无限循环小数，都是有理数，是分数，是有理数， 无理数有，，（两个2之间依次多1个，共3个． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·四川眉山·期中）在，0，，，，，，0.1010010001⋯（相邻两个1之间依次多个0）中，无理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的常见形式：“①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个增加一个）．”是解题的关键． 【详解】解： 0，，， 是有理数； ， ，，0.1010010001⋯（相邻两个1之间依次多个0）是无理数，共有个； 故选：D． 题型二 程序设计与实数运算 解｜题｜技｜巧 1. 精度控制优先：用浮点数（如Python的float、Java的double）处理实数，但需警惕精度误差，例如避免直接比较浮点数相等，可通过判断差值是否小于极小值（如1e-9）实现。 2. 选择合适数据类型：简单运算用基本浮点数类型；高精度场景（如金融计算）用专门类，如Python的 decimal.Decimal 、Java的 BigDecimal ，可自定义精度。 3. 规避运算陷阱：避免除以零，先判断除数非零；减少累积误差，如按绝对值从小到大累加，或用算法优化（如Kahan求和）。 4. 借助数学库：复杂运算（开方、三角函数等）调用成熟库，如Python的 math 模块、C++的 <cmath> ，降低手动实现的错误率。 【典例1】（24-25七年级下·山东日照·期中）在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（      ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查流程图与实数的计算，理解流程图是解题的关键．根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是64时，取算术平方根得， 8是有理数，再取立方根得， 2是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 故选：A． 【变式1】（23-24七年级下·山东济宁·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义按照流程图顺序计算即可． 【详解】解：64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数，再取立方根，是有理数，倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：． 题型三 利用平方根与立方根的定义解方程 解｜题｜技｜巧 1.  还原“单根”形式：先通过移项、系数化为1，将方程化为“（未知数表达式）的n次方 = 常数”的形式（n=2为平方根，n=3为立方根）。 2. 根据根的定义求解： - 平方根：若a2 = b（b≥0），则a = ，注意b<0时无实数解。 - 立方根：若a3 = b（b为任意实数），则a =，立方根只有一个实数解。 3. 检验结果：将解代入原方程，验证是否满足等式，排除计算错误。 【典例1】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， 则， 解得：或； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【变式1】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）求下列各式中的x： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根，立方根的定义解方程． （1）移项，利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴或． （2）解： ∴ ∴． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了利用平方根，立方根的定义解方程． （1）移项，利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ∴ 解得： 题型四 判断是否为二次根式、最简二次根式、同类二次根式 解｜题｜技｜巧 1. 判断二次根式：紧扣定义——形如（a≥0）的式子。关键看两点：一是根指数为2（可省略），二是被开方数a非负，两者同时满足即为二次根式。 2. 判断最简二次根式：需同时满足两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母。 3. 判断同类二次根式：先将所有二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同，相同则为同类。 【典例1】（24-25八年级下·广东珠海·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，我们把形如其中的式子叫二次根式，解决本题的关键是根据二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A．∵中的，∴二次根式无意义，∴不是二次根式，故A选项不符合题意； B．是二次根式，故B选项符合题意； C．不是二次根式，是三次根式，故C选项不符合题意； D．是分式不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选： B． 【变式1】（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数或因式；②被开方数不含分母．以此逐项判断即可． 【详解】选项，被开方数，其中4是完全平方数，可化简为，故A不是最简二次根式． 选项，被开方数，含平方因式，可化简为，故B不是最简二次根式． 选项，被开方数含分母2，需通过分母有理化变形为，故C不是最简二次根式． 选项，被开方数为多项式，无法分解为平方因式或提取平方因子，且不含分母，故D是最简二次根式． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·天津静海·期中）下列二次根式能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式和化为最简二次根式，解题的关键是正确化简各项二次根式． 将各项化为最简二次根式，然后找出被开方数为3的最简二次根式即可得出答案． 【详解】解：A、，不能与合并，故不符合题意； B、，能与合并，故符合题意； C、，不能与合并，故不符合题意； D、，不能与合并，故不符合题意； 故选：B． 题型五 利用二次根式的性质化简 解｜题｜技｜巧 1. 抓核心性质：牢记两大核心性质， = |a|（注意绝对值，避免直接等于a）和 = （a≥0，b0），以此为化简依据。 2. 先判被开方数非负：先确认被开方数是正数或0，若含字母需明确取值范围，保证二次根式有意义。 3. 分解被开方数：将被开方数拆为“平方数×非平方数”。 4. 处理绝对值：化简\sqrt{a^2}时，根据a的正负去绝对值。 5. 最终检查：确保结果满足“被开方数不含平方因子”“不含分母”，即化为最简二次根式。 【典例1】（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】题目主要考查二次根式的化简，求一个数的算术平方根，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据题意得出，然后化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·海南海口·期中）当时，化简： 【答案】/ 【分析】本题考查化简绝对值，化简二次根式，根据绝对值的意义，二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式； 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·四川巴中·期中）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“>”“<”或“=”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 【答案】(1)<；>；> (2) 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、绝对值的性质、立方根． （1）由数轴可得：，，，从而即可得解； （2）由（1）可得，，再根据绝对值的性质、二次根式的性质、立方根化简即可得解． 【详解】（1）解：由图可知，，， 则，， 故答案为：<；>；>； （2）解：∵，，， ∴，， ∴ ． 题型六 二次根式的混合运算 解｜题｜技｜巧 1. 遵循运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的，同级运算从左到右进行。 2. 先化简再运算：将所有二次根式化为最简形式，减少计算量。 3. 巧用运算律：乘法分配律（a(b+c)=ab+ac）可简化计算，避免逐项展开。 4. 注意符号与细节：计算时留意负号，分母有理化要彻底，最后检查结果是否为最简二次根式。 【典例1】（24-25八年级下·广西南宁·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （）分别计算二次根式除法和乘法，再合并即可求解； （）分别利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级下·新疆伊犁·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化为最简二次根式。再进行加减法计算即可得到答案； （2）直接根据二次根式的乘法进行运算，再进行合并即可得到答案． 本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式          （2）原式          【变式2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）先进行乘法运算，再利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可； （）利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （）先进行二次根式的除法和乘方运算，再合并即可； （）先进行二次根式的乘法运算，再利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： = =； （2）解： = ； （3）解： = = ； （4）解： = = =． 题型七 二次根式中的新定义型问题 解｜题｜技｜巧 1. 精读定义，明确规则：先逐字理解新定义的含义，标注关键条件（如定义域、运算公式等）。 2. 套用定义转化问题：将新定义中的符号、表达式代入题目，转化为熟悉的二次根式运算。 3. 结合二次根式性质验证：化简或计算时，同步运用二次根式的非负性、最简形式等性质，确保结果符合数学规范。若新定义涉及字母，需结合定义域判断取值范围。 4. 举例验证，避免错用：若对定义理解模糊，可代入简单数值试算，验证运算逻辑是否正确，再解决原题。 【典例1】（24-25七年级下·江西南昌·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算的值； (2)下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ (3)计算：______． 【答案】(1) (2)②，③ (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算，无理数大小的估算，求不等式组的解集，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （1）根据题干中给出的信息进行计算即可； （2）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （3）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①∵， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ②∵， ∴是“望一”数对； ③∵ ∴是“望音”数对； 综上分析可知：“望一”数对的有②，是“望音”数对的有③． （3）解：，，， ，，，，， ，，，，，，， …… ，， ， ， ∴中有3个1，5个2，7个3，……87个，89个44， ． 【变式1】（24-25八年级下·青海海东·期中）定义新运算：对于任意实数，都有，例如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义实数运算，涉及二次根式混合运算法则等知识，读懂题意，理解新定义运算公式，代值后由二次根式混合运算求解是解决问题的关键． （1）根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案； （2）先计算，再根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ． 【变式2】（24-25八年级下·江西赣州·期中）对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 【答案】(1)，4 (2) 【分析】本题以新定义运算为载体，主要考查了实数的运算和二次根式的运算，弄清新定义运算的法则是解题的关键； （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据可得：，再解方程即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，4； （2）解：由可得：， 解得：． 题型八 二次根式中的规律探究问题 解｜题｜技｜巧 1. 列举前几项，直观找规律：先计算前3-4个式子的结果，观察被开方数、根号外系数、结果的变化趋势。 2. 用字母表示规律：将发现的规律用含n（n为正整数）的式子概括，注意标注n的取值范围。 3. 验证规律正确性：对概括的式子进行代数证明，左边通过二次根式性质化简，看是否等于右边。 4. 按规律解决问题：根据验证后的规律，计算指定项或推导后续式子。 【典例1】（24-25八年级下·浙江台州·期中）观察下列等式，并回答问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)请直接写出第5个等式_______； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明； (3)计算：． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字规律，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合已有的式子过程，直接写出第5个等式，即可作答． （2）根据前5个等式的特征，得出，运用平方差公式进行化简，得即可作答． （3）结合前面的结论得，则原式，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，第5个等式：， 故答案为：； （2）解：依题意，第n个等式:． 即第n个等式:， 证明如下： ； （3）解：由（2）得 ∴ ． 【变式1】（24-25八年级下·山东淄博·期中）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： … (1)求的倒数； (2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律（不必证明）； (3)利用上面的结论，求下列式子的值： 【答案】(1) (2) (3)2024 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是∶ （1）根据题目中的例子进行分母有理化求解即可； （2）按照所给等式的变化规律写出第n个等式即可； （3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解∶ ， 的倒数是； （2）解：观察已知式子可得，； （3）解∶ 原式 ． 【变式2】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了算术平方根，数字的变化类，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律计算即可； （3）利用（1）中得出的规律，计算即可得解． 【详解】解：（1）①第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， ②第n个：， 故答案为：；； （2）、 ； （3）符合上述规律， ， 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·云南大理·期中）在给出的一组数中，无理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查无理数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据无理数的定义，逐个判断即可． 【详解】解：中，无理数有 故选A． 2．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，算术平方根．根据算术平方根和二次根式的化简进行判断即可． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级下·云南昆明·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式性质与化简，结合实数a、b在数轴上的位置，可判断出，，最后将化简求解即可． 【详解】解：根据数轴得出，， ∴ ， 故选：C． 二、填空题 4．（23-24七年级下·宁夏吴忠·期中）的平方根为 ，的相反数是 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了平方根，立方根，相反数，根据平方根、立方根、相反数的定义求解即可． 【详解】解：∵，的平方根为， ∴的平方根为， ∵，的相反数为， ∴的相反数是， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·吉林·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了最简二次根式和同类二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义和同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵与最简二次根式可以合并， ∴，解得：， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知，为实数，且，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了二次根式的非负性质，求算术平方根等知识，由二次根式的非负性求出x与y的值是解题的关键；由二次根式的非负性可求得x与y的值，再代入计算算术平方根即可． 【详解】解：由题意得：，解得：， 当时，； ∴； 故答案为：9． 三、解答题 7．（23-24七年级下·河南濮阳·期中）求满足条件的x值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解： ∴或； （2）解： ∴． 8．（24-25八年级下·新疆·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 9．（24-25七年级下·广东中山·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得，， ∵，c是的整数部分， ∴， 即，，； （2）解：当，，时，， ∵11的平方根为， ∴的平方根为． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）下列二次根式①；②；③；④；⑤中，最简二次根式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含开方开的尽的因式或因数，被开方数不含分母，进行判断即可． 【详解】解：在二次根式①，②，③，④，⑤中，只有的被开方数不含分母，且不含能开方开的尽的因式或因数，是最简二次根式； 故选A． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，的直角边与数轴重合，，以点O为圆心，长为半径作弧，与数轴交于点C，则点C表示的数为（ ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理求出的长即可推出结果． 【详解】解：的直角边与数轴重合，， ， 以点O为圆心，长为半径作弧，与数轴交于点C， ， 点C表示的数为， 故选：D． 3．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）有一个数值转换器，流程如图：当输入的x值为64时，输出的y值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，无理数，先算出，结合8是有理数，得，又因为2是有理数，则是无理数， 【详解】解：依题意，当输入的x值为64时，则 ∵8是有理数， 则 ∵2是有理数， 则是无理数， ∴输出的y值是 故选：B 二、填空题 4．（24-25八年级上·四川成都·期中）比较大小： （填“>”，“<”或者“=”）． 【答案】< 【分析】本题考查了实数的大小比较．估算的取值范围，然后比较与1的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：＜． 5．（24-25九年级下·广东河源·期中）对于任意正数a、b，定义运算“☆”为：，则的运算结果为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查实数的运算，解题的关键在于理解新定义的运算法则，并进行计算． 理解新定义运算法则，按照新定义运算法则计算即可； 【详解】解：原式 ， 故答案为：4． 6．（24-25八年级下·山东东营·期中）观察下列各式： ； ； ； ； ……． 你能发现什么规律？请用含有自然数的式子将你发现的规律表示出来 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简．根据各式计算得到结果，得出规律写出即可． 【详解】解：， ， ， ， …… 以此类推，， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25八年级下·福建福州·期中）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，零次幂，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用二次根式的性质进行化简，再运算除法，最后运算加减法，即可作答； （2）运用平方差公式进行运算，化简零次幂，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． 8．（24-25八年级下·福建福州·期中）规律探索图，如图，认真分析各式，然后解答问题． （是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ．．． (1)______________； (2)__________________； (3)求出的值． 【答案】(1) (2) (3)88 【分析】本题主要考查勾股定理以及二次根式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识． （1）利用题中规律即可求出的值即可； （2）根据的变化规律直接得出答案即可； （3）根据（2）得出的规律直接代入数据，然后利用分母有理化计算即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：∵（是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ∴； 故答案为：； （3）解： ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $