专题04 一次函数（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材北师大版

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04一次函数（期中复习讲义) 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 函数的概念 能准确判断一个关系是否为函数，理解函数 基础必考点，常出现在选择题、填空题 的定义及三要素 一次函数的表达 能根据实际情境或已知条件确定一次函数的 高频考点，在解答题中常与其他知识点 式 表达式 结合考查 一次函数的图象 能画出一次函数的图象，掌握一次函数图象 重点难点，易出现在综合题，考查对图 与性质 的形状、位置与、的关系，利用性质解决问 象和性质的综合运用 题 一次函数的实际 能运用一次函数解决实际问题中的方案选 高频考点，常以应用题形式出现，分值 应用 择、最值、行程等问题 占比较大 记·必备知识 圆知识点01函数的概念 -知识点：在一个变化过程中，有两个变量x和y,如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与 之对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 -示例：判断下列关系是否为函数：①汽车以60kmh的速度行驶，行驶路程s与时间t:②y=±X (x20)。 分析：①中对于每一个时间t,路程s=60t都有唯一值，是函数；②中对于x=4,y=±2，不是唯一值， 不是函数。 -易错点：忽略“y有唯一值对应”这一关键条件，误将一对多的关系判定为函数。 ®知识点02一次函数的表达式 -知识点：形如y=x+b(k,b为常数，0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=c(0)叫做正比 例函数。 -示例：已知一次函数的图象过点(1,3)和(2,5)，求其表达式。 解：设表达式为y=+b,代入得k+b=3:2k+b=5,解得k=2:b=1,表达式为y=2x+1。 -易错点：求表达式时忘记0的限制，或代入点坐标计算时出现计算错误。 1/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 尽知识点03一次函数的图象与性质 知识点：一次函数y=x+b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0，b)和( 0)画出。当0时，y随 b x的增大而增大：当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(O,b)。 -示例：分析y=-3x+2的图象和性质。 分析：k=3<0,b=2>0,图象过一、二、四象限，y随x的增大而减小，与y轴交于0,2)，与x轴交于式专 0)。 -易错点：混淆k、b对图象位置的影响，尤其是当k或b为负数时，判断图象象限出错。 国知识点04一次函数的实际应用 知识点：利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模 型，再结合图象或性质求解。 -示例：某快递公司收费：首重1kg内10元，续重每kg2元（不足1kg按1g算）。设快递重量为xkg(x geql),费用为y元，求y与x的函数关系。 解：y=10+2(x-1)=2x+8。若快递重3.5kg,按4kg算，y=2×4+8=16元。 ·易错点：实际问题中忽略自变量的取值范围（如销量、成本不能为负），导致函数应用不符合实际；或 建立函数模型时数量关系分析错误。 破·重难题型 巴题型一一次函数的图象和性质 解题|技|巧 6 解题时，先明确一次函数表达式y=x+b(0)。画图象用两点法，取(0，b)和( ,0)快速描点连 线。分析性质时，关注k和b:k决定增减性(>0递增，k<0递减)，b决定与y轴交点(0，b)。 判断图象象限，结合k、b符号：如0、b>0,图象过一、二、三象限。解题时先确定k、b的值或范 围，再结合这些技巧分析图象位置、函数增减性及解决交点等问题。 【典例1】(24-25八年级下湖南衡阳期中)对于一次函数'=-4+5 y=-4x 与正比例函数 ,下列说法正 确的是() 2/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.y=-4r+5 (-1,1D 的图象经过点 B.=-4x+5 的图象经过第一、二、三象限 C.两个函数中，y的值均随着x值的增大而增大 D y=-4x+5 的图象向下平移5个单位长度可得到=4r 的图象 y=-2x+1 【变式1】(24-25八年级下…河南周口期中)关于一次函数 ,下列结论正确的是() (-2,1) 1” A.函数必过点 B.的值随着的增大而增大 C图象与r轴交于点20， D.图象经过第一、三、四象限 【变式2】(24-25九年级下贵州遵义期中)已知一次函数'=+≠0，如下表是x与'的一些对应 数值，则下列结论中正确的是() 3 -1.5 0 2 2 … 6 0 -1 A.y随x的增大而增大 B.与'轴的交点是 0,-3) C.关于x的方程c+b=1的解是x=1 _20 D.图象与x轴的交点是3’ 题型二求一次函数的表达式 解题技巧 先明确一次函数形式为y=:+b(0)。若已知两点坐标，用待定系数法，将两点代入表达式列方 程组，求解k、b。若已知图象与y轴交点，可直接得b值，再结合另一条件求k。若涉及实际应用， 】先分析变量间的线性关系，确定k(斜率，如变化率)和b(初始值)，再代入验证。解题时注意0！ 3/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的限制，计算方程组时仔细核对，确保表达式准确。 【典例1】(24-25八年级下福建福州期中)已知y是关于x的正比例函数，当x=-2 =4 时， (1)求y关于x的函数表达式： 2若点a,-6是该函数图象上的一点，求a的值. 【变式1】(24-25八年级上陕西咸阳期中)己知正比例函数y=的图象经过点 -3,6) (1)求这个函数的表达式： (2)判断点 4,2是香在该函数图象上？ 【变式2】（2425八年级上安徽合肥期中)已知46与x+成正比例，当=3时，y=2 (1)求出y与x的函数表达式： (2)若点 m,-2在这个函数的图象上，求m的值. 题型三画一次函数的图象 解|题|技|巧 画一次函数y=x+b(kneq0)的图象，核心用两点法，步骤清晰且高效。 1.找关键两点：优先选与坐标轴交点，计算简单一一与y轴交点为(0，b)(直接代入=0求y):与x b 轴交点为(K,0)(代入0解x)。若两点重合（如0的正比例函数），再额外取一个易算点，比 如(1，k)。 2.描点连线：在平面直角坐标系中准确标出两点，用直尺画直线（延伸至坐标轴外，体现直线无限延 伸的性质)。 注意：描点前检查坐标计算是否正确，连线时避免画成线段，确保图象符合一次函数“直线”的本质 特征。 y=2x-3 【典例1】(24-25八年级上河北邯郸期中)请画出函数 的图象： (1)列表为： x 0 2… 4/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=2x-3 … (2)描点、连线后画出该函数图象为： 4 3 2 1 -5.-4-3-2-10 2345x 2 -----上- 3 4 5 (3)结合图象，写出该函数的两条性质. 2 -1 0 … y=2x-3 -7 -5 -3 【变式1】(24-25八年级下·陕西西安·期中)在坐标系中操作： A 3 2 -3-2-19! 12.34.56x 2 3 -4 -2 L-- y=2.x-4 (1)画出函数 的图象； -1≤y≤3 (2)若 直接写出的取值范围，并在坐标系内用粗线描出这部分图象. y=-2x+4 【变式2】(24-25八年级下·安徽阜阳·期中)作出函数1 的图象，并利用图象回答问题： 5/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 4 3 2 1 4-3-2-19 1 2.345 2 4 1111 (1)作出该函数图象： (2)写出图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标. 题型四一次函数的实际应用 解|题|技|巧 解此类问题核心是“建模型、用性质”，分三步高效突破： 1.找变量，定关系：先明确题目中两个变量（如“销量”与“利润”、“时间”与“路程”），判断 是否为线性关系（变量变化量成固定比例），确定用y=+b(k为变化率，b为初始值)建模。 2.求参数，列表达式：通过题干给出的两组对应值（如“当=1时y=5”),用待定系数法算k和b, 写出函数式，同时标注自变量取值范围（如“人数不能为负”）。 3.用性质，解问题：根据k的正负判断增减性(>0则y随x增大而增大)，结合取值范围求最值、 方案等，最后验证结果是否符合实际情境。 【典例1】(23-24八年级下·河北石家庄期中)A县和B县春季分别急需化肥100吨和60吨，C县和D县 分别储存化肥110吨和50吨，全部调配给A县和B县.运费如下表所示： 出发地 运费（元/吨） C县 D县 目的地 A县 40 45 B县 35 50 (I)设从C县运到A县的化肥为x吨，则从C县运往B县的化肥为吨，从D县运往A县的化肥为吨，从D 县运往B县的化肥为吨： 6/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求总运费W(元)与x(吨)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围： (3)求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案. 【变式1】(24-25八年级上·安徽亳州期中)某商场计划购进A、B两种新型节能灯共80盏，这两种灯的 进价、售价如表： 类 进价（元/盏） 售价（元/盏） 型 A型 30 45 B型 50 70 (I)设商场购进A型灯x盏，销售完这批灯总利润为y元，写出y与x之间的函数关系式； (2)若商场规定B型灯的进货数量不超过A型灯数量的4倍，那么A型和B型灯各进多少盏售完之后获得利 润最多？此时利润是多少元？ 【变式2】(24-25九年级下·吉林期中)用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为20%（如 图①)，经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量少（单位：%）与充电时间x (单位：h)的函数图象分别为图②中的线段AB,AC.根据以上信息，回答下列问题： y 100 80 60 40 目前电量20% 204 0 123456x/h 图① 图② (1)求线段AB对应的函数表达式. ah 3h (2)先用普通充电器充电后，再改为快速充电器充满电，一共用时，请在图②中画出电量（单位： %)与充电时间x(单位：h)的函数图象，并标注出a所对应的值. 题型五一次函数与几何图形的综合 解|题技|巧 解此类题关键是“联坐标，找桥梁”，分三步突破： 1.转几何条件为坐标：先确定几何图形关键点的坐标（如线段端点、交点），比如由“点在直线上” 代入一次函数式求坐标，或由“轴对称”“垂直”等性质算坐标（如关于x轴对称点横坐标不变）。 7/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.用函数算关系：若图形边长、面积等需计算，通过坐标求线段长度（横向距离算x差，纵向算y 差)，再结合几何公式（如三角形面积=底×高2），或利用两直线交点求图形顶点。 3.验合理性：结合一次函数增减性、几何图形边长非负等条件，验证结果是否符合图形特征，避免因 坐标计算错误导致几何量出错。 【典例1】(24-25八年级上陕西西安期中)如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=4+3的图象交x 轴于点A,交'轴于点B,点C是点A关于y轴对称的点，过点C作y轴平行的射线CD,交直线AB与点 D,点P是射线CD上的一个动点. D B A A 图1 备用图 (1)点A的坐标为一，点B的坐标为 2诺直线OP与直线4的交点为9（不与点D重合），连接CP.当CP0与△DP0 的面积满足 S.c0=25.时，请求出对应的点2坐标. 【变式1】(2025八年级下·全国·专题练习)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于 点13,0，B0,4 点C在y轴的负半轴上，若将△CMB沿直线4C折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的 点D处. B A 8/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)AB的长为 点D的坐标是 (2)求点C的坐标： 1 3)点M是y轴上一动点，若Sa=2Saoc,求出点M的坐标： (4)在第一象限内是否存在点P,使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在， 请说明理由. 【变式2】(24-25八年级上·黑龙江哈尔滨期中)如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点B在x 上（0，) 轴正半轴上，OA=2OB,△40B面积为16，点P为线段A0上一点0 B B 图1 图2 图3 (1)直接写出点A、点B坐标，点A坐标为一，点B坐标为一； (2)如图2，当∠OAB=2∠PBO时，设AB长度为d,用含有t的式子表示d. (3)如图3，将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到BC,将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到BD,若 SD=7,求1的值. 过·分层验收 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1.(24-25八年级下·上海·期中)下列函数中，是一次函数的是() 1-x A.y=x2+2 B.y= 2 9/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.y=+b(太、b是常数) D.y=x-1 y=2x-1 2.（24-25八年级下·云南昆明期中)关于函数 的图象，下列说法正确的是() B.与y轴的交点的坐标为 0,1 A.y随x的增大而减小 y=2x C.可以由 的图象平移得到 D.经过第一、二、三象限 3.(45八年级上重庆大这门期中)如图，在平面直角坐标系0，中，直线子+4与r辅、y轴 分别交于点A、点B,点C在y轴的负半轴上，将△ABC沿AC翻折，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处， 则点C的坐标为() A.50) B.(-5,0 C.(06) D.(0,-6) 二、填空题 4.(2425八年级下北京期中)若点1-和点B2在一次函数=-3x+1的图象上，则少_ (用“>”、“<”或“=”连接)： y=-3x+1 5.(24-25八年级下·湖南衡阳期中)已知一次函数 +1,当1≤≤5时，函数'的最大值是一 6.(24-25八年级下·福建泉州期中)在平面直角坐标系中，一次函数y=mr+2m-1的图象为直线1，过点 OH⊥1 H OH 0作 ,垂足为”，则“的最大值是一 三、解答题 10/14 专题04 一次函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数的概念 能准确判断一个关系是否为函数，理解函数的定义及三要素 基础必考点，常出现在选择题、填空题 一次函数的表达式 能根据实际情境或已知条件确定一次函数的表达式 高频考点，在解答题中常与其他知识点结合考查 一次函数的图象与性质 能画出一次函数的图象，掌握一次函数图象的形状、位置与、的关系，利用性质解决问题 重点难点，易出现在综合题，考查对图象和性质的综合运用 一次函数的实际应用 能运用一次函数解决实际问题中的方案选择、最值、行程等问题 高频考点，常以应用题形式出现，分值占比较大 知识点01 函数的概念 - 知识点：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 - 示例：判断下列关系是否为函数：①汽车以60km/h的速度行驶，行驶路程s与时间t；②y = （x≥0）。 分析：①中对于每一个时间t，路程s = 60t都有唯一值，是函数；②中对于x = 4，y = 2，不是唯一值，不是函数。 - 易错点：忽略“y有唯一值对应”这一关键条件，误将一对多的关系判定为函数。 知识点02 一次函数的表达式 - 知识点：形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b = 0时，y = kx（k≠0）叫做正比例函数。 - 示例：已知一次函数的图象过点(1,3)和(2,5)，求其表达式。 解：设表达式为y = kx + b，代入得k + b = 3；2k + b = 5，解得k = 2；b = 1，表达式为y = 2x + 1。 - 易错点：求表达式时忘记k≠0的限制，或代入点坐标计算时出现计算错误。 知识点03 一次函数的图象与性质 - 知识点：一次函数y = kx + b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(- ,0)）画出。当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(0,b)。 - 示例：分析y = -3x + 2的图象和性质。 分析：k = -3<0，b = 2>0，图象过一、二、四象限，y随x的增大而减小，与y轴交于(0,2)，与x轴交于(,0)。 - 易错点：混淆k、b对图象位置的影响，尤其是当k或b为负数时，判断图象象限出错。 知识点04 一次函数的实际应用 - 知识点：利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合图象或性质求解。 - 示例：某快递公司收费：首重1kg内10元，续重每kg2元（不足1kg按1kg算）。设快递重量为xkg（x\geq1），费用为y元，求y与x的函数关系。 解：y = 10 + 2(x - 1) = 2x + 8。若快递重3.5kg，按4kg算，y = 2×4 + 8 = 16元。 - 易错点：实际问题中忽略自变量的取值范围（如销量、成本不能为负），导致函数应用不符合实际；或建立函数模型时数量关系分析错误。 题型一 一次函数的图象和性质 解｜题｜技｜巧 解题时，先明确一次函数表达式y = kx + b（k≠0）。画图象用两点法，取(0, b)和(- ,, 0)快速描点连线。分析性质时，关注k和b：k决定增减性（k>0递增，k<0递减），b决定与y轴交点（(0, b)）。判断图象象限，结合k、b符号：如k>0、b>0，图象过一、二、三象限。解题时先确定k、b的值或范围，再结合这些技巧分析图象位置、函数增减性及解决交点等问题。 【典例1】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）对于一次函数与正比例函数，下列说法正确的是（　　） A．的图象经过点 B．的图象经过第一、二、三象限 C．两个函数中，的值均随着值的增大而增大 D．的图象向下平移5个单位长度可得到的图象 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象性质，一次函数的图象的平移，解题关键是掌握一次函数的图象性质． 将点代入可判断A； 根据一次函数系数可以确定其经过的象限，由此可判断B； 根据两一次函数的一次项系数的符号，可判断它们的增减性，由此可判断C 根据一次函数的图象的平移求出平移后解析式，可判断D． 【详解】解：将点代入，得，故A错误； 一次函数中，，，所以图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故B错误； 一次函数与正比例函数的k均为，y随x的增大而减小，故C错误； 将向下平移5个单位，得，与正比例函数相同，故D正确， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·河南周口·期中）关于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数必过点 B．的值随着的增大而增大 C．图象与轴交于点 D．图象经过第一、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴函数必过点；故选项A错误； ∵， ∴的值随着的增大而减小；故选项B错误； 当时，， ∴图象与轴交于点；故选项C正确； ∵， ∴图象经过一，二，四象限；故选项D错误； 故选C 【变式2】（24-25九年级下·贵州遵义·期中）已知一次函数，如下表是与的一些对应数值，则下列结论中正确的是（　　） … -1.5 0 1 2 … … 6 3 1 0 -1 … A．随的增大而增大 B．与轴的交点是 C．关于的方程的解是 D．图象与轴的交点是 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点，一次函数与一次方程的关系，解题关键是利用待定系数法求出一次函数解析式． 先求出一次函数的解析式，再根据的符号得出增减，可判断A；再求出与轴的交点，可判断B；根据当时，，可判断C；求出与轴的交点,可判断D． 【详解】解：一次函数， 则，解得：， 所以一次函数解析式为， 因为， 所以随的增大而减小，故A错误； 由表格可知，当时，， 所以与轴的交点是，故B错误； 因为当时，， 所以关于的方程的解是，故C正确； 由表格可知，当时，， 所以图象与轴的交点是，故D错误， 故选：C． 题型二 求一次函数的表达式 解｜题｜技｜巧 先明确一次函数形式为y = kx + b（k≠0）。若已知两点坐标，用待定系数法，将两点代入表达式列方程组，求解k、b。若已知图象与y轴交点，可直接得b值，再结合另一条件求k。若涉及实际应用，先分析变量间的线性关系，确定k（斜率，如变化率）和b（初始值），再代入验证。解题时注意k≠0的限制，计算方程组时仔细核对，确保表达式准确。 【典例1】（24-25八年级下·福建福州·期中）已知y是关于x的正比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若点是该函数图象上的一点，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的定义与性质，待定系数法求解析式； （1）设正比例函数的解析式为：，将点代入解析式即可求解； （2）将点代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设正比例函数的解析式为：， 将点代入解析式可得：， 解得：， y关于x的函数表达式为：； （2）解：把点代入得：， 解得：． 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)判断点是否在该函数图象上？ 【答案】(1) (2)点不在该函数图象上 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、正比例函数图象上的点的特征，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）把把点代入正比例函数，解出k的值即可得到解析式； （2）将点的横坐标代入，解出y的值与点的纵坐标对比即可得到答案． 【详解】（1）解：把点代入正比例函数， 得 解得， 这个函数的解析式为， （2）将点的横坐标代入， 得， 点不在该函数图象上． 【变式2】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，当时，． (1)求出与的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题综合考查了正比例的定义，一次函数图象上点的坐标特征． （1）根据正比例的定义设，然后把，代入计算求出k值，再整理即可得解； （2）将点代入（1）中所求的函数的解析式求的值． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴，即； （2）解：点在函数的图象上， ∴， 解得：． 题型三 画一次函数的图象 解｜题｜技｜巧 画一次函数y = kx + b（k eq0）的图象，核心用两点法，步骤清晰且高效。 1. 找关键两点：优先选与坐标轴交点，计算简单——与y轴交点为(0, b)（直接代入x=0求y）；与x轴交点为(- , 0)（代入y=0解x）。若两点重合（如b=0的正比例函数），再额外取一个易算点，比如(1, k)。 2. 描点连线：在平面直角坐标系中准确标出两点，用直尺画直线（延伸至坐标轴外，体现直线无限延伸的性质）。 注意：描点前检查坐标计算是否正确，连线时避免画成线段，确保图象符合一次函数“直线”的本质特征。 【典例1】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）请画出函数的图象： (1)列表为： (2)描点、连线后画出该函数图象为： (3)结合图象，写出该函数的两条性质． 【答案】(1)；；；；； (2)描点、连线见详解； (3)该函数图象经过第一、三、四象限；随的增大而增大（答案不唯一）． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据的值求出的值即可； （）描点、连线即可作出的图象； （）根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：列表为： （2）解：描点、连线如图， （3）解：该函数的性质该函数图象经过第一、三、四象限； 随的增大而增大． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）在坐标系中操作： (1)画出函数的图象； (2)若，直接写出的取值范围，并在坐标系内用粗线描出这部分图象． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了画一次函数的图象，两点确定一条直线，根据函数值的范围求自变量的范围，解题关键是画出一次函数的图象． （1）求出一次函数与两坐标轴的交点即可画出函数图象； （2）先确定一次函数的增减性，再根据一次函数的增减性，求出当时的取值范围． 【详解】（1）解：，当时，； 当时，，解得：， 所以一次函数经过，， 画出函数图象如图： （2）， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，，解得； 当时，，解得， ∴当时，， 其图象如图： 【变式2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）作出函数的图象，并利用图象回答问题： (1)作出该函数图象； (2)写出图象与x轴的交点A的坐标 ，与y轴的交点B的坐标 ． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了画一次函数的图象、一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）求出当时，；当时，，再画出函数图象即可得解； （2）由函数图象即可得解． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，，解得， 故画出函数图象如图所示： ； （2）解：由图象可得：图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标． 题型四 一次函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 解此类问题核心是“建模型、用性质”，分三步高效突破： 1. 找变量，定关系：先明确题目中两个变量（如“销量”与“利润”、“时间”与“路程”），判断是否为线性关系（变量变化量成固定比例），确定用y = kx + b（k为变化率，b为初始值）建模。 2. 求参数，列表达式：通过题干给出的两组对应值（如“当x=1时y=5”），用待定系数法算k和b，写出函数式，同时标注自变量取值范围（如“人数不能为负”）。 3. 用性质，解问题：根据k的正负判断增减性（k>0则y随x增大而增大），结合取值范围求最值、方案等，最后验证结果是否符合实际情境。 【典例1】（23-24八年级下·河北石家庄·期中）A县和B县春季分别急需化肥100吨和60吨，C县和D县分别储存化肥110吨和50吨，全部调配给A县和B县．运费如下表所示： 出发地 运费（元/吨） 目的地          C县          D县 A县 40 45 B县 35 50 (1)设从C县运到A县的化肥为x吨，则从C县运往B县的化肥为 吨，从D县运往A县的化肥为 吨，从D县运往B县的化肥为 吨； (2)求总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案． 【答案】(1)，， (2) (3)最低运费6350元；从C县运到A县的化肥为50吨，从C县运往B县的化肥为60吨，D县的化肥全运往A县 【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出总运费W（单位：元）关于x（单位：t）的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； （3）根据（1）中的函数关系式和一次函数的性质，可以求得最低总运费和此时的运送方案． 【详解】（1）解：从C县运往B县的化肥：， 从D县运往A县的化肥：， 从D县运往B县的化肥：； （2）解：， A县的化肥全从C县运进，则， D县的化肥全运往A县，则， 所以自变量x的取值范围是； （3）解：由（2）知：， ∴w与x成一次函数，，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w最小， （元）， 从C县运到A县的化肥为50吨，从C县运往B县的化肥为吨，从D县运往A县的化肥为吨，D县的化肥全运往A县． 【变式1】（24-25八年级上·安徽亳州·期中）某商场计划购进A、B两种新型节能灯共80盏，这两种灯的进价、售价如表： 类型 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 30 45 B型 50 70 (1)设商场购进A型灯x盏，销售完这批灯总利润为y元，写出y与x之间的函数关系式； (2)若商场规定B型灯的进货数量不超过A型灯数量的4倍，那么A型和B型灯各进多少盏售完之后获得利润最多？此时利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)商场购进型台灯16盏，型台灯64盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，（2）题中理清题目数量关系并列式求出m的取值范围是解题的关键． （1）由商场购进A型台灯盏，则购进B型台灯为盏，然后根据题意列出函数解析式即可； （2）设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值． 【详解】（1）解：商场购进A型台灯盏，则购进B型台灯为盏，由题意可得： ， ， 所以y与之间的函数关系式：； （2）型台灯的进货数量不超过型台灯数量的4倍，由题意得: ， 解得：， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值为（元），此时． 答：商场购进型台灯16盏，型台灯64盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为元． 【变式2】（24-25九年级下·吉林·期中）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为（如图①）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象分别为图②中的线段．根据以上信息，回答下列问题： (1)求线段对应的函数表达式． (2)先用普通充电器充电后，再改为快速充电器充满电，一共用时，请在图②中画出电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象，并标注出所对应的值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，画一次函数图象，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据慢充和快充所充的电量加上原本的电量等于充满的电量建立方程求出a的值，再画出对应的函数图象即可． 【详解】（1）解：设线段对应的函数表达式为， 由题意得，， ∴， ∴线段对应的函数表达式为； （2）解：， 解得， 如图所示，即为所求： 题型五 一次函数与几何图形的综合 解｜题｜技｜巧 解此类题关键是“联坐标，找桥梁”，分三步突破： 1. 转几何条件为坐标：先确定几何图形关键点的坐标（如线段端点、交点），比如由“点在直线上”代入一次函数式求坐标，或由“轴对称”“垂直”等性质算坐标（如关于x轴对称点横坐标不变）。 2. 用函数算关系：若图形边长、面积等需计算，通过坐标求线段长度（横向距离算x差，纵向算y差），再结合几何公式（如三角形面积=底×高÷2），或利用两直线交点求图形顶点。 3. 验合理性：结合一次函数增减性、几何图形边长非负等条件，验证结果是否符合图形特征，避免因坐标计算错误导致几何量出错。 【典例1】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点A，交轴于点，点是点A关于轴对称的点，过点作轴平行的射线，交直线与点，点是射线上的一个动点． (1)点A的坐标为______，点的坐标为_______； (2)若直线与直线的交点为（不与点重合），连接，当与的面积满足时，请求出对应的点坐标． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】（1）利用坐标轴上点的特点建立方程即可得出结论； （2）先求出，，利用三角形面积关系求出点坐标，再联立直线解析式求出交点坐标即可得出结论． 此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，轴对称性质，待定系数法求一次函数解析式，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象交轴于点A，交轴于点， ∴令，则； ， 令，则， ， ； 故答案为：，； （2）解：点是点关于轴对称的点， ， 轴， 时，， ， ∵点是射线上的一个动点， 设， ，， ， ， ， 或， 或，如下图所示： ∴设直线的解析式为， 直线的解析式为①， 当时，即为， ∴直线的解析式为②， 故联立①②得， 解得，，， ， 当时，即为， ∴直线解析式为③， 故联立①③得， 解得，， ， 即：满足条件的点或 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______，点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5， (2) (3)为或 (4)第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【分析】（1）根据勾股定理可得，根据轴对称的性质可得，则可得，进而可得； （2）设，则，在中,根据勾股定理列方程求出x的值，即可得C点的坐标． （3）设，则，根据列方程求出m的值，即可得到点M的坐标； （4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ，， ， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． ， ． 故答案为：5，． （2）解：，则， 在中, ， ∴， 解得， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ， ， ， ∴， 解得，． ∴M点的坐标为或． （4）解：存在，理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于G点, 则， ∵， ∴， 又∵ ， 在和中， ， ， ，， ． ∴P点的坐标为． ②当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于H点， 同理得， ，， ∴P点的坐标为． ③当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于点M，轴于点N， 则， ∴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设点P的坐标为，， 则，，， 解得：， ∴点P的坐标为． 综上可知，第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，，面积为，点为线段上一点． (1)直接写出点、点坐标，点坐标为 　，点坐标为 　； (2)如图，当时，设长度为，用含有的式子表示． (3)如图，将线段绕点逆时针旋转得到，将线段绕点顺时针旋转得到，若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）利用面积为求出即可求解； （）在轴上截取，可得，设，得到，，即得，据此即可求解； （）过作轴于，由旋转的性质可得，，即得，进而可证，得到，，即得，再根据可得，利用待定系数法求出直线的解析式为，过作轴于，再证明，得到，，即得，最后把点坐标代入直线的解析式即可求解． 【详解】（1）解：（）∵面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵点坐标为， ∴， 在轴上截取， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过作轴于， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴ 解得 ∴直线的解析式为， 过作轴于， ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 把代入得，， 解得， ∴的值为． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·上海·期中）下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C．（、是常数） D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握形如，其中、为常数且的函数叫做一次函数成为解题的关键． 根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A，，最高次数为2，不符合一次函数定义，不符合题意； B，，化简为，满足的形式，其中，符合一次函数定义，符合题意； C，，虽然形式类似，但未明确（若，则为常数函数，非一次函数），因此不一定是正确选项，不符合题意； D，，即，不符合一次函数定义，不符合题意． 故选B． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）关于函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．y 随 x 的增大而减小 B．与y 轴的交点的坐标为 C．可以由的图象平移得到 D．经过第一、二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，根据所给一次函数解析式，结合一次函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：A、函数中，，则y 随 x 的增大而增大，故本选项错误； B、函数中，令得，则该函数图象与y 轴的交点的坐标为，故本选项错误； C、的图象向下平移1个单位得到，故本选项正确； D、函数中，，，则该函数图象经过第一、三、四象限，故本选项错误； 故选：C． 3．（24-25八年级上·重庆大渡口·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C在y轴的负半轴上，将沿翻折，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查一次函数的综合应用，解答本题的关键是利用翻折的性质、勾股定理等知识 利用勾股定理可得，由折叠得：，得出点D的坐标，设点，则，由勾股定理代入计算即可得出结果． 【详解】解：把代入得，把代入得：， 解得：， ∴、， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴点， 设点，则， 由折叠得：， 在中， ， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 二、填空题 4．（24-25八年级下·北京·期中）若点和点在一次函数的图象上，则 (用“”、“”或“”连接)． 【答案】 【分析】】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：， 随的增大而减小， 又点和点在一次函数的图象上，且， ． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）已知一次函数，当时，函数的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据时，随的增大而减小解答即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，取最大值，， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象为直线l，过点O作，垂足为，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据，可得一次函数经过定点，即可得出当点与定点重合时，取最大值，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴一次函数经过定点， ∴当点与定点重合时，取最大值， 点分别向作轴，轴做垂线， 由勾股定理可得最大值为， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25八年级下·福建福州·期中）在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______________； (2)观察图象，当时，的取值范围是______________； (3)将直线沿轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线的函数解析式． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴一次函数的图象与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为点， 画出函数图象，如图， 此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是； 故答案为：4 （2）解：观察图象，当时，的取值范围是； 故答案为： （3）解：将直线沿轴平移3个单位长度后的直线的函数解析式为， ∴平移后的直线的函数解析式为或． 8．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）煤矿井下A点的海拔高度为米，已知从A到B的水平距离为x米，每经过水平距离10米海拔就会上升0.4米，已知B点在A点的上方． (1)求B点的海拔高度关于x的函数关系式； (2)若C点海拔高度为米，则此时x的值为？ 【答案】(1) (2)2750 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是： （1）根据每经过水平距离10米海拔就会上升0.4米，列式即可； （2）把代入（1）中所求函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：当时，， 解得． 9．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求点的坐标． (2)为轴上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，若线段，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）令，求出，得到点的坐标为；令，则，点的坐标为； （2）设点的坐标为，得到点的坐标为或，推出或，求出或． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点 令，则， 解得：． ∴点的坐标为． 令，则， ∴点的坐标为． （2）解：点的坐标为， ∵线段， 轴， ∴点的坐标为或， 点在直线 ∴或， 解得：或， ∴的值为或． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（2025八年级下·全国·专题练习）已知一次函数，其中，当时，函数有最大值为2，则m的值为(   ) A．4 B． C．或4 D．4或2 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，理解一次函数的性质是解决本题的关键． 分两种情况：当时，把代入即可解得；当时，把代入即可解得． 【详解】解：当，即时，一次函数中，y随x的增大而增大， ∴时，y有最大值2， 把代入得：， 解得：； 当，即时，中，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值2， 把代入得：， 解得：， 综上所述，m的值为或4． 故选：C． 2．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）对于一次函数，下列叙述正确的是（   ） A．当时，函数图象经过第一、二、三象限 B．函数图象一定经过点 C．当时，函数图象一定不经过第二象限 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，需结合比例系数k和直线与y轴的交点纵坐标分析各选项的正确性． 【详解】解：A、当时，则，函数经过第一、三、四象限，故选项A叙述错误； B、当时，，即函数经过点，故选项B叙述正确； C、当时，函数图象一定经过第二、四象限，故选项C叙述错误； D、当时，随的增大而减小，故选项D叙述错误； 故选：B． 二、填空题 3．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知点，都在一次函数图像上，则，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，以及一次函数的增减性，先求出，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴且， 解得， ∴， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点与轴交于点，是轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理的应用；分两种情况讨论：当点落在轴正半轴上处时，在中，，当点落在轴负半轴上处时，连结，在中， ，求出，即可求解． 【详解】解：∵的图象与轴交于点与轴交于点， 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， 设， 如图1，当A点落在y轴正半轴上处时，连接， ∵与关于对称， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴； 如图2，当A点落在y轴负半轴上处时，连结， 由对称可得，， ∴， 在中， ， ∴， ∴； 综上所述：C点坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题 5．（24-25九年级下·陕西西安·期中）在相距455千米的A，B两地间有一车站C，一辆汽车从A地出发，匀速直线行驶经过车站C驶往B地共用小时，且在C站未作停留．如图是汽车行驶时离C站的路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数关系．根据图象回答下面问题： (1)填空：______；______； (2)当汽车离车站C的距离为120千米时，求汽车的行驶时间． 【答案】(1)， (2)当汽车离车站C的距离为120千米时，汽车的行驶时间为或小时 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答． （1）根据题意得出A，B两地相距455千米，A，C两地相距455千米，即可求出B，C两地距离，求出汽车的速度，即可求出m； （2）根据（1）中汽车的速度和题意求出函数关系式，再将代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意和图象可得，， 汽车的速度为， ∴． （2）解：由题知图象经过，，． 根据题意可得， 当时，或， 解得：或， 答：当汽车离车站C的距离为120千米时，汽车的行驶时间为或小时． 6．（2025·江苏宿迁·一模）姚明将带队来我市体育馆进行表演比赛，市体育局在策划本次活动，在与单位协商团购票时推出两种方案．设购买门票数为（张），总费用为（元）． 方案一：若单位赞助广告费8000元，则该单位所购门票的价格为每张50元；（总费用＝广告赞助费+门票费） 方案二：直接购买门票方式如图所示． 解答下列问题： (1)方案一中，与的函数关系式为 ；方案二中，当时，与的函数关系式为 ，当时，与的函数关系式为 ； (2)如果购买本场篮球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由； (3)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场篮球赛门票共700张，花去总费用计56000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张． 【答案】(1) (2)当时，选择方案二总费用最省；当时，方案一、二均可；当时，选择方案一，总费用最省 (3)甲单位购买门票400张，乙单位购买门票300张 【分析】本题主要考查了函数关系式，利用待定系数法求一次函数的解析式，求图象的交点坐标，利用图象判定自变量的大小，利用一元一次方程解决实际问题等知识点，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质，分类讨论的数学思想． （1）根据题意列出函数关系式，利用待定系数法求正比例函数和一次函数的解析式即可； （2）联立方案一和方案二解析式，求出交点坐标，利用图象即可判定出省钱的方案； （3）设甲单位购买了张门票，则乙单位购买了张，分类两种情况进行讨论，根据总费用列出一元一次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：方案一中，与的函数关系式为； 方案二中，当时，假设与的函数关系式为， 将代入解析式得， ， 解得 所以，当时，与的函数关系式为； 当时，假设与的函数关系式为， 将代入解析式得， 解得 所以，当时，与的函数关系式为， 故答案为：； （2）解：如图所示， 联立 解得 所以，当时，选择方案二总费用最省；当时，方案一、二均可；当时，选择方案一，总费用最省； （3）解：设甲单位购买了张门票，则乙单位购买了张，根据题意得， 当时， 解得，不符合题意舍去； 当时， 解得， 则， 所以，甲单位购买门票400张，乙单位购买门票300张． 7．（24-25八年级上·广东深圳·期中）模型建立： 如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，请直接写出图中相等的线段（除）； 模型应用： 如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别交于、两点，为第一象限内的点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点的坐标和直线的表达式； 探究提升： 如图，在平面直角坐标系中，，点在轴上运动，将绕点顺时针旋转至，连接，请直接写出的最小值以及此时点的坐标． ． 【答案】，； ，； 最小值为，点的坐标为． 【分析】利用可证，根据全等三角形对应边相等找到相等的线段； 分两种情况讨论：首先过点作轴且，由可知；其次过点作轴，且，由可知；根据全等三角形的性质找到相等的线段，表示出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式； 首先根据过点作轴，可证，设，把点、的坐标用含的代数式表示出来，根据两点之间的距离公式可得，构造模型：设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，根据当点、、在同一条直线上时的值最小，求出此时点的坐标和的最小值． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ，； 解：如下图所示， 过点作轴且， 由可知， ，， 当时，， 点的坐标为， ， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， ， ，， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； 如下图所示，过点作轴，且， 由可知， ，， 当时，， 点的坐标为， ， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， ， ，， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； 综上所述当点的坐标为时，直线的解析式为， 当点的坐标为时，直线的解析式为； 解：如下图所示，过点作轴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， 设， 点的坐标为， ， 则， 点的坐标为， ， 设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 则，， 则有， 则求的最小值可看作点P到点M和点N的距离之和最小，如图， 作点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 则． 设直线的解析式为，把代入得， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴此时， ∴． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $