第三章 位置与坐标（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材北师大版

第三章 位置与坐标 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 平面直角坐标系 考点二 轴对称与坐标变化 05 重难题型突破 题型一 判断点所在的象限 题型二 平面直角坐标系中点的特征 题型三 平面直角坐标系中作图 题型四 平面直角坐标系中的面积问题 题型五 平面直角坐标系中新定义型问题 题型六 平面直角坐标系中规律探究问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 位置与坐标在期中考试中约占10-15分，题型以选择、填空为主，解答题常与后续一次函数或几何图形结合出现。核心考点集中在：用有序数对确定位置、各象限及坐标轴上点的坐标特征、点到坐标轴的距离、关于坐标轴对称的坐标变化规律以及坐标与平移的结合。难度整体偏基础，以容易题和较易题为主，但规律探索类问题（如动点坐标循环）可能作为选择填空的区分点，属于中等偏难层次。备考时应重视基础坐标特征的理解与对称规律的熟练运用。 识记 牢记有序数对、象限符号及对称点坐标口诀（关于x轴对称横同纵反，关于y轴对称纵同横反）。 理解 能区分坐标轴上的点（纵或横为零）与象限内点的特征，明白“距离用绝对值”避免符号陷阱。 应用 能在网格中根据平移规律求坐标，或由距离反推点坐标（常有多解），并能解决实际定位问题。 考点一 平面直角坐标系 1.有序数对 有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对. 2.坐标 数轴上的点与实数（包括有理数与无理数）一一对应，数轴上的每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标. 3.平面直角坐标系 ①在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. ②水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上方向为正方向； ③两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在x轴上，又在y轴上). 4.点的坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）. 书写时先横后纵再括号，中间隔开用逗号. 5.坐标平面图 坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为六个区域：x轴上，y轴上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限.在这六个区域中，除x轴与y轴的一个公共点（原点）之外，其他区域之间都没有公共点. 6.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的 对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x，y）（即点M的坐标）的坐标和它对应；反过来，对于任意一对有序实数（x，y）在坐标平面内都有唯一的一点M，即坐标为(x，y)的点和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 7.象限 平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限 (或第Ⅰ象限)、第二象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第Ⅳ象限）. 注：ⅰ、坐标轴（x轴、y轴）上的点不属于任何一个象限. ⅱ、平面直角坐标系的原点发生改变，则点的坐标相应发生改变；坐标轴的单位长度发生改变，点的坐标也相应发生改变. 8.坐标平面内点的位置特点 ①坐标原点的坐标为（0，0）； ②第一象限内的点，x、y同号，均为正； ③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正； ④第三象限内的点，x、y同号，均为负； ⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负； ⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线） ⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线） 9.点到坐标轴的距离 坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离. 注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负， 可能有多个解的情况，应注意不要丢解. ②坐标平面内任意两点A（x₁，y₁）、B(x₂，y₂)之间的距离公式为：d = 10.坐标平面内对称点坐标的特点 ①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反； ②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反； ③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反. 11.平行于坐标轴的直线的表示 ①平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a（a为纵坐标）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的绝对值； ②平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b（b为横坐标）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的绝对值. 12.象限角平分线的特点 ①第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号） ②第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号) ⚠️易混易错 横纵坐标顺序混淆，如点(2,3)与(3,2)不同；各象限符号记错，如第二象限为(-,+)；坐标轴上的点不属于任何象限；平移时左右变横坐标、上下变纵坐标，方向易反。 考点二 轴对称与坐标变化 1.关于坐标轴对称的点的坐标关系 2.坐标方法的简单应用 ①已知三角形的顶点坐标求三角形的面积 将坐标平面上的三角形的面积转化为几个图形的面积的组合（相加）或分解（相减），即将要求的三角形面积转化为一个大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差； ②已知多边形各顶点坐标求多边形的面积 将坐标平面上的多边形的面积分割成几个规则的图形组合的面积之和，或转化为一个更大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差. ⚠️易混易错 关于x轴对称，纵坐标变相反数；关于y轴对称，横坐标变相反数；关于原点对称，横纵坐标均变相反数；平移与对称混淆，注意先对称后平移的顺序。 题型一 判断点所在的象限 典例1 （25-26七年级下·陕西西安·期中）在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点所在象限的坐标符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，结合图即可求解． 【详解】解：根据图可知，目标在第三象限，即坐标可能为，故选项C符合题意． 💡破题要诀 横坐标看左右，纵坐标看上下；符号定象限，正正一、负正二、负负三、正负四。 迁移应用 1．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查象限内点的坐标符号特征，先根据点的位置得出的取值范围，再判断点横纵坐标的符号，即可确定点所在象限． 【详解】解：∵点在第三象限，第三象限内点的横纵坐标均为负数， ∴， ∴， 又∵点的纵坐标为，即点的横纵坐标都为正数， ∵第一象限内点的横纵坐标符号为， ∴点在第一象限． 2．（25-26七年级下·四川泸州·期中）如果，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用非负数的性质求出，的值，再根据平面直角坐标系各象限点的坐标特征判断点所在象限． 【详解】解：， ， 由得， 把代入得：， 解得， 点坐标为， 第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正， 点在第二象限． 3．（25-26七年级下·西藏林芝·期中）在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据平方的非负性判断点的横纵坐标的正负，结合平面直角坐标系各象限点的坐标特征即可判断点所在象限． 【详解】解：∵对于任意实数，都有， ∴， 又∵该点的横坐标为， ∴该点横坐标为负，纵坐标为正， ∵平面直角坐标系中第二象限点的坐标符号为（负，正）， ∴点一定在第二象限． 题型二 平面直角坐标系中点的特征 典例2 （25-26七年级下·新疆巴州·期中）已知点，解答下列各题． (1)点在轴上，求出点的坐标； (2)点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在y轴上的点的横坐标为0，据此求出a的值即可得到答案； （2）平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，据此求出a的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵点，点的坐标为，且直线轴， ∴点P的横坐标为2， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 💡破题要诀 横前纵后，符号定象限；x轴纵为0，y轴横为0；平行线坐标等，对称变符号。 迁移应用 1．（25-26七年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． (2)若点到轴的距离为2，直接写出的值． 【答案】(1) (2)1或3 【分析】（1）根据轴，则点与点的纵坐标相等，从而求解的值，进而可求解点的坐标． （2）根据点到轴的距离为2，可得点的横坐标的绝对值为2，由此求解的值即可． 【详解】（1）解：∵点，点，且轴， ∴，解得， ∴点． （2）解：∵点到轴的距离为2， ∴点的横坐标的绝对值为2， ∴，即， 由可得；由可得； 综上，的值为1或3． 2．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）已知点，根据下列条件，求出点A的坐标． (1)若点A在x轴上； (2)若点A在过点且与x轴平行的直线上． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 【分析】（1）根据点A在x轴上得到，求出，从而得到点A的坐标； （2）根据点A在过点且与x轴平行的直线上得到，求出，从而得到点A的坐标． 【详解】（1）解：∵点A在x轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵点A在过点且与x轴平行的直线上， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为． 3．（25-26八年级下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，有一点 (1)若点在轴上，求的值； (2)若，且轴，求出点的坐标； (3)若点在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据y轴上的点横坐标为0求解即可； （2）根据平行于y轴的直线上的点横坐标相等求解即可； （3）第一象限内点的横纵坐标均为正，点到坐标轴的距离等于对应坐标的绝对值，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴点的横坐标为， 即， 解得； （2）解：∵轴， ∴点与点的横坐标相等， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：∵点在第一象限， ∴，， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∵点到两坐标轴的距离之和为， ∴， 解得， ∴，， ∴点的坐标为． 题型三 平面直角坐标系中作图 典例3 （25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，，． (1)在图中画出； (2)作出关于轴对称的图形； (3)请直接写出中边上的高为 ． 【答案】(1) 解：如图所示： (2) 解：如图所示： (3) 【分析】本题考查了直角坐标系下点的特征，轴对称图形的性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质． （1）根据直角坐标系下点的坐标画出三角形即可； （2）根据轴对称图形的性质即可画出； （3）先求解出边的长度，再根据的面积相等求解高即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，边的高为， 又， ∴， 即，解得， ∴中边上的高为． 故答案为：． 💡破题要诀 定坐标描点，按顺序连线；对称找对应点，平移看方向距离。 迁移应用 1．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知、、 ． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是______； (2)已知线段轴，且，则点D的坐标为______； (3)已知P为y轴上一点，若，求点P的坐标． 【答案】(1) 解：如图： ， 故答案为：4； (2)或 (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据坐标作图即可； （2）根据平行于y轴的坐标的特征可得答案； （3）由P为y轴上一点，设，根据的面积为4，可得，从而可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵线段轴，且， 设，则， 或， 解得：或， 点D的坐标为或， 故答案为：或； （3）解：设， 由题意可知：， ， ， ， ， 或， 解得：或， 点P的坐标为或 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)在图中画出平面直角坐标系； (2)画出与关于轴对称的； (3)画出与关于轴对称的． 【答案】(1)坐标系如图所示： (2)如图，即为所求： (3) 如图，即为所求： 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，平面直角坐标系，熟练掌握作轴对称图形的方法是解题的关键． （1）根据先确定原点，坐标轴即可． （2）根据关于轴对称的点的坐标特征写出点、、的对应点、、的坐标，然后描点即可得到． （3）根据关于轴对称的点的坐标特征写出点、、的对应点、、的坐标，然后描点即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 3．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中（小正方形顶点称为格点），的三个顶点均在格点上．    (1)请在所给的网格中建立平面直角坐标系，使顶点A的坐标为； (2)在（1）的平面直角坐标系中，直接写出其他两个顶点的坐标； (3)在（1）的平面直角坐标系中，画出关于y轴对称的图形． 【答案】(1) 如图所示，平面直角坐标系即为所求；    (2)， (3) 如图所示，即为所求．    【分析】本题主要考查坐标与图形，轴对称； （1）根据A的坐标为，建立平面直角坐标系即可； （2）根据平面直角坐标系，写出坐标即可； （3）根据轴对称的特点画出关于y轴对称的图形即可； 【详解】（1）略 （2）解：由作图可得，，； （3）略 题型四 平面直角坐标系中的面积问题 典例4 （25-26七年级下·甘肃陇南·期中）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，，． (1)求的面积； (2)若点是轴上一动点，的面积为3，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过点D作轴于点E，根据列式求解即可； （2）根据三角形的面积公式可得，据此求出的长，进而确定点P的横坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作轴于点E， ∵点，，， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵点是轴上一动点，的面积为3， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为或点P的横坐标为， ∴点P的坐标为或． 💡破题要诀 坐标转线段长，底高对应坐标差；割补法化规则图形，注意取绝对值。 迁移应用 1．（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，已知． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的2倍，求点P 的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）过点C和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，点F，根据结合各点的坐标求解即可； （2）求出线段的长和的面积，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，点F， ∵， ∴， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴； ∵三角形的面积等于四边形面积的2倍， ∴， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或； 2．（25-26七年级下·四川南充·期中）已知 (1)求的面积； (2)在y轴上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍，并求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点M，使得的面积等于的面积的2倍，求出M点的坐标． 【答案】(1)9 (2)或 (3)或 【分析】（1）过点C作轴于点E，根据列式求解即可； （2）根据（1）所求推出的面积，再根据三角形的面积公式建立方程求出的长即可得到答案； （3）根据（1）所求推出的面积，再根据三角形的面积公式建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作轴于点E， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：由（1）得的面积为9， ∵的面积等于的面积的2倍， ∴的面积为18， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为或点P的纵坐标为， ∴点P的坐标为或； （3）解：由（1）得的面积为9， ∵的面积等于的面积的2倍， ∴的面积为18， ∵点M在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点M的横坐标为或点M的横坐标为， ∴点M的坐标为或； 3．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，其中a，b满足． (1)填空：________，________； (2)若在第三象限有一点，用含m的式子表示的面积； (3)在（2）的条件下，线段与y轴相交于，当时，点P是坐标轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或或 【分析】（1）根据非负性的性质求解即可； （2）根据的面积列式求解即可； （3）分点P在x轴上和点P在y轴上，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，即， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， ∴， ∵，且M在第三象限， ∴， ∴的面积； （3）解：由（2）得当时，的面积， ∵的面积是的面积的2倍， ∴的面积是20； 当点P在x轴上时，则， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为或点P的横坐标为， ∴点P的坐标为或； 当点P在y轴上时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为或， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或或． 题型五 平面直角坐标系中新定义型问题 典例5 （25-26七年级下·山东临沂·期中）已知点，若满足，则称为“新奇点”． (1)判断点是否为“新奇点”，并说明理由． (2)若点是“新奇点”，其中是的算术平方根，请求出点的坐标． (3)若点是“新奇点”，请判断点在第几象限，说明理由． 【答案】(1)是“新奇点”，见解析 (2)点的坐标为 (3)点在第三象限，理由见解析 【分析】（1）根据新定义的规则进行判断即可； （2）先求出的值，再根据新定义求出的值，进而求出点的坐标； （3）先根据新定义求出的值，得到点的坐标后，判断象限即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴是“新奇点”； （2）解：∵是的算术平方根， ∴， ∵点是“新奇点”， ∴，解得， ∴点的坐标为； （3）解：∵是“新奇点”， ∴， 解得， ∴，， ∴点的坐标是， ∵，， ∴点在第三象限． 💡破题要诀 读懂定义，套用规则；将新运算转为坐标计算，注意符号与范围，逐项验证。 迁移应用 1．（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．如：点的“长距”为2，点称为“完美点”． (1)若点是“完美点”，求的值； (2)若点的长距为4，且点在第四象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 【答案】(1)或 (2)见解析 【分析】（1）根据完美点的定义可得，求出答案； （2）先根据“长距”是4求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【详解】（1）解：∵点是“完美点”， ∴， 或， 解得或； （2）解：∵点的长距为4，， ∴． 又∵点C在第四象限内， ∴， ， 解得， ， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴D是“完美点”． 2．（25-26七年级下·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，给出如下新定义：点到轴、轴的距离的较小值称为点的“短距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“等距点”． (1)点的“短距”为__________； (2)若点是“等距点”，求的值； (3)若点的短距为5，且点在第三象限内，点的坐标为，点是否为“等距点”？如果是，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或 (3) 点是“等距点”，理由见解析 【分析】（1）根据“短距”的定义，分别求出点到轴、轴的距离，再比较大小，取较小值即可； （2）根据“等距点”的定义，得到点到轴、轴的距离相等，列方程求解； （3）根据“短距”的定义求出的值，再结合点在第三象限确定的具体值，最后根据“等距点”的定义判断即可． 【详解】（1）解：点到轴的距离：，到轴的距离， ， 点的“短距”为． （2）解：点是“等距点”， 点到轴、轴的距离相等， ， 即或， 解得：或． （3）解：点的短距为5， ， 即或， 解得：或， 点在第三象限， ， 将代入点的坐标， 得， 即， 到轴的距离为，到轴的距离为， 是“等距点”． 3．（25-26七年级下·广东江门·期中）定义“点P的k阶点”：若点P的坐标为，则把坐标为的Q点称为点P的k阶点（其中k为正整数），例如：点的2阶点为点即． (1)若点的3阶点为点，求点P的坐标； (2)若点的2阶点为点Q，将点Q先向右移动6个单位，再向下移动5个单位得到点，点在第一象限的角平分线上，且到x轴的距离为4，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标 【分析】本题考查了平面直角坐标系与二元一次方程组，平面直角坐标系与平移，掌握平面直角坐标系与平移是解题的关键． （1）根据“点的阶点”的定义列方程解方程解答即可； （2）根据“点的阶点”的定义得到，再根据平移的规律得到，然后根据点在第一象限的角平分线上，且到x轴的距离为4，列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵点的阶点为点， ∴， 解得：， ∴． （2）解：∵点的阶点为点， ∴， 即， ∵点先向右移动个单位，再向下移动5个单位得到点， ∴， 即， ∵点在第一象限的角平分线上，且到x轴的距离为4， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标． 题型六 平面直角坐标系中规律探究问题 典例6 （25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，将学校的围墙图案放在平面直角坐标系中，已知点，，，，，，…按照此规律，完成下列问题： (1)请写出点，，的坐标； (2)请你写出点，，的坐标； (3)设第1个点为，第2个点为，第3个点为，…，第n（，且n为整数）个点为，…，请你写出N关于n的函数关系式． 【答案】(1)，， (2)，， (3) 【分析】本题考查了坐标系中点的规律，函数关系式，解题的关键是正确从坐标系中找出点的规律． （1）根据坐标系即可求解； （2）可得三个点是一个循环，且第i个点的横坐标为，每次循环的纵坐标分别为2，3，2，据此规律求解即可； （3）由题可知时，，时，，时，，…，即可得． 【详解】（1）解：点，，，，，，…按照此规律，可得，，； （2）解：由图可知，三个点是一个循环，且第i个点的横坐标为，每次循环的纵坐标分别为2，3，2， ， ，，； （3）解：由题可知时，，时，，时，，…， 可得． 💡破题要诀 写前几个点坐标，观察横纵坐标与序号关系；找周期循环，用n表示，定位所求点。 迁移应用 1．（25-26八年级上·河南焦作·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格中建立平面直角坐标系． (2)分别作出与关于轴、轴对称的和． (3)观察（2）中和各顶点坐标特征，你发现有什么规律？ 【答案】(1) 如图所示即为所作， (2) 如图所示即为所作， (3)和对应点的横坐标与纵坐标都为互为相反数 【分析】本题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）根据点的坐标即可确定平面直角坐标系位置； （2）根据轴对称的性质即可分别作出与关于轴、轴对称的和； （3）通过观察即可得和的对应点的横坐标与纵坐标都为互为相反数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：和对应点的横坐标与纵坐标都为互为相反数． 2．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：________，________，________，________． (2)按此规律移动，为正整数，则点的坐标为________，点的坐标为________． (3)动点从点到点的移动方向是________．（填“向上”、“向右”或“向下”） 【答案】(1)，，，； (2)， (3)向下． 【分析】（1）根据点的坐标变化即可填写各点的坐标； （2）由，，，，归纳可得：点的坐标（n为正整数）为；由，，，，归纳可得：点的坐标为 ； （3）根据（2）发现的规律，每四个点一个循环，进而可得动点从点到点的移动方向． 【详解】（1）解：根据点的坐标变化可知： 各点的坐标为：，，，； （2）∵，，，， 归纳可得：点的坐标（n为正整数）为； ∵，，，， 归纳可得：点的坐标为 ； （3）∵每四个点一个循环， 所以． ∴动点从点到点的移动方向是向下． 3．（25-26七年级下·广东潮州·期中）综合与实践 （）【动手探索】如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，.观察图形，直接写出，，，，各点的坐标； （）【观察归纳】关于以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为，，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律为__________，__________，并用，的坐标验证规律是否正确； （）【实践运用】利用上面探索得到的规律解决问题： 若点，，则线段的中点的坐标为__________； 已知点N是线段的中点，且点，，求点的坐标. 【答案】（），，，，； （），， 验证：点，分别为，的中点，点，，，， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 通过点，的坐标的验证规律是正确的， （）；． 【分析】本题考查了坐标与图形，探索规律，解决本题的关键是通过观察得到线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系，再根据中点坐标与线段两端点坐标的对应关系解决问题． （1）根据图形读出平面直角坐标系中点，，，，的坐标即可； （2）根据（1）线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系，可得线段的中点是的横坐标、纵坐标分别是，；因为点，分别为，的中点，根据（1）中的规律验证即可； （3）根据点，，点是线段的中点，利用中的规律求出点的坐标即可； 设点的坐标为，根据规律可得：，，解方程即可求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：由图可知：点，，，，的坐标分别为：，，，，； （2）解：由（1）中的规律可知： 点的坐标是，点的坐标是， ，； 故答案为：，； 解：点，，点是线段的中点， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 点的坐标为是， 故答案为：； 解：设点的坐标为， 点N是线段的中点，且点，， ，， 解得：，， 点的坐标为． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为，到轴的距离为，当点在第二象限时，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，再通过第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正即可求解． 【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点纵坐标的绝对值为，横坐标的绝对值为， 又∵点在第二象限，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 2．（25-26七年级下·重庆巫山·期中）已知点，点，且轴，则a的值为（    ） A．3 B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】利用平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等的性质求解即可． 【详解】解：∵点，点，且轴， ∴ 解得． 3．（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，取的中点，连接，则的长度为（    ） A．6 B．7.5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据勾股定理解题． 【详解】解：由题意知，，即， ∴． 4．（25-26七年级下·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，点在y轴上，则_______． 【答案】 【分析】根据y轴上点的横坐标为0列出方程，即可求解a的值． 【详解】解：点在轴上， ， 解得． 5．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点和，则藏宝处点的坐标应为_______． 【答案】 【详解】解：根据题意建立平面直角坐标系如图，则藏宝处点的坐标应为． 6．（25-26七年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点，则线段的中点的坐标为__________． 【答案】 【分析】若已知点，，则线段的中点坐标为，将已知点坐标代入公式即可求解． 【详解】解：，， 线段的中点坐标为，即． 7．（25-26八年级上·全国·期中）某数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下的平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂 ，大门 ； (3)已知体育馆的位置是，教学楼的位置是，在图中标出体育馆和教学楼的位置； (4)若1个单位长度表示，则从大门到图书馆的最短距离为 m． 【答案】(1) 已知旗杆的位置是，实验楼的位置是，建立平面直角坐标系如图所示： (2)； (3) 体育馆的位置是，教学楼的位置是，如图所示： (4) 【分析】本题主要考查坐标表示地理位置，平面直角坐标系的特点， （1）根据旗杆的位置是，实验楼的位置是即可确定平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系即可求解； （3）根据坐标表示地理位置的方法即可求解； （4）根据平面直角坐标系的特点，确定大门与教学楼之间有几个单位长度，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）根据（1）中的平面直角坐标系可得，食堂，大门； （3）略 （4）根据（1）中的平面直角坐标系可得，大门的位置是，图书馆的位置是， 若1个单位长度表示，则从大门到图书馆的最短距离为： 8．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)在图中作出关于y轴对称，点A，B，C的对应点分别为点，，； (2)求的周长． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2) 【分析】此题考查了作图-轴对称变换及勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）作出三顶点关于y轴的对称点，再顺次连接可得即可； （2）根据勾股定理求出三边长，进而求出周长即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ， ， ∴的周长． 9．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足，点M为第三象限内的一点． (1)直接写出A，B两点的坐标； (2)若点 ， 请用含 m的式子表示的面积 (3)若点到坐标轴的距离相等，且，，求点N的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了绝对值和完全平方公式的非负性，平面直角坐标系的坐标和图形， （1）根据绝对值和完全平方公式的非负性求出a，b的值，可得答案； （2）以为底，以点M的纵坐标的绝对值为高可得答案； （3）先根据距离相等可得方程，再结合所在象限求出点M的坐标，然后根据的长度得出答案． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：如图， 为，且在第三象限内， ， 的面积； （3）解：到坐标轴的距离相等， 或， 或8. 为第三象限内一点， . ，， . ，， 或． 10．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，，，点B在x轴上，且． (1)求点B的坐标； (2)求三角形的面积； (3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)6 (3)存在，P的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论． （1）分点在点的左边和右边两种情况解答； （2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：点在点的右边时，， 点在点的左边时，， 所以，的坐标为或； （2）解：的面积； （3）解：设点到轴的距离为， 则， 解得， 点在轴正半轴时，， 点在轴负半轴时，， 综上所述，点的坐标为或． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）若点，点，点，点，且轴， 轴，那么到x轴距离一定为3的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，结合点到x轴距离的定义求解，先推导出已知量，再判断选项即可． 【详解】解：∵ 轴，平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等， ∴ ， ∵ 轴，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等， ∴ ， ∵ 点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，要求距离为，即， 逐一判断选项： A选项坐标为，纵坐标为，不一定等于，不符合； B选项坐标为，纵坐标为，，不符合； C选项坐标为，纵坐标为，，符合要求； D选项坐标为，纵坐标为，不一定等于，不符合． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，，，点E在上，F，G分别是和的中点，连接，，，则的长是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】以点B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据全等三角形的性质得出，，从而得出，，，，根据中点坐标公式得出，，根据两点间距离公式求出答案即可． 【详解】解：以点B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴轴， ∴，，，， ∵F，G分别是和的中点， ∴点的坐标为，G点的坐标为， 即，， ∴． 3．（25-26八年级上·北京·期中）已知点与点关于y轴对称，则_______． 【答案】4 【分析】关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数代入求解即可得到答案， 本题考查关于y轴对称的点坐标，解题的关键是：熟练掌握关于y轴对称的点坐标． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，，即：， ∴， 故答案为：4． 4．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则x的值为______． 【答案】/ 【分析】由作图痕迹得点在第二象限的角平分线上，则点的横坐标与纵坐标互为相反数，得到，解方程即可得解． 【详解】解：由作图痕迹得射线平分， ∴点在第二象限的角平分线上， ∴点的横坐标与纵坐标互为相反数， ∴， 解得， 经检验，当时，，， 点在第二象限，符合题意． 5．（25-26八年级下·湖南郴州·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“识别距离”为； 若，则点与点的“识别距离”为． 例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为4． 【初步理解】 (1)已知点，，则点与点的“识别距离”为___________． 【深入应用】 (2)已知点，点为轴上的一个动点， ①若点与点的“识别距离”为3，求出满足条件的点的坐标： ②点与点的“识别距离”的最小值为___________． 【答案】(1)3 (2)①；②2 【分析】（1）根据新定义，进行求解即可； （2）①根据“识别距离”的定义列方程，再解出即可；②根据“识别距离”的定义分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴点与点的“识别距离”为； （2）解：①∵点B为y轴上的一个动点， ∴设， ∵点， ∴， ∵点与点的“识别距离”为3， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 当，则点与点的“识别距离”为2， 当，则点与点的“识别距离”为， 故点与点的“识别距离”的最小值为2. 6．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，一点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到，第3次运动到，然后依次运动到，，，，如此继续下去（如图），请完成下列问题： (1)请根据规律填写各点坐标：①______，______； ②若为不小于1的整数，则______； (2)如图，点，，，，它们都在同一条直线上，第1个点为，第2个点为，第3个点为，第4个点为，，如此数下去，第676个点为，则______． 【答案】(1)① ，② (2) 【分析】本题考查平面直角坐标系中的规律探究，掌握通过分析点的坐标变化寻找规律的方法是解决问题的关键． （1）①分析运动次数与坐标的关系，找出、的坐标规律为横纵坐标相等，且都为下标的； ②由①发现的规律总结出的坐标； （2）先找出这些点的下标与序号之间的规律，再据此计算序号是第676个点的下标即可． 【详解】（1）解：，运动次数1； ，运动次数2； ，运动次数3； ，运动次数4； ，运动次数5； ，运动次数6； 可以发现，每3次运动为一组，每组的第三个点（即，为正整数）的坐标为， 对于，，解得，∴坐标为， 对于，，解得，∴坐标为 故答案为：，； ②由①的规律，当为不小于1的整数时，所以的坐标为． 故答案为：； （2）解：观察的编号： 第1个点的下标是， 第2个点的下标是， 第3个点的下标是， 由此可得，第个点的下标为， 要求第676个点的下标，即， 则． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 位置与坐标 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 平面直角坐标系 考点二 轴对称与坐标变化 05 重难题型突破 题型一 判断点所在的象限 题型二 平面直角坐标系中点的特征 题型三 平面直角坐标系中作图 题型四 平面直角坐标系中的面积问题 题型五 平面直角坐标系中新定义型问题 题型六 平面直角坐标系中规律探究问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 位置与坐标在期中考试中约占10-15分，题型以选择、填空为主，解答题常与后续一次函数或几何图形结合出现。核心考点集中在：用有序数对确定位置、各象限及坐标轴上点的坐标特征、点到坐标轴的距离、关于坐标轴对称的坐标变化规律以及坐标与平移的结合。难度整体偏基础，以容易题和较易题为主，但规律探索类问题（如动点坐标循环）可能作为选择填空的区分点，属于中等偏难层次。备考时应重视基础坐标特征的理解与对称规律的熟练运用。 识记 牢记有序数对、象限符号及对称点坐标口诀（关于x轴对称横同纵反，关于y轴对称纵同横反）。 理解 能区分坐标轴上的点（纵或横为零）与象限内点的特征，明白“距离用绝对值”避免符号陷阱。 应用 能在网格中根据平移规律求坐标，或由距离反推点坐标（常有多解），并能解决实际定位问题。 考点一 平面直角坐标系 1.有序数对 叫做有序数对. 2.坐标 数轴上的点与实数（包括有理数与无理数） ，数轴上的每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的 . 3.平面直角坐标系 ①在平面内画 的数轴，组成平面直角坐标系. ②水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上方向为正方向； ③两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在x轴上，又在y轴上). 4.点的坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）. 书写时先横后纵再括号，中间隔开用逗号. 5.坐标平面图 坐标平面图是由 和 构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为六个区域：x轴上，y轴上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限.在这六个区域中，除x轴与y轴的一个公共点（原点）之外，其他区域之间都没有公共点. 6.坐标平面内的点与有序实数对是 的 对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x，y）（即点M的坐标）的坐标和它对应；反过来，对于任意一对有序实数（x，y）在坐标平面内都有唯一的一点M，即坐标为(x，y)的点和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是 的. 7.象限 平面直角坐标系把坐标平面分成 象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限 (或第Ⅰ象限)、第二象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第Ⅳ象限）. 注：ⅰ、坐标轴（x轴、y轴）上的点不属于任何一个象限. ⅱ、平面直角坐标系的原点发生改变，则点的坐标相应发生改变；坐标轴的单位长度发生改变，点的坐标也相应发生改变. 8.坐标平面内点的位置特点 ①坐标原点的坐标为（0，0）； ②第一象限内的点，x、y 号，均为 ； ③第二象限内的点，x、y 号，x为 ，y为 ； ④第三象限内的点，x、y 号，均为 ； ⑤第四象限内的点，x、y 号，x为 ，y为 ； ⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为 ，即 ，所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线） ⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为 ，即 ,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线） 9.点到坐标轴的距离 坐标平面内的点的 表示这点到纵轴（y轴）的距离，而 表示这点到横轴（x轴）的距离. 注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负， 可能有多个解的情况，应注意不要丢解. ②坐标平面内任意两点A（x₁，y₁）、B(x₂，y₂)之间的距离公式为：d = 10.坐标平面内对称点坐标的特点 ①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x ，y ； ②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y ，x ； ③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y . 11.平行于坐标轴的直线的表示 ①平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标 ，纵坐标 ，所以，可表示为：y=a（a为纵坐标）的形式， 表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于 ； ②平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标 ，横坐标 ，所以，可表示为：x=b（b为横坐标）的形式， 表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于 . 12.象限角平分线的特点 ①第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标 ②第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为 ⚠️易混易错 横纵坐标顺序混淆，如点(2,3)与(3,2)不同；各象限符号记错，如第二象限为(-,+)；坐标轴上的点不属于任何象限；平移时左右变横坐标、上下变纵坐标，方向易反。 考点二 轴对称与坐标变化 1.关于坐标轴对称的点的坐标关系 2.坐标方法的简单应用 ①已知三角形的顶点坐标求三角形的面积 将坐标平面上的三角形的面积转化为几个图形的面积的组合（相加）或分解（相减），即将要求的三角形面积转化为一个大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差； ②已知多边形各顶点坐标求多边形的面积 将坐标平面上的多边形的面积分割成几个规则的图形组合的面积之和，或转化为一个更大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差. ⚠️易混易错 关于x轴对称，纵坐标变相反数；关于y轴对称，横坐标变相反数；关于原点对称，横纵坐标均变相反数；平移与对称混淆，注意先对称后平移的顺序。 题型一 判断点所在的象限 典例1 （25-26七年级下·陕西西安·期中）在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 横坐标看左右，纵坐标看上下；符号定象限，正正一、负正二、负负三、正负四。 迁移应用 1．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26七年级下·四川泸州·期中）如果，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26七年级下·西藏林芝·期中）在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型二 平面直角坐标系中点的特征 典例2 （25-26七年级下·新疆巴州·期中）已知点，解答下列各题． (1)点在轴上，求出点的坐标； (2)点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； 💡破题要诀 横前纵后，符号定象限；x轴纵为0，y轴横为0；平行线坐标等，对称变符号。 迁移应用 1．（25-26七年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． (2)若点到轴的距离为2，直接写出的值． 2．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）已知点，根据下列条件，求出点A的坐标． (1)若点A在x轴上； (2)若点A在过点且与x轴平行的直线上． 3．（25-26八年级下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，有一点 (1)若点在轴上，求的值； (2)若，且轴，求出点的坐标； (3)若点在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点的坐标． 题型三 平面直角坐标系中作图 典例3 （25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，，． (1)在图中画出； (2)作出关于轴对称的图形； (3)请直接写出中边上的高为 ． 💡破题要诀 定坐标描点，按顺序连线；对称找对应点，平移看方向距离。 迁移应用 1．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知、、 ． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是______； (2)已知线段轴，且，则点D的坐标为______； (3)已知P为y轴上一点，若，求点P的坐标． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)在图中画出平面直角坐标系； (2)画出与关于轴对称的； (3)画出与关于轴对称的． 3．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中（小正方形顶点称为格点），的三个顶点均在格点上．    (1)请在所给的网格中建立平面直角坐标系，使顶点A的坐标为； (2)在（1）的平面直角坐标系中，直接写出其他两个顶点的坐标； (3)在（1）的平面直角坐标系中，画出关于y轴对称的图形． 题型四 平面直角坐标系中的面积问题 典例4 （25-26七年级下·甘肃陇南·期中）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，，． (1)求的面积； (2)若点是轴上一动点，的面积为3，请求出点的坐标． 💡破题要诀 坐标转线段长，底高对应坐标差；割补法化规则图形，注意取绝对值。 迁移应用 1．（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，已知． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的2倍，求点P 的坐标． 2．（25-26七年级下·四川南充·期中）已知 (1)求的面积； (2)在y轴上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍，并求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点M，使得的面积等于的面积的2倍，求出M点的坐标． 3．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，其中a，b满足． (1)填空：________，________； (2)若在第三象限有一点，用含m的式子表示的面积； (3)在（2）的条件下，线段与y轴相交于，当时，点P是坐标轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标． 题型五 平面直角坐标系中新定义型问题 典例5 （25-26七年级下·山东临沂·期中）已知点，若满足，则称为“新奇点”． (1)判断点是否为“新奇点”，并说明理由． (2)若点是“新奇点”，其中是的算术平方根，请求出点的坐标． (3)若点是“新奇点”，请判断点在第几象限，说明理由． 💡破题要诀 读懂定义，套用规则；将新运算转为坐标计算，注意符号与范围，逐项验证。 迁移应用 1．（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．如：点的“长距”为2，点称为“完美点”． (1)若点是“完美点”，求的值； (2)若点的长距为4，且点在第四象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 2．（25-26七年级下·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，给出如下新定义：点到轴、轴的距离的较小值称为点的“短距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“等距点”． (1)点的“短距”为__________； (2)若点是“等距点”，求的值； (3)若点的短距为5，且点在第三象限内，点的坐标为，点是否为“等距点”？如果是，请说明理由． 3．（25-26七年级下·广东江门·期中）定义“点P的k阶点”：若点P的坐标为，则把坐标为的Q点称为点P的k阶点（其中k为正整数），例如：点的2阶点为点即． (1)若点的3阶点为点，求点P的坐标； (2)若点的2阶点为点Q，将点Q先向右移动6个单位，再向下移动5个单位得到点，点在第一象限的角平分线上，且到x轴的距离为4，求点P的坐标． 题型六 平面直角坐标系中规律探究问题 典例6 （25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，将学校的围墙图案放在平面直角坐标系中，已知点，，，，，，…按照此规律，完成下列问题： (1)请写出点，，的坐标； (2)请你写出点，，的坐标； (3)设第1个点为，第2个点为，第3个点为，…，第n（，且n为整数）个点为，…，请你写出N关于n的函数关系式． 💡破题要诀 写前几个点坐标，观察横纵坐标与序号关系；找周期循环，用n表示，定位所求点。 迁移应用 1．（25-26八年级上·河南焦作·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格中建立平面直角坐标系． (2)分别作出与关于轴、轴对称的和． (3)观察（2）中和各顶点坐标特征，你发现有什么规律？ 2．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：________，________，________，________． (2)按此规律移动，为正整数，则点的坐标为________，点的坐标为________． (3)动点从点到点的移动方向是________．（填“向上”、“向右”或“向下”） 3．（25-26七年级下·广东潮州·期中）综合与实践 （）【动手探索】如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，.观察图形，直接写出，，，，各点的坐标； （）【观察归纳】关于以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为，，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律为__________，__________，并用，的坐标验证规律是否正确； （）【实践运用】利用上面探索得到的规律解决问题： 若点，，则线段的中点的坐标为__________； 已知点N是线段的中点，且点，，求点的坐标. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为，到轴的距离为，当点在第二象限时，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆巫山·期中）已知点，点，且轴，则a的值为（    ） A．3 B．2 C．6 D． 3．（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，取的中点，连接，则的长度为（    ） A．6 B．7.5 C．8 D．9 4．（25-26七年级下·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，点在y轴上，则_______． 5．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点和，则藏宝处点的坐标应为_______． 6．（25-26七年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点，则线段的中点的坐标为__________． 7．（25-26八年级上·全国·期中）某数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下的平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂 ，大门 ； (3)已知体育馆的位置是，教学楼的位置是，在图中标出体育馆和教学楼的位置； (4)若1个单位长度表示，则从大门到图书馆的最短距离为 m． 8．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)在图中作出关于y轴对称，点A，B，C的对应点分别为点，，； (2)求的周长． 9．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足，点M为第三象限内的一点． (1)直接写出A，B两点的坐标； (2)若点 ， 请用含 m的式子表示的面积 (3)若点到坐标轴的距离相等，且，，求点N的坐标． 10．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，，，点B在x轴上，且． (1)求点B的坐标； (2)求三角形的面积； (3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）若点，点，点，点，且轴， 轴，那么到x轴距离一定为3的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，，，点E在上，F，G分别是和的中点，连接，，，则的长是（    ） A． B． C．4 D．2 3．（25-26八年级上·北京·期中）已知点与点关于y轴对称，则_______． 4．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则x的值为______． 5．（25-26八年级下·湖南郴州·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“识别距离”为； 若，则点与点的“识别距离”为． 例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为4． 【初步理解】 (1)已知点，，则点与点的“识别距离”为___________． 【深入应用】 (2)已知点，点为轴上的一个动点， ①若点与点的“识别距离”为3，求出满足条件的点的坐标： ②点与点的“识别距离”的最小值为___________． 6．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，一点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到，第3次运动到，然后依次运动到，，，，如此继续下去（如图），请完成下列问题： (1)请根据规律填写各点坐标：①______，______； ②若为不小于1的整数，则______； (2)如图，点，，，，它们都在同一条直线上，第1个点为，第2个点为，第3个点为，第4个点为，，如此数下去，第676个点为，则______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $