专题03 位置与坐标（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材北师大版

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03位置与坐标（期中复习讲义) 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 平面直角坐标系 能准确识别平面直角坐标系的组成（坐标轴、 基础必考点，常出现在小题，是后续知 的概念 原点、象限)，明确点的坐标表示方法 识的基础 点的坐标特征 能熟练掌握各象限内点、坐标轴上点的坐标特 高频考点，易与对称、象限问题综合考 征，以及对称点（关于x轴、y轴、原点）的 查，小题为主，易错点集中在对称点坐 坐标规律 标的符号变化 用坐标表示地理 能根据实际情境建立平面直角坐标系，用坐标 应用考点，多以实际应用题形式出现， 位置 描述地理位置，或根据坐标确定地点 考查建模和应用能力 轴对称与坐标变 能根据轴对称的性质（关于x轴、y轴对称）， 核心考点，易与几何图形的轴对称综合 化 推导并应用点的坐标变化规律；反之，能根据 考查，在小题和解答题中均有体现，易 坐标变化判断轴对称关系 错点为坐标变化规律的混淆 记·必备知识 同知识点01平面直角坐标系的基本概念 -知识点：平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴(x轴、y轴)组成，交点为原点；坐标用有序数对(x) 表示，x是横坐标（对应x轴)，y是纵坐标（对应y轴)。 ·示例：点A(3,-2),横坐标是3，纵坐标是-2，位于第四象限。 ·易错点：混淆横、纵坐标的顺序，如将点(2,3)写成(3,2)：误判点所在象限，如点(-1，-3)错认为在第二象限 (实际在第三象限)。 邑知识点02点的坐标特征 -知识点：各象限内点的坐标符号：第一象限（什，+），第二象限(，+)，第三象限(，)，第四象限（什+，-）：x轴上点 纵坐标为0，y轴上点横坐标为0；关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标相反，关于y轴对称的点 纵坐标相同、横坐标相反，关于原点对称的点横、纵坐标均相反。 -示例：点B(-5,1)关于x轴对称的点为(-5，-1)，关于y轴对称的点为(5,1)。 ·易错点：对称点坐标符号变化错误，如关于y轴对称的点误将横坐标保持不变；混淆x轴、y轴上点的坐 1/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 标特征，如认为x轴上点横坐标为0。 同知识点03用坐标表示地理位置 ·知识点：可通过建立平面直角坐标系，确定原点、单位长度和坐标轴方向，将实际地点用坐标表示，或根 据坐标确定地点。 -示例：以学校为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，单位长度1m,图书馆坐标为(2,3)，即位 于学校东2am、北3kam处。 ·易错点：建立坐标系时原点、方向选择不当，导致坐标表示错误；单位长度与实际距离换算错误。 局知识点04轴对称与坐标变化 ·知识点：图形关于x轴对称时，各点横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于y轴对称时，各点纵坐标不变， 横坐标变为相反数。 -示例：三角形顶点为C1,2)、D3,4)、E(5,1),关于x轴对称后的顶点为C(1,-2)、D'(3,-4)、E(5,-1)。 ·易错点：轴对称时横、纵坐标变化规律混淆，如关于x轴对称误改横坐标；未结合图形整体判断轴对称关 系，仅单一改变点坐标导致图形变形。 破·重难题型 它题型一判断点所在的象限 解引题|技|巧 1.明确象限符号规律：牢记四个象限的坐标符号特征，这是解题基础。 -第一象限：横坐标(x)>0,纵坐标(y)>0(“+,+”) -第二象限：横坐标(x)0,纵坐标(y)>0(“-,+”) -第三象限：横坐标(x)0,纵坐标(y)<0(“,-”) 、 第四象限：横坐标(x)>0,纵坐标(y)<0(“+,”) 2.先判符号，再对号入座：拿到点的坐标(x,y)后，先分别判断x和y的正负，再对照上述规律， 确定对应的象限。例如点(-3,2)，x=-3<0,y=2>0,对应第二象限。 3.排除特殊情况：若x=0或y=0,点在坐标轴上(x轴、y轴)，不属于任何象限，需先排除这类情况 再判断。 【典例1】(24-25七年级下·江西上饶期中)在平面直角坐标系中，点P3,-m2-2)所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(24-25七年级下·云南昆明期中)己知x,y满足(x+y)2+√x-2025=0,则在直角坐标系中， 点P(xy)位于第()象限 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式2】(24-25七年级下·山东济宁期中)在平面直角坐标系中，若点A2,m在x轴上，则点 B(m-1,2+m)所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 立题型二平面直角坐标系中点的特征 解题|技|巧 :1.抓坐标符号定位置：核心是判断横(x)、纵坐标(y)的正负。四个象限按“右上为一，逆时针递 增”记符号：一(+，+)、二(-，+)、三(-，-)、四(+，-)，非正负(x=0或y=0)则在坐标轴 上。 2.记坐标轴特殊特征：x轴上点y=0,向右x增大；y轴上点x=O,向上y增大；原点坐标(0,0)， 是两轴交点，需优先排除这类非象限点。 3.用对称关系快速推导：关于x轴对称，x不变、y变号；关于y轴对称，y不变、x变号；关于原点 对称，x、y均变号，可通过己知点直接推对称点特征。 【典例1】(24-25八年级上·甘肃兰州期中)平面直角坐标系中，己知点M(m+2,m-5). (1)若点M在y轴上，求m的值； (2)在同一平面直角坐标系中，点A(4,6),且AM∥y轴，求点M的坐标. 【变式1】(24-25七年级下.甘肃定西期中)已知点P(2a-3,a+6),解答以下问题： (I)若点P在第二象限的角平分线上，求点P的坐标 (2)已知直线PQ∥y轴，且点Q的坐标为3，-2)，求点P的坐标 【变式2】(24-25八年级下·河北秦皇岛·期中)已知点P(5-2m,3m+6),分别根据下列条件求出点P的坐 标. (1)点P在x轴上： (2)点P在y轴上； 3/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)点P到两坐标轴的距离相等； (4)点P与点2(4,3)的连线平行于x轴. 题型三平面直角坐标系中作图 解|题技巧 :1.牢记三类对称的坐标规律：这是核心，直接用规律推导坐标更高效。 :。关于x轴对称：横坐标(x)不变，纵坐标(y)变为相反数。 -关于y轴对称：纵坐标(y)不变，横坐标(x)变为相反数。 :·关于原点对称：横、纵坐标均变为相反数。 2.按“找关键点→求对称点→连点成图”步骤作图：针对图形，先找顶点、交点等关键点，用上述规 律算对称点坐标，最后顺次连接对称点，即可得到轴对称图形。 3.用坐标验证对称性：作出图形后，可随机选一点，检查其与对称点的坐标是否符合规律，确保作图 准确。 【典例1】(24-25八年级上山西忻州期中)如图，在平面直角坐标系中，A-1,5),B-1,0),C(-4,3). 5 3 2 B -3-2 23456x (1)求出ABC的面积； (2)若△A,BC与ABC关于y轴的对称，画出△AB,C,并写出点A,B,G的坐标. 【变式1】(24-25八年级下·黑龙江绥化期中)如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点的坐标分 别为A(-3,2),B(-1,3),C(2,1). 4/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C O (I)作出与ABC关于x轴对称的△ABC(点A、B、C的对应点分别为点A、B、C,): (2)点A的坐标是 点G的坐标是 (3)求ABC的面积， 【变式2】(24-25八年级下·吉林长春·期中)如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点均在正方形 网格的格点上. 5-4-32-10 2345x (1)请你画出 ABC关于y轴对称的△AB,C,; (2)ABC的面积为_ (3)请你在y轴上找到一点P,使得PA+PB最小（保留作图痕迹）. 巴题型四 平面直角坐标系中的面积问题 解|题|技|巧 :1.“补全法”算不规则图形面积：将不规则图形补成矩形或梯形，先算补全后的大图形面积，再减去 周围多余的三角形、矩形面积，适用于顶点坐标已知的图形。 5/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.“分割法”拆复杂图形：把图形分割成几个易算面积的基本图形（三角形、矩形），分别用公式（如 三角形面积=底×高÷2)计算，最后求和，注意分割时尽量让底或高与坐标轴平行，简化计算。 3.利用坐标轴找边长高：若图形边平行于x轴，边长为两点横坐标差的绝对值；平行于y轴，边长为 纵坐标差的绝对值。非平行时，可借助坐标轴作垂线，转化为求高的长度。 【典例1】(24-25七年级下·内蒙古兴安盟·期中)如图，在平面直角坐标系中，长方形0ABC的顶点A、C 分别在x轴、y轴上，BC∥x轴，BA⊥x轴，点B的坐标为a,b),且(a-6)+b-4=0 个y B y 备用图 (1)直接写出点A的坐标为 ,点B的坐标为 (②)若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形0PA的 面积与长方形OABC面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在(2)的条件下，在x轴上是否存在一点Q,使三角形APQ的面积是长方形OABC的面积的2倍？若存 在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式1】(24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔期中)如图，在长方形0ABC中，O为平面直角坐标系的原点， 点A坐标为a,0),点C的坐标为0，b),且a、b满足√a-4+b-6=0,点B在第一象限内. D (1)a= ,b= ,点B的坐标为 (2)若点D、E分别为AB、BC的中点，连接OD、OE、DE,请求出三角形ODE的面积： (3)点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着0-A-B-C-O的线路移动（即：沿着长方形移动一 周).在移动过程中，是否存在点P使S。o即=4，若存在，请直接写出符合条件点P的坐标，若不存在，请 说明理由。 6/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(24-25七年级下·湖北武汉·期中)如图①，在平面直角坐标系中，Aa,b),B(-b,0),且满足 a+2+√b-5=0,将线段AB平移得线段DC,点A对应点D,点B对应点C,点A的对应点D在x轴上， 点B的对应点C在y轴上. VA D B C 图① 图② 图③ (1)直接写出A、B、C三点的坐标： (②)如图②，点P是y轴上的一个动点，当三角形CPD面积是三角形APD的面积的一半时，求点P的坐标； (3)如图③，若动点E从点D出发向左运动，同时动点F从点C出发向上运动，两个点的运动速度之比是1： 2,运动过程中直线DF和CE交于点N,若三角形DCN的面积等于9，求出点N的坐标. 它题型五平面直角坐标系中新定义型问题 解|题|技|巧 1.精准解读新定义：这是核心，逐字分析题干中定义的规则（如“新距离”“特殊点”），将抽象描 述转化为数学关系（如坐标公式、位置条件），避免理解偏差。 :2.结合坐标系特征转化问题：把新定义与坐标性质结合，比如新定义的“对称点”可关联已知对称规 律，新定义的“区域”可转化为坐标满足的不等式，用熟悉的坐标知识拆解陌生概念。 3.用具体坐标举例验证：若对定义理解模糊，可代入简单坐标试算，通过实例总结规律；解题后再用 特殊点验证，确保答案符合新定义规则，避免逻辑错误。 【典例1】(24-25七年级下·河南驻马店期中)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的 距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点？为“龙沙点”. (1)点A(-1,4)的“长距”为 (2)若点B(4a-1,-2)是“龙沙点”，求a的值； 【变式1】(24-25七年级下·福建龙岩期中)新定义：在平面直角坐标系x0y中，对于点Px,y),若点Q的 坐标为ax+y,x+ay),则称点Q为点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且a≠0），如：点P(1,4)的“2阶派 7/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 生点”为点Q2×1+4,1+2×4),即点0为(6,9列. (1)若点P的坐标为(-1,2)，则它的2阶派生点”的坐标为_· (2)若点P(c+1,2c-1)先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点P,点P的3阶派生点” P位于坐标轴上，求点乃的坐标 【变式2】(24-25七年级下·吉林松原·期中)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，定义点M和点N的 相关系数[M,N]如下：若点O,M,N在一条直线上，则[M,N]=0;若点O,M,N不在一条直线上，则 [M,N]=S.Mow·如图，已知点A的坐标为3,0)，点B的坐标为(0,4)，点P(x,y)为平面直角坐标系内一动 点， B 请回答下列问题： (1)[A,B]= (2)若[P,A=3,[P,B=0,求点P的坐标 (3)点P在第二象限，若[P,B=2[P,A,且点P的纵坐标为2，求点P的坐标. ④当[P,B=4,]时，直接写出点P的横坐标. 它题型六平面直角坐标系中规律探究问题 解|题|技|巧 1.“列表法”梳理坐标规律：将已知点按顺序编号(1、2、3…)，列出“序号横坐标纵坐标”表格 观察横、纵坐标随序号变化的规律（如倍数、加减、循环），例如序号对应横坐标为，纵坐标为 2.结合象限与对称找循环规律：若点的位置循环出现（如绕原点旋转、在象限间移动），记录点所在 象限及坐标符号的变化周期，根据周期推导未知点坐标。 8/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.用特殊值验证规律：推导规律后，代入已知序号的点验证是否符合；再用规律计算未知点坐标，反 向检查是否满足坐标系中的位置特征（如对称、象限分布），确保规律正确。 【典例1】(24-25七年级下·江苏南通·期中)如图，在平面直角坐标系中，某点P从原点0出发，向右平 移2个单位长度到达A,再向上平移4个单位长度到达A,再向左平移6个单位长度到达A,再向下平移8 个单位长度到达A,再向右平移10个单位长度到达A,，按此规律进行下去，点A2的坐标是一 A 【变式1】(24-25七年级下·福建厦门期中)如图，在平面直角坐标系中有若干个点，按如图顺序依次排 列为：A(0,0),A(0,1,A1,1,A4(2,2),A(2,3),A(3,3),A,(4,4),按此规律排列下去，则 A2s的坐标为 y A 2 A A 1 2 34 5 【变式2】(23-24八年级下·四川眉山期中)如图，在平面直角坐标系中，第一次将△0AB变换成△OA,B, 第二次将△OA,B,变换成△OA,B2,第三次将△OA,B2变换成△OA,B,. 2 0123456789101112131415161718 (1)观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将△OA,B,变换成△OAB4,则A的坐标 9/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是 B的坐标是 (2)若按第(1)题找到的规律将△0AB进行n次变换，得到△OA,B。,比较每次变换中三角形顶点坐标 有何变化，找出规律，推测A,的坐标是 B的坐标是 过·分层验收 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1.(24-25七年级下·陕西宝鸡期中)在平面直角坐标系中，下列各点是第三象限内的点的是() A.M(1,2 B.N(-1,2 C.P(1,-2 D.Q(-1,-2 2.(24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·期中)已知点P(2-a,3a+6)到两坐标轴距离相等，则P点坐标为 () A.(3,-3 B.（6,-6 C.（3,3或6，-6)D.（3,-3或6，-6 3.(24-25七年级下·重庆渝北期中)如图，在平面直角坐标系中，A1,1,B(-1,1,C(-1,-2),D1,-2) ，一只电子蚂蚁从点B出发按B→A→D→C→B的规律每秒1个单位长度的速度爬行，则2025秒时蚂 蚁所在的位置是() A.(0,-2 B.(1,0 c.(1,-1 D.1,-2 二、填空题 10/14 专题03 位置与坐标（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平面直角坐标系的概念 能准确识别平面直角坐标系的组成（坐标轴、原点、象限），明确点的坐标表示方法 基础必考点，常出现在小题，是后续知识的基础 点的坐标特征 能熟练掌握各象限内点、坐标轴上点的坐标特征，以及对称点（关于x轴、y轴、原点）的坐标规律 高频考点，易与对称、象限问题综合考查，小题为主，易错点集中在对称点坐标的符号变化 用坐标表示地理位置 能根据实际情境建立平面直角坐标系，用坐标描述地理位置，或根据坐标确定地点 应用考点，多以实际应用题形式出现，考查建模和应用能力 轴对称与坐标变化 能根据轴对称的性质（关于x轴、y轴对称），推导并应用点的坐标变化规律；反之，能根据坐标变化判断轴对称关系 核心考点，易与几何图形的轴对称综合考查，在小题和解答题中均有体现，易错点为坐标变化规律的混淆 知识点01 平面直角坐标系的基本概念 - 知识点：平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴（x轴、y轴）组成，交点为原点；坐标用有序数对(x,y)表示，x是横坐标（对应x轴），y是纵坐标（对应y轴）。 - 示例：点A(3, -2)，横坐标是3，纵坐标是-2，位于第四象限。 - 易错点：混淆横、纵坐标的顺序，如将点(2,3)写成(3,2)；误判点所在象限，如点(-1,-3)错认为在第二象限（实际在第三象限）。 知识点02 点的坐标特征 - 知识点：各象限内点的坐标符号：第一象限(+,+)，第二象限(-,+)，第三象限(-,-)，第四象限(+,-)；x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0；关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标相反，关于y轴对称的点纵坐标相同、横坐标相反，关于原点对称的点横、纵坐标均相反。 - 示例：点B(-5, 1)关于x轴对称的点为(-5, -1)，关于y轴对称的点为(5, 1)。 - 易错点：对称点坐标符号变化错误，如关于y轴对称的点误将横坐标保持不变；混淆x轴、y轴上点的坐标特征，如认为x轴上点横坐标为0。 知识点03 用坐标表示地理位置 - 知识点：可通过建立平面直角坐标系，确定原点、单位长度和坐标轴方向，将实际地点用坐标表示，或根据坐标确定地点。 - 示例：以学校为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，单位长度1km，图书馆坐标为(2, 3)，即位于学校东2km、北3km处。 - 易错点：建立坐标系时原点、方向选择不当，导致坐标表示错误；单位长度与实际距离换算错误。 知识点04 轴对称与坐标变化 - 知识点：图形关于x轴对称时，各点横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于y轴对称时，各点纵坐标不变，横坐标变为相反数。 - 示例：三角形顶点为C(1,2)、D(3,4)、E(5,1)，关于x轴对称后的顶点为C'(1,-2)、D'(3,-4)、E'(5,-1)。 - 易错点：轴对称时横、纵坐标变化规律混淆，如关于x轴对称误改横坐标；未结合图形整体判断轴对称关系，仅单一改变点坐标导致图形变形。 题型一 判断点所在的象限 解｜题｜技｜巧 1. 明确象限符号规律：牢记四个象限的坐标符号特征，这是解题基础。 - 第一象限：横坐标（x）>0，纵坐标（y）>0（“+，+”） - 第二象限：横坐标（x）<0，纵坐标（y）>0（“-，+”） - 第三象限：横坐标（x）<0，纵坐标（y）<0（“-，-”） - 第四象限：横坐标（x）>0，纵坐标（y）<0（“+，-”） 2. 先判符号，再对号入座：拿到点的坐标（x，y）后，先分别判断x和y的正负，再对照上述规律，确定对应的象限。例如点（-3，2），x=-3<0，y=2>0，对应第二象限。 3. 排除特殊情况：若x=0或y=0，点在坐标轴上（x轴、y轴），不属于任何象限，需先排除这类情况再判断。 【典例1】（24-25七年级下·江西上饶·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】此题主要考查了平面直角坐标系的点的特点，解题关键是明确各象限的点的特点，然后可判断.第一象限的点的特点为，第二象限的点的特点为，第三象限的点的特点为，第四象限的点的特点为．直接利用偶次方的性质得出，再利用点的坐标特点得出答案． 【详解】解：∵，， ∴点所在的象限是第四象限． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·云南昆明·期中）已知x，y满足，则在直角坐标系中，点位于第（   ）象限． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，偶次幂和算术平方根非负性，由非负数性质求出和的值，进而确定点所在的象限，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的坐标为， ∴点位于第四象限， 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征．根据x轴上点的坐标特征确定m的值，再代入点B的坐标，判断其所在象限． 【详解】解：点在x轴上，因此其y坐标为0，即． 将代入点B的坐标，得． 判断坐标的符号：横坐标为负，纵坐标为正，属于第二象限． 故选：B． 题型二 平面直角坐标系中点的特征 解｜题｜技｜巧 1. 抓坐标符号定位置：核心是判断横（x）、纵坐标（y）的正负。四个象限按“右上为一，逆时针递增”记符号：一（+，+）、二（-，+）、三（-，-）、四（+，-），非正负（x=0或y=0）则在坐标轴上。 2. 记坐标轴特殊特征：x轴上点y=0，向右x增大；y轴上点x=0，向上y增大；原点坐标（0，0），是两轴交点，需优先排除这类非象限点。 3. 用对称关系快速推导：关于x轴对称，x不变、y变号；关于y轴对称，y不变、x变号；关于原点对称，x、y均变号，可通过已知点直接推对称点特征。 【典例1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在y轴上，求m的值； (2)在同一平面直角坐标系中，点，且轴，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知y轴上及平行于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴上的坐标特征即可解决； （2）根据平行于轴的直线上的点的坐标特征即可解决． 【详解】（1）解：因为点在y轴上， 所以， 解得； （2）解：因为点坐标为且轴， 所以， 解得， 则， 所以点的坐标为． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）已知点，解答以下问题： (1)若点在第二象限的角平分线上，求点的坐标． (2)已知直线轴，且点的坐标为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据第二象限角平分线的性质，第二象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数，据此列出关于的方程求解，进而得到点坐标． （2）依据平行于轴的直线上的点横坐标相等这一性质，列出关于的方程求解，从而确定点坐标 ． 本题主要考查了平面直角坐标系中象限角平分线的性质以及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，熟练掌握这些性质和特征是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在第二象限的角平分线上， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵轴，且点的坐标为 ∴ ∴． ∴ 【变式2】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点P在y轴上； (3)点P到两坐标轴的距离相等； (4)点P与点的连线平行于x轴． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查求点的坐标，熟练掌握特殊点的特征，是解题的关键： （1）根据x轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可； （2）根据y轴上的点的横坐标为0，进行求解即可； （3）根据点P到两坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，进行求解即可； （4）根据平行于x轴上的点的纵坐标相同，进行求解即可． 【详解】（1）解：点P在x轴上， 纵坐标为0，即   ， ； （2）点P在y轴上， 横坐标为0，即， ， ； （3）点P到两坐标轴的距离相等， 横纵坐标相等或横纵坐标互为相反数 ①，即； ； ②，即， ； 综上：或； （4）点P与点的连线平行于x轴， 点P的纵坐标是3， 即：， ，   ． 题型三 平面直角坐标系中作图 解｜题｜技｜巧 1. 牢记三类对称的坐标规律：这是核心，直接用规律推导坐标更高效。 - 关于x轴对称：横坐标（x）不变，纵坐标（y）变为相反数。 - 关于y轴对称：纵坐标（y）不变，横坐标（x）变为相反数。 - 关于原点对称：横、纵坐标均变为相反数。 2. 按“找关键点→求对称点→连点成图”步骤作图：针对图形，先找顶点、交点等关键点，用上述规律算对称点坐标，最后顺次连接对称点，即可得到轴对称图形。 3. 用坐标验证对称性：作出图形后，可随机选一点，检查其与对称点的坐标是否符合规律，确保作图准确。 【典例1】（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求出的面积； (2)若与关于y轴的对称，画出，并写出点，，的坐标． 【答案】(1) (2)图见解析，，， 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式，即可求解． （2）根据网格结构找出点、、关于轴的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；根据平面直角坐标系写出各点的坐标． 【详解】（1）解：； （2）解：如图所示，即为所求； ； 根据坐标系可得，，． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)作出与关于x轴对称的（点A、B、C的对应点分别为点）； (2)点的坐标是________，点的坐标是________； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】本题考查了作轴对称图形，求关于坐标轴对称的点的坐标，掌握轴对称的性质是关键； （1）依次作出点A，，关于轴对称的点，，，再依次连接即可； （2）由（1）中所作即可得两点的坐标． （3）用直角梯形的面积减去旁边两个三角形的面积，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）由（1）知，点，点的坐标分别是， ． 故答案为：， ． （3）． 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点均在正方形网格的格点上． (1)请你画出 关于y轴对称的； (2)的面积为 ； (3)请你在y轴上找到一点 P，使得最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称最短路径问题，坐标与图形，正确画出是解题的关键． （1）关于y轴对称的点的特点，描出，并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可； （3），连接交轴于P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ； （2）解：由题意得，； （3）解：如图所示，连接交轴于P，点P即为所求． ． 题型四 平面直角坐标系中的面积问题 解｜题｜技｜巧 1. “补全法”算不规则图形面积：将不规则图形补成矩形或梯形，先算补全后的大图形面积，再减去周围多余的三角形、矩形面积，适用于顶点坐标已知的图形。 2. “分割法”拆复杂图形：把图形分割成几个易算面积的基本图形（三角形、矩形），分别用公式（如三角形面积=底×高÷2）计算，最后求和，注意分割时尽量让底或高与坐标轴平行，简化计算。 3. 利用坐标轴找边长/高：若图形边平行于x轴，边长为两点横坐标差的绝对值；平行于y轴，边长为纵坐标差的绝对值。非平行时，可借助坐标轴作垂线，转化为求高的长度。 【典例1】（24-25七年级下·内蒙古兴安盟·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，x轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为________，点B的坐标为________． (2)若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积与长方形面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积是长方形的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)4秒 (3)或 【分析】本题考查了绝对值，平方的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由，可得，解得，则，； （2）设，则，由题意知，，得到，进一即可求出答案； （3）由（2）可知，设，得，由列方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：， ， 解得， ，． 故答案为：，． （2）解：设，则， 由题意知，， ， 解得， （秒）， 点P的运动时间为4秒； （3）解：由（2）可知 设，则，， ， 解得或， 或 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内． (1) ________， ________，点B的坐标为________． (2)若点D、E分别为、的中点，连接、、，请求出三角形的面积： (3)点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动（即：沿着长方形移动一周）．在移动过程中，是否存在点P使，若存在，请直接写出符合条件点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4；6； (2)9 (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查坐标与图形，点到坐标轴的距离，非负性的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）根据非负数的性质可以求得、的值，根据长方形的性质，可以求得点的坐标； （2）利用割补法求出三角形面积即可； （3）分四种情况讨论：当点P在上时，当点P在上时，当点P在上时，当点P在上时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵a、b满足，， ∴ ∴，， 解得：，， ∴， ∴，， 由长方形的性质可得， ∴点B的坐标是． （2）解：由（1）可知，，， ∴，， ∵点D、E分别为、的中点， ∴，， ； （3）解：当点P在上时，根据题意可知：， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当点P在上时，根据题意可知：， 解得：， ∴， ∴此时点P的坐标为； 当点P在上时，根据题意得：， 解得：， ∴， ∴此时点P的坐标为； 当点P在上时，根据题意得：， 解得：， 此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为或或或． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出、、三点的坐标； (2)如图，点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标； (3)如图，若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比是：，运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，求出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求出，，根据到向下平移的距离，求出点坐标即可； （2）设交轴于，作轴于，根据的面积等于和梯形的面积和，求出点坐标，根据割补法，用点坐标表示出和的面积，然后代入数量关系求解即可； （3）连接，假设点坐标，根据点位置分类讨论，根据不同的割补方法列出关于点坐标的二元一次方程组，求解点坐标即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， 平移到向下平移了， 到向下平移了， ； （2）解：，，， ， 设交轴于，作轴于，如图： 设， ， ， 解得：， ， 设， ，， ， 当或时，， 解得：， 当时，， 解得：， 或； （3）解：， 不在内， 设， ，运动速度之比是， ， 设，， 当在轴上方时，如图： ， ， ， 又， ， 解得：，， ； 当在轴下方时，作轴于，轴于，如图： ， ， ， ， ， 解得：，， ， 综上所述，点坐标为或． 题型五 平面直角坐标系中新定义型问题 解｜题｜技｜巧 1. 精准解读新定义：这是核心，逐字分析题干中定义的规则（如“新距离”“特殊点”），将抽象描述转化为数学关系（如坐标公式、位置条件），避免理解偏差。 2. 结合坐标系特征转化问题：把新定义与坐标性质结合，比如新定义的“对称点”可关联已知对称规律，新定义的“区域”可转化为坐标满足的不等式，用熟悉的坐标知识拆解陌生概念。 3. 用具体坐标举例验证：若对定义理解模糊，可代入简单坐标试算，通过实例总结规律；解题后再用特殊点验证，确保答案符合新定义规则，避免逻辑错误。 【典例1】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点是“龙沙点”，求的值； 【答案】(1)4 (2)或 【分析】本题主要考查了新定义运算，熟练掌握新定义，是解题的关键． （1）根据“长距”定义进行求解即可； （2）根据“龙沙点”的定义列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点的“长距”为4， 故答案为：； （2）解：点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”， 当点是“龙沙点”，， ， 当， 解得：； 当， 解得：； 或． 【变式1】（24-25七年级下·福建龙岩·期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点为点的“阶派生点”（其中为常数，且)，如：点的“2阶派生点”为点，即点为． (1)若点的坐标为，则它的“2阶派生点”的坐标为 ． (2)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点，点的“3阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题考查点的坐标，“阶派生点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据“阶派生点”的定义，结合点的坐标即可得出结论； （2）判断出的坐标，构建方程求出即可． 【详解】（1）解：；， 它的“2阶派生点”的坐标为． 故答案为：； （2）解：点平移后的点坐标为 ∵，， ∴它的“3阶派生点”的坐标为， ∵点在坐标轴上， 当点在轴上时，有， 解得， 此时点， 当点在轴上时，有， 解得． 此时点， 综上，点的坐标为或． 【变式2】（24-25七年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，定义点和点的相关系数如下：若点在一条直线上，则；若点不在一条直线上，则．如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点为平面直角坐标系内一动点， 请回答下列问题： (1)______． (2)若，，求点的坐标． (3)点在第二象限，若，且点的纵坐标为2，求点的坐标． (4)当时，直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，三角形面积，新定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点的坐标为，点的坐标为，则，，然后通过即可求解； （）由，点的坐标为，所以点在一条直线上，即点在轴上，设，然后通过即可求解； （）设，由，得，然后代入求解即可； （）设点的横坐标为，由，则，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，点的坐标为， ∴点在一条直线上，即点在轴上， 设， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； （3）解：∵点的纵坐标为， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴， ∴点的坐标为； （4）解：设点的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标． 题型六 平面直角坐标系中规律探究问题 解｜题｜技｜巧 1. “列表法”梳理坐标规律：将已知点按顺序编号（1、2、3…），列出“序号-横坐标-纵坐标”表格，观察横、纵坐标随序号变化的规律（如倍数、加减、循环），例如序号n对应横坐标为n，纵坐标为2n。 2. 结合象限与对称找循环规律：若点的位置循环出现（如绕原点旋转、在象限间移动），记录点所在象限及坐标符号的变化周期，根据周期推导未知点坐标。 3. 用特殊值验证规律：推导规律后，代入已知序号的点验证是否符合；再用规律计算未知点坐标，反向检查是否满足坐标系中的位置特征（如对称、象限分布），确保规律正确。 【典例1】（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，某点从原点出发，向右平移个单位长度到达，再向上平移个单位长度到达，再向左平移个单位长度到达，再向下平移个单位长度到达，再向右平移个单位长度到达，，按此规律进行下去，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，规律型问题，根据题意可得，，，，，，，，，则有，则有点的坐标是，解题的关键是学会探究规律的方法． 【详解】解：由题意可得，，，， ，，，， ， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中有若干个点，按如图顺序依次排列为：，，，，，，……，按此规律排列下去，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点坐标规律探索，解题的关键是通过观察找到坐标的规律． 通过观察，将点进行分组，写出第组中的点的坐标，通过计算确定在第几组第几个，代入相应的坐标表达式，计算即可． 【详解】解：∵，，，，，，……， ∴观察发现：每三个点为一组，第组的三个点的坐标依次为，，， ∵， ∴是第组的第三个点， ∴的横坐标为，纵坐标为， ∴， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·四川眉山·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成．    （1）观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将变换成，则的坐标是 ，的坐标是 ． （2）若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，图形类规律探索，解题关键是根据给定点的坐标的变化找出变化规律． （1）根据点A、、、的变化，可找出点的坐标；同理可得出点的坐标； （2）结合（1）中点的坐标的变化，可找出点、的坐标； 【详解】解：（1）∵，，，， ∴； ∵，，，， ∴． 故答案为：；． （2）∵，，，，，…， ∴； ∵，，，，，…， ∴． 故答案为：；． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）在平面直角坐标系中，下列各点是第三象限内的点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了各象限中点的坐标特征，熟练掌握各象限中点的坐标的特征是解题的关键． 根据平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标和纵坐标均为负数可确定答案． 【详解】解：第三象限内的点的横纵坐标都为负数， 点符合要求． 故选：D． 2．（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）已知点到两坐标轴距离相等，则点坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，利用到坐标轴的距离相等得出横坐标相等或互为相反数是解题关键． 根据到坐标轴的距离相等，可得横坐标相等或互为相反数，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由点到两坐标轴的距离相等，可得： 1． 当时，解得， ∴点P的坐标为 2． 当时，解得：， ∴点P的坐标为 综上，点P的坐标为或， 故选C． 3．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只电子蚂蚁从点出发按…的规律每秒1个单位长度的速度爬行，则2025秒时蚂蚁所在的位置是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标的变化规律，根据点P的运动规律找出当运动2025秒时点P在点D处是解题的关键．根据点A、B、C、D的坐标可得出、及长方形的周长，由可得出当运动2025秒时点P在点D处，从而可得出结论． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴． ∵， ∴当运动2025秒时，点P在D处， 即此时点P的坐标为． 故选D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·福建莆田·期中）点与点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数，这是解题关键． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：∵与点关于轴对称， ∴ 故答案为． 5．（24-25七年级下·四川南充·期中）已知点，若点B的坐标为，且轴，点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，据此可得，解方程求出a的值即可得到答案． 【详解】解：∵点，点B的坐标为，且轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，平移线段，使点A，B均落在坐标轴上，则点A平移后的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查平面直角坐标系内图形的平移，掌握平移的性质是解题的关键．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．设平移后点A、B的对应点分别是、．分两种情况进行讨论：①在y轴上，在x轴上；②在x轴上，在y轴上． 【详解】解：设平移后点A、B的对应点分别是、． 分两种情况： ①在y轴上，在x轴上，则横坐标为0，纵坐标为0， ∴线段向右平移个单位，向下平移n个单位， ∴，即， 此时点B平移后的对应点的坐标是，符合题意； ②在x轴上，在y轴上，则纵坐标为0，横坐标为0， ∴线段向右平移个单位，向下平移个单位， ∴，即， 此时点B平移后的对应点的坐标是，符合题意； 故答案为：或． 三、解答题 7．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于x轴对称的； (2)求的面积； (3)在x轴上画出点P，使值最小，并直接写出点P的坐标．（保留画图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析，点P的坐标为 【分析】此题主要考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （2）利用轴对称求最短路线的方法，连接对应点，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1：即为所求； （2）解：的面积为： ； （3）解：如图所示：点P即为所求， 点P的坐标为． 8．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）已知点，试分别根据下列条件，求出点P的坐标． (1)点P的纵坐标比横坐标大3； (2)点P在y轴上； (3)点P在过点且与x轴平行的直线上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形性质，点的坐标，一元一次方程的应用，用到的知识点为：y轴上的点的横坐标为0；平行于x轴的直线上的点的横坐标相等． （1）根据点P的纵坐标比横坐标大3列出方程，进而求解即可； （2）根据点P在y轴上列出方程，进而求解即可； （3）根据点P在过且与x轴平行的直线上列出方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得， ∴，， ∴P点的坐标为； （2）解：根据题意得：， 解得， ∴， ∴P点的坐标为； （3）解：根据题意得：， 解得， ∴， ∴P点的坐标为． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·期中）下列说法不正确的是（    ） A．点在第二象限 B．点到y轴的距离为2 C．若点中，则点P在x轴上 D．若点在x轴上，则 【答案】C 【分析】本题考查坐标系中点的位置特征及点到坐标轴的距离．需根据各选项的条件逐一判断其正确性，即可解答． 【详解】解：A． 点的横坐标为负，纵坐标为正，位于第二象限，正确； B． 点到轴的距离为横坐标的绝对值，正确； C． 若，则或，此时点可能在轴或轴上，选项中仅说明在轴上，不全面，错误； D． 若点在轴上，则其纵坐标，正确． 故选C． 2．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图所示，长方形的两边分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将长方形沿轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点的对应点记为；经过第二次翻滚，点的对应点记为；，依次类推，经过第次翻滚，点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了探究点的坐标的问题，观察图形即可得到经过次翻滚后点A对应点一循环，先求出的商和余数，从而解答本题，解题的关键是找到点的变化规律． 【详解】解：观察图形可得经过次翻滚后点对应点一循环，， ∵点， ∴长方形的周长为：， ∴， ∴经过次翻滚后点对应点的坐标为，即， 故选：． 二、填空题 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点，，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了求平面直角坐标系中两点间的距离，解题关键是观察两坐标的特征再求解． 根据两点的纵坐标相同，可知两点间的距离为横坐标的差（大的减小的）． 【详解】解：∵点，，它们的纵坐标相同， ∴， 故答案为：4． 4．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，线段经过原点，点在轴上，为线段上一动点，若，，，，则长度的最小值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了坐标与图形，垂线段最短，等面积法，利用数形结合的思想解决问题是关键．过点作轴于点，过点作轴于点，由垂线段最短可知，当时，长度有最小值，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ，，， ，，， 垂线段最短， 当时，长度有最小值， ， ， ， ，即长度的最小值为1， 故答案为：1． 三、解答题 5．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）如图所示的是某学校的平面示意图，已知大门的坐标是，实验室的坐标是． 解答下列问题： (1)根据所给条件建立平面直角坐标系； (2)食堂的坐标是_______，图书馆的坐标_______； (3)已知教学楼的坐标是，请在图中标出教学楼的位置． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系的应用，建立平面直角坐标系，平面直角坐标系中描点、写出点的坐标等知识，根据大门与实验室的位置建立平面直角坐标系是解题的关键； （1）根据大门与实验室的位置建立平面直角坐标系即可； （2）直接写出坐标即可； （3）根据教学楼的位置在坐标系中描出点即可． 【详解】（1）解：建立的平面直角坐标系如图： （2）解：食堂的坐标为；图书馆的坐标为． 故答案为：；． （3）解：教学楼的位置如（1）图所示； 6．（24-25七年级下·天津·期中）已知点． (1)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)已知点，且直线轴，求点M的坐标； (3)若点M到y轴的距离为4，求点M的坐标； (4)若点M在二，四象限角平分线上，求点M坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查了平面直角坐标系，以及坐标平面内点的坐标特征，解题的关键是熟知在坐标轴上的点的坐标特征，以及平行于坐标轴的点的坐标特征，以及点到坐标轴的距离等知识点． （1）根据在x轴上的点，纵坐标为0，可以求出a的值，进而求出点M的坐标； （2）根据直线 轴，得到纵坐标相等，可以求出a的值，进而求出点M的坐标； （3）根据点到轴的距离为横坐标的绝对值建立方程求解； （4）根据二，四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数建立方程求解． 【详解】（1）解：∵点M在x轴上， ∴， ∴， ∴点M的坐标是； （2）解：∵直线轴， ∴， 解得， 所以，点M的坐标为； （3）解：由题意得，， 解得：或， ∴当时，； 当时，； （4）解：∵点M在二，四象限角平分线上， ∴， 解得：， ∴． 7．（24-25七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点N的坐标为，则称点N是点M的“n阶智慧点”（其中n为常数）．例如：点的“1阶智慧点”为点，即点N的坐标为． (1)已知点M的坐标为，求点M的“2阶智慧点”的坐标； (2)将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点，若点的“阶智慧点”在坐标轴上，求点的坐标； (3)已知，，在第一象限内是否存在横坐标为整数的点，它的“k阶智慧点（k为正整数）”N，使得四边形的面积为4？如果存在，请你求出k的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在 ，或2或3 【分析】本题考查的是点的坐标，解题的关键是理解“I阶智慧点”的定义． （1）根据“2阶智慧点”的定义求解即可； （2）根据“阶智慧点”的定义列式求解即可； （3）根据四边形的面积为4，点，它的“k阶智慧点（k为正整数）”N，列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，M的“2阶智慧点”的坐标，即 故答案为： （2）解：由题可知，即， 的“阶智慧点”， 即， ∵在坐标轴上， 或， 或， ∴或； （3）解：理由；存在： 为的阶智慧点，， ， 连结， ， ， ， ∵a为正整数，k是正整数 当时，； 当时，； 当时，（舍去） 当时，； 综上所述，或2或3 ． 8．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图1，已知在平面直角坐标系中，点，点，将线段向右平移4个单位长度至的位置，连接． (1)直接写出点的坐标； (2)如图2，连接，作轴于点，在轴正半轴有一点，作轴交于点，交于点，动点从点开始，以每秒1个单位长度沿射线运动，设时间为秒． ①嘉淇说：“的面积始终是一个定值．”请对嘉淇的说法进行说理，并求出的面积； ②当的面积为时，求的值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)①嘉淇说法正确，的面积是定值为；②， 【分析】本题考查平移性质，点坐标表示，三角形面积公式，已知面积求动点坐标等． （1）根据题意利用平移的性质直接写出平移后的点坐标即可； （2）①根据题意可知的面积为定值，利用面积公式将作为底，点P到距离为高，继而求得面积； ②设点P的坐标为，利用动点三角形面积公式列式继而求出的值即可，继而求出点P的坐标和运动时间． 【详解】（1）解：∵点，将线段向右平移4个单位长度至的位置，连， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①嘉淇说法正确，的面积是定值，证明求值如下： ∵根据题意得，， ∴， ∵动点P从F点开始，以每秒1个单位长度沿射线运动， ∴点P到距离为高，且恒为定值， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴点P到距离为3， ∴； ②∵动点P从F点开始，以每秒1个单位长度沿射线运动， ∴设点P的坐标为， ∵，，点，作轴交于点F，， ∴ ∵的面积为， ∴， 解得：（舍）或， ∴点P的坐标为， ∴t的值为：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $