专题01 勾股定理（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材北师大版

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01勾股定理（期中复习讲义） 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理 能熟练掌握勾股定理公式（a2+b2=c2), 基础必考点，在选择、填空、解答题中均 并准确应用于直角三角形边长计算 有涉及，常结合实际场景或几何图形考查 勾股定理的逆定 能根据三角形三边长度，利用逆定理判断 高频考点，易与勾股定理结合考查，易错 理 是否为直角三角形 点在于对最长边的判断 勾股定理的实际 能将实际问题（如测量距离、高度，路径 常以应用题形式出现，考查建模能力，需 应用 规划等)转化为直角三角形模型，运用勾 注意单位及实际意义的验证 股定理求解 勾股定理与网 能结合网格特性、折叠性质、立体图形展 难点考点，综合性强，常出现在中档题或 格、折叠、最短 开图，灵活运用勾股定理解决复杂几何问 压轴题中，考查知识迁移和综合运用能力 路径问题的综合 题 记·必备知识 属知识点01勾股定理 ·知识点：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2(a、b为直角边，c为斜边)。 -示例：若直角三角形两直角边为3和4，斜边c满足32+42=c2,即9+16=c2,解得c=5。 ·易错点：混淆直角边与斜边，计算时误将斜边当作直角边代入公式（如错算为c2+α2=b2)。 局知识点02勾股定理的逆定理 -知识点：若三角形三边长α、b、c满足a2+b2=c2,则该三角形为直角三角形，且c为斜边所对的直角。 -示例：三角形三边长为5、12、13，因52+122=25+144=169=132，故该三角形是直角三角形。 -易错点：未明确最长边为斜边，直接任意选两边平方和与第三边比较（如用52+132与122比较，导致判 断错误)。 局知识点03勾股定理的实际应用 ·知识点：将实际场景（如梯子靠墙、测距）转化为直角三角形模型，用定理求未知边长。 1/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 。示例：梯子长10米，底部距墙6米，设梯子顶端距地高为h,由2+62=102，得h=8米。 -易错点：建模时错判直角边与斜边（如将梯子底部距墙距离当作斜边）。 局知识点04最短路径问题（立体图形表面） ~知识点：展开立体图形（圆柱、长方体）侧面为平面，用勾股定理求直角三角形斜边（即最短路径）。 -示例：圆柱高8cm,底面半径3cm（周长18.84cm),展开侧面后直角边为8cm和18.84cm,最短路径≈ √(82+18.842)≈20.5cm. ·易错点：展开方式错误（如圆柱未沿高展开），或误算底面周长。 破·重难题型 它题型一 勾股定理解三角形 解|题|技|巧 勾股定理解三角形解题技巧 :1.明确适用条件：仅用于直角三角形，先通过已知角（如90°）或边的关系（如勾股数）确认三角形 为直角三角形。 :2.锁定三边关系：牢记核心公式a2+b2=c2(c为斜边)，已知任意两边，直接代入公式求第三边； 若遇平方差，可变形为c2-a2=b2计算。 3.结合其他性质：若已知直角边与斜边的倍数关系（如30°对边是斜边一半)，先确定特殊角，再快 速求边；遇斜边上的高，可结合面积公式（面积=12ab=12ch)联动求解。 4.规范解题步骤：先标注直角、己知边，再写公式、代入数据，最后验证结果（如三边是否符合勾股 数)，避免计算错误。 【典例1】(24-25八年级下·河南商丘期中)如图，ABC中，∠A=90°，AB=√6，过斜边中点0作 OM⊥BC交AC于点M,若AM=√5，则MC的长为 B 【变式1】(24-25八年级下·湖北孝感期中)如图，0P=1,过点P作PP⊥OP且PP=1,得0P=√2： 2/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 再过点P作PE⊥OP且PB=1,得OP=V3;又过点B作P￡⊥OP且P,P=1,得OP=2;依此法继 续作下去，得0P05= P3 P 【变式2】(24-25八年级下·河北唐山期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.4,BC=1.8. (I)求AB的长； (2)求AB边上高线h的长. 它题型二 勾股定理与网格问题 解|题|技|巧 勾股定理与网格问题解题技巧 1.定位直角顶点：网格中找直角，优先看水平与竖直线段的交点，或利用“横向格数差”与“纵向格数差” 构成直角边。 2.计算边长：设网格小正方形边长为1，水平竖直线段长直接数格；斜线用勾股定理，以斜线为斜边，找 其横向、纵向覆盖的格数作直角边，代入公式算长度。 3.解决常见问题：求三角形面积，先算直角边长度再用“12×直角边1×直角边2”；判断三角形形状， 算三边长度后验证是否满足勾股定理。 【典例1】(24-25八年级下，安微合肥期中)如图，小正方形的边长为1，三角形ABC的三个顶点都在小 正方形的顶点上： B (1)AB=_;BC=_;AC=_; 3/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求出BD的长 【变式1】(24-25八年级下·新疆伊犁期中)如图、是出边长为1的小正方形组成的网格，其中点A、B、 C均在网格的格点上 B (I)求AC、AB、BC的长； (2)求ABC的面积： (3)点c到AB边的距离. 【变式2】(23-24八年级下·湖北武汉·期中)如图，在一个5×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1 图1 图2 (1)如图1， ①直接写出线段AB= 线段CD= ②求四边形ABCD的面积. (2)在图2中，画一个三边长分别为√2，√3，√7的三角形，并直接写出这个三角形的面积是 题型三 勾股定理与折叠问题 解|题|技|巧 勾股定理与折叠问题解题技巧 1.抓折叠核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，由此确定相等的线段（如折叠后某边与原边重合， 二者长度一致)，标注在图中。 4/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.设未知数简化计算：设所求线段或关键未知线段为x,结合折叠性质，用含x的式子表示其他相关线段， 尤其注意直角三角形的三边。 3.构建直角三角形用定理：找到折叠后形成的直角三角形，将含x的线段作为三角形的边，代入勾股定理 公式列方程，解方程即可求出x的值。 4.验证结果合理性：计算后结合线段长度为正的实际情况，验证结果是否符合题意，避免出现负解或不合 理数值。 【典例1】(23-24八年级上河南郑州期中)如图，在长方形ABCD中，AB=8,BC=15,点E是BC边上 一点，连接AE,将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，当△CEF为直角三角形时，BE的长为」 D B 【变式1】(24-25八年级上·广东深圳期中)如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在 BC边上F点处，未被覆盖的部分涂黑记为阴影部分，己知AD=15,AB=9, D B (I)求BF的长 (2)求阴影部分的面积. 【变式2】(24-25八年级上广东深圳期中)如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点 B位置，AB与CD交于点E,且AB=8,AD=4. B E G (I)求证：AE=EC; (2)求EC的长； 5/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)点P为线段AC上任一点，PG⊥AE于G,PH⊥EC于H.请直接写出PG+PH的值. 它题型四 勾股定理的实际应用问题 解|题|技|巧 勾股定理实标应用解题技巧 1.建模转化：将实际场景（如梯子靠墙、航海测距、旗杆拉绳）转化为直角三角形模型，明确直角边、斜 边对应的实际事物（如梯子为斜边，墙与地面为直角边）。 2.提取关键数据：从题干中筛选已知边长（如梯子长、水平距离），标注在模型对应边上，若有未知量， 设为x。 3.套用定理计算：确认直角三角形三边关系后，代入a2+b=c2(或变形公式)列方程，求解未知量。 4.结合实际验证：结果需符合实际意义（如长度为正、距离合理），例如计算高度时，结果不能超过已知 线段长度，避免逻辑矛盾。 【典例1】(24-25八年级上·甘肃兰州期中)我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引 葭赴岸”问题，如图，题月是“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，长各 几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦 苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的长各是多少尺？(1丈=10尺) 【变式1】(24-25八年级下·广西河池期中)随着中小学双休制度的全面落实，各学校提倡学生利用周末 走进大自然，调动五官，提高感知力，解放身心，放松自我，缓解学习压力.某周周末，小明和小亮相约 去母鸡山公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度CE,他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.65米. 6/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求风筝的垂直高度CE; (2)如果小明想风筝沿CD方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 【变式2】(24-25七年级上山东泰安期中)综合与实践 问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB,如图，云梯斜靠在一面墙上， 这时云梯底端距墙脚的距离BC=7m,∠DCE=90°. D A A B B E 独立思考： (1)这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？ 深入探究： (2)消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），AA'=4m,云梯的底 部B在水平方向滑动到B的距离BB'也是4m吗？若是，请说明理由；若不是，请求出BB'的长度。 问题解决： (3)在演练中，高24.3m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员.经验表明，云梯靠墙摆放 时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的。，则云梯和消防员相对安全.在相对安全的前提下，云 梯的顶端能否到达24.3m高的墙头进行救援？ 题型五 利用勾股定理求最短路径问题 解|题技|巧 7/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 勾股定理求最短路径解题技巧 1.化曲为直建模型：将立体图形（如圆柱、长方体）表面的路径，通过展开侧面转化为平面直角三角形的 斜边。例如圆柱侧面展开为长方形，长方体侧面展开为长方形或大长方形。 2.确定直角边长度：展开后，直角三角形的两条直角边分别对应立体图形的相关边长。如圆柱中，一边是 底面圆周长的一部分，另一边是圆柱的高：长方体中，一边是长与宽（或长与高、宽与高）的和，另一边 是剩余棱长。 3.用定理算最短路径：明确直角边长度后，代入勾股定理公式c=√（α2+b2),计算出的斜边长度即为最 短路径。 4.验证展开方式：若有多种展开方法，需分别计算路径长度，对比后取最小值。 【典例1】(24-25八年级下·四川自贡·期中)如图，圆柱的高为12cm,底面圆的周长为18cm,在圆柱下底 面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【变式1】(23-24八年级下·河北沧州期中)【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为12cm,底面圆的周长为18cm,在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃 到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 图1 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A,B两点的位置，依据“两点之 间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题.如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A,B对应的位置如 图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚊爬行的最短路程线段AB的长. 8/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 12 9C 图2 【方法应用】 (1)如图3，圆柱形玻璃容器的高为18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与 蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走 的最短路线的长度， D 图3 (2)如图4，长方体的棱长AB=BC=6cm,AA,=14cm,假设昆虫甲从盒内顶点C开始以1cm/s的速度 在盒子的内部沿棱CC向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆 虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ D1无盖C1 A B D B 图4 【变式2】(24-25八年级上广东佛山期中)综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为5、3、1， A和B是一个台阶两个相对的端点. 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的 最短路程是多少？ 9/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 B 图① (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接AB,经过计算得到 AB长度即为最短路程，则AB=-;(直接写出答案) B 图② 【变式探究】 (2)如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发沿 着玻璃杯的侧面到点B,求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ B 图③ 【拓展应用】 (3)如图④，若圆柱体玻璃杯的高10厘米，底面周长为24厘米，在杯内壁离杯底2厘米的点A处有一滴蜂 蜜.此时，一只妈蚁正好在外壁，离杯上沿1厘米，且与蜂蜜相对的点B处，则妈蚁从外壁B处到内壁A处 所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） B 图④ 10/18 专题01 勾股定理（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理 能熟练掌握勾股定理公式（a² + b² = c²），并准确应用于直角三角形边长计算 基础必考点，在选择、填空、解答题中均有涉及，常结合实际场景或几何图形考查 勾股定理的逆定理 能根据三角形三边长度，利用逆定理判断是否为直角三角形 高频考点，易与勾股定理结合考查，易错点在于对最长边的判断 勾股定理的实际应用 能将实际问题（如测量距离、高度，路径规划等）转化为直角三角形模型，运用勾股定理求解 常以应用题形式出现，考查建模能力，需注意单位及实际意义的验证 勾股定理与网格、折叠、最短路径问题的综合 能结合网格特性、折叠性质、立体图形展开图，灵活运用勾股定理解决复杂几何问题 难点考点，综合性强，常出现在中档题或压轴题中，考查知识迁移和综合运用能力 知识点01 勾股定理 - 知识点：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²（a、b为直角边，c为斜边）。 - 示例：若直角三角形两直角边为3和4，斜边c满足3² + 4² = c²，即9 + 16 = c²，解得c = 5。 - 易错点：混淆直角边与斜边，计算时误将斜边当作直角边代入公式（如错算为c² + a² = b²）。 知识点02 勾股定理的逆定理 - 知识点：若三角形三边长a、b、c满足a² + b² = c²，则该三角形为直角三角形，且c为斜边所对的直角。 - 示例：三角形三边长为5、12、13，因5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²，故该三角形是直角三角形。 - 易错点：未明确最长边为斜边，直接任意选两边平方和与第三边比较（如用5² + 13²与12²比较，导致判断错误）。 知识点03 勾股定理的实际应用 - 知识点：将实际场景（如梯子靠墙、测距）转化为直角三角形模型，用定理求未知边长。 - 示例：梯子长10米，底部距墙6米，设梯子顶端距地高为h，由h² + 6² = 10²，得h = 8米。 - 易错点：建模时错判直角边与斜边（如将梯子底部距墙距离当作斜边）。 知识点04 最短路径问题（立体图形表面） - 知识点：展开立体图形（圆柱、长方体）侧面为平面，用勾股定理求直角三角形斜边（即最短路径）。 - 示例：圆柱高8cm，底面半径3cm（周长18.84cm），展开侧面后直角边为8cm和18.84cm，最短路径≈√(8² + 18.84²)≈20.5cm。 - 易错点：展开方式错误（如圆柱未沿高展开），或误算底面周长。 题型一 勾股定理解三角形 解｜题｜技｜巧 勾股定理解三角形解题技巧 1. 明确适用条件：仅用于直角三角形，先通过已知角（如90°）或边的关系（如勾股数）确认三角形为直角三角形。 2. 锁定三边关系：牢记核心公式 a² + b² = c²（c为斜边），已知任意两边，直接代入公式求第三边；若遇平方差，可变形为 c² - a² = b² 计算。 3. 结合其他性质：若已知直角边与斜边的倍数关系（如30°对边是斜边一半），先确定特殊角，再快速求边；遇斜边上的高，可结合面积公式（面积=1/2ab=1/2ch）联动求解。 4. 规范解题步骤：先标注直角、已知边，再写公式、代入数据，最后验证结果（如三边是否符合勾股数），避免计算错误。 【典例1】（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，中，，过斜边中点作交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到垂直平分，推出，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ，为的中点， 垂直平分， ， ， 在中， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，，过点P作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得；…依此法继续作下去，得 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、用代数式表示图形的规律，理解题意找到图形变化的规律是解题的关键．根据题意以及勾股定理算出，，的长，依此类推可知（为正整数），据此即可求解． 【详解】解：由勾股定理得 ， ， ， …… 依此类推，（为正整数）， 当时，， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，． (1)求的长； (2)求边上高线的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法求高，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据勾股定理求解，即可解题； （2）由三角形面积公式建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：在中， （2）解：由面积得，， 即：， 解得，． 题型二 勾股定理与网格问题 解｜题｜技｜巧 勾股定理与网格问题解题技巧 1. 定位直角顶点：网格中找直角，优先看水平与竖直线段的交点，或利用“横向格数差”与“纵向格数差”构成直角边。 2. 计算边长：设网格小正方形边长为1，水平/竖直线段长直接数格；斜线用勾股定理，以斜线为斜边，找其横向、纵向覆盖的格数作直角边，代入公式算长度。 3. 解决常见问题：求三角形面积，先算直角边长度再用“1/2×直角边1×直角边2”；判断三角形形状，算三边长度后验证是否满足勾股定理。 【典例1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在小正方形的顶点上： (1) ； ； ； (2)求出的长 【答案】(1)，，； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形中线的性质，熟知勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理和网格的特点求解即可； （2）可求出，由网格的特点可得点D为的中点，则，，过点D作于H，可求出，则，，据此可得． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， 由网格的特点可得点D为的中点， ∴，， 如图所示，过点D作于H，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·新疆伊犁·期中）如图、是出边长为1的小正方形组成的网格，其中点A、B、C均在网格的格点上． (1)求的长； (2)求的面积； (3)点c到边的距离． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查的是勾股定理，坐标与图形性质，解题关键是掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． （1）根据勾股定理计算，求出边的长； （2）根据三角形的面积公式，正方形的面积公式，结合图形计算； （3）根据三角形的面积公式计算． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：的面积； （3）解：设点C到边的距离为h， 则，即， 解得，． 【变式2】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在一个的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1．    (1)如图1， ①直接写出线段_____________，线段_____________． ②求四边形的面积． (2)在图2中，画一个三边长分别为，，的三角形，并直接写出这个三角形的面积是__________． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积，充分利用网格是解题的关键． （1）①利用勾股定理求得、的长度即可；②由分割法求得四边形的面积； （2）利用网格画出三角形，利用分割法求得该三角形的面积． 【详解】（1）解：①，． ②四边形的面积； （2）解：如图，是所求的三角形：   ． 题型三 勾股定理与折叠问题 解｜题｜技｜巧 勾股定理与折叠问题解题技巧 1. 抓折叠核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，由此确定相等的线段（如折叠后某边与原边重合，二者长度一致），标注在图中。 2. 设未知数简化计算：设所求线段或关键未知线段为x，结合折叠性质，用含x的式子表示其他相关线段，尤其注意直角三角形的三边。 3. 构建直角三角形用定理：找到折叠后形成的直角三角形，将含x的线段作为三角形的边，代入勾股定理公式列方程，解方程即可求出x的值。 4. 验证结果合理性：计算后结合线段长度为正的实际情况，验证结果是否符合题意，避免出现负解或不合理数值。 【典例1】（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图，在长方形中，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理；分为两种情况，当和时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，当时， 矩形中，， ， 由折叠性质可得： ，， ， ， 、、三点共线， ， 设则，， 在中， ， ， 解得， ； 如图，当时， ， 由折叠性质可得： ，， 四边形为正方形， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，将长方形沿直线 折叠，顶点 恰好落在边上点处，未被覆盖的部分涂黑记为阴影部分，已知，． (1)求 的长; (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定与折叠问题； （1）根据折叠得出，在中，根据勾股定理即可求解； （2）设，则，在中，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据即可求解． 【详解】（1）解：四边形是长方形， ，， 由折叠得，， 在中，根据勾股定理可得 ； （2）由（1）得，则  设，则 在中，根据勾股定理可得 即  解得，即 【变式2】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的长； (3)点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定： （1）由长方形的性质和折叠的性质证明，进而可利用证明，即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出即可； （3）先得到，再根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：由长方形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图所示，连接， 由（1）（2）得， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型四 勾股定理的实际应用问题 解｜题｜技｜巧 勾股定理实际应用解题技巧 1. 建模转化：将实际场景（如梯子靠墙、航海测距、旗杆拉绳）转化为直角三角形模型，明确直角边、斜边对应的实际事物（如梯子为斜边，墙与地面为直角边）。 2. 提取关键数据：从题干中筛选已知边长（如梯子长、水平距离），标注在模型对应边上，若有未知量，设为x。 3. 套用定理计算：确认直角三角形三边关系后，代入a² + b² = c²（或变形公式）列方程，求解未知量。 4. 结合实际验证：结果需符合实际意义（如长度为正、距离合理），例如计算高度时，结果不能超过已知线段长度，避免逻辑矛盾。 【典例1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，如图，题目是“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的长各是多少尺？(1丈尺) 【答案】水深为尺，芦苇的长是尺． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为尺，根据勾股定理列方程并解方程即可求出答案． 【详解】解：设水深为x尺，由题意可得， . 解得， 答：水深为尺，芦苇的长是尺． 【变式1】（24-25八年级下·广西河池·期中）随着中小学双休制度的全面落实，各学校提倡学生利用周末走进大自然，调动五官，提高感知力，解放身心，放松自我，缓解学习压力．某周周末，小明和小亮相约去母鸡山公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.65米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为17.65米 (2)他应该往回收线7米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意可知：米，米，米， 在中，由勾股定理得，， ∴（负值已舍去）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为17.65米； （2）解：∵风筝沿方向下降11米，保持不变，如图， ∴此时的（米）， 即此时在中，米，有（米）， 相比下降之前，缩短长度为（米）， ∴他应该往回收线7米． 【变式2】（24-25七年级上·山东泰安·期中）综合与实践 问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，． 独立思考： （1）这架云梯顶端距地面的距离有多高？ 深入探究： （2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，云梯的底部B在水平方向滑动到的距离也是吗？若是，请说明理由；若不是，请求出的长度． 问题解决： （3）在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头进行救援？ 【答案】（1）；（2）云梯的底部B在水平方向滑动到的距离不是．理由见解析；（3）在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理求得直角边的长即可； （2）首先求得的长，然后利用勾股定理求得线段的长，最后求得线段的长即可； （3）根据题意求出能够到达墙面的最大高度，再进行比较即可得出结论． 【详解】解：（1）在中，， ， 答：这架云梯顶端距地面的距离有； （2）云梯的底部B在水平方向滑动到的距离不是， 由（1）可知， ． 在中，， ， ； （3）若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的， 则能够到达墙面的最大高度为． ， ， 在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员． 题型五 利用勾股定理求最短路径问题 解｜题｜技｜巧 勾股定理求最短路径解题技巧 1. 化曲为直建模型：将立体图形（如圆柱、长方体）表面的路径，通过展开侧面转化为平面直角三角形的斜边。例如圆柱侧面展开为长方形，长方体侧面展开为长方形或大长方形。 2. 确定直角边长度：展开后，直角三角形的两条直角边分别对应立体图形的相关边长。如圆柱中，一边是底面圆周长的一部分，另一边是圆柱的高；长方体中，一边是长与宽（或长与高、宽与高）的和，另一边是剩余棱长。 3. 用定理算最短路径：明确直角边长度后，代入勾股定理公式 c = √(a² + b²)，计算出的斜边长度即为最短路径。 4. 验证展开方式：若有多种展开方法，需分别计算路径长度，对比后取最小值。 【典例1】（24-25八年级下·四川自贡·期中）如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【答案】蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 【分析】本题主要考查利用勾股定理求最短路径，熟练掌握利用勾股定理求最短路径是解题的关键．把圆柱体展开，连接，然后可知和，进而可由两点之间，线段最短可知即为所求 【详解】解：如解图，圆柱体的展开图为长方形， 所以， 由题意可知，， 所以在 中， 由勾股定理得，， 所以 ， 则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 【变式1】（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】（1）34cm；（2）秒． 【分析】题目主要考查圆柱及棱柱的展开图，勾股定理解三角形，最短距离等问题，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意将圆柱展开，然后利用勾股定理求解即可； （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路线． 由题意可得在中， ，，， ∴， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒． 如图2，在中， ∵长方体的棱长，， ∴，，，， ∴， 解得． 答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲． 【变式2】（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 题型六 勾股定理及逆定理的综合问题 解｜题｜技｜巧 勾股定理及逆定理综合问题解题技巧 1. 明确定理适用场景：先判断用勾股定理（已知直角三角形，求边长）还是逆定理（已知三边，判断是否为直角三角形），题干无直角时，优先用逆定理验证。 2. 双向联动分析：若先通过逆定理（验证a²+b²=c²）判定三角形为直角三角形，再用勾股定理求未知边；若已知直角，可先算边长，再用逆定理验证其他三角形是否为直角。 3. 标注关键条件：将已知边、角及由定理推出的等量关系（如直角、等长线段）标注在图中，理清多三角形间的关联（如公共边、互补角）。 4. 分步计算验证：复杂问题分两步，先判定直角（逆定理），再计算边长（勾股定理），每步结果代入下一步验证，避免逻辑漏洞。 【典例1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)10 (2)144 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接． ，，， ． （2）解：由（1）可知． ，， ，． ． 是直角三角形，． ． 【变式1】（24-25八年级下·广西钦州·期中）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，证明是直角三角形是解题的关键。 （1）可证明，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得到．设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ． ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图，连接． 是的垂直平分线， ． 由（1）可得是直角三角形， 即． 设，则， 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 即的长为． 【变式2】（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，垂足为．    (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)20 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理是关键． （1）在直角中利用勾股定理即可求解． （2）利用勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】（1）解：， 是直角三角形，． ． （2）是直角三角形，理由如下： ， 是直角三角形，． ， ． ， 是直角三角形，是直角． 题型七 勾股定理验证及应用问题 解｜题｜技｜巧 勾股定理验证与应用解题技巧 1. 验证技巧：常用“面积法”，通过割补图形（如赵爽弦图、总统证法），使直角三角形三边构成的正方形/多边形面积满足“两直角边图形面积和=斜边图形面积”，从而推导a²+b²=c²；验证时需明确图形分割后的全等关系。 2. 应用技巧：先建立直角三角形模型，确定已知边（直角边/斜边），未知量设为x；若遇非直角场景，先通过逆定理判定直角，再代入勾股定理公式计算；结果需结合实际（如长度为正），复杂问题可分步拆解图形关联。 【典例1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为） 【探究发现】 （1）代数式1：_________.代数式2：________； （2）这个等式为　　　（直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________； 【学以致用】 （3）在直角三角形中，，，.求的长. 【答案】（1），；（2），在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键． （1）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的结果，即可得出答案； （3）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）代数式1：，代数式2：， 故答案为：，； （2）由（1）知， 用文字语言表达为在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方， 故答案为：；在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方； （3）在直角三角形ABC中，，，， ． 【变式1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)的斜边的长为 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）证明，根据列式可得； （2）过点A作交延长线于H，设，由勾股定理得，整理得，由可得，故可得结论； （3）把代入得，求出的值，再求的值即可． 【详解】（1）证明：根据题意，由图1可知： ，，，，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ； 又∵ ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点A作交延长线于H，设， 在中，， 在中，， ∴， 化简得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，， ∵ ∴， ∴， 解得，， ∵ ∴， ∴（负值舍去） ∴的斜边的长为． 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．    (1)如图②，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)原路长6.5千米 【分析】本题主要考查勾股定理及等积法，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据梯形面积为或，则有等式，然后问题可求解； （2）设千米，则千米，然后根据勾股定理可得方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴梯形的面积为或， ∴， ∴， 即； （2）解：设千米，则千米， 在中，，即， 解得，即， 答：原路长千米． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列几组数中，是勾股数的一组是（   ） A．4，5，6 B．，， C．5，， D．9，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股数，解题关键是理解勾股数的定义． 根据勾股数的定义，需逐一验证各选项是否满足条件． 【详解】解：，不是勾股数，故A错误； ，，这三个数不是正整数，，，不是勾股数，故B错误； ∵， ∴5、12、13是勾股数，故C正确； ∵，， 306 ≠ 289， ∴9，，不是勾股数，故D错误， 故选：C． 2．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）如图，网格中每个小正方形的边长为1，则阴影部分C的面积是（   ） A． B． C．13 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股弦图、正方形的面积公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据勾股定理以及正方形的面积公式知：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，据此可求得正方形C的面积即可． 【详解】解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知： 正方形C的面积为：． 故选：C． 3．（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由勾股定理得到，再由折叠的性质得到，设，则，由勾股定理可得，解方程可得，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得，，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 4．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）如图，在中，，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．在中，利用勾股定理，进行计算即可解答． 【详解】解：在中，，，， 故答案为：4 5．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离，），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解决本题的关键． 设，求出的长度，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：设，则， 又， ， 在中，， 得：， 解得：， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，求它从点A出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A相对的点B处的最短路径是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键． 根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图： 由题意得：， 由勾股定理有 故蚂蚁爬行的最短路程是， 故答案为： 三、解答题 7．（20-21八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，a、b、c分别表示、、的对边． (1)已知，，求c； (2)已知，，求b． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据勾股定理可进行求解； （2）根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，即， ∴； （2）解：∵，，， ∴，即， ∴． 8．（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】(1) (2)小丽在家能听到广播，计算见解析 (3)小丽在家听到广播宣传的时间为14秒 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理判断的形状； （2）过点作，根据等积法求出的长，然后和250米作比较解答即可； （3）作，根据勾股定理求出长，再根据时间路程时间解答即可． 【详解】（1）解：， 又， ， 是直角三角形，即． （2）解：过点作，垂足为D， 直角三角形， ， ， 解得， 小丽在家能听到广播； （3）解：依题意，， 根据勾股定理，， 移动广播车的速度为10米／秒， 秒 答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，则能构成直角三角形的有（   ） 4，3，2；，，2；3，4，5；0.5，1.2，1.3． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理逆定理，掌握它是解题的关键． 根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，依次验证每组数据即可． 【详解】解：最长边为4，验证 ，而 ， ，故不能构成直角三角形． 最长边为2，验证 ，与 相等，满足条件，能构成直角三角形． 最长边为5，验证 ，与 相等，满足条件，能构成直角三角形． 最长边为1.3，验证 ，与 相等，满足条件，能构成直角三角形． 综上，符合条件的有，共3组， 故选C． 2．（24-25八年级上·全国·期中）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点A与点B重合，则折痕的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，也考查了勾股定理，综合运用这些知识点是解题关键． 由勾股定理求解，由对折可得，设 则， 利用勾股定理求解，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解： 由折叠可得： 设 则 故选：D． 3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，，，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．点到直线的距离是 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．根据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案． 【详解】解：A、，故本选不符合题意； B、∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，故本选不符合题意； C、，故本选符合题意； D、点A到直线的距离，故本选不符合题意； 故选：C． 二、填空题 4．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图，中，，平分，交于点D，、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、角平分线的性质以及三角形面积等知识，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，然后由面积法求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点D作于点M， ∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，一只蚂蚁从底面为边长的正方形，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是 ． 【答案】/13厘米 【分析】本题考查了勾股定理的应用、平面展开图—最短路径问题正确找到最短路径是解题关键． 先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图1所示展开时： ， 此时； 如图2所示展开时： 此时． ∵， ∴它需要爬行的最短路线的长是， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，，过点P作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得；…依此法继续作下去，得 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、用代数式表示图形的规律，理解题意找到图形变化的规律是解题的关键．根据题意以及勾股定理算出，，的长，依此类推可知（为正整数），据此即可求解． 【详解】解：由勾股定理得 ， ， ， …… 依此类推，（为正整数）， 当时，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，于点D． (1)已知，，，求证：； (2)已知． ①若，，求的长； ②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得、，再根据勾股定理逆定理即可证明结论； （2）设，则，由勾股定理可得求解即可：②由勾股定理可得，进而得到求解即可． 【详解】（1）证明∶∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①设，则， ∴， ∴，即，解得：（已舍弃负值）， ∴． ②根据勾股定理得，， ∵， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·广西防城港·期中）【阅读理解】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】 （1）爱动脑筋的晓静同学把“弦图”中的四个三角形进行了运动变换，得到图2，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．方法1：____________；方法2：____________；根据以上信息，可以得到等式：____________； 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，，，且是边上的高．求的长． （3）如图4，在中，，，，，设，求的值． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查勾股定理的证明，等积法求线段的长，勾股定理，熟练掌握勾股定理，是解题的关键： （1）用正方形的面积公式和大正方形的面积减去4个直角三角形的面积来表示阴影部分的面积，作答即可； （2）勾股定理求出的长，等积法求出的长即可； （3）利用勾股定理结合为公用直角边，列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1），， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵，设， ∴， ∵，， ∴在中，由勾股定理，得：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $