31.2.1(第1课时)平行线分线段成比例（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级下册

sin2θ+cos2θ=1 人教版(新教材) 九年级下册 第三十一章 相似 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 在相似多边形中，最简单的是相似三角形.如图，根据相似多边形的定义，在△ABC和△A’B’C’中，如果它们的三个角分别相等，三条边成比例，即 那么，△ABC∽△A’B’C’，相似比为. 全等三角形可以看作相似比为1的相似三角形.今天我们开始学习三角形相似的判定和相似三角形的性质. 相似三角形 △ 你能根据上节课学习的相似多边形的概念，类比归纳出相似三角形的概念吗？ 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 合作探究 如图，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3. A3 A1 B1 B3 m n a c 求(1)A1A2= ；A2A3 = ； B1 B2 = ；B1 B2 = A2 B2 b 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 合作探究 (2)计算 ，与 、 ,你有什么发现？ 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 基本事实 两条直线被一组平行线所截，所截得的对应线段成比例. A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c m n a 符号语言 ∵a∥b∥c ∴ 或 或 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 直线AB//CD//EF，若AC=3，CE=4，求 与 的值. A C E B D F 解：∵AB//CD//EF, ∴==, ∵CE=4， ∴==. 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 直线 AB//CD//EF ，若AC=4，CE=6，BD=3 ，求BF的值. A C E B D F 解：∵AB//CD//EF, ∴==, 即=, ∴DF=， ∴= 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 如图， a∥b∥c，直线l与这三条平行线分别交于点A,B,C．若直线 a与b， b与c之间的距离分别为1和2，且 ，求BC的长． 解：过点A作 交直线b于点E，交直线c于点F， ∵ a∥b∥c，∴ ， ， ∴ ， ， ∵a∥b∥c， ∴ ，即 ， ∴ ． 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 如图 ，AC=a，BC=b(a>b)，DE=c，求DF的长． 解：∵ ，∴ ， ∵AC=a，BC=b，DE=c， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 结论 合作探究 如图，直线a∥b∥ c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段， A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c m n a 把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段是否依然成比例呢？ 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 合作探究 A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 在新的图形中，上面的线段是否仍然成比例？ A1(B1) A2 A3 B2 B3 “A”字型基本图形 直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，图中有哪些成比例线段？ 成立，平移时对应线段的长度不会改变 B1 B2 B3 n 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 思考 A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，图中有哪些成比例线段？ 在新的图形中，上面的线段是否仍然成比例？ A2(B2) A1 A3 B1 B3 ( ) “X”字型基本图形 成立，平移时对应线段的长度不会改变 B1 B2 B3 n 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 基本事实的推论 平行于三角形一边的直线被直线截其他两边(或两边的延长线), 所得的对应线段成比例. ＝ ， ＝ ， ＝ 符号语言 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 文化溯源 《原本》 平行线分线段成比例的基本事实是研究三角形相似判定的重要基础.早在公元前300年左右，古希腊的数学名著《原本》中就有上述基本事实的推论，出现在卷V的命题2中. 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC. (1)如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？ (2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？ A B C E F 28 5 解:(1) ∵ EF∥BC， AE AF EB FC ∴ —— ——， ＝ 7 AF 5 4 —— ——， ＝ 即 ＝ ——. ∴ AF 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 解:(2) AE AF AB AC ∴ —— ——， ＝ 6 5 10 AC ＝ —— ——. 即 ＝ 25 3 ——， ∴ AC ＝ 10 3 —. ∴ FC 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC. (1)如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？ (2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？ A B C E F 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 如图，在△ABC中，若BD∶DC＝CE∶EA＝2∶1，AD和BE交于F， 则AF∶FD＝________． 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 如图，AC//BD,AD、BC相交于E，EF//BD，求证： . F E D C B A 证明：∵AC//EF//BD ∴ ∴ ∴ 你还记得并联电路的总电阻的计算方法吗？ 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中 ，已知 ， ，求AC的长度． 解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线平行且间距相等，同一条直线上的三个点A,B,C都在竖格线上．若线段 ，求线段B,C的长． 解：如图，过点A作 于点，交BD于点D． ∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 如图是一座斜这桥部分结构设计示意图，索塔两侧的桥梁OA,OB关于索塔的中轴线OC对称，每侧的拉索互相平行.索塔上拉索最高索鞍(用于拉索穿过并固定的索塔装置)C到桥梁的距离OC为15m,索塔左侧部分需要承重的桥梁长度OA=40m.如果桥梁上每隔8m需要安装一根拉索，应该如何在索塔上安排索鞍? 解：由题意可知，穿过索塔左侧的拉索一共需要5根.设索塔左侧第1根拉索到第5根拉索在桥梁上的位置分别为 A1, A2 , A3 , A4 ,A,索塔上索鞍的位置分别为C₁,C₂,C₃,C₄,C. A A4 A3 A2 A1 B1 B2 B3 B4 B C C3 C1 C4 C2 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 如图是一座斜这桥部分结构设计示意图，索塔两侧的桥梁OA,OB关于索塔的中轴线OC对称，每侧的拉索互相平行.索塔上拉索最高索鞍(用于拉索穿过并固定的索塔装置)C到桥梁的距离OC为15m,索塔左侧部分需要承重的桥梁长度OA=40m.如果桥梁上每隔8m需要安装一根拉索，应该如何在索塔上安排索鞍? 因为所有拉索互相平行， 所以,即,解得OC₁=3. 由及OA₁=A₁A₂,可得C₁C₂=OC₁=3. 同理，C₂C₃=C₃C₄=C₄C=3. 因此，只要在OC之间每隔3m安排一个索鞍即可. A A4 A3 A2 A1 B1 B2 B3 B4 B C C3 C1 C4 C2 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 请阅读以下材料，并完成相应的问题． 证明角平分线分线段成比例定理，如图1， 在 中，AD平分 ，则 ． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过C作 ．交BA的延长线于E．… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： (2)结论应用：如图3，已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长. 图1 图2 图3 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过C作 ．交BA的延长线于E．… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： 图1 图2 (1)证明： ∵ ，∴ ， ， ∵AD平分∠BAC，∴ ,∴ , ∴ , ∴ ,∴ . 角的平分线定理， 要牢记，会运用. 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 (2)解：Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°， 由勾股定理： ， ∵AD平分∠BAC，∴根据角平分线定理，得 ，∴ ， 在 中， ， ∴△ABD的周长： . (2)结论应用：如图3，已知Rt△ABC中，AB=3，BC=3，∠ABC=90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长. 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 本课总结 基本模型 平行线分线段成比例 平行于三角形一边的直线被直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 基本事实 推论 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 如图，直线 分别交直线 于点A，B，C，D，E，F， 已知 ，则EF的长是（   ） A．3 B．4 C． D．6 解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ . 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 如图，在 中，点D，E分别在边 上，且 ，则下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 解：∵ ， ∴ ， ， ， ， 不能得到 ， 故只有C选项符合题意. 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为30 cm，则线段DE的长为（     ） A．15cm B．20cm C．30cm D．35cm 解：如图，∵ ，∴ ，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ， ∴DE是 的中位线，∴ ． ∵小正方形的边长为30 cm， ∴ ， ∴ ． G F 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 如图，木工师傅在加固一个三角形屋架 时，为了提高稳定性，在横梁下方加装了一根与底边平行的木条DE，分别与两边AB,AC交于点D,E．已知 ， ，则木条EC=_________． 解： ， ， ∵ ， ， ， ． 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是________． 解：如图，由题意，得： ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴点M对应的数是： . 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 (1)若 ， ，求EF的长； 如图， ，直线l1,l2与这三条平行线分别相交于点A、B、C和 点D、E、F． (1)解：∵ ， ， 又 ， ， ， ； 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 (2)若 ， ， ，求DF的长． 如图， ，直线l1,l2与这三条平行线分别相交于点A、B、C和 点D、E、F． (2) ， ， 又 ， ， ， ， ； ． 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 如图AB,CD，相交于点O， ， ， ， ，求CD的长． 解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且 DE∥BC，EF∥AB，AD∶DB＝2∶3，BC＝20 cm，求BF的长 解：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形BDEF是平行四边形，∴BF＝DE， ∵AD∶DB＝2∶3， ∴AD∶AB＝2∶5. ∵DE∥BC， ∴DE∶BC＝AD∶AB＝2∶5， 即DE∶20＝2∶5， ∴DE＝8，∴BF＝8.故BF的长为8 cm. 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 规范解答 如图，BD:DC=5:3，E为AD的中点，求BE:EF的值. A G F E D C B 解：过D作DG//CA交BF于G，则 ∵E为AD的中点，DG//AF ∴△DGE≌△AFE 则EG=EF ∴ ∴ 31.2.1(第1课时) 平行线分线段成比例 如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，BE＝AB，EM∥BD，AE与BD相交于点F.求证：＝. 证明：∵EM∥BD， ∴＝，＝， 而BD是AC边上的中线， ∴AD＝CD，∴＝. 又∵BE＝AB，∴＝. 解：过点D作DH∥BE交AC于H ∴＝＝2∴EH＝CE ∵BD∶DC＝CE∶EA＝2∶1 ∴AE＝CE＝EH，∴＝＝ $