31.2.2三角形相似的判定（第2课时）（教学课件）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦“三边成比例的两个三角形相似”“斜边和一直角边成比例的直角三角形相似”两个判定定理，通过复习旧知（两角、两边夹角判定），类比全等三角形“边边边”“斜边直角边”判定方法引导探究，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点是采用类比迁移与合作探究模式，通过猜想证明（如探究1构造全等三角形证三边成比例相似）、网格实例（例1用勾股定理求边长证相似）培养推理意识与几何直观，以表格梳理判定定理、图形语言辅助理解，帮助学生系统掌握知识，也为教师提供清晰教学流程与丰富例题。

31.2.2 三角形相似的判定（第2课时） 第三十一章 相似 人教版九年级下册 学习目标 了解相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相似；斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. 一 会综合利用相似三角形的判定定理进行证明或计算. 二 1 复习引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 相似三角形 复习引入 问题 对于三角形相似的判定，我们是如何研究的? ？ 判定 对应角相等 对应边成比例 定义 性质 一角相等 两边成比例 两角(三角)相等 两边成比例一角相等 三边成比例 两角分别相等 两边成比例且夹角相等 合作探究 探究1 类比判定三角形全等的“边边边”，三边满足什么条件的两个三角形相似?能证明你的结论吗? 三边分别相等 的两个三角形全等 如图，在△ABC和△ A′B'C′中， = = . 求证：△ABC∽△A'B'C′. 三边成比例 的两个三角形相似 猜想 证明： 如图，在△A'B'C′的边A′B′ ( 或其延长线)上截取A′D=AB，过点D 作DE//B'C′，交A'C′于点E. 根据上一节的定理，可得△A′DE∽△A′B'C′. ∴ = = ， 又 = = ，A′D=AB， ∴DE=BC，A'E=AC. ∴△A'DE≌△ABC. ∴△ABC∽△A'B'C'. 合作探究 △A'DE是联系△ABC和△A′B′C′的桥梁. 符号语言 ∵ = = ， ∴△ABC∽△A'B'C′. 合作探究 三角形相似的判定定理 （3） 三边成比例的两个三角形相似. 合作探究 三角形相似的判定定理 预备定理 判定1 判定2 判定3 根据三角形相似的判定定理可知，如果一个三角形的两角、或两边的比及其夹角、或三边的比确定了，那么这个三角形的形状也就确定了. 平行于三角形一边的直线，与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 典例分析 例1 如图，在由相同的小正方形组成的网格中，点 A，B，C，D，E都在格点上.求证：△ABC∽△CED. 分析： 根据勾股定理可以求出这两个三角形的各边长，进而可以利用三边成比例证明这两个三角形相似. 典例分析 例1 如图，在由相同的小正方形组成的网格中，点 A，B，C，D，E都在格点上.求证：△ABC∽△CED. 证明：设小正方形的边长为a，根据勾股定理， AB=a，BC=3a，AC=2a； CE=2a，ED=6a，CD=4a. ∴ = = = ， ∴ △ABC∽△CED. 合作探究 探究2 类比判定直角三角形全等的“斜边、直角边”，满足什么条件的两个直角三角形相似?能证明你的结论吗? 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 如图，在Rt△ABC和Rt△ A′B'C′中， ∠C=∠C′=90°， = . 求证：Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 猜想 证明： 设 = =k，则 AB=kA'B′，AC= kA'C′. 由勾股定理，得 BC=，B'C′=. ∴ = = = =k. ∴ = = . ∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'. 合作探究 符号语言 ∵ ∠C=∠C′=90°， = ， ∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 合作探究 三角形相似的判定定理 （4） 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. 合作探究 直角三角形相似的判定定理 1 2 3 思考 结合直角三角形相似的判定方法，你能说一说如何确定一个直角三角形的形状吗? 根据直角三角形相似的判定定理可知，如果一个直角三角形的一个锐角、或两条直角边的比、或斜边和一直角边的比确定了，那么这个直角三角形的形状也就确定了. 一个锐角相等的两个直角三角形相似 两组直角边成比例的两个直角三角形相似 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似 典例分析 例2 已知在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，则不能使两直角三角形相似的条件为（　　） A. ∠A=∠A′ B．AC:A′C′=BC:B′C′ C．AC:AB=A′C′:A′B′ D．AC:AB=B′C′:A′C′ D 典例分析 例3 如图，已知：∠ACB=∠ABD=90°，BC=3，AC=4，当BD=_________时，图中的两个直角三角形相似． 提示： 当BD:BC=AB:AC时，△ABC∽△ADB. 当BD:AC=AB:BC时，△ABC∽△DAB. 或 巩固练习 1.如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列 A、B、C、D四个图中的三角形阴影部分与△EFG 相似的是（ ） A． B． C． D． B 巩固练习 2.下列条件中，不能判定△ABC∽△A′B′C′的是（     ） A．∠A=∠A′，∠B=∠B′ B．AB:A′B′=BC:B′C′=AC:A′C′ C．AB:A′B′=BC:B′C′，且∠B=∠B′ D．AB:A′B′=AC:A′C′，且∠C=∠C′ D 巩固练习 3.下列说法不正确的是（    ） A．有一组角对应相等的两个直角三角形相似 B．有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似 C．两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 A 巩固练习 4.一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（     ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 B 解：这两个三角形相似，理由如下： ∵AB:A'B′=4:12=1:3，BC:B′C'=6:18=1:3，AC:A'C′=8:24=1:3， ∴ = = = . ∴△ABC∽△A'B'C′，相似比为 . 巩固练习 5.在△ABC与△A'B'C′中，AB=4，BC=6，AC=8，A'B′=12，B′C'=18，A'C′=24. 这两个三角形相似吗?请说明理由，如果相似，相似比是多少? 解：相似，理由如下： 设在Rt△ABC和Rt△A'B'C′中， ∠C=∠C′=90°，AB=5，BC=3，A′B′=5k，B′C′=3k， ∴AB:A′B′=1:k，BC:B′C′=1:k， ∴ = ， ∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 巩固练习 6.如果Rt△ABC的一条直角边和斜边长分别为3，5，那么一条直角边和斜边长分别为3k和5k(k是正数)的直角三角形一定与Rt△ABC相似吗?为什么? 归纳总结 三角形相似的判定定理（3） 文字语言 的两个三角形相似. 符号语言 图形语言 三边成比例 ∵ = = ， ∴△ABC∽△A'B'C′. 归纳总结 三角形相似的判定定理（4） 文字语言 的两个直角三角形相似. 符号语言 图形语言 斜边和一直角边成比例 ∵ ∠C=∠C′=90°， = ， ∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 感受中考 1.（2020年云南昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形 △ADE只算一个），这样的格点三角形一 共有（　 ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 C 感受中考 2.（2020年黑龙江大庆）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（     ） A．10+或5+2 B．15 C．10+ D．15+3 A 分析：在第一个直角三角形中， 若m是直角边，则m=， 若m是斜边，则m=5； 在第二个直角三角形中， 若n是直角边，则n=2， 若n是斜边，则n=10； 又∵两个直角三角形不相似， ∴m=5和n=10，m= 和n=2不能同时取， ∴当m=5，n=2时，m+n=5+2， 当m=，n=10时，m+n=10+. 感受中考 小结梳理 相似 相似多边形 从一般到特殊 相似三角形 相似图形 三角形相似的判定 平行线分线段成比例 预备定理 判定定理 两角分别相等 两边成比例且夹角相等 三边成比例 斜边和一直角边成比例 布置作业 必做题：习题31.2 第4(3)，7题. 1 探究性作业：习题31.2 第10题. 2 人教版九年级下册 谢谢观看！ $