31.2.1平行线分线段成比例（第1课时）（教学课件）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦“平行线分线段成比例”基本事实及推论，通过复习相似图形、相似多边形、全等三角形等知识，类比引出相似三角形判定问题，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于合作探究环节借助信息技术度量验证比例关系，发展几何直观；典例与练习融入书法、桥梁等实际情境，培养模型意识与应用意识；推理过程严谨，提升推理能力。助力学生建立知识联系，教师可高效开展教学。

null 31.2.1平行线分线段成比例 （第1课时） 第三十一章 相似 人教版九年级下册 学习目标 掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 一 利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论进行证明和计算，发展推理能力. 二 1 复习引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 复习引入 相似图形 相似图形 的图形叫作相似图形 相似 多边形 两个边数相同的多边形，如果它们的 ， . ，那么这两个多边形叫作相似多边形. 相似比 相似多边形 叫作相似比. 相似符号 相似用符号“ ”表示，读作“ ”. 相似多边形的性质 相似多边形的 ， . 成比例 线段 对于四条线段a，b，c，d，如果其长度的比满足 ， 我们就说线段a，b，c，d成比例. 形状相同 角分别相等 角的对应 边成比例 对应边的比 ∽ 相似于 = (即ad=bc) 对应角相等 对应边成比例 复习引入 相似 相似图形 相似多边形 从一般到特殊 相似三角形 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，角的对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形. 两个三角形，如果它们的三个角分别相等，三条边成比例，那么这两个三角形叫作相似三角形. 概念 性质 判定 应用 概念 性质 判定 应用 复习引入 类比 全等三角形 相似三角形 对应边成比例 对应角相等 一般情况 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段是否成比例. 合作探究 探究1 如图，利用信息技术工具，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2 都相交的平行线l3，l4，l5，三条平行线在l1上截得的线段分别为AB，BC，AC，在l2上截得的线段分别为 DE，EF，DF. 度量上述线段的长度，哪些线段成比例? 合作探究 探究1 平移l3或l4或l5，它们依然互相平行，你得到的结论还成立吗? 信息技术验证 符号语言 ∵l3∥l4∥l5， ∴ = ， = ， = . 合作探究 平行线分线段成比例 的基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 合作探究 探究2 进一步地，平移图中的直线l2, 使点D与点A重合，或者点E与点B重合，得到如图所示的两种情况. 把l4看成平行于△ACF 的边CF的直线 把l3看成平行于△BCF 的边CF的直线 →对应线段成比例 →对应线段成比例 合作探究 平行线分线段成比例 的基本事实的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 合作探究 溯源 平行线分线段成比例的基本事实是研究三角形相似判定的重要基础.早在公元前300年左右，古希腊的数学名著《原本》中就有上述基本事实的推论，出现在卷VI的命题2中. 典例分析 例1 如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD=2，BD=3，则AE:AC的值是（    ） A． B． C． D． A 典例分析 例2 如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段BC=12 cm，则线段AB的长为__________． 6 cm 典例分析 例3 如图是一座斜拉桥部分结构设计示意图，索塔两侧的桥梁 OA，OB 关于索塔的中轴线OC对称，每侧的拉索互相平行.索塔上拉索最高索鞍(用于拉索穿过 并固定的索塔装置) C到桥梁的距离OC为 15 m，索塔左侧部分需要承重的桥梁长度OA=40 m. 如果桥梁上每隔8 m需要安装一根拉索，应该如何在索塔上安排索鞍? 解：由题意可知，穿过索塔左侧的拉索一共需要5根.设索塔左侧第1根拉索到第5根拉索在桥梁上的位置分别为A₁，A₂，A₃，A₄，A，索塔上索鞍的位置分别为C₁，C₂，C₃，C₄，C. 因为所有拉索互相平行，所以 = ， 即 = ，解得OC₁=3. 由 = 及OA₁=A₁A₂, 可得C₁C₂=OC₁=3. 同理，C₂C₃= C₃C₄= C₄C=3. 因此，只要在OC 之间每隔3 m安排一个索鞍即可. 典例分析 巩固练习 1.图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中AB∥CD∥EF，已知CE=45 cm，BD:DF=4:5，则AC的长度是（     ）. A．30 cm B．36 cm C．45 cm D．56.25 cm B 巩固练习 2.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边BA、CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（    ） A． B．1 C． D． B 巩固练习 3.如图，在矩形ABCD中，若AB=3，AC=5，AF:FC=1:4，则AE的长为_______． 1 解：在矩形ABCD中， AD∥BC ，∠ABC=90°， ∴AE:BC=AF:FC=1:4， BC===4， ∴AE:4=1:4， ∴AE=1． 巩固练习 4.如图，AB//CD//EF，点C在BE上，点D在AF上 ，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5. 求BC:CE的值. 解：∵AG=2，GD=1， ∴AD=AG+GD=3. ∵AB//CD//EF， ∴BC:CE=AD:DF=. 巩固练习 5.如图，在△ABC中 ，D是AB的中点，DE//BC，交AC于点E. 求证：AE=EC. 解：∵ D是AB的中点， ∴AD=DB. ∵DE//BC， ∴AE:EC=AD:DB=1， ∴AE=EC. 归纳总结 平行线分线段成比例 基本事实 两条直线被 所 截，所得的对应线段 . 基本事实的推论 平行于三角形一边的直线截 ，所得的对应线段成比例. 一组平行线 成比例 其他两边(或两边的延长线) 感受中考 1.（2025年四川雅安）如图，直线l1∥l2∥l3分别交直线l4，l5于点A，B，C，D，E，F，已知AB=2，BC=4，DE=3，则EF的长是（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．6 D 感受中考 2.（2023年江苏常州）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 这一画图过程体现的数学依据是 . 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 解：由作法可知，CE=AD=2， ∵DE∥BC， ∴AD:BD=AE:CE， ∴2:1=AE:2， ∴AE=4． 感受中考 3.（2026吉林）如图，在△ABC中，AC>AB，点D为边AB上一点，AD=2，BD=1．以点C为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，连接DE．若DE∥BC，则AE=________． 4 感受中考 4.（2026年内蒙古）如图，等边三角形纸片ABC的边长为10，点E，F分别为AB，AC边上的点．将∠BAC沿EF折叠，若点A恰好落在该纸片BC边的中点D处，则四边形EBDF的周长是________． 解：如图，连接AD交EF于点O， ∵△ABC是等边三角形，边长为10，∴AB=BC=AC=10， ∵点D是BC边的中点，∴BD=CD=BC=5，AD⊥BC． 由折叠的性质可知， OA=OD，AE=DE，AF=DF，AD⊥EF， ∴EF∥BC，∴AE:BE=AF:CF=OA:OD=1， ∴AE=BE=AB=5，AF=CF=DF=AC=5， ∴EF=BC=5， ∴四边形EBDF的周长=BD+DF+EF+BE=5+5+5+5=20． 感受中考 小结梳理 相似 相似多边形 从一般到特殊 相似三角形 相似图形 三角形相似的判定 平行线分线段成比例 布置作业 必做题：习题31.2 第1，2题. 1 探究性作业：习题31.2 第14题. 2 人教版九年级下册 谢谢观看！ $