31.1 图形的相似（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级下册

sin2θ+cos2θ=1 人教版(新教材) 九年级下册 第三十一章 相似 31.1 图形的相似 31.1 图形的相似 看看这面独特的“蜂窝”形外墙，看看你能发现什么？ 31.1 图形的相似 看看这面独特的“蜂窝”形外墙，看看你能发现什么？ 墙上有很多六边形的玻璃，大大小小的. 它们大小不一样，但形状完全一项. 它们是全等图形吗？ 31.1 图形的相似 思考 观察以上实例，你发现它们有什么相同点和不同点？ 两个正方体纸盒 两个地球仪 31.1 图形的相似 思考 观察以上实例，你发现它们有什么相同点和不同点？ 木塔和模型 两个足球 31.1 图形的相似 思考 观察以上实例，你发现它们有什么相同点和不同点？ 中国结 不同型号的文字 相似图形 相似图形 相似图形 相似图形 31.1 图形的相似 我们把形状相同的图形叫做相似图形. 相似图形 注意 1.“形状相同”是判定相似图形的唯一条件. 2.两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关. 3.两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到. 31.1 图形的相似 思考 判断：以下例子中有相似吗？ 放大镜放大物品前后 打印机打出照片 投影仪 31.1 图形的相似 归纳总结 能够完全重合的两个图形叫做全等形. 概念： 全等图形 我们把形状相同的图形叫做相似图形. 概念： 相似图形 全等图形与相似图形的关系 全等形是相似图形的一种特殊形式 相似图形 全等形 当两个图形的形状相同、大小也相同时，它们是全等图形，全等图形是相似图形的特殊情况，即全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形，只有相似图形的大小相同时，它们才全等. 31.1 图形的相似 思考 如图，在上、下两行的图形中，把你认为是相似图形的用线连起来． 31.1 图形的相似 思考 观察下面的相似图形，其中一个图形是由另一个图形怎样变化得到的？ 两个图形________，其中一个图形可以看作由另一个图形__________得到. 即：两个图形__________，其中____________可以由____________的图形 __________________得到. 放大或缩小 相似 相似 较大（小） 较小（大） 放大（缩小） 31.1 图形的相似 规范解答 如图，在正方形网格图内，延长AB到点E，延长AD到点F，使AE=2AB, AF=2AD,以AE，AF为邻边作 ． 与 是相似图形吗？ 为什么？ 解：它们是相似图形．理由如下： ∵四边形ABCD、四边形AEGF是平行四边形， ∴ 31.1 图形的相似 规范解答 如图，在正方形网格图内，延长AB到点E，延长AD到点F，使AE=2AB, AF=2AD,以AE，AF为邻边作 ． 与 是相似图形吗？ 为什么？ ∴ ， ∵ ， ， ∵ ， , ∴ ， ∴ ， ∴它们是相似图形． 31.1 图形的相似 两个边数相同的多边形，若它们的角分别相等、角的对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形对应边的比叫作相似比. 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. 相似多边形 A E D C B A’ B’ C’ D’ E’ 如图，若 ∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’, ∠D=∠D’, ∠E=∠E’ = = = = 则五边形ABCDE∽五边形A’B’C’D’E’. 31.1 图形的相似 相似多边形 求相似比或利用相似比解答问题时， 一定要注意两个相似多边形的先后顺序. 判定相似多边形的条件： 1.边数相同； 2.所有的角分别对应相等； 3.所有的边对应成比例. 注意 31.1 图形的相似 思考 任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正n边形呢？ a1 a2 a3 an … … a1 a2 a3 an 已知等边三角形的每个角都为60°，三边都相等.所以满足对应角相等，以及对应边的比相等. 同理，任意两个正方形都相似.任意两个边数相等的正多边形都相似. 31.1 图形的相似 线段成比例 1. 线段的比：在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比. 2. 四条线段成比例：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如 (即ad=bc)，我们就说这四条线段成比例. 四条线段成比例时，要把这四条线段按顺序排列，不能随意颠倒. 判断四条线段是否成比例，首先统一单位，然后将这四条线段按长度的大小顺序排列，计算出前两条线段的比值和后两条线段的比值，判断它们是否相等即可. 31.1 图形的相似 线段成比例 外项 外项 内项 内项 a ：b = c ：d 外项 内项 也可写成： （比例式） 31.1 图形的相似 比例的相关性质 (1)比例的基本性质： ↔ad=bc(a，b，c，d ≠ 0)； (2)合比性质： ↔ ； (3)等比性质： (b+d+…+n≠0) ↔ (bd…n≠0). 31.1 图形的相似 规范解答 判断下列线段是不是成比例线段： (1) ； (2) ． 解：(1)解：线段a,b,c,d是成比例线段．由题意，得 ， ， ∵ ， ， ， ∴ 线段a,b,c,d是成比例线段； (2)解：线段a,b,c,d是成比例线段．∵ , ∵ ， ， ， ∴ 线段a,b,c,d是成比例线段． 31.1 图形的相似 思考 解：∵ ，∴甲和乙不相似； ∵ ，且甲和丙都是矩形，四个角都相等，∴甲和丙相似； ∵ ，∴乙和丙不相似． 下列三个矩形相似吗？为什么？ 31.1 图形的相似 思考 1.这两个多边形相似吗？ 2.在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？ 3.在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？ A1 B1 C1 D1 E1 F1 A B C D E F 31.1 图形的相似 相似多边形的对应边成比例，对应角相等. 相似多边形的性质 (1)相似比与两个多边形的先后顺序有关. (2)相似多边形的定义可用来判断两个多边形是否相似. (3)相似多边形的性质常用来求相似多边形未知边的长度或未知角的度数. 注意 31.1 图形的相似 规范解答 如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求角α，β的大小和EH的长度 x. 解：(1)∵ 四边形ABCD∽四边形EFGH, ∴ 它们的对应角相等．由此可得 ∴α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°, 在四边形ABCD中， β＝360°− ∠A − ∠B − ∠C＝81°. (2)∵ 四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴ 它们的对应边成比例,由此可得 ∴ 解得 x=28. 31.1 图形的相似 规范解答 解:设缩小后的宽是x cm， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴ ， 解得 ， ∴缩小后的宽是4 cm， ∴缩小后的矩形的面积为10×4=40 cm2． 如图，王老师利用复印机将一张长为20 cm，宽为8 cm的矩形等比例缩小，缩小后矩形的长为10 cm，求缩小后矩形的面积. 31.1 图形的相似 规范解答 解：∵四边形ABCD，EFGH均为正方形， ∴ ， ∵ ， ∴ 为等腰直角三角形， ， ∴ ， 为等腰直角三角形， ∴ ，∴ ， 同理 ，∴ ，∴正方形ABCD与正方形IJKL的相似比是 ． 敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于☉O的正方形ABCD，正方形EFGH，正方形IJKL以45度角交错套叠而成，其中 ，求正方形ABCD与正方形IJKL的相似比. 31.1 图形的相似 规范解答 如图1是古希腊时期的巴台农神庙，将图1中的虚线画成如图2所示的矩形ABCD，当以矩形ABCD的宽AB为边作正方形ABEF时， 发现矩形DFEC∽矩形ABCD，求 的值． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴ ，∵四边形是正方形，∴ ， ∴ ，∵矩形DFEC∽矩形ABCD，∴ ，∴ ， 设 ，∴ ，即 ， 解得 或 （不符合题意，舍去）， 经检验， 是所列方程的解，∴ ． 31.1 图形的相似 规范解答 如图，一块矩形草坪长30 m、宽20 m，外围有等宽（宽度为2 m）的小路． (1)内外两个矩形相似吗？ (1)解：小路内外边缘形成的两个矩形不相似， 由题意得，小路外边缘矩形的长34 m、宽24 m， ∵ ， ∴小路内外边缘形成的两个矩形不相似． 31.1 图形的相似 规范解答 (2)解：如图，设相邻两条小路的宽度分别是x m和y m． ∵相对两条小路的宽度相等， ， ． ∵矩形EFGH与矩形ABCD相似， ， ， ， ∴相邻两条小路宽度的比值为 ． 如图，一块矩形草坪长30 m、宽20 m，外围有等宽（宽度为2 m）的小路． (2)要使内外两个矩形相似，相邻两条小路的宽度不相等，并且相对两条小路的宽度相等，仍保证外矩形的横向边为较长边，求相邻两条小路宽度的比值． 31.1 图形的相似 本课总结 相似 多边形 图形的相似 1、相似图形的关系：放大或缩小. 2、全等与相似的关系：全等是特殊的相似. 3、相似具有传递性. 形状相同的图形 概念 性质 对应角相等，对应边成比例 相似多边形对应边的比叫做相似比 31.1 图形的相似 规范解答 下列图形不是相似图形的是( ) A. 同一底版打印出来的两张大小不同的照片 B. 用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案 C. 某人的侧身照片和正面照片 D. 大小不同的两张同版本的中国地图 解：用“排除法”：B 符合相似图形之间的关系； A，D 符合相似图形的定义， 因此A，B，D 都是相似图形；故选C. 31.1 图形的相似 规范解答 下列各组线段的长度成比例的是（ ） A．6cm、2cm、1cm、4cm B．4cm、5cm、6cm、7cm C．3cm、4cm、5cm、6cm D．6cm、3cm、8cm、4cm 解：对于D选项 ∵ = =2 ∴四条线段成比例. 而其他选项中的线段不满足此关系，故选D. 31.1 图形的相似 规范解答 解：由题意得 ， 解得a=2． 如图所示的甲、乙两个平行四边形相似，则a的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 31.1 图形的相似 规范解答 解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似， ∴它们的相似比是 ． 如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似（点A与点E、点B与点F、点C与点G、点D与点H分别是对应点），且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是( ) A．1:2 B．1:4 C．2:1 D．4:1 31.1 图形的相似 规范解答 如图，已知 ，且相似比为k，那么直线 的图象必定经过________象限． 解：∵ ，其相似比为k， ∴ ， ∴直线 的解析式为 ， ∵ ， ， ∴该直线的图象必定经过一、三、四象限． 31.1 图形的相似 规范解答 (1)解：设 ， ， ． ∴ ． 已知 ． (1)求 的值；(2)若 ，求 的值． (2)解：由(1)得 ，解得 ， ， ， ， ． 见比例式，先设k； 列出方程，再解k； 最后回代，求字母. 31.1 图形的相似 规范解答 如图，有一块长3 m，宽1.5 m 的矩形黑板ABCD，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm. 边框的内边缘所形成的矩形ABCD 与边框的外边缘所形成的矩形EFGH 相似吗？为什么？ 解：不相似. 理由如下： ∵在矩形ABCD 中，AB=1.5 m，AD=3 m， 镶在其外围的木质边框宽7.5 cm=0.075 m， ∴ EF=1.5+2×0.075=1.65(m)， EH=3+2×0.075=3.15(m). ∴边框的内边缘所形成的矩形ABCD 与边框的外边缘所形成的矩形EFGH 不相似. 31.1 图形的相似 规范解答 如图，梯形ABCD 与梯形A′B′C′D′相似，AD ∥ BC，A′D′∥ B′C′， ∠ A= ∠ A′，AD=4，A′D′=6，AB=6，B′C′=12，∠ C=60°. (1)求梯形ABCD 与梯形A′B′C′D′的相似比k； (2)求A′B′和BC 的长； (3)求∠ D′的大小. 解：(1)相似比k= (2)∵梯形ABCD 与梯形A′B′C′D′相似， 且由(1)知相似比 ∵ AB=6，B′C′=12，∴ A′B′=9，BC=8. (3)由题意知，∠ D′= ∠ D. ∵ AD ∥ BC，∠ C=60°，∴∠ D=180°−∠ C=120°，∴∠ D′=120°. 31.1 图形的相似 $