31.2.1平行线分线段成比例（第1课时）课件 2026-2027学年人教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦平行线分线段成比例定理及推论，通过合作探究让学生度量、平移平行线截得的线段，发现对应线段成比例规律，衔接图形相似性质，为三角形相似判定搭建学习支架。 其亮点在于以探究活动培养几何直观（数学眼光），通过相似三角形引理的逻辑证明发展推理意识（数学思维），分层练习结合符号语言强化模型意识（数学语言）。如“练一练”中比例式正误判断，课堂小结系统梳理知识，助力学生提升探究与解题能力，为教师提供清晰教学逻辑与分层资源。

人教版数学九年级下册31.2.1平行线分线段成比例专项练习 ## 核心知识点梳理 平行线分线段成比例定理是相似几何体系的重要基础，承接图形相似的基本性质，为三角形相似的判定提供核心依据。其基础定理内容为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。该定理的适用条件是存在一组互相平行的直线，且有两条直线与这组平行线相交，截得的线段严格遵循对应成比例的规律，与截线的倾斜角度、长短无关。 由基础定理可推导得出两大重要推论，是解题高频考点。推论一：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。推论二：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。解题常用比例模型包括“A字型”和“X字型”，是几何计算与证明的经典模型，需熟练掌握线段对应关系。 定理核心比例规律：若一组平行线在一条直线上截得的线段之比为m:n，则在任意一条截线上截得的对应线段之比均为m:n，同时满足“上比下、上比全、下比全”三种比例关系，灵活切换比例式是解题关键。 ## 易错点专项点拨 1. 误区：任意两条直线被平行线截得的线段都成比例。纠错：必须是对应线段成比例，非对应线段无比例关系，做题时需精准匹配平行线间的对应截线段，避免线段错位。 2. 误区：三角形中任意平行线段都能直接套用比例公式。纠错：平行线必须平行于三角形的一条边，且截另外两条边（或延长线），不满足位置条件无法使用定理。 3. 误区：比例式中线段长短影响比值大小。纠错：比例仅与平行线分割的线段份数有关，与线段实际长度无关，无需凭借线段长短判断比例关系。 ## 分层专项练习题（含解析） ### 一、基础选择题（每题5分，共30分） 1. 已知一组平行线截两条直线，截得的一组对应线段分别为4cm和6cm，则剩余对应线段的比值为（ ） A. 2:3 B. 3:2 C. 4:10 D. 6:10 解析：选A。根据平行线分线段成比例定理，对应线段比值恒定，4:6化简为2:3。 2. 在△ABC中，DE∥BC，交AB、AC于D、E，若AD:DB=1:2，则AE:EC的值为（ ） A. 1:3 B. 2:1 C. 1:2 D. 3:1 解析：选C。由三角形平行线分线段成比例推论，DE∥BC可直接得AD:DB=AE:EC=1:2。 3. 下列说法正确的是（ ） A. 两条直线被三条直线所截，对应线段一定成比例 B. 平行于三角形一边的直线截两边，对应线段成比例 C. 线段成比例则对应直线一定平行 D. 任意三角形内线段均可套用比例定理 解析：选B。A错误，需三条直线互相平行；C错误，线段成比例不能逆推直线平行；D错误，需满足平行线位置条件。 ### 二、基础填空题（每题6分，共30分） 4. 两条直线被一组平行线所截，________成比例。 答案：所得的对应线段。 5. 在△ABC中，DE∥BC，AD=3，AB=9，则AD:AB=________，AE:AC=________。 解析：AD:AB=3:9=1:3，由定理得AE:AC=AD:AB=1:3。答案：1:3、1:3。 6. 已知三条平行线截直线l1得线段长2cm、5cm，截直线l2的上段线段长4cm，则下段线段长________cm。 解析：设下段长x，由2/5=4/x，解得x=10。答案：10。 ### 三、解答题（每题20分，共40分） 7. 如图，直线l1∥l2∥l3，两条截线分别交三条平行线于A、B、C和D、E、F，已知AB=6，BC=4，DF=15，求DE和EF的长。 解答：由平行线分线段成比例得AB/BC=DE/EF，设DE=x，EF=15-x，代入得6/4=x/(15-x)，化简6(15-x)=4x，90-6x=4x，解得x=9。因此DE=9，EF=6。 8. 在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且DE∥BC，已知AD=4，DB=8，AC=12，求线段AE、EC的长度。 解答：∵DE∥BC，∴AD/AB=AE/AC。AB=AD+DB=12，设AE=y，可得4/12=y/12，解得y=4。EC=AC-AE=12-4=8。即AE=4，EC=8。 ## 专项总结 平行线分线段成比例的核心解题逻辑是“找平行、定对应、列比例、求未知”，解题首要步骤是识别平行线组与对应截线段，杜绝线段匹配错误。重点掌握三角形中A字型、X字型比例模型，熟练切换“部分比部分”“部分比整体”两种比例形式。该定理是连接平行线与相似三角形的桥梁，扎实掌握比例计算与逻辑推导，能为后续相似三角形的判定、边长及面积计算奠定坚实基础。 人教版（新教材）数学九年级下册 31.2.1平行线分线段成比例（第1课时） 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/16 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第三十一章 相似 平行线分线段成比例的基本事实 如图，任意画两条直线 l1，l2，再画三条与 l1，l2 都相交的平行线 l3，l4，l5. 分别度量在 l1 上截得的两条线段 AB，BC 和在 l2 上截得的两条线段 DE，EF 的长度. 合作探究 A C E B D F l4 l5 l1 l2 l3 (1) 计算 的值，它们相等吗？ 探究新知 A C E B D F l4 l5 l1 l2 l3 (2) 任意平移 l5，重复上述操作，度量 AB，BC，DE，EF，同（1）中计算，它们还相等吗？ 探究新知 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言： 归纳： 若 l3∥l4∥l5，则 ， ， ， A B C D E F l4 l5 l3 l2 l1 探究新知 如图，已知 l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是 ( ) A. B. C. D. D 练一练 A C E B D F l2 l1 l3 探究新知 返回 1．[2025佛山月考]如图，在正方形网格上△ABC∽△EDF，则∠BAC的度数为(　　) A．105° B．115° C．125° D．135° D 举一反三 6 返回 2．如图，已知l1∥l2∥l3，直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，那么下列比例式正确的是(　　) A 举一反三 7 返回 3．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是(　　) C 举一反三 8 如图，直线 a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，若把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段是否依然成比例？ 平行线分线段成比例的推论 观察与思考 A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 探究新知 A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 若把直线 n 向左平移到 B1 与 A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段. 若把图中的部分线条擦去，得到如图所示的新图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A1(B1) A2 A3 B2 B3 ( ) 探究新知 A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 若把直线 n 向左平移到 B2 与 A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段. 若把图中的部分线条擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A2(B2) A1 A3 B1 B3 ( ) 探究新知 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. A1(B1) A2 A3 B2 B3 A2(B2) A1 A3 B1 B3 归纳： 探究新知 如图，DE∥BC， ，则 ； 若 FG∥BC， ，则 . 练一练 A B C E D F G 探究新知 例 如图，在△ABC中，EF∥BC. (1) 如果 E、F 分别是 AB 和 AC 上的点，AE = BE = 7， FC = 4，那么 AF 的长是多少？ A B C E F 典例精析 解：∵ EF∥BC，∴ ∴ ， 解得 AF = 4. 探究新知 (2) 若 AB = 10，AE = 6，AF = 5，则 FC 的长是多少？ 解：∵ EF∥BC，∴ ∴ ， 解得 AC = . ∴ FC = AC－AF = A B C E F 探究新知 如图，DE∥BC，AD = 4，DB = 6，AE = 3，则 AC = ；若 FG∥BC，AF = 4.5，则 AG = . A B C E D F G 练一练 7.5 6 由 ,可得到 CE 的长 可以通过 ，得到 AG 的长 探究新知 如图，在△ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E. 问题 1 △ADE 与△ABC 的三个内角分别相等吗？ 问题 2 分别度量△ADE 与△ABC 的边长， 它们的边长是否对应成比例？ B C A D E 判定相似三角形的引理 合作探究 探究新知 我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽ △ABC，但要用相似的定义去证明它，我们 需要证明什么？ 问题 3 你认为△ADE 与△ABC 之间有什么关系？平行移动 DE 的位置，你的结论还成立吗？ 通过度量，我们发现△ADE∽△ABC， 且只要 DE∥BC，这个结论恒成立. B C A D E 想一想： 由所学的定理，我们可以证出哪些结论？还需证明什么？ 探究新知 而除了 DE 外，其他的线段都在 △ABC 的边上，要想利用前面学到的结论来证明 三角形相似，可以怎样做呢？ 由所学的定理可得 ，需要证明的是 可以将 DE 平移到 BC 边上去 B C A D E 探究新知 证明：在△ADE 与△ABC 中，∠A =∠A. ∵ DE∥BC，∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. 如图，过点 E 作 EF∥AB，交 BC 于点 F. C A B D E F 如图，DE∥BC，用相似的定义证明△ADE∽△ABC. ∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴ ， ， 且四边形 DEFB 为平行四边形． ∴ DE = BF. ∴△ADE∽△ABC. ∴ 探究新知 20 由此我们得到判定三角形相似的一个定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似. 探究新知 三角形相似的两种常见类型： “A ”型 “X ”型 D E A B C A B C D E 探究新知 随堂演练 基础巩固 1.如图，DE∥BC， ，则 （ ） A. B. C. D. B 当堂检测 2.如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. A 当堂检测 3.如图，△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA. （1）写出对应边的比例式； （2）写出所有相等的角； （3）若AB=10，BC=12，CA=6，求AD、DC的长. 综合应用 当堂检测 解：（1） . （2）∠BAC=∠CDA，∠B=∠ACD，∠ACB=∠DAC; （3）由（1）中的结论和已知条件可知 求得AD=3，DC=5. 当堂检测 返回 A 举一反三 27 返回 5．折叠花架因设计巧妙、充分利用空间、灵活收纳等功能受到人们的喜爱．如图是一个三层折叠花架，已知AB∥CD∥EF，AC＝30 cm，CE＝50 cm，BD＝45 cm，则BF的长为________． 120 cm 举一反三 28 6．[2025北京海淀区一模]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D．点E在线段AD上，DE＝CD．连接BE并延长交⊙O于点F． (1)求证：∠CBE＝2∠BAC； 举一反三 29 【证明】如图，连接BD，设∠BAC＝α． ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴BD⊥CE． 又∵CD＝DE，∴BC＝BE．∴∠BEC＝∠C． ∵∠ABC＝90°， ∴∠C＝90°－∠BAC＝90°－α． ∴∠BEC＝90°－α． ∴∠CBE＝180°－∠C－∠BEC＝180°－(90°－α) －(90°－α) ＝2α．∴∠CBE＝2∠BAC． 举一反三 30 (2)连接OD交BF于点G．若EF＝2EG，CD＝3，求⊙O的半径． 【解】如图，连接AF． 由(1) 可知∠CBE＝2α．∵∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝∠ABC－∠CBE＝90°－2α． ∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠BAC＝α， ∴∠BOD＝2∠BAC＝2α．∴∠DGE＝∠BGO＝90°． ∵AB是⊙O的直径，∴∠F＝90°． ∴∠F＝∠BGO． ∴OD∥AF． 举一反三 31 举一反三 32 返回 举一反三 33 7．如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l1，l3，l4，l2上，直线l1∥l2∥l3∥l4且相邻两直线间距离相等．若AB＝6，BC＝4，则l2，l3之间的距离为(　　) C 举一反三 34 D 举一反三 35 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. ◑推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. ◑判定相似三角形的引理 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. ◑基本事实 平行线 分线段成比例 课堂小结 36 36 谢谢观看 THANKS A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ A． B．1 C． D．2 4．[2025广州海珠区模拟]在△ABC中，点M在边AB上，且AM＝AB，根据如图所示的作图痕迹，一定可以推出的结论是(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ ∴△OBG∽△ABF．∴＝＝． ∵OD∥AF，∴△DGE∽△AFE．∴＝． ∵EF＝2EG，∴＝．∴OG＝DG． ∵∠BGO＝90°， ∴DB＝OB． ∵OB＝OD，∴DB＝OB＝OD．∴△OBD是等边三角形． ∴∠OBD＝60°．∴易知∠DBE＝30°． ∵DE＝CD＝3，∠BDE＝90°，∴BE＝2DE＝6． ∴BD＝＝＝3． ∴OB＝3，即⊙O的半径为3． A．5 B． C． D． 8．[2025宜宾]如图，O是坐标原点，反比例函数y＝－(x>0)的图象与直线y＝－2x交于点A，点B在y＝－(x>0)的图象上，直线AB与y轴交于点C．连接OB．若AB＝3AC，则OB的长为(　　) A． 　　B． C． 　　D． $