第三章 图形的相似（单元自测卷·深圳专用）数学新教材北师大版九年级上册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（深圳专用） 第三章图形的相似 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.下列四条线段不成比例的是() 6 A.3,6,24 B. ,8,5,15 C.5,2,3V2 D.1N2,N5,V6 【详解】解：对于选项A:线段排序为2,3,4,6,2×6=3×4=12，.四条线段成比例，不符合题意： 8 8 对于选项B:线段排序为3,5,8,15，：×15=5×8=40，六四条线段成比例，不符合思意 对于选项C:线段排序为2，N523,万×3=32,2×5=25,32≠25，六四条线段不成比例. 符合题意； 对于选项D:线段排序为 256.1x6=2×5=6 六四条线段成比例，不符合题意： 故选：C AC 3 2.如图(1)是一个置物架，它的侧面可以抽象为图(2)，若AB‖CD‖EF，CE4,DF=40cm’则 BD的长为() 图(1) 图(2) A.20cm B.30cm C.40cm D.50cm 【详解】解：AB‖CD‖EF, BD AC 3 ∴DF=CE4: 1/26 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .DF 40cm, 解得BD=30cm, 故选B 3,华为MateXT非凡大师是全球首款三折叠屏手机，其折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的矩 AD 形，如图所示是展开后的示意图，则AB的值为() A.2 B.2 C.3 D.5 【详解】解：设AB=a,BF=b,则EF=HG=CD=AB=a 折叠， :.BF=FG=CG=b,BC=AD=3b 折叠前矩形为ABCD,其中AB=a,AD=3b, 折叠后矩形为ABFE,其中BF=b,AB=a, ,折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的矩形， AB AD a 3b ·BF=AB,即6a, a=V36 AD 3b3b =5 .ABa√3b 故选：C 4.如图，在△ABC中，∠A=80°，AB=8,AC=6，,将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形 与△ABC不相似的是() 2/26 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 4 【详解】解：选项A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意： 选项B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意： 选项C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意： 选项D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意， 故选：C 5.如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE:EC-3:2,连接AE交BD于点F,则△DEF与 △BAF的面积之比为() A.2:5 B.3:5 C.9:25 D.4:25 【详解】.四边形ABCD为平行四边形， ∴CDAB, ∴△DEF△BAF. DE:EC-3:2, DE 33 .BA3+25’ 3/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 SDEE=（ 9 S.BAF BA 25 故选C. 6.如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件，使其一 边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上，则这个正方形零件的边长为() K H A.24mm B.36mm C.40mm D.48mm 【详解】解：，正方形EFGH的FG边在BC上， .EHI‖BC .EH=EF=KD △AEHP△ABC, EH AK BC AD' EH 80-EH 12080 ..EH =48mm, .这个正方形零件的边长为48mm, 故选D. 7.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形，已知点 B(3,0),E(9,0),F(9,6 ,则点C的坐标为() 4/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D B E A.(2,3) B.(32) C.43) D.(4,2) 【详解】解：…B(3,0),E(9,0）) .OB=3,OE=-9 :正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形， OB 3 1 位似比为0Eg3: ：F(9) C(3,2) 故选B. EF 8,如图，菱形ABCD中，∠D=60,点E在边CD上，BE交AC于点R,若∠BEC=45,则BF的值是 2-V2 √2-1 2-5 V5-1 A.2 B.2 C.2 D.2 【详解】解：过点B作BT⊥DC的延长线，如图所示： 5/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D :四边形ABCD是菱形， .AB=CB,AD II CB,ABII DC. ,∠D=60°， .∠BCT=∠D=60°， :BT⊥DC的延长线， ∴.∠CBT=30°， 则7c, .c-cr-ec-ncc :∠BEC=45°，BT⊥DC的延长线， ∴.△ETB是等腰直角三角形， .ET=BT= BC 2· 则CE=E7-CT=5aC 38c-8c-5-1nc 2 2 2 AB∥DC, ∠BAF=∠ECF,∠ABF=∠CEF △BAFP△ECF, EF CE 2 BC3-1 BF AB BC 2 故选：D. 6/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.若a+64则的值为一 【详解】解：之a46=, 4a=3(a+b) .4a=3a+3b,即a=3b, =3 :.b 故答案为：3. 10.如图，矩形护栏ABCD中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（相邻钢条间距相等，钢条粗细不 计)，连接AC交第一根钢条于点E,连接DE并延长交AB于点F,若AB=60Cm,则AF的长度为 cm 【详解】解：如图，矩形护栏ABCD中，AB=60cm, ∴.AB∥CD,AB=CD=60cm ∴.△AEH∽△CEG,△AEF∽△CED 、AEAH1 CECG4 AF AE 1 CD CE4, :.AF=CD=15em, 4 故答案为：15 11.鹦鹉螺是一类古老的软体动物.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最 美的鬼斧神工.如图，P是AB的黄金分制点MP>BP）,若线段4P的长为6cm,则BP的长为一cm 7/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (结果保留根号) 【详解】解：：P是AB的黄金分割点 AP>BP)AP=6cm AP 5-1 .AB2, :AB=(3N5+3)em BP=AB-AP=3W5+3-6=(35-3cm 3W5-3 故答案为： 12.如图，8个面积为1的小正方形组成了L型，则矩形ABCD的周长为一 B 【详解】解：小正方形的面积为1， .小正方形的边长也为1 设BE=x,CE=y, :∠AEB+∠CEF=90°，∠EFC+∠CEF=90° ∴.∠AEB=∠EFC ∠B=∠C=90°，AE=EF=4 :△ABE≌△ECF(AAS) .AB=EC=y BE=CF=x “由勾股定理可得 2+y2=42 8/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理可得∠EFC=∠FGD,且∠C=∠D=90° .△ECF∽AFDG EC CF EF 4 ∴.FD DG FG2 1 ..FD= 2y, AB=CD 1 :.y=x+7y ∴.y=2x ,将其代入 2+y2=42 中 45 85 可得=5， y= 5(负值舍去)， 所以矩形ABCD的周长=2(6x+)+2y=5y=5×85 85 8V5 故答案为： 13.如图，菱形ABCD绕点A旋转得到菱形AB'CD,点B在BC上，B'C'交CD于点P.若AB=6, BB=4,则CP的长为 D' A B'C 【详解】解：如图，过点C作CE∥AB交B'P于点E, 9/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D 菱形 ABCD .AD=CD=BC=AB=6,∠ADC=∠B, .B'C=BC-BB'=6-4=2, 由旋转的性质得，AB'=AB=AD=AD'=6,∠AB'C'=LB,∠BAB'=∠DAD,∠AD'C'=∠ADC, :△ADD'≌△ABB'(SAS)∠AB'B=∠B」 ∴.DD'=BB'=4,∠AD'D=∠ABB, ∠AD'D=∠AD'C', ..D',D,C 三点共线， 菱形ABCD, .C'D'=AB'=6. .C'D=C'D'-DD'=6-4=2, :CE∥AB', ∴.∠B'EC=∠AB'C'=∠B 又：∠AB'C'+∠EB'C=∠AB'C=∠B+∠BAB', ∠EB'C=∠BAB', ∴.△B'EC∽△ABB', CE B'C 2 1 BB'AB'6 3 4 、、CE1BB一↑ CE∥AB,AB∥C'D', CE∥C'D', .△CEPn△DC'P, 10/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 CP=CE=3-2 DP C'D 2 3 CP CP 22 CD CP+DP 2+3 5 2 12 :CP=2cD=2x6=号 5 5 5· 12 故答案为：5· 三、解答题（共7小题，共61分） 14.(7分)如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，且EC=3BE,连接AE、DE, ∠AED+∠C=180° D B E (I)求证：△ABE∽△DEA; (2)若AE=4,DE=6,求CD的长. 【详解】(I)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BCAB‖CD .∠DAE=∠AEB,∠B+∠C=180°. :∠AED+∠C=180°， ,∠B=∠AED, ∴.△ABE∽△DEA (2)解： 设BE=x(x>0）,则EC=3BE=3x,BC=BE+CE=4r, :四边形ABCD是平行四边形， .CD=AB,AD=BC=4x. ,△ABE∽△DEA, AE BE AB :.ADAE DE' 11/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4xAB .4x46, x=2, .AB=3, ∴CD=3 15.(5分》在如图的方格纸中，△O4B与△01B是关于点P为位似中心的位似图形. (1)在图中标出位似中心P的位置： ②)以原点0为位似中心，在第三象限画出△0AB 一个位似 0AB,使它与0MB的位似比为21， ③)分别写出A,B的对应点，B B2 的坐标： ④已知50的面积为25，则四边元形 BB2A 的面积为 【详解】(1)解：如图：P即为所画： △OA,B2 (2)解：如图： 即为所画： 12/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 p34子 (3)解：已知A(-2,-),B(-1,-3),以原点O为位似中心，位似比为2：1，且在第三象限， (-2×2,-1×2)=(-4,-2)B2 -1×2,-3×2)=(-2,6) 的坐标为 ‘的坐标为 故答案为：（4，-2)，（-2，-6)： (4)解：·△04 P与△OAB 的位似比为2：1， .它们的面积比为4：1， S△o4B=2.5 .S044=2.5×4=10 …四边形 ABB,A2 的面积 S0%4-S04B=10-2.5=7.5 故答案为：7.5 16.(8分)如图，根据题目要求，用无刻度的直尺作图，并回答相应问题.（不用写作图依据，保留作 图痕迹) 图1 图2 图3 (I)如图I,点A,点B,点C都在格点上，求作△ADE,使得△ABC与△ADE是以点A为位似中心的一对位 似图形. 13/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P,PP,B P:P (2)如图2，点A,点B都在格点上.求作点 不重合)，使得 5分别将线段4B分成长度比为 的两部分.直接写出尸与P之间的距窝」 2 SACE (3)如图3，点A,点B,点C,点D都在格点上.直接写出SD的值 【详解】(1)(1) 如图，△ADE即为所求： B (2) R.R 如图，点即为所求： P P B 由勾股定理，得： AB=42+52=41 由图可知： =朗-号4a, :B={B= 5: (3)解：如图， 14/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D H S.ADC S.ADB=AC:BH=2 由图可知： S.ADC=2S.4D8 :AC∥DF,AD∥BG :.△ACE△FDE,△AED∽△BEG ÷是长4笼8 ”AEAD2· CE 4 BE 3 .CD5'AB5· 4 8 S4E=8 .S.BDE 3 17.(8分)利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，某校“综合与实践”小组的同学 把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告 活动 测量学校旗杆的高度 课题 活动 利用相似三角形知识解决实际问题 目的 活动 皮尺、镜子、标杆等 工具 15/26 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 测量 方案A:利用影子 方案B:利用镜子 方案C:利用标杆 方案 测量 示意 图 D F B 小智在他前面立一根标杆 小慧在她脚下放置镜子C，然后 EF,当小智的眼睛C、标 向后退，直到她刚好在镜子中看 在同一时刻，小组同学测得 杆顶部E、旗杆顶部A在同 到旗杆顶部A.小组同学测得小 测量 身高为1.6米的小乐的影长 一直线上时，小组同学测得 慧的眼睛距离地面的高度DE为 过程 EF为2.4米，同时测得旗杆 标杆EF高为2米，小智的 1.5米，小慧到镜子的距离EC为 的影长BC为22.5米。 眼睛距离地面的高度CD为 2.1米，旗杆到镜子的距离BC为 1.55米，小智与旗杆AB之 21米， 间的距离DB为40.35米. 计算 结果 活动 反思 根据上面活动报告，解答下列问题： (1)利用方案A测得旗杆AB的高度为_ 米： (2)请将方案B的测量示意图补充完整，并求出旗杆AB的高度： (3)小智在利用方案C计算旗杆AB的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗 杆AB的高度.（不需写出计算过程） 【详解】(I)解：由题意得△ABC∽△DEF, ABBC AB22.5 DEEF,即1.6=2.4，解得：AB=15米。 ∴.利用方案A测得旗杆AB的高度为15米： (2)解：过点C作CF⊥EB, 16/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B,∴.∠FCE=∠FCB=90° 又：∠DCF=∠ACF. .∠FCE-∠DCF=∠FCB-∠ACF, ∴.∠DCE=∠ACB DE⊥EB,AB⊥EB, ∠DEC=LABC=90°， .△DEC∽△ABC, DE AB 1.5 AB ECBC,即2.121，解得：AB=15米， ∴.旗杆AB的高度为15米. (3)解：如图所示，根据题意可知BH、GF、CH、FG的长， GE∥AH .△CGE∽△CHA, CG FG ∴CHAH,则只需要知道CG的长即可求出AH的长，进而求出4B的长， H G B ∴.还需要测出线段DF(或线段FB)的长度. 18.(9分)学完一元二次方程和相似三角形后，老师给同学们出了如下题目： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm,AC=8cm,点P由C点出发以2cm/s的速度向终点A匀 速移动，同时点Q由点B出发以1lcm/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停 止移动. 老师问了三个不同问题： 17/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 备用图 (1)方程应用：如图1，经过秒，PQ的长为4W2cm? (2)相似探讨：如图1，经过几秒，△PCQ与△ACB相似？请写出你的计算过程. (3)拓展延伸：如图2，如果点P仍在AC上由C点出发以2Cm/s的速度向终点A匀速移动，但点Q在AB上 由点A点出发以2.5cm/s的速度向终点B匀速移动，经过秒，△AP巴是等腰三角形. 【详解】(1)解：设经过x秒，P2的长为4V2cm, 由题意得： PC=2xcm C0=(6-x)cm .PC2+CO2=PO2 (2x+(6-=(42. 解得：X2或x=， 2 故答案为：2或5： (2)解：设运动时间为s,△PCQ与△ACB相似. CP_CQ.CP_C≌ 当△PCQ与△4CB相似时，则有CA=CB或CBCA, 2t_6-t2t_6-t 所以8=6，或6=8， 12 ,18 解得=5，或=i 18/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12 18 因此，经过5秒或1i秒，△PCQ与。4CB相似： (3)解：设经过y秒，△APO是等腰三角形. 16 分三种情况：若P=A0,则8-2y=2.5y,解得y=9: 若AP=P吧，作PE⊥Ag于点E, B:∠A=∠A LAEP=∠C=90 ∴.△AEPAACB .AE AP ACAB· 48-2y 810 128 ∴.y= 57· 若AQ=PQ, FA. 作OF⊥AP于点F, AF AO 同理可得ACAB' 19/26 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :4y=25 4 810,y=39 161284 综上所述，y=g或57或3，△APQ是等腰三角形， 161284 故答案为：9或57或3： 19.(12分)定义：我们把y=。x+C称为y=a+b（a≠0：b,c为常数)的互倒一次函数. a 3x y Ax x+d 图1 图2 (1)请你写出y=2x-3的其中一个互倒一次函数 1 (2)如图1，y=3x与y=3x是一对互倒一次函数，点4是y=3x在第一象限图像上的任意一点，过点A作 AB⊥x轴于点g,交y=3x于点C,求证：△AOB∽△OCB: ⑨如图2y音与=子+d0)相于点Q:少+d与)植相交于点p:请判隔爱是否为定 4 3 PO 值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由 【详解】(1)解：由定义可得，y=2x-3的一个互倒一次函数为y=2x+1, 故答案为：y=2x+1(答案不唯一)； (2)证明：设0B=3a, :AB⊥x轴于点B, ∴.∠AB0=90°， “点C在y=3x图像上，点A在y=3x图像上， ∴.C点纵坐标为a,A点纵坐标为9a, 20/26 命学科网·上好课 wWw.zx×k.com 上好每一堂课 :13a,9a）.C(3a,a) ..AB=9a,BC=a, ·0出3.803， OB AB .BC OB' .∠ABO=∠OBC, ∴，△AOB∽△OCB: PO 3 (3)O0是定值，为4，理由： 3 由y=4x+d得，当x=0时，y=d, “与》轴相交于点 (0,d) 3 y24 x+d x= > 由 .4 ,解得： y=3x 0-0号ja9-与.w-o-号0--94 PO 5d15-3 .o020d 204. > 20.(12分)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： E D 图1 图2 21/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【观察与猜想】 DE (I)如图L,在正方形ABCD中，点E,F分别是AB:AD上的两点，连接DE'CF,DE⊥CF,则CF 的值为 (2)如图2，在矩形ABCD中，AD=7,CD=4,点E是AD上的一点，连接CE,BD,且CE⊥BD, CE 则BD的值为 【类比探究】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=9O°，点E为AB上一点，连接DE,过点C作DE的垂线交ED 的延长线于点G,交AD的延长线于点R,求证：DE·AB=CF·AD: D 图3 图4 【拓展延伸】 AB 1 ④如图4，在Rt4BD中，∠BAD=90°，AD=9,AD3将aABD沿BD翻折，点A落在点C处得 aCBD,点E,F分别在边AB,D上，连接DE,CF,DE⊥CF, ①DE CF的值为： ②连接BF,若AE=1,则BF的长度为 【详解】解：(I)如图1，设DE与CF交于点G, 图1 ·四边形ABCD是正方形， ,∠A=∠FDC=90°，AD=CD, 22/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE⊥CF, .∠DGF=90°， ∴.∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°， ∴.∠CFD=∠AED, 在△AED和△DFC中， I∠A=∠FDC ∠CFD=∠AED AD=CD .AAED≌ADFC(AAS) :DE=CF, DE CF: (2)如图2，设DB与CE交于点G, D G 图2 :四边形ABCD是矩形， ∠A=∠EDC=90°， CE⊥BD, LDGC=90°， .∠CDG+∠ECD=90°，∠ADB+∠CDG=90°， ∠ECD=∠ADB,∠CDE=∠A, ∴.△DEC△ABD CE DC 4 BD AD7 4 故答案为： (3)证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H, 23/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D H 图3 CG⊥EG, .∠G=∠H=∠A=∠B=90°， .四边形ABCH为矩形， .AB=CH,∠FCH+∠CFH=∠DFG+∠FDG=9O°， ∠FCH=∠FDG=∠ADE,∠A=∠H=90°， .△DEA∽△CFH, DE AD CF CH DE AD CF AB DE·AB=CF·AD; (4)①如图4，过点C作CG⊥AD于点G,连接AC交BD于点H,CG与DE相交于点O, A FG O D 图4 .CF⊥DE,GC⊥AD .∠FCG+∠CFG=∠CFG+∠ADE=90°， ∠FCG=∠ADE,∠BAD=∠CGF=90°， ∴.△DEA∽△CFG DE AD CF CG 由对折可得：AB=CB,AD=CD,AC⊥BD, 在RaBD中，an∠ADB= 3AD=9: 24/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=3, 在RiADH中，an∠ADH=】 .AH 1 DH3' 设AH=a,则DH=3a, .AH2+DH2=AD2, a2+(3a}=92 :a=义0（负值舍去）， 10 =go,0H-0而， 10 4C=2AH=9o】 5m-号4cm=0cc. :x90×20=x9cG, 25 10 2 CG=2 5 DE AD 9 5 CF-CG-27-3 gc-号i而，co-2 5·∠AGC=90°， ..AG=AC2-CG2 由①得△DEA∽aCFG. DE AE CFFG' .DE_5 又CF3,AE=1” 25/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FG=3 AF=AG-FG=9_3_6 555 BF=VAB2+4F3129 5 26/26可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（深圳专用) 第三章图形的相似（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C 0 B D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.3 10.15 11.35-3 12.8V5 12 13.5 三、解答题（共7小题，共61分） 14.(7分)【详解】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC ABIICD ，1分 ∴∠DAE=∠AEB,∠B+∠C=180°， .∠AED+∠C=180°， .∠B=∠AED .△ABE∽△DEA.3分 (2)解：设 BE=x(x>0）,则EC=3BE=3xBC=BE+CE=4r, ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.CD=AB,AD=BC=4x, .△ABE∽△DEA, AE BE AB AD AEDE,4分 ,4==AB .4x46 1/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .X=2,5分 AB=3, .CD=3 。7分 15.(5分)【详解】(1)解：如图：P即为所画： 3 2 Q---i 1分 R △OA,B2 (2)解：如图： 即为所画； 2分 、(-4,-2)(-2,-6) (3) …4分 (4)7.5.5分 16.(8分)【详解】(I)如图，△ADE即为所求： 2分 P:P (2)如图，点 即为所求： 2/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P .4分 B √41 56分 8 3)3 8分 17.(8分)【详解】(1)151分 (2)补全测量示意图如下所示， A 2分 R .∴∠FCE=∠FCB=90°， 又：∠DCF=∠ACF, .∠FCE-∠DCF=∠FCB-∠ACF, .∠DCE=∠ACB,3分 DE⊥EB,AB⊥EB, .∠DEC=∠ABC=90°， △DEC△ABC,4分 DE AB 1.5AB EC=BC,即2.=21，解得：AB=15米， .旗杆AB的高度为15米.5分 (3)解：如图所示，根据题意可知BH、GF、CH、FG的长， .GE∥AH .△CGE∽△CHA,6分 CG FG “CHAH,则只需要知道CG的长即可求出H的长，进而求出AB的长， 3/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E H .还需要测出线段DF(或线段FB)的长度.8分 2 18.(9分)【详解】(1)2或52分 (2)解：设运动时间为s,△PC2与△4CB相似. CP CO CP CO 当aPCQ与。4CB相似时，则有CA=CB或CBC4,4分 2t6-t2t6-t 所以8=6，或68， 12 18 解得1=5，或=i: 1218 因此，经过5秒或1i秒，△PCQ与AACB相似：6分 16128.4 (3)9或57或39分 19.（12分)【详解】(1)y=2+1(答案不唯一)；1分 (2)证明：设0B=3a, AB⊥x轴于点B, ∠AB0=90°，2分 :点C在y=3图像上，点A在y=3x图像上， ∴.C点纵坐标为a,A点纵坐标为9a, :3a,9a)）CBa,a) 3分 .AB=9a,BC=a, 0B3034B-903,4分 BC a OB 3a .OB AB BC0B,5分 4/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABO=∠OBC, .△AOB∽△OCB;6分 、P2 3 3)00是定值，为4，理由：…7分 3 由y=4x+d得，当x=0时，y=d, 与》轴相交于点 (0,d) qx+d x= 7 由4。，解得： y=3 d y-1 0片d,74,8分 e-0号ja-9-h.o0-0号jo9-1,…分 PO 15d15_3 0294204.m2分 20.(12分)【详解】解：(1)1；…1分 4 (2)7;2分 (3)证明：如图3，过点C作CH1AF交AF的延长线于点H, D8F--cH G 3分 图3 :CG⊥EG ∴.∠G=∠H=∠A=∠B=90°」 .四边形ABCH为矩形，4分 5/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∴，AB=CH,∠FCH+∠CFH=∠DFG+∠FDG=90°， :∠FCH=∠FDG=∠ADE,∠A=∠H=90°， △DEA∽△CFH,5分 DE AD …CFCH DE AD ·CFAB DE·AB=CF·AD:6分 5 (4)①3：9分 3v29 ②5；12分 6/6………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(深圳专用) 第三章 图形的相似 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列四条线段不成比例的是（   ） A．3，6，2，4 B． C． D． 2．如图（1）是一个置物架，它的侧面可以抽象为图（2），若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．华为非凡大师是全球首款三折叠屏手机，其折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的矩形，如图所示是展开后的示意图，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 4．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（　　） A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：25 6．如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，已知点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图，菱形中，，点E在边上，交于点F，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．若，则的值为____． 10．如图，矩形护栏中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接交第一根钢条于点，连接并延长交于点，若，则的长度为______． 11．鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为______．（结果保留根号） 12．如图，8个面积为1的小正方形组成了L型，则矩形的周长为______. 13．如图，菱形绕点A旋转得到菱形，点在上，交于点P．若，，则的长为___________． 三、解答题（共7小题，共61分） 14．（7分）如图，在平行四边形中，点为边上一点，且，连接、，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．（5分）在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)分别写出A，B的对应点，的坐标：________，________． (4)已知的面积为2.5，则四边形的面积为________． 16．（8分）如图，根据题目要求，用无刻度的直尺作图，并回答相应问题．（不用写作图依据，保留作图痕迹） (1)如图1，点A，点B，点C都在格点上，求作，使得与是以点A为位似中心的一对位似图形． (2)如图2，点A，点B都在格点上．求作点（不重合），使得分别将线段分成长度比为的两部分．直接写出与之间的距离_______________． (3)如图3，点A，点B，点C，点D都在格点上．直接写出的值__________． 17．（8分）利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 测量示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的小乐的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 小慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度为米，小慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为21米． 小智在他前面立一根标杆，当小智的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为2米，小智的眼睛距离地面的高度为米，小智与旗杆之间的距离为米． 计算结果 … 活动反思 … 根据上面活动报告，解答下列问题： (1)利用方案测得旗杆的高度为________米； (2)请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)小智在利用方案计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 18．（9分）学完一元二次方程和相似三角形后，老师给同学们出了如下题目： 如图，在中，，，，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． 老师问了三个不同问题： (1)方程应用：如图1，经过______秒，的长为？ (2)相似探讨：如图1，经过几秒，与相似？请写出你的计算过程． (3)拓展延伸：如图2，如果点仍在上由点出发以的速度向终点匀速移动，但点在上由点点出发以的速度向终点匀速移动，经过______秒，是等腰三角形． 19．（12分）定义：我们把称为（，，为常数）的互倒一次函数． (1)请你写出的其中一个互倒一次函数___________； (2)如图，与是一对互倒一次函数，点是在第一象限图像上的任意一点，过点作轴于点，交于点．求证：； (3)如图，与相交于点，与轴相交于点，请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 20．（12分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 (1)如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为 ； (2)如图2，在矩形中 ，，，点E是上的一点，连接，，且 ，则的值为 ； 【类比探究】 (3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：； 【拓展延伸】 (4)如图4，在中，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点 E，F分别在边，上，连接，，． 的值为 ； ②连接，若，则的长度为 ． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试卷 第5页（共8页） 试卷 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(深圳专用) 第三章 图形的相似 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列四条线段不成比例的是（   ） A．3，6，2，4 B． C． D． 2．如图（1）是一个置物架，它的侧面可以抽象为图（2），若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．华为非凡大师是全球首款三折叠屏手机，其折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的矩形，如图所示是展开后的示意图，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 4．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（　　） A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：25 6．如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，已知点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图，菱形中，，点E在边上，交于点F，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．若，则的值为____． 10．如图，矩形护栏中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接交第一根钢条于点，连接并延长交于点，若，则的长度为______． 11．鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为______．（结果保留根号） 12．如图，8个面积为1的小正方形组成了L型，则矩形的周长为______. 13．如图，菱形绕点A旋转得到菱形，点在上，交于点P．若，，则的长为___________． 三、解答题（共7小题，共61分） 14．（7分）如图，在平行四边形中，点为边上一点，且，连接、，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．（5分）在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)分别写出A，B的对应点，的坐标：________，________． (4)已知的面积为2.5，则四边形的面积为________． 16．（8分）如图，根据题目要求，用无刻度的直尺作图，并回答相应问题．（不用写作图依据，保留作图痕迹） (1)如图1，点A，点B，点C都在格点上，求作，使得与是以点A为位似中心的一对位似图形． (2)如图2，点A，点B都在格点上．求作点（不重合），使得分别将线段分成长度比为的两部分．直接写出与之间的距离_______________． (3)如图3，点A，点B，点C，点D都在格点上．直接写出的值__________． 17．（8分）利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 测量示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的小乐的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 小慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度为米，小慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为21米． 小智在他前面立一根标杆，当小智的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为2米，小智的眼睛距离地面的高度为米，小智与旗杆之间的距离为米． 计算结果 … 活动反思 … 根据上面活动报告，解答下列问题： (1)利用方案测得旗杆的高度为________米； (2)请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)小智在利用方案计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 18．（9分）学完一元二次方程和相似三角形后，老师给同学们出了如下题目： 如图，在中，，，，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． 老师问了三个不同问题： (1)方程应用：如图1，经过______秒，的长为？ (2)相似探讨：如图1，经过几秒，与相似？请写出你的计算过程． (3)拓展延伸：如图2，如果点仍在上由点出发以的速度向终点匀速移动，但点在上由点点出发以的速度向终点匀速移动，经过______秒，是等腰三角形． 19．（12分）定义：我们把称为（，，为常数）的互倒一次函数． (1)请你写出的其中一个互倒一次函数___________； (2)如图，与是一对互倒一次函数，点是在第一象限图像上的任意一点，过点作轴于点，交于点．求证：； (3)如图，与相交于点，与轴相交于点，请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 20．（12分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 (1)如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为 ； (2)如图2，在矩形中 ，，，点E是上的一点，连接，，且 ，则的值为 ； 【类比探究】 (3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：； 【拓展延伸】 (4)如图4，在中，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点 E，F分别在边，上，连接，，． 的值为 ； ②连接，若，则的长度为 ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $