第3章 图形的相似 B卷（培优验收） 2026‑2027学年北师大版九年级数学上册

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第3章 图形的相似 B卷（培优验收） 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·甘肃平凉·三模）如图，中国最大的室内卧佛位于甘肃省张掖市的大佛寺，又称卧佛寺，张掖大佛寺的卧佛是该寺的核心文物，具有极高的历史、艺术和宗教价值．现已知卧佛的肩宽身长，且肩宽为米，则卧佛的身长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】设卧佛的身长为米，根据肩宽与身长的比为，结合肩宽为米，列出比例式求解即可． 【详解】解：设卧佛的身长为米， 卧佛的肩宽身长，且肩宽为米， ， ， 解得， 即卧佛的身长为米． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将拆分，可得，然后将代入求解即可． 【详解】解：， 将，代入得：． 3．（2026·浙江杭州·一模）如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质得到，，，且三点共线，三点共线，证明推出，同理可证明，得到，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴，，，且三点共线，三点共线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个选项中，A、B、C选项错误，不符合题意，只有D选项中的结论错误，符合题意． 4．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的三等分点（即，），测量尺的零刻度与点重合．现测得的长约为5 cm，则内槽宽的长为（     ） A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．18 cm 【答案】C 【分析】先根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得，再根据“相似三角形的对应边成比例”得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 5．（2026·浙江金华·三模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为，若、、的坐标分别为、、，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用两点间距离公式求出两个三角形的位似比，过点D作轴于点E，过点B作轴于点F，易证明，则，据此求出、长，从而求出点的坐标． 【详解】解：、、， 、， ， 即与的位似比为， 过点D作轴于点E，过点B作轴于点F， ， ， ， ， 、， 、， ， 解得：、， ， 点D的坐标为． 6．（2026·四川南充·中考真题）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，涉及两个角对应相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例，夹角相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即． A、∵，∴，故选项不符合题意； B、∵，∴，故选项不符合题意； C、∵，∴，故选项不符合题意； D、∵，与的大小无法判定，∴无法判断，故选项符合题意． 故选：D． 8．（2026·浙江绍兴·二模）如图，已知固定点，动点，动点（t为实数），则的最小值是（     ） A．24 B．26 C．28 D．以上答案都不正确 【答案】D 【分析】此题考查一定点两动点最小值问题，需要构建模型作把转化为，从而的值是，则根据两点之间，线段最短，当A、B、N三点共线时，最短，因为动点是沿运动，经过计算当A、B、N三点共线时，此时正好垂直于轴，最短，所以的最小值就是当A、B、N三点共线时． 【详解】 设定点，动点可看作由沿x轴向右平移t个单位得到，因此； 作轴于点，则垂足， 即点由沿x轴向右平移个单位得到， 由此可得， ． 在x轴上方构造（相似比为），且保证轴． 由相似三角形的性质可得：， 已知，得， 因此点为定点．且． 原式可转化为： 当A、B、N三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长度． 由可知，点纵坐标恒为6，其轨迹为平行于x轴的定直线； 根据直线外一点到直线的连线中，垂线段最短， 当时，最小，此时． 将代入坐标解析式，得，对应动点，该位置恰好满足A、B、N三点共线，且值最小． 将代入，则计算各段线段长度： ， ， 则， ， 因此，的最小值为：． 9．（25-26九年级上·福建泉州·期末）将纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，如果以点，F，C为顶点的三角形与相似，那么的长是（   ） A． B． C．或5 D．或5 【答案】C 【分析】分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点， ∴， 设， ∵， ∴， 当， ∴， ∴， 解得， ∴； 当， ∴， ∴， 解得， ∴； ∴的长是或5． 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）已知：，求的值为_________． 【答案】 【分析】利用设参数法，用同一个参数分别表示，，，再代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：设，，则，，， 将其代入得：． 11．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知点C是线段的黄金分割点，，且，那么的长为_____________． 【答案】 / 【分析】根据黄金分割的定义得到与的关系，先求出的长度，再计算的长. 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， 把代入得：， 解得， . 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是________．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：①两角对应相等的两个三角形相似： ， 当时，； 当时，； ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ， 当时，； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：（答案不唯一）． 13．（25-26八年级下·山东泰安·期末）要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 【答案】 【分析】由，得，则有，所以，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴他们测量的河宽为． 14．（2026·青海西宁·二模）已知在平面直角坐标系中，点、、，以原点为位似中心，位似比为，则点的对应点的坐标为________． 【答案】或或或 【分析】根据在平面直角坐标系中，位似变换以原点为位似中心时，相似比为，位似图形对应点的坐标的比等于或，进行计算． 【详解】解：点的坐标为，以原点为位似中心，位似比为， 当以原点为位似中心将缩小时，点的对应点的坐标为或，整理得或； 当以原点为位似中心将扩大时，点的对应点的坐标为或，整理得或． 15．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，正方形，连接对角线，点、分别在边、上，连接、交于、两点，，有如下结论：①；②；③；④若，最小时，；上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【分析】利用正方形性质及三角形内角和定理，结合已知角度关系推导 的度数即可判断①； 利用相似三角形的判定定理，证明 即可判断②； 通过旋转变换构造全等三角形，证明线段与， 的数量关系即可判断③； 利用轴对称性质确定最小时点 的位置，结合勾股定理计算的长度即可判断④． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵是正方形的对角线， ∴， 由①可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③如图，将绕点逆时针旋转得到， 由旋转可得，， ∴，，， ∴， 由①可知，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵四边形是正方形， ∴， ∴如图，作点关于的对称点，连接，交于点， 由对称可得，，， ∴，，当三点共线时，最小，如上图， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， 由③可知，， ∵， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴当最小时，，故④错误； 综上所述，正确结论的序号是①②③． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（6分）（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）已知a、b、c是的三边长，且，求： (1)的值： (2)若的周长为，求a、b、c的值． 【答案】(1) (2)， ， 【分析】本题考查了比例的性质，熟练运用设法是解题的关键． （1）根据题干信息，假设，，，代入即可得出结果； （2）由（1）中，列方程，解出的值，再分别求出a、b、c的值． 【详解】（1）解：∵， 令，，， 则．………………3分 （2）解：∵的周长为， ∴， 解得， ∴，，， 故， ，．………………6分 17．（7分）（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】(1)解：①如图，为所作， ………………2分 ②如图，为所作， ………………4分 (2)是位似图形，如图，点为所求， ………………6分 点的坐标为………………7分 【分析】（1）①将、延长一倍，即可得到与，连接即可； ②根据平移的性质描点，然后连线即可； （2）作直线、、，并判断是否交于同一个点即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：由图可知，直线、、交于同一个点， ∴与是位似图形，且交点即为点， ∴点的坐标为． 18．（8分）（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形有公共顶点A，且，，点E恰好落在边上（与点不重合），与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵ ∴， ∴，………………2分 在和中， ， ∴，………………3分 ∴；………………4分 (2) 证明：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴．………………6分 在和中，，， ………………8分 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰三角形的定义． （1）根据得到，即，证明，即可证明； （2）根据和是等腰直角三角形可知，，进而得到，，即，根据，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 19．（8分）（2026·广西·中考真题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 【答案】(1)见详解 (2)米 【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可； （2）通过和求出，再由求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴；………………3分 （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴，………………4分 ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米），………………5分 同理可得，，………………6分 ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米．………………8分 20．（10分）（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，等边三角形的边长为3，是边上的一点且，现将折叠，使得点与点重合，折痕为，点、分别在和上． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，由折叠可知，从而说明，即可得证； （2）设，则，即，根据相似三角形相似比相等，分别表示，的长，再由列方程即可求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 根据折叠可知， ，………………2分 ， ， ， ， ．………………5分 （2）解：设，则， 根据折叠可知，， ，， ，， ， ， ，………………7分 ，， ， ， ， 解得， 经检验，是所列方程的根， 即的长为．………………10分 21．（10分）（25-26九年级上·海南海口·期末）如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接． (1)求证：； (2)若的边长为6，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】此题考查了等边三角形的性质，三线合一，等边对等角，相似三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由等边三角形的性质得到，，由作图得，，推出，即可证明； （2）首先得到，然后由等边三角形的性质得到，即可得到． 【详解】（1）证明：∵是等边的中线， ∴， 由作图得， ∴ ∴………………3分 又∵ ∴；………………5分 （2）解：∵的边长为6， ∴ ∵是等边的中线 ∴，， ∴………………8分 ∵ ∴．………………10分 22．（12分）（2026·四川眉山·模拟预测）如图1，正方形和正方形，连接，． (1)【发现】当正方形绕点A旋转，如图2， ①线段与之间的数量关系是 ______ ； ②直线与直线之间的位置关系是 ______ ； (2)【探究】如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，时，上述两个结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出新结论，并说明理由． (3)【应用】在（2）的情况下，连接（点E在上方），如图4，若，且，，求线段的长． 【答案】(1)①；………………2分 ②………………4分 (2)不成立，新结论为：；成立． 证明： 四边形和四边形都是矩形， ， ， 即 ， ， ， ，………………6分 ，， 即， 如图，延长交于点，交于点． 在 中，， 在 中，， ， ，即 ． 综上，不成立，新结论为：；成立．………………8分 (3)由（2）知，． ， ， 在 中，由勾股定理： ， ， ， 点在上方，且， 四边形为平行四边形， ， ，………………10分 在 中，由勾股定理： ， 由（2）中结论，可得．………………12分 【分析】（1）通过证明 ，得出线段相等和垂直关系． （2）利用两边对应成比例且夹角相等证明 ，从而探究线段的数量和位置关系． （3）先求出，结合得四边形为平行四边形，得。再由勾股定理求，最后由（2）的结论即可求出． 【详解】（1）解：①四边形和四边形都是正方形， ， 在 和 中： ， ， . ② 由①知 ， 如图，延长交于点，交于点． 在 中，， 在 中，， ， ，即 ． （2）略 （3）略 23．（14分）（26-27九年级上·湖北·期中）江老师在教学《图形的旋转》时，发现特殊位置的图形，通过旋转后，在一般情况下的图形中，很多性质有一致性，并且在解决问题的方法上，也有一致性．下面是江老师设计的一个教学片段，请结合问题进行探究思考． 【问题呈现】 在正方形的边上分别有点和，，，，连接，结合图形旋转，探究的数量关系． 【问题探究】 (1)如图1，此时与的数量关系是______，位置关系是______； (2)如图2，当绕点逆时针旋转时，与的数量关系是否有变化？如果不变化，请证明结论；如果变化，请说明理由． 【拓展应用】 (3)如图3，当绕点A逆时针旋转时，延长交于点．已知，求线段的长度． 【答案】(1)，………………2分 ………………4分 (2)不变，理由如下： 由旋转性质得：旋转角， 由（1）得， 在和中， ， ，………………7分 ；………………8分 (3)， 连接，延长交于， 四边形是正方形，，， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中， ， ，………………10分 由（2）得， ， ， ， ，， ，………………12分 ， ， 解得，．………………14分 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，因为，所以，且，可以解决问题； （2）由旋转性质得：旋转角，由（1）得，可证，根据全等三角形的性质得到．； （3）连接，延长，与交于点．在中，求出，长，然后证明，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，，， ∵，， ∴， ， ， ∵， ； （2）不变，理由：略 （3）略 / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第3章图形的相似B卷（培优验收） 参考答案 第一部分（选择题共XX分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 2 4 6 7 8 9 C C D C D C D D C 第二部分（非选择题共3分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 3 10.2 11.3-√5/-5+3 12.∠ACD=∠ABC(答案不唯-） 13.60 14.（2-3)或2,3)或8，-12)或812) 15.①②③ 三、解答题：本题共10小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(6分) 【答案】 a b c 1)解：：357， 令a=3k,b=5k,c=7k 3b-2a3×5k-2×3k9 则c 7k .…3分 (2)解：，aABC的周长为30 .a+b+c=3k+5k+7k=30, 解得k=2, .a=3k=6,b=5k=10,c=7k=14 故a=6,b=10,c=14..6分 17.(7分) 【答案】 △OAB, (1)解：①如图 为所作， …2分 △024B2 ②如图， 为所作， A 》…4分 6 B (②)是位似图形，如图，点M为所求， M 02 …6分 B 点M的坐标为 -4,2) 7分 18.(8分) 【答案】() 证明：，∠BAC=∠EAD=90° ∠BAC-∠EAB=∠EAD-∠EAB」 .∠EAC=∠DAB,…2分 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠EAC=∠DAB AD=AE· △ABD≌△ACE(SAS) ,…3分 BD=CE:4分 (2) 证明：：△ABC和△ADE是等腰直角三角形， .∠C=∠ABC=45°，∠AED=∠EDA=45° .∠EAC+∠CEA=135°，∠BEF+∠CEA=135° ∠EAC=∠BEF..6分 在ACAE和△BEF中，∠C=∠ABC,∠EAC=∠BEF .△CAEP△BEF.8分 19.(8分) 【答案】 (1)证明：SD⊥AC, .∠SDC=∠SDA=90°， ,∠MDS=∠BDS, ∴.∠SDC-∠BDS=∠SDA-∠MDS. ∠MDA=∠BDC;3分 (2)解：由题意得，BC⊥AC,MA1AC, ∴.∠BCD=∠MAD. .∠MDA=∠BDC, AMDAPABDC,4分 BC CD ·MAAD ,BC=1.5米，AC=12米，CD=2米， 1.5_2 ·MA12-2’ .MA=7.5(米)，5分 同理可得，△BCE∽△NAE,.6分 BC CE NA AE ,DE=2米， 1.52+2 .NA12-2-2: .NA=3(米)， .MN=MA-NA=7.5-3=4.5(米). 答：公益广告牌的高度MN为4.5米.8分 20.(10分) 【答案】 (1)证明：：△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=AB=BC=3 根据折叠可知∠EDF=∠C=60°， .∠ADE+∠BDF=120°，…2分 :∠A=60°， .∠ADE+∠AED=120° ∴∠BDF=∠AED, ∠A=∠B, .△AED△BDF.5分 (2)解：设BF=x,则CF=BC-BF=3-x, 根据折叠可知DF=CF=3-x,CE=DE, AD:DB=2:1,AB=3, AD=2,BD=1, :△AEDABDF, AD AE DE BF BD DE· 2 AE DE x13-x…7分 AB=2 DE=23-x) ' DE=CE=2(3-x) AE+CE=AC=3 2+23--3. x 解得8 5 经检验，x=5是所列方程的根， P 即BF的长为5.…10分 21.(10分) 【答案】 (1)证明：：BD是等边△ABC的中线， :∠CBD=2∠ABC=30°，∠ACB=60 由作图得，DB=DE ∴.∠DBE=∠E=30° .∠CDE=∠DCB-∠E=30°=∠DBC..3分 又，∠E=∠E .△CED∽△DEB:…5分 (2)解：，△ABC的边长为6， .BC=6 ,BD是等边△ABC的中线 ·BD⊥AC, ∠CBD=1∠ABC=30° 2 :.CD-1BC=3 …8分 .∠CDE=∠E=30° CE=CD=3.10分 22.(12分) 【答案】()0DG=BE:2分 ②DG1BE..4分 (②)DG=BE不成立，新结论为：DG=2BE;DG⊥BE成立. 证明： :四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形， ∴∠DAB=∠GAE=90°，AD=2AB,AG=2AE ∴.∠DAG+∠DAE=∠BAE+∠DAE, 即∠DAG=∠BAE. =2,4C=2 AD AB AE AD AG ABAE· .△ADG△ABE,.6分 DG AD BE AB 22 ·∠ADG=∠ABE, 即DG=2BE 如图，延长BE交DG于点H,交AD于点O D H G 在△ABO中，∠DAB+∠ABE+∠AOB=180° 在△DOH中，∠DHO+∠ADG+∠DOH=180° ·∠ADG=∠ABE,∠DOH=∠AOB .∠DH0=∠DAB=90°，即DG⊥BE」 综上，DG=BE不成立，新结论为：DG=2BE:DG L BE成立.…8分 (3)由(2)知，AG=2AE」 AE=1, AG=2, 在RtAGAE中，由勾股定理： GE=AG2+AE2=22+12=5 AB=V5 :.GE=AB, 点E在AB上方，且GE‖AB, ∴四边形GABE为平行四边形， .BE∥AG ∴.∠BEA=∠EAG=90° …10分 在RtAEAB中，由勾股定理： BE-AB-AE5)-P-2. 由(2)中结论，可得DG=2BE=4.12分 23.(14分) 【答案】（①）CF=BD ，…2分 CF⊥BD.4分 (2)不变，理由如下： 由旋转性质得：旋转角∠CAF=∠BAD=O, 由(I)得AC=AB,AF=AD 在△ABD和△ACF中， AD=AF ∠BAD=∠CAF AB=AC ∴.△ABD≌△ACF(SAS) ,…7分 .BD=CF,8分 135 连接DF,延长AB交DF于M, ③ “四边形 DEF是正方形， AB=2 AD=3 .∠MDA=45°， ∠MAD=45°， ∠MAD=∠MDA,∠AMD=90°， .AM=DM, AD=3」 在△MAD中，AM2+DM2=AD2, AM-DM=3 2 MB=AM-AB=22V② 2, 在RtABMD中， BM2+DM2=BD2. .BD=BM2+DM2 2 32 =5 ,…10分 由(2)得△ABD≌△ACF, ∴∠ADB=∠AFC, ∠FNH=∠AND, ∴.∠FHN=∠FAD=90° :∠AMD=∠DHF=90°，∠MDB=∠HDF, .ADMB∽aDHF,…12分 DB DM DE DH 32 5 2 32 DH DH=95 解得， 514分 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第3章 图形的相似 B卷（培优验收）·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共27分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 10.（3分）________________ 11.（3分）________________ 12.（3分）________________ 13.（3分）________________ 14.（3分）________________ 15.（3分）________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第3章图形的相似B卷（培优验收）·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共27分） 1[AN[B][G][D] 5[A][B][C][D] 9[AJ[B][G][D] 2[AJ[B][C][D] 6[A][B][c][D] 3 [A][B][c][D] 7[A][B][C][D] 4 [A][B][c][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共18分) 10.（3分) 11.(3分) 12.（3分) 13.(3分) 14.（3分) 15.(3分) 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(7分) VA 18.(8分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) M T B 图1 图2 20.(10分) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 21.(10分) D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) D D D F G G A A A B A 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(14分) E B B D 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 11 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第3章 图形的相似 B卷（培优验收）·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共27分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 10．_________________ 11．___________________ 12．__________________ 13．__________________ 14．___________________ 15．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） 17．（7分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） 20．（10分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 23．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第3章图形的相似B卷（培优验收）·答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1[/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） -、 选择题（每小题3分，共27分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][CI[D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][CJ[D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][CI[D] 4.A][B][C]ID] 8.[A][BJ[C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 10」 11 12. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(6分) 17.(7分) 18.(8分) E B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) M M 传永家风家 N p ST N CDE 图1 图2 20.(10分) 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) D D D D F G G E E A A 图1 图2 图3 图4 23.(14分) E AN B D 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) 25.(10分) C o 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第3章 图形的相似 B卷（培优验收） （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·甘肃平凉·三模）如图，中国最大的室内卧佛位于甘肃省张掖市的大佛寺，又称卧佛寺，张掖大佛寺的卧佛是该寺的核心文物，具有极高的历史、艺术和宗教价值．现已知卧佛的肩宽身长，且肩宽为米，则卧佛的身长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 3．（2026·浙江杭州·一模）如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的三等分点（即，），测量尺的零刻度与点重合．现测得的长约为5 cm，则内槽宽的长为（     ） A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．18 cm 5．（2026·浙江金华·三模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为，若、、的坐标分别为、、，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·四川南充·中考真题）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A． B． C． D． 8．（2026·浙江绍兴·二模）如图，已知固定点，动点，动点（t为实数），则的最小值是（     ） A．24 B．26 C．28 D．以上答案都不正确 9．（25-26九年级上·福建泉州·期末）将纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，如果以点，F，C为顶点的三角形与相似，那么的长是（   ） A． B． C．或5 D．或5 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）已知：，求的值为_________． 11．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知点C是线段的黄金分割点，，且，那么的长为_____________． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是________．（只填一个） 13．（25-26八年级下·山东泰安·期末）要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 14．（2026·青海西宁·二模）已知在平面直角坐标系中，点、、，以原点为位似中心，位似比为，则点的对应点的坐标为________． 15．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，正方形，连接对角线，点、分别在边、上，连接、交于、两点，，有如下结论：①；②；③；④若，最小时，；上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（6分）（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）已知a、b、c是的三边长，且，求： (1)的值： (2)若的周长为，求a、b、c的值． 17．（7分）（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 18．（8分）（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形有公共顶点A，且，，点E恰好落在边上（与点不重合），与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：． 19．（8分）（2026·广西·中考真题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 20．（10分）（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，等边三角形的边长为3，是边上的一点且，现将折叠，使得点与点重合，折痕为，点、分别在和上． (1)求证：； (2)求线段的长． 21．（10分）（25-26九年级上·海南海口·期末）如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接． (1)求证：； (2)若的边长为6，求的长． 22．（12分）（2026·四川眉山·模拟预测）如图1，正方形和正方形，连接，． (1)【发现】当正方形绕点A旋转，如图2， ①线段与之间的数量关系是 ______ ； ②直线与直线之间的位置关系是 ______ ； (2)【探究】如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，时，上述两个结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出新结论，并说明理由． (3)【应用】在（2）的情况下，连接（点E在上方），如图4，若，且，，求线段的长． 23．（14分）（26-27九年级上·湖北·期中）江老师在教学《图形的旋转》时，发现特殊位置的图形，通过旋转后，在一般情况下的图形中，很多性质有一致性，并且在解决问题的方法上，也有一致性．下面是江老师设计的一个教学片段，请结合问题进行探究思考． 【问题呈现】 在正方形的边上分别有点和，，，，连接，结合图形旋转，探究的数量关系． 【问题探究】 (1)如图1，此时与的数量关系是______，位置关系是______； (2)如图2，当绕点逆时针旋转时，与的数量关系是否有变化？如果不变化，请证明结论；如果变化，请说明理由． 【拓展应用】 (3)如图3，当绕点A逆时针旋转时，延长交于点．已知，求线段的长度． / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第3章 图形的相似 B卷（培优验收） （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·甘肃平凉·三模）如图，中国最大的室内卧佛位于甘肃省张掖市的大佛寺，又称卧佛寺，张掖大佛寺的卧佛是该寺的核心文物，具有极高的历史、艺术和宗教价值．现已知卧佛的肩宽身长，且肩宽为米，则卧佛的身长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 3．（2026·浙江杭州·一模）如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的三等分点（即，），测量尺的零刻度与点重合．现测得的长约为5 cm，则内槽宽的长为（     ） A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．18 cm 5．（2026·浙江金华·三模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为，若、、的坐标分别为、、，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·四川南充·中考真题）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A． B． C． D． 8．（2026·浙江绍兴·二模）如图，已知固定点，动点，动点（t为实数），则的最小值是（     ） A．24 B．26 C．28 D．以上答案都不正确 9．（25-26九年级上·福建泉州·期末）将纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，如果以点，F，C为顶点的三角形与相似，那么的长是（   ） A． B． C．或5 D．或5 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）已知：，求的值为_________． 11．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知点C是线段的黄金分割点，，且，那么的长为_____________． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是________．（只填一个） 13．（25-26八年级下·山东泰安·期末）要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 14．（2026·青海西宁·二模）已知在平面直角坐标系中，点、、，以原点为位似中心，位似比为，则点的对应点的坐标为________． 15．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，正方形，连接对角线，点、分别在边、上，连接、交于、两点，，有如下结论：①；②；③；④若，最小时，；上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（6分）（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）已知a、b、c是的三边长，且，求： (1)的值： (2)若的周长为，求a、b、c的值． 17．（7分）（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 18．（8分）（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形有公共顶点A，且，，点E恰好落在边上（与点不重合），与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：． 19．（8分）（2026·广西·中考真题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 20．（10分）（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，等边三角形的边长为3，是边上的一点且，现将折叠，使得点与点重合，折痕为，点、分别在和上． (1)求证：； (2)求线段的长． 21．（10分）（25-26九年级上·海南海口·期末）如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接． (1)求证：； (2)若的边长为6，求的长． 22．（12分）（2026·四川眉山·模拟预测）如图1，正方形和正方形，连接，． (1)【发现】当正方形绕点A旋转，如图2， ①线段与之间的数量关系是 ______ ； ②直线与直线之间的位置关系是 ______ ； (2)【探究】如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，时，上述两个结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出新结论，并说明理由． (3)【应用】在（2）的情况下，连接（点E在上方），如图4，若，且，，求线段的长． 23．（14分）（26-27九年级上·湖北·期中）江老师在教学《图形的旋转》时，发现特殊位置的图形，通过旋转后，在一般情况下的图形中，很多性质有一致性，并且在解决问题的方法上，也有一致性．下面是江老师设计的一个教学片段，请结合问题进行探究思考． 【问题呈现】 在正方形的边上分别有点和，，，，连接，结合图形旋转，探究的数量关系． 【问题探究】 (1)如图1，此时与的数量关系是______，位置关系是______； (2)如图2，当绕点逆时针旋转时，与的数量关系是否有变化？如果不变化，请证明结论；如果变化，请说明理由． 【拓展应用】 (3)如图3，当绕点A逆时针旋转时，延长交于点．已知，求线段的长度． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $