第22章 图形的相似（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 《图形的相似》单元强化卷，覆盖成比例线段、位似图形等核心知识，通过自然现象（黄金分割）、物理光学（凸透镜成像）、文化遗产（邢窑白瓷）等情境，考查数学抽象、几何直观与推理能力，适配单元复习的基础巩固与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|成比例线段判断（1）、相似图形识别（2）、位似面积比（4）|结合树叶黄金分割（5）、机器人坐标（7）考查数学眼光| |填空题|6/12|比例性质（13）、相似测量应用（14）、位似坐标（16）|以邢窑白瓷测量（14）、五子棋坐标（15）体现文化与生活关联| |解答题|8/72|相似判定与计算（22）、动点相似（23）、跨学科光学（24）、内邻正方形探究（25）|项目式学习（24）、阅读理解（25）、折叠综合（26）突出思维与表达能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第22章图形的相似（高效培优单元自测·强化卷) (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 2 3 4 5 6 个 8 10 11 12 D B D A D B A C A 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.） 2 13. 0.4 14.6 15.4,4 16.-4,-1 17.号g 6471 18. 2102y10 313 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19. 【答案】a=6,b=4,c=8 【解析】解：设9-名=￡=k, 324 则a=3k,b=2k,c=4k, 又a+b+c=18. .3k+2k+4k=18, 解得：k=2, .a=6,b=4,c=8 20. 【路案1号 【解析】解：，BO=2,OE=1,EC=2, ∴.BE=OB+OE=3, .AB EF CD, 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF BE3 ‘FDEC21 21.(1)如图，AC中点D-2.5,-1.5: B x (2) 【解析】解：(1)略 〔2)由A-2,-4对应A,4,8?得位似比为2，将△ABC各顶点坐标放大2倍，再取相反数，顺次连 接即可得到△A,B,C,图略. 22. 【答案】AD=9 【解析】解：，AC平分∠BAD,∠B=∠ACD, ∴.∠BAC=∠DAC, ,∠B=∠ACD, .△ABC一△ACD, 219 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB_AC AC AD AB=8,AC=6, 唱品 解得：》-号 23.【答案】(1)AP=2tcm0≤t≤6，AQ=16-tcm0≤t≤16 e智或i=7 【解析】(1)略： (2)解：当0≤t<6时，①若QP‖BC,则有△AQP一△ABC, .AQ_AP ·ABAC1 .AB=16cm,AC=12cm,AP=2tcm, :16-t-2t 1612 解得t= 11 ②由∠A=∠A,若∠AQP=∠C,则有△AQP一△ACB, ..4Q=AP ·ACAB 16-t=2t 1216 解得t=6.4(不合题意，舍去)： 当6≤t≤16时，点P与点C重合，如图， .∠A=∠A ∠AQC=∠ACB △AQP~△ACB C(P) ,只有当 时，才有 AQ AP ·ACAB 3/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16-t-12 1216 解得t=7, 综上所述，t=4 或t=7. 11 96 24. 【答案】5cm (2)见解析 【解析】(1)解：：AB‖AB, .∠A=∠A,∠B=∠B, .△AOB△AOB, 488器449 ·ABOE AB=96 96 答：像AB的长为Scm; (2)(2)解： OBOF ,理由如下： OD OD-OF ,AB⊥光轴l,CD⊥光轴l,MN⊥光轴l, ∴.∠ABO=∠BOE=∠EOF=∠CDF=90°(F为MN右侧的那点，下面一样)， :AE‖光轴l; ∴.AE⊥MN, ∠AE0=90°， ∴.四边形ABOE是矩形， .'.OE=AB, ,∠AOB=∠COD,∠ABO=∠CDO, ∴.△ABO-△CDO, .CD-OD ·ABOB 同理可证明△EOF一△CDF, 85 OF 即 AB OD-OF CD 4/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OB=OF 'OD OD-OF 25. 312 【答案】1)见解析(2宁，气 【解析】(1)证明：，四边形BCMN是正方形， .∴.MN=BN, .CD_ED ·MN BN ∴CD=ED, ∴.矩形CDEF为正方形： (2).四边形BCMN是正方形， ∴.MN=CM=BC=4, .'△ACD~△AMN, ·CD=AC=AC 3-3 MN AM AC+CM 3+47' ·CD=3 47 .CD=12 7 即正方形CDEF与正方形MNBC是以点A为中心的位似图形，其相似比为，正方形CDEF的边长为气 26.【答案】(1)1 (2)见解析 B)折痕EF的长为 5 为号 AF 【解析】(1)解：.四边形ABCD是正方形， ∴.AD=AB,∠DAE=∠ABF=90°， 又AF⊥DE, .'.∠AED+∠ADE=90°=∠AED+∠BAF, 5/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ADE=∠BAF, 在△ADE和△BAF中， ∠ADE=∠BAF AD=AB ∠DAE=∠ABF .∴.△ADE≌△BAF ASA, ∴.DE=AF, .AE=1; ·DE (2)证明：甲方案：如图2，过点A作AM‖EF交BC于点M,过点B作BN‖HG交CD于点N A E D H ABCD -1 M F 图2 四边形 是矩形， ∴.AD‖BC,AB‖CD,∠ABC=∠BCD=90°，AD=BC, ∴.四边形AEFM、HGBN均为平行四边形，∠BAM+∠AMB=90°， ∴.BN=GH,AM=EF, .EF⊥GH, ∴.AM⊥BN, ∴.∠NBC+∠AMB=90°， ∴.∠BAM=∠NBC, 又.'∠ABM=∠BCN=90°， ∴.△BAM~△CBN, .AB-AM BC BN .EF=AB GH AD' 乙方案：如图2，过点E作EM⊥BC交BC于点M,过点G作GN⊥CD交CD于点N,EM交GH于点 o, 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E D H O ABCD M 图2 四边形 是矩形， ∴.∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90,AD=BC,ABCD, ∴.四边形AEMB、GBCN均为矩形， .AB=EM,GN=BC=AD, .'EF⊥GH,EM⊥GN, .∴.∠MEF+∠EOH=90°，∠GOM+∠HGN=90°， .∠EOH=∠GOM, .'.∠MEF=∠HGN, 又∠EMF=∠GNH=90°， .∴.△EFM一△GHN, EF EM ·GHGN EF AB GHAD (3)解：由矩形的性质可得AD=BC=4,∠A=90°， 由勾股定理得BD=√AB2+AD=3+4=5 由(2)可知， EFAB BD AD :EF=3 541 EF=15 即折痕EF的长为4： 15 (4)解：如图4，过点D作MN⊥BC,交BC的延长线于M,过点A作AN⊥MN于点N,连接 AC,过点F作FH⊥AN于点H,过点E作EG⊥MN于点G, 719 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G'.'∠ABC=90°AN⊥MNMN⊥BC B FC M' 图4 ∴.四边形ABMN是矩形， ∠N=∠M=90°，AN=BM,MN=AB=10, AD=AB,BC=CD,AC=AC, ∴.△ACD≌△ACBSSS, ∴.∠ADC=∠ABC=90°， .∠ADN+∠CDM=90°， .'∠ADN+∠NAD=90° ∴.∠NAD=∠CDM, 又∠N=∠M=90°， ∴.△ADN一△DCM, .CD CM DM 5 1, AD DN AN 102 ∴.AN=2DM,DN=2CM, DC2=CM2+DM2, .52=CM2+10-2CM2 .∴.CM=5(不合题意舍去)或CM=3, .BM=BC+CM=5+3=8=AN, 同(2)知，∠AFH=∠DEG, 又.·∠AHF=∠EGD=90°， .∴.△DEG一△AFH, 柴胎 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∵EG=AN=8,FH=AB=10, DE=8=4 AF105 即柴的值为 4 9/9 第22章 图形的相似（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各组线段是成比例线段的是（    ） A．2，4，6，12 B．2，3，6，12 C．3，6，8，12 D．2，4，6，8 2．下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 3．四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 4．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（    ） A． B． C． D． 5．大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，如果，那么（     ） A． B． C． D． 7．信息小组通过编程设计个机器人的队形，某一时刻各机器人的位置如图所示．在图中建立平面直角坐标系，若机器人，的坐标分别为，，则机器人的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．如图，是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 10．将和按如图所示的位置摆放，，，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 11．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连结，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形．则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金分割点的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12．如图，在矩形中，E是上一点，于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若E是中点，则．其中所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知：，则_____． 14．邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 15．小军和小明进行了一场五子棋比赛．棋盘如图所示，若坐标轴均与棋盘中的某条网格线平行，黑棋所在位置的坐标为，白棋所在位置的坐标为，则黑棋所在位置的坐标为__________． 16．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 17．如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 18．如图，在正方形中，，点为正方形外一点，连接分别交，于点，．若，，则的长为________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．已知，且，求，，的值． 20．如图，直线、交于点，，若，，，求的值． 21．在边长为1的小正方形网格坐标系中，顶点均为格点，点，对应位似点． (1)描出AC中点D，写出点D坐标； (2)以原点O为位似中心，将放大得到，画出图形． 22．如图，平分，，若，，求的长． 23．如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． (1)请直接用含t的代数式表示的长和的长； (2)当t等于何值时，与相似？ 24．【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线 光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 25．阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图，中，点，分别在，边上，点，在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形：如图，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点． ②过点作交边于点，过点作于点．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点，，，均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，，．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图，可得正方形与正方形是以点为中心的位似图形，其相似比为______，正方形的边长为______； 任务： (1)请补全“理由”部分的推理过程； (2)直接写出“分析”中所缺的内容：______，______； 26．【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． (1)如图1，在正方形中，，交于点G，则______（填比值）； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作交于点M，过点B作交于点 乙方案：过点E作交于点M，过点G作交于点 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明． 【结论应用】 (3)如图3，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合．若，，求折痕的长； 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形中，，，，点E、F分别在线段上，且，求的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章 图形的相似（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各组线段是成比例线段的是（    ） A．2，4，6，12 B．2，3，6，12 C．3，6，8，12 D．2，4，6，8 【答案】A 【分析】根据成比例线段的性质，若四条线段中，最大线段与最短线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段为成比例线段，依次验证各选项即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：，， ∴，故A符合题意； 对于选项B：，， ∴，故B不符合题意； 对于选项C：，， ∴，故C不符合题意； 对于选项D：，， ∴，故D不符合题意． 2．下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，逐一判断选项即可求解． 本题考查相似图形的定义，熟练掌握图形的形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似图形是解题的关键． 【详解】解：A．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； B．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； C．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； D．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意； 故选：D． 3．四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 4．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到，然后得到，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ，， ∴， ， ． 5．大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．即，据此求解即可． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴，即， ∴， ∴．（负值不合题意已经舍去） 6．如图，在中，，，如果，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线分线段成比例定理进行证明即可． 【详解】解：， ， ， ． 7．信息小组通过编程设计个机器人的队形，某一时刻各机器人的位置如图所示．在图中建立平面直角坐标系，若机器人，的坐标分别为，，则机器人的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点，的坐标确定原点并建立平面直角坐标系，再结合图形得出点的坐标即可． 【详解】解：∵机器人，的坐标分别为，， ∴原点在点的左边个单位，下边个单位处． 建立平面直角坐标系如图所示， 由图可知，点在轴正半轴个单位，轴负半轴个单位处， ∴机器人的坐标为． 8．如图，是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用网格平行线性质证明，得出线段比例关系，结合勾股定理求解． 【详解】解：由图可知， ， ， ， ， 由网格可知， ∴， ， 由勾股定理得 ， ． 9．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出，再得出，则，进而可得，然后得出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 10．将和按如图所示的位置摆放，，，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定，解答即可； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴．故A正确． 由题意可知，，， ∴不一定等于． ∴不一定等于．故B错误． ∵无法判断和是否相等， ∴无法判断与是否相似，故C错误． ，，但的大小无法判断， ∴与不一定相等，故D错误． 11．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连结，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形．则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金分割点的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】设正方形边长为，利用勾股定理求出，进而得到、、、的长度，根据黄金分割的定义逐一判断点、、、是否为所在某条线段的黄金分割点； 【详解】解：在正方形中，， 设， ∵是的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵、、、在同一直线上， ∴， ∵，， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵是的中点， ∴不是的黄金分割点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴不是的黄金分割点， 综上所述，点、、是黄金分割点，共3个． 12．如图，在矩形中，E是上一点，于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若E是中点，则．其中所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】①证明，即可；③证明可得结论；④设，，则，再证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：①四边形是矩形， ，，， 于点， ∴， ， 故①正确； ②现有条件不足以证明，故②错误； ③，， ， ， ∵ ， ， 故③正确； ④设，， ∵E是中点， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴，即， ， 故④正确 故正确的有①③④． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知：，则_____． 【答案】/ 【详解】解：， 设， ． 14．邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 【答案】6 【分析】首先推出，证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．小军和小明进行了一场五子棋比赛．棋盘如图所示，若坐标轴均与棋盘中的某条网格线平行，黑棋所在位置的坐标为，白棋所在位置的坐标为，则黑棋所在位置的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据已知点、的坐标确定原点位置及轴、轴的位置，由此求解即可 ． 【详解】解：∵黑棋所在位置的坐标为，白棋所在位置的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图所示： 且可知相邻两颗棋子之间的间隔为2个单位长度， 由图可知，黑棋所在位置的坐标为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用位似三角形的坐标特征得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与位似，位似中心是原点O， ∴， ∵， ∴，即． 17．如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 【答案】/ 【分析】根据平移的性质可知，，，进而可证得，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：等边三角形沿边上的高线平移到， 且与边相交于、点， ，， ，， ， ， ， ， 的阴影部分面积记为，， ， 解得． 18．如图，在正方形中，，点为正方形外一点，连接分别交，于点，．若，，则的长为________． 【答案】/ 【分析】根据题意可得，，再证，进而得到，然后可证，得到． 【详解】解：， ， 在正方形中，， ， ， ， ，则， ，即 ，， ， 在和中， ， ， ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．已知，且，求，，的值． 【答案】， ， 【分析】本题考查了比例的性质，解一元一次方程等知识点．设，先用分别表示出、、，代入，求得，再将的值代入可得答案． 【详解】解：设， 则，，， 又， ∴， 解得：， ∴， ， ． 20．如图，直线、交于点，，若，，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 求出，再根据平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 21．在边长为1的小正方形网格坐标系中，顶点均为格点，点，对应位似点． (1)描出AC中点D，写出点D坐标； (2)以原点O为位似中心，将放大得到，画出图形． 【答案】(1)如图，AC中点； (2) 【详解】解：（1）略 （2）由对应，得位似比为2，将各顶点坐标放大2倍，再取相反数，顺次连接即可得到．图略. 22．如图，平分，，若，，求的长． 【答案】 【分析】利用相似三角形的判定和性质，得到，推出，即可求出． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 23．如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． (1)请直接用含t的代数式表示的长和的长； (2)当t等于何值时，与相似？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据路程=速度时间列式即可； （2）分两种情况：当时，当时，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：当时，①若，则有， ， 又， 解得； ②由，若，则有， ， 解得（不合题意，舍去）； 当时，点与点重合，如图， ，只有当时，才有， ， 解得， 综上所述，或． 24．【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线 光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵光轴，光轴，光轴， ∴（F为右侧的那点，下面一样）， ∵ 光轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴，即， ∴． 【分析】（1）证明，得到，据此代入数值计算即可； （2）证明四边形是矩形，得到，证明，得到，证明，得到，则可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：像的长为； （2）略 25．阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图，中，点，分别在，边上，点，在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形：如图，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点． ②过点作交边于点，过点作于点．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点，，，均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，，．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图，可得正方形与正方形是以点为中心的位似图形，其相似比为______，正方形的边长为______； 任务： (1)请补全“理由”部分的推理过程； (2)直接写出“分析”中所缺的内容：______，______； 【答案】(1) 证明：四边形是正方形， ， ， ， 矩形为正方形； (2)，． 【分析】（1）根据正方形的判定定理进行补全即可解答； （2）根据正方形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，据此解答即可． 【详解】（1）略 （2）四边形是正方形， ， ， ， ， ， 即正方形与正方形是以点为中心的位似图形，其相似比为，正方形的边长为． 26．【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． (1)如图1，在正方形中，，交于点G，则______（填比值）； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作交于点M，过点B作交于点 乙方案：过点E作交于点M，过点G作交于点 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明． 【结论应用】 (3)如图3，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合．若，，求折痕的长； 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形中，，，，点E、F分别在线段上，且，求的值． 【答案】(1)1 (2)证明：甲方案：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N； 四边形是矩形， ，，， 四边形均为平行四边形，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ； 乙方案：如图2，过点E作交于点M，过点G作交于点N，交于点O， 四边形是矩形， ，，， 四边形均为矩形， ， ， ，， ，， ， ， 又， ， ， ∴． (3)折痕的长为 (4)的值为 【分析】（1）证明，则，即可得到答案； （2）甲方案：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N；证明， ，，再证明，根据相似三角形的性质进行解答即可；乙方案：如图2，过点E作交于点M，过点G作交于点N，交于点O，证明，，再证明，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）由矩形的性质可得，，由勾股定理得，由（2）可知，，即可得到答案； （4）过点D作，交的延长线于，过点A作交EF于点，连接AC，过点F作于点，过点E作于点，证明，则，证明，最后证明 ，利用相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）略 （3）解：由矩形的性质可得，， 由勾股定理得， 由（2）可知，， ， ， 即折痕的长为； （4）解：如图4，过点D作，交的延长线于，过点A作于点，连接，过点F作于点，过点E作于点， ， ，， 四边形是矩形， ∴， ，，， ， ， ∴， ∵ ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ， ， （不合题意舍去）或 ， ， 同（2）知， ， 又， ∴ ， ， ， ， ， 即的值为． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $