第13章 三角形 单元检测（提升卷）2026-2027学年人教版八年级数学上册

建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1 ．在一个直角三角形中，有一个锐角等于30o ，则另一个锐角的度数是 ( ) A ．150o B ．50o C ．70o D ．60o 2 ．下列长度的三条线段能组成三角形的是 ( ) A ．1cm ，2cm ，3.5cm B ．4cm ，5cm ，9cm C ．5cm ，8cm ，15cm D ．6cm ，8cm ，9cm 3 ．如图是跪姿射击的一种情形，由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射 击过程中保持稳定，其中蕴含的数学知识是 ( ) A ．三角形的任意两边之和大于第三边 B ．三角形具有稳定性 C ．三角形三个内角的和等于180o D ．三角形的三条中线交于一点 4．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E， C，F 在同一条直线上，上BAC = 上EDF = 90o, 上B = 45o, 上DEF = 60o ．当ADⅡBC 时，上 ADE 的大小为( ) A ．5o B ．15o C ．25o D ．35o 5．如图，BP 是 上ABC 的平分线，CP 是 上ACB 的邻补角的平分线，上ABP = 20o ，上ACP = 50o ，则 上 A 的度数为 ( ) A ．30o B ．50o C ．60o D ．70o 6 ．若 a 、b 、c 是三角形的三边长，则化简a —b— c + b— a — c + c —b— a 的结果为 ( ) A ．a + b + c B ． —3a +b + c C ． —a —b— c D ．2a —b— c 第十三章 三角形 提升卷（学生版） 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 7 ．如图，上A + 上B + 上C + 上D + 上E 的度数 ( ) A ．180o B ．210o C ．360o D ．270o 8．如图，在 △ABC 中，上ABC ，上ACB 的平分线交于点O ，连接AO ，AP 平分上OAC ，交OC 于点P ， 若 上BAC 的度数为x ，则上1+ 上2 的度数为 ( ) A ．x B ． C ．30o + x D ． 9．如图，点C 为线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作 △ACD 和 △BCE ，且上D = 2上DAC ， 上E = 2上EBC ．若 上DAC 的平分线与上EBC 的平分线的交于点P ，则上1与上2 的数量关系为 ( ) A ．上上1 B ．上上1 C ．上2 = 175o — 上1 D ．上2 = 115o + 上1 10．设 △ABC 的面积为 1．如图① , E1, D1 分别是AC, BC 的中点，BE1, AD1 相交于点O1,△BO1D1 与 △AO1E1 的面积差记为S1 ；如图② , E2, D2 分别是AC, BC 的 3 等分点，BE2, AD2 相交于点O2 ，△BO2D2 与△AO2E2 的面积差记为S2 ；如图③ , E3, D3 分别是AC, BC 的 4 等分点，BE3, AD3 相交于点O3,△BO3D3 与△AO3E3 的 面积差记为S3 … ，依此类推，则S2024 的值为 ( ) A ． B ． C ． D ． 第十三章 三角形 提升卷（学生版） 第 2 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11 ．一个三角形的三条边的长都是整数，其中两条边的长是 1 和 3 ，则第三条边的长是 ． 12 ．如图，AE、AD 分别是VABC 的高和角平分线，若上B = 35。，上C = 75o ，则上DAE = ． 13 ．如图，CE 是VABC 的外角上ACD 的平分线，CE 交BA 的延长线于点E ，已知上BAC - 上B = 56O ， 则 上E 的度数是 ． 14．如图，在Rt△ABC 中，上C = 90O ，上B = 52O ，D、E 分别在AB 、AC 上，将VADE沿DE 折叠得VFDE ， 且满足EF Ⅱ AB ，则上EDF = ． 15 ．定义：如果一个三角形一边长为 m ，另一条边长为2m ，那么我们把这个三角形叫做“特征三角 形” ，其中长为 m 的边叫作“特征边” ．已知在特征三角形ABC 中，AC = 4,BC = 6 ，边AB 是特征边， 那么边AB 的长为 ． 16 ．如图，在三角形ABC 中，上BAC = 36O ， 上ACB 是锐角，将三角形ABC 沿着射线BC 方向平移得 到三角形DEF （平移后点A ，B ，C 的对应点分别是D ，E ，F ），连接CD ，若在整个平移过程中， 上ACD 和上CDE 的度数之间存在 3 倍关系，则上CDE = ． 三、解答题（第 17 ，18 ，19 ，20 题，每题 6 分；第 21 ，22 ，23 题；每题 8 分；第 24 ，25 题，每 题 12 分；共 9 小题，共 72 分） 第十三章 三角形 提升卷（学生版） 第 3 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 17 ．已知三角形的三条边长为6、9 和x ． (1)若 6 是最短边长．求x 的取值范围； (2)若x 为整数，求三角形周长的最大值． 18．如图，在8 × 4 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 A，B，C 都是格点（小正方形的顶点）， 完成下列画图． (1)画出△ABC 的重心 P． (2)在已知网格中找出一个格点 D ，使△BCD 与 △ABC 的面积相等． 19 ．如图，在 △ABC 中，AD 是高，AE 是 上BAC 的平分线． (1)若上B = 32O, 上C = 60O ，求： ① 上DAC 的度数； ② 上DAE 的度数． (2)若AB 丄 AC, AC = 3, AB = 4, BC = 5 ，求AD 的长． 20 ．如图，在 △ABC 中，上A = 上ABC ，直线EF 分别交AB 、AC 和CB 的延长线于点D 、E 、F ． (1)若上FEC = 120O ，上F = 20O ，则上A = ________． (2)猜想上F + 上FEC 与 上 A 的关系，并说明理由． (3)在线段DF 上取一点M ，使得上MBC = 上F + 上FEC ，连接BM ，判断BM 与AC 的位置关系，并说明 理由． 第十三章 三角形 提升卷（学生版） 第 4 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 21 ．如图，在 △ABC 中，AD 平分 上BAC 交BC 于点D ． (1)若点P 为线段AD 上的一个点，过点P 作PE 丄 AD 交BC 的延长线于点E ． ①若上B = 35O ，上ACB = 85O ，则上E = ___________ 。； ②写出 上E 与 上B 、 上ACB 之间的数量关系，并说明理由． (2)若点P 在线段AD 的延长线上，过点P 作PE 丄 AD 交直线BC 于点E ，请你直接写出上PED 与 上ABC、上ACB 的数量关系__________． 22 ．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的 3 倍，这样的三角形我们称为“灵动三角形” ．如， 三个内角分别为120O ，40O ，20O 的三角形是“灵动三角形” ．如图，上MON = 60O ，在射线OM 上找一 点A ，过点A 作AB 丄 OM 交ON 于点B ，以 A 为端点作射线AD ，交线段OB 于点C （规定 0O < 上OAC < 90O ）． (1)上ABO 的度数为_____° , △AOB _____ ．（填“是”或“不是”灵动三角形）． (2)若上BAC = 60O ， △AOC 是“灵动三角形”吗？如果是请证明：如果不是请说明理由． (3)当△ABC 为“灵动三角形”时，直接写出上OAC 的度数． 第十三章 三角形 提升卷（学生版） 第 5 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 23 ．【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图 1 的图形看成“8”字形，并得出如下结论： 上A + 上B = 上C + 上D ，请你说明理由； 【尝试应用】（2）如图 2 ，AP 、CP 分别平分 上BAD 、上BCD ，若上B = 44O ，上D = 16O ，求 上P 的度数； 【拓展延伸】（3）如图 3 ，已知上B = α , 上D = β , 上上BAD ，上上BCD ，其中n ≥ 2 ， 且n 为整数，请利用上述结论或方法直接写出 上P 的度数．（用含 n ， α , β 的代数式表示） 24 ．【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图① , 我们把这个图 形形象地称为“飞镖模型” ，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图 1 ，探究 上 A 、 上B 、 上 C 、 上D 之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图 2 ，已知 上A + 上 C + 上E = 90O ,上B + 上D = 15 0O ，求 上 AFE 的度数； 【拓展延伸】 ②如图 3 ，已知AM∥EN, 上 B+ 上 D = 15 0O, 上 C + 上 E = 50 O，求上MAB 的度数． 第十三章 三角形 提升卷（学生版） 第 6 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 25 ．【问题探究】 （1）已知：如图 1，在 △ABC 中，上A = 60O ，BP ，CP 分别平分 上ABC 和 上ACB ，上BPC 的度数是______． （2）已知：如图 2，上DBC 与上ECB 分别是△ABC 的两个外角，且上DBC + 上ECB = 210O ，则上A = ______． 【拓展与应用】 （3）如图 3，在四边形ABCD 中，上F 为四边形ABCD 的 上ABC 的平分线及外角 上DCE 的平分线所在 的直线构成的锐角，若设上A = α , 上D = β , 求上F 的度数；（用含 α , β 的式子表示） （4）如图 4 ．BI 平分 上ABC ，CI 平分 上ACB ，把 △ABC 折叠，使点A 与点 I 重合，若上1+ 上2 = 130O ， 则上BIC = ______． 第十三章 三角形 提升卷（学生版） 第 7 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1 ．在一个直角三角形中，有一个锐角等于30o ，则另一个锐角的度数是 ( ) A ．150o B ．50o C ．70o D ．60o 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，已知一个锐角为30o ，另一 个锐角的度数即为90o 减去已知锐角的度数． 【详解】解： ∵在直角三角形中，两个锐角的和为90o ， ∴ 90o —30o = 60o ．故选：D． 2 ．下列长度的三条线段能组成三角形的是 ( ) A ．1cm ，2cm ，3.5cm B ．4cm ，5cm ，9cm C ．5cm ，8cm ，15cm D ．6cm ，8cm ，9cm 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，对 各选项逐一验证，判断是否满足条件． 【详解】解：A 、1cm ，2cm ，3.5cm ， 最大边为3.5cm ，另两边之和为1+ 2 = 3cm ， : 3 < 3.5 ， ∴ 不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B 、4cm ，5cm ，9cm ， 最大边为9cm ，另两边之和为4 + 5 = 9cm ， : 9 = 9 ， ∴ 三线段共线，无法构成三角形； C 、5cm ，8cm ，15cm ， 最大边为15cm ，另两边之和为5 +8 = 13cm ， : 13 < 15 ， : 不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； D 、6cm ，8cm ，9cm ， 最大边为9cm ，另两边之和为6 +8 = 14cm ， : 14 > 9 ，且6 + 9 > 8 ，8 + 9 > 6 均成立， : 满足三边关系，能组成三角形，故选：D ． 3 ．如图是跪姿射击的一种情形，由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射 击过程中保持稳定，其中蕴含的数学知识是 ( ) 第十三章 三角形 提升卷（解析版） 第 8 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 A ．三角形的任意两边之和大于第三边 B ．三角形具有稳定性 C ．三角形三个内角的和等于180。 D ．三角形的三条中线交于一点 【答案】B【分析】本题考查了三角形具有稳定性，结合题意得跪姿射击由右脚尖、右膝和左脚构 成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中保持稳定，进行作答即可． 【详解】解：依题意，跪姿射击由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击 过程中保持稳定， ∴蕴含的数学知识是三角形具有稳定性，故选：B 4．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E， C，F 在同一条直线上，上BAC = 上EDF = 90。, 上B = 45。, 上DEF = 60。．当ADⅡBC 时，上 ADE 的大小为( ) A ．5。 B ．15。 C ．25。 D ．35。 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到上DAE = 上BCA = 45。， 再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解： ∵ 上BAC = 90。, 上B = 45。， ∴ 上ACB = 45。， ∵ ADⅡBC ， ∴ 上DAE = 上ACB = 45。， ∵ 上DEF = 上DAE + 上ADE = 60。， ∴ 上ADE = 15。；故选：B． 5．如图，BP 是 上ABC 的平分线，CP 是 上ACB 的邻补角的平分线，上ABP = 20。，上ACP = 50。，则 上 A 的度数为 ( ) 第十三章 三角形 提升卷（解析版） 第 9 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 A ．30O B ．50O C ．60O D ．70O 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和”是解题的关键．利用角平分线的定义，可求出 上ABC ， 上ACM 的度数，由 上ACM 是 △ABC 的外角，利用三角形的外角性质，即可求出 上 A 的度数． 【详解】解：: BP 是 上ABC 的平分线，CP 是 上ACB 的邻补角的平分线， 上ABP = 20O ， 上ACP = 50O ， : 上ABC = 2上ABP = 2 × 20O = 40O ， 上ACM = 2上ACP = 2 × 50O = 100O ， :上ACM 是 △ABC 的外角， : 上A = 上ACM — 上ABC = 100O — 40O = 60O ．故选：C． 6 ．若 a 、b 、c 是三角形的三边长，则化简a —b— c + b— a — c + c —b— a 的结果为 ( ) A ．a + b + c B ． —3a +b + c C ． —a —b— c D ．2a —b— c 【答案】A【分析】本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简. 根据三角形三边之间的关系得出 a 、b 、c 之间的大小关系，再根据绝对值的性质求值． 【详解】解： ∵a 、b 、c 是三角形的三边长， ∴ a < b + c ，b < a + c ，c < a + b ， ∴ a —b— c < 0 ，b— a — c < 0 ，c — a —b < 0 ， ∴ a —b— c + b— a — c + c —b— a = —a + b + c —b + a + c —c + a + b = a + b + c ．故选：A． 7 ．如图，上A + 上B + 上C + 上D + 上E 的度数 ( ) A ．180O B ．210O C ．360O D ．270O 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角的性质和内角和定理，把所求的五个角转化在一个三角形中是解题 的关键．根据三角形外角的性质可得：上1 = 上C + 上E, 上2 = 上B + 上D ，再根据三角形内角和定理即即 可求解． 第 10 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：如图， ∵ 上1 = 上C + 上E, 上2 = 上B + 上D ， 又∵上1+ 上2 + 上A = 180O ， ∴ 上A + 上B + 上C + 上D + 上E = 180O ．故选：A． 8．如图，在 △ABC 中，上ABC ，上ACB 的平分线交于点O ，连接AO ，AP 平分上OAC ，交OC 于点P ， 若 上BAC 的度数为x ，则上1+ 上2 的度数为 ( ) A ．x B ．90O + x C ．30O + x D ．120O — x 【答案】B 【分析】在 △ABC 中，由三角形内角和定理可得上ABC + 上ACB = 180O — x ，由角平分线的定义得 上OBC + 上OCB = 90O — x ，在△OBC 中，由三角形内角和定理可得上 由角平分线定义得 上OAC = 上BAC = x ，上2 = 上OAC = x ，进而可求得上1+ 上2 = 90O + x ．本题主要考查了角平分线 的定义以及三角形内角和定理．熟练掌握角平分线的定义以及三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解： ∵ △ABC 中，上BAC = x ， ∴ 上ABC + 上ACB = 180O — 上BAC = 180O — x ， ∵ BO ，CO 分别平分 上ABC 和 上ACB ， ∴ 上OBC + 上OCB = 上ABC + 上ACB = 180O — x )= 90O — 2 (1)x ， 在△OBC 中，上1 = 180O — (上OBC+ 上OCB )= 180O — (|(90O — x ),= 90O + x ， ∵ 上ABC ， 上ACB 的平分线交于点O ， ∴ AO 平分 上BAC ， 又∵ AP 平分上OAC ， ∴ 上1+ 上 故选：B． 9．如图，点C 为线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作 △ACD 和 △BCE ，且上D = 2上DAC ， 上E = 2上EBC ．若 上DAC 的平分线与上EBC 的平分线的交于点P ，则上1与上2 的数量关系为 ( ) 第十三章 三角形 提升卷（解析版） 第 11 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 A ．上上1 B ．上上1 C ．上2 = 175O — 上1 D ．上2 = 115O + 上1 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算． 分别求出上1 = 3(上DAC + 上EBC)—180O ，上 再找到可以去掉上DAC + 上EBC 的 式子即可． 【详解】解： ∵ 上D = 2上DAC ，上E = 2上EBC ， ∴ 上DCA = 180O — 上D — 上DAC = 180O — 3上DAC ，上ECB = 180O — 上E — 上EBC = 180O — 3上EBC ， ∴ 上1 = 180O — 上DCA — 上ECB = 180O — (180O — 3上DAC)— (180O — 3上EBC) = 3(上DAC + 上EBC)—180O ， ∵ 上DAC 的平分线与上EBC 的平分线的交于点P ， ∴ 上2 = 180O — 上PAB — 上PBA ∵ 上1 = 3(上DAC + 上EBC)—180O， 即上上1 ．故选：A． 10．设 △ABC 的面积为 1．如图① , E1, D1 分别是AC, BC 的中点，BE1, AD1 相交于点O1,△BO1D1 与 △AO1E1 的面积差记为S1 ；如图② , E2, D2 分别是AC, BC 的 3 等分点，BE2, AD2 相交于点O2 ，△BO2D2 与△AO2E2 的面积差记为S2 ；如图③ , E3, D3 分别是AC, BC 的 4 等分点，BE3, AD3 相交于点O3,△BO3D3 与△AO3E3 的 面积差记为S3 … ，依此类推，则S2024 的值为 ( ) 第十三章 三角形 提升卷（解析版） 第 12 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 第十三章 三角形 提升卷（解析版） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【分析】本题考查了图形规律探索，找出点 D，E 角标的序号数与等分点的关系是解题关键，由题 意得E2024, D2024 分别是AC, BC 的 2025 等分点，再根据S△△ ABC ，S△△ ABC 分别求出 面积即可求出结论． 【详解】解：由题意得E2024, D2024 分别是AC, BC 的 2025 等分点，如下图： 故选：D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11 ．一个三角形的三条边的长都是整数，其中两条边的长是 1 和 3 ，则第三条边的长是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，求出第三边的取值范围是解题的关键．首先根据三角形 的三边关系确定第三边的取值范围，然后从中取整数即可． 【详解】解： ∵两条边长分别是1和3 ， ∴第三边的取值范围是2 < 第三边< 4 ， ∵三边均为整数， ∴第三边的长为 3 ，故答案为：3． 12 ．如图，AE、AD 分别是VABC 的高和角平分线，若上B = 35。，上C = 75o ，则上DAE = ． 第 13 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】20o 【分析】本题考查了三角形高线、角平分线，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出上BAE = 56o ，上CAE = 14o ，进而得出 上BAD 的度数， 进而得出答案． 【详解】解： ∵ AE 是VABC 的高， ∴ 上AEB = 上AEC = 90o ， ∵ 上B = 35。，上C = 75o ， ∴ 上BAE = 90o —35o = 55o ，上CAE = 90o —75o = 15o ， ∴ 上BAC = 55o +15o = 70o ， ∵ AD 是VABC 的角平分线 ∴ 上DAE = 55o —35o = 20o ．故答案为：20o ． 13 ．如图，CE 是VABC 的外角上ACD 的平分线，CE 交BA 的延长线于点E ，已知上BAC — 上B = 56o ， 则 上E 的度数是 ． 【答案】28o/28 度 【分析】本题考查了三角形的外角定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的一个外角等 于与它不相邻的两个内角之和．先求出上ACD = 上B + 上BAC ，再根据角平分线的定义求出 上上 最后根据三角形的外角定理，即可解答． 【详解】解： ∵ 上ACD = 上B + 上BAC ， ∵ CE 平分上ACD ， ∴ 上E = 上 故答案为：28o． 14．如图，在Rt△ABC 中，上C = 90o ，上B = 52o ，D、E 分别在AB 、AC 上，将VADE沿DE 折叠得VFDE ， 且满足EF Ⅱ AB ，则上EDF = ． 微信公众号：瑾言教育资料库 第十三章 三角形 提升卷（解析版） 第 14 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】71O /71 度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，图形的折叠，平行线的性质，三角形的外角性质．先求出 上A = 38O ，根据折叠的性质得到上EDF = 上EDA ，上DEF = 上DEA ，由平行线的性质得到上CEF = 上A = 38O ， 上EDA = 上DEF ，推出上EDF = 上EDA = 上DEF ，然后根据平角的定义得上CEF + 上DEF + 上DEA = 180O ，据 此求解即可． 【详解】解： ∵在Rt△ABC 中，上C = 90O ，上B = 52O ， ∴ 上A = 180O - (上C + 上B )= 180O - (90O + 52O )= 38O ， 由折叠的性质得：上EDF = 上EDA ，上DEF = 上DEA ， ∵ EF Ⅱ AB ， ∴ 上CEF = 上A = 38O ，上EDA = 上DEF ， ∴ 上EDF = 上EDA = 上DEF ， ∵ 上CEF + 上DEF + 上DEA = 180O ， ∴ 38O + 2上DEF = 180O ， ∴ 上DEF = 71O ， ∴ 上EDF = 71O ．故答案为：71O ． 15 ．定义：如果一个三角形一边长为 m ，另一条边长为2m ，那么我们把这个三角形叫做“特征三角 形” ，其中长为 m 的边叫作“特征边” ．已知在特征三角形ABC 中，AC = 4,BC = 6 ，边AB 是特征边， 那么边AB 的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了新定义，掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于 第三边是解题的关键． 先根据三角形三边关系求出2 < AB < 10 ，再根据“特征边”的定义分类讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，BC - AC < AB < AC + BC ， ∴ 2 < AB < 10 ， 若2m = AC = 4 ，则m = 2 （舍）； 若2m = BC = 6 ，则m = 3 ， ∴边AB 的长为 3 ，故答案为：3． 16 ．如图，在三角形ABC 中，上BAC = 36O ， 上ACB 是锐角，将三角形ABC 沿着射线BC 方向平移得 到三角形DEF （平移后点A ，B ，C 的对应点分别是D ，E ，F ），连接CD ，若在整个平移过程中， 上ACD 和上CDE 的度数之间存在 3 倍关系，则上CDE = ． 第 15 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】9O 或27O 或18O 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的外角性质，平移的性质，正确掌握相关性质内 容是解题的关键．先理解ABⅡDE ，且当点E 在线段BC 上，或当点E 在 △ABC 外时，过点C 作CGⅡAB ， 然后进行分类讨论且作图，运用数形结合思路，结合平行线的性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题得：ABⅡDE ， 当点E 在线段BC 上，过点C 作CGⅡAB ，如下图 : CG Ⅱ DE Ⅱ AB ①当上ACD = 3上CDE : CG Ⅱ DE Ⅱ AB :上ACG = 上BAC = 36O ，上CDE = 上DCG ， ∵ 上ACD = 3上CDE ； 又上ACG = 上ACD + 上DCG = 4上CDE ， ∴ 上CDE = 9O ， ②当3上ACD = 上CDE 时， 则上ACG = 上ACD + 上上CDE ， ∴ 上 当点E 在 △ABC 外时，过点C 作CG Ⅱ AB ，如下图： ①当上ACD = 3上CDE : CG Ⅱ DE Ⅱ AB ， : 上ACG = 上BAC = 36O ，上GCD = 上CDE ， ∵ 上ACD = 3上CDE， 又上ACD = 上ACG + 上GCD ， 微信公众号：瑾言教育资料库 第十三章 三角形 提升卷（解析版） 第 16 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 3上CDE = 上ACG + 上GCD 即上CDE = 18O ②当上ACD = 3上CDE 由图可知，上CDE < 上ACD ，此情况不成立；综上，上CDE = 9O 或27O 或18O ，故答案为：9O 或27O 或18O ， 三、解答题（第 17 ，18 ，19 ，20 题，每题 6 分；第 21 ，22 ，23 题；每题 8 分；第 24 ，25 题，每 题 12 分；共 9 小题，共 72 分） 17 ．已知三角形的三条边长为6、9 和x ． (1)若 6 是最短边长．求x 的取值范围； (2)若x 为整数，求三角形周长的最大值． 【答案】(1)6 ≤ x <15 ；(2)29 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用： （1）三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此可得9 — 6 < x < 9 + 6 ， 再由6 是最短边长，可得6 ≤ x <15； （2）根据（1）所求可得3 < x <15 ，则x 的最大值为 14 ，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：9 — 6 < x < 9 + 6 ，即3 < x < 15 ， :6 是最短边长， : x ≥ 6 ， :x 的取值范围是6 ≤ x <15 ； （2）解：由（1）可知，3 < x <15 ， : x 为整数， :x 的最大值为 14 ，: 三角形周长的最大值为6 + 9 +14 = 29 ． 18．如图，在8 × 4 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 A，B，C 都是格点（小正方形的顶点）， 完成下列画图． (1)画出△ABC 的重心 P． (2)在已知网格中找出一个格点 D ，使△BCD 与 △ABC 的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 第 17 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查了作图—应用与设计，三角形的面积，三角形的重心等知识，熟练掌握以上知识 点并灵活运用是解此题的关键． （1）重心是三角形中线的交点，作 △ABC 的中线CE ，BF 交于点P ，点P 即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，点P 即为所求， ( . )（2）解：如图，点D 或（ D’）即为所求， 19 ．如图，在 △ABC 中，AD 是高，AE 是 上BAC 的平分线． (1)若上B = 32 , 上C = 60 ，求： ① 上DAC 的度数； ② 上DAE 的度数． (2)若AB 丄 AC, AC = 3, AB = 4, BC = 5 ，求AD 的长． 【答案】(1)①30 ，②14 ； 【分析】本题考查了三角形内角和性质、角平分线的定义，三角形的等面积法求线段的长度，即可 作答 （1）先根据三角形内角和性质得上BAC = 88 ，再结合角平分线的定义得上EAC = 44 ，再结合AD 是 高，得出上DAC 的度数，再根据角的关系进行运算得出 上DAE 的度数，即可作答． （2）运用等面积法进行列式S△ 代入数值进行化简，即可作答． 【详解】（1）（1）解：①∵AD 是高， ∴ 上ADC = 90 ， ∴ 上DAC + 上C = 90 ， ∵ 上C = 60 ， 微信公众号：瑾言教育资料库 第十三章 三角形 提升卷（解析版） 第 18 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 上DAC = 30O ； ②∵上BAC + 上B + 上C = 180O, 上B = 32O, 上C = 60O ， ∴ 上BAC = 88O ， ∵ AE 是 上BAC 的平分线， ∴ 上DAE = 上EAC — 上DAC = 14O ； （2）解： ∵ AB 丄 AC, AD 是高， ∴ S△ABC = AB . AC ， ∵ AC = 3, AB = 4, BC = 5 ， ∴ × 4 × 3 = × 5 . AD ， ∴ AD = ． 20 ．如图，在 △ABC 中，上A = 上ABC ，直线EF 分别交AB 、AC 和CB 的延长线于点D 、E 、F ． (1)若上FEC = 120O ，上F = 20O ，则上A = ________． (2)猜想上F + 上FEC 与 上 A 的关系，并说明理由． (3)在线段DF 上取一点M ，使得上MBC = 上F + 上FEC ，连接BM ，判断BM 与AC 的位置关系，并说明 理由． 【答案】(1)70O ；(2)上F + 上FEC = 2上A ；(3)BM Ⅱ AC 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的判定， 对于（1），根据三角形内角和定理求出 上C ，再根据三角形内角和定理求出答案； 对于（2），根据三角形内角和定理可得答案； 对于（3），根据三角形内角和定理可得上MBC + 上C = 180O ，再根据“同旁内角互补，两直线平行” 得出答案． 【详解】（1）解：在△CEF 中，上FEC = 120O, 上F = 20O ， ∴ 上C = 180O — 上FEC — 上F = 40O ． ∵ 上A = 上ABC ，上A + 上ABC + 上C = 180O ， ∴ 上A = 70O ．故答案为：70O ； 微信公众号：瑾言教育资料库 第十三章 三角形 提升卷（解析版） 第 19 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：2上A = 上FEC + 上F ． 理由如下： ∵ 上C +(上FEC + 上F) = 180O ，上A + 上ABC + 上C = 180O ， ∴ 上C = 180O — (上FEC + 上F), 上C = 180O — 2上A ， 即2上A = 上FEC + 上F ； （3）解：MB Ⅱ AC ． 理由如下： ∵ 上MBC = 上F + 上FEC, 上C + 上F + 上FEC = 180O， ∴ 上MBC + 上C = 180O ， ∴ MB Ⅱ AC ． 21 ．如图，在 △ABC 中，AD 平分 上BAC 交BC 于点D ． (1)若点P 为线段AD 上的一个点，过点P 作PE 丄 AD 交BC 的延长线于点E ． ①若上B = 35O ，上ACB = 85O ，则上E = ___________ 。； ②写出 上E 与 上B 、 上ACB 之间的数量关系，并说明理由． (2)若点P 在线段AD 的延长线上，过点P 作PE 丄 AD 交直线BC 于点E ，请你直接写出上PED 与 上ABC、上ACB 的数量关系__________． 【答案】(1)①25 ；② 上上 理由见解析上上上ABC 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角. （1）①三角形的内角和求出 上BAC 的度数，平分线求出 上BAD 的度数，外角求出上EDP 的度数，再 根据直角三角形的两个锐角互余，求出 上E 的度数即可；②仿照①法，进行求解即可； （2）利用三角形的内角和定理，角平分线的性质和三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵上B = 35O ，上ACB = 85O ， ∴ 上BAC = 180O — 上B — 上ACB = 60O ， ∵ AD 平分 上BAC ， 第 20 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 上上 ∴ 上ADE = 上B + 上BAD = 65O ， ∵ PE 丄 AD ， ∴ 上E = 90O — 上ADE = 25O ；故答案为：25 ； ② 上上上B ，证明如下： ∵ AD 平分 上BAC ，上BAC = 180O — 上B — 上ACB ， ∵ PE 丄 AD ， （2）如图： ∵ AD 平分 上BAC ，上BAC = 180O — 上ABC — 上ACB ， ∵ PE 丄 AD ， ∴ 上PED = 90O — 上上上ABC ．故答案为：上上上ABC . 22 ．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的 3 倍，这样的三角形我们称为“灵动三角形” ．如， 三个内角分别为120O ，40O ，20O 的三角形是“灵动三角形” ．如图，上MON = 60O ，在射线OM 上找一 点A ，过点A 作AB 丄 OM 交ON 于点B ，以 A 为端点作射线AD ，交线段OB 于点C （规定 0O < 上OAC < 90O ）． (1)上ABO 的度数为_____° , △AOB _____ ．（填“是”或“不是”灵动三角形）． 第 21 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 (2)若上BAC = 60O ， △AOC 是“灵动三角形”吗？如果是请证明：如果不是请说明理由． (3)当△ABC 为“灵动三角形”时，直接写出上OAC 的度数． 【答案】(1)30° , 是；(2)△AOC 是“灵动三角形”；(3)80O 或52.5O 或30O 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、“灵动三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解 本题的关键． （1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出上ABO 的度数，根据“灵动三角形”的概念判断； （2）根据“灵动三角形”的概念证明即可； （3）根据0O < 上OAC < 90O ，点C 在线段OB 上，根据“灵动三角形”的定义分六种情况进行计算即可． 【详解】（1）解: ∵ AB 丄 OM ， ∴ 上OAB = 90O ， ∴ 上ABO = 90O — 上MON = 30O， ∵ 上OAB = 3上ABO ， ∴ △AOB 为“灵动三角形”， 故答案为30；是； （2）解: △AOC 是“灵动三角形” 理由: ∵ 上BAC = 60O ，上OAB = 90O ， ∴ 上OAC = 30O ， 又上MON = 60O ， ∴ 上ACO = 90O ， ∴ 上ACO = 3上OAC ， ∴△AOC 是“灵动三角形”； （3）解: ∵ △ABC 为“灵动三角形”， ∵点C 在线段OB 上，0O < 上OAC < 90O ， ∵ 上ABO = 30O ， ∴ 上BAC＋上BCA = 150O，上ACB ＞60O ，上BAC ＜90O ， Ⅰ 、当上ABC = 3上BAC 时，上BAC = 10O ， ∴ 上OAC = 80O ， Ⅱ 、当上ABC = 3上ACB 时， ∴ 上ACB = 10O ∴此种情况不存在， Ⅲ 、当上BCA = 3上BAC 时， ∴ 上BAC＋3上BAC = 150O ， 微信公众号：瑾言教育资料库 第十三章 三角形 提升卷（解析版） 第 22 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 上BAC = 37.5O ， ∴ 上OAC = 52.5O ， Ⅳ 、当上BCA = 3上ABC 时， ∴ 上BCA = 90O ， ∴ 上BAC = 60O ， ∴ 上OAC = 90O — 60O = 30O ， Ⅴ 、当上BAC = 3上ABC 时， ∴ 上BAC = 90O ， ∴ 上OAC = 0O ， ∵点C 与点O 不重合， ∴此种情况不成立， Ⅵ 、当上BAC = 3上ACB 时， ∴ 3上ACB＋上ACB = 150 ° , ∴ 上ACB = 37.5O ， ∴此种情况不存在， 综上所述，当 △ABC 为“灵动三角形”时，上OAC 的度数为80O 或52.5O 或30O ． 23 ．【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图 1 的图形看成“8”字形，并得出如下结论： 上A + 上B = 上C + 上D ，请你说明理由； 【尝试应用】（2）如图 2 ，AP 、CP 分别平分 上BAD 、上BCD ，若上B = 44O ，上D = 16O ，求 上P 的度数； 【拓展延伸】（3）如图 3 ，已知上B = α , 上D = β , 上上BAD ，上上BCD ，其中n ≥ 2 ， 且n 为整数，请利用上述结论或方法直接写出 上P 的度数．（用含 n ， α , β 的代数式表示） 【答案】（1）见解析 （2）30° （3） 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等，利用类比的思想解 答是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，对顶角相等，即可求证； （2） ① + ② , 得2上P + 上1+ 上3 = 上2 + 上4 + 上B + 上D ，再由角平分线的定义，得到上P = 上B + 上D) ， 即可求解； 第 23 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 （3）利用（1）的结论及（2）的思路得 上P + 上BCP = 上B + 上BAP 、上P + 上PAD = 上D + 上PCD ；结合 上上BAD 、上上BCD ，推出上上BAD 、上上BCD ；代入得到含 上P 、 上BAD 、上BCD 的两个等式①②；对①式乘(n - 1) 后与②式相加，消去 上BAD 、上BCD ，整理得 上 。 【详解】解：（1）: △AOB和△COD ， :上A + 上B + 上AOB = 180。，上C+ = D + 上COD = 180。． : 上AOB = 上COD ， : 上A + 上B = 上C + 上D （2）: AP、CP 分别平分 上BAD、上BCD ， :上1 = 上2, 上3 = 上4 ， 由 可知 由①+②可得2上P + 上1+ 上3 = 上2 + 上4 + 上B + 上D ， : 2上P = 上B + 上D ，即上 : 上B = 44。，上D = 16。， （3）直接写出结论：上 由（1）可知： 上P + 上BCP = 上B + 上BAP ， 上P + 上PAD = 上D + 上PCD ， : 上P + 上BCD = α + 上BAD ① , 由①× (n -1) + ②得： n上P = (n -1) α + β , 24 ．【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图① , 我们把这个图 形形象地称为“飞镖模型” ，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 第 24 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 （1）如图 1 ，探究 上 A 、 上B 、 上 C 、 上D 之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图 2 ，已知 上A + 上 C + 上E = 90O ,上B + 上D = 15 0O ，求 上 AFE 的度数； 【拓展延伸】 ②如图 3 ，已知AM∥EN, 上 B+ 上 D = 15 0O, 上 C + 上 E = 50 O，求上MAB 的度数． 【答案】（1） 上ABC = 上A + 上ADC + 上C ，证明见解析；（2）①60O ；②100O ． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法 解决问题． （1）连接DB ，并延长至点E ，利用三角形的外角求解即可； （2）连接CF ，利用（1）中结论可得上B = 上A + 上AFC + 上BCF ，上D = 上E + 上EFC + 上DCF ，结合已知 可求解； （3）在直线EN 上取一点P ，连接AP ，利用（2）中结论可得上1 + 上3 = 100O ，再利用平行线的性质 可得 上2 = 上3 ，进而得到上1 + 上2 = 100 °即可求解． 【详解】解：（1） 上ABC = 上A + 上ADC + 上C ． 证明：如图，连接DB ，并延长至点E ， ∵ 上A + 上ADB = 上ABE ，上C + 上CDB = 上CBE ， ∵ 上ABC = 上ABE + 上CBE ∴ 上ABC = 上A + 上ADB + 上CDB + 上C ∴ 上ABC = 上A + 上ADC + 上C ； （2）①如图，连接CF ， 由（1）可知上B = 上A + 上AFC + 上BCF ，上D = 上E + 上EFC + 上DCF ， 微信公众号：瑾言教育资料库 第十三章 三角形 提升卷（解析版） 第 25 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 上B + 上D = 150O ，上A + 上BCD + 上E = 90O ， ∴ 150O = 上A + 上AFC + 上BCF + 上E + 上EFC + 上DCF ， ∴ 150O = 90O + 上AFC + 上EFC ， ∴ 上AFE = 60O ； ②如图，在直线EN 上取一点P ，连接AP ， 由①可知上B + 上D = 150O = 上1 + 上3 + 上C＋上E ， ∵ 上C + 上E = 50O ∴ 上1 + 上3 = 100O ∵ AM Ⅱ EN ∴ 上2 = 上3 ∴ 上1 + 上2 = 100 ° ∴ 上MAB = 100O ． 25 ．【问题探究】 （1）已知：如图 1，在 △ABC 中，上A = 60O ，BP ，CP 分别平分 上ABC 和 上ACB ，上BPC 的度数是______． （2）已知：如图 2，上DBC 与上ECB 分别是△ABC 的两个外角，且上DBC + 上ECB = 210O ，则上A = ______． 【拓展与应用】 （3）如图 3，在四边形ABCD 中，上F 为四边形ABCD 的 上ABC 的平分线及外角 上DCE 的平分线所在 的直线构成的锐角，若设上A = α , 上D = β , 求上F 的度数；（用含 α , β 的式子表示） （4）如图 4 ．BI 平分 上ABC ，CI 平分 上ACB ，把 △ABC 折叠，使点A 与点 I 重合，若上1+ 上2 = 130O ， 则上BIC = ______． 【答案】（1）120O ;（2）30O ；（3） （4）122.5O 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，轴对 称的性质； 第 26 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 （1）在 △ABC 中， 上ABC + 上ACB = 180O — 60O = 120O ，结合角平分线的含义可得 上PBC + 上PCB = 上ABC + 上ACB )= 60O ，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （2）求解上ABC + 上ACB = 180O +180O — (上DBC + 上ECB) = 150O ，再进一步利用内角和定理可得答案； （3）延长BA ，CD 交于点O ，同（2）可得上Q = α + β —180 O，证明上上QBC ，上上DCE ， 结合外角的性质可得上Q = 上DCE — 上QBC ，2上F = 2上FCE — 2上FBC = 上DCE — 上QBC ，可得上Q = 2上F ， 进一步求解即可； （4）求解上ADI + AEI = 180O +180O — (上1+ 上2) = 230O ，上A = 上DIE ，可得上A = 上DIE = 360O — 230O) = 65O ， 由（1）得：上BIC = 90O + 上A = 90O + 32.5O = 122.5O ． 【详解】解：（1）在 △ABC 中，上A = 60O ， ∴ 上ABC + 上ACB = 180O — 60O = 120O ， ∵ BP ，CP 分别平分 上ABC 和 上ACB ， ∴ 上PBC = 上ABC ，上PCB = 上ACB ， ∴ 上PBC + 上PCB = 上ABC + 上ACB )= 60O ， ∴ 上BPC = 180O — (上PBC + 上PCB) = 120O ；故答案为：120O ． （2） ∵ 上DBC 与上ECB 分别是△ABC 的两个外角，且上DBC + 上ECB = 210O ， ∴ 上ABC + 上ACB = 180O +180O — (上DBC + 上ECB) = 360O — 210O = 150O ， ∴ 上A = 180O — (上ABC + 上ACB) = 180O —150O = 30O ；故答案为：30O ． （3）延长BA ，CD 交于点Q ， ∵ 上BAD = α , 上ADC = β , 同（2）可得上Q = α + β —180O ， ∵ 上F 为四边形ABCD 的 上ABC 的平分线及外角 上DCE 的平分线所在的直线构成的锐角， ∴ 上FBE = 上QBC ，上FCE = 上DCE ， ∵ 上DCE = 上QBC + 上Q ，上FCE = 上FBC + 上F ， ∴ 上Q = 上DCE — 上QBC ，2上F = 2上FCE — 2上FBC = 上DCE — 上QBC ， ∴ 上Q = 2上F ， 微信公众号：瑾言教育资料库 第十三章 三角形 提升卷（解析版） 第 27 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 （4） ∵ 上1+ 上2 = 130O ，结合折叠， ∴ 上ADI + AEI = 180O +180O — (上1+ 上2) = 230O ，上A = 上DIE ， ∵ BI 平分 上ABC ，CI 平分 上ACB ， 由 得：上上A = 90O + 32.5O = 122.5O ． 第 28 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $