专题02 代数式的值（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

专题02 代数式的值 （题型突破·举一反三） 题型1 已知字母的值，求代数式的值 题型2 已知式子的值，求相关代数式的值 题型3 根据程序流程图计算代数式的值 题型4 由输出结果反推输入值 题型5 数字类规律探索 题型6  图形类规律探索 ▌题型01 已知字母的值，求代数式的值 1. 代入法求代数式的值 将字母的具体数值代入代数式，按照代数式指明的运算顺序计算，所得结果就是代数式的值。 2. 代入计算的步骤 ① 确定字母的取值（有时需先根据条件求出字母的值）。 ② 将字母的值代入代数式，注意对应字母的数值不要代错。 ③ 按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算。 3. 整体代入思想 当字母的值不易直接求出，或代数式较为复杂时，可将某个含字母的式子看作一个整体，直接代入求值。 4. 易错提醒 ① 代入负数时，未加括号，导致符号错误。 ② 代入分数时，乘方运算未加括号。 ③ 代数式中省略的乘号，代入数值后忘记补上。 【典例1】（26-27七年级上·黑龙江·期中）若，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直接代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式1-1】（26-27七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c对应的点在原点左侧且距离原点3个单位长度，则的值为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】要求的值，需先根据题意确定、、的取值． 【详解】解：由题意得，，， 则． 【变式1-2】（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）若是的相反数，是最大的负整数，则____________ ． 【答案】 【分析】根据相反数的定义和整数性质求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是的相反数， ∴， ∵是最大的负整数， ∴， 将，代入得． 【变式1-3】（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）数学家发明了一个魔术盒，当任意数对放入其中时，会得到一个新数：．例如把放入其中，就会得到．现在将数对放入其中得到数，再将数对放入其中后，得到的数是______． 【答案】 【分析】根据魔术盒给定的运算规则，先求出的值，再代入计算最终得到的数． 【详解】解：由题意得，将数对代入运算规则， 得 ， 将数对再次代入运算规则， 得 ． 【变式1-4】（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）已知：，，，求的值． 【答案】的值为或 【分析】根据绝对值和平方的性质，分别求出x与y的所有可能的值，根据确定x、y的对应取值，分别计算两种情况的的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴x与y异号，分为两种情况： 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或． ▌题型02 已知式子的值，求相关代数式的值 1. 整体代入法 当已知一个含字母的式子的值，要求另一个相关代数式的值时，可将已知式子看作一个整体，代入所求代数式。 2. 常见变形技巧 ① 倍数关系：若已知，则 ② 拆分重组：将所求代数式拆成含已知式子的部分与常数部分之和。 ③ 比例设参：若，可设比值为k，用 k表示a, b, c后代入。 3. 解题步骤 ① 观察所求代数式与已知式子的关系。 ② 通过变形（提公因式、拆项、添项等）将所求式子用已知式子表示。 ③ 整体代入计算。 4. 易错提醒 ① 整体代入时符号处理错误。 ② 变形过程中漏乘或漏项。 ③ 设比例系数时，忘记检验结果是否符合题意。 【典例1】（26-27七年级上·四川·期中）若，则_____________． 【答案】 【分析】将所求代数式变形为含的形式，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴等式两边同乘，得， ∴将代入所求代数式，得． 【变式1-1】（26-27七年级上·湖北·期中）若，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】运用整体思想是解答本题的关键．代数式中是的倍，故用整体代入法即可解决． 【详解】解：． 【变式1-2】（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）已知，则________． 【答案】 【分析】已知，设比例系数为，将用表示后代入所求分式计算即可． 【详解】解：设，则，，， 则． 【变式1-3】（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）若x，y满足等式，且，则式子的值为______． 【答案】 【分析】先整理已知等式得到，再对所求代数式拆项重组，整体代入与求值． 【详解】解：，， ，， ． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知 整体代入代数式，直接计算即可得到结果； （2）将已知 整体代入代数式，直接计算即可得到结果． 【详解】（1）解：已知， 将代入 ， 得：原式； （2）解：将代入， 得：原式． ▌题型03 根据程序流程图计算代数式的值 1. 程序流程图的理解 ① 按箭头方向依次进行每一步运算。 ② 遇到判断框时，根据条件判断走“是”或“否”分支。 ③ 若结果不满足输出条件，则结果作为新的输入再次进入循环，直到满足条件为止。 2. 常见运算框含义 ① “×3”表示乘 3，“−2”表示减 2。 ② “计算 2x+5 的值”表示对当前输入x求 2x+5。 ③ “>70”表示判断当前结果是否大于 70。 3. 循环结构的处理 ① 先计算第一次的结果。 ② 判断是否满足输出条件。 ③ 若不满足，将结果作为新的输入继续计算，直到满足条件。 4. 易错提醒 ① 忽略循环结构，只计算一次就输出。 ② 判断条件理解错误，走错分支。 ③ 多次循环时，前后结果混淆。 【典例1】（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于0”为一次程序操作．若输入9，程序输出的值为（   ） A．73 B．75 C．72 D．70 【答案】A 【分析】根据程序框图，将代入计算，若结果不大于则继续代入计算，直到结果大于为止． 【详解】解：当时，， ， 需再次输入计算． 当时，， ， 输出结果为． 【变式1-1】（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（     ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】把代入运算程序中，计算可得，根据，那么需再次代入得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴需把再次代入，可得， ∵， ∴输出的结果为． 【变式1-2】（26-27七年级上·陕西·期中）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第一次输出的结果为，则第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值、数字类规律探索，理解程序框图的计算规则是解答此题的关键．先计算前几次输出的结果，进行归纳推理得出一般性的规律，从而确定第次输出的结果． 【详解】解：当输入的值为时， 第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， …， 输出的结果以，，这三个数进行循环， 第次输出的结果为． 【变式1-3】（26-27七年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图所示的运算程序中，若开始输入的x的值为15，则第一次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，……，第2026次输出的结果为（） A．18 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】通过计算前几次输出结果，发现从第4次开始呈现“6，3”的循环规律，根据次数的奇偶性即可确定结果． 【详解】解：第1次输出结果为， 第2次输出结果为， 第3次输出结果为， 第4次输出结果为， 第5次输出结果为， 第6次输出结果为， 第7次输出结果为， …… ∴从第4次开始，输出结果在，之间循环，且偶数次输出，奇数次输出． ∵为偶数， ∴第次输出的结果为． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”．下面是一组“数值转换机”，请填写下表，并写出图（1）的输出结果、图（2）的运算过程． 输入 0 0.26 4.5 图（1）的输出 图（2）的输出 【答案】解：填表如下 输入 0 0.26 4.5 图（1）的输出 12 24 图（2）的输出 9 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 【分析】根据程序流程图，代入字母的值进行计算即可. 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表略． ▌题型04 由输出结果反推输入值 1. 逆推法的基本思路 已知输出结果，沿程序流程图逆推输入值。逆推时，每一步运算都取其逆运算。 2. 分类讨论的必要性 当程序流程图中含判断条件（如为正数等）时，需根据条件分情况讨论，分别求解后检验是否符合条件。 3. 逆推步骤 ① 根据输出结果，确定所走的分支。 ② 沿分支逆推，逐步还原输入值。 ③ 检验所求输入值是否满足分支条件，舍去不合题意的解。 4. 易错提醒 ① 只考虑一种情况，遗漏其他分支的解。 ② 逆推时运算错误（如加减、乘除颠倒）。 ③ 求出解后，未检验是否满足判断条件。 【典例1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是4，则输出y的值为1．若输出y的值为8，则输入x的值是________． 【答案】18或 【分析】本题考查了代数式求值与流程图，理解图示，掌握代数式的计算是关键，根据题意，分类讨论即可求解． 【详解】解：输入x的值是4，则输出y的值为1， ∵， ∴， 解得，， ∴输出y的值为8时， 第一种情况，，则，解得，，符合题意； 第二种情况，，则，解得，，符合题意； 故答案为：或 ． 【变式1-1】（23-24七年级下·河北邯郸·期中）根据如图所示的计算程序，若输入的值，则输出的值__________，若输出的值，则输入的值__________．      【答案】 2 4 【分析】按照运算流程计算即可； 【详解】当时，对应，故输出的值为，故答案为：2 当时，对应，故代入，得，解得输入值，故答案为：4 故答案为：2,4 【点睛】本题考查了流程图与代数式的计算，正确理解流程图，根据题目条件，选对数学表达式是解题的关键． 【变式1-2】（25-26七年级下·河北唐山·期中）某运算程序如图所示，若输入的值是3，则输出的值是1；若输出的值是，则输入的值是______． 【答案】 【分析】先求出的值，之后将分别代入和的情况，再将解出的值看是否符合当前的取值范围． 【详解】解：将和代入， 解得， 当时， 将代入， 得， 不符合，故舍去． 当时， 将代入， 得， 符合， ． 【变式1-3】（24-25七年级上·山东潍坊·期末）根据流程图中的程序，当输出数值y为1时，输入数值x为___________． 【答案】2 【分析】根据题意，分两种情况：(1)时，(2)时，求得当输出数值y为1时，输入的数值x即可． 【详解】解：(1)当，时，得， 解得或(不符合题意，舍去)， (2)当，时， ， 解得(不符合题意，舍去)， 综上，输入数值x为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了程序框图的有关计算，理解题意，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 【变式1-4】（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）根据如图所示的计算程序，若输出的值为，则输入的值为______． 【答案】4 【分析】根据题意可知，而，故x不会是负数的情况，当x为正数时，则有，解即可求x． 【详解】解：根据题意可知， 输出的值为，则， ∵，故x不会是负数的情况， 当x为正数时，， 解得， 故答案是4． 【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是看懂程序图，知道有两种情况，并能排除一种情况． ▌题型05 数字类规律探索 1. 数字规律探索的方法 ① 列出前几项，观察数字的变化趋势。 ② 分析相邻两项之间的差、比或运算关系。 ③ 归纳出第n项的表达式，并验证。 2. 常见规律类型 ① 等差数列型：第n项为a + (n-1)d。 ② 等比数列型：第n项为。 ③ 平方数型：第n项为或2n-1。 ④ 递推型：第n项由前几项通过固定运算得到。 3. 数阵中的规律 ① 第m行的数字最大为。 ② 奇数行数字从大到小排列，偶数行数字从小到大排列。 4. 易错提醒 ① 归纳规律时，前几项不具代表性，需验证更多项。 ② 通项公式中符号（正负）处理不当。 ③ 数阵中行、列的对应关系搞错。 【典例1】（26-27七年级上·陕西·期中）将正整数1，2，3，4，5，6，……，按如下数阵排列，用数对表示该数阵中从上到下、从左到右第行第个数字，如表示14，则2024用数对表示为_______． 【答案】 【分析】第m行的数字最大为，通过计算确定2024所在的行数和列数即可求出． 【详解】解：由数阵可知：第m行的数字最大为， ∵，，且， ∴2024在第45行， 第45行为奇数行， ∵奇数行数字从大到小排列，该行第一个数字为2025，第二个数字为2024， ∴2024位于第2个， 用数对表示为． 【变式1-1】（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个正整数中，任取两个不同的数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；…．若，则的值为________；若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据题意列举得到偶数对应取法种数的规律，代入计算即可． 【详解】解：根据题意，任取两个不同的数，不妨设， ∵任取两数之和大于 ∴， ∵所求的和均为偶数， ∴只需探究为偶数时的规律， 当时，； 当时，， 当时，有，，，，，，，和，种取法， ∴当时，， …… ∴当为偶数时，， ∴当时，． 【变式1-2】（26-27七年级上·广西南宁·阶段检测）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； (1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第四个等式_____________________： (2)根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式：_____________________； (3)请利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3) 【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出第四个等式； （2）根据题目中式子的特点可以写出第n个等式； （3）根据发现的规律，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：第四个等式：； （2）解：第n个等式：（为正整数）； （3）解： ． 【变式1-3】（2026七年级上·全国·专题练习）观察以下等式（参考数据：）： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)请观察以上等式，写出第5个等式：________； (2)根据以上等式发现的规律，用含字母的式子表示第个等式：________； (3)请利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据所列式子得出规律． 【详解】（1）； （2）； （3） ． 【变式1-4】（26-27七年级上·河南新乡·阶段检测）我们规定：n个相同的非零有理数的商可以表示为（，2，………），读作“a的圈n次方”．，读作“的圈4次方”． (1)直接写出计算结果：_____，_____． (2)若n为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈n次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈n次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数；⑤圈n次方等于它本身的数是1或．其中所有正确结论的序号是_____． (3)试说明（m，n为正整数，且）． 【答案】(1)1，4 (2)②④ (3)证明：根据“a的圈n次方”的定义，可得，， ∴ ． 【分析】（1）根据“a的圈n次方”的定义计算即可； （2）根据“a的圈n次方”的定义，逐一分析判断即可； （3）根据“a的圈n次方”的定义证明即可． 【详解】（1）解：， ； （2）根据题意，可得， ①令，因为， 所以原说法错误； ②根据可得，负数的圈奇数次方即为奇数，则为奇数，此时结果是负数， 负数的圈偶数次方即为偶数，则为偶数，此时结果是正数，该说法正确； ③，当为偶数时，， 所以互为相反数的两个数的圈次方不一定互为相反数，故原说法错误； ④，即互为倒数的两个数的圈次方互为倒数，该说法正确； ⑤当，n为偶数时，不满足圈次方等于它本身，故原说法错误． 综上所述，所有正确结论的序号是②④； （3）略 ▌题型06 图形类规律探索 1. 图形规律探索的方法 ① 从简单图形入手，数出前几个图形中所需元素的数量。 ② 分析相邻图形之间的数量变化规律（增加或减少的量）。 ③ 用含n的代数式表示第n个图形对应的数量。 2. 常见图形规律模型 ① 线性增长型：第n个图形数量为a + (n-1)d。 ② 平方增长型：第n个图形数量为或 n(n+1)+2。 ③ 分形型：每个图形由前一个图形按固定方式扩展而成。 3. 数形结合思想 利用图形直观表示数量关系，通过图形分割、拼接等方法，将抽象的数量关系可视化。 4. 易错提醒 ① 图形规律中，相邻图形变化量判断错误。 ② 代数式书写不规范。 ③ 验证规律时，未代入更多项检验。 【典例1】（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）仔细观察下图，按照此规律，第5个图形中有_______个，第个图形中有_______个． 【答案】 / 【分析】观察图形特点，从中找出规律，它们的★数分别是5，8，11，14，17，…，总结出其规律，根据规律求解． 【详解】解：通过观察，得到的★数分别是5，8，11，14，17，…， 第一个图形为：， 第二个图形为：， 第三个图形为：， 第四个图形为：， …， 所以第n个图形为：个， 当时，个． 【变式1-1】（26-27七年级上·北京·期中）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，，依此规律，第5个图形的小圆个数是______，第个图形的小圆个数是______．（用含的代数式表示）. 【答案】 【分析】通过分析前几个图形中小圆个数，找出其数量变化规律，进而推导出第个图形中小圆个数的表达式． 【详解】解：由图可知， 第1个图形的小圆个数是； 第2个图形的小圆个数是； 第3个图形的小圆个数是； 第4个图形的小圆个数是； 第5个图形的小圆个数是； 第个图形的小圆个数是． 【变式1-2】（26-27七年级上·陕西榆林·开学考试）如图，用小棒摆图案，第1个图用9根小棒，第2个图用13根小棒，第3个图用17根小棒，……，按这样的规律继续摆下去，第n个图用( )根小棒．（用含n的式子表示） 【答案】 / 【分析】首先，认真观察图形，对照相邻两个图形之间的差异，然后，找出变化的部分及不变的部分与对应第几个图形之间的关系，最后，归纳总结出规律即可． 【详解】解：观察图形可知：第1个图形所用小棒的根数为：； 第2个图形所用小棒的根数为：； 第3个图形所用小棒的根数为：， 根据此规律可得第n个图形中需要小棒根． 【变式1-3】（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）观察如图图形和对应表达式． (1)请在图中的框中画出第5个图形，并写出它对应的表达式； (2)请直接写出第n个图形对应的表达式：________； (3)请用上面的规律计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题干中的规律写出第5个图形对应的表达式即可； （2）总结题干中的规律写出第n个图形对应的表达式即可； （3）结合题意将变形为，再结合题干所总结的规律求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：因为第1个图形对应的表达式为：， 第2个图形对应的表达式为：， 第3个图形对应的表达式为：， …… 所以第n个图形对应的表达式为； （3）解：∵，， ∴原式 ． 【变式1-4】（26-27七年级上·陕西·期中）在解决数学问题时，我们经常会用到“数形结合”的思想方法，它的核心在于建立“数”与“形”之间的关系，从而将抽象的数量关系用直观的图形表现出来． (1)如图1，为了计算的值，我们构造以下图形共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有 个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有个点，由此可得 ，用此方法，可求得 ______； (2)如图3，观察点阵图，回答下列问题： ①， ， ， 则______，______， ② ______（用含的代数式表示）； (3)如图4是一个边长为1的正方形，请借助图形求的值．（要求：画出示意图，借助示意图求出式子的运算结果） 【答案】(1) (2)①，② (3)， 【分析】（1）根据图1图2的计算方法找到规律求解即可； （2）①根据前三项的规律求解即可；②根据①的规律求解即可． （3）把正方形按分为和两部分，依次类推分割求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ， ， ，， ②由① 可得； （3）解：由题意画出图形如下： 第一次将正方形分割为和两部分， 第二次将正方形的部分分割为和两部分， 第三次将正方形的部分分割为和两部分， 第四次将正方形的部分分割为和两部分， 由分割图形可知． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 代数式的值 （题型突破·举一反三） 题型1 已知字母的值，求代数式的值 题型2 已知式子的值，求相关代数式的值 题型3 根据程序流程图计算代数式的值 题型4 由输出结果反推输入值 题型5 数字类规律探索 题型6  图形类规律探索 ▌题型01 已知字母的值，求代数式的值 1. 代入法求代数式的值 将字母的具体数值代入代数式，按照代数式指明的运算顺序计算，所得结果就是代数式的值。 2. 代入计算的步骤 ① 确定字母的取值（有时需先根据条件求出字母的值）。 ② 将字母的值代入代数式，注意对应字母的数值不要代错。 ③ 按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算。 3. 整体代入思想 当字母的值不易直接求出，或代数式较为复杂时，可将某个含字母的式子看作一个整体，直接代入求值。 4. 易错提醒 ① 代入负数时，未加括号，导致符号错误。 ② 代入分数时，乘方运算未加括号。 ③ 代数式中省略的乘号，代入数值后忘记补上。 【典例1】（26-27七年级上·黑龙江·期中）若，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c对应的点在原点左侧且距离原点3个单位长度，则的值为（     ） A．2 B． C．4 D． 【变式1-2】（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）若是的相反数，是最大的负整数，则____________ ． 【变式1-3】（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）数学家发明了一个魔术盒，当任意数对放入其中时，会得到一个新数：．例如把放入其中，就会得到．现在将数对放入其中得到数，再将数对放入其中后，得到的数是______． 【变式1-4】（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）已知：，，，求的值． ▌题型02 已知式子的值，求相关代数式的值 1. 整体代入法 当已知一个含字母的式子的值，要求另一个相关代数式的值时，可将已知式子看作一个整体，代入所求代数式。 2. 常见变形技巧 ① 倍数关系：若已知，则 ② 拆分重组：将所求代数式拆成含已知式子的部分与常数部分之和。 ③ 比例设参：若，可设比值为k，用 k表示a, b, c后代入。 3. 解题步骤 ① 观察所求代数式与已知式子的关系。 ② 通过变形（提公因式、拆项、添项等）将所求式子用已知式子表示。 ③ 整体代入计算。 4. 易错提醒 ① 整体代入时符号处理错误。 ② 变形过程中漏乘或漏项。 ③ 设比例系数时，忘记检验结果是否符合题意。 【典例1】（26-27七年级上·四川·期中）若，则_____________． 【变式1-1】（26-27七年级上·湖北·期中）若，则代数式的值是________． 【变式1-2】（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）已知，则________． 【变式1-3】（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）若x，y满足等式，且，则式子的值为______． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． ▌题型03 根据程序流程图计算代数式的值 1. 程序流程图的理解 ① 按箭头方向依次进行每一步运算。 ② 遇到判断框时，根据条件判断走“是”或“否”分支。 ③ 若结果不满足输出条件，则结果作为新的输入再次进入循环，直到满足条件为止。 2. 常见运算框含义 ① “×3”表示乘 3，“−2”表示减 2。 ② “计算 2x+5 的值”表示对当前输入x求 2x+5。 ③ “>70”表示判断当前结果是否大于 70。 3. 循环结构的处理 ① 先计算第一次的结果。 ② 判断是否满足输出条件。 ③ 若不满足，将结果作为新的输入继续计算，直到满足条件。 4. 易错提醒 ① 忽略循环结构，只计算一次就输出。 ② 判断条件理解错误，走错分支。 ③ 多次循环时，前后结果混淆。 【典例1】（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于0”为一次程序操作．若输入9，程序输出的值为（   ） A．73 B．75 C．72 D．70 【变式1-1】（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（     ） A． B．1 C．3 D． 【变式1-2】（26-27七年级上·陕西·期中）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第一次输出的结果为，则第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27七年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图所示的运算程序中，若开始输入的x的值为15，则第一次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，……，第2026次输出的结果为（） A．18 B．9 C．6 D．3 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”．下面是一组“数值转换机”，请填写下表，并写出图（1）的输出结果、图（2）的运算过程． 输入 0 0.26 4.5 图（1）的输出 图（2）的输出 输入 0 0.26 4.5 图（1）的输出 12 24 图（2）的输出 9 ▌题型04 由输出结果反推输入值 1. 逆推法的基本思路 已知输出结果，沿程序流程图逆推输入值。逆推时，每一步运算都取其逆运算。 2. 分类讨论的必要性 当程序流程图中含判断条件（如为正数等）时，需根据条件分情况讨论，分别求解后检验是否符合条件。 3. 逆推步骤 ① 根据输出结果，确定所走的分支。 ② 沿分支逆推，逐步还原输入值。 ③ 检验所求输入值是否满足分支条件，舍去不合题意的解。 4. 易错提醒 ① 只考虑一种情况，遗漏其他分支的解。 ② 逆推时运算错误（如加减、乘除颠倒）。 ③ 求出解后，未检验是否满足判断条件。 【典例1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是4，则输出y的值为1．若输出y的值为8，则输入x的值是________． 【变式1-1】（23-24七年级下·河北邯郸·期中）根据如图所示的计算程序，若输入的值，则输出的值__________，若输出的值，则输入的值__________．      【变式1-2】（25-26七年级下·河北唐山·期中）某运算程序如图所示，若输入的值是3，则输出的值是1；若输出的值是，则输入的值是______． 【变式1-3】（24-25七年级上·山东潍坊·期末）根据流程图中的程序，当输出数值y为1时，输入数值x为___________． 【变式1-4】（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）根据如图所示的计算程序，若输出的值为，则输入的值为______． ▌题型05 数字类规律探索 1. 数字规律探索的方法 ① 列出前几项，观察数字的变化趋势。 ② 分析相邻两项之间的差、比或运算关系。 ③ 归纳出第n项的表达式，并验证。 2. 常见规律类型 ① 等差数列型：第n项为a + (n-1)d。 ② 等比数列型：第n项为。 ③ 平方数型：第n项为或2n-1。 ④ 递推型：第n项由前几项通过固定运算得到。 3. 数阵中的规律 ① 第m行的数字最大为。 ② 奇数行数字从大到小排列，偶数行数字从小到大排列。 4. 易错提醒 ① 归纳规律时，前几项不具代表性，需验证更多项。 ② 通项公式中符号（正负）处理不当。 ③ 数阵中行、列的对应关系搞错。 【典例1】（26-27七年级上·陕西·期中）将正整数1，2，3，4，5，6，……，按如下数阵排列，用数对表示该数阵中从上到下、从左到右第行第个数字，如表示14，则2024用数对表示为_______． 【变式1-1】（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个正整数中，任取两个不同的数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；…．若，则的值为________；若，则的值为________． 【变式1-2】（26-27七年级上·广西南宁·阶段检测）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； (1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第四个等式_____________________： (2)根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式：_____________________； (3)请利用上述规律计算：． 【变式1-3】（2026七年级上·全国·专题练习）观察以下等式（参考数据：）： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)请观察以上等式，写出第5个等式：________； (2)根据以上等式发现的规律，用含字母的式子表示第个等式：________； (3)请利用上述规律计算：． 【变式1-4】（26-27七年级上·河南新乡·阶段检测）我们规定：n个相同的非零有理数的商可以表示为（，2，………），读作“a的圈n次方”．，读作“的圈4次方”． (1)直接写出计算结果：_____，_____． (2)若n为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈n次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈n次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数；⑤圈n次方等于它本身的数是1或．其中所有正确结论的序号是_____． (3)试说明（m，n为正整数，且）． ▌题型06 图形类规律探索 1. 图形规律探索的方法 ① 从简单图形入手，数出前几个图形中所需元素的数量。 ② 分析相邻图形之间的数量变化规律（增加或减少的量）。 ③ 用含n的代数式表示第n个图形对应的数量。 2. 常见图形规律模型 ① 线性增长型：第n个图形数量为a + (n-1)d。 ② 平方增长型：第n个图形数量为或 n(n+1)+2。 ③ 分形型：每个图形由前一个图形按固定方式扩展而成。 3. 数形结合思想 利用图形直观表示数量关系，通过图形分割、拼接等方法，将抽象的数量关系可视化。 4. 易错提醒 ① 图形规律中，相邻图形变化量判断错误。 ② 代数式书写不规范。 ③ 验证规律时，未代入更多项检验。 【典例1】（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）仔细观察下图，按照此规律，第5个图形中有_______个，第个图形中有_______个． 【变式1-1】（26-27七年级上·北京·期中）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，，依此规律，第5个图形的小圆个数是______，第个图形的小圆个数是______．（用含的代数式表示）. 【变式1-2】（26-27七年级上·陕西榆林·开学考试）如图，用小棒摆图案，第1个图用9根小棒，第2个图用13根小棒，第3个图用17根小棒，……，按这样的规律继续摆下去，第n个图用( )根小棒．（用含n的式子表示） 【变式1-3】（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）观察如图图形和对应表达式． (1)请在图中的框中画出第5个图形，并写出它对应的表达式； (2)请直接写出第n个图形对应的表达式：________； (3)请用上面的规律计算：． 【变式1-4】（26-27七年级上·陕西·期中）在解决数学问题时，我们经常会用到“数形结合”的思想方法，它的核心在于建立“数”与“形”之间的关系，从而将抽象的数量关系用直观的图形表现出来． (1)如图1，为了计算的值，我们构造以下图形共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有 个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有个点，由此可得 ，用此方法，可求得 ______； (2)如图3，观察点阵图，回答下列问题： ①， ， ， 则______，______， ② ______（用含的代数式表示）； (3)如图4是一个边长为1的正方形，请借助图形求的值．（要求：画出示意图，借助示意图求出式子的运算结果） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 代数式的值 （题型突破·举一反三） 题型1 已知字母的值，求代数式的值 题型2 已知式子的值，求相关代数式的值 题型3 根据程序流程图计算代数式的值 题型4 由输出结果反推输入值 题型5 数字类规律探索 题型6  图形类规律探索 ▌题型01 已知字母的值，求代数式的值 1. 代入法求代数式的值 将字母的具体数值代入代数式，按照代数式指明的运算顺序计算，所得结果就是代数式的值。 2. 代入计算的步骤 ① 确定字母的取值（有时需先根据条件求出字母的值）。 ② 将字母的值代入代数式，注意对应字母的数值不要代错。 ③ 按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算。 3. 整体代入思想 当字母的值不易直接求出，或代数式较为复杂时，可将某个含字母的式子看作一个整体，直接代入求值。 4. 易错提醒 ① 代入负数时，未加括号，导致符号错误。 ② 代入分数时，乘方运算未加括号。 ③ 代数式中省略的乘号，代入数值后忘记补上。 【典例1】 【答案】C 【分析】将直接代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式1-1】 【答案】B 【分析】要求的值，需先根据题意确定、、的取值． 【详解】解：由题意得，，， 则． 【变式1-2】 【答案】 【分析】根据相反数的定义和整数性质求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是的相反数， ∴， ∵是最大的负整数， ∴， 将，代入得． 【变式1-3】 【答案】 【分析】根据魔术盒给定的运算规则，先求出的值，再代入计算最终得到的数． 【详解】解：由题意得，将数对代入运算规则， 得 ， 将数对再次代入运算规则， 得 ． 【变式1-4】 【答案】的值为或 【分析】根据绝对值和平方的性质，分别求出x与y的所有可能的值，根据确定x、y的对应取值，分别计算两种情况的的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴x与y异号，分为两种情况： 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或． ▌题型02 已知式子的值，求相关代数式的值 1. 整体代入法 当已知一个含字母的式子的值，要求另一个相关代数式的值时，可将已知式子看作一个整体，代入所求代数式。 2. 常见变形技巧 ① 倍数关系：若已知，则 ② 拆分重组：将所求代数式拆成含已知式子的部分与常数部分之和。 ③ 比例设参：若，可设比值为k，用 k表示a, b, c后代入。 3. 解题步骤 ① 观察所求代数式与已知式子的关系。 ② 通过变形（提公因式、拆项、添项等）将所求式子用已知式子表示。 ③ 整体代入计算。 4. 易错提醒 ① 整体代入时符号处理错误。 ② 变形过程中漏乘或漏项。 ③ 设比例系数时，忘记检验结果是否符合题意。 【典例1】 【答案】 【分析】将所求代数式变形为含的形式，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴等式两边同乘，得， ∴将代入所求代数式，得． 【变式1-1】 【答案】 【分析】运用整体思想是解答本题的关键．代数式中是的倍，故用整体代入法即可解决． 【详解】解：． 【变式1-2】 【答案】 【分析】已知，设比例系数为，将用表示后代入所求分式计算即可． 【详解】解：设，则，，， 则． 【变式1-3】 【答案】 【分析】先整理已知等式得到，再对所求代数式拆项重组，整体代入与求值． 【详解】解：，， ，， ． 【变式1-4】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知 整体代入代数式，直接计算即可得到结果； （2）将已知 整体代入代数式，直接计算即可得到结果． 【详解】（1）解：已知， 将代入 ， 得：原式； （2）解：将代入， 得：原式． ▌题型03 根据程序流程图计算代数式的值 1. 程序流程图的理解 ① 按箭头方向依次进行每一步运算。 ② 遇到判断框时，根据条件判断走“是”或“否”分支。 ③ 若结果不满足输出条件，则结果作为新的输入再次进入循环，直到满足条件为止。 2. 常见运算框含义 ① “×3”表示乘 3，“−2”表示减 2。 ② “计算 2x+5 的值”表示对当前输入x求 2x+5。 ③ “>70”表示判断当前结果是否大于 70。 3. 循环结构的处理 ① 先计算第一次的结果。 ② 判断是否满足输出条件。 ③ 若不满足，将结果作为新的输入继续计算，直到满足条件。 4. 易错提醒 ① 忽略循环结构，只计算一次就输出。 ② 判断条件理解错误，走错分支。 ③ 多次循环时，前后结果混淆。 【典例1】 【答案】A 【分析】根据程序框图，将代入计算，若结果不大于则继续代入计算，直到结果大于为止． 【详解】解：当时，， ， 需再次输入计算． 当时，， ， 输出结果为． 【变式1-1】 【答案】C 【分析】把代入运算程序中，计算可得，根据，那么需再次代入得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴需把再次代入，可得， ∵， ∴输出的结果为． 【变式1-2】 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值、数字类规律探索，理解程序框图的计算规则是解答此题的关键．先计算前几次输出的结果，进行归纳推理得出一般性的规律，从而确定第次输出的结果． 【详解】解：当输入的值为时， 第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， …， 输出的结果以，，这三个数进行循环， 第次输出的结果为． 【变式1-3】 【答案】C 【分析】通过计算前几次输出结果，发现从第4次开始呈现“6，3”的循环规律，根据次数的奇偶性即可确定结果． 【详解】解：第1次输出结果为， 第2次输出结果为， 第3次输出结果为， 第4次输出结果为， 第5次输出结果为， 第6次输出结果为， 第7次输出结果为， …… ∴从第4次开始，输出结果在，之间循环，且偶数次输出，奇数次输出． ∵为偶数， ∴第次输出的结果为． 【变式1-4】 【答案】解：填表如下 输入 0 0.26 4.5 图（1）的输出 12 24 图（2）的输出 9 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 【分析】根据程序流程图，代入字母的值进行计算即可. 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表略． ▌题型04 由输出结果反推输入值 1. 逆推法的基本思路 已知输出结果，沿程序流程图逆推输入值。逆推时，每一步运算都取其逆运算。 2. 分类讨论的必要性 当程序流程图中含判断条件（如为正数等）时，需根据条件分情况讨论，分别求解后检验是否符合条件。 3. 逆推步骤 ① 根据输出结果，确定所走的分支。 ② 沿分支逆推，逐步还原输入值。 ③ 检验所求输入值是否满足分支条件，舍去不合题意的解。 4. 易错提醒 ① 只考虑一种情况，遗漏其他分支的解。 ② 逆推时运算错误（如加减、乘除颠倒）。 ③ 求出解后，未检验是否满足判断条件。 【典例1】 【答案】18或 【分析】本题考查了代数式求值与流程图，理解图示，掌握代数式的计算是关键，根据题意，分类讨论即可求解． 【详解】解：输入x的值是4，则输出y的值为1， ∵， ∴， 解得，， ∴输出y的值为8时， 第一种情况，，则，解得，，符合题意； 第二种情况，，则，解得，，符合题意； 故答案为：或 ． 【变式1-1】 【答案】 2 4 【分析】按照运算流程计算即可； 【详解】当时，对应，故输出的值为，故答案为：2 当时，对应，故代入，得，解得输入值，故答案为：4 故答案为：2,4 【点睛】本题考查了流程图与代数式的计算，正确理解流程图，根据题目条件，选对数学表达式是解题的关键． 【变式1-2】 【答案】 【分析】先求出的值，之后将分别代入和的情况，再将解出的值看是否符合当前的取值范围． 【详解】解：将和代入， 解得， 当时， 将代入， 得， 不符合，故舍去． 当时， 将代入， 得， 符合， ． 【变式1-3】 【答案】2 【分析】根据题意，分两种情况：(1)时，(2)时，求得当输出数值y为1时，输入的数值x即可． 【详解】解：(1)当，时，得， 解得或(不符合题意，舍去)， (2)当，时， ， 解得(不符合题意，舍去)， 综上，输入数值x为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了程序框图的有关计算，理解题意，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 【变式1-4】 【答案】4 【分析】根据题意可知，而，故x不会是负数的情况，当x为正数时，则有，解即可求x． 【详解】解：根据题意可知， 输出的值为，则， ∵，故x不会是负数的情况， 当x为正数时，， 解得， 故答案是4． 【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是看懂程序图，知道有两种情况，并能排除一种情况． ▌题型05 数字类规律探索 1. 数字规律探索的方法 ① 列出前几项，观察数字的变化趋势。 ② 分析相邻两项之间的差、比或运算关系。 ③ 归纳出第n项的表达式，并验证。 2. 常见规律类型 ① 等差数列型：第n项为a + (n-1)d。 ② 等比数列型：第n项为。 ③ 平方数型：第n项为或2n-1。 ④ 递推型：第n项由前几项通过固定运算得到。 3. 数阵中的规律 ① 第m行的数字最大为。 ② 奇数行数字从大到小排列，偶数行数字从小到大排列。 4. 易错提醒 ① 归纳规律时，前几项不具代表性，需验证更多项。 ② 通项公式中符号（正负）处理不当。 ③ 数阵中行、列的对应关系搞错。 【典例1】 【答案】 【分析】第m行的数字最大为，通过计算确定2024所在的行数和列数即可求出． 【详解】解：由数阵可知：第m行的数字最大为， ∵，，且， ∴2024在第45行， 第45行为奇数行， ∵奇数行数字从大到小排列，该行第一个数字为2025，第二个数字为2024， ∴2024位于第2个， 用数对表示为． 【变式1-1】 【答案】 【分析】根据题意列举得到偶数对应取法种数的规律，代入计算即可． 【详解】解：根据题意，任取两个不同的数，不妨设， ∵任取两数之和大于 ∴， ∵所求的和均为偶数， ∴只需探究为偶数时的规律， 当时，； 当时，， 当时，有，，，，，，，和，种取法， ∴当时，， …… ∴当为偶数时，， ∴当时，． 【变式1-2】 【答案】(1) (2)（为正整数） (3) 【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出第四个等式； （2）根据题目中式子的特点可以写出第n个等式； （3）根据发现的规律，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：第四个等式：； （2）解：第n个等式：（为正整数）； （3）解： ． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据所列式子得出规律． 【详解】（1）； （2）； （3） ． 【变式1-4】 【答案】(1)1，4 (2)②④ (3)证明：根据“a的圈n次方”的定义，可得，， ∴ ． 【分析】（1）根据“a的圈n次方”的定义计算即可； （2）根据“a的圈n次方”的定义，逐一分析判断即可； （3）根据“a的圈n次方”的定义证明即可． 【详解】（1）解：， ； （2）根据题意，可得， ①令，因为， 所以原说法错误； ②根据可得，负数的圈奇数次方即为奇数，则为奇数，此时结果是负数， 负数的圈偶数次方即为偶数，则为偶数，此时结果是正数，该说法正确； ③，当为偶数时，， 所以互为相反数的两个数的圈次方不一定互为相反数，故原说法错误； ④，即互为倒数的两个数的圈次方互为倒数，该说法正确； ⑤当，n为偶数时，不满足圈次方等于它本身，故原说法错误． 综上所述，所有正确结论的序号是②④； （3）略 ▌题型06 图形类规律探索 1. 图形规律探索的方法 ① 从简单图形入手，数出前几个图形中所需元素的数量。 ② 分析相邻图形之间的数量变化规律（增加或减少的量）。 ③ 用含n的代数式表示第n个图形对应的数量。 2. 常见图形规律模型 ① 线性增长型：第n个图形数量为a + (n-1)d。 ② 平方增长型：第n个图形数量为或 n(n+1)+2。 ③ 分形型：每个图形由前一个图形按固定方式扩展而成。 3. 数形结合思想 利用图形直观表示数量关系，通过图形分割、拼接等方法，将抽象的数量关系可视化。 4. 易错提醒 ① 图形规律中，相邻图形变化量判断错误。 ② 代数式书写不规范。 ③ 验证规律时，未代入更多项检验。 【典例1】 【答案】 / 【分析】观察图形特点，从中找出规律，它们的★数分别是5，8，11，14，17，…，总结出其规律，根据规律求解． 【详解】解：通过观察，得到的★数分别是5，8，11，14，17，…， 第一个图形为：， 第二个图形为：， 第三个图形为：， 第四个图形为：， …， 所以第n个图形为：个， 当时，个． 【变式1-1】 【答案】 【分析】通过分析前几个图形中小圆个数，找出其数量变化规律，进而推导出第个图形中小圆个数的表达式． 【详解】解：由图可知， 第1个图形的小圆个数是； 第2个图形的小圆个数是； 第3个图形的小圆个数是； 第4个图形的小圆个数是； 第5个图形的小圆个数是； 第个图形的小圆个数是． 【变式1-2】 【答案】 / 【分析】首先，认真观察图形，对照相邻两个图形之间的差异，然后，找出变化的部分及不变的部分与对应第几个图形之间的关系，最后，归纳总结出规律即可． 【详解】解：观察图形可知：第1个图形所用小棒的根数为：； 第2个图形所用小棒的根数为：； 第3个图形所用小棒的根数为：， 根据此规律可得第n个图形中需要小棒根． 【变式1-3】 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题干中的规律写出第5个图形对应的表达式即可； （2）总结题干中的规律写出第n个图形对应的表达式即可； （3）结合题意将变形为，再结合题干所总结的规律求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：因为第1个图形对应的表达式为：， 第2个图形对应的表达式为：， 第3个图形对应的表达式为：， …… 所以第n个图形对应的表达式为； （3）解：∵，， ∴原式 ． 【变式1-4】 【答案】(1) (2)①，② (3)， 【分析】（1）根据图1图2的计算方法找到规律求解即可； （2）①根据前三项的规律求解即可；②根据①的规律求解即可． （3）把正方形按分为和两部分，依次类推分割求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ， ， ，， ②由① 可得； （3）解：由题意画出图形如下： 第一次将正方形分割为和两部分， 第二次将正方形的部分分割为和两部分， 第三次将正方形的部分分割为和两部分， 第四次将正方形的部分分割为和两部分， 由分割图形可知． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $