专题08 图形规律与代数式表达（★★★ 探究题型）（压轴题专项训练）数学新教材沪科版七年级上册

**基本信息** 以“观察-列表-差分-表达-验证”五步法为核心，系统整合单项式、数字序列、算式等式、图形、表格五大规律题型，通过分层典例与压轴挑战构建从基础到高阶的探究能力培养体系，发展抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1口诀+3类差分判断|五步法口诀；等差/二阶等差/等比类差分判断|从操作流程到规律类型识别，构建方法论基础| |题型归纳|5题型×(3-4典例+3变式)|单项式系数/指数规律；数字序列差分分析；算式结构拆解；图形数量转化；表格行/列关系|从具体到抽象，覆盖选择/填空/解答全题型，形成规律探究认知链| |压轴挑战|22题(选择8+填空6+解答8)|复杂规律综合应用；跨题型迁移|衔接中考压轴，提升模型意识与创新思维|

专题08 图形规律与代数式表达（★★★ 探究题型） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单项式规律题（选择、填空） 题型二、数字序列规律（纯数字选择，填空压轴） 题型三、算式等式规律（解答压轴，写第n个等式） 题型四、图形规律（火柴棒、点阵、小正方形，期末最爱考） 题型五、表格规律（新题型，选择 / 填空/解答压轴） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 口诀：一观察、二列表、三差分、四表达、五验证 1.观察：数出前 3~4 个图形的数量，看 "每次加几"、有无公共边 / 重叠； 2.列表：序号 n 与数量对齐列表，首项必须对应 n=1； 3.差分：求相邻两项之差，判断规律类型； 4.表达：写出含 n 的最简代数式并化简； 5.验证：代 n=1、2、3 回验，全对才算完成。 差分判断（万能法） 相邻差恒定 → 等差数列：通项 = 首项 + (n−1)× 公差； 相邻差也成等差 → 二阶等差：设 aₙ=pn²+qn+r，代 n=1、2、3 解出； 相邻差成倍变化 → 等比类：观察乘数规律。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单项式规律题（选择、填空） 【典例1】．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…按照上述规律，第2023个单项式是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．（24-25七年级上·安徽六安·阶段检测）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第9个单项式是_____． 【典例3】．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段检测）观察下列单项式：x，，…，按此规律，可以得到第2024个单项式是_______，第n项是_______（n是正整数）． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）观察按规律排列的单项式：，，，，…，第n个单项式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）按一定规律排列的单项式：，则第个单项式是________． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）观察一组单项式：x，，，，…． (1)根据你发现的规律写出第8个单项式． (2)当和时，分别求出前6项的和． 题型二、数字序列规律（纯数字选择，填空压轴） 【典例4】．（24-25七年级上·安徽六安·期末）观察一组数据：1，1，2，4，7，11，16，22，29，…，若记第一个数为，记第二个数为，…，记第n个数为.通过计算，，，…发现它们有一定的规律，由此规律推算的值应为（    ） A．5152 B．5051 C．4951 D．4852 【典例5】．（23-24七年级上·安徽宣城·阶段检测）观察下面一列数的规律并填空：1，2，5，10，17，______． 【典例6】．如图所示为“杨辉三角”或“贾宪三角”系数表．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，则第100个数记为_____． 题型模版 特征：一串数字，求第n项；正负交替是高频考点。 【变式1】．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图是含的代数式按规律排列的前4行，依此规律，当为2时，第10行第10项的值为（    ） A．1024 B．1034 C．2048 D．2068 【变式2】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数2024应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数，那么的值是（   ） A．133 B．132 C．131 D．130 【变式3】．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）按一定规律排列的一列数依次为：，1，，，，，…，按此规律，这列数中的第1000个数是__________． 题型三、算式等式规律（解答压轴，写第n个等式） 【典例7】．（2024七年级上·安徽马鞍山·期中）观察以下等式： ； 根据以上规律，解决下列问题： (1)　　； (2)计算（结果用含的代数式表示）． 【典例8】．（24-25七年级上·安徽六安·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… (1)写出第4个等式是： ； (2)请根据上面的规律计算：． 【典例9】．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）找规律：观察算式： ； ； ； ； …… (1)按规律填空： ①__________． ②___________． (2)由上面的规律计算：． 【典例10】．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）观察以下等式： 第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)． 题型模版 特征：给出若干个等式，横向观察左右两边结构，分别找左边、右边规律。 【变式1】．（24-25七年级上·安徽·期中）观察下列等式的规律，解答下列问题： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： …… (1)请你写出第个等式为 ； 第n个等式为 (用含n的式子表示，n为正整数)； (2)运用上述规律，计算：． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）“数学规律探究”是解决实际问题的重要工具，某班级在开展“数字等式的奥秘”实践活动时，发现了一组有趣的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 请根据以上实践素材，完成下列探究任务： (1)【独立思考】请根据你发现的规律直接写出第5个等式__________； (2)【实践探究】请根据你发现的规律计算：； (3)【问题拓展】求的值． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）观察与计算： ① ② ③， ④ (1)写出第5个等式___________ (2)归纳算式中的规律，直接写出第个等式___________． (3)利用规律计算的值． 【变式4】．（24-25七年级·安徽宿州·期中）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)第5个等式为______； (2)猜想第n个等式为______（用含n的式子表示），并证明． 题型四、图形规律（火柴棒、点阵、小正方形，期末最爱考） 【典例11】．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）探究代数式规律活动课上，小徽用同样大小的正方形按如图所示的规律拼图案，其中图1中有2个白色正方形，图2中有3个白色正方形，图3中有5个白色正方形，，按此规律排列下去，则图10中白色正方形的个数是（   ） A．12 B．14 C．15 D．18 【典例12】．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形，……，按照此规律排列下去， （1）第4个图有______个三角形； （2）第______个图形有2665个三角形． 【典例13】．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）【规律初现】 如图，图案中的等边三角形与正方形数量有规律的增长，其中第1个图案有4个正方形；第2个图案有6个正方形；第3个图案有8个正方形；… 【规律探索】归纳上述图案中的等边三角形与正方形增长规律，解答下列问题． （1）第6个图案中有等边三角形______个，正方形有______个，…，第2026个图案中有等边三角形______个，正方形有______个； （2）第n个图案中有等边三角形______个，正方形有______个；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3） 若第n个图案中等边三角形与正方形数量共有2026个，求该图案中正方形的数量． 题型模版 做题提醒：图形题优先数出前 3 个图形对应数量，再套 4 步法，不要靠肉眼脑补。 【变式1】.如图，由大小相同的黑点按照一定的规律所组成，其中第①个图形中有2个黑点，第②个图形中有8个黑点，……按照此规律排列下去，第16个图形中黑点的个数为（    ） A．480个 B．512个 C．544个 D．576个 【变式2】．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，图①中有5个小圆点，图②中有8个小圆点，图③中有13个小圆点，…根据这个规律，图⑨中小圆点有_____个． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）如图所示，改变棋子的摆放方式，解答下列问题． (1)观察图①和图②，棋子分别被直线和折线隔开摆放成4层，按照图中规律继续摆下去，第n层有______个棋子； (2)数图中棋子的总个数可以有多种不同的方法：如：前2层棋子的总个数为或，因此可以得到，同样，前3层棋子的总个数为，前4层棋子的总个数为，… 根据上述规律，前n层棋子的总个数用含n的代数式可以表示为______； (3)运用（2）中发现的规律，计算：． 题型四、表格规律（新题型，选择 / 填空/解答压轴） 【典例14】．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）在月历表上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图，这是2025年10月份的月历表，我们用如图所示的四边形在表格中框出五个数． 若月历表七列保持不变，行数向下不断延伸，把按照原表格中数字的规律填入表格，则被四边形框出的五个数之和的最大值为（    ） A．10100 B．10090 C．10095 D．10085 【典例15】．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）上面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定x的值为_____________． 1 4 2 6 3 8 4 10 a 20 2 9 3 20 4 35 5 54 …… b x …… 第1个 第2个 第3个 第4个 …… 【典例16】．（2025七年级上·安徽滁州·期中）用火柴棒按如图的方式搭图形． (1)按图示规律完成下表： 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ … 火柴棒根数 6 14 22 ______________ ______________ … (2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？ (3)搭第1011个图形需要多少根火柴棒？ 题型模版 特征：表格给出两行 / 两行以上数据，行内、行间找关系。 【变式1】．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）将自然数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 4 5 16 17 第二行 2 3 6 15 … 第三行 9 8 7 14 … 第四行 10 11 12 13 … 第五行 … 表中数2在第二行第一列，与有序数对对应，数5与对应，数14与对应，根据这一规律探究． （1）有序数对对应的数为______； （2）数2024对应的有序数对为______． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽宿州·阶段检测）观察图形，按规律填空，找出边形的对角线的总数． 图形 每个顶点对角线条数（条） 对角线总条数（条） 三角形   0 0 四边形   1 五边形   2 六边形 3 ______ 10边形 ______ ______ …… …… …… 边形 ______ ______ 【变式3】．（2025七年级上·安徽合肥·期末）如图，将一个正方形纸片剪成四个正方形纸片，然后将其中的一个正方形纸片再剪成四个正方形纸片，再将其中的一个正方形纸片剪成四个正方形纸片，如此继续下去…，请你根据以上操作方法得到的正方形的个数的规律完成下列各题． (1)将下表填写完整． 操作次数 1 2 3 4 5 … n 正方形的个数 4 7 10 … (2)＝________．（用含n的代数式表示） (3)按照上述操作方法，能否得到2 022个正方形？如果能，请求出n；如果不能，请简述理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）根据图中数字的排列规律，在第⑨个图中，的值是（   ） A． B． C．252 D．254 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）正整数按图中的规律排列，请找出数字2025在第几行，第几列（  ） A．45行4列 B．45行3列 C．45行2列 D．45行1列 3．（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，将一列有理数按如图规律排列，则数2025对应的位置对应的字母是（    ） A．A B．B C．C D．D 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）数学老师根据○中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码a是（   ） A．322448 B．324824 C．468468 D．324880 5．观察下面关于x的单项式：，，，，，，…．按照上述规律，第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2024个图案中涂有阴影的小正方形个数是（   ） A．8093 B．8097 C．4046 D．4047 7．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）小明用火柴棒摆正方形，图1用了4根火柴棒，图2用了7根火柴棒，图3用了10根火柴棒，……，照此规律摆下去，图n要用火柴棒的根数为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图所示，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为3，第2幅图中“”的个数为8，第3幅图中“”的个数为15……，以此类推，则第11幅图中“”的个数为（    ） A．240 B．120 C．143 D．99 二、填空题 9．（25-26七年级上·安徽安庆·阶段检测）老师给小明出了下面的一道题，如图所示，根据数字排列的规律，第2025个数是正数还是负数______，排在对应于A，B，C，D中的什么位置______ 10．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）观察下列单项式：，，，，……，按此规律，第5个单项式是____，第个单项式是_____． 11．（24-25七年级上·安徽池州·期末）苯是一种石油化工基本原料，其产量和生产的技术水平是一个国家石油化工发展水平的标志之一，如图，小明用9根相同的木棒搭建的第1个图形就是类似于苯的结构简式，他继续用相同的木棒搭建与苯有关联的各个图形，按此规律，用含的式子表示搭建第（为正整数）个图形所需木棒的根数_____． 12．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为_____，从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有_____个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出 a … 13．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第行、第列的数是________． 14．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）有一个数字游戏：对一个两位数a作“变换”，先把a的十位数字加2，将和的个位数作为新数的十位数字，再把a的个位数字加7，将和的个位数作为新数的个位数字，记这个新的两位数为；将按同样的“变换”方式得到；将按同样的“变换”方式得到…． （1）若，则_________； （2）将a作“变换”依次得到了，，，…，，再从这2025个数中依此规律地抽取出，，，，…，，其中与值相等的数有_________个． 三、解答题 15．我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛． 【规律探索】用同样大小的两种正方形纸片，按如图方式拼正方形． 【规律归纳】 （1）图3中共有个小正方形，图4共有 个小正方形； （2）按图示方式继续拼下去，图n中（未画出）共有 个小正方形； 【规律应用】 （3）请用上述规律计算：． 16．（24-25七年级上·安徽·期末）在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为，则； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为，则；第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为，则； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______； (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值． 17．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）春秋时期，孔子有一天对他的弟子们说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”这句话的意思是说：“教书先生举出一个墙角，学生就应该会独立思考，融会贯通，从而类推到其余三个墙角，然后用三个墙角反证老师先前提出的墙角，如果每个学生都这样学习和思考，教书先生就不用再费力气教学生了”． 【规律探索】用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形： 第（1）个图形中有2张正方形纸片： 第（2）个图形中有张正方形纸片： 第（3）个图形中有张正方形纸片； 第（4）个图形中有张正方形纸片： 请你观察图形与算式，完成下列问题： 【规律归纳】 （1）第（7）个图形中有______张正方形纸片（直接写出结果）； （2）根据上面的发现我们可以猜想：______（用含的代数式表示）： 【规律应用】根据你的发现计算： （3）①； ②． 18．观察下列图形： 它们是按一定规律排列的． (1)依照此规律，第20个图形共有几个五角星？ (2)摆成第n个图形需要几个五角星？ (3)摆成第2025个图形需要几个五角星？ 19．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）观察下列图形中点的个数． (1)图中点的个数是_______； (2)若按其规律再画下去，如果图形中有个点，那它是第_____个图形； (3)若按其规律再画下去，可以得到第个图形中所有点的个数为______（用含的代数式表示）． 20．如图，这是一类物质结构组成的式子，第1个结构式中有1个和4个，分子式是；第2个结构式中有2个和6个，分子式是；第3个结构式中有3个和8个，分子式是按照此规律，回答下列问题． (1)第5个结构式的分子式是______． (2)第个结构式的分子式是______． (3)试通过计算说明分子式是的物质构成符合上述构成规律吗？ 21．（25-26七年级上·安徽六安·期中）观察下面的图形和对应的等式，设第1个图中“○”数为，第2个图中“○”数为，第3个图中“○”数为，…，第个图中“○”数为，根据你发现的规律解答问题． (1)填空：____________（填具体数字）；____________（用含的式子表示）． (2)因为，，，…，根据上述规律，______（用幂的形式表示）． 22．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）【观察思考】 【规律发现】 如图所示的图案都是由正八边形构成的图案，正八边形的每个顶点上都有“”或“”． 第1个图案中“”有个；“”有个； 第2个图案中“”有个；“”有个； 第3个图案中“”有个；“”有个； 第4个图案中“”有个；“”有个；． （1）第99个图案中“”有______个；“”有______个； （2）第个图案中“”有______个，“”有______个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （3）在第2025个图案中，求“”的个数比“”的个数少多少. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 图形规律与代数式表达（★★★ 探究题型） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单项式规律题（选择、填空） 题型二、数字序列规律（纯数字选择，填空压轴） 题型三、算式等式规律（解答压轴，写第n个等式） 题型四、图形规律（火柴棒、点阵、小正方形，期末最爱考） 题型五、表格规律（新题型，选择 / 填空/解答压轴） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 口诀：一观察、二列表、三差分、四表达、五验证 1.观察：数出前 3~4 个图形的数量，看 "每次加几"、有无公共边 / 重叠； 2.列表：序号 n 与数量对齐列表，首项必须对应 n=1； 3.差分：求相邻两项之差，判断规律类型； 4.表达：写出含 n 的最简代数式并化简； 5.验证：代 n=1、2、3 回验，全对才算完成。 差分判断（万能法） 相邻差恒定 → 等差数列：通项 = 首项 + (n−1)× 公差； 相邻差也成等差 → 二阶等差：设 aₙ=pn²+qn+r，代 n=1、2、3 解出； 相邻差成倍变化 → 等比类：观察乘数规律。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单项式规律题（选择、填空） 【典例1】．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…按照上述规律，第2023个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】单项式规律题 【分析】本题为单项式规律题．发现规律为奇数个单项式的系数为负，偶数个单项式的系数为正，第n个单项式系数的绝对值是，指数是n是解题是关键． 【详解】解：根据所给单项式发现奇数个单项式的系数为负，偶数个单项式的系数为正，第n个单项式系数的绝对值是，指数是n，即公式为， ∴第2023个单项式是， 故选C． 【典例2】．（24-25七年级上·安徽六安·阶段检测）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第9个单项式是_____． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】此题考查了与单项式有关的规律探索，观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【详解】解：∵，，，，，…， ∴系数的规律为，指数的规律为n， ∴第n个单项式为：，     ∴第9个单项式是故答案为：． 故答案为： 【典例3】．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段检测）观察下列单项式：x，，…，按此规律，可以得到第2024个单项式是_______，第n项是_______（n是正整数）． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题主要考查单项式规律题；根据题意总结出单项式规律即可求出结果． 【详解】解：由题意知：奇数项为正数，偶数项为负数，且系数值以1，3，5，7，9．．．排列， 按此规律，第n项是； ∴第2024个单项式是， 故答案为：，． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）观察按规律排列的单项式：，，，，…，第n个单项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】单项式规律题 【分析】本题主要考查了单项式规律探究，直接利用已知得出数字变化规律，进而得出答案． 【详解】解：观察各单项式的系数，其符号规律为，分母的规律为，字母及指数规律为， ∴依照此规律，第n个单项式为：， 故选：D． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）按一定规律排列的单项式：，则第个单项式是________． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查了单项式规律探索，找到各单项式的规律是解题的关键；就符号而言，正负相间，分母是从1开始的连续奇数，分子是x为底的连续偶数次方，照此写出前几个，由此可写出第n个单项式． 【详解】解： ； ； ； ； ； ， 第个单项式为：． 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）观察一组单项式：x，，，，…． (1)根据你发现的规律写出第8个单项式． (2)当和时，分别求出前6项的和． 【答案】(1) (2)当时，前6项的和为；当时，前6项的和为 【知识点】单项式规律题 【分析】本题主要考查单项式的规律问题，解题的关键是得到单项式的一般规律； （1）由题意易得…；由此问题可求解； （2）根据（1）可知：前6项的单项式分别为x，，，，，，然后分别代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由x，，，，…；可知：…； ∴第8个单项式为； （2）解：由（1）可知：前6项的单项式分别为x，，，，，， ∴当时，前6项的和为； 当时，前6项的和为． 题型二、数字序列规律（纯数字选择，填空压轴） 【典例4】．（24-25七年级上·安徽六安·期末）观察一组数据：1，1，2，4，7，11，16，22，29，…，若记第一个数为，记第二个数为，…，记第n个数为.通过计算，，，…发现它们有一定的规律，由此规律推算的值应为（    ） A．5152 B．5051 C．4951 D．4852 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】利用差值分别求出数值，得出，再根据所有式子相加即可得出答案． 【详解】根据题意，得 （1） （2） （3） （4） （5） …… （99） （1）+（2）+…+（99）= 即 故选：D 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况是解题的关键． 【典例5】．（23-24七年级上·安徽宣城·阶段检测）观察下面一列数的规律并填空：1，2，5，10，17，______． 【答案】26 【知识点】数字类规律探索 【分析】找到规律相邻两个数的差是：1，3，5，7，…是连续的奇数，由此找出两个数的差，进而求解． 【详解】解：，，，，…， 相邻两个数的差是：1，3，5，7，…连续的奇数； ∴； 故答案为：26． 【点睛】本题考查了数字类规律探究．关键是找出相邻两个数差的变化规律，再根据这个规律求解． 【典例6】．如图所示为“杨辉三角”或“贾宪三角”系数表．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，则第100个数记为_____． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键． 根据所给数据可得到关系式，代入即可求值． 【详解】解：由已知数据1，3，6，10，15，……，可得， ∴． 故答案为：． 题型模版 特征：一串数字，求第n项；正负交替是高频考点。 【变式1】．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图是含的代数式按规律排列的前4行，依此规律，当为2时，第10行第10项的值为（    ） A．1024 B．1034 C．2048 D．2068 【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，先根据题意找到规律第n行倒数第2个数为，再根据题意找到规律第n行有个数，由此可得第10行第10个数即为第10行的倒数第2个数，即第10行第10个数为，据此求解即可． 【详解】解：第一行倒数第2个数为， 第二行倒数第2个数为， 第三行倒数第2个数为， 第四行倒数第2个数为， ……， 以此类推，第n行倒数第2个数为， ∵第一行有个数， 第二行有个数， 第三行有个数， 第四行有个数， ……， 以此类推，第n行有个数， ∴第10行有11个数， ∴第10行第10个数即为第10行的倒数第2个数， ∴第10行第10个数为， ∴当时，第10行第10个数为， 故选B． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数2024应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数，那么的值是（   ） A．133 B．132 C．131 D．130 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变化规律，代数式求值，通过观察所给的数的排列，得到每行数的个数规律是解题的关键． 根据每行的最后一个数是这个行的行数a的平方，第a行的数字个数是个，由此规律可进行求解m和n的值，代入求值即可． 【详解】解：第一行1个数， 第二行3个数， 第三行5个数，……， 第a行个数， ∴前a行共有个数， ∵，， ∴第45行共有89个数，最后一个数是2025， ∴2024在第45行第88个数， ∵自然数2024应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数， ∴，， ∴． 故答案为：133． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）按一定规律排列的一列数依次为：，1，，，，，…，按此规律，这列数中的第1000个数是__________． 【答案】/ 【知识点】数字类规律探索 【分析】该列数可变形为：，，，，，，，可得第n个数为，据此可得第1000个数． 【详解】解：按一定规律排列的一列数依次为：，，，，，，， 观察得到：分母为连续的奇数，后一个分子比前一个分子多3， 按此规律，第n个数可表示为：， 当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律探究题，解题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律． 题型三、算式等式规律（解答压轴，写第n个等式） 【典例7】．（2024七年级上·安徽马鞍山·期中）观察以下等式： ； 根据以上规律，解决下列问题： (1)　　； (2)计算（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1)440 (2) 【知识点】数字类规律探索、整式的加减运算 【分析】（1）根据已知等式，将每一项进行改写，再求和即可得； （2）参照（1），将每一项进行改写，再求和即可得． 【详解】（1）解： ， 故答案为：440． （2）解： ． 【点睛】本题考查了整式的加减，观察已知等式，正确发现一般规律是解题关键． 【典例8】．（24-25七年级上·安徽六安·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… (1)写出第4个等式是： ； (2)请根据上面的规律计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字类找规律，有理数的运算；此类规律题要分别找到等式左右两边的规律，寻找不变的量和变化的量是解题的关键． （1）根据题目规律可发现，，把代入即可得出答案； （2）由规律式子变形，中间部分互相抵消，只剩首项和尾项，即可算出答案． 【详解】（1）解：由题可知：第个等式可为， ∴第四个等式为：， 故答案为：； （2）解：原式 ． 【典例9】．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）找规律：观察算式： ； ； ； ； …… (1)按规律填空： ①__________． ②___________． (2)由上面的规律计算：． 【答案】(1)①（或3025）；②（或） (2)41075．（或） 【知识点】数字类规律探索 【分析】（1）根据；；；；可知；． （2）根据（1）的规律即可得到答案． 【详解】（1）∵； ； ； ； ∴① ② 故答案为：①（或3025）；②（或）． （2）根据（1）的规律得 =41075．（或） 【点睛】本题考查了整式加减的探究规律，主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力． 【典例10】．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）观察以下等式： 第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)． 【答案】(1) (2) 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是仔细观察各个等式并从中找到规律． （1）根据提供的等式写出第5个等式即可； （2）观察前4个等式，找出规律即可得到第n个等式． 【详解】（1）解：第5个等式：． 故答案为：． （2）解：第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， …… 第n个等式：， 猜想第n个等式为． 题型模版 特征：给出若干个等式，横向观察左右两边结构，分别找左边、右边规律。 【变式1】．（24-25七年级上·安徽·期中）观察下列等式的规律，解答下列问题： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： …… (1)请你写出第个等式为 ； 第n个等式为 (用含n的式子表示，n为正整数)； (2)运用上述规律，计算：． 【答案】(1)； (2) 【知识点】数字类规律探索 【分析】（1）观察所给等式，找出规律，利用规律求解； （2）将变形为，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知： 第1个：，可以变形为：； 第2个：，可以变形为：； 第3个：，可以变形为：； 第4个：，可以变形为：； …… 由此可知第个等式为：，即； 第n个等式为：． （2）解：                                     ． 【点睛】本题考查用代数式表示数字的规律，解题的关键是通过已知等式得出． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）“数学规律探究”是解决实际问题的重要工具，某班级在开展“数字等式的奥秘”实践活动时，发现了一组有趣的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 请根据以上实践素材，完成下列探究任务： (1)【独立思考】请根据你发现的规律直接写出第5个等式__________； (2)【实践探究】请根据你发现的规律计算：； (3)【问题拓展】求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查有理数的数字规律，理解题意，掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据已知条件得到规律，即可求解第五个式子； （2）根据题意，将每个式子拆成，由此即可求解； （3）根据题意，将每个式子拆成，由此即可求解． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴ ∴ ． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）观察与计算： ① ② ③， ④ (1)写出第5个等式___________ (2)归纳算式中的规律，直接写出第个等式___________． (3)利用规律计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 43659 【知识点】数字类规律探索 【分析】此题考查的是式子找规律题，根据已知等式，找出规律并归纳总结公式是解决此题的关键． （1）根据已知等式，找出规律即可； （2）根据已知等式，找出规律并归纳，总结出公式即可； （3）根据总结公式，先算出，再减去即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 【变式4】．（24-25七年级·安徽宿州·期中）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)第5个等式为______； (2)猜想第n个等式为______（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2) ， 证明：因为， 所以． 等式成立． 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式，再进行总结，并对等式左边的式子和右边的式子进行整理即可． 【详解】（1）解：观察给出的等式，左边为，右边为减去一个奇数，这些奇数依次为3，5，7，9，即每次增加2，对应第个等式的减数为， 第5个等式为； 故答案为； （2）略 题型四、图形规律（火柴棒、点阵、小正方形，期末最爱考） 【典例11】．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）探究代数式规律活动课上，小徽用同样大小的正方形按如图所示的规律拼图案，其中图1中有2个白色正方形，图2中有3个白色正方形，图3中有5个白色正方形，，按此规律排列下去，则图10中白色正方形的个数是（   ） A．12 B．14 C．15 D．18 【答案】C 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形类规律探究，得出计算规律：图（n为正整数）中白色正方形的个数为，图中白色正方形的个数为，据此进行作答即可． 【详解】由所给图形可知， 图1中白色正方形的个数为； 图2中白色正方形的个数为； 图3中白色正方形的个数为； 图4中白色正方形的个数为； 图5中白色正方形的个数为； ， 所以图（n为正整数）中白色正方形的个数为， 图中白色正方形的个数为． 当，即时，， 所以图10中白色正方形的个数为15． 故选：C 【典例12】．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形，……，按照此规律排列下去， （1）第4个图有______个三角形； （2）第______个图形有2665个三角形． 【答案】 13 888 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形类规律探究，根据已有图形概括出相应的规律是解题的关键： （1）观察已有图形，得到第4个图有个图形； （2）观察已有图形，可以得到第个图有个三角形，令，进行求解即可． 【详解】解：（1）第1个有：个三角形； 第2个有：个三角形； 第3个有：个三角形； ∴第4个有：个三角形； 故答案为：13； （2）由（1）可得：第个图有个三角形， 当时，；即：第888个图形有2665个三角形； 故答案为：888． 【典例13】．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）【规律初现】 如图，图案中的等边三角形与正方形数量有规律的增长，其中第1个图案有4个正方形；第2个图案有6个正方形；第3个图案有8个正方形；… 【规律探索】归纳上述图案中的等边三角形与正方形增长规律，解答下列问题． （1）第6个图案中有等边三角形______个，正方形有______个，…，第2026个图案中有等边三角形______个，正方形有______个； （2）第n个图案中有等边三角形______个，正方形有______个；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）若第n个图案中等边三角形与正方形数量共有2026个，求该图案中正方形的数量． 【答案】（1）12，14，4052，4054；（2）  ；（3）该图案中正方形有1014个 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查图形类规律问题，解题的关键是得到图形的一般规律； （1）根据题中所给图形规律进行求解即可； （2）由（1）可总结该图形类规律； （3）由（2）及题意可进行求解． 【详解】解：（1）由所给图形可知， 第1个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第2个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第3个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第4个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； …， ∴第6个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第2026个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 故答案为12，14，4052，4054； （2）由（1）可知：第n个图案中等边三角形有个，正方形有个； 故答案为，； （3）由（2）及题意可得：， ∴， ∴该图案中正方形的数量为． 题型模版 做题提醒：图形题优先数出前 3 个图形对应数量，再套 4 步法，不要靠肉眼脑补。 【变式1】.如图，由大小相同的黑点按照一定的规律所组成，其中第①个图形中有2个黑点，第②个图形中有8个黑点，……按照此规律排列下去，第16个图形中黑点的个数为（    ） A．480个 B．512个 C．544个 D．576个 【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了找规律，根据每幅图中黑点个数，得到第个图黑点的个数为，即可求出结果，解题的关键是找出图形中的规律，并用代数式表示出来． 【详解】第个图，黑点个数为； 第个图，黑点个数为； 第个图，黑点个数为， 第④个图，黑点个数为， ； 第个图，黑点的个数为， 第16个图形中黑点的个数为（个）， 故选：B． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，图①中有5个小圆点，图②中有8个小圆点，图③中有13个小圆点，…根据这个规律，图⑨中小圆点有_____个． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察图形可知，图n的小圆点个数为4加上n的平方，据此可得答案． 【详解】解：图①中有个小圆点， 图②中有个小圆点， 图③中有个小圆点， ……， 以此类推，可知图n中小圆点有个， ∴图⑨中小圆点有， 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）如图所示，改变棋子的摆放方式，解答下列问题． (1)观察图①和图②，棋子分别被直线和折线隔开摆放成4层，按照图中规律继续摆下去，第n层有______个棋子； (2)数图中棋子的总个数可以有多种不同的方法：如：前2层棋子的总个数为或，因此可以得到，同样，前3层棋子的总个数为，前4层棋子的总个数为，… 根据上述规律，前n层棋子的总个数用含n的代数式可以表示为______； (3)运用（2）中发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】图形类规律探索 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，图形的变化类，根据已知图形得出数字的变化规律是解题关键． （1）根据已知数据即可得出每一层棋子个数是连续的奇数，进而得出答案； （2）利用已知数据的规律即可得出答案； （3）利用（2）中发现的规律得出答案即可． 【详解】（1）解：根据题意得：第一层有1个棋子， 第二层有个棋子， 第三层有个棋子， 第四层有个棋子， 第五层有个棋子， 第六层有个棋子， ……， 由此发现，第n层有个棋子， 故答案为：； （2）解：∵前2层棋子的个数和为或， 因此可以得到， ∵前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… ∴前n层棋子的个数和， 即前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为． 故答案为：； （3）解：当时，，当时，， ∴ ． 题型四、表格规律（新题型，选择 / 填空/解答压轴） 【典例14】．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）在月历表上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图，这是2025年10月份的月历表，我们用如图所示的四边形在表格中框出五个数． 若月历表七列保持不变，行数向下不断延伸，把按照原表格中数字的规律填入表格，则被四边形框出的五个数之和的最大值为（    ） A．10100 B．10090 C．10095 D．10085 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及整式加减的应用，能根据所给排列方式发现数2025 的位置是解题的关键． 根据所给排列方式，得出数2025的位置，据此得出框出5个数的最大值即可． 【详解】解：由题知， 因为余 5 ， 所以数2025在周四这一列， 设四边形框中的最小的数是，则5个数分别为， 故四边形框中的5个数的和为， 所以当框出的最小数为，最大数为2025时，被四边形框出的五个数之和最大， 则， 所以被四边形框出的五个数之和的最大值为10090． 故选：B． 【典例15】．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）上面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定x的值为_____________． 1 4 2 6 3 8 4 10 a 20 2 9 3 20 4 35 5 54 …… b x …… 第1个 第2个 第3个 第4个 …… 【答案】209 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给表格，发现表格中四个数之间的关系是解题的关键． 观察表格中四个数之间的关系，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：由图形中的数字分析得到： ， ， ， ， ，且，， ， ． 故答案为：209． 【典例16】．（2025七年级上·安徽滁州·期中）用火柴棒按如图的方式搭图形． (1)按图示规律完成下表： 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ … 火柴棒根数 6 14 22 ______________ ______________ … (2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？ (3)搭第1011个图形需要多少根火柴棒？ 【答案】(1)30，38 (2) (3) 【知识点】图形类规律探索 【分析】（1）根据前3个图的规律解答即可； （2）根据前3个图和（1）中结论总结规律即可； （3）根据（2）中规律求解即可． 【详解】（1）解：∵第1个图形：6根； 第2个图形：根； 第3个图形：根； ∴第4个图形：根； 第5个图形：根； 故答案为：30，38． （2）解：由（1）中结果可知， 搭第n个图形需要根火柴棒． （3）解：当时， 根． 【点睛】本题考查了规律型—图形类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 题型模版 特征：表格给出两行 / 两行以上数据，行内、行间找关系。 【变式1】．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）将自然数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 4 5 16 17 第二行 2 3 6 15 … 第三行 9 8 7 14 … 第四行 10 11 12 13 … 第五行 … 表中数2在第二行第一列，与有序数对对应，数5与对应，数14与对应，根据这一规律探究． （1）有序数对对应的数为______； （2）数2024对应的有序数对为______． 【答案】 28 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查规律探究，找出规律是解决此题的关键． 根据题意得出第一列奇数行的数字为行数的平方，且偶数行从左到右依次增大，第一行偶数列的数字为列数的平方，即可求解． 【详解】解：根据数字排列可得：第一列奇数行的数字为行数的平方，且偶数行从左到右依次增大，第一行偶数列的数字为列数的平方． （1）根据规律可得：第五行第一个数字为，故第六行第一个数字为， 第六行第三个数字为， 有序数对对应的数为28， 故答案为：28； （2）， ∴45行第一个数字为2025， ∴所在的位置是第 45 行，此行从左到右依次减小， ∴2024在第 45 行第2列， 故数2024对应的有序数对为， 故答案为：． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽宿州·阶段检测）观察图形，按规律填空，找出边形的对角线的总数． 图形 每个顶点对角线条数（条） 对角线总条数（条） 三角形   0 0 四边形   1 五边形   2 六边形 3 ______ 10边形 ______ ______ …… …… …… 边形 ______ ______ 【答案】，，，， 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形的规律问题，解题的关键是仔细分析多边形边数与引出的对角线条数之间关系并找出规律． 【详解】解：三角形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为条； 四边形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为条； 五边形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为条； 六边形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为条； 十边形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为条； ； 边形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为条． 故答案为：，，，，． 【变式3】．（2025七年级上·安徽合肥·期末）如图，将一个正方形纸片剪成四个正方形纸片，然后将其中的一个正方形纸片再剪成四个正方形纸片，再将其中的一个正方形纸片剪成四个正方形纸片，如此继续下去…，请你根据以上操作方法得到的正方形的个数的规律完成下列各题． (1)将下表填写完整． 操作次数 1 2 3 4 5 … n 正方形的个数 4 7 10 … (2)＝________．（用含n的代数式表示） (3)按照上述操作方法，能否得到2 022个正方形？如果能，请求出n；如果不能，请简述理由． 【答案】(1)13，16 (2)3n＋1 (3) 不能，理由：                                            假设能，则3n+1=2022， 解得：n==，n为分数不是正整数， 所以不能得到2022个正方形． 【知识点】图形类规律探索 【分析】（1）（2）分别数出图1、图2、图3中正方形的个数，可以发现第几个图形中正方形的个数等于3与几的乘积加1；按照这个规律即可求得正方形的个数和操作次数n之间的关系； （3）然后将2022代入，如果得数为整数，正方形的个数能为2022个；如果得数不是整数，正方形的个数不能为2022个． 【详解】（1）解：操作1次时，正方形的个数为4=3×1+1； 操作2次时，正方形的个数为7=3×2+1； 操作3次时，正方形的个数为10=3×3+1； … 可以发现：图几中正方形的个数等于3与操作次数的积加1． 由此规律可得，操作4次时、操作5次时，正方形的个数分别为13、16． 操作次数n 1 2 3 4 5 … n 正方形个数 4 7 10 13 16 （2）解：=3n+1； 故答案为：3n+1． （3）略 【点睛】此题主要考图形变化规律，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，数值等条件，认真分析，找到规律，解决问题． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）根据图中数字的排列规律，在第⑨个图中，的值是（   ） A． B． C．252 D．254 【答案】D 【分析】本题考查图形中的数字规律问题．先找到三角形每个位置上的数字规律，确定第⑨个图中的数字，再进行计算即可． 【详解】解：设三角形左上位置的数字为：，右上位置上的数字为：，下方位置上的数字为：， 观察三角形左上位置的数字：，，，，，， 下方位置上的数字：，，，，，， 右上位置上的数字：，，，，，， ∴，，； ∴； 故选：D． 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）正整数按图中的规律排列，请找出数字2025在第几行，第几列（  ） A．45行4列 B．45行3列 C．45行2列 D．45行1列 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索．先根据上图找到每行第一列数字的规律，第n行，第一个数为，然后根据，得出答案即可． 【详解】解：观察数列，发现每一行的第一个数是， ∵， ∴第行的第一个数是． 故选：D． 3．（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，将一列有理数按如图规律排列，则数2025对应的位置对应的字母是（    ） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察探索出数字的循环规律是解题的关键． 通过观察发现，每6个数是一组循环，其中第1，3，5个数符号为正，由此求解即可． 【详解】解：由图可知，每6个数是一组循环，其中第1，3，5个数符号为正， ∵， ∴2025与点C的位置相对应， 故选：C． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）数学老师根据○中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码a是（   ） A．322448 B．324824 C．468468 D．324880 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化规律的探索．根据所给密码可知，第一个数与最后一个数的乘积的结果是密码的前两位，第二个数与最后一个数的乘积的结果是密码的中间两位，第一个数与第二个数的和与最后一个数的乘积的结果是密码的最后两位，由此求解即可． 【详解】解：由前3个密码与三个数字的关系可以发现： 第1、2个数字为最上面的数与下面右边的数的积； 第3、4个数字为下面的两个数的积； 第5、6个数字为最上面的数与下面左边的数的和与右边的数的积． ∵， ∴该校的密码a是324880； 故选D． 5．观察下面关于x的单项式：，，，，，，…．按照上述规律，第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型-数字的变化类、单项式，解决本题的关键是观察单项式后找到规律； 根据关于的单项式的系数和次数变化发现规律即可求解． 【详解】解：观察关于的单项式可知：，，，，，，…， 发现规律：第个单项式为：， 所以第2025个单项式是：， 故选：B． 6．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2024个图案中涂有阴影的小正方形个数是（   ） A．8093 B．8097 C．4046 D．4047 【答案】B 【分析】此题考查了图案的变化规律问题．先数出三个图形中阴影小正方形的个数，再总结规律并推广至一般情形，从而求出第2024个图案中涂有阴影的小正方形个数． 【详解】解：第一个图案有涂有阴影的小正方形5个：， 第二个图案有涂有阴影的小正方形9个：， 第三个图案有涂有阴影的小正方形13个：， 则第个图形有涂有阴影的小正方形：个， 故第2024个图案中有涂有阴影的小正方形：(个)， 故选：B． 7．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）小明用火柴棒摆正方形，图1用了4根火柴棒，图2用了7根火柴棒，图3用了10根火柴棒，……，照此规律摆下去，图n要用火柴棒的根数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用代数式表示图形的规律，根据已知图形找出变化规律，利用规律列代数式即可． 【详解】解：摆1个正方形，需要4根火柴，可以写成； 摆2个正方形，需要7根火柴，可以写成； 摆3个正方形，需要10根火柴，可以写成； …… 以此类推，图n要用火柴棒的根数为． 故选C． 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图所示，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为3，第2幅图中“”的个数为8，第3幅图中“”的个数为15……，以此类推，则第11幅图中“”的个数为（    ） A．240 B．120 C．143 D．99 【答案】C 【分析】本题考查图形类规律探究，根据给出的图形，找到规律进行求解即可． 【详解】解：第1幅图中“”的个数为3， 第2幅图中“”的个数为， 第3幅图中“”的个数为， 依次类推， 第幅图中“”的个数为； 故第11幅图中“”的个数为； 故选C． 二、填空题 9．（25-26七年级上·安徽安庆·阶段检测）老师给小明出了下面的一道题，如图所示，根据数字排列的规律，第2025个数是正数还是负数______，排在对应于A，B，C，D中的什么位置______ 【答案】 负数 B 【分析】本题是对数字变化规律的考查，解题的关键是仔细观察图形，从箭头方向向下和向上两种情况对应的数的正负情况考虑求解． 根据4个数为一个循环组依次循环，用2025除以4，根据余数的情况确定所对应的位置即可． 【详解】解：观察不难发现，向下箭头的上边的数是负数，下方是正数，向上箭头的下方是负数，上方是正数，4个数为一个循环组依次循环，     ∵ ∴  第2025个数排在B的位置，是负数，   故答案是：负数，B．   10．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）观察下列单项式：，，，，……，按此规律，第5个单项式是____，第个单项式是_____． 【答案】 【分析】此题考查单项式规律探究，观察单项式的系数符号、分子、分母和x的指数变化规律，x的指数与项数相同；系数符号交替变化，分子为项数n，分母为． 【详解】解：由给定单项式可知，第n个单项式的x指数为n，系数符号由决定，分子为n，分母为， 因此第n个单项式为， 当时，符号为负，分子为5，分母为， 故第5个单项式为． 故答案为：，． 11．（24-25七年级上·安徽池州·期末）苯是一种石油化工基本原料，其产量和生产的技术水平是一个国家石油化工发展水平的标志之一，如图，小明用9根相同的木棒搭建的第1个图形就是类似于苯的结构简式，他继续用相同的木棒搭建与苯有关联的各个图形，按此规律，用含的式子表示搭建第（为正整数）个图形所需木棒的根数_____． 【答案】 【分析】本题考查了规律型—图形类规律与探究，根据前3个图形总结规律，即可得到第n个图形所需木棒的根数． 【详解】解：∵第1个图形有：9根， 第2个图形有：17根， 第3个图形有：25根， ……， ∴第n个图形有：根． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为_____，从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有_____个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出 a … 【答案】 1350 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，单项式的规律探究，通过观察输出结果，得到当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数，再由，即可求解． 【详解】解：输入1，得到a， 输入2，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入3，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入4，得到，项的系数与次数均为奇数， 输入5，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入6，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入7，得，项的系数与次数均为奇数， 输入8，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入9，得，项的系数与次数均为奇数， …… ∴当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数， ∵， ∴从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有1350个， 故答案为：，1350． 13．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第行、第列的数是________． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究．观察图表可知，第n行第一个数是，所以，第45行第一个数是，则2026为第1行，第46列的第一个数，据此可得答案． 【详解】解：观察图表可知，第n行第一个数是，且排完个数后，从第1行第列开始排列这个数， ∴第行，第列的数是， ∴2026为第1行，第46列的第一个数， ∴第行，第列的数是． 故答案为：． 14．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）有一个数字游戏：对一个两位数a作“变换”，先把a的十位数字加2，将和的个位数作为新数的十位数字，再把a的个位数字加7，将和的个位数作为新数的个位数字，记这个新的两位数为；将按同样的“变换”方式得到；将按同样的“变换”方式得到…． （1）若，则_________； （2）将a作“变换”依次得到了，，，…，，再从这2025个数中依此规律地抽取出，，，，…，，其中与值相等的数有_________个． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探究； （1）对于，按照变换规则逐步计算到的值； （2）设任意两位数的十位数字为，个位数字为；根据规则计算序列，发现具有周期性，周期为 10，抽取下标为3的倍数的项，与 相等，即下标为10的倍数，将转化问题为，在到之间，既能被整除，又能被整除的数，就是满足条件的项数． 【详解】（1）解：由，十位数字为1，个位数字为 3 计算：十位数字加2得，个位数字加7得，取个位数，故 ； 计算：十位数字加2得，个位数字加7得，故； 计算：十位数字加2得 ，个位数字加7得，取个位数4，故 ； 故答案为：． （2）解：设任意两位数的十位数字为，个位数字为； 根据变换规则，的十位数字为对10取余，个位数字为对10取余 由于的周期为5，的周期为10， 故序列，，，…，的周期为10 因此 抽取下标为 3 的倍数的项：， 因为序列的周期为10，要使，则下标必须是10的倍数 和的最小公倍数为30， 即在到之间的倍数的个数：需取整数． 故答案为：． 三、解答题 15．我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛． 【规律探索】用同样大小的两种正方形纸片，按如图方式拼正方形． 【规律归纳】 （1）图3中共有个小正方形，图4共有 个小正方形； （2）按图示方式继续拼下去，图n中（未画出）共有 个小正方形； 【规律应用】 （3）请用上述规律计算：． 【答案】（1）7，；（2），；（3）． 【分析】本题主要考查了数字规律探索、连续奇数求和公式，熟练掌握“从1开始的连续奇数和等于项数的平方”是解题的关键． （1）观察图4的小正方形组成，是在前三个奇数和的基础上加第四个连续奇数，计算总和； （2）分析图1到图4中奇数的个数、最后一个奇数与图序号的关系，推导图对应的奇数项及和； （3）利用连续奇数和的规律，先确定项数，再计算总和． 【详解】解：（1）， 故答案为：7，； （2）图1：，和为 图2：， 图3：， 图4：， ， 图：， 故答案为：，； （3） ． 16．（24-25七年级上·安徽·期末）在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为，则； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为，则；第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为，则； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______； (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查规律型图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论． （2）利用规律解决问题即可． （3）用转化的思想解决问题即可． 【详解】（1）解：第4次分割后空白部分的面积为， 故答案为：； （2）解：第1次分割后空白部分的面积为， 第2次分割后空白部分的面积为， 第3次分割后空白部分的面积为， 第4次分割后空白部分的面积为， ∴； （3）解：由（2）得出 第n次分割后空白部分的面积为， ∴， ∴． 17．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）春秋时期，孔子有一天对他的弟子们说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”这句话的意思是说：“教书先生举出一个墙角，学生就应该会独立思考，融会贯通，从而类推到其余三个墙角，然后用三个墙角反证老师先前提出的墙角，如果每个学生都这样学习和思考，教书先生就不用再费力气教学生了”． 【规律探索】用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形： 第（1）个图形中有2张正方形纸片： 第（2）个图形中有张正方形纸片： 第（3）个图形中有张正方形纸片； 第（4）个图形中有张正方形纸片： 请你观察图形与算式，完成下列问题： 【规律归纳】 （1）第（7）个图形中有______张正方形纸片（直接写出结果）； （2）根据上面的发现我们可以猜想：______（用含的代数式表示）： 【规律应用】根据你的发现计算： （3）①； ②． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】（1）根据前四个图形的排列规律，第七个图形有张正方形纸片，计算得出答案． （2）根据前面的发现，，可以写成：的形式，化简计算得出答案． （3）①直接用发现的规律代入计算求解； ②运用添项法，原式加上然后再减去，计算结果不变；原式可变为：，运用发现的规律计算求解． 【详解】解：（1）由题意观察可得：， 故答案为； （2） 故答案为； （3）① ②原式 ． 18．观察下列图形： 它们是按一定规律排列的． (1)依照此规律，第20个图形共有几个五角星？ (2)摆成第n个图形需要几个五角星？ (3)摆成第2025个图形需要几个五角星？ 【答案】(1)60个 (2)个 (3)6075个 【分析】本题考查了图形规律题，根据图中信息找到规律是解题的关键． （1）通过观察已知图形可得：每个图形都比其前一个图形多3个五角星，根据此规律即可解答； （2）根据（1）的规律求解即可； （3）根据（2）的规律求解即可． 【详解】（1）解：根据题中给出的信息分析可得： 第1个图中，五角星有3个即； 第2个图中，五角星有6个即； 第3个图中，五角星有9个即； 第4个图中，五角星有12个即； 第20个图中，五角星有（个）； （2）解：由（1）的规律可得，摆成第个图形需要五角星个． （3）解：摆成第2025个图形，即，需要个五角星． 答：摆成第2025个图形需要6075个五角星． 19．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）观察下列图形中点的个数． (1)图中点的个数是_______； (2)若按其规律再画下去，如果图形中有个点，那它是第_____个图形； (3)若按其规律再画下去，可以得到第个图形中所有点的个数为______（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）第个图形中的点的个数为，第个图形中的点的个数为，第个图形中的点的个数为，找出规律即可求解； （）第个图形中的点的个数为，第个图形中的点的个数为，第个图形中的点的个数为，找出规律即可求解； （）第个图形中的点的个数为，第个图形中的点的个数为，第个图形中的点的个数为，找出规律即可求解； 本题考查了图形的变化规律，观察图形，找出规律是解题的关键． 【详解】（1）解：第个图形中的点的个数为：， 第个图形中的点的个数为：， 第个图形中的点的个数为：， 第个图形中的点的个数为：， 故答案为：； （2）第个图形中的点的个数为：， 第个图形中的点的个数为：， 第个图形中的点的个数为：， 第个图形中的点的个数为：， ； 第个图形中的点的个数为：， 故答案为：； （3）第个图形中的点的个数为：， 第个图形中的点的个数为：， 第个图形中的点的个数为：， 第个图形中的点的个数为：， ； 第个图形中的点的个数为：， 故答案为：． 20．如图，这是一类物质结构组成的式子，第1个结构式中有1个和4个，分子式是；第2个结构式中有2个和6个，分子式是；第3个结构式中有3个和8个，分子式是按照此规律，回答下列问题． (1)第5个结构式的分子式是______． (2)第个结构式的分子式是______． (3)试通过计算说明分子式是的物质构成符合上述构成规律吗？ 【答案】(1) (2) (3)不符合， 因为第个结构式的分子式，令，则， 所以分子式 的物质构成不符合上述构成规律． 【分析】本题主要考查了跨学科情境下的列代数式相关知识，根据题意得到正确的规律是解题是关键． （1）根据规律可知第4个结构式中有4个和8个，分子式是，第5个结构式中有5个和12个，分子式是． （2）根据规律可知第个结构式的分子式有个和个． （3）根据（2）中的规律第2025个结构式的分子式有2025个和4052个． 【详解】（1）解：根据规律可知第4个结构式中有4个和10个，分子式是，第5个结构式中有5个和12个，分子式是． 故答案为：． （2）解：根据规律可知第个结构式的分子式有个和个，分子式为． 故答案为：． （3） 略 21．（25-26七年级上·安徽六安·期中）观察下面的图形和对应的等式，设第1个图中“○”数为，第2个图中“○”数为，第3个图中“○”数为，…，第个图中“○”数为，根据你发现的规律解答问题． (1)填空：____________（填具体数字）；____________（用含的式子表示）． (2)因为，，，…，根据上述规律，______（用幂的形式表示）． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了数字规律探索问题，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）根据图中所示规律即可求解； （2）根据（1）中的规律可得，即可求解； 【详解】（1）解：由图可知：，； （2）解：∵，，，…， ∴ 22．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）【观察思考】 【规律发现】 如图所示的图案都是由正八边形构成的图案，正八边形的每个顶点上都有“”或“”． 第1个图案中“”有个；“”有个； 第2个图案中“”有个；“”有个； 第3个图案中“”有个；“”有个； 第4个图案中“”有个；“”有个；． （1）第99个图案中“”有______个；“”有______个； （2）第个图案中“”有______个，“”有______个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （3）在第2025个图案中，求“”的个数比“”的个数少多少． 【答案】（1）99；99；（2）；；（3）2024 【分析】本题考查了图形类规律，有理数的混合运算，整式的加减，发现规律是关键． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据前几个图案的规律，即可求解； （3）计算，再将代入计算即可得出答案． 【详解】解：（1）第99个图案中“”有个；“”有个； 故答案为：99；99； （2）第个图案中“”有个，“”有个，即个； 故答案为：；； （3）， 当时，， 即在第2025个图案中，求“”的个数比“”的个数少2024个. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $