2026-2027学年人教版数学九年级上册期中质量监测试卷

2026-2027学年度初三年级期中质量监测 数学试卷 本卷满分120分，考试时间120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题(本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．若关于x的方程有一个根为，则另一根为（    ） A．3 B． C．2 D．1 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．将抛物线y=2x2+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（    ） A．y=2(x+3)2+4 B．y=2(x+3)2 C．y=2(x－3)2+4 D．y=2(x－3)2 6．关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．若二次函数的图象经过点，，其中，则_____． 8．若，是方程的两个实数根，则的值为______． 9．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=2x2的图象，C2是函数y=－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为_______． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B．若的面积为6，则k的值为________． 11．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C 分别在x 轴 ，y轴上，且， 反比例 函数 的图像与正方形 的两边分别相交于M、N 两点，且的面积为3.5，若动点P 在 x 轴上，则取最小值时，点P 的坐标为 _______________． 12．已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为______． 三、解答题（本大题共11小题，共84分） 13．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 14．已知关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x2，若，求k的值 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点C，A分别在x轴，y轴上，经过A，C两点的抛物线交x轴于另一点D，连接AC．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中的抛物线上找出点E，使． （2）在图2中的抛物线上作出该抛物线的顶点F． 16．二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）． （1）求b、c的值； （2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 17．如图，反比例函数（）的图象经过点，，点的坐标为． (1)求的值； (2)求所在直线的解析式． 18．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，反比例函数的图象经过点． (1)求此反比例函数的解析式； (2)在轴的下方作矩形，使，请你通过计算说明点在反比例函数的图象上； 19．春节期间，由于我市执行严禁燃放烟花爆竹令，某商店抓住商机，经销一种安全、环保的电子鞭炮，进价为每个30元的电子鞭炮以每个40元的价格售出，平均每天能售出50个．现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款电子鞭炮每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其每天销售量就减少1个，设该商场决定把售价上涨x（，且x是整数）元． (1)为了获得平均每天800元的利润，这款电子鞭炮每个的售价应定为多少元？ (2)这款电子鞭炮每个的售价定为多少元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，并求最大利润？ 20．我们规定：对于任意实数有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 21．如图，菱形的边在轴的正半轴上，对角线，相交于点，已知点，反比例函数的图象经过点． (1)点的坐标是______，______； (2)延长交反比例函数的图象于点，交轴于点，连接，求的面积． 22．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”． (1)求直线上的“双倍点”的坐标； (2)反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由； (3)已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式； (4)若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值． 23．如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 试卷第1页（共3页） 数学试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 2026-2027学年度初三年级期中质量监测数学试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B A D A C 1．A 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义判断． 【详解】解：A、，是一元二次方程，符合题意； B、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、当时，是一元二次方程，时，不是一元二次方程，不符合题意； D、，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：． 2．B 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的性质，能够熟练运用顶点式得出顶点坐标是解题关键． 利用顶点式直接得出顶点坐标即可． 【详解】解：∵顶点式的顶点为， ∴的顶点为， 故选：B． 3．A 【分析】设另一根为x=m，根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可求出答案． 【详解】解：设方程的另一个根为x=m， 则， 解得：， ∴方程的另一个根为x=3， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么x1+x2=-，x1x2=． 4．D 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下；据此即可求解； 【详解】解：若，则一次函数经过一、三、四象限；二次函数的开口向上； 若，则一次函数经过二、三、四象限；二次函数的开口向下； 故D符合题意； 故选：D 5．A 【分析】根据题意可得抛物线y=2x2+2的顶点坐标为（0，2），可得到将抛物线y=2x2+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的顶点坐标为（-3，4），即可求解． 【详解】解：∵抛物线y=2x2+2的顶点坐标为（0，2）， ∴将抛物线y=2x2+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的顶点坐标为（-3，4）， ∴平移后得到抛物线的解析式是y=2(x+3)2+4． 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 6．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根等知识点，掌握运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况成为解题的关键． 通过证明，即可判断①，证明，即可判断②；根据一元二次方程根的定义得到，则或即可判断③；由题意可得即可判断④． 【详解】解：①对于方程， ∴， 若，则， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根；故①正确； ②由①可知，， 若，则，即，则， ∴， ∴方程没有实数根；故②正确； ③若n是方程的一个根，则，即， ∴或，即或，故③错误； ④若是方程的一个根， ∴， ∵， ∴两边同除以得，， 即， ∴是方程的一个根，故④正确； 综上可知，①②④正确，共3个． 故选：C． 7． 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．先配成顶点式得到抛物线的对称轴为直线，由于，得到点比点离对称轴要近，所以． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴，， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴． 故答案为：． 8． 【分析】先根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得，， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用整体代入法是本题的关键． 9．2π 【详解】试题分析：根据题意可知两个函数的图像关于x轴对称，通过对称性可知阴影部分为一个半圆，求半圆的面积为π×22÷2=2π. 故答案为2π. 10． 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质以及三角形面积的计算，设A的坐标表示相关长度，利用三角形面积公式建立方程，结合反比例函数关系式求出k即可． 【详解】解：设A的坐标为， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴，， ∴， ∴， ∵点A是反比例函数图象上的一点， ∴． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数的图象与性质，轴对称的性质，先求得，再由，再列出方程求得k的值，可求出点M、N的坐标，作点M关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时最小，设直线的表达式为，将点、N的坐标代入即可求出其表示，直线与x轴的交点即可求得点P 的坐标． 【详解】解：正方形中，， 点M的横坐标和点N的纵坐标都是4， 点M、N在反比例函数的图像上， ， ， ， 解得：（负值舍去）， ， 如图，作点M关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时最小， 点M关于x轴的对称点， ， 设直线的表达式为， 将点、N的坐标代入得 ， 解得， 直线的表达式为， 令，则， 点P 的坐标为． 12． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：把，，代入得， ， 解得， ∴，故正确； ∵，，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值， ∵与时函数值相等，等于， ∴当时， 的取值范围为，故错误； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由，解得，， ∴，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为， 故答案为：． 13．(1) (2)， 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法．解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法． （1）根据完全平方公式求值； （2）将方程展开整理成一般形式后，用求根公式求解． 【详解】（1）解：， 原方程可化为， 解得； （2）解：， 原方程可化为， ， ． ，． 14．k=1． 【分析】根据一元二次方程有两个实数根，得出△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围，根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2=﹣2k，x1x2=k2﹣2k+1，由，得到，代入即可求出k的值． 【详解】△=（2k）2﹣4（k2﹣2k+1） =4k2﹣4k2+8k﹣4 =8k﹣4． ∵原方程有两个实数根，∴8k﹣4≥0， 解得：k≥， 即实数k的取值范围是k≥； 由根与系数的关系得：x1+x2=﹣2k，x1x2=k2﹣2k+1． ∵，∴，∴， 化简得：k2+2k﹣3=0， （k﹣1）（k+3）=0，∴k=1或k=﹣3， 又∵k≥，∴k=1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根；（4）x1+x2，x1•x2． 15．（1）如图1，延长BA交抛物线于点E，点E即为所求； （2）如图2，延长CA、DE交于点P知△PCD为等腰三角形，连接AD、CE交于点Q，连接PQ交抛物线于点F即为所求． 【分析】（1）延长BA交抛物线于点E，则A、E两点的纵坐标相等，根据抛物线的对称性即可解答； （2）由（1）知AE∥CD、AC=DE知四边形ACDE是等腰梯形，延长CA、DE交于点P知△PCD为等腰三角形，连接AD、CE交于点Q，连接PQ交抛物线于点F即为所求． 【详解】略 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、等腰梯形、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握抛物线、等腰梯形及等腰三角形的轴对称性是解答本题的关键． 16．（1） ；（2）顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2 【详解】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）， ∴ ， 解得 ； （2）∵该二次函数为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1． ∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2. 17．(1)3 (2) 【分析】（1）过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，即可求解点，再由待定系数法求解即可； （2）设直线，再由待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， 将点代入，则； （2）解：设直线， 代入，，得 ， 解得， ∴所在直线的解析式为． 18．(1) (2) 解：∵， ， ∴， ， ， ， ∴点在反比例函数的图象上． 【分析】（1）如图，过点D作，过点C作，根据菱形的性质和已知点坐标利用勾股定理求出，证明，得出，即可得，再利用待定系数法求解即可； （2）求出，则，，验证即可． 【详解】（1）解：如图，过点D作，过点C作， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， ∴反比例函数解析式为． （2）略 19．(1)50元 (2)当售价定为60元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，最大利润为900元. 【分析】（1）根据题意得涨价元，单个利润为元，每天销售量为个，根据题意列出方程，结合的限定范围求解得到最终售价； （2）设该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润为元，先列出利润关于的二次函数解析式，再利用二次函数的最值性质结合的范围求出最大利润和对应售价． 【详解】（1）解：根据题意得涨价元，单个利润为元，每天销售量为个， 则， 解得或， 由于，则， 此时售价为（元）， 答：这款电子鞭炮每个的售价应定为50元； （2）解：设该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润为元， 根据题意得 ：， 当时，取得最大值，最大值为900，此时售价为（元）， 答：这款电子鞭炮每个的售价定为60元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，最大利润为900元． 20．(1)10 (2)且 【分析】本题考查了新定义、一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意求值即可； （2）根据一元二次方程的判别式得，解题即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ， 此方程有两个实数根， ， 解得且． 21．(1)，8 (2) 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形性质的运用，解题时注意：菱形的对角线互相垂直平分．（1）根据点是点和点的中点即可求出答案；把点坐标代入反比例函数的解析式即可；（2）先求出点的坐标，再求出的长，然后根据即可得解． 【详解】（1）解：∵点是菱形的对角线的交点， 即点是点和点的中点， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点的坐标为：；   将点的坐标代入反比例函数中得， 解得：； （2）解：∵四边形是菱形， ，． ． ∴点的纵坐标为4． 当时，， ， 点的坐标为． ． ． 22．(1) (2)不存在“双倍点”，理由见解析 (3)或 (4)的值为或 【分析】（1）根据“双倍点”的定义设直线上的“双倍点”的坐标，可得，解方程求出的值即可； （2）设在反比例函数图象上，把代入可得，根据平方的非负数性质得出得出该方程无实数解，可得不存在“双倍点”； （3）根据二次函数解析式得出与轴的交点坐标是，根据“双倍点”的定义得出，根据“双倍二次函数”的定义得出顶点坐标为，根据“双倍点”的定义求出或，即可得出答案； （4）根据“双倍二次函数”的得出及“双倍点”的定义求出二次函数解析式为，分，，三种情况，利用二次函数的性质分别求解即可得答案． 【详解】（1）解：设直线上的“双倍点”的坐标， ∴， 解得：， ∴， ∴直线上的“双倍点”的坐标． （2）解：不存在“双倍点”，理由如下： 设在反比例函数图象上， ∴ ∴，此方程无实数解， ∴在反比例函数图象上不存在“双倍点”． （3）解：∵二次函数解析式为， ∴当时，， ∴函数的图象与轴的交点坐标是， ∵函数的图象与轴的交点是“双倍点”， ∴， ∴， ∴顶点坐标为， ∵该二次函数是“双倍二次函数”， ∴， 解得：或， ∴二次函数的解析式为或． （4）解：设“双倍二次函数”， ∵为“双倍点”， ∴， ∴， 解得：或， 当时，顶点为，不合题意，舍去； ∴时，这个“双倍二次函数”为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）； 当时，时，函数的最小值为，不存在满足条件的t值； 当时，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）， 综上所述，的值为或． 23．(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出点C的坐标，得到的长，根据直线平行于轴，交抛物线于点D，得到点D的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）令，求出点B的坐标，由题意得到，，过点P作于点E，表示出的长，根据三角形的面积公式即可求解； （3）设，求出，，因此．过点D作，交x轴对于点F，则，则．设，则．证明四边形是正方形，推出，进而证明，得到，，，．连接，证明，得到，又，从而在中，根据勾股定理构造方程，求出a的值，即可得出点M的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线与直线的解析式，求出点P的坐标，根据的面积关于点P的横坐标t的函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴， ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴， ∵二次函数（）的图象过点，， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为． （3）解：设， ∵轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 过点D作，交x轴于点F，则， ∴， ∴． 设，则． 过点D作轴于点G，则，轴， ∵轴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在中，，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为 解方程组得或， ∴点P的坐标为， 由（2）有，的面积S关于点P的横坐标t的函数关系式为， ∴当时，， ∴的面积为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $