第二单元 多边形的认识（知识清单）数学冀教版四年级上册（新教材）

第二单元 多边形的认识 知识清单讲义 知识点一：三角形 1.定义：由 3 条线段首尾顺次围成的封闭图形，有 3 个顶点、3 条边、3 个内角 ⚠️易错：只有 3 个顶点 / 只有 3 条线段，不封闭就不是三角形 2.特性：三角形具有稳定性，不容易变形（椅子支架、篮球架） 3.三边关系：任意两边之和＞第三边；简便判断：较短两边之和＞最长边才能拼成三角形 4.内角和：任意三角形内角和 =180° 5.三角形分类 ✅按角分 锐角三角形：3 个角全是锐角 直角三角形：有 1 个直角 钝角三角形：有 1 个钝角 所有三角形，最少都有 2 个锐角 ✅按边分 不等边三角形：三边都不相等 等腰三角形：两条边相等，两个底角相等；相等的边叫腰，剩下的边叫底边 等边三角形：三边全相等，三个角都是 60°；等边三角形是特殊的等腰三角形 6.尺规作图：先画底边，圆规分别以底边两端画弧，交点为第三个顶点，连线围成三角形。 知识点二：四边形 四边形：4 条线段首尾围成的封闭图形，4 条边、4 个角；四边形具有不稳定性，容易变形。 1. 平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形 特点：两组对边平行且相等，对角相等。 长方形拉动对角，可以变成平行四边形；周长不变，高和面积改变。 长方形、正方形都是特殊的平行四边形 2. 长方形 特征：对边平行且相等，4 个角都是直角；长边叫长，短边叫宽 3. 正方形 特征：4 条边全部相等，4 个角都是直角；每条边的长度叫边长 正方形是特殊的长方形 4. 梯形 ✅定义：只有一组对边平行的四边形，叫做梯形 平行的两条边：短的叫上底，长的叫下底 不平行的两条边：叫做腰 ✅梯形两种特殊类型 直角梯形：有一个角是直角的梯形。 只要有 1 个直角，就一定有 2 个直角，定义只需要写 “有一个直角”。 等腰梯形：两腰长度相等的梯形；两个上底角相等，两个下底角相等。 5. 四边形整体分类（集合图） 知识点三：组合图形⭐ 1.定义：由几个简单图形（三角形、平行四边形、梯形、长方形等）拼合组成的图形，叫组合图形。 2.分割方法：把组合图形拆成我们学过的基础图形，分割方法不唯一。 题型1：三角形的认识与特性（基础） 【例1】由三条( )围成的封闭图形叫作三角形。三角形有( )个角，有( )个顶点,三角形具有（ ）性。 【练1】自行车的三角架之所以做成三角形，是利用了三角形的( )性。升降梯可以上下活动是利用了平行四边形的( )性。 题型2：三角形三边关系与内角和（重点） 【例2】（1）下边有5根小棒，要组成一个等腰三角形，可选择( )（填序号）；要组成一个等边三角形，可选择( )（填序号）。 ①6cm  ②5cm ③3cm  ④3cm  ⑤3cm （2）看图求未知角的度数。 【练2】（1）一根长12厘米的铁丝，要把它分成三段，再首尾相连成一个三角形。园园在4厘米处剪了一刀，再在哪个刻度处剪一刀就能围成一个三角形？（边长为整厘米数） （2）爸爸计划在家中庭院做一个三角形花架，用来放妈妈养的各种绿植，以达到好看整洁的目的。若花架的一个角是26度，剩下的两个角相等，则花架剩下的两个角都是多少度？ 题型3：三角形的分类（重点） 【例3】（1）选一选，把序号填在相应的括号里。 锐角三角形有( )，直角三角形有( )，钝角三角形有( )。 （2）下面的三角形按边分类可以分成哪几类？ 【练3】你能给三角形分类吗？ 题型4：长方形、正方形（重点） 【例4】看图，在下边的长方形中画一个最大的正方形，这个正方形的边长是( )厘米。剩余部分是一个( )形，长是( )厘米，宽是( )厘米。 【练4】按要求量一量，画一画。 （1）量一量，图中长方形的长是 厘米。 （2）画一画，在长方形中截取一个最大的正方形。这个正方形的边长是 厘米。 题型5：画平行四边形与梯形的高、三角形尺规作图（重点） 【例5】（1）画出下面图形指定底边上的高。 （2）画三条与线段AB等长的线段，围成一个三角形。 【练5】（1）根据下面每个图形标出的底，分别画出图形的高。 （2）任选三条线段，使这三条线段能围成一个三角形，用尺规作出这个三角形。 题型6：组合图形的分割 【例6】在下面的梯形中分别画一条线段，使分割后的图形满足下列条件。 【练6】把下列图形分割成我们学过的图形． 1．一个三角形中，两个内角的和是89°，这个三角形是（    ）。 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．不能确定 D．直角三角形 2．下面各图能表示四边形之间关系的是（    ）。 A． B． C． 3．如图，用木条钉成一个长方形框架，长12厘米，宽9厘米。将长方形框架拉成平行四边形框架，平行四边形框架的高可能（    ）。 A．11厘米 B．10厘米 C．9厘米 D．8厘米 4．一个三角形的两条边分别是8cm和5cm，第三条边的长度最长是( )cm，最短是( )cm。 5．如图，一块三角形纸板被撕去了一个角，这个角是( )°，原来这块纸板的形状是( )三角形，也是( )三角形。 6．如图，小明将一张长方形卡纸的一角进行折叠。 (1)如果，那么( )°。 (2)小明将这张长方形卡纸沿着折痕剪开，得到的两个图形是( )形和( )形。 7．在一张长12厘米，宽8厘米的长方形纸上剪下一个最大的正方形，这个正方形的边长是( )厘米，剩下的长方形的长是( )厘米，宽是( )厘米。 8．分一分。（填序号） 平行四边形 梯形 三角形 其他图形 （      ） （      ） （      ） （      ） 9．一个等腰三角形的顶角是50°，这个三角形的一个底角是( )°；如果一个等腰三角形的一个底角是50°，它的顶角是( )°。 11．将下面各图形切割成你学过的图形。 10．求下列各角的度数。 求∠A的度数。                    求∠B的度数。                        求∠C的度数。 11．用圆规和直尺作三角形。请以线段AB为边长，尝试画出一个等边三角形，保留作图痕迹。 12．按要求完成。 （1）根据线段AB和AC画出平行四边形。 （2）过点A画出这个平行四边形的两条长度不同的高。 13．用一根长为50厘米的铁丝围成一条边为12厘米的等腰三角形，它的另两条边的长分别是多少厘米？ 14．王伯伯有一块等腰梯形的菜地，这块菜地上底的长度和一条腰的长度相等，下底的长度是上底的2倍。如果将梯形的上底延长16米，那么这个梯形就变成了一个平行四边形。王伯伯想在菜地的四周围上篱笆，至少需要多长的篱笆？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 多边形的认识 知识清单讲义 知识点一：三角形 1.定义：由 3 条线段首尾顺次围成的封闭图形，有 3 个顶点、3 条边、3 个内角 ⚠️易错：只有 3 个顶点 / 只有 3 条线段，不封闭就不是三角形 2.特性：三角形具有稳定性，不容易变形（椅子支架、篮球架） 3.三边关系：任意两边之和＞第三边；简便判断：较短两边之和＞最长边才能拼成三角形 4.内角和：任意三角形内角和 =180° 5.三角形分类 ✅按角分 锐角三角形：3 个角全是锐角 直角三角形：有 1 个直角 钝角三角形：有 1 个钝角 所有三角形，最少都有 2 个锐角 ✅按边分 不等边三角形：三边都不相等 等腰三角形：两条边相等，两个底角相等；相等的边叫腰，剩下的边叫底边 等边三角形：三边全相等，三个角都是 60°；等边三角形是特殊的等腰三角形 6.尺规作图：先画底边，圆规分别以底边两端画弧，交点为第三个顶点，连线围成三角形。 知识点二：四边形 四边形：4 条线段首尾围成的封闭图形，4 条边、4 个角；四边形具有不稳定性，容易变形。 1. 平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形 特点：两组对边平行且相等，对角相等。 长方形拉动对角，可以变成平行四边形；周长不变，高和面积改变。 长方形、正方形都是特殊的平行四边形 2. 长方形 特征：对边平行且相等，4 个角都是直角；长边叫长，短边叫宽 3. 正方形 特征：4 条边全部相等，4 个角都是直角；每条边的长度叫边长 正方形是特殊的长方形 4. 梯形 ✅定义：只有一组对边平行的四边形，叫做梯形 平行的两条边：短的叫上底，长的叫下底 不平行的两条边：叫做腰 ✅梯形两种特殊类型 直角梯形：有一个角是直角的梯形。 只要有 1 个直角，就一定有 2 个直角，定义只需要写 “有一个直角”。 等腰梯形：两腰长度相等的梯形；两个上底角相等，两个下底角相等。 5. 四边形整体分类（集合图） 知识点三：组合图形⭐ 1.定义：由几个简单图形（三角形、平行四边形、梯形、长方形等）拼合组成的图形，叫组合图形。 2.分割方法：把组合图形拆成我们学过的基础图形，分割方法不唯一。 题型1：三角形的认识与特性（基础） 【例1】由三条( )围成的封闭图形叫作三角形。三角形有( )个角，有( )个顶点,三角形具有（ ）性。 【答案】 线段 3 3 稳定 【分析】由三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形，且一个三角形有3个角，有3个顶点，三角形具有稳定性。 【练1】自行车的三角架之所以做成三角形，是利用了三角形的( )性。升降梯可以上下活动是利用了平行四边形的( )性。 【答案】 稳定 不稳定 【分析】三角形稳定性在生活中的运用有自行车架、篮球架、 斜拉索桥、小别墅的屋顶、高压电线杆的支架、埃及金字塔、三角形框架、三角形吊臂等；平行四边形具有不稳定性、容易变形，这种特性在生活中的具有广泛的应用：伸缩衣架、小区门口的电动门、小商店门口的推拉门、折叠椅子等。 【详解】自行车的三角架之所以做成三角形，是利用了三角形的稳定性。升降梯可以上下活动是利用了平行四边形的不稳定性。 题型2：三角形三边关系与内角和（重点） 【例2】（1）下边有5根小棒，要组成一个等腰三角形，可选择( )（填序号）；要组成一个等边三角形，可选择( )（填序号）。 ①6cm  ②5cm ③3cm  ④3cm  ⑤3cm 【答案】 ②④⑤、②③④或②③⑤ ③④⑤ 【分析】三角形两边之和大于第三边；等腰三角形中有两条边相等；等边三角形是三条边都相等的三角形； 【详解】等腰三角形中有两条边相等； ，选择两根3cm，一根5cm的小棒，选择②④⑤或②③④或②③⑤； 等边三角形的三条边都相等； 选择三根3 cm的小棒，选择③④⑤。 （2）看图求未知角的度数。 【答案】130°；55° 【分析】（1）根据三角形内角和度数是180°，减去所给的两个角的度数，就是所求角的度数； （2）如图一个直角三角形，那么一个角是90°，另两个角的和是90°，用90°减去给出的一个角的度数就是所求的角的度数。 【详解】（1）180°－20°－30° ＝160°－30° ＝130° （2）90°－35°＝55° 【练2】（1）一根长12厘米的铁丝，要把它分成三段，再首尾相连成一个三角形。园园在4厘米处剪了一刀，再在哪个刻度处剪一刀就能围成一个三角形？（边长为整厘米数） 【答案】可以在7厘米处或8厘米处或9厘米处剪一刀 【分析】已知条件可求出其余两条线段的长度之和即为（厘米）；找出和为8的两个非零自然数，继而得出其余两条线段的长度；接下来找出能与4厘米围成三角形的一组线段长，由此可求出答案。 【详解】（厘米）    ，，不能围成三角形。 ，，不能围成三角形。 能围成三角形的三段可以是4厘米、3厘米和5厘米或4厘米、4厘米和4厘米，所以可以在7厘米或8厘米或9厘米处剪一刀。 【点睛】本题考查的是三角形边的关系，解题的关键是明白两边之和大于第三边。 （2）爸爸计划在家中庭院做一个三角形花架，用来放妈妈养的各种绿植，以达到好看整洁的目的。若花架的一个角是26度，剩下的两个角相等，则花架剩下的两个角都是多少度？ 【答案】 77度 【分析】根据三角形内角和为180度，用内角和减去已知角的度数，得到两个相等角的度数和，再除以2即可求出每个角的度数。 【详解】180－26＝154（度） 154÷2＝77（度） 答：花架剩下的两个角都是77度。 题型3：三角形的分类（重点） 【例3】（1）选一选，把序号填在相应的括号里。 锐角三角形有( )，直角三角形有( )，钝角三角形有( )。 【答案】 ①③⑥ ④⑤ ②⑦ 【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 是锐角三角形，是锐角三角形，是锐角三角形，是直角三角形，是直角三角形，是钝角三角形，是钝角三角形。 【详解】 锐角三角形有①③⑥，直角三角形有④⑤，钝角三角形有②⑦。 （2）下面的三角形按边分类可以分成哪几类？ 【答案】(1)不等边三角形① (2)等腰三角形：②、③、④、⑤、⑥ (3)等边三角形：③、⑤ 【详解】通过用直尺量每边的长，发现三角形按边分类只有三种情况：(1)三条边都不相等，如①；(2)两条边相等，如②③④⑤⑥；(3)三条边都相等，如③⑤.我们就把三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形(也叫正三角形)，等边三角形是特殊的等腰三角形，所以也属于等腰三角形 【练3】你能给三角形分类吗？ 【答案】见详解 【分析】锐角三角形：3个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；钝角三角形：有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；即按角分可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形；两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形；等边三角形也是等腰三角形；即按边分可以分为：不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形又分为两边相等的等腰三角形和三边都相等的等边三角形；据此解答即可。 【详解】如图所示： 题型4：长方形、正方形（重点） 【例4】看图，在下边的长方形中画一个最大的正方形，这个正方形的边长是( )厘米。剩余部分是一个( )形，长是( )厘米，宽是( )厘米。 【答案】 5 长方 5 3 【分析】 由题意可知：在下边的长方形中画一个最大的正方形，如图所示，正方形的边长是5厘米，剩余部分是一个长方形，长方形的长是5厘米，宽是（8－5）厘米，据此解答。 【详解】由分析可知： 8－5＝3（厘米） 看图，在下边的长方形中画一个最大的正方形，这个正方形的边长是5厘米。剩余部分是一个长方形，长是5厘米，宽是3厘米。 【练4】按要求量一量，画一画。 （1）量一量，图中长方形的长是 厘米。 （2）画一画，在长方形中截取一个最大的正方形。这个正方形的边长是 厘米。 【答案】（1）3（2）；2 【分析】（1）将直尺0刻度对准长边的一点，另一点所在的刻度即为长方形的长。 （2）最大的正方形即正方形的边长为长方形的宽，据此画出正方形即可。 【详解】（1）经测量，图中长方形的长是3厘米。 （2）在长方形中截取一个最大的正方形。这个正方形的边长是2厘米。 画图略； 题型5：画平行四边形与梯形的高、三角形尺规作图（重点） 【例5】（1）画出下面图形指定底边上的高。 【答案】 （画法不唯一） （2）画三条与线段AB等长的线段，围成一个三角形。 【答案】见详解 【分析】由题意得，要画三条与线段AB同样长的线段并围成一个三角形，可以先用圆规量出线段AB的长度。即把圆规两脚和线段AB的两个端点对齐，据此量得线段AB的长度。然后用圆规的一个脚先点一个点，接着将圆规的一脚固定在这个点上，然后用圆规的另一个脚点出另一个点，连接这两个点可以画出一条线段。然后将圆规的针尖固定在这条线段的一个端点上，在这条线段的上方画出一条弧。接着将圆规的针尖固定在另一个端点上，另一脚在线段上方也画出一条弧，两条弧相交有一个交点，最后用直尺分别连接交点与画出的第一条线段的两个端点即可得到一个三角形。据此作图。 【详解】 【练5】（1）根据下面每个图形标出的底，分别画出图形的高。 【答案】（画法不唯一） 【分析】先明确图形高的定义：从与底相对的边上任意一点，向底边作垂线段，该垂线段即为对应底的高。 对于平行四边形，找到所标底的对边，在对边上选一点，用三角板的直角边对齐底边，作底边的垂线，垂足落在底边上，标注垂直符号。 对于梯形，找到所标下底的对边即上底，在上底选一点，用三角板的直角边对齐下底，作下底的垂线，垂足落在下底上，标注垂直符号。 【详解】略 （2）任选三条线段，使这三条线段能围成一个三角形，用尺规作出这个三角形。 【答案】选线段a、b、d；如图： 【分析】（）首先依据三角形三边关系，判断所选三条线段是否满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，选出符合条件的三条线段，这是解题的前提条件。 （）选好线段后，用尺规作一条线段等于所选三条线段中的其中一条，确定三角形的第一个边和两个顶点。 （）以所作线段的两个端点为圆心，分别以另外两条线段的长度为半径画弧，两弧的交点即为三角形的第三个顶点。 （）连接第三个顶点与已作线段的两个端点，即可得到所求三角形。 【详解】如图： ①选线段、、； ②画线段并标志顶点。 ③以右侧顶点为圆心，作长度与线段相等的弧 ④以左侧顶点为圆心，作长度与线段相等的弧，并交叉， ⑤连接交叉点与线段的右侧端点得到长度为的边。 ⑥连接交叉点与线段的左侧端点得到长度为的边，线段、、构成三角形。 题型6：组合图形的分割 【例6】在下面的梯形中分别画一条线段，使分割后的图形满足下列条件。 【答案】     （答案不唯一） 【分析】利用平行四边形两组对边平行的特点，画一条和梯形腰平行的线段；落点位置不同，分割出来得到的图形就不一样。 【详解】梯形有一组上下平行的边。在上底边上任选一个不是端点的点，向下底画一条线段，让这条线段和梯形左边（或右边）的腰互相平行。分割之后就得到1个平行四边形、1个梯形。 以上底边靠右的端点为起点，向下底边画一条线段，使画出的线段和梯形左侧的腰平行。分割后左边是平行四边形，右边是三角形。 【练6】把下列图形分割成我们学过的图形． 【答案】 【详解】略 1．一个三角形中，两个内角的和是89°，这个三角形是（    ）。 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．不能确定 D．直角三角形 【答案】B 【分析】三角形的内角和是180°；结合题意可知，三角形中的另一个角的度数＝180°－其中两个角的度数和；大于90°且小于180°的角是钝角；三角形中，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此解答。 【详解】180°－89°＝91° 91°＞90°，所以这个三角形是钝角三角形。 2．下面各图能表示四边形之间关系的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】正方形、长方形、平行四边形和梯形都是四边形；正方形和长方形是特殊的平行四边形；正方形是特殊的长方形，依此选择。 【详解】A．长方形不是正方形，不符合题意。 B．梯形不属于长方形，正方形是特殊的长方形，不符合题意。 C．正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形，梯形和平行四边形都是四边形，符合题意。 故答案为：C 3．如图，用木条钉成一个长方形框架，长12厘米，宽9厘米。将长方形框架拉成平行四边形框架，平行四边形框架的高可能（    ）。 A．11厘米 B．10厘米 C．9厘米 D．8厘米 【答案】D 【分析】根据题意，长方形框架拉成平行四边形框架后，四条边的长度不变，平行四边形的底对应长方形的长，长度为12厘米，长方形的宽为9厘米，根据直角三角形中斜边大于直角边的特征，平行四边形的高一定小于长方形的宽，据此结合选项选出符合要求的数值，据此解答。 【详解】将长12厘米，宽9厘米的长方形框架拉成平行四边形，平行四边形的底等于长方形的长，为12厘米。 长方形拉成平行四边形后，平行四边形的斜边对应长方形的宽，长度为9厘米。 根据直角三角形概念，直角边（平行四边形的高）一定小于斜边9厘米。 对比四个选项，只有8厘米小于9厘米，符合要求。 4．一个三角形的两条边分别是8cm和5cm，第三条边的长度最长是( )cm，最短是( )cm。 【答案】 12 4 【分析】三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 【详解】8＋5＝13（cm）8－5＝3（cm） 3 cm＜第三边＜13 cm 所以第三条边的长度最长是12cm，最短是4cm。 5．如图，一块三角形纸板被撕去了一个角，这个角是( )°，原来这块纸板的形状是( )三角形，也是( )三角形。 【答案】 65 等腰 锐角 【分析】根据三角形的内角和为180°，求出撕去的这个角是180°－65°－50°＝115°－50°＝65°，这个三角形的两个角相等，且三个角都是锐角，则它是一个等腰三角形，也是一个锐角三角形。据此解答。 【详解】根据分析可知， 180°－65°－50° ＝115°－50° ＝65° 即一块三角形纸板被撕去了一个角，这个角是65°，原来这块纸板的形状是等腰三角形，也是锐角三角形。 6．如图，小明将一张长方形卡纸的一角进行折叠。 (1)如果，那么( )°。 (2)小明将这张长方形卡纸沿着折痕剪开，得到的两个图形是( )形和( )形。 【答案】(1)36 (2) 三角； 直角梯 【分析】长方形的四个角都是直角，即90°。 （1）折叠后，∠1、∠2以及与∠2重合的角组成了一个直角，即∠1＋2∠2＝90°，即可求出∠2的度数。 （2）沿着折痕剪开，剪下后的部分是三角形，剩下的部分有一组对边平行，且含有直角，是直角梯形。 【详解】（1）∠1＋2∠2＝90° ∠1＝18° 2∠2＝90°－18°＝72° ∠2＝72°÷2＝36° （2）小明将这张长方形卡纸沿着折痕剪开，得到的两个图形是三角形和直角梯形。 7．在一张长12厘米，宽8厘米的长方形纸上剪下一个最大的正方形，这个正方形的边长是( )厘米，剩下的长方形的长是( )厘米，宽是( )厘米。 【答案】 8 8 4 【分析】从一张长方形的纸上面剪下一个最大的正方形，正方形的边长等于长方形的宽； 剩下的长方形的长等于原来长方形的宽，宽等于原来长方形的长减去宽得到的差；解题时，可以借助画图。 【详解】12－8＝4（厘米） 即，在一张长12厘米，宽8厘米的长方形纸上剪下一个最大的正方形，这个正方形的边长是8厘米，剩下的长方形的长是8厘米，宽是4厘米（如下图）。 8．分一分。（填序号） 平行四边形 梯形 三角形 其他图形 （      ） （      ） （      ） （      ） 【答案】①⑥⑨⑪；②⑦；③④；⑤⑧⑩⑫ 【分析】根据平行四边形、梯形、三角形和其他图形的定义，对给定的图形进行分类。 【详解】平行四边形：①⑥⑨⑪； 梯形：②⑦； 三角形：③④； 其他图形：⑤⑧⑩⑫ 9．一个等腰三角形的顶角是50°，这个三角形的一个底角是( )°；如果一个等腰三角形的一个底角是50°，它的顶角是( )°。 【答案】 65 80 【分析】等腰三角形的特征：两个底角相等；根据三角形内角和180°，底角＝（180°－顶角）÷2，顶角＝180°－底角×2；代数解答。 【详解】根据分析： （180°－50°）÷2＝130°÷2＝65° 180°－50°×2＝180°－100°＝80° 一个等腰三角形的顶角是50°，这个三角形的一个底角是65°；如果一个等腰三角形的一个底角是50°，它的顶角是80°。 10．将下面各图形切割成你学过的图形。 【答案】（答案不唯一） 【分析】（1）可以在图形中添加两条辅助线，将其分割为一个长方形和两个正方形； （2）可以在图形中添加两条辅助线，将其分割为三个三角形； （3）可以在图形中添加一条辅助线，将其分割为一个三角形和一个梯形； （4）可以在图形中添加一条辅助线，将其分割为一个平行四边形和一个梯形； 【详解】画图略 11．求下列各角的度数。 求∠A的度数。                    求∠B的度数。                        求∠C的度数。 【答案】∠A＝40°；∠B＝65°；∠C＝41° 【分析】三角形内角和是180°，用三角形内角和减去两个已知内角的度数，即可求出要求角的度数。 【详解】∠A＝180°－100°－40° ∠A＝80°－40° ∠A＝40° ∠B＝180°－60°－55° ∠B＝120°－55° ∠B＝65° ∠C＝180°－90°－49° ∠C＝90°－49° ∠C＝41° 12．用圆规和直尺作三角形。请以线段AB为边长，尝试画出一个等边三角形，保留作图痕迹。 【答案】 【分析】把圆规两脚和线段AB两端点对齐，量得线段AB长度，圆规一脚固定在A点，另一脚在线段AB上方画出一条弧；然后圆规一脚固定在B点，另一脚在线段上方也画出一条弧，两弧相交有一交点，用直尺连接交点与A点，画一条线段，同样的方法再画一条交点与B点的线段， 此时的三角形即是等边三角形。据此画图。 【详解】画图略； 13．按要求完成。 （1）根据线段AB和AC画出平行四边形。 （2）过点A画出这个平行四边形的两条长度不同的高。 【答案】 【分析】（1）已知平行四边形的两组对边平行且相等，即分别作AB的等长线段并与AB平行，作AC的等长线段并与AC平行，并与线段AB和线段AC组成一个平行四边形。 （2）从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四边形的高。 【详解】图略。 14．用一根长为50厘米的铁丝围成一条边为12厘米的等腰三角形，它的另两条边的长分别是多少厘米？ 【答案】19厘米、19厘米 【分析】三角形的两边之和大于第三边；等腰三角形的两条腰长度相等，题目未明确12厘米的边是底边还是腰，如果12厘米的边为腰，用50厘米减去2个12厘米，算出第三边，再判断是否符合三角形三边关系；如果12厘米的边为底边，用50厘米减去12厘米，所得的差再除以2，即可算出三角形另外两边长度，再判断是否符合三角形三边关系。据此解答。 【详解】12厘米的边为腰时： 50－12－12＝26（厘米） 12＋12＝24（厘米） 24厘米＜26厘米，两边之和小于第三边，不符合三角形三边关系。 12厘米的边为底边时： （50－12）÷2 ＝38÷2 ＝19（厘米） 12＋19＝31（厘米） 31厘米＞19厘米，符合三角形三边关系。 答：它的另两条边的长都是19厘米。 15．王伯伯有一块等腰梯形的菜地，这块菜地上底的长度和一条腰的长度相等，下底的长度是上底的2倍。如果将梯形的上底延长16米，那么这个梯形就变成了一个平行四边形。王伯伯想在菜地的四周围上篱笆，至少需要多长的篱笆？ 【答案】 80 米 【分析】根据平行四边形对边相等的特征，梯形上底延长16米后变成平行四边形，说明下底比上底长16米；已知下底长度是上底的2倍，结合下底比上底长16米，可求得上底长度；根据等腰梯形两腰相等，且上底长度和一条腰的长度相等，可确定两条腰的长度；最后将上底、下底和两条腰的长度相加，即为篱笆的总长度（梯形周长）；据此解答。 【详解】由题意可知，梯形上底延长16米后变成平行四边形，根据平行四边形对边相等，可知下底比上底长16米； 又因为下底的长度是上底的2倍，所以下底比上底多的长度正好是上底的1倍。 上底的长度： 16÷（2－1） ＝16÷1 ＝16（米） 所以腰的长度：16米 下底的长度： 16×2＝32（米） 篱笆的总长度（梯形周长）： 16＋32＋16＋16 ＝48＋16＋16 ＝64＋16 ＝80（米） 答：至少需要80米长的篱笆。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $