重难专题04 三角函数中有关ω，φ的范围问题（10种题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难专题04 三角函数中有关的范围问题 题型脑图·重难考法归纳 考法深研·解题技能通关 题型01 三角函数的单调性与的关系 常见题型：已知函数在区间上单调递减，求实数的取值范围。 解题步骤： 第一步：由，求出； 第二步：利用单调区间与其子区间的包含关系有：； 第三步：对整数进行赋值，求出的取值范围。3.性质应用：利用推导出的单调性、奇偶性或周期性，结合定义域解决不等式或求值问题。 1．已知函数（）在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 的递增区间为， 取，由得 ， 解得，于是， 故最大值为. 2．（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，由可知是关于的单调递增函数. 当时，代入得, 函数在上单调，等价于在上单调, 正弦函数的单调递增区间为，单调递减区间为, 由于且左端点为，不属于任何单调递减区间， 因此必须完全包含于时的单调递增区间，即, 结合，解得, 即. 3．（2026·江苏南京·三模）已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由正切函数的单调递增区间为； 令，解得； 函数的单调递增区间为. 由()在上单调，得； ，解得； ，，解得； ，； ，得； 的最大值为. 4．（2026·湖北武汉·模拟预测）将函数（）的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，若在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的图象向右平移个单位长度， 得到，， 则，即在上单调， ，解得． 5．（2026·北京·三模）已知函数．若在区间上既不是增函数也不是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 当时，令，因，故随单调递增，。 正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 若在上既不是增函数也不是减函数，则的取值区间需包含的极值点，即，解得，故的取值范围为. 6．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，得， 所以的单调递增区间为， 因为在区间上单调递增，所以，， 解得， 当，得； 当，且，无交集； 当，由可知显然不符合题意， 所以的取值范围为． 7．（26-27高三上·山东泰安·阶段检测）已知函数，，，且，都有，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，结合，根据函数单调性的定义得到函数单调递减，根据正弦函数的单调递减区间，得到的取值范围. 【详解】由得，设， 因为，，时，，所以在上单调递减， 当时， ， ，，解得， 因为，所以，因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是. 8．（多选）（24-25高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数（，）的部分图像如图所示，在区间内单调递减，则的可能取值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】AD 【详解】解：由图可知函数过点，所以，即， 所以或，， 因为，所以或， 又根据图像可知函数在原点右侧最近的零点的右侧的极值点函数取得最小值， 所以，所以， 因为在区间内单调递减，， 所以，所以， 所以， 则或 解得或， 故选：AD. 9．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】， 若，则且，得， 因为在区间上单调递增，所以，得， 故的取值范围为 题型02 三角函数的单调性与的关系 常见题型：已知函数（且已知）在区间上单调递减，求实数的取值范围。 解题步骤： 第一步：由，求出； 第二步：利用单调区间与其子区间的包含关系有：； 第三步：对整数进行赋值，得到满足的不等式（组），求出的取值范围。 10．（24-25高一下·辽宁·月考）已知函数在区间上单调，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减，且， 所以当时，即时，函数在上单调递增， 则的取值范围. 故选：B. 11．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知函数的最小正周期为，且在上单调递增，则的最大值为______ 【答案】 【详解】因为的最小正周期为，所以，解得， 所以，当，， 因为，所以，因为在上单调递增， 故在上递增， 而在上递减，在上递增，在上递减， 所以，解得，所以的最大值为. 12．（24-25高一下·四川成都·月考）已知在上是增函数，且在上有最小值，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意有在上是增函数，所以，所以， 又在上有最小值，所以，所以，解得，所以的取值范围是， 故选：B. 题型03 三角函数的最值（值域）与的关系 常见题型：已知函数在区间上有最值，求实数 的取值范围. 解题步骤： 第一步：由，求出； 第二步：画出的图象，确定区间上有最值，然后找出区间端点满足的不等式，求出的取值范围。 13．（26-27高三上·江苏常州·开学考试）已知函数的最大值为，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据条件判断出的最大值为等价于的最大值小于等于，可得；也可依次代入每个选项验证是否满足该条件即可. 【详解】因为，所以， 因为最大值为， 且当时，恰为. 因此只需保证对恒成立， 则，故. 另法：依次代入每个选项验证是否满足该条件. 当时，，最大值为1，不满足题意. 当时，，最大值为，满足题意. 当时，，最大值为，不满足题意. 当时，，最大值为，不满足题意. 综上所述，的最大值为5. 14．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知函数()在处取得最小值，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】余弦函数的最小值为，， 则，解得， ，取，得， 的最小值为3． 15．（25-26高一下·海南海口·期末）若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】时，， 因为在上有最大值没有最小值， 所以，解得 16．（2026·湖北·模拟预测）已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】当时，， 若的图象在点处的切线与轴平行， 则点为的最高点或最低点， 由，要使得最小，则或， 分别解得或，由，故的最小值是. 17．（2026·湖北鄂州·模拟预测）已知函数,若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于的取值范围是， ，所以当且仅当 且 ， 因为，所以， 要使在上能取到，则区间 内至少要包含一个形如的数， 其中最小的可能值为(当时)，故需满足，解得； 要使在上能取到，则区间 内至少要包含一个形如的数，其中最小的可能值为(当时)，故需满足， 解得；为使，均在内，需同时满足和，因此最小的为. 18．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知定义在上的函数 有最小值，但无最大值，则ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 因为，，则， 又有最小值，但无最大值，所以，解得 19．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数 在上有两个最值点，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】因为，所以， 由正弦函数性质可知，要使函数有两个最值点， 则，且，解得且， 所以的取值范围为. 20．（25-26高一下·广东茂名·阶段检测）已知函数在上的图象有且仅有3个最高点．则的取值范围是________ 【答案】 【详解】当时，， 则有，解得， 即的取值范围是. 21．（25-26高一下·浙江杭州·期中）若函数在上恰好存在个不同的满足，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由可求得的取值范围，根据题意得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，当时，所以， 由可得， 函数在区间上从大到小第二个最小值点为，第三个最小值点为， 因为函数在上恰好存在个不同的满足， 所以，解得，即正实数的取值范围是. 题型04 三角函数的最值与的关系 常见题型：已知函数（且已知）在区间上有最值，求实数 的取值范围. 解题步骤： 第一步：由，求出； 第二步：画出的图象，确定区间上有最值，然后找出区间端点满足的不等式，求出的取值范围。 22．（2025·四川内江·一模）已知函数在处取最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在处取最大值， 所以，即， 当时，. 故选：B 23．（2025·湖南·一模）已知函数恒成立，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，是函数的最大值， ,得， ，又． 故选：A 24．（多选）（25-26高三上·辽宁·月考）若函数在上有最小值而没有最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由，得． 因为，所以，， 作出在上的图象，如图所示，      依题意可得，，解得． 故选：BCD 25．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若函数在上有且仅有一个最大值，则的取值范围为_______． 【答案】 【详解】令，当时，， 由函数在上有且仅有一个最大值，可转化为在上有且仅有一个最大值， 只需满足，所以的取值范围为. 26．（25-26高三上·广东揭阳·期中）若函数在上有最大值，则的最小正周期为___________，的取值范围为___________. 【答案】 ； 【详解】的最小正周期， 令，当时，， 由函数在上有最大值，可转化为在上有最大值， 只需满足，所以的取值范围为. 27．（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知函数，若的最小值为，则的最小值为______. 【答案】 【详解】， 因为最小值为，因此 . 对等式两边平方得 ， 得 ， 因此，又， 当时取最小正值. 题型05 三角函数的对称性与的关系 常见题型：已知函数的图像上恰有一条对称轴和一个对称中心，求实数的取值范围. 解题步骤： 第一步：分析区间的长度不小于四分之一个周期，且小于四分之三个周期，即； 第二步：由，得； 第三步：确定区间左端点对应的直线或点是否为对称轴或对称中心，然后找出区间端点满足的不等式，求出的取值范围。 28．（25-26高三上·北京房山·开学考试）若函数关于对称，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】函数关于对称，则其对称轴满足，为整数， 将代入，得，解得，又因为，所以当时，取得最小值为3， 因此，的最小值为3，所以B正确. 故选：B. 29．（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的图像关于点中心对称， 所以，即， 所以的最小值为. 30．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】的图象关于点中心对称， 所以，即， 所以的最小值为4． 31．（2026·福建福州·三模）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得. 点是函数的图象的一个对称中心， ，解得. ，，解得； ，符合条件的的最小值为1； . 32．（2026·山东威海·二模）设函数，若，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【详解】，因为，所以是的一个周期， 所以，即，其中； 令，则， 因为的图象在上存在对称轴，所以，即； 当时，不合题意；当时，解得，且为正整数， 所以的最小值为3，此时对称轴为，符合题意； 当时，解得，综上，的最小值为3. 33．（25-26高三上·四川雅安·开学考试）已知函数，若在上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为正弦函数的对称轴方程为， 所以令，可解得的对称轴方程为. 因为，即，可解得. 要使在区间上有且仅有2条对称轴，则符合条件的整数只能为， 因此需满足，解得， 故的取值范围是. 34．（25-26高一下·广西梧州·期末）已知函数（）在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数，由，得， 由，函数的图象在内恰有3条对称轴，得且， 解得，所以的取值范围是. 35．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）已知函数（，）是奇函数，函数的图象在区间上恰有条对称轴，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】已知函数，其中，， 由于是奇函数，所以满足，即，得， 又因为，当时，，符合题意，所以，因此函数， 函数的对称轴满足，即， 由于函数的图象在区间上恰有条对称轴，所以不等式恰有两个解， 又因为，所以不等式等价于不等式，即， 在区间要恰有两个整数，这两个整数只能是和，所以，解得， 所以的取值范围为. 36．（25-26高一上·云南文山·期末）已知函数在区间上恰有3条对称轴，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】 ， 所以. 当时，， 因为在区间上恰有3条对称轴， 所以. 37．（2026·北京房山·一模）设函数，若在区间上有且只有一条对称轴，则的一个取值为____． 【答案】1 【详解】令，解得 有对称轴在区间内，即 ，整理得：. 因为在区间内有且只有一条对称轴，即满足不等式的整数只有1个， 所以大于的最小整数是，即满足条件， 故，解得：. 答案不唯一，满足即可. 题型06 三角函数的对称性与的关系 常见题型：已知函数的一条对称轴或一个对称中心，求. 解题步骤： 第一步：将代入； 第二步：若已知对称轴，则；若已知一个对称中心，则； 第三步：求出的所有值，根据的范围求出的值。 38．（2026·山东威海·一模）将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数图象上的所有点向左平移个单位得： ，此函数图象关于点中心对称， 所以，即， 因为，所以，. 故选：C 39．（25-26高一上·北京顺义·期末）将函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于直线对称，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象， 由得到的函数图象关于直线对称，则， 所以的可能取值为， 故选：A. 40．（2026·新疆·模拟预测）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点是函数的图象的一个对称中心， 所以， 因为，所以由， 所以当时，有最小值. 故选：D 41．（25-26高一上·福建厦门·期末）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于函数，令， 解得， 即的对称中心为； 因为函数的相邻对称中心的距离都是半个最小正周期， 且函数与函数图象的对称中心完全一致， 所以函数与的最小正周期相等， 又函数的最小正周期，所以，所以， 则， 令，则， 故，解得， 因为，所以． 故选：C． 题型07 三角函数的奇偶性与的关系 函数是奇函数； 函数是偶函数； 函数是奇函数； 函数是偶函数 42．（2025·湖南张家界·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得函数解析式为， 因为的图象关于轴对称，即为偶函数， 所以，解得， 因为，所以当时，取得最小值． 43．（26-27高三上·天津武清·阶段检测）若将函数的图像向右平移个单位长度后所得图像关于原点对称，则的最小值为_______． 【答案】 【详解】 根据三角函数图像平移规则，将向右平移个单位长度后， 所得函数解析式为： ， 因为的图像关于原点对称，故为奇函数，所以 ， 解得 ， 由得，解得， 因为，故可取的最大整数为，代入得： ， 即的最小值为. 题型08 三角函数的奇偶性与的关系 函数是奇函数； 函数是偶函数； 函数是奇函数； 函数是偶函数 44．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）若曲线（）关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，解得，又因为， 所以的最小值为. 45．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知函数，若为偶函数，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得： ， 因为为偶函数， 所以，解得：， 当时，可得. 46．（2026·四川绵阳·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是偶函数，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，. 因为是偶函数，所以，， 解得，， 又，所以的最小值是. 47．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的图象关于直线对称，若将函数的图像向左或向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，则， 则由可得，当将的图象向左平移个单位， 可得， 由于的图象关于轴对称，故为偶函数，所以， 故，由于，所以的最小值， 当将的图象向右平移个单位，可得， 由于的图象关于轴对称，故为偶函数， 所以，故， 由于，所以时，的最小值. 综上的最小值. 48．（2026·湖北十堰·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后可得到 ， 因为函数图象关于轴对称，则该函数为偶函数， 所以可得 , 解得， 又，则当时，满足题意； 因此的最小值为. 49．（2026·湖南岳阳·二模）若函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 ，然后再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为奇函数，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得 再将图象向右平移个单位长度得 又因为函数为奇函数，所以 当时，. 50．（2026·安徽黄山·一模）函数的图象向左平移后关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向左平移后解析式为， 若其图象关于轴对称，则， 则，又因为，则当时，取得最小值，为. 故选：C. 51．（2026·山东·模拟预测）若函数为偶函数，则的最小值为_____. 【答案】 【详解】由辅助角公式可得：， 因为为偶函数，所以，解得， 当时， 取得最小值为. 52．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数（）的图象关于直线对称，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由函数的图象关于直线对称，所以，， 即，又，所以的最小值为． 53．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）若函数 ，则 的最大值为 _____；若 的最小正周期为 ， 则满足条件“ 是偶函数”的 的一个值为 ________（写出一个满足条件的 即可）. 【答案】 2 【详解】， 因为的最大值为，所以的最大值是； 由 的最小正周期，得， 故，所以， ， 因为 是偶函数， 所以， 所以，取，得，满足条件. 题型09 三角函数的零点（或极值点）个数与的关系 常见题型：已知函数的图像内有2个零点，求实数的取值范围.. 解题步骤： 第一步：分析区间长度与周期的关系，注意区间的开闭； 第二步：由，得； 第三步：分析区间长度与周期的关系，注意区间的开闭 54．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数在上仅有一个极值点和一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 因为，所以， 由在上仅有一个极值点和一个零点，得，解得. 55．（26-27高二上·陕西宝鸡·开学考试）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到函数的图象.若函数在上没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象， 由题得，周期， 因为在上没有零点，所以， 得，即，得， 假设函数在上有零点， 令，得，解得, 则，得， 又，当时，得， 当时，得， 所以函数在上没有零点时，的取值范围是. 56．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）设函数，已知在上有且仅有4个零点，下列说法错误的是（     ） A．的取值范围是 B．在上可能有3个极小值点 C．与直线在上的交点恰有2个 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】由可求得的取值范围，结合已知条件可得出关于的不等式组，解出的取值范围，可判断A选项；结合的极小值位置判断区间内极小值点个数，可判断B选项；在时，由可得出的值，可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A，，令， 在上有且仅有4个零点，等价于在有且仅有4个零点， 应当依次为，则要求，计算得，故A正确； 对于B，的极小值点为，由A可知，， 在里极小值点最多有3个，故B正确； 对于C，，结合A可知，， 区间右端，因此可取一共两解，故C正确； 对于D，结合，，左端点取值范围为， 右端点取值范围为，的区间随的取值变化,对于任意， 的区间均包含的两侧，因此在上不单调递减，故D错误. 57．（25-26高三上·云南保山·期末）已知函数在区间上有一个极值点和两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，可得， 由题意，要使在有一个极值点和两个零点，则需使，即， 故选：B. 58．将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象.若在上恰有3个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 因为，所以， 因为在上恰有3个零点，所以， 解得. 59．（25-26高一下·江西抚州·期中）已知，在上有且只有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 函数在上有且只有两个零点，可以转化为方程在区间上有且仅有两个不相等的实根， 令，因为，则. 结合的图象可知，若在有且仅有两个不相等的实根， 则，解得. 故的取值范围是. 60．（26-27高三上·陕西西安·开学考试）已知函数恰有两个极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，由，得. 因为函数恰有两个极值点， 所以， 解得. 当时，由，得. 因为函数恰有两个极值点， 所以， 解得. 综上所述，的取值范围为. 61．（多选）（25-26高一上·重庆北碚·期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B．若时，函数的图象关于点对称 C．若函数在上单调递减，则 D．若方程在内有20个不同的实数根，则 【答案】ACD 【详解】对于A，由图可知的最大值为，故. 又图象过点，所以，由，可得，故，故A正确； 对于B，当时，，因，故B错误； 对于C，函数在上单调递减，则，解得； 当时，， 因为函数在上的单调递减区间为， ，解得，即，故C正确； 对于D，方程在内有20个不同的实数根等价于在内有20个不同的实数根. 由可得，即方程在内有20个不同的实数根， 由于方程在内的实数根为和， 故要使方程在内有20个不同的实数根， 则需使，解得，即，故D正确. 故选：ACD 62．（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）已知函数在区间内无零点，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为 ，，所以 ，且该区间为开区间. 在 内无零点， 等价于开区间 内不含 （），即存在整数 ，使得 且 . 由不等式组解得 . 该不等式组有解，需 ，解得 . 又 ：当 时，； 当 时，，结合 得 （此时相位范围为 ，右端点处的零点取不到，故 满足题意）； 当 时，，与 矛盾. 综上， 的取值范围是 . 63．（26-27高三上·上海·开学考试）设函数在区间上恰有个极值点，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】因为,当,,函数在区间上恰有个极值点,则,所以； 当,,函数在区间上恰有个极值点,则,所以; 综上，的取值范围为. 64．（2026·江西·三模）若函数在区间内有且仅有个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】已知函数在区间内有且仅有个零点， 即方程在上有两个不等的实数解， 令，则，则， 当时，每个都对应两个值； 当或时，每个都对应一个值； 当时，每个都对应三个值； 当时，，则有两个的值，满足题意；    当时，每个都有两个与它对应，当时，函数都有两个与对应， 此时方程在上有四个不等的实数解，不满足题意； 当时，或，则或有四个的值，不满足题意； 当时，每个与一一对应，当时，函数都有两个与对应，满足题意； 当时，，则有一个的值，不满足题意； 综上所述，实数的取值范围为. 65．（25-26高一下·上海·期中）已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由函数， 可得，可得函数为偶函数，其图象关于轴对称， 因为有5个零点，所以必有一个零点为， 则，可得， 所以函数的零点， 等价于函数与的图象在上的交点个数， 令 由，可得， 要使得函数与的图象在上有5个交点， 则满足，解得，即实数的范围为. 故答案为：. 66．（25-26高一下·四川成都·期中）已知函数在区间内恰有3个零点，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先利用倍角公式和诱导公式把化为关于的一元二次式，再分析与在区间内的对应关系．关键是与不是一一对应：当时对应个，当时对应个，当时对应个．因此“恰有个零点”要求方程的两个根分别落在和内，再结合二次函数开口方向和端点符号分类求解． 【详解】由题意，，． 因此． 又，所以． 因为， 所以． 令．因为，所以，从而． 在内，方程的解的个数如下表． 的范围 对应的的个数 说明 当时，另一个对应角为，是右端点，不取 两个对应角都在区间内部 只对应 于是等价于，其中. 若在内恰有个零点，则需有两个不同的解， 且或. 若，则，得，此时， 只得到和，对应的零点个数为，不符合题意． 若，则，则，此时，只有一解，不合题意； 所以，故，故. 67．（2026·山东济南·模拟预测）若函数在[0,4]上恰有2个零点，则符合条件的a的个数为________． 【答案】1 【详解】时，，在上有两个零点1和，满足题意， 时，由于，无实数解， ，，，由于， ，则，不合题意， 时，，时，，时，（因为），因此在上至少有3个零点，不满足题意， 综上，，所以满足条件的的个数是1. 68．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）若函数在上有且仅有四个零点，则实数的范围为_____. 【答案】 【详解】 ， 当时，则， 因为在上有且仅有四个零点，故， 解得. 题型10 三角函数的综合性质与的关系 共同决定单调区间、对称轴、对称中心、零点位置和奇偶性。 69．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数，对任意均有，且，在上单调递减，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得的图象关于点对称，关于直线对称，通过在上单调递减可得点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴，可算出. 【详解】，的图象关于点对称， 又，当时，取得最值，即的图象关于直线对称， 又在上单调递减，， 点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴， 设的最小正周期为，则，. ，又的图象关于点对称，且在上单调递减， 由正弦函数的性质，，. ，时，. 70．（2026·重庆·模拟预测）函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线与函数图象的相邻两交点间距离为， 所以的最小正周期， 所以，由，得，解得， 因为正切函数的对称中心满足，函数的图象关于点对称， 所以，将代入得： ， 整理得， 因为 所以，取，得，即为满足条件的最小正实数值，即正实数的最小值为. 71．（2026·江西宜春·模拟预测）已知函数，若实数，满足，，在上至少存在3个零点，则的最小值为（    ） A．18 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【详解】由题意得，分别为的最小值（最大值）与最大值（最小值）， 当在上恰好有3个零点时， 的最小正周期最大，最小，此时，，. 72．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知函数，在区间上单调递减，直线和为的图象的两条相邻对称轴，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得：， 所以周期 ，又因为 ，解得 ， 令 （），代入 得： ，， 当时， ， ， ， 由，及， 不在区间上单调递减，故不符合题意，舍去； 当时， ， 令， 解得：， 当时，的单调递减区间为， 又，故满足题意； 故， . 故选：D 73．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的零点及最值点列方程组，可得的关系式，根据在区间上有且只有一个使，得在区间上有且只有一个最小值，从而求得的取值范围，得到的最大值. 【详解】因为对任意恒有，所以在处取得最值， 所以， 由，得， 所以， 令，则. 由在区间上有且只有一个使，所以， 所以， 所以，解得，又，， 若，则，此时取，可使成立， 当时，，其中或时，，不合题意，所以. 若，，此时取可使成立. 当时，，当且仅当时，，所以满足题意. 故的最大值为. 74．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若，且在上单调，则的取值共有________个． 【答案】9 【详解】因为函数在上单调， 所以， 又， 所以，得， 又，即， 当时，满足题意， 此时，可取，共9个. 75．（25-26高一下·云南文山·阶段检测）已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】由题可知. 因为，所以． 又函数在内恰有3个最值点和4个零点. 由正弦函数图象得，解得. 注: 是为了保证有4个零点, 是为了有3个最值点. 故实数的取值范围是. 76．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知函数，在上恰有两个零点，则的取值范围是____________． 【答案】 【详解】令，解得， 因为，所以， 因为在上恰有两个零点，所以，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：． 77．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）函数，对都有，且在上单调，则的值为________ 【答案】 【分析】根据，得到，结合在上单调可得，检验可得答案． 【详解】因为对都有， 所以，可得， ，， 又在上单调，，， 即，已知, 由，可得， 当时，， ，都有， 且当时，， 即函数在上单调递减，因此符合题意， 所以的取值为． 78．（25-26高三下·河南周口·开学考试）已知函数满足恒成立，则最小值为_____． 【答案】2 【详解】由，可知， 因为恒成立，所以，即， 因为，所以，因为，所以， 此时，即，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，，则， 由，可得， 解得，又，所以. 79．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】D 【详解】由题意得， 两式相减得， 整理得，所以为正奇数， ，解得，所以， 已知为对称轴，且余弦函数对称轴之间的距离为， 所以对称轴，若在区间上是单调函数， 则不存在整数使位于区间， 当时，取，得位于区间内，故舍去， 当时，取，得位于区间内，故舍去， 当时， 区间内没有对称轴，满足单调性，故. 80．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，且、对任意的实数恒成立，且在上单调，则的最大值为________． 【答案】1 【分析】由函数的图象关于直线和点对称可得：，即，代入、、检验即可求解. 【详解】因为两个等式：，对任意的实数恒成立， 所以的图象关于直线和点对称，所以. 因为,所以. 因为在上单调，所以，即，所以. 当时，，因为对任意的实数恒成立， 所以，整理得， 即. 又因为，所以，即. 经验证，在上不单调； 当时，同理得，又因为，所以，即. 经验证，在上不单调； 当时，同理可得，又因为，所以，即. 经验证，在上单调. 综上所述，的最大值为1. 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难专题04 三角函数中有关的范围问题 题型脑图·重难考法归纳 考法深研·解题技能通关 题型01 三角函数的单调性与的关系 常见题型：已知函数在区间上单调递减，求实数的取值范围。 解题步骤： 第一步：由，求出； 第二步：利用单调区间与其子区间的包含关系有：； 第三步：对整数进行赋值，求出的取值范围。3.性质应用：利用推导出的单调性、奇偶性或周期性，结合定义域解决不等式或求值问题。 1．已知函数（）在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南京·三模）已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 4．（2026·湖北武汉·模拟预测）将函数（）的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，若在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·北京·三模）已知函数．若在区间上既不是增函数也不是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·山东泰安·阶段检测）已知函数，，，且，都有，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数（，）的部分图像如图所示，在区间内单调递减，则的可能取值为（   ） A． B．1 C． D．2 9．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为________． 题型02 三角函数的单调性与的关系 常见题型：已知函数（且已知）在区间上单调递减，求实数的取值范围。 解题步骤： 第一步：由，求出； 第二步：利用单调区间与其子区间的包含关系有：； 第三步：对整数进行赋值，得到满足的不等式（组），求出的取值范围。 10．（24-25高一下·辽宁·月考）已知函数在区间上单调，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知函数的最小正周期为，且在上单调递增，则的最大值为______ 12．（24-25高一下·四川成都·月考）已知在上是增函数，且在上有最小值，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型03 三角函数的最值（值域）与的关系 常见题型：已知函数在区间上有最值，求实数 的取值范围. 解题步骤： 第一步：由，求出； 第二步：画出的图象，确定区间上有最值，然后找出区间端点满足的不等式，求出的取值范围。 13．（26-27高三上·江苏常州·开学考试）已知函数的最大值为，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．7 D．8 14．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知函数()在处取得最小值，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高一下·海南海口·期末）若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 16．（2026·湖北·模拟预测）已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 17．（2026·湖北鄂州·模拟预测）已知函数,若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知定义在上的函数 有最小值，但无最大值，则ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数 在上有两个最值点，则的取值范围为__________． 20．（25-26高一下·广东茂名·阶段检测）已知函数在上的图象有且仅有3个最高点．则的取值范围是________ 21．（25-26高一下·浙江杭州·期中）若函数在上恰好存在个不同的满足，则的取值范围是__________. 题型04 三角函数的最值与的关系 常见题型：已知函数（且已知）在区间上有最值，求实数 的取值范围. 解题步骤： 第一步：由，求出； 第二步：画出的图象，确定区间上有最值，然后找出区间端点满足的不等式，求出的取值范围。 22．（2025·四川内江·一模）已知函数在处取最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 23．（2025·湖南·一模）已知函数恒成立，则的值为（　　） A． B． C． D． 24．（多选）（25-26高三上·辽宁·月考）若函数在上有最小值而没有最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若函数在上有且仅有一个最大值，则的取值范围为_______． 26．（25-26高三上·广东揭阳·期中）若函数在上有最大值，则的最小正周期为___________，的取值范围为___________. 27．（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知函数，若的最小值为，则的最小值为______. 题型05 三角函数的对称性与的关系 常见题型：已知函数的图像上恰有一条对称轴和一个对称中心，求实数的取值范围. 解题步骤： 第一步：分析区间的长度不小于四分之一个周期，且小于四分之三个周期，即； 第二步：由，得； 第三步：确定区间左端点对应的直线或点是否为对称轴或对称中心，然后找出区间端点满足的不等式，求出的取值范围。 28．（25-26高三上·北京房山·开学考试）若函数关于对称，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 29．（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 30．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 31．（2026·福建福州·三模）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．（2026·山东威海·二模）设函数，若，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．3 33．（25-26高三上·四川雅安·开学考试）已知函数，若在上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高一下·广西梧州·期末）已知函数（）在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）已知函数（，）是奇函数，函数的图象在区间上恰有条对称轴，则的取值范围为________． 36．（25-26高一上·云南文山·期末）已知函数在区间上恰有3条对称轴，则的取值范围是__________． 37．（2026·北京房山·一模）设函数，若在区间上有且只有一条对称轴，则的一个取值为____． 题型06 三角函数的对称性与的关系 常见题型：已知函数的一条对称轴或一个对称中心，求. 解题步骤： 第一步：将代入； 第二步：若已知对称轴，则；若已知一个对称中心，则； 第三步：求出的所有值，根据的范围求出的值。 38．（2026·山东威海·一模）将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C． D． 39．（25-26高一上·北京顺义·期末）将函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于直线对称，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 40．（2026·新疆·模拟预测）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 41．（25-26高一上·福建厦门·期末）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 题型07 三角函数的奇偶性与的关系 函数是奇函数； 函数是偶函数； 函数是奇函数； 函数是偶函数 42．（2025·湖南张家界·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 43．（26-27高三上·天津武清·阶段检测）若将函数的图像向右平移个单位长度后所得图像关于原点对称，则的最小值为_______． 题型08 三角函数的奇偶性与的关系 函数是奇函数； 函数是偶函数； 函数是奇函数； 函数是偶函数 44．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）若曲线（）关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 45．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知函数，若为偶函数，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 46．（2026·四川绵阳·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是偶函数，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 47．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的图象关于直线对称，若将函数的图像向左或向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 48．（2026·湖北十堰·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 49．（2026·湖南岳阳·二模）若函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 ，然后再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为奇函数，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 50．（2026·安徽黄山·一模）函数的图象向左平移后关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 51．（2026·山东·模拟预测）若函数为偶函数，则的最小值为_____. 52．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数（）的图象关于直线对称，则的最小值为________． 53．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）若函数 ，则 的最大值为 _____；若 的最小正周期为 ， 则满足条件“ 是偶函数”的 的一个值为 ________（写出一个满足条件的 即可）. 题型09 三角函数的零点（或极值点）个数与的关系 常见题型：已知函数的图像内有2个零点，求实数的取值范围.. 解题步骤： 第一步：分析区间长度与周期的关系，注意区间的开闭； 第二步：由，得； 第三步：分析区间长度与周期的关系，注意区间的开闭 54．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数在上仅有一个极值点和一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 55．（26-27高二上·陕西宝鸡·开学考试）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到函数的图象.若函数在上没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 56．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）设函数，已知在上有且仅有4个零点，下列说法错误的是（     ） A．的取值范围是 B．在上可能有3个极小值点 C．与直线在上的交点恰有2个 D．在上单调递减 57．（25-26高三上·云南保山·期末）已知函数在区间上有一个极值点和两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 58．将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象.若在上恰有3个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 59．（25-26高一下·江西抚州·期中）已知，在上有且只有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 60．（26-27高三上·陕西西安·开学考试）已知函数恰有两个极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 61．（多选）（25-26高一上·重庆北碚·期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B．若时，函数的图象关于点对称 C．若函数在上单调递减，则 D．若方程在内有20个不同的实数根，则 62．（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）已知函数在区间内无零点，则的取值范围是______. 63．（26-27高三上·上海·开学考试）设函数在区间上恰有个极值点，则的取值范围为__________． 64．（2026·江西·三模）若函数在区间内有且仅有个零点，则实数的取值范围为__________. 65．（25-26高一下·上海·期中）已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是__________. 66．（25-26高一下·四川成都·期中）已知函数在区间内恰有3个零点，则a的取值范围是______． 的范围 对应的的个数 说明 当时，另一个对应角为，是右端点，不取 两个对应角都在区间内部 只对应 67．（2026·山东济南·模拟预测）若函数在[0,4]上恰有2个零点，则符合条件的a的个数为________． 68．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）若函数在上有且仅有四个零点，则实数的范围为_____. 题型10 三角函数的综合性质与的关系 共同决定单调区间、对称轴、对称中心、零点位置和奇偶性。 69．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数，对任意均有，且，在上单调递减，则的值为（    ） A． B． C． D． 70．（2026·重庆·模拟预测）函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 71．（2026·江西宜春·模拟预测）已知函数，若实数，满足，，在上至少存在3个零点，则的最小值为（    ） A．18 B．9 C．6 D．3 72．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知函数，在区间上单调递减，直线和为的图象的两条相邻对称轴，则（   ） A． B． C． D． 73．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 74．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若，且在上单调，则的取值共有________个． 75．（25-26高一下·云南文山·阶段检测）已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是___________． 76．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知函数，在上恰有两个零点，则的取值范围是____________． 77．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）函数，对都有，且在上单调，则的值为________ 78．（25-26高三下·河南周口·开学考试）已知函数满足恒成立，则最小值为_____． 79．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 80．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，且、对任意的实数恒成立，且在上单调，则的最大值为________． 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $